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Rumo Curso Pre Vestibular Assistencial - RCPVADisciplina: Matematica

Professor: Vinıcius Nicolau26 de Junho de 2014

Gabarito - Aula - 13/06

Exercıcios

1. Encontre as funcoes f(g(x)) e g(f(x)):

(a) f(x) = x+ 4 e g(x) = x2 + 4

R.: Para determinarmos a funcao f(g(x)), devemos substituir todos os “x”que aparecem na funcao f pela expressao de g. Ou seja,

f(x) = x+ 4

f(g(x)) = g(x) + 4 = x2 + 4 + 4

f(g(x)) = x2 + 8

Seguimos a mesma ideia para determinar g(f(x)), so invertemos a ordem.Agora devemos substituir todos os “x” que aparecem na funcao g pela ex-pressao de f . Assim,

g(x) = x2 + 4

g(f(x)) = [f(x)]2 + 4

g(f(x)) = [x+ 4]2 + 4

g(f(x)) = x2 + 8x+ 16 + 4

g(f(x)) = x2 + 8x+ 20

(b) f(x) = x2 e g(x) =√x

R.: Fazemos o mesmo processo da letra (a).Para f(g(x)),

f(x) = x2

f(g(x)) = [g(x)]2 = [√x]2

f(g(x)) = |x| = x

Nesse caso, |x| = x pois temos que a funcao g : R+ −→ R+, ou seja, soestamos trabalhando com numeros reais positivos.



Para g(f(x)),

g(x) =√x

g(f(x)) =√f(x)

g(f(x)) =√x2

g(f(x)) = |x|

Observe que agora nao podemos dizer que |x| = x, pois f : R −→ R+.Entao podemos escolher x = −2 o que nos da

f(−2) = (−2)2 = 4

g(f(−2)) = g(4)

g(4) =√4 = 2 6= −2

2. Se f(x) = x2 + 5, entao f(f(x)) e:

R.: Devemos substituir todos os x da funcao f pela propria expressao de f . Ouseja,

f(x) = x2 + 5

f(f(x)) = [f(x)]2 + 5 = [x2 + 5]2 + 5

f(f(x)) = x4 + 10x2 + 25 + 5

f(f(x)) = x4 + 10x2 + 30

3. Se f(x) = x+ 1, encontre g(x) tal que:

(a) f(g(x)) = x2 + 4

R.: Observe que

f(x) = x+ 1

f(g(x)) = g(x) + 1

Do enunciado, temos que f(g(x)) = x2 + 4. Juntando as duas informcoes

g(x) + 1 = x2 + 4

g(x) = x2 + 3



(b) g(f(x)) = x2 + 4

R.: Observe que

g(f(x)) = g(x+ 1)

E do enunciado temos que g(f(x)) = x2+4. Juntando as duas informacoes

g(x+ 1) = x2 + 4

g(x) = (x− 1)2 + 4

4. (FGV) Considere as funcoes f(x) = 2x+1 e g(x) = x2− 1. Entao as raızes daequacao f(g(x)) = 0 sao:

(a) inteiras

(b) negativas

(c) racionais

(d) inversas

(e) opostas

R.: Primeiro vamos determinar f(g(x)).

f(x) = 2x+ 1

f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 = 2(x2 − 1) + 1

f(g(x)) = 2x2 − 2 + 1

f(g(x)) = 2x2 − 1

Agora, vamos encontrar os valores que zeram f(g(x)). Assim,

f(g(x)) = 0

2x2 − 1 = 0

x2 =1

2

√x2 =

√1

2

|x| = 1√2=

1√2·√2√2=

√2

2

x = ±√2

2



Logo, as raızes de f(g(x)) sao opostas. (e)

5. (ITA) Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x − 1 duas funcoes reais. Definimos afuncao composta de f e g como sendo (g◦f)(x) = g(f(x)). Entao (g◦f)(y−1)e igual a:

(a) y2 − 2y + 1

(b) (y − 1)2 + 1

(c) y2 + 2y − 2

(d) y2 − 2y + 3

(e) y2 − 1

R.: Vamos determinar a funcao g(f(x)).

g(x) = x− 1

g(f(x)) = f(x)− 1 = x2 + 1− 1

g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = x2

Agora, fazemos a substituicao x = y − 1.

(g ◦ f)(x) = x2

(g ◦ f)(y − 1) = (y − 1)2

(g ◦ f)(y − 1) = y2 − 2y + 1

Logo, a alternativa (a) esta correta.

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