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  • LUCIANA CORREIA LAURINDO MARTINS VIEIRA

    ESTUDO DE ALGORITMOS DE

    INTEGRAO ELEMENTO POR

    ELEMENTO PARA ANLISE DINMICA

    NO LINEAR DE ESTRUTURAS

    Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

    Graduao em Engenharia Civil da Universidade

    Federal de Alagoas como requisito parcial para

    obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil

    MACEI

    Fevereiro/2004

  • LUCIANA CORREIA LAURINDO MARTINS VIEIRA

    ESTUDO DE ALGORITMOS DE

    INTEGRAO ELEMENTO POR

    ELEMENTO PARA ANLISE DINMICA

    NO LINEAR DE ESTRUTURAS

    Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

    Graduao em Engenharia Civil da Universidade

    Federal de Alagoas como requisito parcial para

    obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil

    rea de concentrao: Estruturas

    Orientador: Prof. Dr. Adeildo Soares Ramos Jnior

    MACEI Fevereiro/2004

  • iii

    Vieira, Luciana Correia Laurindo Martins

    Estudo de algoritmos de integrao elemento por elemento para anlise dinmica

    no linear de estruturas. Macei, 2004. 101p.

    Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Alagoas. Programa de Ps-

    Graduao em Engenharia Civil.

    1. Anlise dinmica 2. Anlise no linear 3. Algoritmos de integrao 4.

    Elemento por elemento. I. Universidade Federal de Alagoas. Centro de

    Tecnologia. Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil. II-Ttulo

  • iv

  • v

    A meu pai, Ricardo, minha me, Nininha,

    e meu irmo, Guilherme.

  • vi

    Agradecimentos

    A minha famlia, por tudo. Amor, incentivo, pacincia, dedicao, solidariedade,

    vida.

    Ao Prof. Dr. Adeildo Soares Ramos Jnior, pela orientao, confiana e amizade

    desenvolvidas nesses anos.

    Ao Prof. Dr. Eduardo Nobre Lages, pelas suas contribuies a este trabalho.

    Aos Engenheiros Isaas Quaresma Masetti e Rogrio Diniz Machado pelo apoio

    e incentivo durante o perodo da graduao e do mestrado.

    A todos os meus amigos, professores e colegas, pois com cada um de vocs

    ganhei ensinamentos que permitiram esta conquista.

    Universidade Federal de Alagoas UFAL, pela minha formao e

    Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES, pelo auxlio

    financeiro.

    Finalmente, a Deus, que nos permite viver para alcanar conquistas como esta.

  • vii

    Sumrio

    Agradecimentos ..........................................................................................vi Lista de Figuras ........................................................................................... x Lista de Tabelas........................................................................................xiii Lista de Smbolos......................................................................................xiv Lista de Abreviaturas ............................................................................xviii Resumo ......................................................................................................xix Abstract ...................................................................................................... xx

    Captulo 1 ..................................................................................................... 1 1. Introduo............................................................................................. 1

    1.1. RELEVNCIA DO TEMA ..................................................................... 1 1.2. OBJETIVOS........................................................................................ 3 1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAO .......................................................... 3 1.4. NOTAO UTILIZADA ....................................................................... 4

    Captulo 2 ..................................................................................................... 5 2. Introduo Dinmica de Estruturas................................................ 5

    2.1. INTRODUO .................................................................................... 5 2.2. ABORDAGEM GERAL SOBRE DINMICA DE ESTRUTURAS................... 5 2.3. DISCRETIZAO ESPACIAL................................................................ 6

    2.3.1. Formulao em deslocamentos do Mtodo dos Elementos Finitos.............. 8 2.3.2. Consideraes sobre anlises lineares e no lineares ............................... 11

    2.4. DISCRETIZAO TEMPORAL............................................................ 12 2.4.1. Mtodos Modais.......................................................................................... 12 2.4.2. Mtodos Diretos.......................................................................................... 12

    Captulo 3 ................................................................................................... 14 3. Algoritmos de integrao para dinmica no linear ...................... 14

    3.1. INTRODUO .................................................................................. 14

  • viii

    3.2. ALGORITMOS DE INTEGRAO NO TEMPO....................................... 14 3.3. ALGORITMOS EXPLCITOS ............................................................... 16

    3.3.1. Algoritmo da diferena central ................................................................... 17 3.4. ALGORITMOS IMPLCITOS ............................................................... 19

    3.4.1. Tcnicas de soluo de sistemas no lineares............................................ 20 3.4.2. Algoritmos da famlia Newmark ................................................................. 27

    3.5. TCNICA ELEMENTO POR ELEMENTO .............................................. 31 3.5.1. Formulao elemento por elemento em algoritmos explcitos ................... 33 3.5.2. Formulao elemento por elemento em algoritmos implcitos................... 33

    3.6. MEDIDAS DE ERRO EM ANLISE DINMICA ..................................... 39 Captulo 4 ................................................................................................... 43 4. Exemplos e Aplicaes ....................................................................... 43

    4.1. INTRODUO .................................................................................. 43 4.2. APLICAO LINEAR: SISTEMA MASSA-MOLA .................................. 44 4.3. VIGA ENGASTADA........................................................................... 51 4.4. CABO TRACIONADO ........................................................................ 57

    4.4.1. Obteno da configurao esttica ............................................................ 58 4.4.2. Influncia do refinamento da malha de elementos finitos .......................... 64

    4.5. PNDULOS ...................................................................................... 66 4.5.1. Pndulo Triplo ............................................................................................ 67 4.5.2. Pndulo Quntuplo ...................................................................................... 75

    5. Concluses........................................................................................... 84 5.1. CONCLUSES, COMENTRIOS E SUGESTES.................................... 84

    Referncias bibliogrficas ........................................................................ 87

    Apndice A ................................................................................................. 89 A Exemplo numrico de multiplicao de matriz-vetor e vetor-matriz-vetor elemento por elemento ....................................................... 89

    A.1 DESCRIO DO EXEMPLO................................................................ 89 A.1.1 Multiplicao matriz-vetor elemento por elemento.................................... 91 A.1.2 Multiplicao vetor-matriz-vetor elemento por elemento .......................... 93

    Apndice B ................................................................................................. 95 B Formulao utilizada do elemento de barra.................................... 95

    B.1 ELEMENTO DE BARRA ..................................................................... 95 Apndice C ................................................................................................. 99

  • ix

    C Soluo esttica para a viga engastada sujeita a momento concentrado (exemplo 4.3)........................................................................ 99

    C.1 DESLOCAMENTO VERTICAL DA EXTREMIDADE DIREITA .................. 99 C.2 MOMENTO DE REFERNCIA........................................................... 100

  • x

    Lista de Figuras

    Figura 1.1 (a) Lanamento de estacas torpedo (ncoras para estrutura offshore); (b) Estrutura flutuante submetida aos efeitos da natureza. ................................. 1

    Figura 2.1 Idia bsica do Mtodo dos Elementos Finitos. ........................................... 7 Figura 3.1 Algoritmo do Mtodo das Diferenas Centrais. ......................................... 18 Figura 3.2 Estratgia do Mtodo dos Gradientes Conjugados..................................... 24 Figura 3.3 Algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear................. 27 Figura 3.4 Algoritmo de Newmark verso deslocamento. .......................................... 31 Figura 3.5 Algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados Linear ........................ 35 Figura 4.1 Sistema massa-mola. .................................................................................. 44 Figura 4.2 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,7s . ............. 46 Figura 4.3 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,6s . ............. 46 Figura 4.4 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,4s . ............. 47 Figura 4.5 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,01s . ........... 47 Figura 4.6 Representao grfica dos valores dos erros relativos em cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 48 Figura 4.7 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 49 Figura 4.8 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para

    cada intervalo de tempo analisado. ............................................................. 50 Figura 4.9 (a) Desenho esquemtico e (b) discretizao da viga analisada................. 51 Figura 4.10 Curva de aplicao da fora momento. .................................................... 52 Figura 4.11 Mximas freqncias do sistema ao longo da anlise. ............................. 52 Figura 4.12 Deslocamento vertical da extremidade direita da viga para 2101t = s.

    ..................................................................................................................... 53 Figura 4.13 Deslocamento vertical da extremidade esquerda da viga para

    (a) 4105t = e (b) 41045,1t = s; Detalhe do deslocamento vertical da

    extremidade esquerda da viga para (c) 4105t = e (d) 41045,1t = s.. 54 Figura 4.14 Representao grfica dos valores dos erros relativos em cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 55 Figura 4.15 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 56 Figura 4.16 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para

    cada intervalo de tempo analisado. ............................................................. 57 Figura 4.17 Desenho esquemtico da malha de elementos finitos. ............................. 58 Figura 4.18 Curva de aplicao do peso prprio. ........................................................ 59 Figura 4.19 Histria de deslocamentos verticais do n central. .................................. 60 Figura 4.20 Detalhe dos deslocamentos verticais do n central. ................................. 60 Figura 4.21 Deformada do cabo no tempo final de anlise. ........................................ 61

  • xi

    Figura 4.22 Detalhe da deformada no n central......................................................... 62 Figura 4.23 Etapas da anlise. ..................................................................................... 62 Figura 4.24 (a) Tempos de simulao; (b) Mdia de iteraes por intervalo de tempo.

    ..................................................................................................................... 63 Figura 4.25 (a) Deslocamentos verticais do n central para o algoritmo NR PCG; (b)

    Detalhe dos deslocamentos verticais do n central..................................... 65 Figura 4.26 Desenho esquemtico da malha de elementos finitos. ............................. 67 Figura 4.27 Histria das mximas freqncias para o pndulo triplo. ........................ 67 Figura 4.28 Histria das mnimas freqncias para o pndulo triplo. ......................... 68 Figura 4.29 Etapas da anlise do pndulo triplo. ......................................................... 69 Figura 4.30 Deslocamento horizontal na extremidade direita para s01,0t = . .......... 70 Figura 4.31 Deslocamento vertical na extremidade direita para s01,0t = . .............. 70 Figura 4.32 Comparao entre as respostas obtidas com o algoritmo NR - CG para

    dois intervalos de tempo. ............................................................................ 71 Figura 4.33 Detalhe da comparao entre as respostas obtidas com o algoritmo NR -

    CG para dois intervalos de tempo. .............................................................. 71 Figura 4.34 Representao grfica dos valores dos erros relativos em cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 72 Figura 4.35 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 73 Figura 4.36 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para

    cada intervalo de tempo analisado. ............................................................. 74 Figura 4.37 Etapas da anlise do pndulo quntuplo. .................................................. 75 Figura 4.38 (a) e (b) Deslocamentos horizontal e vertical na extremidade direita para

    s01,0t = ; (c) e (d) Deslocamentos horizontal e vertical na extremidade direita para s001,0t = . ............................................................................. 76

    Figura 4.39 (a) e (b) Deslocamentos horizontal e vertical na extremidade direita para s0001,0t = ................................................................................................ 77

    Figura 4.40 Histria no tempo da mximas freqncias. ............................................ 77 Figura 4.41 Histria no tempo da mnimas freqncias. ............................................. 78 Figura 4.42 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de

    tempo analisado. ......................................................................................... 79 Figura 4.43 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para

    cada intervalo de tempo analisado. ............................................................. 80 Figura 4.44 (a), (c) e (e) Erros em energia para s01,0t = , s001,0t = e s0001,0t = ;

    (b), (d) e (f) Detalhes dos grficos (a) (c) e (e). .......................................... 81 Figura 4.45 Deslocamento horizontal na extremidade direita para s01,0t = , usando o

    algoritmo NR - Mtodo direto. ................................................................... 83 Figura 4.46 Deslocamento vertical na extremidade direita para s01,0t = , usando o

    algoritmo NR - Mtodo direto. ................................................................... 83 Figura A. 1 Estrutura de molas conectadas em srie. .................................................. 89 Figura A. 2 Numerao dos elementos. ....................................................................... 89

    Figura B. 1 Elemento de barra. .................................................................................... 95

  • xii

    Figura B. 2 Gerao do vetor de foras internas de matriz de rigidez do elemento de barra. ........................................................................................................... 98

    Figura C. 1 Desenho esquemtico do modelo. ............................................................ 99 Figura C. 2 Configurao genrica. ........................................................................... 100 Figura C. 3 Configurao de referncia..................................................................... 101

  • xiii

    Lista de Tabelas

    Tabela 3.1 Mtodos da famlia Newmark.................................................................... 28 Tabela 4.1 Nomenclatura simplificada para os algoritmos estudados......................... 44 Tabela 4.2 Propriedades do sistema massa-mola......................................................... 44 Tabela 4.3 Condies iniciais do sistema massa-mola. ............................................... 45 Tabela 4.4 Valores dos intervalos de tempo. ............................................................... 45 Tabela 4.5 Valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado. .......... 48 Tabela 4.6 Valores dos tempos de simulao (s) para cada intervalo de tempo

    analisado. .................................................................................................... 49 Tabela 4.7 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo

    de tempo analisado...................................................................................... 50 Tabela 4.8 Propriedades fsicas e geomtricas da viga................................................ 51 Tabela 4.9 Valores dos intervalos de tempo. ............................................................... 53 Tabela 4.10 Valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado. ........ 55 Tabela 4.11 Valores dos tempos de simulao (s) para cada intervalo de tempo

    analisado. .................................................................................................... 56 Tabela 4.12 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada

    intervalo de tempo analisado. ..................................................................... 57 Tabela 4.13 Propriedades fsicas e geomtricas do cabo............................................. 58 Tabela 4.14 Valores dos intervalos de tempo. ............................................................. 59 Tabela 4.15 Tempos de simulao e mdias de iteraes por intervalo de tempo. ..... 63 Tabela 4.16 Freqncias mximas............................................................................... 64 Tabela 4.17 Valores crticos de intervalo de tempo..................................................... 65 Tabela 4.18 Anlise geral do desempenho dos algoritmos iterativos.......................... 65 Tabela 4.19 Mximo nmero de condio da matriz efetiva....................................... 66 Tabela 4.20 Valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado. ........ 72 Tabela 4.21 Valores dos tempos de anlise (s) para cada intervalo de tempo analisado.

    ..................................................................................................................... 73 Tabela 4.22 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada

    intervalo de tempo analisado. ..................................................................... 74 Tabela 4.23 Comparao entre implementaes para o algoritmo NR-CG. ............... 74 Tabela 4.24 Valores dos tempos de anlise para cada intervalo de tempo analisado.. 79 Tabela 4.25 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada

    intervalo de tempo analisado. ..................................................................... 80 Tabela 4.26 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada. ........ 82 Tabela A. 1 Valores das rigidezes dos elementos........................................................ 90

  • xiv

    Lista de Smbolos

    A rea da seo transversal

    B Matriz que relaciona deslocamentos nodais e deformaes

    c Velocidade de propagao da onda

    C Matriz de amortecimento

    eC Matriz de amortecimento

    Ct Matriz de amortecimento tangente

    energe Erro para o critrio em energia

    forae Valor do erro para o critrio de fora

    rele Erro relativo

    E Mdulo de elasticidade longitudinal

    )(f x Funo contnua

    )(B uf Vetor de foras de volume

    )(C uf Vetor de cargas concentradas

    )(S uf Vetor de foras de superfcie

    F Vetor de foras efetivo

    extF Vetor de foras externas

    intF Vetor de foras internas

    refF Vetor de foras de referncia para clculo do erro usando o critrio de fora

  • xv

    G Mdulo de elasticidade transversal

    )(xg Gradiente de )(f x

    kH Hessiana da funo )(f x

    I Momento de inrcia

    J Momento de inrcia polar

    K Matriz de rigidez

    K Matriz de rigidez efetiva na verso deslocamento da formulao

    K Matriz de rigidez efetiva na verso acelerao da formulao

    eK Matriz de rigidez do elemento

    Kt Matriz de rigidez tangente

    k Curvatura

    L Comprimento do elemento

    eL Matriz boleana de conectividade

    M Matriz de massa da estrutura

    Mo Momento de referncia

    glbn Nmero de graus de liberdade do modelo

    N Matriz das funes de interpolao

    p Direo da busca linear

    ep Coordenadas no nulas do vetor ep

    ep Vetor p sendo anuladas as posies dos graus de liberdade que no esto conectados ao elemento e

    P Matriz de pr-condicionamento

    R Vetor de foras desequilibradas ( ),(intext uuFF & )

    eR Vetor de foras desequilibradas local do elemento

  • xvi

    eR Vetor de foras desequilibradas do elemento, expandida para o sistema global

    t Valor do tempo corrente

    mT Menor perodo do sistema de elementos finitos com m graus de liberdade

    T Energia cintica

    u Vetor de deslocamentos nodais

    u& Vetor de velocidades nodais

    u&& Vetor de aceleraes nodais

    u Campo de deslocamentos no interior do elemento

    u& Vetor de velocidades no interior do elemento

    u&& Vetor de aceleraes no interior do elemento

    u~ Preditor de deslocamento do algoritmo de Newmark

    u~& Preditor de velocidade do algoritmo de Newmark

    0u Vetor com as condies iniciais para deslocamento

    0v Vetor com as condies iniciais para velocidades

    extW Trabalho das foras externas

    intW Trabalho das foras internas

    Escalar que minimiza )(f pu + .

    Escalar que define a nova direo de busca / parmetro do algoritmo de Newmark

    Parmetro do algoritmo de Newmark

    u Vetor de deslocamentos virtuais

    externoW Trabalho virtual das foras externas

    internoW Trabalho virtual das foras internas

  • xvii

    Vetor de deformaes virtuais

    t Valor do intervalo de tempo

    crt Valor do intervalo de tempo crtico para o MDC

    u Incremento de deslocamento

    Campo de deformaes

    Densidade mssica do material

    ( ) &, Tensor de tenses

    n Varivel no tempo tn

    k1n + Varivel no tempo t)1n( + , na iterao k

    max Mxima freqncia da estrutura

  • xviii

    Lista de Abreviaturas

    CG Mtodo dos Gradientes Conjugados

    ExE Elemento por Elemento

    MEF Mtodo dos Elementos Finitos

    MDC Mtodo das Diferenas Centrais

    MDF Mtodo das Diferenas Finitas

    NLCG Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear

    NR Mtodo de Newton-Raphson

    nelem Nmero de elementos do modelo de elementos finitos

    PCG Mtodo dos Gradientes Conjugados Pr-condicionados

    PTV Princpio dos Trabalhos Virtuais

  • xix

    Resumo

    A dinmica de estruturas compreende uma vasta rea de atuao visto que as

    aes da natureza so geralmente variveis com o tempo. Anlises de aeronaves,

    estruturas offshore, estruturas sujeitas a terremotos, entre outras, devem ser realizadas

    considerando tambm os efeitos inerciais, que tm papel importante na performance e

    segurana dessas estruturas. A anlise do comportamento dinmico dessas estruturas

    bastante complexa em virtude das diversas no linearidades que podem estar presentes.

