rui manuel carreira rodrigues - instituto superior de engenharia … · 2008. 1. 28. · rui manuel...

Interpolacao Suave em Espacos Euclidianos

e outras Variedades Riemanianas

Rui Manuel Carreira Rodrigues

Departamento de Matematica

Universidade de Coimbra

2006

Interpolacao Suave em Espacos Euclidianos

e outras Variedades Riemanianas

Rui Manuel Carreira Rodrigues

Dissertacao apresentada a Faculdade de Ciencias e Tecnologia

da Universidade de Coimbra para cumprimento dos requisitos

necessarios a obtencao do grau de Doutor em Matematica, espe-

cialidade em Matematica Pura. Trabalho realizado sob orientacao

cientıfica da Doutora Fatima Silva Leite, Professora Catedratica

no Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra.

Departamento de Matematica

Universidade de Coimbra

2006

Trabalho de investigacao

co-financiado pelo Fundo Social Europeu

atraves do programa PRODEP III.

Concurso Publico n. 2/5.3/PRODEP/2003 - Doutoramentos.

Agradecimentos

A realizacao duma dissertacao de doutoramento envolve sempre pessoas e instituicoes

com as quais, por diversas razoes, contraımos uma dıvida de gratidao indelevel. As

proximas linhas sao-lhes dedicadas.

As minhas primeiras palavras sao para a Professora Doutora Fatima Silva Leite minha

orientadora cientıfica. Ao longo dos ultimos anos, em todos os pequenos e grandes mo-

mentos da minha carreira cientıfica, esteve sempre presente a meu lado, orientando-me

cientificamente, guiando-me por vezes sem eu dar por isso e motivando-me sempre para

ir um pouco mais longe. O seu empenho, compreensao e amizade proporcionaram-me

um ambiente onde o dialogo foi sempre uma constante e onde pude sem reservas desen-

volver as minhas aptidoes. Com a Professora Fatima Leite aprendi muito e continuarei

a aprender com a certeza de que nunca poderei retribuir. O meu muito obrigado.

Agradeco ao Instituto Superior de Engenharia de Coimbra e, em particular, ao Depar-

tamento de Fısica e Matematica o empenho demonstrado no apoio da minha candidatura

ao programa PRODEP III. O seu sucesso permitiu que pudesse beneficiar de uma dis-

pensa de servico docente, sem a qual nao teria conseguido fazer igual.

A minha Unidade de Investigacao, o Instituto de Sistemas e Robotica-Coimbra, agra-

deco todo o apoio financeiro que me tem concedido, que em varias ocasioes foi essencial

nos projectos que conduziram a preparacao desta tese. A Fundacao Calouste Gulbenkian

agradeco a atribuicao de uma bolsa de estudo para uma deslocacao a Universidade de

Florenca em Italia, onde tive a oportunidade de aprofundar conhecimentos e conhecer

outras realidades.

Ao Professor Doutor Andrey Sarychev gostaria de agradecer o interesse pela minha

carreira de que sempre deu mostra. Gostaria de lhe agradecer ainda pelas conversas e

sugestoes de que a minha investigacao beneficiou e tambem por me ter recebido, acom-

panhado e orientado, durante a minha estadia na Universita degli Studi di Firenze.

Ao Professor Doutor Eduardo Marques de Sa gostaria de agradecer as observacoes

que muito contribuıram para o conteudo do primeiro capıtulo.

Nao me esqueco de Silverio Rosa, Delfim Torres, Janusz Jakubiak, Urbano Nunes e

Larissa Labakhua com quem pude partilhar ideias e desenvolver em equipa trabalho de

investigacao. A Manuel Guerra, Knut Huper e Joao Cardoso agradeco a disponibilidade

para conversar sobre matematica.

Gostaria tambem de agradecer aos colegas do (meu) Departamento de Fısica e Ma-

tematica que sempre aceitaram, compreenderam e acompanharam este meu projecto.

Nao me esqueco tambem dos meus pais e irmaos que sao sempre implicitamente parte

de todos os meus trajectos.

E especialmente a Billie que sempre a meu lado, orgulhosa e sorridente, contribuiu em

todo este percurso para colorir muitos momentos desta tese. Sem o seu apoio e paciencia

tudo teria sido bem mais difıcil.

Este momento significa o culminar da minha investigacao para doutoramento. Indica

tambem que a persistencia e os anos de trabalho deram fruto e que o desanimo de muitos

momentos nao foi em vao. Talvez o gosto por aprender os tenha mesmo suavizado.

Aproveito para agradecer a todos os que me ajudaram a progredir e a ser um pouco mais

de mim mesmo.

Resumo

Esta dissertacao e dedicada ao estudo de problemas de interpolacao suave em variedades

Riemanianas. O trabalho esta dividido em duas partes. Na primeira parte analisamos

certas curvas spline em espacos Euclidianos e estudamos qual a sua relacao com proble-

mas de interpolacao dinamica. Em particular, estendemos a classe mais geral das funcoes

L-spline resultados anteriores para splines generalizados escalares e estudamos uma classe

de novos splines multi-dimensionais, em espacos Euclidianos de dimensao arbitraria, asso-

ciados a operadores diferenciais lineares com coeficientes matriciais. Em ambos os casos,

sao estabelecidas ligacoes com problemas de controlo optimal. Na segunda parte apre-

sentamos dois algoritmos geometricos para a geracao de curvas interpoladoras suaves em

variedades Riemanianas conexas e completas tais como, grupos de Lie matriciais conexos

e compactos e a esfera n-dimensional. Cada algoritmo e composto por um pequeno

numero de passos que e independente da suavidade da curva. Esta propriedade e con-

sequencia do papel desempenhado por uma determinada funcao (funcao suavizante) que

e escolhida logo que a suavidade da curva esteja definida.

Palavras chave: Curvas interpoladoras suaves, L-splines, splines generalizados, ope-

radores diferenciais lineares com coeficientes matriciais, calculo das variacoes, controlo

optimal, sistemas lineares de controlo, variedades Riemanianas, grupos de Lie matriciais,

algoritmo de De Casteljau, algoritmos geometricos.

Abstract

In this thesis we study smooth interpolating curves on Riemannian manifolds. In the first

part of the thesis we explore connections between splines in Euclidean spaces associated

to linear differential operators and dynamical interpolation problems. We emphasize

the optimal properties of some Euclidean splines, known in the literature as L-splines,

extending previous work on scalar generalized splines. We then consider a class of linear-

quadratic problems and use tools from optimal control to produce new time-dependent

splines in arbitrary Euclidean spaces, associated to linear differential operators with ma-

trix coefficients. This first part shows that splines are intrinsic to optimal control theory

since they appear naturally as minimizers of some optimal control problems. In the

second part of the thesis we present two simple and efficient geometric algorithms to ge-

nerate interpolating curves of arbitrary degree of smoothness in Euclidean spaces. Each

algorithm consists of a recursive procedure and is performed in a small number of steps,

independently of the required degree of smoothness of the curve. This interesting pro-

perty of both algorithms results from the role played by an appropriate function (the

smoothing function) which is used to define the interpolating curve and is chosen as soon

as the smoothness of the curve is fixed. These algorithms are then extended to other

connected and complete Riemannian manifolds such as, compact and connected matrix

Lie groups and spheres. Some of the results of the thesis can be found in [61], [64], [65],

[58] e [36].

Keywords: Smooth interpolating curves, L-splines, generalized splines, linear differ-

ential operators with matrix coefficients, calculus of variations, optimal control, linear

systems, Riemannian manifolds, matrix Lie groups, De Casteljau algorithm, geometric

algorithms.

2000 Mathematics Subject Classification: 41A15, 41A30, 53B21, 65D05, 65D07,

93C15.

Indice

Introducao 1

I Funcoes spline associadas a operadores diferenciaise controlo optimal 9

1 Funcoes L-spline e controlo optimal 11

1.1 Funcoes L-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 Existencia e unicidade. Primeira relacao integral . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Um caso particular: splines generalizados . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Abordagem variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Um problema de controlo optimal para funcoes L-spline . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Formulacao e analise do problema (modelo de entrada-saıda) . . . 19

1.3.2 Formulacao e analise do problema (modelo de estado) . . . . . . . 22

1.3.3 Splines generalizados e controlo optimal . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Observacoes finais e referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Splines generalizados em espacos Euclidianos e controlo optimal 31

2.1 Splines generalizados em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Existencia, unicidade e comportamento optimal . . . . . . . . . . . 34

2.1.2 Interpretacao variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Ligacoes com a teoria de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 O caso p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.3 Ligacoes com equacoes de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


xi

II Algoritmos geometricos para a geracao de curvas splineem variedades Riemanianas 53

3 Elementos de geometria Riemaniana 55

3.1 Preliminares de geometria diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Variedades Riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Conexao Riemaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Geodesicas em variedades Riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.1 Grupos de Lie matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


4 Um algoritmo com tres passos 75

4.1 Formulacao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 O algoritmo de De Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 O novo algoritmo em espacos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.1 Funcoes suavizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.2 Descricao do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.3 Propriedades do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.4 Flexibilidade do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4 O algoritmo em grupos de Lie matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4.1 O algoritmo no grupo ortogonal especial . . . . . . . . . . . . . . . 97


5 Um algoritmo com dois passos 103

5.1 Formulacao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2 O novo algoritmo em espacos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.1 Propriedades do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.2 Flexibilidade do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3 O algoritmo em grupos de Lie matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.1 O algoritmo no grupo ortogonal especial . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4 O algoritmo na esfera n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


Comentarios finais 121

Referencias bibliograficas 125

Indice alfabetico 133

xii

Introducao

Nesta dissertacao estudamos problemas de interpolacao suave em espacos Euclidianos

e outras variedades Riemanianas. A motivacao para a necessidade de construir curvas

interpoladoras suaves vem de diversas aplicacoes a engenharia.

Ao longo do tempo foram propostas diferentes abordagens para o problema da geracao

de splines interpoladores. As dificuldades inerentes a extensao de resultados conheci-

dos, guiaram os nossos trabalhos de investigacao por dois percursos que correspondem a

abordagens distintas do mesmo problema. Se por um lado, dedicamos uma parte deste

trabalho ao estudo de curvas spline em espacos Euclidianos, que sejam solucao de certos

problemas de optimizacao, por outro, dedicamos parte dos nossos esforcos ao desenvolvi-

mento de algoritmos geometricos que permitem gerar de forma eficiente curvas spline

de suavidade arbitraria em outras variedades Riemanianas. Nunca deixamos contudo

de questionar o comportamento optimal das curvas geradas. Trabalhos anteriores em

espacos nao Euclidianos parecem indicar nao ser possıvel alcancar o melhor de “dois

mundos”. Se se pretende gerar curvas interpoladoras que sejam optimas num certo sen-

tido, entao o reverso da medalha surge geralmente com a dificuldade da determinacao de

expressoes explıcitas para as curvas que se vislumbram. Por estes motivos esta dissertacao

encontra-se dividida em duas partes.

A primeira parte intitulada “Funcoes spline associadas a operadores diferenciais e

controlo optimal”, e dedicada a caracterizacao de certas curvas spline em espacos Eucli-

dianos e ao estudo da sua relacao com problemas de interpolacao dinamica1. A segunda

parte desta tese denominada “Algoritmos geometricos para a geracao de curvas spline em

variedades Riemanianas”, e por sua vez dedicada ao desenvolvimento de dois algoritmos

geometricos, para a geracao de curvas spline em certas variedades Riemanianas conexas

e compactas.

Seguimos com uma pequena introducao historica sobre funcoes spline, que nos conduz

ao ponto em que iniciamos os trabalhos de investigacao que compoem a primeira parte

desta dissertacao, e permite enquadrar o trabalho por nos desenvolvido.

1Expressao introduzida por Crouch e Jackson no inıcio da decada de 90 em [18] e [35], para designar

problemas de controlo optimal em que se pretende conduzir variaveis de estado de um sistema de con-

trolo, por um conjunto de condicoes de interpolacao, atraves da determinacao de variaveis de controlo

adequadas.

1

Introducao

As funcoes spline2 despontaram na area da aproximacao numerica, durante a decada

de 50 do seculo XX, e contudo aceite que a primeira referencia matematica a splines surgiu

em 1946 num artigo de Schoenberg. Estas surgiram no contexto da procura de melho-

res solucoes para problemas de interpolacao, onde alem das condicoes de interpolacao

classicas, ha tambem determinadas condicoes de continuidade. Na sua genese, as funcoes

spline eram simplesmente funcoes definidas num intervalo real [a, b], com expressao poli-

nomial em cada intervalo de uma particao ∆ de [a, b] e com a exigencia acrescida de

um certo grau de suavidade em cada ponto intermedio de ∆ (na ligacao dos polinomios

adjacentes). Ou seja, em vez de aproximar uma funcao por um unico polinomio num

intervalo [a, b], concretiza-se a aproximacao pela colagem de varias funcoes polinomiais.

Prescinde-se da suavidade global da funcao que aproxima para obter uma aproximacao

melhor.

