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  • LUCIANA CORREIA LAURINDO MARTINS VIEIRA

    ESTUDO DE ALGORITMOS DE

    INTEGRAO ELEMENTO POR

    ELEMENTO PARA ANLISE DINMICA

    NO LINEAR DE ESTRUTURAS

    Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

    Graduao em Engenharia Civil da Universidade

    Federal de Alagoas como requisito parcial para

    obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil

    MACEI

    Fevereiro/2004

  • LUCIANA CORREIA LAURINDO MARTINS VIEIRA

    ESTUDO DE ALGORITMOS DE

    INTEGRAO ELEMENTO POR

    ELEMENTO PARA ANLISE DINMICA

    NO LINEAR DE ESTRUTURAS

    Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

    Graduao em Engenharia Civil da Universidade

    Federal de Alagoas como requisito parcial para

    obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil

    rea de concentrao: Estruturas

    Orientador: Prof. Dr. Adeildo Soares Ramos Jnior

    MACEI Fevereiro/2004

  • iii

    Vieira, Luciana Correia Laurindo Martins

    Estudo de algoritmos de integrao elemento por elemento para anlise dinmica

    no linear de estruturas. Macei, 2004. 101p.

    Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Alagoas. Programa de Ps-

    Graduao em Engenharia Civil.

    1. Anlise dinmica 2. Anlise no linear 3. Algoritmos de integrao 4.

    Elemento por elemento. I. Universidade Federal de Alagoas. Centro de

    Tecnologia. Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil. II-Ttulo

  • iv

  • v

    A meu pai, Ricardo, minha me, Nininha,

    e meu irmo, Guilherme.

  • vi

    Agradecimentos

    A minha famlia, por tudo. Amor, incentivo, pacincia, dedicao, solidariedade,

    vida.

    Ao Prof. Dr. Adeildo Soares Ramos Jnior, pela orientao, confiana e amizade

    desenvolvidas nesses anos.

    Ao Prof. Dr. Eduardo Nobre Lages, pelas suas contribuies a este trabalho.

    Aos Engenheiros Isaas Quaresma Masetti e Rogrio Diniz Machado pelo apoio

    e incentivo durante o perodo da graduao e do mestrado.

    A todos os meus amigos, professores e colegas, pois com cada um de vocs

    ganhei ensinamentos que permitiram esta conquista.

    Universidade Federal de Alagoas UFAL, pela minha formao e

    Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES, pelo auxlio

    financeiro.

    Finalmente, a Deus, que nos permite viver para alcanar conquistas como esta.

  • vii

    Sumrio

    Agradecimentos ..........................................................................................vi Lista de Figuras ........................................................................................... x Lista de Tabelas........................................................................................xiii Lista de Smbolos......................................................................................xiv Lista de Abreviaturas ............................................................................xviii Resumo ......................................................................................................xix Abstract ...................................................................................................... xx

    Captulo 1 ..................................................................................................... 1 1. Introduo............................................................................................. 1

    1.1. RELEVNCIA DO TEMA ..................................................................... 1 1.2. OBJETIVOS........................................................................................ 3 1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAO .......................................................... 3 1.4. NOTAO UTILIZADA ....................................................................... 4

    Captulo 2 ..................................................................................................... 5 2. Introduo Dinmica de Estruturas................................................ 5

    2.1. INTRODUO .................................................................................... 5 2.2. ABORDAGEM GERAL SOBRE DINMICA DE ESTRUTURAS................... 5 2.3. DISCRETIZAO ESPACIAL................................................................ 6

    2.3.1. Formulao em deslocamentos do Mtodo dos Elementos Finitos.............. 8 2.3.2. Consideraes sobre anlises lineares e no lineares ............................... 11

    2.4. DISCRETIZAO TEMPORAL............................................................ 12 2.4.1. Mtodos Modais.......................................................................................... 12 2.4.2. Mtodos Diretos.......................................................................................... 12

    Captulo 3 ................................................................................................... 14 3. Algoritmos de integrao para dinmica no linear ...................... 14

    3.1. INTRODUO .................................................................................. 14

  • viii

    3.2. ALGORITMOS DE INTEGRAO NO TEMPO....................................... 14 3.3. ALGORITMOS EXPLCITOS ............................................................... 16

    3.3.1. Algoritmo da diferena central ................................................................... 17 3.4. ALGORITMOS IMPLCITOS ............................................................... 19

    3.4.1. Tcnicas de soluo de sistemas no lineares............................................ 20 3.4.2. Algoritmos da famlia Newmark ................................................................. 27

    3.5. TCNICA ELEMENTO POR ELEMENTO .............................................. 31 3.5.1. Formulao elemento por elemento em algoritmos explcitos ................... 33 3.5.2. Formulao elemento por elemento em algoritmos implcitos................... 33

    3.6. MEDIDAS DE ERRO EM ANLISE DINMICA ..................................... 39 Captulo 4 ................................................................................................... 43 4. Exemplos e Aplicaes ....................................................................... 43

    4.1. INTRODUO .................................................................................. 43 4.2. APLICAO LINEAR: SISTEMA MASSA-MOLA .................................. 44 4.3. VIGA ENGASTADA........................................................................... 51 4.4. CABO TRACIONADO ........................................................................ 57

    4.4.1. Obteno da configurao esttica ............................................................ 58 4.4.2. Influncia do refinamento da malha de elementos finitos .......................... 64

    4.5. PNDULOS ...................................................................................... 66 4.5.1. Pndulo Triplo ............................................................................................ 67 4.5.2. Pndulo Quntuplo ...................................................................................... 75

    5. Concluses........................................................................................... 84 5.1. CONCLUSES, COMENTRIOS E SUGESTES.................................... 84

    Referncias bibliogrficas ........................................................................ 87

    Apndice A ................................................................................................. 89 A Exemplo numrico de multiplicao de matriz-vetor e vetor-matriz-vetor elemento por elemento ....................................................... 89

    A.1 DESCRIO DO EXEMPLO................................................................ 89 A.1.1 Multiplicao matriz-vetor elemento por elemento.................................... 91 A.1.2 Multiplicao vetor-matriz-vetor elemento por elemento .......................... 93

    Apndice B ................................................................................................. 95 B Formulao utilizada do elemento de barra.................................... 95

    B.1 ELEMENTO DE BARRA ..................................................................... 95 Apndice C ................................................................................................. 99

  • ix

    C Soluo esttica para a viga engastada sujeita a momento concentrado (exemplo 4.3)........................................................................ 99

    C.1 DESLOCAMENTO VERTICAL DA EXTREMIDADE DIREITA .................. 99 C.2 MOMENTO DE REFERNCIA........................................................... 100

  • x

    Lista de Figuras

    Figura 1.1 (a) Lanamento de estacas torpedo (ncoras para estrutura offshore); (b) Estrutura flutuante submetida aos efeitos da natureza. ................................. 1

    Figura 2.1 Idia bsica do Mtodo dos Elementos Finitos. ........................................... 7 Figura 3.1 Algoritmo do Mtodo das Diferenas Centrais. ......................................... 18 Figura 3.2 Estratgia do Mtodo dos Gradientes Conjugados..................................... 24 Figura 3.3 Algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear................. 27 Figura 3.4 Algoritmo de Newmark verso deslocamento. .......................................... 31 Figura 3.5 Algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados Linear ........................ 35 Figura 4.1 Sistema massa-mola. .................................................................................. 44 Figura 4.2 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,7s . ............. 46 Figura 4.3 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,6s . ............. 46 Figura 4.4 Histria de deslocamento d

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