    Atualmente, essas anlises so realizadas utilizando-se algoritmos numricos

    computacionais para discretizao espacial e temporal, exigindo, em geral, grandes

    esforos computacionais. Com o advento dos clusters de computadores na dcada de

    90, o emprego de algoritmos numricos paralelos utilizando a tcnica elemento por

    elemento tem se difundido e se mostrado eficiente na soluo desses problemas. Nesse

    contexto, este trabalho est direcionado ao estudo de algoritmos de integrao no tempo

    para problemas de dinmica no linear de estruturas pelo mtodo dos elementos finitos,

    que possibilitem seu uso futuro em arquiteturas computacionais paralelas. Os principais

    algoritmos para dinmica no linear de estruturas so revisados, assim como as

    alternativas de implementao atravs da utilizao da tcnica elemento por elemento.

    Em seguida, utilizando-se o programa computacional MATLAB, implementam-se

    alguns desses algoritmos e avaliam-se suas caractersticas atravs de exemplos

    ilustrativos. Observam-se, nesses exemplos, caractersticas como custo computacional,

    nmero de iteraes e qualidade das respostas geradas para problemas quase estticos e

    dinmicos no lineares considerando-se diversos nveis de discretizao espacial e

    temporal.

    Palavras-Chave: Anlise dinmica, Anlise no linear, Algoritmos de integrao,

    Elemento por elemento

  • xx

    Abstract

    The topic of structural dynamics involves an ample actuation field since the most

    of nature actions are time dependent. The analyses of structures in aerospace

    engineering, offshore engineering, civil engineering and others might be realized

    including the inertial effects since they have important role in reliability and safety of

    them. Due to the various nonlinearities that can be present in the dynamic analysis, the

    preview of the dynamic behavior of a structure can become a complex task. That

    analysis is generally executed using computational numeric algorithms improved for

    spatial and temporal discretization where computational requirements are excessive.

    Techniques based on element-by-element concept have gained recognition due to its

    increasing efficiency caused by the recent development of parallel computers. This

    work is focused on time integration algorithms for nonlinear dynamic problems

    formulated by the finite element approach. Besides, the considered algorithms have

    been prepared to be used, in the future, on parallel computational architectures. The

    main algorithms for nonlinear structural dynamics and alternatives of implementation of

    the element-by-element techniques are studied. The software MATLAB has been used

    for implementation of some algorithms, whose features are analyzed by examples.

    Some characteristics as computational cost, number of iterations and solutions quality

    are observed for nonlinear quasistatic and dynamic problems, adopting several spatial

    and temporal discretization levels.

    Key-words: Dynamic analyses, Nonlinear analyses, Integration methods, Element-by-

    element.

  • 1

    Captulo 1

    1. Introduo

    1.1. Relevncia do tema Os modelos fsicos e matemticos utilizados na engenharia buscam sempre

    representar, de forma mais fiel possvel, os eventos que ocorrem na natureza. O

    interesse pela dinmica de estruturas sempre esteve presente no contexto da engenharia,

    visto que na natureza as aes aplicadas s estruturas so geralmente variveis com o

    tempo. Quando possvel, utilizam-se modelos independentes do tempo, ditos estticos,

    para representar algum dado fenmeno. Porm, em casos como aeronaves, estruturas

    offshore, terremotos e muitos outros, as aes variantes com o tempo tm papel

    principal na performance e segurana da estrutura. A Figura 1.1 ilustra alguns dos casos

    acima citados.

    (a) (b)

    Figura 1.1 (a) Lanamento de estacas torpedo (ncoras para estrutura offshore); (b) Estrutura flutuante submetida aos efeitos da natureza.

    Especialmente a partir da ltima metade do sculo passado, os recursos

    computacionais passaram a integrar, de forma mais vivel, o rol de ferramentas para a

    soluo de problemas de dinmica estrutural, alavancando os desenvolvimentos nessa

    rea da engenharia. Mesmo passadas algumas dcadas e considerando a incrvel

  • 2

    velocidade com que a tecnologia da informao tem se desenvolvido, as solues de

    muitos problemas de dinmica de estruturas so limitadas pelo custo computacional

    exigido.

    Devido variedade de fenmenos includos no estudo de dinmica de estruturas,

    usa-se classific-los em problemas quase estticos, de dinmica estrutural e de

    propagao de onda. Essas classes so definidas de acordo com a participao maior ou

    menor de altas e baixas freqncias na resposta da estrutura. Nesta dissertao o foco

    dos estudos est direcionado para os problemas quase estticos e de dinmica estrutural,

    problemas onde as freqncias de excitao so da ordem de grandeza das freqncias

    naturais mais baixas da estrutura.

    Para obteno das respostas da estrutura, especialmente em problemas no

    lineares, faz-se necessrio o uso de tcnicas computacionais para integrao no tempo.

    Vrias opes esto disponveis na literatura, possuindo, cada uma, particularidades que

    as tornam mais adequadas a certos tipos de problemas. De um modo geral, esses

    algoritmos so classificados em algoritmos implcitos e explcitos.

    A formulao dos algoritmos explcitos , em geral, mais adequada aos

    problemas de propagao de onda, pois apresentam baixo custo computacional por

    intervalo de tempo. Porm, essa formulao apresenta uma restrio para o intervalo de

    tempo, baseada nas freqncias naturais mais altas da estrutura, penalizando o seu

    desempenho em problemas regidos pelas baixas freqncias. Em geral, para que esses

    algoritmos apresentem a performance desejada, exige-se a soluo de um sistema

    diagonal de equaes (desacoplado), em cada passo de tempo. Para os problemas quase

    estticos e de dinmica estrutural, os algoritmos ditos implcitos apresentam melhor

    performance que os explcitos (COOK e outros, 1989). Essa constatao deve-se

    especialmente ao fato de que nesses casos h maior interesse na integrao das

    freqncias mais baixas, permitindo, para os algoritmos implcitos, o uso de intervalos

    de tempo maiores. Porm, tradicionalmente, o uso de algoritmos implcitos implica na

    necessidade da montagem das matrizes globais do sistema estrutural, demandando mais

    memria para armazenamento de dados durante a anlise. Outra caracterstica comum

    nesses algoritmos a construo da matriz de rigidez tangente da estrutura, que para

    problemas no lineares podem apresentar dificuldades para gerao, a exemplo dos

    problemas de contato e dos que envolvem o atrito.

  • 3

    As situaes que envolvem anlises numricas de grande porte podem ter seu

    tempo de anlise reduzido atravs de aplicaes realizadas em paralelo. Em especial, ao

    se tratar de algoritmos de integrao, a utilizao de tcnicas elemento por elemento se

    destaca para esse tipo aplicao. Essas tcnicas tiram partido da independncia dos

    clculos realizados no nvel do elemento, o que permite a sua paralelizao e economia

    de memria.

    Justifica-se assim a proposta de se estudar estratgias para alteraes em

    algoritmos de integrao, embutindo neles algumas caractersticas particulares das

    tcnicas elemento por elemento, como a economia de memria e uma estrutura que

    facilite a futura paralelizao do cdigo computacional.

    1.2. Objetivos Esta dissertao tem como objetivos estudar estratgias elemento por elemento

    para algoritmos de integrao no tempo; implementar algumas estratgias em

    algoritmos no lineares de integrao; e avaliao do comportamento desses algoritmos

    diante de casos de anlises dinmicas e quase estticas de estruturas.

    Busca-se gerar conhecimento acerca do comportamento dos algoritmos

    combinados com as estratgias elemento por elemento, visando o futuro uso destes em

    ambientes de computao paralela.

    1.3. Estrutura da dissertao Esta dissertao est organizada em cinco captulos mais dois apndices. O

    primeiro captulo, de introduo, contm a relevncia do tema abordado, onde justifica-

    se o interesse pela anlise dinmica de estruturas, em especial pelo estudo de algoritmos

    de integrao. Ainda nesse captulo, apresentam-se os objetivos da dissertao e uma

    breve descrio da sua estrutura e contedo.

    No segundo captulo introduzido o tema de dinmica de estruturas. Apresenta-

    se a discretizao espacial, atravs da formulao em deslocamentos do Mtodo dos

    Elementos Finitos, e de forma sucinta aborda-se a discretizao temporal, introduzindo-

    se o tema principal do trabalho.

    O terceiro captulo possui todo o contedo explorado acerca de algoritmos de

    integrao. Inicia-se revisando as classes de algoritmos, apresentando-se os mais

  • 4

    tradicionais, e descrevem-se brevemente algumas tcnicas de soluo de sistemas no

    lineares, usadas nos algoritmos estudados. Aborda-se a tcnica elemento por elemento,

    descrevendo suas caractersticas e sua formulao, e introduzindo-a nos algoritmos

    antes apresentados. Finalizando esse captulo, encontra-se uma descrio de algumas

    medidas de erros utilizadas para critrios de convergncia e quantificao da qualidade

    das respostas obtidas pelos mtodos implementados.

    No quarto captulo, apresentam-se exemplos onde so utilizadas as

    implementaes dos algoritmos estudados. So abordados casos lineares e no lineares,

    e de dinmica estrutural e quase estticos. Avalia-se a qualidade das respostas geradas,

    o tempo gasto pelos algoritmos, nmero de iteraes, comentando-se os resultados

    encontrados.

    As concluses e sugestes para trabalhos futuros esto descritas no quinto

    captulo deste trabalho. Esse captulo seguido pela lista de referncias utilizadas no

    decorrer do trabalho, organizadas em ordem alfabtica.

    Para complementar o contedo do trabalho, apresentam-se dois apndices. O

    apndice A aborda as operaes passveis de serem realizadas elemento por elemento,

    executando-as passo a passo para esclarecer em quais etapas a tcnica aplicada. Por

    fim, o apndice B descreve a gerao das matrizes de massa e rigidez e do vetor de

    foras internas para o elemento de barra bidimensional, usado nos exemplos explorados.

    1.4. Notao utilizada

    Nesta dissertao adota-se a notao matricial, utilizando-se o negrito para

    representar vetores, tensores e matrizes. As letras maisculas simbolizam as matrizes e

    as minsculas os vetores e tensores.

    Para representar o valor de uma varivel em um determinado intervalo de tempo,

    utilizam-se ndices subscritos que indicam o intervalo de tempo corrente. No caso de

    processos iterativos, o valor da varivel em cada iterao indicado por ndices

    sobrescritos contendo o valor da iterao corrente.

  • 5

    Captulo 2

    2. Introduo Dinmica de Estruturas

    2.1. Introduo Este um captulo introdutrio onde se apresenta a dinmica de estruturas como

    o estudo da formulao e da soluo de equaes diferenciais parciais onde o tempo e o

    espao so variveis.

    Adota-se o processo de semidiscretizao, realizando-se inicialmente a

    discretizao espacial atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. Descreve-se a

    formulao em deslocamentos desse mtodo, gerando um novo sistema de equaes,

    porm equaes diferenciais ordinrias no tempo.

    Ao final, de forma sucinta, trata-se do tema da discretizao temporal,

    descrevendo os principais tipos de mtodos de integrao no tempo, introduzindo o

    tema principal do trabalho que abordado no prximo captulo.

    2.2. Abordagem geral sobre dinmica de estruturas A formulao matemtica utilizada em dinmica de estruturas baseada em

    equaes diferenciais parciais hiperblicas, tendo como variveis o tempo e o espao. A

    obteno dessas equaes diferenciais depende de uma modelagem fsica e matemtica

    do fenmeno de interesse. O modelo , portanto, uma tentativa de se simular, atravs de

    equaes ou sistemas de equaes, o fenmeno observado.

    Existem procedimentos formalizados para sistematizar a obteno das equaes

    diferenciais que regem o comportamento do sistema. Dois deles so bastante usados, o

    equilbrio direto de foras e os mtodos energticos, cujos procedimentos podem ser

    encontrados na literatura (COOK e outros, 1989).

    Nos itens 2.3 e 2.4 esto apresentados mtodos para soluo das equaes

    diferenciais que regem o fenmeno em estudo. Porm, a escolha dos mtodos mais

  • 6

    apropriados depende da natureza do problema, incluindo os tipos das aes e as

    propriedades do sistema estrutural. Dentro do contexto da anlise dinmica, a depender

    das freqncias de excitao e da correspondente resposta da estrutura, classificam-se as

    anlises em problema de propagao de onda, de dinmica estrutural ou quase esttico

    (COOK e outros, 1989). importante observar que essa uma diviso criada para

    facilitar os estudos dos diversos fenmenos fsicos existentes em dinmica das

    estruturas. Na natureza, o que se observa uma combinao desses casos gerando a

    resposta do sistema. A observao e o bom senso do engenheiro que indicar qual dos

    casos mais predominante na anlise a ser realizada.

    Nos casos em que o carregamento e a resposta da estrutura so ricos em altas

    freqncias, os efeitos das ondas de tenso so do interesse da engenharia. Esses so os

    chamados problemas de propagao de onda que geralmente ocorrem nas situaes de

    impacto, cargas explosivas, mudanas bruscas de condio de contorno e outros. O

    tempo de anlise usualmente curto, se restringido ao tempo que uma onda transversal

    leva para percorrer a estrutura (COOK e outros, 1989).

    Os problemas de dinmica estrutural, tambm denominados inerciais, tm as

    respostas governadas por modos de baixas freqncias. So os problemas onde os

    efeitos da inrcia so importantes, mas o foco da anlise est direcionado para as

    conseqncias de cargas tipo harmnicas, rampas, ou seja, cujas freqncias estejam na

    faixa das mais baixas freqncias naturais da estrutura. O tempo de anlise, nesses

    casos, bem maior do que nos problemas de propagao de onda (COOK outros, 1989).

    Os efeitos inerciais no caso de problemas quase estticos so bastante reduzidos

    devido s baixas freqncias de excitao. Se conveniente, pode-se desprezar esses

    efeitos e realizar uma anlise esttica nesse caso, simplificando o processo de soluo.

    COOK e outros (1989) limitam essas anlises aos casos em que as freqncias de

    excitao so menores que um tero das menores freqncias naturais da estrutura.

    2.3. Discretizao espacial Para solucionar as equaes diferenciais parciais geradas pela modelagem e obter

    a resposta do sistema, usa-se aproximar os campos contnuos no espao por variveis

    discretas, atravs de tcnicas de aproximao como, por exemplo, o Mtodo dos

    Elementos Finitos ou o Mtodo das Diferenas Finitas. Esse processo de discretizao

  • 7

    no espao independente do tempo dito semidiscretizao (HUGHES &

    BELYTSCHKO, 1983; ZIENKIEWICZ & MORGAN, 1983). Neste trabalho adota-se o

    Mtodo dos Elementos Finitos como a alternativa para discretizao espacial.

    O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um dos Mtodos dos Resduos

    Ponderados, tendo como base a forma fraca do Mtodo de Galerkin, que do ponto de

    vista da mecnica corresponde ao princpio dos deslocamentos virtuais. Consiste

    basicamente em dividir o domnio em sub-regies, ditas elementos, cujo

    comportamento conhecido, conectadas por alguns pontos, os ns, atravs dos quais

    interagem entre si, como apresentado na Figura 2.1.

    A soluo de um problema, atravs da formulao em deslocamentos do Mtodo

    dos Elementos Finitos, pode ser sistematizada atravs das etapas a seguir:

    1. Divide-se o domnio do problema em subdomnios denominados elementos

    finitos, conectados entre si atravs de um nmero finito de pontos denominados

    pontos nodais ou ns.

    2. Aproxima-se a distribuio da varivel cuja soluo procurada por uma funo

    particular, funo de interpolao.

    3. Relaciona-se o valor da varivel nos ns de cada elemento com as suas

    propriedades e geometria, dando origem ao sistema de equaes do elemento.

    4. Associam-se as equaes dos elementos considerando suas conexes atravs dos

    pontos nodais. Tem-se um sistema global de equaes para o problema.

    5. Induz-se no contorno os valores conhecidos da varivel do problema (introduo

    das condies de contorno).

    6. Resolve-se o sistema de equaes global, obtendo-se os valores da varivel do

    problema nos ns.

    Figura 2.1 Idia bsica do Mtodo dos Elementos Finitos.

    Elemento

    N

    Domnio

    x x

    y y

    Contorno

  • 8

    2.3.1. Formulao em deslocamentos do Mtodo dos Elementos Finitos Como comentado anteriormente, o domnio do problema subdividido em uma

    srie de elementos finitos. O comportamento de cada elemento aproximado por

    funes de interpolao. Tais funes devem ser escolhidas de modo a garantir a

    continuidade de todo meio discretizado. A qualidade da soluo aproximada depende do

    grau de refinamento das funes de interpolao e da malha de elementos finitos.

    A formulao em deslocamentos do mtodo dos elementos finitos supe que no

    interior do elemento o valor dos deslocamentos e das deformaes seja dado de uma

    forma pr-estabelecida, em funo dos deslocamentos nodais. O campo de

    deslocamentos em cada elemento aproximado por:

    Nuu = , ( 2.1 )

    onde u o campo de deslocamentos no interior do elemento que funo do tempo e

    do espao; N a matriz das funes de interpolao, funo apenas do espao e u o

    vetor de deslocamentos nodais, funo apenas do tempo.

    No caso de anlise dinmica, a discretizao estende-se s derivadas do campo

    de deslocamento. Tm-se:

    uNu && = e ( 2.2 )

    uNu &&&& = ( 2.3 )

    onde u& o vetor de velocidades no interior do elemento; u&& o vetor de aceleraes no

    interior do elemento; u& o vetor de velocidades nodais e u&& o vetor de aceleraes

    nodais.

    O campo de deformaes em cada elemento est relacionado com os

    deslocamentos nodais atravs da relao:

    Bu = , ( 2.4 )

  • 9

    onde o campo de deformaes e B a matriz que relaciona deslocamentos nodais e

    deformaes.

    Para um corpo deformvel em equilbrio, o Princpio dos Trabalhos Virtuais

    estabelece, em cada instante de tempo, a igualdade entre o trabalho das foras internas e

    das foras externas durante o desenvolvimento de um campo de deslocamentos virtuais,

    compatvel com os vnculos externos e a continuidade do corpo (COOK e outros, 1989).

    As foras internas de um corpo em equilbrio podem ser obtidas a partir do

    estado de tenses e das foras inerciais presentes em cada ponto. Ao campo de

    deslocamentos virtuais corresponde um estado de deformao virtual associado. O

    trabalho das foras internas dado por:

    ( ) +=V

    T

    V

    Tinterno dVdV,W uu &&& , ( 2.5 )

    sendo internoW o trabalho virtual das foras internas; o vetor de deformaes

    virtuais; u o vetor de deslocamentos virtuais; ( ) &, o tensor de tenses, funo das deformaes e das taxas de deformaes e a densidade mssica do material.

    O trabalho das foras externas dado por:

    )(dS)(dV)(W CT

    SS

    T

    VB

    Texterno ufuufuufu ++= , ( 2.6 )

    sendo externoW o trabalho virtual das foras externas; )(B uf o vetor de foras de

    volume; o )(S uf o vetor de foras de superfcie e )(C uf o vetor de cargas

    concentradas.

    No Mtodo dos Elementos Finitos, para atender a condio de equilbrio em

    todo o domnio, faz-se o somatrio da contribuio de cada elemento. Portanto,

    considerando que as foras externas sejam representadas pelas foras nodais resultantes

    dos carregamentos e fazendo o trabalho das foras externas igual ao trabalho das foras

    internas, tem-se a equao obtida pelo Princpio dos Trabalhos Virtuais:

  • 10

    ( ) Cnelem

    1i

    nelem

    1iS

    Se

    Tnelem

    1i VeB

    Tnelem

    1i Ve

    nelem

    1i Ve

    TT SddVdVdV, ffNfNuNNB ==== =

    ++=+ &&& , ( 2.7 )

    onde nelem o nmero de elementos do modelo de elementos finitos e a densidade

    mssica do material.