A natureza e as propriedades fundamentais dos splines polinomiais, permitiram que

fossem rapidamente adoptados em diversas areas de matematica aplicada tais como,

modelacao geometrica na construcao de automoveis e na construcao de aeronaves (na

industria automovel, pode referir-se em particular os trabalhos de De Casteljau na

Citroen, de Bezier na Renault e de De Boor na General Motors), levando a teoria das

funcoes spline a um desenvolvimento fulgurante. Algum tempo mais tarde, em desenho

assistido por computador, as funcoes spline tiveram um papel determinante como ferra-

menta essencial na reproducao de formas complexas suaves. Neste contexto, os splines

polinomiais sao agora curvas parametrizadas seccionalmente polinomiais. O sucesso da

utilizacao extensiva de splines polinomiais nas diversas areas, deveu-se em grande parte

a sua simplicidade do ponto de vista computacional e a sua capacidade intrınseca de

reproduzir formas complexas.

Os splines cubicos sao com toda a certeza os splines polinomiais mais divulgados. Sao

por definicao funcoes reais definidas no intervalo [a, b] ⊂ R, duas vezes continuamente

diferenciaveis em [a, b], que em cada intervalo de uma particao

∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b

de [a, b], tem uma expressao polinomial de grau maximo tres. Mostra-se que um spline

cubico existe e e unico se forem prescritas mais duas condicoes de interpolacao nas

derivadas, uma no instante inicial e outra no instante final. Usualmente, prescrevem-

se os valores da primeira derivada em t = a e t = b. A curva resultante e o spline cubico

mais conhecido, que e geralmente designado por spline cubico classico. Uma alternativa

consiste em prescrever os valores da segunda derivada, originando o spline cubico natural,

2A palavra spline provem do nome de um instrumento usado por engenheiros para o ajustamento

de curvas suaves, por determinados pontos de interpolacao. Imagens esclarecedoras sobre o uso de

splines encontram-se no endereco (http://www.cs.wisc.edu/∼deboor/draftspline.html). Uma recolha

bibliografica sobre splines em teoria da aproximacao, mantida por Larry Schumaker e Carl de Boor,

pode ser consultada, por exemplo, em (http://www.cs.wisc.edu/∼deboor/bib/bib.html).

2

Introducao

se forem prescritos valores nulos. O spline cubico classico tem uma propriedade optimal

interessante. Mostra-se que e o unico minimizante da funcional integral

J(x(·)) =

∫ b

a

(x(t))2 dt

no conjunto das funcoes x : [a, b] → R que satisfazem identicas condicoes de interpolacao

e sao duas vezes continuamente diferenciaveis em [a, b]. A extensao natural ao caso de

curvas parametrizadas em espacos Euclidianos de dimensao arbitraria e relativamente

simples de concretizar.

A extensao do conceito de spline polinomial nao tardou e progrediu em diversas

direccoes. Uma generalizacao importante surgiu na decada de 60 com os splines generali-

zados escalares de Ahlberg, Nilson e Walsh [2]3. Este conjunto de funcoes spline contem

em particular todos os splines polinomiais. Sao funcoes reais definidas em [a, b] que, em

cada intervalo de uma particao ∆ de [a, b], sao solucao de uma equacao diferencial da

forma

L∗Lx = 0

onde L e um operador diferencial linear de ordem p e L∗ e o adjunto de L. Em cada

instante t = a e t = b prescrevem-se p condicoes de interpolacao e exige-se que a funcao

que resulta da ligacao de todos os segmentos, seja suave de classe C 2p−2 no intervalo [a, b].

Existe um unico spline generalizado escalar associado ao operador L, a particao ∆ e ao

conjunto de condicoes de interpolacao prescrito. O spline cubico classico ocorre quando

p = 2 e L ≡ D2. A propriedade optimal deste spline cubico encontra tambem uma

generalizacao natural. O spline generalizado escalar e o unico minimizante da funcional

J(x(·)) =

∫ b

a

(Lx(t))2 dt

no conjunto das funcoes x : [a, b] → R que satisfazem as mesmas condicoes de interpolacao

e sao de classe C 2p−2 no intervalo [a, b].

Com Schultz e Varga [70] surgiram em 1967 as funcoes L-spline, conjunto de funcoes

que contem os splines generalizados de Ahlberg, Nilson e Walsh como caso particular.

Schultz e Varga vao um pouco mais longe, permitindo nos instantes intermedios de uma

particao ∆ de [a, b], condicoes de interpolacao nas derivadas e um numero variavel de

condicoes de suavidade. Em cada instante intermedio as condicoes de suavidade e as

condicoes de interpolacao nas derivadas totalizam 2p condicoes. O numero de condicoes

de interpolacao nas derivadas e o numero de condicoes de suavidade pode contudo variar

com equilıbrio, de ponto para ponto da particao ∆ de [a, b].

A evolucao constante permite que hoje em dia o termo spline tenha uma

conotacao um pouco mais “suave”. Podemos afirmar que os splines sao, na

3Os mesmos autores sao, ainda na mesma epoca, responsaveis pela primeira referencia bibliografica

inteiramente dedicada ao estudo das funcoes spline [3].

3

Introducao

sua essencia, funcoes interpoladoras com um certo grau de suavidade global,

resultado da ligacao (colagem com certas condicoes de suavidade) de funcoes

mais simples que sao os seus segmentos.

O estudo de splines no contexto da analise de problemas de controlo optimal, teve inıcio

no princıpio da decada de 90, como resposta a procura de outro tipo de ferramentas

matematicas, para lidar com questoes de ındole pratica, associadas por exemplo, a pro-

blemas de trafego aereo ou a problemas de planeamento de trajectorias para sistemas

mecanicos. Os trabalhos de investigacao de Crouch e Jackson para dinamicas lineares [18]

e dinamicas nao-lineares [35], parecem-nos ser as primeiras publicacoes sobre splines em

espacos Euclidianos e controlo optimal. Um pouco mais tarde, Martin e seus colabo-

radores [46], estabeleceram uma relacao directa entre os splines generalizados de Ahlberg,

Nilson e Walsh e certos problemas de controlo optimal para sistemas lineares com uma

unica entrada e uma unica saıda (SISO 4). Este trabalho inovador e no entanto um pouco

obscuro. Os autores transmitem a ideia da descoberta de um vasto leque de novos splines

ignorando que estes, nao sao mais do que, os ja bem conhecidos splines generalizados es-

calares. O enquadramento correcto com uma simplicidade de processos consideravel e

conseguido mais tarde por Rodrigues em [66] e Rodrigues, Silva Leite e Simoes em [60].

Com estes tres trabalhos ficou claro que os splines generalizados podem ser interpre-

tados, como output optimo de problemas de controlo optimal, para sistemas contınuos

invariantes no tempo, na forma canonica de controlabilidade.

Os resultados obtidos estabeleceram uma pequena ponte entre a teoria das funcoes

spline (associadas a operadores diferenciais) e a teoria de sistemas, apresentando por

essa via uma nova perspectiva sobre o assunto. As funcoes spline sao afinal mais do que

solucoes de certos problemas de interpolacao, surgem naturalmente como componente

fundamental em problemas de controlo optimal.

A ligacao entre splines em espacos Euclidianos e controlo optimal e um dos temas que

Martin e seus colaboradores continuaram a explorar, consulte-se por exemplo [74], [45],

[25] e [26]. Contudo, em grande parte destes trabalhos, a ligacao nao e estabelecida com

splines generalizados escalares mas sim com splines suavizantes, isto e, de uma forma

simples, funcoes spline que em vez de interpolar, passam razoavelmente perto dos dados

prescritos (situacao que e conveniente considerar quando, por exemplo, se acredita que

a obtencao dos dados iniciais esta sujeita a erros). Estas funcoes spline surgiram com

destaque no trabalho de Wahba na area da estatıstica [79]. Vem a proposito mencionar

o recente trabalho de doutoramento de Luıs Machado onde e desenvolvido o estudo de

splines suavizantes no contexto global das variedades Riemanianas [44].

Surge agora o momento de descrever os progressos que alcancamos apos a obtencao

dos resultados descritos em [66] e [60]. Progredimos na procura de estabelecer ligacoes

entre a teoria das funcoes spline, associadas a operadores diferenciais e a teoria dos

4Do Ingles “single input single output”.

4

Introducao

sistemas de controlo. E neste contexto que surgem os resultados originais que constituem

a primeira parte desta tese. No primeiro capıtulo estendemos os resultados obtidos, para

os splines generalizados escalares de Ahlberg, Nilson e Walsh, a classe mais geral das

funcoes L-spline de Schultz e Varga. A perspectiva sobre o assunto e agora bem mais

vasta o que permite definir com mais clareza certos aspectos nao observaveis, aquando

do estudo feito para os splines generalizados escalares. O segundo capıtulo e totalmente

dedicado a definicao e equivalencia de uma classe de novos splines multi-dimensionais,

em espacos Euclidianos de dimensao arbitraria, associados a operadores diferenciais li-

neares com coeficientes matriciais e problemas de controlo optimal para sistemas com

entradas multiplas e saıdas multiplas (MIMO 5). Os resultados sao obtidos directamente

para a situacao mais geral em que a dinamica e variante no tempo. Estes resultados

levantam problemas complicados de natureza computacional, que na sua versao mais

simples envolvem polinomios matriciais directamente associados a resolucao do problema

quadratico de valores proprios. Em qualquer destes capıtulos a abordagem comeca por

ser variacional. Este e do nosso ponto de vista o caminho natural a percorrer entre duas

areas aparentemente “desconexas”.

Iniciamos a descricao do outro percurso que culminou na obtencao dos resultados

contidos na segunda parte desta tese, incluindo factos historicos relevantes que permitem

enquadrar o trabalho desenvolvido.

O estudo de splines em espacos nao Euclidianos e consequencia da procura de novas

tecnicas em muitas aplicacoes a engenharia onde os espacos de configuracao sao estru-

turas geometricas nao Euclidianas. Esta necessidade fez com que os desenvolvimentos

posteriores passassem pela adaptacao e generalizacao a variedades Riemanianas (como

e o caso de alguns grupos de Lie) das tecnicas e metodos desenvolvidos em espacos

Euclidianos. O problema do planeamento de trajectorias para sistemas mecanicos e um

exemplo importante. Por exemplo, Zefran, Kumar e Croke em [78], estudaram o pro-

blema da construcao de uma trajectoria suave para o movimento de um corpo rıgido,

com o conhecimento previo das posicoes e orientacoes inicial e final do corpo. Anali-

saram estes problemas numa perspectiva optimal considerando determinadas funcionais

custo. Trata-se concretamente de um problema de planeamento de trajectorias no grupo

de Lie especial Euclidiano SE(3,R).

Uma generalizacao do conceito de spline cubico em variedades Riemanianas surgiu

em 1989 com o trabalho pioneiro de Noakes, Heinzinger e Paden [50]. Esta generalizacao

baseia-se na extensao a variedades Riemanianas do conceito Euclidiano de polinomio

cubico. Estes sao definidos como as solucoes de um problema de segunda ordem do

calculo das variacoes, que consiste em minimizar a funcional integral

J(γ(·)) =

∫ 1

0

⟨Ddt

dγdt, D

dtdγdt

⟩dt

5Do Ingles “multi input multi output”.

5

Introducao

no conjunto das curvas na variedade, que sao em simultaneo de classe C 2 e satisfazem

condicoes de interpolacao nos instantes t = 0 e t = 1. Na expressao da funcional, 〈·,·〉identifica a metrica Riemaniana e D

dtdenota a derivada covariante de um campo de

vectores ao longo de uma curva na variedade. Observa-se que os splines cubicos em va-

riedades sao afinal as curvas com todas as condicoes prescritas, que minimizam o integral

do quadrado da norma da componente tangencial da sua aceleracao. Esta generalizacao

coincide em particular com a formulacao variacional (classica) de um polinomio cubico

em espacos Euclidianos. A abordagem utilizada em [50] despertou um interesse renovado

por estes assuntos, bem patente nos trabalhos posteriores de Crouch e Silva Leite [21, 22]

no contexto dos problemas de interpolacao dinamica em variedades Riemanianas e de

Camarinha [15] no estudo da geometria dos polinomios cubicos Riemanianos. O estudo de

splines polinomiais de ordem superior em variedades Riemanianas surgiu com Camarinha,

Silva Leite e Crouch em [14].

O constante e crescente uso de splines em variedades Riemanianas, bem como o in-

teresse em evitar as dificuldades decorrentes da abordagem variacional, nomeadamente,

a incapacidade em resolver as equacoes de Euler-Lagrange com a consequente nao de-

terminacao de expressoes explıcitas para as curvas interpoladoras, deram o impulso

necessario a outra abordagem para gerar curvas interpoladoras em variedades Riemania-

nas, que consiste na generalizacao do algoritmo classico de De Casteljau. Este algoritmo

que e bastante eficaz do ponto de vista numerico, permite em espacos Euclidianos a con-

strucao de curvas polinomiais de qualquer grau, atraves de um metodo recursivo onde em

cada etapa se aplica sucessivamente um processo de interpolacao linear. A construcao de

splines polinomiais e consequencia da aplicacao repetida do algoritmo. A generalizacao

natural deste algoritmo a outras variedades Riemanianas conexas e completas, tais como

grupos de Lie de matrizes conexos e compactos, como por exemplo, o grupo ortogonal es-

pecial das rotacoes no espaco SO(3,R), foi apresentada por Park e Ravani em [51]. Estes

conceberam a ideia simples de substituir os segmentos de recta, em espacos Euclidianos,

por arcos de geodesica, em variedades Riemanianas. Esta generalizacao envolve um certo

grau de sofisticacao, valendo a pena destacar que e do ponto de vista teorico bastante

simples. Uma das vantagens deste novo algoritmo em relacao a abordagem variacional

reside na obtencao de expressoes explıcitas para os splines gerados. O estudo e aplicacao

do algoritmo na esfera n-dimensional e em grupos de Lie matriciais conexos e compactos

surgiu posteriormente com Crouch, Kun e Silva Leite em [19, 20]. Contudo, ao contrario

dos splines obtidos por via da abordagem variacional, o comportamento optimal das cur-

vas geradas por aplicacao da generalizacao do algoritmo de De Casteljau, e ainda hoje

desconhecido. Recentemente, em [4], Altafini apresentou um estudo do algoritmo de De

Casteljau no grupo especial Euclidiano SE(3,R).