    A equao ( 2.7 ) pode ser resumida na forma apresentada na equao ( 2.8 ):

    )(),( extint ufuufuM =+ &&& . ( 2.8 )

    As aes externas esto apresentadas como dependentes dos deslocamentos,

    porm neste trabalho essa dependncia no considerada. No item 2.3.2 so feitas

    algumas observaes a respeito de fontes de no linearidades, incluindo o caso acima

    citado. A equao ( 2.8 ) torna-se ento:

    extint ),( fuufuM =+ &&& . ( 2.9 )

    Na equao ( 2.10 ) apresenta-se a matriz de massa do modelo, que representa

    uma discretizao da distribuio contnua de massa da estrutura.

    =

    =nelem

    1i Ve

    T dVNNM , ( 2.10 )

    O vetor de foras internas, funo dos deslocamentos e velocidades nodais,

    representado por:

    ( ) =

    =nelem

    1i Ve

    Tint dV,),( Buuf && . ( 2.11 )

    Em particular, se a linearidade assumida com relao aos deslocamentos e

    velocidades, a equao ( 2.11 ) toma a forma clssica:

  • 11

    =

    +=nelem

    1ieeint ),( uCuKuuf && , ( 2.12 )

    onde eK a matriz de rigidez do elemento e eC a matriz de amortecimento.

    Na equao ( 2.13 ) apresenta-se a parcela correspondente s aes externas,

    funo apenas do tempo.

    C

    nelem

    1i

    nelem

    1iS

    Se

    Tnelem

    1i VeB

    Text SddV ffNfNf

    ===++= . ( 2.13 )

    A equao ( 2.8 ) ou ( 2.9 ), conhecida por equao de movimento, foi resultado

    de uma discretizao no espao, porm, para completar o processo de soluo, esse

    novo sistema deve ser resolvido. No item 2.4, algumas tcnicas de integrao no tempo

    so apresentadas.

    2.3.2. Consideraes sobre anlises lineares e no lineares Na natureza, os fenmenos so em geral no lineares. H casos, porm, em que a

    influncia das fontes de no linearidades no relevante para a anlise. Nesses casos, a

    anlise linear geralmente utilizada devido a sua simplicidade para formulao e

    implementao.

    Neste trabalho, objetiva-se abordar problemas de natureza no linear, portanto, a

    formulao utilizada permite a incluso de no linearidades, porm, restritas ao vetor de

    foras internas. Fenmenos como no linearidade fsica (do material), geomtrica,

    geradas por problemas de contato, atrito, interao fluido-estrutura e outros podem ser

    abordados pela formulao apresentada.

    Cargas externas dependentes da geometria, tambm denominadas cargas

    seguidoras, no esto no mbito deste trabalho. Esse tipo de no linearidade causa de

    alteraes no sistema de equaes como a perda da simetria das matrizes do sistema

    (BELYTSCHKO & HUGHES, 1983), condio no tratada pelos algoritmos

    apresentados.

  • 12

    2.4. Discretizao temporal Aps ter partido de um sistema de equaes diferenciais parciais e ter sido

    utilizada a tcnica de discretizao no espao por elementos finitos, obteve-se um novo

    sistema de equaes, porm, um sistema de equaes diferenciais ordinrias. O

    problema a ser abordado tornou-se, portanto, um problema de valor inicial apenas,

    representado pela soluo da equao ( 2.8 ).

    H vrios mtodos para obteno da resposta dinmica aps um processo de

    semidiscretizao, como o realizado no item anterior. Esses mtodos podem ser

    divididos em duas principais categorias, os mtodos modais e os mtodos diretos.

    2.4.1. Mtodos Modais O Mtodo da Superposio Modal consiste em transformar as equaes de

    equilbrio expressas em coordenadas fsicas em novas equaes expressas em

    coordenadas generalizadas (BATHE, 1996; COOK e outros, 1989), usualmente os

    modos naturais de vibrao da estrutura. Nessas coordenadas as equaes tornam-se

    desacopladas, podendo ser resolvidas separadamente, se no houver amortecimento, ou

    se este for ortogonal, como ocorre com o amortecimento de Rayleigh. Esse mtodo se

    restringe aos casos de dinmica linear de estruturas e se todos os modos forem

    integrados, a resposta obtida no possui aproximaes.

    2.4.2. Mtodos Diretos Os mtodos diretos so aplicados a problemas lineares ou no lineares e

    consistem na obteno da soluo aproximada da equao de movimento em

    determinados instantes de tempo discretos. WEAVER e JOHNSTON (1987) visualizam

    as tcnicas numricas utilizadas para tal objetivo como um tipo de aproximao por

    diferenas finitas. COOK e outros (1989) tambm apresentam essa abordagem para

    definio dos mtodos diretos.

    Uma abordagem mais moderna sobre esse tema dada por ZIENKIEWICZ e

    MORGAN (1983) que apresentam o procedimento para discretizao no tempo como

    uma aplicao da tcnica de Resduos Ponderados, onde, a depender da escolha das

    funes de ponderao, recai-se no mtodo das diferenas finitas ou no mtodo dos

    elementos finitos. No ltimo caso, procede-se de forma semelhante realizada na

  • 13

    discretizao espacial, usando-se, neste caso, elementos finitos lineares para representar

    o domnio do tempo.

    Em ambas abordagens, conhecendo-se as equaes governantes e as condies

    iniciais, obtm-se a soluo para o final do primeiro incremento de tempo, ou elemento

    de tempo. Repete-se o procedimento para os demais incrementos, adotando-se a soluo

    anterior como condio inicial do passo seguinte.

  • 14

    Captulo 3

    3. Algoritmos de integrao para dinmica no linear

    3.1. Introduo Apresenta-se nos itens que seguem uma reviso dos principais tipos de

    algoritmos, suas classificaes, formulaes e estratgias de soluo para os sistemas de

    equaes gerados pelas formulaes. Dentre os mtodos explcitos, apresenta-se o

    algoritmo do Mtodo das Diferenas Centrais, enquanto que na classe de mtodos

    implcitos, apresenta-se a Regra Trapezoidal, ambos membros da famlia Newmark de

    algoritmos de integrao.

    Aps a reviso dos algoritmos acima citados, abordam-se os conceitos da tcnica

    elemento por elemento, aplicando-a as alternativas anteriormente apresentadas.

    Ao final, apresentam-se algumas alternativas para medidas de erros, utilizadas

    como critrio de convergncia ou para verificao da qualidade da resposta gerada pelos

    algoritmos.

    3.2. Algoritmos de integrao no tempo Como abordado nos captulos anteriores, a anlise dinmica regida por

    equaes diferenciais parciais. O uso da semidiscretizao por elementos finitos permite

    transformar o sistema de equaes diferenciais parciais em um problema de valor inicial

    apenas. O sistema de equaes para anlise no linear de estruturas resultante de uma

    discretizao no espao por elementos finitos est apresentado na equao ( 2.9 ), cujas

    condies iniciais esto expressas em:

    0)0( uu = e ( 3.1 )

  • 15

    0)0( vu =& . ( 3.2 )

    Os algoritmos de integrao, aqui abordados, so mtodos diretos de

    discretizao no tempo, consistindo em obter de forma aproximada o valor das variveis

    em questo (os deslocamentos e suas derivadas) em determinados intervalos de tempo.

    A equao de movimento ( 3.3 ) expressa o equilbrio esttico para um determinado

    instante de tempo:

    nextnnintn ),( fuufuM =+ &&& . ( 3.3 )

    Nos mtodos diretos o espao de tempo foi dividido em intervalos ditos t e o

    subscrito n existente na equao ( 3.3 ) identifica o tempo tn .

    Vrios mtodos diretos para integrao das equaes de movimento foram

    desenvolvidos, porm a escolha do mtodo mais adequado depende principalmente do

    tipo de anlise dinmica que se deseja realizar.

    Comumente classificam-se os diversos algoritmos em dois principais grupos, os

    algoritmos explcitos e os algoritmos implcitos. Neste trabalho, utiliza-se a definio de

    COOK e outros (1989) e BATHE (1996) para a classificao dos algoritmos de

    integrao no tempo.

    Os algoritmos explcitos so aqueles em que as variveis no intervalo de tempo

    seguinte so determinadas apenas em funo das variveis obtidas nos intervalos de

    tempo passados. Essa definio pode ser expressa pela relao funcional:

    ( )K&&& ,,,, 1nnnn1n + = uuuufu ( 3.4 )

    Nos algoritmos implcitos o valor da incgnita base no intervalo de tempo 1n +

    dependente do seu prprio valor, alm da histria ao longo dos tempos passados. Essa

    definio pode ser resumida na relao:

    ( )K&&& ,,,, n1n1n1n1n uuuufu ++++ = . ( 3.5 )

  • 16

    Nos itens a seguir apresenta-se uma descrio mais detalhada das caractersticas

    de cada classe de algoritmos de integrao.

    3.3. Algoritmos explcitos Como apresentado no item 3.2, a principal caracterstica das tcnicas de

    integrao explcitas o fato da soluo no tempo tt + ser obtida considerando-se as

    condies de equilbrio do tempo t. Outras caractersticas importantes dessa formulao

    foram apresentadas por COOK e outros (1989) e BATHE (1996) e esto citadas nos

    pargrafos seguintes.

    Tradicionalmente os algoritmos explcitos apresentam baixo custo

    computacional por intervalo de tempo, pois o sistema de equaes gerado pela

    formulao geralmente desacoplado. No h portanto a necessidade de processos

    iterativos para obteno da soluo no passo de tempo t + t. Porm esse

    desacoplamento est condicionado ao fato das matrizes de massa e de amortecimento

    serem diagonais. Essa restrio, em alguns tipos de problemas, representa um srio

    obstculo para uso dos algoritmos explcitos, j que a sua no observncia implica em

    custos maiores por intervalo de tempo.

    O desacoplamento anteriormente citado permite que os clculos sejam feitos no

    nvel do elemento, sem a montagem de matrizes globais do sistema. Essa caracterstica

    alm de ser bastante vantajosa nos casos de problemas de grande porte, j que

    representa uma importante economia de memria computacional, torna a

    implementao desses algoritmos mais simples do que os implcitos.

    Quanto estabilidade, os algoritmos explcitos apresentam uma restrio ao

    valor de incremento de tempo mximo usado para cada anlise. Essa estabilidade

    condicional, garantida para problemas lineares, pode levar a pequenos valores para o

    intervalo de tempo. O valor crtico para t inversamente proporcional mxima

    freqncia natural do sistema discreto, independente do tipo de solicitao aplicada

    estrutura. Portanto, em problemas quase estticos ou de dinmica estrutural, os mtodos

    explcitos tornam-se pouco eficazes j que o t crtico bem menor que o necessrio

    para uma integrao razoavelmente precisa dos modos solicitados. Em problemas de

    propagao de onda, o t necessrio para uma precisa integrao das freqncias

  • 17

    existentes na resposta do sistema equivalente (ou menor) ao necessrio para a garantia

    da estabilidade. Nesses casos os algoritmos explcitos tornam-se mais adequados.

    Em problemas no lineares, o valor crtico para o intervalo de tempo varivel

    com o tempo, j que atrelado s freqncias naturais do sistema que se modificam ao

    longo da anlise (ZIENKIEWICZ e MORGAN, 1983).

    3.3.1. Algoritmo da diferena central O Mtodo da Diferena Central est entre os mais populares algoritmos

    explcitos usados em mecnica computacional. Sua formulao baseada em

    aproximaes por diferenas centrais para as velocidades e aceleraes (COOK e

    outros, 1989):

    ( )1n1nn t21

    + = uuu& e ( 3.6 )

    ( )1nn1n2n 2t1

    + +

    = uuuu&& . ( 3.7 )

    Essas expresses so geradas por uma interpolao quadrtica no tempo para os

    vetores de deslocamento entre os instantes de tempo t e t + t .

    A manipulao das relaes ( 3.6 ) e ( 3.7 ) em conjunto com a equao de

    movimento gera o algoritmo apresentado na Figura 3.1. Alguns autores, a depender de

    como se procede a manipulao das equaes, apresentam diferentes variantes do

    Mtodo da Diferena Central. O algoritmo implementado neste trabalho (Figura 3.1)

    tem a forma da variante 1 apresentada por KRYSL e BELYTSCHKO (1998).

  • 18

    A. INICIALIZAES:

    1. Define o intervalo de tempo:

    crtt

  • 19

    computacional por intervalo de tempo, para esses algoritmos, consideravelmente menor

    que para os algoritmos implcitos.

    Como mencionado anteriormente, o Mtodo das Diferenas Centrais

    condicionalmente estvel, exigindo valores de intervalos de tempo relativamente

    pequenos. BATHE (1996) mostra que para o Mtodo das Diferenas Centrais o valor

    crtico para o intervalo de tempo ( crt ), o qual no deve ser ultrapassado, dado por:

    = mcr

    Tt , ( 3.8 )

    onde mT o menor perodo do sistema de elementos finitos com m graus de liberdade.

    Em problemas de propagao de onda, casos de melhor performance dos

    mtodos explcitos, comum o aparecimento de altas freqncias que no tm relao

    com a natureza fsica do problema, sendo causadas por erros provenientes do uso de

    ferramentas numricas. O Mtodo das Diferenas Centrais aqui apresentado no possui

    mecanismos para dissipao dessas freqncias.

    3.4. Algoritmos implcitos A principal caracterstica dos algoritmos implcitos, j citada anteriormente,

    reside no fato do valor da incgnita base no intervalo de tempo 1n + ser dependente do

    seu prprio valor, alm da histria ao longo dos tempos passados (COOK e outros,

    1989). Essa dependncia gera um sistema no linear de equaes representado por:

    ( ) 0x =+1n , ( 3.9 )

    onde 1n+x a varivel independente.

    A soluo do sistema ( 3.9 ) para cada passo de tempo representa a principal

    desvantagem dos algoritmos implcitos. Esse processo implica em um alto custo

    computacional por instante de tempo em comparao com os algoritmos explcitos.

    Outra conseqncia a necessidade de montagem das matrizes globais do problema,

    gerando um maior uso de memria computacional, o que pode provocar a inviabilidade

    do algoritmo em problemas de grande porte.

  • 20

    Embora existam essas desvantagens, os algoritmos implcitos tornaram-se

    populares em anlises dinmicas. Caractersticas como a estabilidade incondicional,

    presente na maioria dos algoritmos implcitos, os tornam competitivos e, para certos

    tipos de problemas, mais adequados que os algoritmos explcitos.

    Em problemas lineares a estabilidade incondicional permite a livre escolha do

    valor do incremento de tempo, ficando este apenas limitado pelos critrios de preciso

    (COOK e outros, 1989). Nos casos em que o valor de t mximo para garantia da

    estabilidade bem menor que o necessrio para preciso desejada, os algoritmos

    implcitos apresentam-se vantajosos em relao aos explcitos. Essas so geralmente

    situaes de anlises quase estticas ou de dinmica estrutural, onde as baixas

    freqncias envolvidas no problema permitem valores de incremento de tempo

    relativamente altos para uma razovel preciso. Porm, mesmo nesses casos, quando a

    anlise envolve no linearidades, a estabilidade dos algoritmos implcitos no fica

    garantida a priori, mas estes tm a tendncia de serem mais estveis que os explcitos,

    gerando menos dificuldades para a obteno da resposta do sistema.

    Quanto ao uso e implementao, nos casos lineares, os algoritmos implcitos

    no oferecem maiores dificuldades que os explcitos, porm, ao se tratar de problemas

    no lineares, a busca do equilbrio em cada instante de tempo passa a exigir tcnicas

    mais elaboradas para soluo de sistemas no lineares (COOK e outros, 1989 e

    SUBBARAJ e DOKAINISH, 1989).

    No item a seguir, apresentam-se os mtodos de soluo de sistemas no lineares

    utilizados neste trabalho.

    3.4.1. Tcnicas de soluo de sistemas no lineares Na formulao em elementos finitos para dinmica das estruturas, as variveis

    em questo no sistema de equaes ( 3.9 ) so acelerao, velocidade e deslocamento

    nodais no tempo n + 1. Porm apenas uma dessas variveis independente. Dessa

    forma, manipulando-se as relaes de dependncia, que sero tratadas posteriormente,

    tanto o deslocamento como a acelerao podem ser escolhidos. O sistema de equaes

    no lineares ( 3.9 ) torna-se ento:

    ( ) 1next1n1n1nint1n1n1n )(,)()( +++++++ += fuuufuuMu &&& , ( 3.10 )

  • 21

    se a formulao for na verso deslocamento, ou, analogamente,

    ( ) 1next1n1n1n1nint1n1n )(),()( +++++++ += fuuuufuMu &&&&&&&&& , ( 3.11 )

    se a formulao for na verso acelerao.

    Neste trabalho o Mtodo de Newton-Raphson e Gradientes Conjugados No

    Linear (PAPADRAKAKIS e GHIONIS, 1986) so utilizados na obteno da soluo do

    sistema no linear ( 3.9 ).

    Mtodo de Newton-Raphson

    Inicialmente aborda-se a formulao do Mtodo de Newton-Raphson, cuja idia

    bsica aproximar o sistema no linear em srie de Taylor e o utilizar um processo

    iterativo para obter uma soluo dentro de uma tolerncia admitida.

    Aproximando-se o sistema )( 1n +u , para a primeira ordem, tem-se:

    ( ) 0uuuuuu

    uu=

    + +++

    =+

    ++

    ++

    ++

    k1n

    1k1n

    1n

    1nk1n

    1k1n

    k1n1n

    )()()( , ( 3.12 )

    onde

    1nextk

    1nk

    1nintk

    1nk

    1n ),()( +++++ += fuufuMu &&& e ( 3.13 )

    k1n

    intk

    1n

    k1n

    k1n

    intk

    1n

    k1n

    1n

    1n

    k1n1n

    )(

    ++

    +

    ++

    +

    =+

    +

    +

    +

    =

    ++uF

    uu

    uF

    uuM

    uu

    uu

    &

    &

    &&. ( 3.14 )

    Nessas equaes, o ndice inferior indica o instante de tempo 1n + , enquanto que

    o ndice superior indica a k-sima iterao.

    Neste caso, utiliza-se como varivel independente o deslocamento.

    Analogamente, para acelerao, obtm-se:

  • 22

    ( ) 0uuuuuu

    uu=

    + +++

    =+

    ++

    ++

    ++

    k1n

    1k1n

    1n

    1nk1n

    1k1n

    k1n1n

    )()()( &&&&&&

    &&&&&&

    &&&&

    , ( 3.15 )

    onde

    1nextk

    1nk

    1nintk

    1nk

    1n ),()( +++++ += fuufuMu &&&&& e ( 3.16 )

    k1n

    k1n

    k1n

    intk

    1n

    k1n

    k1n

    int

    1n

    1n

    k1n1n

    )(

    +

    +

    ++

    +

    +=+

    +

    +

    +=

    ++uu

    uf

    uu

    uf

    Muu

    uu &&&&

    &

    &&&

    &&

    &&&&

    . ( 3.17 )

    O sistema linearizado tradicionalmente denominado sistema efetivo e

    representado por:

    k1n

    k1n

    k1n +++ = fuK ou ( 3.18 )

    k1n

    k1n

    k1n +++ = fuK && , ( 3.19 )

    sendo

    k1n1n

    1n

    1nk1n

    )(

    ++ =+

    ++

    =

    uuuuK , ( 3.20 )

    k1n1n

    1n

    1nk1n

    )(

    ++ =+

    ++

    =

    uuuuK

    &&&&&&

    &&e ( 3.21 )

    ),( k 1nk

    1nintk

    1n1nextk

    1n +++++ = uufuMff &&& . ( 3.22 )

    onde, k 1n +K a matriz de rigidez efetiva na verso deslocamento da formulao, k

    1n +K

    a matriz de rigidez efetiva na verso acelerao e k 1n +f o vetor de foras efetivo.

  • 23

    Nas equaes ( 3.14 ) e ( 3.17 ), o termo k1n

    int

    +

    uf representa a variao das foras

    internas com os deslocamentos, sendo geralmente denominado de matriz de rigidez

    tangente ( k 1n+Kt ). Da mesma forma, o termo k1n

    int

    +

    uf&

    representa a variao das foras

    internas com as velocidades, sendo portanto denominado matriz de amortecimento

    tangente ( k 1n+Ct ). No caso de anlise linear, as matrizes de rigidez e amortecimento

    tangentes permanecem constantes. A denominao tangente para essas matrizes perde

    o sentido, passando assim a serem representadas respectivamente por K e C . A matriz

    de rigidez efetiva passa a ser expressa na seguinte forma:

    KuuC

    uuMtK +

    +

    =

    +

    +

    +

    ++ k

    1n

    k1n

    k1n

    k1nk

    1n&&&

    ou ( 3.23 )

    k1n

    k1n

    k1n

    k1nk

    1n+

    +

    +

    ++

    +

    +=

    uuK

    uuCMtK

    &&&&

    &. ( 3.24 )

    Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear

    O Mtodo dos Gradientes Conjugados pode ser visto como um problema de

    minimizao de uma funo contnua )(f x cujo gradiente possa ser calculado

    (PAPADRAKAKIS e GHIONIS, 1986). O vetor x que minimiza essa funo equivale

    ao vetor soluo do sistema no linear de equaes:

    0xg =)( , ( 3.25 )

    onde )(xg o gradiente de )(f x , que, considerando a formulao em elementos finitos

    para dinmica das estruturas, toma a forma:

    ( ) 1next1n1n1nint1n1n1n )(,)()( +++++++ += FuuuFuuMug &&& . ( 3.26 )

  • 24

    Nas equaes seguintes deste item omitem-se os subscritos que indicam o tempo

    1n + para tornar a notao mais leve.

    A estratgia para minimizao da funo escalar consiste na busca sucessiva de

    mnimos em dadas direes. A Figura 3.2 ilustra as etapas desse processo.

    Figura 3.2 Estratgia do Mtodo dos Gradientes Conjugados.

    A trajetria na qual se realiza a busca pelo mnimo dada pela linha que passa

    por ku e percorre a direo kp :

    kkk1k puu +=+ , ( 3.27 )

    sendo k o escalar que leva o ponto ku ao mnimo de )(f x na direo kp , ou seja,

    que minimiza )(f kkk pu + .

    No Mtodo dos Gradientes Conjugados, o vetor direo de busca 1k +p

    expresso por:

    kk1k1k pgp += ++ , ( 3.28 )

    Ponto de partida

    Direo de busca

    Direo de busca

    Mnimo na direo 1p

    Mnimo na direo 2p 3u

    1u1p

    2p2u

  • 25

    sendo k um escalar que define a nova direo de busca e )( 1k1k ++ = ugg .

    SHEWCHUK (1994) apresenta em seu trabalho uma descrio detalhada das

    caractersticas do Mtodo dos Gradientes Conjugados.

    Alguns autores apresentam sugestes para valores de k , cuja melhor escolha

    permanece como alvo de investigaes. PAPADRAKAKIS e GHIONIS (1986) fazem

    comparaes entre as expresses de Fletcher-Reeves, Polak-Ribire e Soreson. Neste

    trabalho opta-se pela expresso sugerida por SORENSON (1969), dada por:

    ( )( )k1kTk

    k1kT1kk

    ggp

    ggg

    =

    +

    ++, ( 3.29 )

    Definida a direo de busca, o mnimo na trajetria ( 3.27 ) obtido buscando-se

    anular a derivada direcional da funo escalar ( )xf , ou seja:

    0)(f)(f1kT

    1k

    1k1k=

    =

    +

    +

    ++ uuuu ou ( 3.30 )

    0)()(f kT1k1k

    ==

    ++

    pugu . ( 3.31 )

    Substituindo o valor de 1k +u em ( 3.31 ), tem-se a seguinte equao:

    0)( kkkTk =+ pugp . ( 3.32 )

    Observa-se na equao ( 3.32 ) que no h uma expresso explcita para k , ou

    seja, uma soluo analtica da equao no linear acima descrita. Neste trabalho, opta-se

    inicialmente por utilizar uma ferramenta numrica para clculo de zero de funo e,

    como uma segunda alternativa, por adotar uma aproximao linear da funo gradiente,

    obtm-se uma expresso explcita para k .

    No primeiro caso, utilizam-se tcnicas de ordem zero para determinao de zero

    de funo. A tcnica utilizada consiste em uma combinao dos mtodos da bisseo,

  • 26

    secante e interpolao quadrtica inversa (MATLAB, 2000), encontrando o zero de uma

    funo de uma varivel, dentro de um intervalo no qual a funo muda de sinal. Caso o

    intervalo no seja conhecido, o prprio algoritmo se encarrega de encontr-lo. Neste

    caso, conhece-se um ponto de partida prximo do qual um intervalo vlido

    investigado.

    Observa-se que, ao se calcular o zero da funo ( 3.32 ), no necessria a

    montagem da matriz de rigidez do problema, j que essa equao envolve apenas o

    clculo do gradiente, dado na equao de movimento ( 3.26 ).

    No segundo caso, a funo gradiente na direo kp aproximada por:

    += 0d

    )(d)0()( ggg ou ( 3.33 )

    +

    == 0

    k

    dd)()0()(

    k

    uu

    ggguu

    , ( 3.34 )

    o que resulta em:

    kkTk

    kTkk

    pHp

    gp= , ( 3.35 )

    onde kH a hessiana da funo )(f x avaliada em ku , ou seja,

    k

    )(kuuu

    ugH=

    = . ( 3.36 )

    Observa-se que nesse segundo caso necessria a determinao da hessiana de

    )(f x , que em termos de dinmica estrutural significa a montagem da matriz de rigidez

    efetiva, apresentada na equao ( 3.20 ).

    Na Figura 3.3 apresenta-se o algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados

    No Linear.

  • 27

    A. INICIALIZAES:

    1. Inicializa o vetor 1u (valor inicial de partida do processo iterativo) 2. Inicializa a direo de busca:

    )( 11 ugp =

    B. INICIAM-SE AS ITERAES: ( k = 1, 2, ... )

    1. Calcula k , soluo de:

    0)( kkkTk =+ pugp

    2. Calcula novo ponto

    kkk1k puu +=+ 3. Calcula novo gradiente

    )( 1k1k ++ = ugg 4. Calcula nova direo de busca

    ( )( )k1kTk

    k1kT1kk

    ggp

    ggg

    =

    +

    ++

    kk1k1k pgp += ++ 5. Se no convergiu, volta para B.1

    C. FIM

    Figura 3.3 Algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear.

    Observa-se que o passo B.5 na Figura 3.3 consiste em realizar um teste de

    convergncia, cujo critrio abordado no item 3.6 que trata das medias de erros

    utilizadas neste trabalho.

    3.4.2. Algoritmos da famlia Newmark Dentre as famlias de algoritmos de integrao, a famlia Newmark

    (NEWMARK, 1959) possui os mais populares algoritmos de integrao. Consiste

    basicamente em expressar as velocidades e deslocamentos segundo aproximaes por

    diferenas finitas no domnio do tempo, dadas por:

  • 28

    ( )[ ]1nn2

    nn1n 2212tt ++ +

    ++= uuuuu &&&&& e ( 3.37 )

    ( )[ ]1nnn1n 1t ++ ++= uuuu &&&&&& , ( 3.38 )

    Os parmetros e determinam propriedades de estabilidade e preciso dos

    mtodos. HUGHES (1987) apresenta uma anlise de estabilidade para os mtodos da

    famlia Newmark, para problemas lineares, colocando que se

    212 , ( 3.39 )

    os algoritmos so incondicionalmente estveis.

    Muitos mtodos conhecidos podem ser gerados a partir de particularizaes das

    expresses ( 3.37 ) e ( 3.38 ). A Tabela 3.1 apresenta alguns desses mtodos e suas

    caractersticas. Outras informaes sobre cada mtodo em particular podem ser

    encontradas em literaturas tradicionais como HUGHES (1987), COOK e outros (1989),

    BATHE (1996) entre outros. Neste trabalho adota-se a Regra Trapezoidal devido sua

    estabilidade incondicional, garantida para anlises lineares.

    Tabela 3.1 Mtodos da famlia Newmark.

    MTODO TIPO CONDIO DE ESTABILIDADE

    ORDEM DE PRECISO

    Acelerao Mdia (Regra Trapezoidal) implcito 4

    1 21 Incondicional 2

    Acelerao Linear implcito 61

    21 condicional 2

    Fox-Goodwin implcito 121

    21 condicional 2

    Diferena Central explcito 0 21 condicional 2

    As equaes ( 3.37 ) e ( 3.38 ) em conjunto com a equao de equilbrio ( 2.9 ) ,

    representada tambm pelo sistema no linear ( 3.9 ), formam um sistema com trs

    equaes e trs incgnitas ( 1n +u , 1n +u& , 1n +u&& ), considerando que os estados nos tempos

  • 29

    passados so conhecidos. Vrias so as estratgias para a soluo desse sistema, sendo

    as verses acelerao e deslocamento as mais tradicionais.

    Na verso acelerao, como esta considerada a varivel independente, utilizam-

    se as equaes ( 3.37 ) e ( 3.38 ) tal como foram apresentadas:

    ( ) ( )[ ]1nn2

    nn1n1n 2212tt +++ +

    ++= uuuuuu &&&&&&& e ( 3.40 )

    ( ) ( )[ ]1nnn1n1n 1t +++ ++= uuuuu &&&&&&&& . ( 3.41 )

    Utilizando-se a verso da linearizao do sistema no linear ( 3.9 ) que considera

    a acelerao como varivel independente, equao ( 3.15 ), substituem-se as equaes

    ( 3.40 ) e ( 3.41 ) na expresso da matriz efetiva ( 3.17 ), obtendo-se:

    MCtKtK ++= +++k

    1nk

    1n2k

    1n tt . ( 3.42 )

    Observa-se que se for utilizado o Mtodo das Diferenas Centrais ( 0= ) e as

    matrizes de massa e amortecimento forem diagonais, o sistema efetivo perde o seu

    acoplamento.

    Quando a estratgia considerada admite o deslocamento como varivel

    independente, obtm-se expresses de velocidade e acelerao em funo do

    deslocamento atravs da manipulao das equaes ( 3.40 ) e ( 3.41 ), resultando em:

    ( ) ( )1n1n1n1n1n ~t~

    +++++

    += uuuuu && e ( 3.43 )

    ( ) ( )1n1n21n1n~

    t1

    ++++

    = uuuu&& , ( 3.44 )

    onde

    ( ) n2nn1n 21t21t~ uuuu &&& ++=+ e ( 3.45 )

  • 30

    ( ) nn1n 1t~ uuu &&&& +=+ . ( 3.46 )

    Substituindo-se as equaes ( 3.43 ) e ( 3.44 ) na expresso da matriz efetiva

    ( 3.14 ), obtm-se:

    MCtKtK 2k

    1nk

    1nk

    1nt

    1t

    +

    += +++ . ( 3.47 )

    O algoritmo implementado neste trabalho utiliza esta ltima verso e est

    apresentado na Figura 3.4.

  • 31

    A. INICIALIZAES:

    1. Define o intervalo de tempo t

    2. Define o os valores para as constantes e .

    3. Inicializa os vetores 0u e 0v (condies iniciais)

    4. Inicializa a matriz de massa ( M ). 5. Calcula o vetor de foras desequilibradas:

    ( )00int0ext0 ,uuffr &= 6. Calcula:

    01

    0 rMu=&&

    B. PARA CADA INCREMENTO DE TEMPO:

    1. Incrementa o tempo: ttt n1n +=+

    2. Calcula o vetor de foras externas:

    1next +f

    3. Calcula o preditor de deslocamento:

    ( ) n2nn1n 21t21t~ uuuu &&& ++=+

    4. Calcula o preditor de velocidade:

    ( ) nn1n 1t~ uuu &&&& +=+ 5. Soluciona o sistema no linear:

    ( ) 0u =+1n 6. Calcula os valores de velocidade e acelerao:

    ( )1n1n1n1n ~t~

    ++++

    += uuuu &&

    ( )1n1n21n ~t1

    +++ = uuu&&

    7. Volta para B.1

    C. FIM

    Figura 3.4 Algoritmo de Newmark verso deslocamento.

    3.5. Tcnica elemento por elemento

    Problemas formulados atravs do Mtodo dos Elementos Finitos recaem na

    soluo de um sistema de equaes ordinrias, linear ou no linear, a depender do

    problema tratado. Em anlise dinmica de estruturas, o uso de algoritmos explcitos,

    com matrizes de massa e amortecimento diagonais, gera um desacoplamento do sistema

  • 32

    de equaes, evitando-se a montagem das matrizes e dos vetores globais da estrutura.

    Essa a principal caracterstica da tcnica elemento por elemento, a obteno da

    soluo do sistema de equaes sem que tenham sido montados os vetores e matrizes

    globais da estrutura. Observa-se que essa caracterstica proporciona uma razovel

    economia de memria computacional em problemas de larga escala, pois evita

    redundncia de armazenamento de informaes, tornando-se uma das principais

    vantagens da tcnica (JOUGLARD e COUTINHO, 1998).

    Os mtodos elemento por elemento foram introduzidos por HUGHES e outros

    (1983) e ORTIZ e outros (1983) e posteriormente vrios outros autores fizeram

    contribuies ao tema como BELYTSCHKO (1984), WINGET e HUGHES (1985),

    WATHEN (1989), entre outros. HUGHES e outros (1983) elaboraram uma tcnica que,

    atravs de aproximaes, evita a inverso das matrizes globais da soluo do sistema de

    equaes efetivo em problemas lineares onde a matriz de massa diagonal.

    medida que mais pesquisadores passaram a utilizar essa tcnica, abordagens

    diferentes foram dadas, mas todas visando a obteno da soluo do sistema de

    equaes (lineares ou no lineares) gerado pela formulao em elementos finitos sem a

    montagem das matrizes e vetores globais. Em geral, tem-se por objetivo transformar

    operaes que envolvam as solues desses sistemas em produtos de matrizes por

    vetores e produtos escalares entre vetores comuns nos clculos locais dos elementos.

    Nos mtodos implcitos, a soluo do sistema de equaes no lineares acoplado

    apresenta-se como a principal barreira tcnica elemento por elemento. A escolha do

    mtodo de soluo desse sistema passa a ser um importante fator, facilitando ou

    dificultado o uso da tcnica. Quando o sistema de equaes no lineares linearizado

    (soluo pelo mtodo de Newton-Raphson), recai-se na soluo de um sistema de

    equaes lineares em cada passo do processo iterativo. Uma das alternativas para esse

    caso utilizar um algoritmo iterativo para soluo do sistema de equaes lineares,

    como, por exemplo, o mtodo dos gradientes conjugados, j que nas suas operaes

    dominam os produtos de matrizes por vetores e produtos escalares entre vetores. Uma

    outra alternativa essa a otimizao do mtodo dos gradientes conjugados no linear.

    Cada uma dessas tcnicas ser detalhada a seguir.

  • 33

    3.5.1. Formulao elemento por elemento em algoritmos explcitos Nos algoritmos explcitos, poucas alteraes so necessrias para a aplicao da

    tcnica elemento por elemento. Nesses algoritmos necessita-se apenas da montagem do

    vetor de foras desequilibradas:

    ),( 1n1nint1next1n ++++ = uuffr & , ( 3.48 )

    que pode ser gerado a partir de contribuies individuais de cada elemento,

    =

    ++ =nelem

    1e1ne1n rr , ( 3.49 )

    onde er o vetor de foras desequilibradas do elemento, expandida para o sistema

    global, sendo dado por:

    eTee rLr = , ( 3.50 )

    onde eL a matriz de incidncia cinemtica do elemento e er o vetor de foras

    desequilibradas local do elemento, com dimenso localglbn x 1. O smbolo glbn

    significa o nmero de graus de liberdade, ora global, da estrutura, ora local, do elemento

    individualmente.

    Essas alteraes so realizadas no itens A.4 e B.3 do algoritmo do Mtodo das

    Diferenas Centrais apresentado na Figura 3.1.

    3.5.2. Formulao elemento por elemento em algoritmos implcitos Devido soluo do sistema de equaes no lineares em cada passo de tempo, o

    uso da tcnica elemento por elemento requer algumas alteraes na estrutura

    tradicionalmente utilizada no caso dos algoritmos implcitos. Apresentam-se neste item

    algumas estratgias aplicadas ao algoritmo de Newmark, sem que haja perda de

    generalidade.

  • 34

    Para soluo do sistema no linear, gerado pela formulao em elementos finitos,

    consideram-se o Mtodo de Newton-Raphson e o Mtodo dos Gradientes Conjugados

    No Linear, ambos abordados no item 3.4.1. Como cada mtodo tem suas

    caractersticas particulares, estratgias diferentes so usadas em cada um.

    Mtodo de Newton-Raphson

    No Mtodo de Newton-Raphson a principal dificuldade para o uso direto da

    tcnica elemento por elemento a soluo do sistema linearizado acoplado em cada

    incremento de tempo, ou seja, a soluo do sistema efetivo:

    k1n

    k1n

    k1n +++ = fuK . ( 3.51 )

    Torna-se necessrio o uso de tcnicas de soluo de sistemas lineares que sejam

    adaptveis tcnica elemento por elemento. O uso do Mtodo dos Gradientes

    Conjugados para sistemas lineares apresenta-se como uma alternativa vivel para esse

    fim. A Figura 3.5 apresenta o algoritmo desse mtodo. Nesta figura foram omitidos os

    ndices que indicam o tempo 1n + com o objetivo de simplificar a notao.

  • 35

    A. INICIALIZAES:

    1. Inicializa o vetor 1u (valor inicial do processo iterativo) 2. Inicializa o gradiente:

    1111 fuKg = 3. Inicializa a direo de busca:

    11 gp =

    B. INICIAM-SE AS ITERAES: ( k = 1, 2, ... )

    1. Realiza a busca linear

    kkTk

    kTkk

    pKp

    pg=

    2. Calcula novo ponto de mnimo

    kkk1k puu += + 3. Calcula novo gradiente

    1k1k1k1k ++++ = fuKg 4. Calcula nova direo de busca

    kTk

    1kT1kk

    gg

    gg ++=

    kk1k1k pgp += ++

    5. Se no convergiu, volta para B.1

    C. FIM

    Figura 3.5 Algoritmo do Mtodo dos Gradientes Conjugados Linear

    Assim como na Figura 3.3, o passo B.5 da Figura 3.5 consiste em realizar um

    teste de convergncia, cujo critrio abordado no item 3.6 que trata das medias de erros

    utilizadas neste trabalho.