Este e o momento para descrever qual e a nossa contribuicao para este tema de inves-

tigacao. Iniciamos o estudo do algoritmo de De Casteljau com a finalidade de o estender a

construcao de splines nao polinomiais em Rn. Seguindo o trabalho de Nagy e Vendel [76],

6

Introducao

apresentamos em Rodrigues, Silva Leite e Rosa [59], o estudo em espacos Euclidianos de

dimensao arbitraria da construcao de uma curva spline, cujos segmentos sao definidos

a custa de uma combinacao convexa de arcos de circunferencia e segmentos de recta.

Exige-se que esta curva spline passe por um conjunto de pontos antecipadamente pre-

scritos, tal como acontece com a aplicacao do algoritmo de De Casteljau. Esta construcao

geometrica partilha algumas propriedades com o algoritmo classico de De Casteljau que

importa salientar, nomeadamente:

i) Cada segmento da curva spline depende apenas dos dados iniciais na sua vizinhanca

e por isso a sua construcao e realizada de forma individual. Esta propriedade local e

do ponto de vista das aplicacoes uma propriedade desejavel. Uma alteracao pontual

de algum dado inicial nao requer o calculo completo (de novo) da curva final.

ii) Pequenas adaptacoes permitem que o algoritmo contemple a construcao de um spline,

para o qual, alem dos pontos de interpolacao sao tambem prescritas as velocidades.

iii) A implementacao do algoritmo nao envolve dificuldades e permite a obtencao de

uma expressao explıcita para a curva final.

A expressao explıcita da curva spline obtida em [59], envolve geralmente a presenca de

funcoes trigonometricas, consequentemente, os desenvolvimentos alcancados significaram

um pequeno progresso no que diz respeito a extensao do algoritmo de De Casteljau. O

trabalho descrito apresenta ainda a analise do comportamento optimal da curva spline

em certos casos particulares.

Este ultimo trabalho teve no entanto um efeito inesperado a outro nıvel, pois per-

mitiu o despertar de uma nova perspectiva sobre a construcao geometrica operada pelo

algoritmo classico de De Casteljau. A observacao de que toda a iteracao do algoritmo

classico e tambem resultado de um processo de combinacao convexa, conduziu-nos ao

conceito de funcao suavizante de um spline. Este conceito acabou por ser fundamental

na obtencao de dois novos algoritmos geometricos para a geracao de curvas spline em

variedades Riemanianas, que descrevemos na segunda parte desta dissertacao.

Iniciamos esta segunda parte com uma sıntese de conceitos e resultados de geometria

Riemaniana que sao essenciais nos desenvolvimentos posteriores.

Em seguida, apresentamos um algoritmo geometrico com apenas tres passos que per-

mite a construcao eficiente de curvas interpoladoras de uma classe de suavidade arbitraria.

Observando a estrutura do algoritmo pode considerar-se que este e uma extensao do al-

goritmo classico de De Casteljau. As semelhancas sao evidentes e muitas propriedades

sao partilhadas. O caso em que a variedade Riemaniana e um grupo de Lie matricial

conexo e compacto, munido da metrica Riemaniana bi-invariante, e analisado com algum

detalhe. Consideramos em particular o grupo ortogonal especial.

Por ultimo, e com o objectivo de melhorar a complexidade dos algoritmos ja pro-

postos, apresentamos um outro algoritmo geometrico que permite a construcao eficiente

7

Introducao

de curvas spline de uma classe de suavidade arbitraria apenas em dois passos. Analisamos

a descricao deste novo algoritmo em grupos de Lie matriciais conexos e compactos (tal

como fizemos para o algoritmo anterior) e tambem na esfera n-dimensional. Embora

a primeira vista os dois algoritmos parecam oriundos da mesma famılia (que tambem

inclui o algoritmo de De Casteljau) na verdade eles tem naturezas diferentes e divergem

em alguns aspectos importantes.

Para concluir esta introducao indicamos mais alguns aspectos da estrutura da tese.

Iniciamos cada capıtulo da tese com um breve resumo dos principais objectivos que pre-

tendemos atingir. Terminamos cada capıtulo com algumas observacoes sobre a divulgacao

dos resultados e referencias bibliograficas sobre areas especıficas de matematica, cujas fer-

ramentas usamos em cada capıtulo.

Nos comentarios finais apresentamos algumas questoes em aberto, descrevendo algu-

mas das dificuldades que encontramos no decorrer do nosso trabalho e perspectivamos o

que pensamos ser o nosso trabalho futuro.

No final desta tese, apos cada referencia bibliografica, pode encontrar-se uma descricao

das paginas do texto onde cada referencia foi citada.

Usamos o software matematico Mapler em todos os exemplos apresentados no texto

que de alguma forma exigiram algum esforco computacional.

8

Parte I

Funcoes spline

associadas a operadores diferenciais

e controlo optimal

9

Capıtulo 1

Funcoes L-spline e controlo optimal

As funcoes L-spline surgem pela primeira vez no trabalho de Schultz e Varga

[70]. Neste, como em grande parte dos trabalhos da epoca, os splines estao a-

ssociados a formulacao de problemas de interpolacao mais ou menos classicos,

e a abordagem utilizada e sobretudo numerica. Contudo, e possıvel interpre-

tar algumas funcoes spline, de um modo mais abstracto, como solucao de

certos problemas do calculo das variacoes. Esta outra abordagem e do nosso

ponto de vista bastante importante. Permite-nos vislumbrar e estabelecer a

ponte entre a interpretacao classica de funcoes spline e uma interpretacao

moderna associada a resolucao de problemas de controlo optimal. Neste

capıtulo, consideramos a classe das funcoes L-spline (funcoes spline associadas

a certos operadores diferenciais) e mostramos como podem ser interpretadas

do ponto de vista da teoria de sistemas. Os resultados apresentados surgem

na sequencia de trabalhos anteriores sobre splines generalizados escalares.

1.1 Funcoes L-spline

Seja C k[a, b], com k ∈ N, o espaco vectorial real de todas as funcoes reais de variavel

real que sao contınuas e tem derivadas contınuas ate a ordem k, inclusive, em [a, b].

Considera-se o operador diferencial linear de ordem p ∈ N

L : C p[a, b] −→ C[a, b] ,

L· ≡ Dp · + ap−1(t)Dp−1 · + · · ·+ a1(t)D · +a0(t) · , (1.1)

onde Dk representa o operador diferencial que associa a uma funcao g : [a, b] ⊂ R →R (suficientemente derivavel no intervalo [a, b]) a derivada g(k). Cada funcao ai, i =

0, 1, . . . , p− 1, pertence ao espaco C p[a, b]. Associado ao operador L esta o seu operador

11


adjunto1 denotado por L∗, tambem definido em C p[a, b], e dado por

L∗ : C p[a, b] −→ C[a, b] ,

L∗· ≡ (−1)pDp · + (−1)p−1Dp−1(ap−1(t) ·) + · · · −D(a1(t) ·) + a0(t) · .

Kk[a, b], k ∈ N, designa o conjunto das funcoes g : [a, b] → R cuja derivada g(k−1) e

uma funcao absolutamente contınua no intervalo [a, b] 2 e cuja derivada g(k) pertence ao

espaco de Hilbert L2[a, b].

Seja ainda

∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b ,

uma particao de m+ 1 pontos, m ∈ N, do intervalo [a, b] e seja

Z = (z1, z2, . . . , zm−1) ∈ Zm−1

um vector onde cada componente zi e tal que 1 ≤ zi ≤ p e esta associada ao instante

intermedio ti de ∆. A qualquer vector com estas propriedades, chamamos vector de

incidencia associado a particao ∆.

1.1.1 Definicoes

Apresentam-se as definicoes de L-spline e de L-spline de tipo I, tal como foram descritas

pela primeira vez em 1967 por Schultz e Varga [70].

Definicao 1.1 (Funcao L-spline)

A funcao s : [a, b] → R e um L-spline para a particao ∆ e vector de incidencia Zse s ∈ K2p[ti, ti+1], s e solucao da equacao diferencial L∗Lx = 0, em cada intervalo

[ti, ti+1], i = 0, 1, . . . ,m− 1, e s(k)(ti−) = s(k)(ti

+) para todo o i = 1, 2, . . . ,m− 1 e todo

o k = 0, 1, . . . , 2p− 1 − zi.

A equacao diferencial L∗Lx = 0 e uma equacao linear homogenea de ordem 2p (unica-

mente com termos de ordem par quando L tem coeficientes constantes). O spline s acaba

por ser o resultado da concatenacao de m solucoes si : [ti, ti+1] → R, i = 0, 1, . . . ,m− 1,

de L∗Lx = 0. Cada si e um segmento da funcao L-spline. A concatenacao e efectuada

de uma forma suave recorrendo as condicoes de continuidade que se podem escrever na

forma si−1(k)(ti) = si

(k)(ti) onde i = 1, 2, . . . ,m − 1 e k = 0, 1, . . . , 2p − 1 − zi. Pode

estabelecer-se que o spline s e representado por meio dos seus segmentos, do seguinte

modo:

1Para a justificacao do nome “operador adjunto de L” atribuıdo ao operador L∗, mesmo quando

os coeficientes de L sao matriciais, veja-se por exemplo Coddington e Levinson [17]. Na literatura, o

operador L∗ e tambem designado por “adjunto formal de L”.2Em particular acontece que g ∈ C k−1[a, b].

12

1.1. Funcoes L-spline

s(t) =

s0(t), t ∈ [a, t1[

si(t), t ∈ [ti, ti+1[ , i = 1, 2, . . . ,m− 2

sm−1(t), t ∈ [tm−1, b]

.

Definicao 1.2

Seja f uma funcao pertencente a Kp[a, b] e s : [a, b] → R um L-spline para a particao ∆

e vector de incidencia Z. O spline s e um L-spline interpolador de f de tipo I se:

(i) s(k)(ti) = f (k)(ti), i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , zi − 1,

(ii) s(k)(t0) = f (k)(t0), s(k)(tm) = f (k)(tm), k = 0, 1, . . . , p− 1.

A presenca de f ∈ Kp[a, b] na definicao de uma funcao L-spline de tipo I nao e essen-

cial. Basta prescrever certos valores numericos de interpolacao e de fronteira para que

possamos substituir f e apresentar a seguinte definicao alternativa, que passamos a usar.

Definicao 1.3 (L-spline de tipo I)

Seja s : [a, b] → R um L-spline para ∆ e Z e sejam αki , ηk

0 e ηkm numeros reais prescritos.

A funcao s e um L-spline de tipo I se satisfaz as seguintes condicoes de interpolacao e de

fronteira:

(i) s(k)(ti) = αki , i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , zi − 1,

(ii) s(k)(t0) = ηk0 , s(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1.

Os numeros reais αki , ηk

0 e ηkm sao designados respectivamente por valores de interpolacao

e valores de fronteira da funcao L-spline de tipo I.

Observacao 1.1

Schultz e Varga, definem funcoes L-spline interpoladores de f ∈ Kp[a, b] de outros tipos.

Cada tipo esta associado a um determinado conjunto de condicoes de interpolacao e de

fronteira. Sobre este assunto consultar [70]. Neste trabalho apenas iremos lidar com

L-splines de tipo I. Por isso, daqui em diante, sempre que escrevermos “funcao L-spline”,

esta implıcito que nos referimos a “funcao L-spline de tipo I”.

Observacao 1.2

Suprime-se a funcao f (a interpolar) porque neste texto nao e importante interpretar

uma funcao L-spline de tipo I como uma funcao interpoladora no sentido estrito. O leitor

observara que a presenca de f ∈ Kp[a, b] acaba por ser parte integrante das demonstracoes

que conduzem aos resultados de existencia e unicidade, de uma funcao L-spline de tipo I.

De facto, para cada conjunto de valores numericos αki , ηk

0 e ηkm, e sempre possıvel achar

f ∈ Kp[a, b] que satisfaca as condicoes prescritas.

13


Uma funcao L-spline de tipo I tem prescritas p condicoes no instante inicial t0 e p

condicoes no instante final tm. Em cada instante ti, i = 1, 2, . . . ,m− 1, estao prescritas

2p condicoes que resultam da soma de zi condicoes de interpolacao e de 2p− zi condicoes

de suavidade. E claro que o numero de condicoes de interpolacao pode variar ao longo

dos instantes ti. O mesmo sucede para as condicoes de suavidade.

Se s e um L-spline de tipo I entao cada segmento si pertence ao subespaco3 kerL∗L

para todo i = 0, 1, . . . ,m − 1. Cada si e combinacao linear de 2p funcoes infinitamente

diferenciaveis. Para determinar estas funcoes basta conhecer as raızes da equacao carac-

terıstica associada ao operador L, uma vez que λ e raiz da equacao associada a L se e so se

−λ e raiz da equacao associada ao operador adjunto L∗. A expressao final de s depende

da determinacao de 2pm constantes reais. Na Definicao 1.1 as condicoes de continuidade

nos pontos ti de ∆, com i 6= 0,m, originam∑m−1

i=1 (2p − zi) = 2p(m − 1) −∑m−1

i=1 zi

equacoes. As condicoes de interpolacao (i), na Definicao 1.3, permitem escrever∑m−1

i=1 zi

equacoes. Finalmente, as condicoes de fronteira (ii), ainda na Definicao 1.3, dao origem

a 2p equacoes. Obtem-se um total de 2pm equacoes lineares nas 2pm constantes reais,

isto e, um sistema linear algebrico Az = c onde a matriz dos coeficientes e quadrada de

ordem 2pm. Este sistema acaba por ser sempre possıvel e determinado como veremos

mais a frente.

1.1.2 Existencia e unicidade. Primeira relacao integral

Apresentam-se os resultados principais que permitem assegurar a existencia de um unico

L-spline de tipo I para cada conjunto de valores de interpolacao e de fronteira. O proximo

resultado apresenta uma relacao entre os operadores L e L∗ que e conhecida na literatura

por Identidade de Lagrange.

Teorema 1.1 (Identidade de Lagrange)

Se g e h sao duas funcoes reais definidas e com derivadas ate a ordem p em [a, b] entao

h(t)Lg(t) − g(t)L∗h(t) =d

dtB(g(t), h(t)) (1.2)

onde B(g, h) representa a expressao matematica

p−1∑

j=0

g(p−j−1)

j∑

k=0

(−1)k (ap−j+k h)(k) .

A demonstracao da identidade de Lagrange (1.2) pode encontrar-se, por exemplo, em

Coddington e Levinson [17].

Lema 1.1

A funcao nula em [a, b] e o unico L-spline de tipo I com valores de interpolacao e de

fronteira nulos.

3Adopta-se a nomenclatura inglesa “ker” para representar o nucleo de uma aplicacao linear.

14

1.1. Funcoes L-spline

Podemos recorrer a identidade de Lagrange para demonstrar este resultado.

Teorema 1.2

Existe um unico L-spline de tipo I para cada conjunto prescrito de valores de interpolacao

e de fronteira.

Demonstracao - A determinacao de uma funcao L-spline de tipo I esta directamente

dependente da resolucao de um sistema linear algebrico Az = c com igual numero de

equacoes e incognitas. Se os valores de interpolacao e de fronteira prescritos forem todos

nulos entao o sistema linear e homogeneo. O Lema 1.1 permite deduzir que este sistema

tem apenas uma solucao. Daqui resulta que a solucao de Az = c existe e e unica

qualquer que seja o vector c, e portanto, existe sempre um unico L-spline de tipo I para

cada conjunto prescrito de valores de interpolacao e de fronteira.

O conceito de L-spline interpolador de tipo I (Definicao 1.2) esta bem presente nos

proximos resultados, cujas demonstracoes podem encontrar-se em Prenter [54].

Lema 1.2

Se f ∈ Kp[a, b] e s e um L-spline interpolador de f de tipo I, entao

∫ b

a

Ls(t) (Lf(t) − Ls(t)) dt = 0 .

Teorema 1.3 (Primeira relacao integral)

Se f ∈ Kp[a, b] e s e um L-spline interpolador de f de tipo I, entao

∫ b

a

(Lf(t))2 dt =

∫ b

a

(Ls(t))2 dt+

∫ b

a

(Lf(t) − Ls(t))2 dt .

Demonstracao - Desenvolvendo o integral∫ b

a(Lf(t) − Ls(t))2 dt obtem-se

∫ b

a

(Lf(t) − Ls(t))2 dt =

∫ b

a

(Lf(t))2 dt− 2

∫ b

a

Lf(t)Ls(t) dt+

∫ b

a

(Ls(t))2 dt

=

∫ b

a

(Lf(t))2 dt− 2

∫ b

a

Ls(t) (Lf(t) − Ls(t)) dt

−∫ b

a

(Ls(t))2 dt .

A aplicacao do Lema 1.2 permite obter o resultado desejado.

Dos Teoremas 1.2 e 1.3 resulta o seguinte corolario valido para qualquer funcao L-spline

de tipo I.

Corolario 1.1

Se s e um L-spline de tipo I, entao s minimiza a funcional

J(y(·)) =

∫ b

a

(Ly(t))2 dt

15


no conjunto de todas as funcoes y ∈ Kp[a, b] que tenham valores de interpolacao e de

fronteira iguais aos valores de s.

Os resultados apresentados permanecem validos mesmo quando a funcao spline s e

de classe C 2p em cada intervalo [ti, ti+1]. Daqui em diante, usamos sempre esta classe de

funcoes em vez de K2p. E ainda, por uma questao de simplicidade, chamamos as funcoes

L-spline de tipo I apenas funcoes L-spline.

1.1.3 Um caso particular: splines generalizados

As funcoes L-spline (de tipo I) tem em cada instante ti, i = 1, 2, . . . ,m− 1, um numero

zi de condicoes de interpolacao e um numero 2p − zi de condicoes de suavidade (que

garantem a continuidade da funcao e das suas derivadas ate a ordem 2p − zi − 1 no

instante ti). E de esperar que o numero de condicoes de interpolacao bem como o

numero de condicoes de suavidade possa variar ao longo dos instantes ti. Uma situacao

especial ocorre quando zi = 1 para todo i = 1, 2, . . . ,m − 1. Em cada instante ti existe

apenas uma condicao de interpolacao simples e 2p− 1 condicoes de suavidade, isto e, a

funcao spline e afinal de classe C 2p−2 em [a, b]. Estas funcoes L-spline muito particulares,

que correspondem a escolha do vector de incidencia Z = (1, 1, . . . , 1), sao conhecidas na

literatura como splines generalizados (de tipo I). Este conjunto de funcoes, subconjunto

das funcoes L-spline, surgiu em 1964 no trabalho de Ahlberg, Nilson e Walsh [2].

1.2 Abordagem variacional

Nesta seccao interpretamos as funcoes L-spline do ponto de vista do calculo das variacoes.

O Corolario 1.1 e o resultado principal que permite vislumbrar esta nova abordagem. Os

resultados obtidos dizem apenas respeito ao caso em que o operador diferencial L em (1.1)

e invariante no tempo, isto e, tem coeficientes constantes.

Considere o operador diferencial

L· ≡ Dp · + ap−1Dp−1 · + · · · + a1D · + a0· ,

a particao do intervalo [a, b]

∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b

e o vector de incidencia associado a ∆

Z = (z1, z2, . . . , zm−1) .

Ω representa o espaco de todas as funcoes y : [a, b] → R que sao de classe C 2p em cada

subintervalo [ti, ti+1]. Seja (Pv) o seguinte problema do calculo das variacoes:

16

1.2. Abordagem variacional

J(y(·)) =

∫ b

a

(Ly(t))2 dt −−−→y ∈Ω

min ,

sujeito as condicoes de interpolacao

y(k)(ti) = αki , i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , zi − 1 , (1.3)

de fronteira

y(k)(t0) = ηk0 , y(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1 , (1.4)

e de suavidade

y(k)(ti−) = y(k)(ti

+), i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , 2p− 1 − zi , (1.5)

onde αki , ηk

0 e ηkm sao numeros reais prescritos.

Denotamos por ΩA o conjunto das funcoes admissıveis para o problema (Pv), isto e,

o subconjunto das funcoes y de Ω que tem as propriedades de interpolacao (1.3), de

fronteira (1.4) e de suavidade (1.5). Neste contexto, uma funcao δy : [a, b] → R e uma

variacao admissıvel de y ∈ ΩA se y + δy pertence a ΩA. A variacao de Gateaux da

funcional J em y, segundo δy, e representada por δJ(y, δy) e pode calcular-se do seguinte

modo

δJ(y, δy) =

(d

dαJ(y + αδy)

)

α=0

.

Apresentamos uma condicao necessaria para que uma funcao y ∈ ΩA seja solucao do

problema (Pv).

Teorema 1.4

Se y ∈ ΩA e solucao do problema (Pv) entao y e solucao da equacao diferencial L∗Lx = 0

em todo o intervalo [ti, ti+1] com i = 0, 1, . . . ,m− 1.

No enunciado deste resultado, L∗ representa, tal como e habito, o operador adjunto

associado ao operador L. Neste caso, ele tem a seguinte expressao

L∗· ≡ (−1)pDp · + (−1)p−1ap−1Dp−1 · + · · · − a1D · + a0 · .

A demonstracao do teorema passa por comprovar que a equacao de Euler-Lagrange asso-

ciada ao problema (Pv), se reduz simplesmente a equacao diferencial L∗Lx = 0 em cada

intervalo [ti, ti+1], i = 0, 1, . . . ,m − 1. Para atingir este objectivo e preciso utilizar o

seguinte resultado fundamental na area do calculo das variacoes.

Teorema 1.5 (Teorema fundamental do calculo das variacoes)

Se J tem um extremo em y ∈ ΩA entao δJ(y, δy) = 0 para toda a variacao admissıvel δy

de y.

17


Demonstracao - (do Teorema 1.4)

Seja y ∈ ΩA uma solucao do problema (Pv) e δy uma qualquer variacao admissıvel de y.

Calcule-se a variacao de Gateaux da funcional J . Tem-se

δJ(y, δy) =

(d

dα

∫ b

a

(Ly(t) + αLδy(t))2 dt

)

α = 0

=

(d

dα

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

(Ly(t) + αLδy(t))2 dt

)

α =0

=

(m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

2 (Ly(t) + αLδy(t))Lδy(t) dt

)

α = 0

=

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

2Ly(t)Lδy(t) dt .

Note-se que a permuta entre as operacoes de derivacao e integracao e justificada pelo

facto de y e δy pertencerem a Ω. Como y e solucao do problema, tem de acontecer

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

Ly(t)Lδy(t) dt = 0 ,

qualquer que seja δy. Aplicando a identidade de Lagrange (1.2) obtem-se a equacao

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

δy(t)L∗Ly(t) dt+m−1∑

i=0

B(δy(t), Ly(t))]ti+1

ti= 0 ,

que e simplesmente equivalente a

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

δy(t)L∗Ly(t) dt = 0 , (1.6)

porque δy e uma variacao admissıvel. Por fim, dado que δy e uma variacao admissıvel

arbitraria, pode concluir-se que a relacao estabelecida em (1.6) implica forcosamente que

y e solucao de L∗Lx = 0 em cada subintervalo [ti, ti+1]. De facto, suponha-se que a

funcao h = L∗Ly e diferente de zero em t = t∗ pertencente a um determinado intervalo

[tj , tj+1]. Porque h e uma funcao contınua, existe um intervalo [c, d] ⊂ [tj , tj+1] onde h

tem sinal constante. Supoe-se h(t) > 0 e considera-se a variacao admissıvel

δy(t) =

((t− c)(d− t))2p+1 se t ∈ [c, d]

0 se t ∈ [a, b] \ [c, d].

Nestas condicoes, deduz-se que

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

δy(t)L∗Ly(t) dt =

∫ d

c

((t− c)(d− t))2p+1 L∗Ly(t) dt > 0 ,

conclusao que contradiz (1.6). O raciocınio e semelhante caso h seja uma funcao negativa

no intervalo [c, d].

18

1.3. Um problema de controlo optimal para funcoes L-spline

O Teorema 1.4 apresenta uma condicao necessaria para que y ∈ ΩA seja extremal da

funcional J , isto e, seja solucao do problema (Pv). Na verdade, o Teorema 1.4 permite

concluir que toda a solucao y : [a, b] → R do problema (Pv) tem as seguintes propriedades:

y e de classe C 2p, y e solucao de L∗Lx = 0 em todo o intervalo [ti, ti+1], y e suave no

intervalo [a, b] de acordo com as condicoes (1.5), y satisfaz determinadas condicoes de

interpolacao (1.3) e de fronteira (1.4). Uma funcao que satisfaz em simultaneo estas

propriedades e sem qualquer duvida um L-spline (de tipo I). No Teorema 1.2 ficou esta-

belecido que esta funcao existe e e unica. Estas conclusoes permitem enunciar os proximos

resultados.

Corolario 1.2

y ∈ ΩA e solucao do problema (Pv) se e so se y e solucao da equacao diferencial L∗Lx = 0

em todo o intervalo [ti, ti+1] com i = 0, 1, . . . ,m− 1.

Teorema 1.6

A unica solucao do problema (Pv) e a funcao L-spline que satisfaz as condicoes de inter-

polacao e de fronteira prescritas no enunciado do problema.