    A expresso para clculo da direo de busca a sugerida por FLETCHER AND

    REEVES (1964).

    Observa-se que as operaes realizadas durante a soluo iterativa do sistema

    envolve apenas produtos matriz-vetor ou vetor-vetor. Os itens A.2 e B.3 da Figura 3.5

  • 36

    apresentam a formao semelhante ao apresentado para os mtodos explcitos. O item

    B.1 apresenta uma multiplicao vetor-matriz-vetor, dada por:

    kkTkkaux pKp= , ( 3.52 )

    sendo kaux um escalar auxiliar, correspondente ao denominador de k .

    A matriz efetiva kK pode ser expressa como um somatrio das contribuies de

    cada elemento, ou seja:

    =

    =nelem

    1e

    ke

    k KK , ( 3.53 )

    onde keK a matriz efetiva do elemento, expandida para o sistema global, sendo dada

    por:

    eke

    Te

    ke

    LKLK = , ( 3.54 )

    onde keK a matriz efetiva local do elemento, com dimenso localglbn x localglbn .

    O produto ( 3.52 ), omitindo-se os sobrescritos k para simplificar a notao, pode

    ser ento escrito como:

    pKp =

    =nelem

    1ee

    T aux ou ( 3.55 )

    =

    =nelem

    1eee

    Te

    aux pKp ( 3.56 )

    onde ep corresponde ao vetor p tendo anuladas as posies dos graus de liberdade que

    no esto conectados ao elemento e.

    No necessrio armazenar a matriz keK que tem a mesma dimenso da matriz

    global. Uma alternativa ao produto ( 3.56 ) :

  • 37

    =

    =nelem

    1eee

    Teaux pKp ( 3.57 )

    onde ep corresponde apenas aos elementos no nulos do vetor ep , tendo a dimenso

    localglbn x 1, e eK a matriz de rigidez do elemento.

    O Apndice A apresenta um exemplo numrico de multiplicao matriz-vetor e

    vetor-matriz-vetor elemento por elemento, aplicado a um sistema de molas.

    Uma forma alternativa bastante popular do Mtodo dos Gradientes Conjugados

    o uso de pr-condicionadores, que aumentam significativamente a eficincia do mtodo

    (PAPADRAKAKIS e DRACOPOULOS, 1991).

    Basicamente o Mtodo dos Gradientes Conjugados Pr-Condicionados (PCG)

    consiste em resolver o sistema de equaes ( 3.18 ) transformado em:

    k1n

    1k1n

    k1n

    1+

    ++

    = FPuKP , ( 3.58 )

    sendo P a matriz de pr-condicionamento. Essa matriz deve ser tal que o nmero de

    condio do produto k 1n1

    + KP seja o mais prximo possvel da unidade, assim, quanto

    mais semelhante a matriz P for de k 1n+K , mais prximo da unidade ser o nmero de

    condio do produto acima citado. Outra caracterstica necessria que um sistema

    linear cuja matriz de coeficientes P deve precisar de poucas iteraes para ser

    resolvido. Sendo assim, a escolha da matriz de pr-condicionamento deve satisfazer, na

    medida do possvel, essas condies. Ao contrrio da matriz efetiva, a montagem da

    matriz de pr-condicionamento como um somatrio de contribuies de cada elemento

    no to natural.

    Vrios autores, como PAPADRAKAKIS e DRACOPOULOS (1991), abordam o

    tema pr-condicionamento e tcnicas elemento por elemento. Neste trabalho essa

    estratgia no tratada. Utiliza-se o mtodo PCG, na sua formatao tradicional, ou

    seja, montando-se as matrizes globais do sistema, assim como o mtodo direto de

    soluo de sistemas lineares, apenas para fins de comparao com o Mtodo dos

  • 38

    Gradientes Conjugados sem pr-condicionamento. A matriz de precondicionamento

    utilizada uma matriz diagonal, formada pela diagonal da matriz k 1n +K .

    Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear

    Uma segunda alternativa soluo do sistema de equaes no lineares

    resultante da formulao o uso do Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear

    (NLCG), como abordado no item 3.4.1.

    Neste caso, as alteraes so bastante semelhantes s realizadas no tpico

    anterior, quando se utiliza a forma linear do Mtodo dos Gradientes Conjugados.

    Considerando o contedo da Figura 3.3, que descreve o algoritmo do NLCG,

    observa-se que os itens A.2, B.1 e B.3 podem ser calculados elemento por elemento.

    Nos itens A.2 e B.3 so realizadas avaliaes do vetor gradiente, que so

    montados de forma semelhante ao vetor resduo nos algoritmos explcitos.

    A depender de como realizada a busca linear, o item B.1 pode apresentar o

    clculo do gradiente (como feito nos itens A.2 e B.3) e a multiplicao deste pelo vetor

    direo de busca, ou seja, avaliao da expresso:

    0)( kkkTk =+ pugp , ( 3.59 )

    ou pode apresentar as mesmas operaes da verso linear do Mtodo dos Gradientes

    Conjugados:

    kkTk

    kTk

    pHp

    gp= , ( 3.60 )

    na qual o denominador pode ser calculado elemento por elemento, tal como mostrado

    no tpico anterior.

    A realizao da busca linear atravs da soluo da equao ( 3.59 ) tem a

    vantagem de ser necessrio apenas calcular o gradiente da funo )(f x durante todo o

    processo.

  • 39

    As demais operaes do mtodo no envolvem matrizes e podem ser realizadas

    com os vetores no sistema global, sem grande perda de memria.

    3.6. Medidas de erro em anlise dinmica Devido ao uso de um processo iterativo para soluo do sistema no linear de

    equaes, torna-se necessria a definio de um critrio de convergncia. Este critrio

    tem a finalidade de julgar se os erros gerados pela resposta esto dentro de uma faixa

    aceitvel ou no, ou seja, dentro de uma tolerncia admitida. Para tanto, necessria

    uma medida dos erros gerados pela resposta aps cada iterao.

    BELYTSCHKO e HUGHES (1983) sugerem um critrio baseado no vetor de

    foras desequilibradas, no qual a norma desse vetor deve ser menor que uma dada

    frao da norma de um vetor de foras de referncia:

    1nreffora

    1nk

    1nintk

    1nk

    1next e +++++ ffuMf && , ( 3.61 )

    onde forane o valor da tolerncia admitida para esse critrio e 1nref +f a norma do

    vetor de foras de referncia.

    COOK e outros (1989) definem que o vetor de foras de referncia dado por:

    1next1nref ++ = ff . ( 3.62 )

    Porm, da forma como acima apresentado, necessrio garantir que o vetor de

    foras externas no seja nulo. Assim, para considerar os casos em que no h aplicao

    de cargas externas, neste trabalho utiliza-se a seguinte adaptao do vetor de foras de

    referncia sugerido por BELYTSCHKO e HUGHES (1983):

    1nextnint1nref ++ += fff . ( 3.63 )

    Alm de necessitar de um critrio de convergncia, preciso tambm avaliar a

    qualidade da resposta gerada pelo algoritmo, j que, em sua maioria, as anlises

    dinmicas no lineares no tm resposta analtica.

  • 40

    Uma alternativa o uso da equao ( 3.61 ), sendo o erro dado pelo valor de forane . Porm, como o critrio de convergncia utiliza essa condio, os erros obtidos

    assim seriam sempre da ordem de grandeza da tolerncia admitida, mascarando a real

    qualidade da resposta.

    COOK e outros (1989) sugerem, como forma de medida de qualidade da

    resposta em problemas no lineares, a checagem do balano energtico em cada instante

    de tempo, dado por:

    1next1n1nint WTW +++ =+ . ( 3.64 )

    onde 1nintW + o trabalho das foras internas, 1nT + a energia cintica e 1nextW + e o

    trabalho das foras externas.

    Essa igualdade expressa que o trabalho das foras externas convertido parte em

    energia cintica e parte em trabalho das foras internas que pode conter energia

    potencial elstica armazenada e energia dissipada por algum agente plstico ou viscoso.

    O erro, nesse caso, seria dado por:

    nextnnintenergnnextnnint WTWeWTW +++ , ( 3.65 )

    adaptao da expresso sugerida por COOK e outros (1989), representando a relao

    entre o erro em energia (lado esquerdo da equao) e a energia total do sistema (lado

    direito da equao).

    O trabalho interno dado por:

    +

    + +=

    t)1n(

    tnnintnint1nint dtWWW & , ( 3.66 )

    sendo

    nintTnnintW fu&& = . ( 3.67 )

  • 41

    Aproximando-se a integral atravs da regra trapezoidal, tem-se:

    ( )1nintT 1nnintTnnint1nint 2tWW +++ +

    += fufu && . ( 3.68 )

    O trabalho externo obtido de forma anloga ao trabalho interno, sendo,

    portanto:

    ( )1nextT 1nnextTnnext1next 2tWW +++ +

    += fufu && . ( 3.69 )

    A energia cintica e calculada atravs da seguinte expresso:

    ( )nTnn 21T uMu &&= . ( 3.70 )

    Para algoritmos explcitos o erro energne no deve ultrapassar o valor 05,0 , j que

    isso gera instabilidades no algoritmo. No caso dos implcitos essa medida de erro

    apresenta a mesma dificuldade, para medir a qualidade da resposta, que a medida forane ,

    em fora, apresenta. Opta-se ento por uma medida relativa, para a qual necessria

    uma resposta considerada precisa o suficiente para que seja usada como base de

    comparao.

    O erro relativo ento definido como:

    ( )refnn

    refnrel

    nmax

    eu

    uu = , ( 3.71 )

    onde ( )refnmax u representa a chamada norma do mximo de um vetor coluna (BOLDRINI et al, 1980).

    A resposta analtica tomada como base nos casos lineares, quando possvel.

    Nos casos no lineares, avalia-se uma faixa de valores provvel para o crt do mtodo

    das Diferenas Centrais, ento obtm-se uma resposta com um t bem menor que o

  • 42

    crtico. Nos exemplos deste trabalho so indicados os intervalos de tempo usados nas

    simulaes base.

    Usa-se rele como uma medida global da qualidade da resposta de um dado

    algoritmo para fins de comparao.

  • 43

    Captulo 4

    4. Exemplos e Aplicaes

    4.1. Introduo Neste captulo apresentam-se quatro exemplos que ilustram algumas

    caractersticas dos algoritmos estudados. O primeiro utiliza um sistema massa-mola

    para validao das implementaes realizadas, comparando-se com a soluo por

    superposio modal do sistema. O segundo exemplo apresenta o desempenho dos

    algoritmos no caso em que se utiliza um elemento de prtico tridimensional, para

    simular uma viga engastada sujeita a grandes deslocamentos. O terceiro apresenta uma

    anlise quase esttica de um cabo horizontal, apoiado nas extremidades, onde se observa

    o comportamento dos algoritmos na obteno de uma configurao esttica e diante de

    trs discretizaes da malha de elementos finitos. O ltimo exemplo trata de uma

    anlise dinmica, no linear, onde se avaliam as respostas dos algoritmos para um cabo

    que pendula por alguns segundos. So usadas duas discretizaes, trs e cinco

    elementos, analisando-se as respostas para cada uma.

    Nesses exemplos, avaliam-se duas estratgias: soluo do sistema no linear

    usando o mtodo de Newton-Raphson em conjunto com o mtodo dos gradientes

    conjugados para soluo do sistema linearizado e soluo do sistema no linear usando

    o mtodo dos gradientes conjugados no linear, sendo a busca linear ora realizada

    analiticamente, ora iterativamente. Utilizam-se algumas formataes tradicionais, como

    o uso do mtodo direto e gradientes conjugados pr-condicionados para soluo do

    sistema linearizado, para fins de comparao com as trs anteriormente citadas. Alm

    desses, utiliza-se o Mtodo das Diferenas Centrais, explcito, como alternativa aos

    implcitos.

    Nesses exemplos, os algoritmos estudados so identificados atravs de uma

    nomenclatura simplificada que est apresentada na Tabela 4.1.

  • 44

    Tabela 4.1 Nomenclatura simplificada para os algoritmos estudados. Soluo do sistema no linear usando Newton-Raphson com soluo do sistema linearizado pelo mtodo direto. NR - Mtodo direto

    Soluo do sistema no linear usando Newton-Raphson com soluo do sistema linearizado pelo mtodo dos gradientes conjugados pr-condicionados.

    NR - PCG

    Soluo do sistema no linear usando Newton-Raphson com soluo do sistema linearizado pelo mtodo dos gradientes conjugados (convencional).

    NR - CG

    Soluo do sistema no linear usando gradientes conjugados com busca linear realizada iterativamente. NLCG - Busca linear iterativa

    Soluo do sistema no linear usando gradientes conjugados com busca linear realizada analiticamente. NLCG - Busca linear analtica

    Mtodo das diferenas centrais Diferena central

    Em todos os exemplos aqui apresentados utiliza-se um computador com

    processador Pentium IV, 2 Gigahertz com 256 Megabytes de memria RAM.

    4.2. Aplicao linear: sistema massa-mola Trata-se de um caso de vibrao livre de um sistema massa-mola com dois graus

    de liberdade. O seu objetivo principal a aferio dos algoritmos estudados, para um

    caso simples de anlise linear.

    O sistema discreto est apresentado na Figura 4.1.

    Figura 4.1 Sistema massa-mola.

    A Tabela 4.2 apresenta as propriedades do sistema utilizado neste exemplo.

    Tabela 4.2 Propriedades do sistema massa-mola. RIGIDEZES MASSAS

    k1 = 1 m1 = 1 k2 = 10 m2 = 1 k3 = 1

    O tempo de anlise de 84 segundos, sujeito s condies iniciais indicadas na

    Tabela 4.3.

    u1 u2

    m1 m2k1 k2 k3

  • 45

    Tabela 4.3 Condies iniciais do sistema massa-mola.

    )0(u1 = 0 )0(u1& = 1 )0(u 2 = 0 )0(u 2& = 0

    A mxima freqncia do sistema de 4,58 rad/s, o que limita o valor do

    incremento de tempo para o Mtodo das Diferenas Centrais em: 0,4364s. Opta-se por

    observar a resposta obtida em quatro intervalos de tempo, sendo dois maiores que o

    crtico para o MDC e dois menores que este. Os valores adotados esto apresentados na

    Tabela 4.4.

    Tabela 4.4 Valores dos intervalos de tempo.

    1t = 0,7 s

    2t = 0,6 s

    3t = 0,4 s

    4t = 0,01 s

    As Figuras 4.2, 4.3, 4.4 e 4.5 apresentam a histria de deslocamentos do grau de

    liberdade 1 obtida pela integrao numrica atravs dos algoritmos estudados, para os

    valores de intervalo de tempo acima mencionados, em comparao com a soluo

    gerada pelo mtodo da superposio modal, que neste exemplo, por se ter utilizado

    todos os modos de vibrao do sistema, referenciado como sendo a resposta analtica.

  • 46

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to u

    1

    Resposta AnalticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.2 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,7s .

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to u

    1

    Resposta AnalticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.3 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,6s .

  • 47

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to u

    1

    Resposta AnalticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.4 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,4s .

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to u

    1

    Resposta AnalticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.5 Histria de deslocamento do grau de liberdade 1 para t = 0,01s .

    Observando-se estas quatro figuras, no possvel distinguir as solues geradas

    pelos algoritmos implcitos estudados. De fato, neste exemplo, esses algoritmos

    apresentaram a mesma soluo.

    As Figuras 4.2 e 4.3 no apresentam a soluo gerada pelo Mtodo das

    Diferenas Centrais pois este divergiu durante o processo de soluo, comportamento

  • 48

    esperado para algoritmos explcitos quando o intervalo de tempo no obedece

    condio de estabilidade ( crtt ).

    Para facilitar a observao da qualidade da resposta gerada pelos algoritmos,

    apresenta-se graficamente, na Figura 4.6, os erros relativos para os quatro intervalos de

    tempo analisados. A Tabela 4.5 apresenta os valores numricos correspondentes

    Figura 4.6.

    0,0

    2,0

    4,0

    6,0

    8,0

    10,0

    12,0

    14,0

    1 2 3 4Variao do intervalo de tempo

    Erro

    rela

    tivo

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    Figura 4.6 Representao grfica dos valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.5 Valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado. ERRO RELATIVO SOLUO POR SUPERPOSIO MODAL

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t 3t 4t NR - Mtodo direto 13,26 12,07 8,16 0,64 NR - PCG 13,26 12,07 8,16 0,64 NR - CG 13,26 12,07 8,16 0,64 NLCG - Busca linear analtica 13,26 12,07 8,16 0,64 NLCG - Busca linear iterativa 13,26 12,07 8,16 0,64 Diferena central - - 8,00 0,32

    - O algoritmo divergiu.

    Observa-se o crescimento do erro a medida que o valor do t maior. Esse

    comportamento constata o fato de que apesar da estabilidade dos algoritmos implcitos,

  • 49

    nestes casos o valor do intervalo de tempo fica a critrio da preciso necessria para os

    objetivos da anlise realizada.

    Um fator importante na anlise dos algoritmos o tempo gasto para simulao.

    Na Figura 4.7 e na Tabela 4.6 apresentam-se, graficamente e numericamente, os valores

    obtidos em cada algoritmo para cada intervalo de tempo.

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    1 2 3 4

    Variao do intervalo de tempo

    Tem

    po d

    e si

    mul

    ao

    (s)

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    211,78

    Figura 4.7 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.6 Valores dos tempos de simulao (s) para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t 3t 4t NR - Mtodo direto 0,98 1,37 1,42 34,61 NR - PCG 1,16 1,22 1,58 42,24 NR - CG 1,03 1,12 1,43 38,77 NLCG - Busca linear analtica 1,14 1,30 1,58 42,95 NLCG - Busca linear iterativa 4,10 4,84 7,04 211,78 Diferena central - - 1,04 23,42

    - O algoritmo divergiu.

    Observa-se inicialmente o aumento do tempo de anlise com a reduo do valor

    do incremento de tempo nos algoritmos estudados, em especial para o NLCG - Busca

    linear iterativa. Constata-se tambm que quando a condio de estabilidade do MDC

  • 50

    satisfeita, seu desempenho, com relao ao tempo de anlise, superior aos demais

    algoritmos.

    Uma outra caracterstica comumente observada na avaliao de algoritmos de

    integrao, que possuem processos iterativos, a mdia de iteraes por intervalo de

    tempo. A Figura 4.8 e a Tabela 4.7 apresentam esses valores.