1.3 Um problema de controlo optimal

para funcoes L-spline

A abordagem variacional discutida na seccao anterior permite-nos estabelecer uma ponte

entre a teoria das funcoes L-spline (splines associados a operadores diferenciais) e pro-

blemas de controlo optimal associados a dinamicas lineares. Mais uma vez, os resultados

obtidos dizem apenas respeito ao caso em que o operador diferencial L tem coeficientes

constantes.

1.3.1 Formulacao e analise do problema

(modelo de entrada-saıda)

Seja

∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b

uma particao do intervalo [a, b] e seja

Z = (z1, z2, . . . , zm−1)

um vector de incidencia associado a ∆. Sejam L e Lc os dois operadores lineares com

coeficientes constantes

L· ≡ Dp · + ap−1Dp−1 · + · · · + a1D · + a0· ,

Lc· ≡ cpDp · + · · · + c1D · + c0 · .

19


Nao se assume cp 6= 0 e define-se o numero inteiro σ, 0 ≤ σ ≤ p, da forma

σ = max j : cj 6= 0 .

Assume-se que os operadores diferenciais L e Lc nao tem factores em comum,

isto e, que os polinomios caracterısticos associados aos operadores L e Lc sao

primos entre si.

Seja (Pc) o problema de controlo optimal

J(u(·)) =

∫ b

a

(Lcu(t))2 dt −−−→

u∈Umin ,

sujeito ao sistema de controlo

Ly(t) = Lc u(t) , em q.t.p. t ∈ [a, b] 4 ,

as condicoes de interpolacao

y(k)(ti) = αki , i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , zi − 1 ,

de fronteira

y(k)(t0) = ηk0 , y(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1 ,

e de suavidade


+), i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , 2p− 1 − zi ,

onde αki , ηk

0 e ηkm sao numeros reais prescritos.

Utilizou-se U para representar o conjunto de todos os controlos admissıveis para o pro-

blema (Pc). Entende-se por controlo admissıvel, qualquer funcao real seccionalmente

contınua e limitada no intervalo [a, b], de classe C p+σ em cada subintervalo [ti, ti+1],

onde i = 0, 1, . . . ,m− 1.

No problema de controlo optimal apresentado o sistema de controlo esta descrito por

uma equacao diferencial que envolve a entrada u e a saıda y. E uma representacao de

entrada-saıda5. O sistema e linear, invariante no tempo, com uma unica entrada e uma

unica saıda. E um sistema SISO6. Nao e muito vulgar observar em problemas de controlo

optimal uma descricao do sistema (fısico) que seja tao geral.

A relacao entre o problema de controlo optimal (Pc) e o problema do calculo das

variacoes (Pv) e mais ou menos clara. Reescreveu-se o problema (Pv) introduzindo o

controlo u : [a, b] → R por meio da equacao diferencial Ly = Lc u. Assim, os resultados

obtidos para o problema (Pv) sugerem, desde logo, como responder a questao da existencia

de solucoes para o problema de controlo optimal. Em simultaneo, permitem obter uma

primeira caracterizacao das solucoes de (Pc).

4(q.t.p.) - em quase todos os pontos.5Ou representacao externa pois intervem apenas as variaveis externas do sistema.6Do Ingles “single input single output”.

20


Teorema 1.7

Se σ 6= 0 entao o problema (Pc) tem multiplas solucoes. Cada solucao e uma funcao

seccionalmente contınua, constituıda por m segmentos distintos, cada qual dependente

de σ parametros livres.

Demonstracao - O problema de controlo optimal (Pc) tem pelo menos uma solucao

porque o problema (Pv) tem solucao. Alem disso, cada solucao de (Pc) gera sempre

o mesmo output optimo, isto e, a mesma funcao L-spline. Seja y este L-spline, unica

solucao do problema (Pv), e seja u uma solucao do problema (Pc). Como y e uma

funcao constituıda por m segmentos distintos (de classe C 2p) e L y(t) = Lc u(t) em q.t.p.

do intervalo [a, b], conclui-se que u tambem e uma funcao constituıda por m segmentos

distintos. Cada segmento esta definido num dos subintervalos [ti, ti+1], i = 0, 1, . . . ,m−1,

e e de classe C p+σ. Sejam ui e yi os segmentos de u e y no intervalo generico [ti, ti+1]. O

segmento ui e solucao da equacao diferencial linear completa Lc z = φi onde φi representa

a funcao L yi. Logo, ui pertence ao espaco afim v+kerLc, onde v e uma solucao particular

da equacao completa. Deduziu-se que a expressao de cada segmento ui depende de σ

parametros livres, ou seja, concluı-se que o problema (Pc) tem uma multiplicidade de

solucoes se σ 6= 0.

O proximo resultado e consequencia imediata do resultado anterior.

Corolario 1.3

Se σ = 0 entao o problema (Pc) tem apenas uma solucao. Esta e uma funcao seccional-

mente contınua constituıda por m segmentos distintos.

Quando σ 6= 0, cada controlo optimo depende da concretizacao de mσ constantes reais.

Esta liberdade na escolha de uma solucao e uma mais valia do ponto de vista pratico.

Quando σ = 0 o problema tem uma unica solucao. A expressao do controlo optimo e

simplesmente

u(t) = c0−1L y(t) , em q.t.p. t ∈ [a, b] .

Observacao 1.3

Nao e de esperar que as solucoes do problema (Pc) sejam funcoes contınuas em todo

o intervalo [a, b] (podem ocorrer descontinuidades (de primeira especie) nos instantes

intermedios ti ∈ ∆), no entanto, existem casos em que tal acontece. Quando σ = 0

mostra-se que a solucao do problema e contınua no instante ti se a componente zi,

do vector de incidencia Z, tiver um valor inferior a p. Logo, o controlo optimo sera

uma funcao contınua em todo o intervalo [a, b] quando acontecer zi < p para todo i =

1, 2, . . . ,m − 1. E possıvel afirmar um pouco mais. Quando Lc ≡ cσDσ e zi < p para

todo i, verifica-se que cada controlo optimo e pelo menos de classe C σ em todo o [a, b].

A demonstracao do Teorema 1.7 mostra como calcular as solucoes ou solucao do pro-

blema (Pc). Em primeiro lugar e preciso calcular o output optimo y do problema. Depois,

21


a determinacao da expressao geral das solucoes do problema, e feita localmente, com base

em cada segmento de y. O proximo teorema apresenta uma propriedade importante das

solucoes do problema (Pc).

Teorema 1.8

Se u e uma solucao de (Pc) entao cada segmento ui pertence ao subespaco kerL∗Lc.

Demonstracao - Seja u uma solucao de (Pc) e ui o seu segmento no intervalo ar-

bitrario [ti, ti+1]. Pretende-se mostrar que o segmento ui e solucao da equacao diferencial

L∗Lc z = 0, no intervalo [ti, ti+1]. Seja y o output optimo do problema (Pc) e yi o seg-

mento de y no intervalo [ti, ti+1]. Neste intervalo, os segmentos ui e yi sao tais L∗L yi = 0

e L yi = Lc ui. Daqui resulta naturalmente que L∗Lc ui = 0.

Em particular, quando σ = 0, cada segmento ui do controlo optimo u, pertence ao

subespaco kerL∗.

Ficou claro que as funcoes L-spline tem uma interpretacao natural do ponto de vista

da teoria de sistemas, como output optimo do problema de controlo optimal (Pc). Vale

a pena observar que a cada L-spline nao esta associado um unico problema de controlo,

mas sim um conjunto de problemas, cuja unica diferenca, consiste no operador Lc.

Na formulacao do problema de controlo optimal o sistema de controlo esta descrito

por um modelo matematico de entrada-saıda, dado pela equacao diferencial Ly = Lc u.

Ate aqui, todo o estudo realizado teve como base esta representacao. A seguir apresen-

tamos uma formulacao alternativa para o problema (Pc). Esta consiste na substituicao

do modelo de entrada-saıda por um modelo de estado7. Pretende-se apresentar uma for-

mulacao classica do problema (Pc) que, em particular, nos permite mostrar que o exposto

em (Martin et al. [46]), (Zhang, Tomlinson e Martin [80]), (Rodrigues [66]) e (Rodrigues,

Silva Leite e Simoes [60]), e uma consequencia dos resultados apresentados neste capıtulo.

1.3.2 Formulacao e analise do problema

(modelo de estado)

O modelo de estado que corresponde a equacao diferencial de entrada-saıda

y(p) + ap−1y(p−1) + · · · + a0y = cpu

(p) + · · · + c0u , (1.7)

e o seguinte x(t) = Ax(t) +Bu(t) (equacao de estado)

y(t) = Cx(t) + du(t) (equacao de saıda). (1.8)

O sistema e linear e invariante no tempo porque a sua representacao de entrada-saıda e

uma equacao diferencial linear de coeficientes constantes. A representacao de estado (1.8)

e uma representacao minimal8 porque os operadores diferenciais L e Lc nao tem factores

7Esta representacao do sistema e tambem designada por representacao interna.8Nao existe outra representacao de estado do sistema com menor numero de variaveis de estado.

22


em comum. Logo, o vector de estado x toma valores no espaco de estados X = Rp, A

e uma matriz (quadrada) de ordem p, B e uma matriz coluna com p linhas, C e uma

matriz linha com p colunas e d e um numero real. A concretizacao das matrizes A, B,

C e do escalar d nao e, no entanto, unica. Existe uma infinidade de representacoes de

estado (1.8), associadas a mesma representacao de entrada-saıda, que resultam de mu-

dancas de coordenadas no espaco de estados. Neste ponto, vale a pena referir que estas

mudancas de coordenadas nao se reflectem na saıda do sistema, isto e, a expressao de

y nao sofre alteracoes. Todas estas representacoes de estado acabam por partilhar duas

caracterısticas muito importantes. Sao em simultaneo completamente controlaveis e com-

pletamente observaveis no intervalo [a, b] (consequencia da representacao ser minimal).

Sem perder generalidade no tratamento do problema, consideramos a representacao de

estado que consiste em escolher

A =

0 1 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · 1

−a0 −a1 · · · −ap−1

p×p

B =

0...

0

1

p×1

(1.9)

C =[c0 − a0cp · · · cp−1 − ap−1cp

]1×p

d = cp .

Confirmar que a representacao de estado (1.9) corresponde a representacao de entrada-

saıda (1.7) e um exercıcio simples. Seja x = [x1, . . . , xp]′ o vector de estado9. Da equacao

de estado obtem-se o conjunto de equacoes

x1 = x2 , · · · xp−1 = xp , xp = −a0x1 − a1x2 − · · · − ap−1xp + u .

Daqui decorre que xi = x(i−1)1 para todo o i = 1, 2, . . . , p. Logo, x1 e u sao tais que

x1(p) + ap−1x1

(p−1) + · · · + a0x1 = u, isto e, tais que

Lx1 = u . (1.10)

Entretanto, a equacao de saıda permite escrever

y = Cx+ du

= (c0 − a0cp)x1 + · · · + (cp−1 − ap−1cp)x(p−1)1 + cpu

= c0x1 + · · · + cp−1x(p−1)1 + cpu− cp

(Lx1 − x

(p)1

).

Usando (1.10) obtem-se

y = c0 x1 + · · · + cp−1 x(p−1)1 + cp x

(p)1 = Lc x1 .

9Utiliza-se o sımbolo ′ para indicar a transposta de uma matriz.

23


Ou seja, a representacao (1.9) permite deduzir o conjunto de equacoes

Lx1(t) = u(t)

y(t) = Lc x1(t)(1.11)

onde t ∈ [a, b]. A equacao diferencial de entrada-saıda e agora uma consequencia imedia-

ta. Note-se que a passagem da representacao (1.7) para a representacao (1.9) e simples.

Basta ter em conta as constantes a0, . . . , ap−1 e c0, . . . , cp.

Observacao 1.4

Cada representacao de estado resulta de uma escolha distinta das variaveis de estado.

No caso da representacao (1.9) verificou-se que as variaveis de estado sao x1 e as suas

p − 1 primeiras derivadas. Quando p − 1 variaveis de estado dependem de uma unica

variavel de estado da forma descrita, e costume chamar a x1, . . . , xp variaveis de fase.

Um conjunto muito particular de variaveis de fase consiste em tomar x1 = y e xi =

y(i−1), i = 2, 3 . . . , p. No entanto, nem sempre e possıvel obter uma representacao de

estado consistente com este conjunto de variaveis de estado. No caso da representacao de

estado (1.9) tal nao e simplesmente possıvel sem a imposicao de uma condicao adicional.

Esta situacao particular e apresentada mais a frente.

Seja (Pce) o problema de controlo optimal que resulta do problema (Pc), por substi-

tuicao do modelo de entrada-saıda (1.7) pelo modelo de estado (1.9):

J(u(·)) =

∫ b

a

(Lcu(t))2 dt −−−→

u∈Umin ,

sujeito a dinamica

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) + du(t) em q.t.p. t ∈ [a, b],


y(k)(ti) = αki , i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , zi − 1 ,

de fronteira

y(k)(t0) = ηk0 , y(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1 ,

e de suavidade


+), i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , 2p− 1 − zi ,

onde αki , ηk

0 e ηkm sao numeros reais prescritos e U e tal como descrito na

pagina 20.

24


Podemos afirmar que os problemas (Pc) e (Pce) sao equivalentes, isto e, partilham o

mesmo conjunto de solucoes e geram o mesmo output optimo. Esta equivalencia e con-

sequencia (mais uma vez) de os operadores L e Lc nao terem factores em comum.

Com a formulacao do problema (Pce) e preciso garantir que o sistema e completamente

controlavel, no intervalo [a, b], do ponto de vista da saıda (output controllability). Ou

seja, e necessario averiguar se a matriz

Γ =[CB CAB · · · CAp−1B d

]1×(p+1)

tem caracterıstica completa, isto e, rankΓ = 1. No caso do problema (Pce) acontece

sempre. O resultado e obvio se d 6= 0. Quando d = 0, o resultado e uma consequencia

da propriedade de controlabilidade completa do estado.

Na formulacao do problema (Pce) o operador diferencial L esta obviamente dissi-

mulado. Para determinar a expressao do output optimo em cada subintervalo [ti, ti+1],

i = 1, 2, . . . ,m − 1, basta conhecer os valores proprios da matriz A (que equivale ao

calculo das raızes da equacao caracterıstica associada ao operador L).

Observacao 1.5

Assumiu-se inicialmente que os operadores L e Lc nao tem factores em comum. Verifica-

se que esta imposicao so e mesmo relevante, a partir do momento em que se pretende

apresentar a formulacao alternativa para o problema (Pc). De facto, os resultados obtidos

para (Pc), permanecem validos mesmo quando L e Lc tem algum factor em comum. No

entanto, nesta situacao, a obtencao da formulacao alternativa deixa de fazer sentido.

Ja nao e possıvel estabelecer a mesma equivalencia entre os problemas (Pc) e (Pce). E

sempre possıvel formular o problema (Pce) com a representacao de estado (1.9). Esta ja

nao e uma representacao minimal e por isso, embora controlavel, nao e em simultaneo

observavel. Verifica-se que o sistema continua completamente controlavel do ponto de

vista da saıda. Verifica-se tambem que o problema tem sempre solucao e continua a

produzir o mesmo output optimo. No entanto, nem toda a solucao do problema (Pc) e

agora solucao do problema (Pce). Seja u uma qualquer solucao do problema (Pce). Ja se

observou que a representacao de estado (1.9) implica o conjunto de equacoes (1.11). Em

particular, num intervalo generico [ti, ti+1], tem-seLx1 = ui

yi = Lc x1

.

Daqui resulta que o segmento ui tem de pertencer ao espaco afim Lv + L[ kerLc], onde

v e uma solucao particular da equacao completa Lc z = yi. Como

dimL[ kerLc] = dim kerLc − dim (kerL ∩ kerLc)

e dim kerLc = σ, deduz-se que o numero de parametros livres na expressao de ui e agora

σ − ρ, onde ρ e o numero de factores comuns a L e Lc. Ou seja, o conjunto de solucoes

25


do problema (Pce) e um subconjunto proprio do conjunto de solucoes do problema (Pc).

Observe-se que o problema (Pce) tem solucao unica se e so se o operador L e um multiplo

do operador Lc, isto e, se e so se ρ = σ.

1.3.3 Splines generalizados e controlo optimal

Quando o vector de incidencia e Z = (1, 1, . . . , 1) e σ = 0, verifica-se que os problemas

(Pc) e (Pce) (com dinamica de entrada-saıda e dinamica de estado) estao directamente

associados aos splines generalizados de Ahlberg, Nilson e Walsh. Este foi o tema dos

trabalhos de investigacao (Martin et al. [46]), (Zhang, Tomlinson e Martin [80]), (Ro-

drigues [66]) e (Rodrigues, Silva Leite e Simoes [60]). Nestes trabalhos foi estudado

apenas o problema (Pce) com c0 = 1, isto e, o problema que consiste em

J(u(·)) =

∫ b

a

u(t) 2 dt −−−→u∈U

min ,

sujeito a dinamicax(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = x1(t) em q.t.p. t ∈ [a, b],


y(ti) = αi, i = 1, 2, . . . ,m− 1 ,

de fronteira

y(k)(t0) = ηk0 , y(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1 ,

e de suavidade


+), i = 1, 2, . . . ,m− 1, k = 0, 1, . . . , 2p− 2 ,

onde αi, ηk0 e ηk

m sao numeros reais prescritos e U e tal como descrito na

pagina 20.

Os resultados coincidem mas sao obtidos de uma forma substancialmente diferente. Em

particular, e possıvel mostrar que a unica solucao deste problema e afinal de classe C p−2

no intervalo [a, b]. Esta e a unica situacao em que as variaveis de estado sao x1 = y e

xi = y(i−1), i = 2, 3 . . . , p.

1.3.4 Exemplos

Apresentam-se tres exemplos. Para todos fixou-se p = 2, o intervalo [0, 3], a particao

∆ : a = 0 < 0.5 < 1 < 2 < 2.25 < 3 = b ,

26


e o vector de incidencia

Z = (2, 1, 2, 1) .

Prescrevem-se as mesmas condicoes de interpolacao

y(t1) = 1.5 , y(t2) = 1 , y(t3) = 0.5 , y(t4) = 1/6 , (1.12)

y(t1) = −1 , y(t3) = −0.5 . (1.13)

As mesmas condicoes de fronteira

y(0) = 3 , y(3) = 0 , (1.14)

y(0) = −1 , y(3) = 0 . (1.15)

As condicoes de suavidade que resultam naturalmente do vector de incidencia sao

y(t1−) = y(t1

+) , y(t2−) = y(t2

+) , (1.16)

y(t1−) = y(t1

+) , y(t2−) = y(t2

+) , (1.17)

y(t2−) = y(t2

+) , (1.18)

y(t3−) = y(t3

+) , y(t4−) = y(t4

+) , (1.19)

y(t3−) = y(t3

+) , y(t4−) = y(t4

+) , (1.20)

y(t4−) = y(t4

+) . (1.21)

Apresentam-se os graficos do output optimo e de uma solucao para cada problema.

Exemplo 1.1

J(u(·)) =

∫ 3

0

(u(t))2 dt −−→ min ,


y(t) = u(t)

e as condicoes (1.12)–(1.21).

Ao sistema de controlo corresponde a representacao de estadox1 = x2

x2 = u, y = x1 .

Conclui-se que o problema tem uma unica solucao porque σ = 0. O output optimo

correspondente y e em cada subintervalo solucao da equacao diferencial z(4) = 0, isto

e, y e um polinomio de grau maximo tres em cada subintervalo. Consequentemente, o

controlo optimo u e em cada subintervalo um polinomio de grau maximo um. Observa-se

que u e uma funcao contınua nos instantes t2 = 1 e t4 = 2.25, confirmando o que foi dito

na Observacao 1.3.

27


t1 t2 t3 t4 3

1

2

3 y(·)

0 t

t1 t2 t3 t4 3

−20

−10

0

10

20u(·)

t

Figura 1.1: Output optimo e controlo optimo

Exemplo 1.2

J(u(·)) =

∫ 3

0

(2u(t) + u(t))2 dt −−→ min ,


y(t) + 36y(t) = 2u(t) + u(t)


O sistema de controlo tem a seguinte representacao de estadox1 = x2

x2 = −36x1 + u, y = x1 + 2x2 .

A solucao do problema de controlo optimal nao e unica porque σ = 1. Cada controlo

optimo u depende, em cada subintervalo, de um parametro livre. O output optimo y e

em cada subintervalo combinacao linear das funcoes φ1(t) = cos (6t), φ2(t) = t cos (6t),

φ3(t) = sin (6t) e φ4(t) = t sin (6t).

t1 t2 t3 t4 3

1

2

3 y(·)

0 t0 t1 t2 t3 t4 3

4

8

12

16 u(·)

t

Figura 1.2: Output optimo e um controlo optimo

28

1.4. Observacoes finais e referencias

Exemplo 1.3

J(u(·)) =

∫ 3

0

(u(t) − u(t) − 2u(t))2 dt −−→ min ,

sujeito a

y(t) + 9y(t) − 10y(t) = u(t) − u(t) − 2u(t)


O sistema de controlo tem a seguinte representacao de estado

x1 = x2

x2 = 10x1 − 9x2 + u, y = 8x1 − 10x2 + u .

A solucao do problema de controlo optimal nao e unica porque σ = 2. Cada controlo

optimo depende em cada subintervalo de dois parametros livres. O output optimo y e

em cada subintervalo combinacao linear de funcoes exponenciais.

t1 t2 t3 t4 3

1

3 y(·)

0

2

t 0 t1 t2 t3 t4 3

2

4

6u(·)

t

Figura 1.3: Output optimo e um controlo optimo

1.4 Observacoes finais e referencias

Parte dos resultados apresentados neste capıtulo esta publicada em revista internacional

em (Rodrigues e Silva Leite [61]). Estes resultados foram apresentados, pelo autor, na

conferencia internacional “ECC’01 - European Control Conference” (Porto, Portugal),

encontrando-se publicados em (Rodrigues [67]). Em [61] e apresentada a relacao entre as

funcoes L-spline e a teoria de sistemas, atraves do estudo de um problema de controlo,

semelhante ao problema (Pce).

Os resultados apresentados neste capıtulo onde se destaca o problema de controlo

optimal com representacao de entrada-saıda, foram recentemente apresentados, pelo au-

tor, na conferencia internacional “CONTROLO’2006 - 7th Portuguese Conference on

Automatic Control” (Lisboa, Portugal) e publicados em (Rodrigues e Silva Leite [64]).

29


Vale a pena observar que a aplicacao directa do Princıpio do Maximo de Pontryagin

ao problema de controlo optimal (Pc) permite, sem recorrer ao problema (Pv), obter os

resultados contidos no Teorema 1.7.

Sobre funcoes L-spline e de destacar fundamentalmente o trabalho original de Schultz

e Varga [70]. Sobre splines generalizados e obrigatorio consultar os trabalhos de Ahlberg,

Nilson e Walsh [2, 3]. Os resultados que estabelecem uma ligacao global entre splines ge-

neralizados e a teoria de sistemas encontram-se publicados em (Martin et al. [46]), (Zhang,

Tomlinson e Martin [80]), (Rodrigues [66]) e (Rodrigues, Silva Leite e Simoes [60]). A

interpretacao das funcoes spline na perspectiva do calculo das variacoes e natural. Nao

e no entanto tao divulgada. Sobre este assunto veja-se por exemplo (Micula [47]).

Sobre teoria de sistemas, e em particular sobre sistemas lineares, existem inumeras

publicacoes. Destacam-se apenas as seguintes referencias (Brockett [12]), (Luenberger

[43]), (Kailath [37]), (Rugh [68]) e (Ribeiro [56, 57]). Sobre controlabilidade completa

da saıda (de um sistema linear) sugerem-se (Kreindler e Sarachik [39]) e (Brockett e

Mesarovic [11]). Nestes trabalhos e possıvel encontrar uma exposicao mais elaborada

deste topico da teoria de sistemas. Sobre calculo das variacoes menciona-se em particu-

lar (Gelfand e Fomin [31]) e, num contexto mais vasto, (Luenberger [42]), (Prenter [54]),

(Arnold [7]) e (Agudo [23]). Num contexto mais geral citam-se (Apostol [5, 6]).

30

Capıtulo 2

Splines generalizados em espacos Euclidianos

e controlo optimal

Neste capıtulo apresentamos uma generalizacao a espacos Euclidianos de di-

mensao arbitraria dos splines generalizados tratados no capıtulo anterior.

Analisamos as suas propriedades, deduzimos resultados de existencia e unici-

dade e estabelecemos, tal como no capıtulo precedente, a ligacao entre estas

curvas e a teoria de sistemas.

O conceito de spline generalizado escalar (introduzido na pagina 16) pode

estender-se de forma imediata a espacos Euclidianos de dimensao arbitraria.

Para tal basta substituir funcoes escalares por funcoes vectoriais (curvas em

Rn), mantendo o operador diferencial L, linear de ordem p, adaptando as

condicoes de interpolacao, as condicoes de fronteira e as condicoes de suavi-

dade. Porque o operador L nao sofre alteracoes esta generalizacao e simples.

Cada componente da curva spline e um spline generalizado escalar, e por

isso, a curva spline minimiza a funcional∫ b

a〈Lx,Lx〉 dt, onde 〈·, ·〉 representa

o produto interno Euclidiano, no conjunto de todas as curvas com a mesma

suavidade, que satisfazem identicas condicoes de interpolacao e de fronteira.

Embora esta generalizacao seja imediata e de notar que apenas o caso polino-

mial, associado ao operador L ≡ Dp, encontra destaque na literatura, onde o

uso destas curvas polinomiais e recorrente em trabalhos de investigacao que

envolvem aplicacoes no planeamento de trajectorias.

Sabemos que os splines generalizados escalares estao directamente associa-

dos a um determinado problema de controlo optimal, isto e, sao a primeira

componente do estado optimo de um problema de controlo linear-quadratico

(pagina 26). Pelo menos duas questoes surgem naturalmente de imediato:

O que podemos concluir sobre o estado optimo? Sera ele uma curva spline

em Rn? A procura de resposta para estas duas perguntas, conduziu-nos a

31

Splines generalizados em espacos Euclidianos e controlo optimal

uma outra classe de curvas spline, definidas a custa de operadores diferenci-

ais com coeficientes matriciais, que incluem, como caso particular, os splines

generalizados escalares. Alem disso, tambem importante, e a constatacao de

que estas curvas spline estao directamente ligadas a determinados problemas

de controlo optimal. Por todos estes motivos, acreditamos que estas novas

curvas spline sao a extensao natural dos splines generalizados escalares.