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    1 2 3 4Variao do intervalo de tempo

    Nm

    ero

    de it

    era

    es

    por i

    nter

    valo

    de

    tem

    po

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.8 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.7 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t 3t 4t NR - Mtodo direto 1,03 1,03 1,02 1,00 NR - PCG 1,03 1,03 1,02 1,00 NR - CG 1,03 1,03 1,02 1,00 NLCG - Busca linear analtica 1,99 1,99 2,00 2,00 NLCG - Busca linear iterativa 1,99 1,99 2,00 2,00

    Observa-se que devido linearidade deste exemplo, o nmero de iteraes

    muito prximo da unidade, para os algoritmos que usam o Mtodo de Newton-Raphson,

    pois o sistema linearizado para este exemplo no tem aproximaes. Os algoritmos que

    utilizam o Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear realizam duas iteraes

    devido s suas aproximaes.

  • 51

    4.3. Viga engastada Este exemplo tem por objetivo ilustrar o uso dos algoritmos estudados em

    problemas no lineares quase estticos. Trata-se de uma viga engastada na extremidade

    esquerda, sujeita a uma fora momento aplicada na extremidade direita. A Figura 4.9

    apresenta o desenho esquemtico da viga acima citada e a discretizao utilizada.

    (a) (b)

    Figura 4.9 (a) Desenho esquemtico e (b) discretizao da viga analisada.

    O modelo composto por dez elementos de prtico tridimensionais,

    desenvolvidos por PACOSTE e ERIKSSON (1997). As propriedades fsicas e

    geomtricas esto apresentadas na Tabela 4.8.

    Tabela 4.8 Propriedades fsicas e geomtricas da viga. Comprimento da viga (L) 10 m Mdulo de elasticidade longitudinal (E) 2,05 108 kN/m2 Mdulo de elasticidade transversal (G) E/2 Momento de inrcia (I) 0,083 m4 Momento de inrcia polar (J) I rea da seo transversal (circular) (A) 1 m2

    Densidade mssica () 7,83 Mg/m3

    A matriz de massa aqui utilizada diagonalizada, possibilitando as comparaes

    dos resultados com o algoritmo explcito da Diferena Central.

    O momento na extremidade aplicado linearmente com o tempo como

    apresentado na Figura 4.10. O tempo de aplicao de 0,5s, o mesmo de durao da

    anlise.

    M(t)

    ...

    M(t)

  • 52

    Figura 4.10 Curva de aplicao da fora momento.

    O momento de referncia oM apresentado na Figura 4.10 foi obtido a partir da

    soluo esttica do caso abordado neste exemplo. O clculo desse valor pode ser

    encontrado no Apndice C deste trabalho.

    Utilizou-se o intervalo de tempo de 110-5 s e o algoritmo NR Mtodo Direto

    para obter a soluo de referncia e se avaliar as mximas freqncias do sistema a fim

    de se obter o intervalo de tempo crtico para o mtodo da Diferena Central. A Figura

    4.11 apresenta a variao das mximas freqncias do sistema ao longo do tempo de

    anlise. O intervalo de tempo crtico encontrado de 1,4910-4s.

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.51.331

    1.332

    1.333

    1.334

    1.335

    1.336

    1.337

    1.338

    1.339

    1.34

    1.341x 10

    4

    Mx

    imas

    freq

    nc

    ias

    Tempo

    Figura 4.11 Mximas freqncias do sistema ao longo da anlise.

    Os intervalos de tempo utilizados nas anlises esto apresentados na Tabela 4.9.

    A tolerncia permitida para a soluo do sistema no linear de 110-8.

    LIE2Mo

    =

    =

    1o t

    tM)t(M

    1t

    M(t)

    t

  • 53

    Tabela 4.9 Valores dos intervalos de tempo.

    1t = 110-2 s

    2t = 510-4 s

    3t = 1,4510-4

    Os resultados das anlises so apresentados em grficos tempo versus

    deslocamento vertical. Apresentam-se, alm dos resultados dos algoritmos estudados, a

    soluo de referncia e a soluo esttica para fins de comparao.

    Para o primeiro intervalo de tempo os algoritmos NR - Mtodo direto, NLCG -

    Busca linear iterativa, NLCG - Busca linear analtica e Diferena central divergiram.

    Apresenta-se na Figura 4.12 a soluo obtida para 2101t = s.

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    a ex

    trem

    idad

    e di

    reita

    (m)

    RefernciaSoluo estticaNR-PCGNR-CG

    Figura 4.12 Deslocamento vertical da extremidade direita da viga para 2101t = s.

    A Figura 4.13 apresenta os resultados para os demais intervalos de tempo.

    Observa-se no detalhe a proximidade das respostas geradas pelos algoritmos, tornando-

    se difcil distingui-los visualmente na Figura 4.13 (a) e (b).

  • 54

    (a) (b)

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    a ex

    trem

    idad

    e di

    reita

    (m)

    RefernciaSoluo estticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    a ex

    trem

    idad

    e di

    reita

    (m)

    RefernciaSoluo estticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    (c) (d)

    0.185 0.1855 0.186 0.1865 0.187 0.1875 0.188 0.1885 0.189 0.1895 0.197.33

    7.331

    7.332

    7.333

    7.334

    7.335

    7.336

    7.337

    7.338

    7.339

    7.34

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    a ex

    trem

    idad

    e di

    reita

    (m)

    RefernciaSoluo estticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    0.185 0.1855 0.186 0.1865 0.187 0.1875 0.188 0.1885 0.189 0.1895 0.19

    7.33

    7.331

    7.332

    7.333

    7.334

    7.335

    7.336

    7.337

    7.338

    7.339

    7.34

    Tempo

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    a ex

    trem

    idad

    e di

    reita

    (m)

    RefernciaSoluo estticaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.13 Deslocamento vertical da extremidade esquerda da viga para (a) 4105t = e (b) 41045,1t = s; Detalhe do deslocamento vertical da extremidade

    esquerda da viga para (c) 4105t = e (d) 41045,1t = s.

    Para melhor anlise da qualidade das respostas obtidas, apresentam-se na Figura

    4.14 e na Tabela 4.10 os erros relativos resposta gerada com o intervalo de tempo de

    110-5 s.

    rea do detalhe

    rea do detalhe

  • 55

    0,000

    0,002

    0,004

    0,006

    0,008

    0,010

    0,012

    0,014

    0,016

    0,018

    0,020

    0,022

    0,024

    0,026

    0,028

    0,030

    1 2 3Variao do intervalo de tempo

    Erro

    rela

    tivo NR-Mtodo direto

    NR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    ~ 0,40

    Figura 4.14 Representao grfica dos valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.10 Valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado.

    ERRO RELATIVO SOLUO COM 5101t = S ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t 3t

    NR - Mtodo direto * 0,0068 0,0027 NR - PCG 0,3975 0,0068 0,0027 NR - CG 0,4071 0,0068 0,0027 NLCG - Busca linear analtica * 0,0261 0,0042 NLCG - Busca linear iterativa * 0,0266 0,0037 Diferena central * * 0,0016

    * O algoritmo divergiu.

    O tempo de simulao de cada algoritmo est apresentado na Figura 4.15 e na

    Tabela 4.11. Observa-se que o grupo de algoritmos que utilizam o Mtodo de Newton-

    Raphson para soluo do sistema no linear apresenta menor tempo de simulao que o

    grupo que utiliza o Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear.

  • 56

    0

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    700

    800

    900

    1000

    1 2 3Variao do intervalo de tempo

    Tem

    po d

    e co

    mpu

    ta

    o (s

    ) NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    2.081,35 17.230,00

    7.168,84 70.571,0

    Figura 4.15 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.11 Valores dos tempos de simulao (s) para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t 3t NR - Mtodo direto * 250,89 437,97 NR - PCG 93,71 254,90 441,14 NR - CG 105,67 264,30 468,96 NLCG - Busca linear analtica * 2081,35 7168,84 NLCG - Busca linear iterativa * 17200,00 70570,98 Diferena central * * 192,15

    * O algoritmo divergiu.

    Comparando-se a mdia de iteraes por intervalo de tempo, observa-se na

    Figura 4.16 e na Tabela 4.8 que esse nmero cai para os algoritmos NR - Mtodo direto,

    NR - PCG e NR - CG. Porm, para os algoritmos NLCG - Busca linear analtica e

    NLCG - Busca linear iterativa, a mdia permanece alta.

  • 57

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    1 2 3Variao do intervalo de tempo

    Nm

    ero

    de it

    era

    es

    por i

    nter

    valo

    de

    tem

    poNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.16 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.12 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t 3t NR - Mtodo direto * 2,00 1,02 NR - PCG 13,90 2,00 1,02 NR - CG 14,02 2,00 1,03 NLCG - Busca linear analtica * 15,00 15,00 NLCG - Busca linear iterativa * 15,00 15,00

    * O algoritmo divergiu.

    4.4. Cabo tracionado Este exemplo trata do caso de um cabo, inicialmente tracionado e na posio

    horizontal, tendo as extremidades esquerda e direita presas e seu peso prprio aplicado

    gradualmente de forma que o carregamento seja quase esttico. A matriz de massa

    utilizada diagonal, possibilitando comparaes das respostas obtidas pelos algoritmos

    implcitos e o explcito (mtodo da diferena central). O objetivo deste exemplo

    verificar a performance desses mtodos na obteno da configurao esttica no linear

    de cabos para 3 nveis de discretizao da malha.

    A Figura 4.17 apresenta a malha de elementos finitos utilizada e a Tabela 4.13,

    as propriedades fsicas e geomtricas do cabo.

  • 58

    Figura 4.17 Desenho esquemtico da malha de elementos finitos.

    Tabela 4.13 Propriedades fsicas e geomtricas do cabo. Comprimento do cabo 500 m Dimetro* 0,214 m

    rea da seo transversal (circular)* 4D2 m2

    Peso especfico linear* 3,1977 kN/m Peso especfico linear submerso* 2,7742 kN/m Mdulo de elasticidade longitudinal* 510907,3 kN/m2 Tenso inicial 104 kN/m2

    * Dados obtidos em SILVEIRA (2001).

    Observa-se que neste exemplo as propriedades fsicas e geomtricas utilizadas se

    referem a um tipo de linha de ancoragem utilizada nos exemplos de SILVEIRA (2001).

    Por se tratar de um caso de cabo que geralmente est submerso quando solicitado,

    utilizou-se o valor do seu peso submerso, ao invs do seu peso ao ar.

    4.4.1. Obteno da configurao esttica Nesta anlise utiliza-se a malha de 12 elementos finitos de trelia, cuja

    configurao inicial est apresentada na Figura 4.17. O peso prprio foi aplicado

    linearmente at um dado instante de tempo, a partir do qual seu valor permanece

    constante. Inicialmente, avalia-se qual o tempo necessrio de aplicao do carregamento

    para que se obtenha uma configurao quase esttica. A menor freqncia da estrutura

    tem valor de 0,2082 rad/s, levando a um perodo de 30,2s. Adota-se um tempo de 1000s

    para aplicao do peso prprio, bem superior ao maior perodo natural da estrutura, e

    mais 200s para observao da configurao da estrutura sem aumento do carregamento,

    totalizando 1200s de anlise. A Figura 4.10 ilustra a aplicao do peso prprio.

    12 ...

  • 59

    Figura 4.18 Curva de aplicao do peso prprio.

    Para execuo do algoritmo da Diferena Central, necessria uma avaliao das

    mximas freqncias do modelo. A maior freqncia registrada de 9,88 rad/s, levando

    a um valor crtico de intervalo de tempo de 0,2024s. Opta-se por executar uma anlise

    de referncia, alm das anlises com cada algoritmo, com um intervalo de tempo no

    valor de 0,01s. Devido ao pequeno valor do intervalo de tempo para anlise de

    referncia, utiliza-se o Mtodo da Diferena Central na sua execuo.

    Os valores de intervalo de tempo utilizados em cada algoritmo esto

    apresentados na Tabela 4.14.

    Tabela 4.14 Valores dos intervalos de tempo. ALGORITMO UTILIZADO t (s)

    NR Mtodo direto 8,0 NR PCG 8,0 NR CG 8,0 NLCG Busca linear analtica 8,0 NLCG Busca linear iterativa 8,0 Diferena Central 0,2 Diferena Central - referncia 0,01

    A histria de deslocamentos verticais do n central, obtida pelos algoritmos

    estudados, est apresentada na Figura 4.19.

    Wsub

    W(t)

    t1000s 1200s

  • 60

    0 200 400 600 800 1000 1200-80

    -70

    -60

    -50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    o n

    cen

    tral (

    m)

    RefernciaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.19 Histria de deslocamentos verticais do n central.

    Para melhor visualizao dos resultados, apresenta-se na Figura 4.20, um detalhe

    dos deslocamentos em um intervalo de tempo aps a aplicao total do peso prprio.

    1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060-77

    -76.5

    -76

    -75.5

    -75

    -74.5

    -74

    -73.5

    -73

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    o n

    cen

    tral (

    m)

    RefernciaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.20 Detalhe dos deslocamentos verticais do n central.

    rea do detalhe

  • 61

    Apesar do carregamento ser aplicado lentamente, a estrutura apresenta oscilaes

    ao final da anlise (Figura 4.20). Este fato decorrente da falta de amortecimento no

    modelo estudado.

    Observa-se (Figura 4.20) que os algoritmos implcitos no integram

    corretamente as maiores freqncias da estrutura, porm, obtm resposta satisfatria

    considerando que o objetivo encontrar uma configurao esttica para o cabo.

    Apresenta-se na Figura 4.21 a deformada do cabo para todas as anlises

    realizadas.

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    50

    100

    150

    Deformada do cabo para pequenos deslocamentos.

    metros

    met

    ros

    RefernciaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    Figura 4.21 Deformada do cabo no tempo final de anlise.

    A proximidade das solues dificulta a visualizao de cada uma

    individualmente. Portanto, apresenta-se na Figura 4.22 um detalhe da deformada no n

    central, onde pode-se distinguir as solues dos algoritmos NR - CG, NLCG - Busca

    linear iterativa, NLCG - Busca linear analtica e Diferena Central, alm da anlise de

    referncia. As solues dos algoritmos NR - Mtodo direto e NR - PCG esto

    encobertas pela soluo do algoritmo NR CG. Observa-se que os deslocamentos esto

    em torno de 75,5m enquanto que as diferenas entre as deformadas so menores que

    50cm, ou seja, menores que 0,66% do deslocamento total nesse n.

  • 62

    249.6 249.8 250 250.2 250.4 250.6 250.8-76

    -75.9

    -75.8

    -75.7

    -75.6

    -75.5

    -75.4

    -75.3

    -75.2

    -75.1

    -75Deformada do cabo para pequenos deslocamentos.

    metros

    met

    ros

    RefernciaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    Figura 4.22 Detalhe da deformada no n central.

    A Figura 4.23 apresenta algumas deformadas do decorrer da anlise e a

    deformada final.

    Figura 4.23 Etapas da anlise.

  • 63

    Os tempos de simulao e as mdias de iteraes por intervalo de tempo de cada

    algoritmo esto apresentados na Figura 4.24.

    (a) (b)

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    110

    120

    Tem

    po d

    e si

    mul

    ao

    (s)

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    783,77

    01

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    Md

    ia d

    e ite

    ra

    es p

    or in

    terv

    alo

    de te

    mpo

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.24 (a) Tempos de simulao; (b) Mdia de iteraes por intervalo de tempo.

    Observa-se que os algoritmos implcitos que usam o mtodo de Newton-

    Raphson para soluo do sistema no linear apresentam tempo de simulao bem

    inferior que os demais algoritmos, incluindo-se o Mtodo da Diferena Central. Este

    ltimo s foi ultrapassado pelo algoritmo NLCG - Busca linear iterativa.

    Observando-se a Figura 4.24 (b), a mdia de iteraes por intervalo de tempo dos

    algoritmos que usam Gradientes Conjugados No Linear apresenta-se bem superior aos

    demais algoritmos implcitos, justificando o maior tempo gasto por esses mtodos.

    Os valores numricos dos tempos de simulao e mdias de iteraes,

    representados graficamente na Figura 4.24, esto apresentados na Tabela 4.15.

    Tabela 4.15 Tempos de simulao e mdias de iteraes por intervalo de tempo. ALGORITMO UTILIZADO TEMPOS (S) MDIAS DAS ITERAES

    NR Mtodo direto 16,46 2,61 NR PCG 18,89 2,61 NR CG 18,46 2,61 NLCG Busca linear analtica 75,61 14,91 NLCG Busca linear iterativa 783,77 14,91 Diferena Central 94,58 -

  • 64

    4.4.2. Influncia do refinamento da malha de elementos finitos

    Aps analisar uma malha com 12 elementos, avalia-se qual o desempenho dos

    algoritmos NR - PCG e NR - CG, em relao ao NR - Mtodo direto, diante do aumento

    do nmero de elementos do modelo. Comparam-se os resultados para as malhas de 12,

    120 e 480 elementos.

    Com a alterao da malha as freqncias mximas do modelo foram alteradas.

    COOK e outros (1989) apresentam uma forma de clculo estimado da mxima

    freqncia da estrutura, baseado na velocidade de propagao da onda no elemento

    linear, como apresentado na equao:

    Lc2

    max = , ( 4.1 )

    onde

    =

    Ec , ( 4.2 )

    sendo c a velocidade de propagao da onda, L o comprimento do elemento, E o

    mdulo de elasticidade longitudinal e a densidade do material. COOK e outros (1989)

    mostram que a mxima freqncia para um modelo formado por elementos finitos

    limitada pela mxima freqncia individual dos elementos que a constituem.

    Apresentam-se na Tabela 4.16 as freqncias estimadas da forma acima citada, alm

    dos valores obtidos atravs do clculo numrico das freqncias naturais. Observam-se

    poucas diferenas entre as duas formas utilizadas.

    Tabela 4.16 Freqncias mximas. Mtodo 12 elem. 120 elem. 480 elem.

    Autovalores 9,88 99,66 398,66 Estimativa analtica 9,97 99,65 398,58

    O refinamento da malha de elementos finitos gera mudanas na ordem de

    grandeza das freqncias, o que altera o valor mximo para o incremento de tempo do

  • 65

    algoritmo da diferena central. A Tabela 4.17 apresenta os valores crticos para o

    intervalo de tempo do Mtodo da Diferena Central.

    Tabela 4.17 Valores crticos de intervalo de tempo. 12 elem. 120 elem. 480 elem.

    crt (s) 2,0210-1 2,010-2 5,0210-3

    O valor do intervalo de tempo utilizado nos algoritmos implcitos para a malha

    de 12 elementos permanece o mesmo, 8s. A Figura 4.25 apresenta os deslocamentos

    verticais do n central gerados pelo algoritmo NR - PCG para as trs malhas avaliadas.

    (a) (b)

    0 200 400 600 800 1000 1200-80

    -70

    -60

    -50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al n

    o n

    cen

    tral (

    m)

    12 elementos120 elementos480 elementos

    1000 1020 1040 1060 1080 1100 1120 1140-76.5

    -76

    -75.5

    -75

    -74.5

    12 elementos120 elementos480 elementos

    Figura 4.25 (a) Deslocamentos verticais do n central para o algoritmo NR PCG; (b) Detalhe dos deslocamentos verticais do n central.

    A Tabela 4.18 apresenta os tempos de simulao e mdias de iteraes por

    intervalo de tempo para as algoritmos iterativos.

    Tabela 4.18 Anlise geral do desempenho dos algoritmos iterativos. TEMPOS (S) MDIAS ALGORITMO UTILIZADO 120 elem. 480 elem. 120 elem. 480 elem.