2.1 Splines generalizados em Rn

Seja [a, b] o intervalo de numeros reais e seja ∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b uma

qualquer particao de [a, b]. C k[a, b], k ∈ N, representa o espaco vectorial real de todas

as curvas, definidas em [a, b] e com valores em Rn, n ∈ N, que sao contınuas e tem

derivadas contınuas ate a ordem k em [a, b]. Dk representa o operador diferencial que

a cada curva de C k[a, b] associa a derivada de ordem k. Seja L o operador diferencial

linear de ordem p ∈ N

L : C p[a, b] −→ C[a, b] ,

L· ≡ Dp · +Ap−1(t)Dp−1 · + · · · +A1(t)D · +A0(t) · .

Cada Aj , j = 0, 1, . . . , p− 1, e uma funcao matricial que a todo t ∈ [a, b] associa a matriz

Aj(t), quadrada de ordem n. Assume-se que todas as entradas de cada matriz Aj sao

elementos do espaco C p[a, b]. Associado ao operador L temos o seu operador adjunto L∗

definido da forma

L∗ : C p[a, b] −→ C[a, b] ,

L∗· ≡ (−1)pDp · + (−1)p−1Dp−1(Ap−1(t)′ ·) + · · · −D(A1(t)

′ ·) +A0(t)′· ,

onde Aj′ indica a transposta da matriz Aj . Por fim, Ω designa o conjunto de todas as

curvas f : [a, b] → Rn, pelo menos de classe C 2p−2 em [a, b] e pelo menos de classe C 2p

em cada intervalo [ti, ti+1], i = 0, 1, . . . ,m, unindo pontos consecutivos da particao de

[a, b] escolhida. Passamos a definir o que pensamos ser a extensao adequada, a curvas de

Rn, dos splines generalizados escalares, referidos no capıtulo precedente.

Definicao 2.1 (Spline generalizado em Rn)

A curva s : [a, b] → Rn e um spline generalizado em R

n, para o operador L e para

a particao ∆ de [a, b], se s ∈ Ω, s e solucao da equacao diferencial com coeficientes

matriciais L∗Lx = 0 em cada intervalo [ti, ti+1], i = 0, 1, . . . ,m, s satisfaz as condicoes

de interpolacao

s(ti) = αi, i = 1, 2, . . . ,m− 1 ,

e satisfaz as condicoes de fronteira

s(k)(t0) = ηk0 , s(k)(tm) = ηk

m , k = 0, 1, . . . , p− 1 ,


m sao pontos de Rn prescritos.

32

2.1. Splines generalizados em Rn

Os pontos de Rn, αi, η

k0 e ηk

m sao, respectivamente, os valores de interpolacao e valores

de fronteira do spline generalizado.

Observacao 2.1

Num primeiro comentario importa destacar que a definicao de spline generalizado em Rn

inclui, quando n = 1, a definicao classica de spline generalizado escalar.

Observacao 2.2

No caso muito particular em que o operador L e simplesmente Dp, obtem-se curvas

cujas componentes sao funcoes spline polinomiais (escalares) de grau 2p − 1. Podemos

assim confirmar que as curvas polinomiais e os splines polinomiais em Rn sao situacoes

particulares contempladas na Definicao 2.1. Este e o unico caso, incluıdo na Definicao 2.1,

com destaque na literatura.

A equacao diferencial L∗Lx = 0 e homogenea de ordem 2p, com coeficientes matriciais.

A determinacao da sua solucao geral nao e difıcil do ponto de vista teorico. Como seria

de esperar, o mesmo ja nao sucede do ponto de vista numerico. Um bom exemplo destas

dificuldades, para equacoes de segunda ordem, surge associado as aplicacoes do problema

quadratico de valores proprios, como se pode observar em Tisseur e Meerbergen [77].

Quando p = 1 a equacao pode escrever-se por extenso da seguinte forma

x+ (A0(t) −A0(t)′) x−

(A0(t)

′A0(t) − A0(t))x = 0 .

Se os coeficientes do operador L forem constantes obtem-se simplesmente

x+(A0 −A0

′) x−(A0

′A0

)x = 0 .

Neste ultimo caso reconhece-se rapidamente uma certa simetria no que toca aos coefi-

cientes da equacao diferencial. O coeficiente de x e uma matriz simetrica, o coeficiente

de x e uma matriz anti-simetrica e o coeficiente de x e de novo uma matriz simetrica.

Esta e uma propriedade muito particular dos coeficientes da equacao L∗Lx = 0 quando

L e invariante no tempo.

Proposicao 2.1

Se o operador L e invariante no tempo entao os coeficientes de ordem par da equacao

diferencial L∗Lx = 0 sao matrizes simetricas enquanto que os coeficientes de ordem

ımpar sao matrizes anti-simetricas.

Demonstracao - Assumindo Ap = I consideramos os operadores diferenciais L e L∗:

L· ≡ ApDp · +Ap−1D

p−1 · + · · · +A1D · +A0 · ,

L∗· ≡ (−1)pAp′Dp · + (−1)p−1(Ap−1)

′Dp−1 · + · · · −A1

′D · +A0′·

e o operador composto

L∗L · ≡ C2pD2p · +C2p−1D

2p−1 · + · · · + C1D · +C0 · .

33


Verifica-se que os coeficientes de ordem par C2k, k = 0, 1, . . . , p, e os coeficientes de ordem

ımpar C2k−1, k = 1, 2, . . . , p, se podem escrever do seguinte modo

C2k = (−1)k+1 Ak′Ak +

∑

i+j =2kj < i≤ p

(−1)δ(Ai

′Aj +Aj′Ai

) , (2.1)

C2k−1 = (−1)k+1∑

i+j = 2k−1j < i≤ p

(−1)σ(Ai

′Aj −Aj′Ai

), (2.2)

onde i e j sao numeros inteiros nao negativos, δ = i−j2 e σ = i−j−1

2 . Basta agora

usar (2.1) e (2.2) para concluir que C2k′ = C2k e (C2k−1)

′= −C2k−1.

Observacao 2.3

Da demonstracao da Proposicao 2.1 fica claro que, quando n = 1, a equacao diferencial

L∗Lx = 0 tem apenas termos de ordem par.

2.1.1 Existencia, unicidade e comportamento optimal

Apresentamos os resultados principais que asseguram a existencia e unicidade de um

spline generalizado em Rn. Os processos utilizados resultam da adaptacao, a curvas de

Rn, dos processos aplicados no caso escalar. Neste contexto, 〈· , ·〉 representa o produto

interno Euclidiano em Rn. Podemos considerar o proximo resultado uma generalizacao

da Identidade de Lagrange apresentada no capıtulo anterior.

Lema 2.1

Se x e y sao duas curvas em Rn com derivadas ate a ordem p em [a, b], entao

〈y, Lx〉 − 〈x, L∗y〉 =d

dtB(x, y) (2.3)

onde

B(x, y) =

p∑

j=1

j−1∑

k=0

(−1)k⟨Dj−1−k x,Dk

(Ak

′y)⟩.

Demonstracao - Estabelecendo Ap(t) = I para todo t ∈ [a, b], tem-se

〈y, Lx〉 − 〈x, L∗y〉 =

p∑

j=0

⟨AjD

jx, y⟩−

p∑

j=0

⟨x, (−1)jDj

(Aj

′y)⟩

=

p∑

j=1

(⟨Djx,Aj

′y⟩

+ (−1)j+1⟨x,Dj

(Aj

′y)⟩)

.

Verifica-se, por inducao em j, que as curvas x e Aj′y admitem a seguinte relacao

⟨Djx,Aj

′y⟩

+ (−1)j+1⟨x,Dj

(Aj

′y)⟩

=d

dt

j−1∑

k=0


(Ak

′y)⟩

34


para todo o j tal que 1 ≤ j ≤ p. Daqui resulta

〈y, Lx〉 − 〈x, L∗y〉 =d

dt

p∑

j=1

j−1∑

k=0


(Ak

′y)⟩.

Lema 2.2

A funcao nula em [a, b] e o unico spline generalizado em Rn, associado a L e ∆, com

valores de interpolacao e de fronteira nulos.

Demonstracao - Seja s um spline generalizado para L e ∆, com valores de inter-

polacao e de fronteira nulos. Nestas condicoes, pode concluir-se que o spline s e, em

cada subintervalo, solucao da equacao diferencial com coeficientes matriciais Lx = 0. De

facto, usando a identidade (2.3) com x = s e y = Ls, obtem-se a seguinte expressao

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

〈Ls, Ls〉 dt =

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

〈s, L∗L s〉 dt+m−1∑

i=0

(B(s, Ls)|ti+1

ti= 0 .

Porque s ∈ Ω, s tem valores de interpolacao e de fronteira nulos e L∗L s = 0 em cada

subintervalo, a expressao anterior implica que

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

〈Ls, Ls〉 dt = 0 ,

e portanto Ls = 0 em cada intervalo [ti, ti+1], com i = 0, 1, . . . ,m−1. Porque os p valores

de fronteira no instante t0 sao nulos, deduz-se que a expressao de s no intervalo [t0, t1] e

identicamente nula. Uma vez que s esta em Ω, este efeito propaga-se sucessivamente a

todos os subintervalos, permitindo concluir que s(t) = 0, ∀ t ∈ [a, b].

Este resultado permite concluir que dois splines generalizados, associados a L e ∆, sao

iguais se e so se tem os mesmos valores de interpolacao e de fronteira.

Teorema 2.1

Existe um unico spline generalizado em Rn, associado a L e ∆, para cada conjunto de

valores de interpolacao e de fronteira.

Demonstracao - A determinacao de um spline generalizado em Rn esta directamente

dependente da obtencao da solucao de um sistema linear de equacoes algebricas Az = c

com 2npm equacoes e 2npm incognitas. Este sistema resulta das condicoes de inter-

polacao, das condicoes de fronteira e das condicoes de suavidade do spline s. Observa-se

que a modificacao dos valores de interpolacao e de fronteira nao afecta a matriz do

sistema. Alem disso, se os valores de interpolacao e de fronteira forem todos nulos o sis-

tema algebrico e homogeneo. O Lema 2.2 permite concluir que este sistema homogeneo

e possıvel e determinado. Consequentemente, a solucao de Az = c existe e e unica

35


quaisquer que sejam os valores de interpolacao e de fronteira. Fica assim estabelecida a

existencia e unicidade de um spline generalizado, associado a um determinado conjunto

de valores de interpolacao e de fronteira.

O proximo lema permite-nos apresentar, no Teorema 2.2, uma propriedade optimal

dos splines generalizados em Rn.

Lema 2.3

Se s e um spline generalizado em Rn, associado a L e ∆, e f e uma curva de Ω que

satisfaz as mesmas condicoes de fronteira e de interpolacao entao∫ b

a

〈Lf − Ls, Ls〉 dt = 0 .

Demonstracao - Usando a identidade (2.3) com x = f − s e y = Ls, obtem-se

∫ b

a

〈Lf − Ls, Ls〉 dt =

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

〈Lf − Ls, Ls〉 dt

=

m−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

〈f − s, L∗L s〉 dt+m−1∑

i=0

(B(f − s, Ls)|ti+1

ti.

A primeira expressao do segundo membro e nula porque L∗L s = 0 em cada subintervalo.

A segunda expressao tambem e nula porque f e s tem prescritas identicas condicoes de

interpolacao e de fronteira e f ∈ Ω.

Teorema 2.2

Se s e um spline generalizado em Rn, associado a L e ∆, entao s minimiza a funcional

J(x(·)) =

∫ b

a

〈Lx,Lx〉 dt

no conjunto de todas as curvas x de Ω que tenham valores de interpolacao e de fronteira

iguais aos valores de s.

Demonstracao - Desenvolvendo o integral∫ b

a

〈Lx− Ls, Lx− Ls〉 dt

obtem-se∫ b

a

〈Lx− Ls, Lx− Ls〉 dt =

∫ b

a

〈Lx,Lx〉 dt− 2

∫ b

a

〈Lx,Ls〉 dt+∫ b

a

〈Ls, Ls〉 dt

=

∫ b

a

〈Lx,Lx〉 dt− 2

∫ b

a

〈Lx− Ls, Ls〉 dt−∫ b

a

〈Ls, Ls〉 dt .

A aplicacao do Lema 2.3 permite concluir que a segunda parcela e nula e, portanto,∫ b

a

〈Ls, Ls〉 dt =

∫ b

a

〈Lx,Lx〉 dt−∫ b

a

〈Lx− Ls, Lx− Ls〉 dt ,

de onde resulta imediatamente a propriedade pretendida.

36


2.1.2 Interpretacao variacional

Apresentamos uma interpretacao variacional das curvas spline definidas na seccao prece-

dente. Esta interpretacao ira permitir estabelecer e explorar a relacao entre estas curvas

spline e a teoria de sistemas de controlo. Por ora, consideramos o problema do calculo

das variacoes (Pv) que consiste em

J(x(·)) =

∫ b

a

〈Lx(t), Lx(t)〉 dt −−−→x∈Ω

min ,

sujeito as condicoes de interpolacao

x(ti) = αi, i = 1, 2, . . . ,m− 1 ,

e de fronteira

x(k)(t0) = ηk0 , x(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1 ,


m sao pontos pertencentes a Rn.