    NR Mtodo direto 169,33 731,30 2,92 3,23 NR PCG 234,74 1774,1 2,92 3,23 NR CG 284,87 * 3,77 * * O algoritmo divergiu.

    JOUGLARD e COUTINHO (1998) classificam como problemas de grande porte

    aqueles com mais de 100000 elementos. Assim sendo, apesar do aumento do sistema,

    rea do detalhe

  • 66

    de 22 para 958 equaes, ou de 12 para 480 elementos, o problema no caracterizado

    ainda como de grande porte, o que justifica o fato do mtodo direto apresentar-se mais

    eficiente que os iterativos neste exemplo.

    Um outro fato que se observa a divergncia do algoritmo dos Gradientes

    Conjugados sem precondicionamento. Apresenta-se na Tabela 4.19 o mximo nmero

    de condio das matrizes efetivas para cada malha, indicando o grau de

    condicionamento em cada caso.

    Tabela 4.19 Mximo nmero de condio da matriz efetiva. 12 elem. 120 elem. 480 elem.

    condN 415,05 4204,0 670000,0

    Quanto mais prximo da unidade estiver o valor do nmero de condio, melhor

    o seu condicionamento. Observa-se que o alto valor de condN aliado falta do uso do

    precondicionador, para 480 elementos, levou divergncia do algoritmo NR - CG.

    Nessas condies, o algoritmo dos Gradientes Conjugados Pr-Condicionados

    apresenta-se mais eficiente e robusto que o mtodo tradicional.

    4.5. Pndulos Este um exemplo no qual um cabo, cujo nico carregamento seu prprio

    peso, posicionado inicialmente em uma configurao parablica tendo sua

    extremidade direita solta no instante inicial da anlise.

    A matriz de massa utilizada diagonal, fazendo o cabo comportar-se como um

    pndulo composto por n hastes. O objetivo deste exemplo avaliar o comportamento

    dos algoritmos estudados diante de problemas dinmicos com elevado grau de no

    linearidade.

    A Figura 4.17 apresenta as malhas de elementos finitos utilizadas, com a

    indicao da numerao dos elementos e dos graus de liberdade livres. As propriedades

    fsicas e geomtricas do cabo esto apresentadas na Tabela 4.13, sendo neste caso o

    valor do comprimento L igual a 10m.

  • 67

    (a) (b)

    Figura 4.26 Desenho esquemtico da malha de elementos finitos.

    4.5.1. Pndulo Triplo Inicialmente analisa-se a malha com trs elementos finitos, utilizando-se o

    algoritmo NR - Mtodo direto para avaliar as mximas freqncias do sistema,

    verificando-se qual o valor crtico de t para o Mtodo das Diferenas Centrais. O

    histrico de mximas freqncias assim obtido est apresentado na Figura 4.27, para

    s01,0t = . A tolerncia admitida nos algoritmos que utilizam um processo iterativo

    para soluo do sistema no linear de 10-6.

    0 5 10 15 20 2592

    94

    96

    98

    100

    102

    104

    106

    108

    Tempo (s)

    Mx

    imas

    freq

    nc

    ias

    (rad/

    s)

    Figura 4.27 Histria das mximas freqncias para o pndulo triplo.

    1 3

    8 6

    2 4

    5 7

    10 9

    L

    1 3

    6

    2 4 5

    L

  • 68

    O maior valor entre as mximas freqncias foi de 107,2 rad/s, levando a um

    valor mximo de 0,0187s para o incremento de tempo do Mtodo das Diferenas

    Centrais. Avaliam-se ento os valores de intervalos de tempo iguais a 0,01s e 0,001s.

    A fim de se avaliar o grau de no linearidade do problema, apresenta-se tambm,

    na Figura 4.28 a variao das mnimas freqncias do sistema com o tempo.

    0 5 10 15 20 250

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    Tempo (s)

    Mn

    imas

    freq

    nc

    ias

    (rad/

    s)

    Figura 4.28 Histria das mnimas freqncias para o pndulo triplo.

    Observa-se grande variao de freqncias em curtos intervalos de tempo,

    indicando que este um problema com alto grau de no linearidade.

    As respostas geradas com os valores de incremento de tempo, antes

    apresentados, so comparadas com a soluo obtida pelo MDC para um intervalo de

    tempo de 0,0001s, considerada como referncia.

    A Figura 4.29 apresenta a resposta da anlise realizada com o algoritmo NR -

    Mtodo direto para s01,0t = em alguns instantes de tempo iniciais.

  • 69

    Figura 4.29 Etapas da anlise do pndulo triplo.

    Esta resposta pode ser melhor avaliada atravs da observao do histrico de

    deslocamentos nos ns no modelo. Observa-se nas Figuras 4.28 e 4.29 os

    deslocamentos horizontal e vertical do n extremo da direita.

  • 70

    0 5 10 15 20 25-25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    RefernciaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.30 Deslocamento horizontal na extremidade direita para s01,0t = .

    0 5 10 15 20 25-12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al (m

    )

    RefernciaNR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.31 Deslocamento vertical na extremidade direita para s01,0t = .

    Observa-se a coerncia entre os resultados, de forma que no se distingue

    facilmente as respostas de cada algoritmo.

    Executam-se novamente as simulaes com os diversos algoritmos estudados,

    porm com o segundo intervalo de tempo, de valor 0,001s. Comparando-se os

    resultados do algoritmo NR - CG para os dois valores de intervalo de tempo, observa-se

  • 71

    na Figura 4.32 e no detalhe apresentado na Figura 4.33 que a reduo do intervalo de

    tempo aproximou a resposta obtida da soluo de referncia.

    Figura 4.32 Comparao entre as respostas obtidas com o algoritmo NR - CG para dois intervalos de tempo.

    23.7 23.75 23.8 23.85 23.9 23.95 24-19.62

    -19.6

    -19.58

    -19.56

    -19.54

    -19.52

    -19.5

    -19.48

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    Refernciadt=0,01sdt=0,001s

    Figura 4.33 Detalhe da comparao entre as respostas obtidas com o algoritmo NR - CG para dois intervalos de tempo.

    0 5 10 15 20 25-25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )Refernciadt=0,01sdt=0,001s

    rea do detalhe

  • 72

    A Figura 4.34 e a Tabela 4.5 apresentam os erros relativos para os algoritmos

    estudados, para cada intervalo de tempo utilizado. Observa-se a razovel reduo nos

    erros com a diminuio do t , demonstrando a convergncia dos vrios algoritmos

    para uma nica resposta.

    0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,8

    1 2

    Variao do intervalo de tempo

    Erro

    rela

    tivo

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    Figura 4.34 Representao grfica dos valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.20 Valores dos erros relativos em cada intervalo de tempo analisado. ERRO RELATIVO SOLUO COM 0001,0t = S

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t NR - Mtodo direto 1,19 0,09 NR - PCG 1,19 0,09 NR - CG 1,19 0,09 NLCG - Busca linear analtica 1,19 0,09 NLCG - Busca linear iterativa 1,19 0,09 Diferena Central 1,70 0,05

    Um importante fator observado o tempo de anlise gasto pelos algoritmos, que

    so apresentados graficamente na Figura 4.35 e numericamente na Tabela 4.21.

    Observa-se o natural aumento do tempo de anlise com a reduo do intervalo de

    tempo, para cada algoritmo. Entre os algoritmos, o grupo que utiliza o mtodo de

    Newton-Raphson para soluo do sistema no linear permanece mais eficiente que o

    grupo que utiliza o Mtodo dos Gradientes Conjugados No Linear.

  • 73

    0306090

    120150180210240270300330360390420450480510540570600

    1 2Variao do intervalo de tempo

    Tem

    po d

    e co

    mpu

    ta

    o (s

    )NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    2.011,71 1.700,98 12.029,2

    Figura 4.35 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.21 Valores dos tempos de anlise (s) para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t NR - Mtodo direto 38,61 395,13 NR - PCG 43,04 398,46 NR - CG 42,07 396,78 NLCG - Busca linear analtica 254,64 1700,98 NLCG - Busca linear iterativa 2011,71 12029,20 Diferena Central 15,15 148,74

    - O algoritmo no foi executado.

    A Figura 4.36 e a Tabela 4.22 apresentam esses resultados, onde observa-se a

    reduo da mdia com a diminuio do intervalo de tempo.

  • 74

    0,0

    1,0

    2,0

    3,0

    4,0

    5,0

    6,0

    7,0

    8,0

    9,0

    10,0

    11,0

    1 2Variao do intervalo de tempo

    Nm

    ero

    de it

    era

    es

    por i

    nter

    valo

    de

    tem

    po

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.36 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.22 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t NR - Mtodo direto 1,08 1,00 NR - PCG 1,08 1,00 NR - CG 1,08 1,00 NLCG - Busca linear analtica 10,37 6,61 NLCG - Busca linear iterativa 9,30 5,97

    - O algoritmo no foi executado.

    Utilizando-se este modelo de cabo com trs elementos finitos, e o algoritmo NR-

    CG, realiza-se uma comparao entre a implementao do Mtodo dos Gradientes

    Conjugados que utiliza as matrizes globais e a implementao elemento por elemento

    desse mtodo.

    A Tabela 4.23 apresenta uma comparao dos tempos de anlise que cada

    implementao utiliza.

    Tabela 4.23 Comparao entre implementaes para o algoritmo NR-CG. IMPLEMENTAO UTILIZADA TEMPO

    NR CG (global) 41,64 NR CG (ExE) 56,58

  • 75

    Por se tratarem do mesmo algoritmo, as implementaes apresentam solues

    idnticas, ou seja, o erro relativo entre elas nulo. As diferenas surgem apenas na

    quantidade de memria utilizada durante o processamento e no tempo de execuo. A

    implementao ExE executa loops a mais do que a implementao que utiliza as

    matrizes globais. Nesses loops, necessrios sempre que forem executadas operaes do

    tipo multiplicao vetor-matriz, realizam-se serialmente processos que poderiam ser

    executados paralelamente.

    4.5.2. Pndulo Quntuplo Avalia-se tambm um cabo discretizado com cinco elementos, formando um

    pndulo quntuplo. Neste caso, a estrutura tem as configuraes apresentadas na Figura

    4.37 nos instantes iniciais da simulao.

    Figura 4.37 Etapas da anlise do pndulo quntuplo.

    Na Figura 4.38 apresentam-se os deslocamentos vertical e horizontal na

    extremidade direita do cabo, para os dois intervalos avaliados. Observa-se que, para

    essa discretizao e esses valores de incrementos de tempo, os algoritmos no

    convergem para uma nica soluo, resultado diferente do obtido para trs elementos.

  • 76

    Neste caso, admite-se a mesma tolerncia (10-6) do caso com trs elementos para os

    algoritmos que utilizam um processo iterativo para soluo do sistema no linear.

    (a) (b)

    0 5 10 15 20 25-25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    0 5 10 15 20 25

    -12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    Tempo (s)D

    eslo

    cam

    ento

    hor

    izon

    tal (

    m)

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    (c) (d)

    0 5 10 15 20 25-25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    0 5 10 15 20 25-12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena Central

    Figura 4.38 (a) e (b) Deslocamentos horizontal e vertical na extremidade direita para s01,0t = ; (c) e (d) Deslocamentos horizontal e vertical na extremidade direita para

    s001,0t = .

    Realiza-se um teste com os algoritmos NR - Mtodo direto e Diferena central

    com um intervalo de tempo menor que os dois anteriores e de valor s0001,0t = . O

    resultado obtido est apresentado na Figura 4.39.

  • 77

    (a) (b)

    0 5 10 15 20 25-25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    NR-Mtodo diretoDiferena Central

    0 5 10 15 20 25-12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al (m

    )

    NR-Mtodo diretoDiferena Central

    Figura 4.39 (a) e (b) Deslocamentos horizontal e vertical na extremidade direita para s0001,0t = .

    Constata-se que, mesmo utilizando-se o intervalo de tempo pequeno, as respostas

    continuam apresentando discordncia, principalmente nos ltimos 10s de simulao.

    Observando o histrico de mximas freqncias para esta ltima discretizao,

    Figura 4.40, tem-se que a maior freqncia registrada tem valor de 187,5 rad/s. Esse

    histrico registra maiores variaes das mximas freqncias e um aumento de cerca de

    75% na maior freqncia em relao malha de trs elementos.

    0 5 10 15 20 25160

    165

    170

    175

    180

    185

    190

    Tempo (s)

    Mx

    imas

    freq

    nc

    ias

    (rad/

    s)

    Figura 4.40 Histria no tempo da mximas freqncias.

  • 78

    Apresenta-se tambm o histrico de mnimas freqncias, onde observa-se o

    aumento da variabilidade dos valores em relao ao caso do pndulo triplo, indicando

    um maior nvel de no linearidade deste caso.

    0 5 10 15 20 250

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    Tempo (s)

    Mn

    imas

    freq

    nc

    ias

    (rad/

    s)

    Figura 4.41 Histria no tempo da mnimas freqncias.

    Os tempos de anlise neste segundo caso foram maiores que no primeiro e esto

    apresentados na Figura 4.42 e na Tabela 4.24.

  • 79

    0306090

    120150180210240270300330360390420450480510540570600

    1 2Variao do intervalo de tempo

    Tem

    po d

    e si

    mul

    ao

    (s)

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativaDiferena central

    4.302,723.368,64

    24.728,60

    Figura 4.42 Representao grfica dos tempos de simulao para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.24 Valores dos tempos de anlise para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t NR Mtodo direto 85,75 563,47 NR PCG 95,07 569,57 NR CG 93,75 573,24 NLCG Busca linear analtica 514,50 3368,64 NLCG Busca linear iterativa 4302,72 24728,60 Diferena central 21,42 205,91

    Observa-se tambm um aumento na mdia de iteraes por intervalo de tempo

    em comparao com a malha de trs elementos. Os resultados esto apresentados na

    Figura 4.43 e na Tabela 4.25.

  • 80

    0,0

    1,5

    3,0

    4,5

    6,0

    7,5

    9,0

    10,5

    12,0

    13,5

    15,0

    1 2Variao do intervalo de tempo

    Nm

    ero

    de it

    era

    es

    por i

    nter

    valo

    de

    tem

    po

    NR-Mtodo diretoNR-PCGNR-CGNLCG-Busca linear analticaNLCG-Busca linear iterativa

    Figura 4.43 Representao grfica das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    Tabela 4.25 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada intervalo de tempo analisado.

    ALGORITMO UTILIZADO 1t 2t NR - Mtodo direto 1,76 1,00 NR - PCG 1,75 1,00 NR - CG 1,76 1,00 NLCG - Busca linear analtica 13,71 8,63 NLCG - Busca linear iterativa 13,03 8,00

    Com relao s medidas de erros, para essa malha, no possvel encontrar uma

    configurao de referncia, pois mesmo usando s0001,0t = , as respostas dos

    algoritmos NR - Mtodo direto e Diferena central no geram respostas coincidentes

    (Figura 4.39). Como os valores dos intervalos de tempo so bastante pequenos, avaliam-

    se os erros do algoritmo explcito utilizado, Diferena Central, atravs da medida do

    balano energtico. Esses valores esto apresentados na Figura 4.44.

  • 81

    (a) (b)

    7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8-2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7x 10-3

    Tempo

    Res

    duo

    - E

    nerg

    ia

    dt=1e-2s

    (c) (d)

    0 5 10 15 20 250

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2x 10-3

    Tempo

    Res

    duo

    - E

    nerg

    ia

    dt=1e-3s

    7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7x 10-5

    Tempo

    Res

    duo

    - E

    nerg

    ia

    dt=1e-3s

    (e) (f)

    0 5 10 15 20 250

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2x 10-5

    Tempo (s)

    Res

    duo

    - E

    nerg

    ia

    dt=1e-4s

    7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7x 10-7

    Tempo (s)

    Res

    duo

    - E

    nerg

    ia

    dt=1e-4s

    Figura 4.44 (a), (c) e (e) Erros em energia para s01,0t = , s001,0t = e s0001,0t = ;

    (b), (d) e (f) Detalhes dos grficos (a) (c) e (e).

    Observa-se que no caso de s01,0t = , aps o oitavo segundo o erro passa a

    aumentar chegando a ultrapassar o limite de 0,05 citado por COOK e outros (1989)

    como um limite para estabilidade. O mesmo ocorre para s001,0t = e s0001,0t = ,

    0 5 10 15 20 250

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0.14

    0.16

    Tempo

    Res

    duo

    - E

    nerg

    iadt=1e-2sLimite de 0,05

    rea do detalhe

    rea do detalhe

    rea do detalhe

  • 82

    porm a ordem de grandeza do resduo para esses casos duas e quatro vezes

    respectivamente menor, no atingindo o limite de erro de 0,05.

    O fato de no se obter uma concordncia entre as respostas dos diversos

    algoritmos, para o pndulo quntuplo, demonstra que este exemplo possui caractersticas

    particulares de no linearidades que devem ser analisadas. Uma possibilidade levantada

    este caso apresentar natureza catica, caracterizando-se pela alta sensibilidade da

    resposta obtida para mnimas diferenas nas condies iniciais do problema. Essa

    possibilidade investigada ao se comparar as respostas obtidas para um mesmo

    algoritmo, porm com pequenas perturbaes nas condies iniciais. As Figuras 4.45 e

    4.46 apresentam esta comparao para o caso do algoritmo NR - Mtodo direto, onde

    observa-se o mesmo fenmeno de discordncia de respostas apresentado quando

    comparados os diferentes algoritmos estudados para condies iniciais idnticas. As

    condies iniciais utilizadas nessa comparao so apresentadas na Tabela 4.26.

    Este trabalho, porm, objetiva o estudo dos algoritmos, no sendo exploradas

    essas caractersticas, ficando esse aspecto como sugesto para outros trabalhos que

    abordem temas afins.

    Tabela 4.26 Valores das mdias de iteraes por intervalo de tempo para cada. CONDIES INICIAIS NO GRAU DE LIBERDADE

    VERTICAL NA EXTREMIDADE DIREITA uo = 0 m vo = 0 uo = 110-4 m vo = 0 uo = 110-6 m vo = 0

  • 83

    0 5 10 15 20 25-25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to h

    oriz

    onta

    l (m

    )

    uo = 0uo = 1e-4uo = 1e-6

    Figura 4.45 Deslocamento horizontal na extremidade direita para s01,0t = , usando o algoritmo NR - Mtodo direto.

    0 5 10 15 20 25-12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    Tempo (s)

    Des

    loca

    men

    to v

    ertic

    al (m

    )

    uo = 0uo = 1e-4uo = 1e-6

    Figura 4.46 Deslocamento vertical na extremidade direita para s01,0t = , usando o algoritmo NR - Mtodo direto.

  • 84

    5. Concluses

    5.1. Concluses, comentrios e sugestes

    Este trabalho tem como objetivo principal realizar um estudo acerca de

    algoritmos no lineares de integrao no tempo e estratgias elemento por elemento

    para esses algoritmos, implementando-os e avaliando seus comportamentos diante de

    casos de anlises dinmicas e quase estticas de estruturas. No decorrer deste trabalho,

    apresentam-se resultados demonstrando que esse objetivo alcanado.

    A principal contribuio deste trabalho est na gerao de conhecimento acerca

    desses algoritmos e na sua disponibilizao, estando preparados para implementaes

    futuras em ambientes de computao paralela. Os algoritmos implementados

    apresentam, nos exemplos, comportamento compatvel com o descrito pela literatura.

    Os exemplos iniciam-se com a apresentao de um caso linear simples, sistema

    massa-mola, onde as implementaes demonstram estarem aferidas para os casos

    lineares. Em seguida, aborda-se uma simulao no linear de uma viga engastada, cuja

    modelagem utiliza um elemento de prtico tridimensional. A matriz de massa aqui

    utilizada diagonal, permitindo comparaes com os resultados obtidos entre

    algoritmos implcitos e explcitos. Neste exemplo tem-se um caso de divergncia de

    algoritmos implcitos, fato que pode ocorrer por se tratar de analises no lineares. As

    respostas geradas apresentam-se coerentes com o problema avaliado.

    O terceiro exemplo apresenta um cabo tracionado, modelado por elementos de

    barra, com matriz de massa concentrada, sujeito a seu peso prprio. Neste exemplo o

    carregamento aplicado gradualmente, tratando-se de uma anlise quase esttica.

    Constata-se que, para essas classes de anlise, os algoritmos implcitos obtm boa

    performance em relao aos explcitos. Trs discretizaes so analisadas, obtendo-se

    sucesso na definio da configurao esttica do cabo. Observa-se que, apesar do

    aumento do nmero de equaes com o refinamento da malha at 480 elementos, o

    mtodo direto apresenta-se mais eficiente que os iterativos, neste exemplo. Esse

    resultado justificado pelo fato desse problema pertencer ainda classe dos problemas

    de pequeno porte, onde os mtodos diretos so mais eficientes. Uma outra caracterstica

  • 85

    observada nesse exemplo a influncia do pr-condicionamento na estabilidade do

    Mtodo dos Gradientes Conjugados, pois ao se analisar a malha com 480 elementos o

    algoritmo sem precondicionador apresenta divergncia. Isso mostra a necessidade da

    utilizao de precondicionadores nas futuras implementaes dos algoritmos elemento

    por elemento.

    O ltimo exemplo apresentado consta de uma anlise de um cabo que pendula

    durante alguns segundos. Esta uma anlise dinmica com alta no linearidade sendo

    apresentada para dois nveis de discretizao.

    Usando-se trs elementos, os algoritmos apresentam o comportamento esperado,

    convergindo para uma mesma soluo medida que o incremento de tempo era

    reduzido. Usando este exemplo, comparam-se duas implementaes do algoritmo NR-

    CG, uma que monta as matrizes globais do sistema e outra elemento por elemento.

    Constata-se que, apesar de serem o mesmo algoritmo, a implementao seqencial do

    algoritmo elemento por elemento no programa MATLAB apresenta maior custo

    computacional. Nessa implementao necessita-se de mais estruturas do tipo loops do

    que quando se utiliza a matriz global. Como todas as implementaes so realizadas no

    programa MATLAB, importante observar que esse programa apresenta melhor

    performance para operaes matriciais do que para estruturas de repetio. Ao se

    substituir multiplicaes de matrizes globais por uma srie de multiplicaes de

    pequenas matrizes (dos elementos), a performance do programa comprometida.

    Sugere-se testar a eficincia dessa implementao em um ambiente de clusters de

    computadores, realizando paralelamente essas operaes elemento por elemento e

    criao de uma classe de algoritmos de integrao para dinmica de estruturas, contendo

    as implementaes tradicionais e elemento por elemento, nas verses seqencial e

    paralela.

    No segundo nvel de discretizao, utilizam-se cinco elementos, formando-se um

    pndulo quntuplo. Assim como no primeiro caso, a matriz de massa utilizada foi

    diagonal. So testados trs valores para intervalos de tempo, porm, em todos os casos,

    as respostas geradas por cada algoritmo, a partir de determinados instantes de tempo,

    apresentam-se diferentes entre si. A dificuldade em encontrar uma nica soluo indica

    que esse problema no linear possui caractersticas de um sistema catico, gerando-se

  • 86

    diferentes solues a partir de determinado instante em virtude do diferente acmulo de

    erros de cada algoritmo.

    Por fim, sugere-se o estudo de problemas com outros tipos de no linearidades

    (fisca, contato, atrito) e restries cinemticas generalizadas, associados a algoritmos

    elemento por elemento.

  • 87

    Referncias bibliogrficas

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  • 88

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    ZIENKIEWICZ, O.C e MORGAN, K. (1983) Finite Elements and Aproximations, Jonh Wiley & Sons.

  • 89

    Apndice A

    A Exemplo numrico de multiplicao de matriz-vetor e vetor-matriz-vetor elemento por elemento

    Para facilitar a compreenso das operaes matriciais elemento por elemento

    exploradas neste trabalho, apresenta-se neste apndice um exemplo de uma estrutura

    composta por barras de rigidez ek , com o objetivo de realizar as suas operaes matriz-

    vetor e vetor-matriz-vetor explicitamente.

    A.1 Descrio do exemplo A estrutura utilizada como exemplo est apresentada na Figura A. 1. Trata-se de

    trs molas conectadas serialmente, sendo a primeira presa na extremidade esquerda.

    Figura A. 1 Estrutura de molas conectadas em srie.

    Os elementos, suas rigidezes e deslocamentos apresentam-se na Figura A. 2.

    Figura A. 2 Numerao dos elementos.

    A matriz de rigidez de cada elemento dada por:

    k1 k2 k3 u1 u2 u3

    F1 F2 F3

  • 90

    =

    1111

    keek , ( A. 1 )

    onde ek o valor numrico da cada rigidez e est apresentado na Tabela A. 1 que

    segue.

    Tabela A. 1 Valores das rigidezes dos elementos.

    1k 3

    2k 2

    3k 4

    Em cada n de cada elemento, aplica-se as seguintes cargas nodais:

    =40

    1F , ( A. 2 )

    =9

    12F e ( A. 3 )

    =35

    3F . ( A. 4 )

    Para mapear os graus de liberdade locais nos graus de liberdade globais, utiliza-

    se as seguintes matrizes de incidncia para cada elemento:

    =

    001000

    1L , ( A. 5 )

    =

    010001

    2L e ( A. 6 )

    =

    100010

    3L . ( A. 7 )

  • 91

    A matriz global do sistema dada segundo uma montagem das matrizes dos

    elementos mapeadas para as coordenadas globais. Tem-se:

    =

    =nelem

    1eee

    Te LkLK , ou seja ( A. 8 )

    =

    440462

    025K . ( A. 9 )

    Da mesma forma, o vetor de foras externas montado a partir da contribuio

    de cada elemento:

    =

    =nelem

    1ee

    TeFLF , ou seja ( A. 10 )

    =34

    5F . ( A. 11 )

    O vetor deslocamento soluo desse sistema dado por:

    FKu 1= ou ( A. 12 )

    =

    58,183,033,1

    u . ( A. 13 )

    A.1.1 Multiplicao matriz-vetor elemento por elemento As parcelas envolvidas na multiplicao elemento por elemento apresentada so

    o deslocamento e a matriz de rigidez. Portanto preciso montar o vetor dos

    deslocamentos correspondentes a cada elemento. Para tal objetivo, definem-se matrizes

    booleanas que fazem o mapeamento inverso ao apresentado anteriormente, ou seja,

  • 92

    matrizes que mapeiam os graus de liberdade globais nos graus de liberdade locais. Tem-

    se:

    =

    000010

    1Li , ( A. 14 )

    =

    001001

    2Li e ( A. 15 )

    =

    100100

    3Li . ( A. 16 )

    A fim de utilizar as matrizes e vetores dos elementos mapeadas tanto nas

    coordenadas locais como nas globais, montam-se os vetores de deslocamentos dos

    elementos nos dois sistemas coordenadas.

    Utilizando-se das matrizes de conectividade eLi , obtm-se os vetores de

    deslocamentos nodais dos elementos, nas coordenadas locais:

    ==

    33,10T

    11 uLiu , ( A. 17 )

    ==

    83,033,1T

    22 uLiu e ( A. 18 )

    ==

    58,183,0T

    33 uLiu . ( A. 19 )

    Mapeando-se esses vetores para as coordenadas globais, tem-se:

  • 93

    ==

    0033,1

    1T11 uLu , ( A. 20 )

    ==

    083,033,1

    2T22 uLiu e ( A. 21 )

    ==

    58,183,00

    3T33 uLiu . ( A. 22 )

    A primeira alternativa apresentada realizar o somatrio utilizando as matrizes e

    vetores nas coordenadas globais:

    FuKKu =

    ==

    = 34

    5

    3

    1eee . ( A. 23 )

    A segunda alternativa realizar a operao nas coordenadas locais, necessitando-

    se fazer o mapeamento em cada parcela do somatrio:

    FukLKu =

    ==

    = 34

    53

    1eee

    Te . ( A. 24 )

    Observa-se que neste ltimo caso no necessrio o armazenamento das

    matrizes, nem dos vetores de deslocamentos dos elementos, nas coordenadas globais.

    A.1.2 Multiplicao vetor-matriz-vetor elemento por elemento Uma outra operao passvel de ser realizada elemento por elemento a

    multiplicao vetor-matriz-vetor, realizada durante as iteraes do Mtodo dos

    Gradientes Conjugados entre a direo de busca, vetor p , e a hessiana, matriz H .

  • 94

    Neste exemplo, apenas para ilustrar o procedimento da operao, so

    multiplicados o vetor u e a matriz K . O resultado esperado ento:

    083,8=uKu . ( A. 25 )

    Assim como na operao de multiplicao vetor-matriz, apresenta-se primeiro o

    caso em que o vetor e a matriz esto mapeados para as coordenadas globais:

    083,825,25,0333,53

    1eeee =++==

    =uKuuKu . ( A. 26 )

    Neste caso, as parcelas do somatrio so escalares, portanto, para utilizar o vetor

    e a matriz de rigidez dos elementos nas coordenadas locais, no necessrio fazer o

    mapeamento:

    083,825,25,0333,53

    1eeee =++==

    =ukuuKu . ( A. 27 )

  • 95

    Apndice B

    B Formulao utilizada do elemento de barra

    Neste apndice apresenta-se sucintamente a formulao das matrizes de massa e

    rigidez e vetor de foras internas do elemento de barra utilizado nos exemplos que

    envolvem simulaes com cabos. Maiores informaes podem ser encontradas em

    literaturas tradicionais que tratam do Mtodo dos Elementos Finitos, como por exemplo

    COOK e outros (1989).

    B.1 Elemento de barra O elemento finito utilizado um elemento linear de barra (trelia) com quatro

    graus de liberdade de translao, conforme exposto na Figura A. 1. Este um elemento

    simples que apresenta apenas esforo normal.

    Figura B. 1 Elemento de barra.

    Para a gerao da matriz de massa, opta-se por utilizar a matriz concentrada, na

    qual a massa do elemento considerada concentrada em partculas nos ns. Sendo

    assim, a matriz de massa do elemento diagonal e dada por:

    L, A, , E u2

    u1

    u3

    u4

    x

    y

    yj

    yi

    xi xj

    i

    j

  • 96

    =

    1000010000100001

    m21

    eM , ( B. 1 )

    onde m a massa total do elemento.

    Para obteno da matriz de rigidez e vetor de foras internas utiliza-se o software

    Maple, gerando-se a seguinte seqncia de clculos:

    > restart: > with(linalg): with(codegen): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the protected name MathML has been redefined and unprotected Comprimento do elemento na configurao final: > Le := sqrt(((xj+u3)-(xi+u1))^2+((yj+u4)-(yi+u2))^2): Medida de deformao de engenharia: > eps := (Le-Lo)/Lo: Energia potencial elstica: > U := int((sigmao*(eps)+E*((eps)^2)/2)*A,L=0..Lo); U sigmao sqrt xj2 2 xj u3 2 xj 2 xj u1 u32 2 u3 2 u3 u1 2 2 u1 + + + + ((

    :=

    u12 yj2 2 yj u4 2 yj yi 2 yj u2 u42 2 u4 yi 2 u4 u2 yi2 2 yi u2 + + + + + +

    u22 + ) Lo ) Lo/12 E sqrt xj

    2 2 xj u3 2 xj 2 xj u1 u32 2 u3 2 u3 u1 + + (( +

    2 2 u1 u12 yj2 2 yj u4 2 yj yi 2 yj u2 u42 2 u4 yi 2 u4 u2 yi2 + + + + + + +

    2 yi u2 u22 + + ) Lo )2

    Lo2 A Lo

    Vetor das foras internas: > Fint := grad(U,[u1,u2,u3,u4]): Matriz de rigidez: > Kt := hessian(U,[u1,u2,u3,u4]): Gerao do cdigo computacional: > codegen[C](Fint,optimized): t1 = xj*xj; t8 = u3*u3; t13 = xi*xi; t16 = u1*u1; t17 = yj*yj; t24 = u4*u4;

  • 97

    t29 = yi*yi; t32 = u2*u2; t33 = t1+2.0*xj*u3-2.0*xj*xi-2.0*xj*u1+t8-2.0*u3*xi-2.0*u3*u1 +t13+2.0*xi*u1+t16+t17+2.0*yj*u4-2.0*yj*yi-2.0*yj*u2+t24-2.0*u4*yi-2.0*u4*u2+t29+2.0*yi*u2+t32; t34 = sqrt(t33); t35 = 1/t34; t36 = sigmao*t35; t37 = -xj-u3+xi+u1; t38 = 1/Lo; t42 = E*(t34-Lo); t43 = Lo*Lo; t45 = 1/t43*t35; t51 = -yj-u4+yi+u2; Fint[0] = (2.0*t36*t37*t38+2.0*t42*t45*t37)*A*Lo/2.0; Fint[1] = (2.0*t36*t51*t38+2.0*t42*t45*t51)*A*Lo/2.0; Fint[2] = (-2.0*t36*t37*t38-2.0*t42*t45*t37)*A*Lo/2.0; Fint[3] = (-2.0*t36*t51*t38-2.0*t42*t45*t51)*A*Lo/2.0; > codegen[C](Kt,optimized); t1 = xj*xj; t8 = u3*u3; t13 = xi*xi; t16 = u1*u1; t17 = yj*yj; t24 = u4*u4; t29 = yi*yi; t32 = u2*u2; t33 = t1+2.0*xj*u3-2.0*xj*xi-2.0*xj*u1+t8-2.0*u3*xi-2.0*u3* u1+t13+2.0*xi*u1+t16+t17+2.0*yj*u4-2.0*yj*yi-2.0*yj*u2+t24-2.0*u4*yi-2.0*u4*u2+t29+2.0*yi*u2+t32; t34 = sqrt(t33); t36 = 1/t34/t33; t37 = sigmao*t36; t38 = -xj-u3+xi+u1; t39 = 4.0*t38*t38; t40 = 1/Lo; t44 = 1/t34; t46 = sigmao*t44*t40; t48 = E/t33; t49 = Lo*Lo; t50 = 1/t49; t55 = E*(t34-Lo); t56 = t50*t36; t61 = t55*t50*t44; t64 = (-t37*t39*t40/4.0+t46+t48*t39*t50/4.0-t55*t56*t39/4.0+ t61)*A*Lo; t65 = -yj-u4+yi+u2; t69 = 2.0*t38*t50; t72 = t55*t50; t78 = (-4.0*t37*t65*t40*t38+2.0*t48*t69*t65-4.0*t72*t36*t65*t38) *A*Lo/4.0; t79 = -2.0*t38*t40; t86 = -2.0*t36*t38; t92 = (-t37*t79*t38/2.0-t46-t48*t69*t38/2.0-t72*t86*t38/2.0-t61)*A*Lo; t93 = -2.0*t65*t40; t98 = -2.0*t36*t65; t103 = (-2.0*t37*t93*t38-2.0*t48*t69*t65-2.0*t72*t98*t38)*A* Lo/4.0;

  • 98

    t104 = 4.0*t65*t65; t116 = (-t37*t104*t40/4.0+t46+t48*t104*t50/4.0-t55*t56*t104/4.0+t61)*A*Lo; t119 = 2.0*t65*t50; t126 = (-2.0*t37*t79*t65-2.0*t48*t119*t38-2.0*t72*t86*t65)*A*Lo/4.0; t138 = (-t37*t93*t65/2.0-t46-t48*t119*t65/2.0-t72*t98*t65/2.0-t61)*A*Lo; t148 = (2.0*t37*t93*t38+4.0*t48*t38*t50*t65+2.0*t72*t98*t38) *A*Lo/4.0; Kt[0][0] = t64; Kt[0][1] = t78; Kt[0][2] = t92; Kt[0][3] = t103; Kt[1][0] = t78; Kt[1][1] = t116; Kt[1][2] = t126; Kt[1][3] = t138; Kt[2][0] = t92; Kt[2][1] = t126; Kt[2][2] = t64; Kt[2][3] = t148; Kt[3][0] = t103; Kt[3][1] = t138; Kt[3][2] = t148; Kt[3][3] = t116; Figura B. 2 Gerao do vetor de foras internas de matriz de rigidez do elemento de

    barra.

  • 99

    Apndice C

    C Soluo esttica para a viga engastada sujeita a momento concentrado (exemplo 4.3)

    Neste apndice descreve-se a formulao para obteno da soluo esttica do

    caso abordado no exemplo do item 4.3.

    C.1 Deslocamento vertical da extremidade direita Como apresentado no exemplo do item 4.3, trata-se de uma viga engastada na

    extremidade esquerda, sujeita a uma fora momento aplicada na extremidade direita

    (Figura C. 1).

    Figura C. 1 Desenho esquemtico do modelo.

    Para uma viga sujeita a flexo devido a uma fora momento aplicada, sua

    curvatura pode ser expressa como:

    EIM

    R1k == , ( C. 1 )

    sendo k a curvatura; R o raio de curvatura; M o momento fletor; E o mdulo de

    elasticidade e I o momento de inrcia.

    Observando-se a Figura C. 2, o deslocamento vertical ( vertu ) na extremidade

    direita dado por:

    E, I, L M

  • 100

    = cosRRu vert . ( C. 2 )

    Figura C. 2 Configurao genrica.

    Sabe-se da geometria de figuras planas que a relao entre o raio, o ngulo e o

    comprimento de um dado arco de crculo dada por:

    = RL . ( C. 3 )

    Substituindo-se as equaes ( C. 1 ) e ( C. 3 ) em ( C. 2 ) e simplificando-se, tem-

    se que o deslocamento vertical expresso por:

    =

    EILMcos1

    MEIu vert . ( C. 4 )

    Essa a expresso utilizada no exemplo do item 4.3 para obteno da resposta

    esttica apresentada graficamente.

    C.2 Momento de referncia Para obteno do momento de referncia Mo utilizado no exemplo do item 4.3,

    considera-se para a viga a configurao apresentada na Figura C. 3.

    M

    R

    R

    L uvert

  • 101

    Figura C. 3 Configurao de referncia.

    Nessa configurao o comprimento da viga dado por:

    R2L = . ( C. 5 )

    Assim, substituindo-se o comprimento expresso por ( C. 5 ) em ( C. 1 ), tem-se o

    momento de referncia:

    LEI2Mo

    = . ( C. 6 )

    R

    L

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