Embora usemos a mesma notacao que no problema Pv formulado no capıtulo anterior,

esta implıcito que, agora, L identifica um operador diferencial de coeficientes matriciais

tal como definido na pagina 32, Ω e o conjunto de curvas em Rn apresentado tambem na

pagina 32 e, finalmente, os instantes tj pertencem a uma particao ∆ do intervalo [a, b].

Denotamos por ΩA o conjunto das funcoes admissıveis para o problema (Pv), isto e, o

subconjunto das funcoes de Ω que satisfazem as condicoes de interpolacao e de fronteira

enunciadas.

Teorema 2.3

Se x ∈ ΩA e solucao do problema (Pv) entao x e em cada intervalo [ti, ti+1], i =

0, 1, . . . ,m−1, uma solucao da equacao diferencial com coeficientes matriciais L∗L z = 0.

Demonstracao - Seja x ∈ ΩA uma solucao do problema (Pv) e δx uma variacao

admissıvel de x. Calcule-se a variacao de Gateaux da funcional J . Tem-se

δJ(x, δx) =

(d

dαJ(x+ αδx)

)

α =0

=

(d

dα

∫ b

a

〈Lx+ αLδx, Lx+ αLδx〉 dt)

α =0

=

(∫ b

a

2 〈Lδx, Lx+ αLδx〉 dt)

α =0

= 2

∫ b

a

〈Lδx, Lx〉 dt .

Como x e solucao do problema (Pv), tem de acontecer forcosamente

∫ b

a

〈Lδx, Lx〉 dt = 0 ,

37


qualquer que seja a variacao admissıvel δx. Logo, recorrendo uma vez mais a identi-

dade (2.3), deduz-se quem−1∑

i=0

∫ ti+1

ti

〈δx, L∗Lx〉 dt = 0

porque δx e uma variacao admissıvel, isto e, δx ∈ Ω e satisfaz condicoes de interpolacao e

de fronteira nulas. Finalmente, porque δx e uma variacao admissıvel arbitraria, conclui-

se que x e, em cada subintervalo unindo pontos sucessivos da particao ∆, uma solucao

da equacao diferencial L∗L z = 0.

Podemos concluir que a equacao de Euler-Lagrange associada ao problema (Pv) e sim-

plesmente a equacao diferencial L∗L z = 0. Mais uma vez, os resultados obtidos na

Seccao 2.1.1, permitem concluir que a condicao apresentada no enunciado do teorema

anterior e afinal uma condicao necessaria e suficiente. Este e o tema do proximo corolario.

Corolario 2.1

x ∈ ΩA e solucao do problema (Pv) se e so se x e solucao da equacao diferencial L∗L z = 0

em cada subintervalo da particao ∆.

Podemos agora enunciar o resultado que responde em absoluto as principais questoes

decorrentes da formulacao do problema (Pv).

Teorema 2.4

O problema (Pv) tem uma unica solucao, que e o spline generalizado em Rn associado

a L e ∆, que satisfaz as condicoes de interpolacao e de fronteira prescritas no enunciado

do problema.

2.2 Ligacoes com a teoria de controlo

Mostramos como a partir da teoria de sistemas e possıvel interpretar as funcoes spline

definidas na Seccao 2.1. Reescrevemos o problema variacional (Pv) como um problema

de controlo optimal, formulado para sistemas lineares nao autonomos (ou variantes no

tempo) com multiplas entradas. A transicao entre os dois problemas e estabelecida por

meio da seguinte relacao Lx(t) = v(t), t ∈ [a, b]. Obtem-se o seguinte problema de

controlo optimal que designamos por (P )

J(v(·)) =

∫ b

a

〈v(t), v(t)〉 dt −−−→v ∈U

min ,

sujeito a dinamica

Lx(t) = v(t) ,


x(ti) = αi, i = 1, 2, . . . ,m− 1 ,

38

2.2. Ligacoes com a teoria de controlo

e condicoes de fronteira

x(k)(t0) = ηk0 , x(k)(tm) = ηk

m, k = 0, 1, . . . , p− 1 ,


m pertencem a Rn.

U e o conjunto de todos os controlos admissıveis para o problema (P ), isto e, o conjunto

de todas as curvas v : [a, b] → Rn de classe C p−2 em [a, b] e de classe C p em cada

subintervalo unindo pontos consecutivos da particao ∆, do intervalo [a, b]. Mostramos

que o problema tem solucao unica e que o estado do sistema que lhe corresponde e um

spline generalizado em Rn tal como foi definido.

Interrompemos a sequencia de resultados para enunciar o Princıpio do Maximo de

Pontryagin (PMP) [53]. Este princıpio estabelece uma condicao necessaria de optima-

lidade de primeira ordem, que e o resultado a que recorremos para resolver o problema

(P ). Consideramos o problema de controlo optimal generico:

J [x(·), u(·)] =

∫ b

a

L(t, x(t), u(t)) dt −−−→(x,u)

min ,

sujeito a

x(t) = f(t, x(t), u(t)) , em q.t.p. t ∈ [a, b] ,

x(a) = ηa, x(b) = ηb ,

(2.4)

onde ηa, ηb ∈ Rn. Assume-se que o estado x : [a, b] → R

n e uma funcao contınua e que o

controlo u : [a, b] → U ⊂ Rr e uma funcao limitada e seccionalmente contınua em [a, b].

Assume-se ainda que as funcoes L e f estao definidas e sao contınuas em [a, b]× Rn ×U

e sao continuamente diferenciaveis em relacao a t, x e u.

Apresentamos o PMP para o problema (2.4).

Teorema 2.5 (Princıpio do Maximo de Pontryagin)

Se um controlo u(·) (funcao seccionalmente contınua tomando valores em U) e a corre-

spondente trajectoria x(·), que transfere o estado do sistema de ηa (em t = a) ate ηb

(em t = b), minimizam a funcional J [x(·), u(·)] entao, existe um vector linha nao nulo

(ψ0, ψ(·)′), onde ψ0 e uma constante, ψ0 ≤ 0, e ψ : [a, b] → Rn e uma funcao absoluta-

mente contınua, tal que (x(·), u(·), ψ0, ψ(·)) e um extremal de Pontryagin, isto e, satisfaz

i) o sistema Hamiltoniano

x =∂H

∂ψ

ψ = −∂H∂x

(sistema adjunto),

ii) a condicao de maximo

H(t, x(·), u(·), ψ0, ψ(·)) = max H(t, x(·), u(·), ψ0, ψ(·)) : u(·) ∈ U ,

39


onde

H(t, x, u, ψ0, ψ) = ψ0 L(t, x, u) + 〈ψ, f(t, x, u)〉

e a funcao Hamiltoniana.

Observacao 2.4

Um extremal de Pontryagin (x(·), u(·), ψ0, ψ(·)) diz-se normal se ψ0 6= 0. Quando ψ0 = 0

o extremal de Pontryagin diz-se anormal. Neste caso, pode observar-se que a maximizacao

da funcao Hamiltoniana acaba por nao depender da expressao da funcional J .

Existem generalizacoes e modificacoes do PMP que se adaptam as diferentes formulacoes

de cada problema de controlo optimal.

Voltamos de novo a nossa atencao para o problema (P ). Achamos a sua solucao

resolvendo, no intervalo arbitrario [ti, ti+1], o problema (Pi):

Ji(v(·)) =

∫ ti+1

ti

〈v(t), v(t)〉 dt −−−→v ∈U

min ,

sujeito a

Lx(t) = v(t) ,

x(ti) = αi, x(ti+1) = αi+1 .

Note-se, que no primeiro subintervalo e no ultimo subintervalo ha que considerar condi-

coes de fronteira adicionais. Contudo, estas nao interferem nas conclusoes que apresen-

tamos. Reescrevemos o problema (Pi) recorrendo a transformacao usual de uma equacao

linear de ordem superior num sistema linear de primeira ordem. Obtem-se

Ji(v(·)) =

∫ ti+1

ti

〈v(t), v(t)〉 dt −−−→v ∈U

min ,

sujeito a

z(t) = A(t)z(t) +Bv(t) ,

z1(ti) = αi , z1(ti+1) = αi+1 ,

onde z′ = (z1, z2, . . . , zp)′ =

(x, x, . . . , x(p−1)

)′e

A(t) =

0 I · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · I

−A0(t) −A1(t) · · · −Ap−1(t)

pn×pn

, B =

0...

0

I

pn×n

.

E necessario impor uma condicao suplementar para que possamos ter a garantia que o

problema se encontra bem formulado.

40


E preciso assumir que as matrizes A0, . . . , Ap−1 sejam tais que o sistema de

controlo z(t) = A(t) z(t) + B v(t) e completamente controlavel no intervalo

[a, b]. Esta e uma imposicao natural que decorre da formulacao do problema.

Determinamos a solucao do problema aplicando directamente o PMP. A funcao Hamil-

toniana e

H(t, z(t), v(t), ψ0, ψ(t)) = ψ0〈v(t), v(t)〉 + 〈ψ(t), A(t)z(t) +Bv(t)〉 .

O sistema Hamiltoniano e simplesmente

z(t) = A(t)z(t) +Bv(t)

ψ(t) = −A(t)′ψ(t). (2.5)

Nao existem solucoes anormais porque o sistema de controlo e completamente controlavel.

Assim, podemos fixar ψ0 = − 12 . Para v e ψ admissıveis, a condicao de maximo, que neste

caso e equivalente a∂H

∂v= 0 ,

permite estabelecer a seguinte relacao

−v(t) + ψ(t)′B = 0 .

Se ψ′ = (ψ1, . . . , ψp)′ com ψj ∈ R

n entao, da equacao anterior resulta que

v(t) = ψp(t) (2.6)

e o unico candidato a controlo optimo. Por outro lado, observa-se que o sistema Hamil-

toniano (2.5) permite escrever o conjunto de equacoes

Lx(t) = v(t)

L∗ψp(t) = 0(2.7)

onde L∗ e o operador adjunto associado ao operador diferencial L. De (2.6) e (2.7)

deduz-se que v e x sao tais que

L∗v(t) = 0

L∗Lx(t) = 0.

Conclui-se que, se v e solucao do problema (Pi) entao v e uma solucao, no intervalo

[ti, ti+1], da equacao diferencial de ordem p, com coeficientes matriciais, L∗w = 0.

Tambem se conclui que o estado x que corresponde a v e uma solucao, no intervalo

[ti, ti+1], da equacao diferencial de ordem 2p, com coeficientes matriciais, L∗Lw = 0.

Estas conclusoes permitem-nos enunciar os proximos resultados que sao validos para o

problema (P ).

41


Lema 2.4

Toda a solucao do problema (P ) e, em cada subintervalo [ti, ti+1], solucao da equacao

diferencial com coeficientes matriciais L∗w = 0 onde

L∗· ≡ (−1)pDp · + (−1)p−1Dp−1(Ap−1(t)′ ·) + · · · −D(A1(t)

′ ·) +A0(t)′· ,

e o operador adjunto associado ao operador

L· ≡ Dp · +Ap−1(t)Dp−1 · + · · · +A1(t)D · +A0(t) · .

A trajectoria optima correspondente e, em cada subintervalo [ti, ti+1], solucao da equacao

diferencial com coeficientes matriciais L∗Lw = 0.

Teorema 2.6

A trajectoria optima do problema (P ) e o spline generalizado em Rn, associado a L e

∆, que satisfaz as condicoes de interpolacao e de fronteira prescritas no enunciado do

problema.

Teorema 2.7

O problema (P ) tem uma unica solucao. O controlo u(t) = Ls(t), onde s e o spline

generalizado em Rn associado a L e ∆, que satisfaz as condicoes de interpolacao e de

fronteira prescritas no enunciado do problema, e a solucao pretendida.

2.2.1 O caso p = 1

O caso em que p = 1 tem um interesse muito particular. Obtem-se um problema de

controlo linear-quadratico classico com condicoes de interpolacao. Neste caso muito par-

ticular, consideramos sem perder generalidade que v(t) = B(t)u(t), onde assumimos que

B e uma funcao matricial de classe C 1 em [a, b] com valores em Rn×n. Assumimos

tambem que a matriz B(t) tem caracterıstica maxima, isto e, que rankB(t) = n, qual-

quer que seja t ∈ [a, b]. Ou seja, temos o problema de controlo optimal que designamos

por (P ∗),

J(u(·)) =

∫ b

a

〈B(t)u(t), B(t)u(t)〉 dt −−−→u∈U

min ,

sujeito a dinamica

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) ,

e as condicoes de interpolacao

x(ti) = αi , i = 0, 1, . . . ,m ,

onde αi ∈ Rn e U e o conjunto de todas as funcoes u : [a, b] → R

n de classe

C 1 em cada subintervalo unindo pontos consecutivos da particao ∆.

42


Assumindo que o sistema de controlo e completamente controlavel no intervalo [a, b], a

aplicacao do PMP permite deduzir que ψ(t) = B(t)u(t) e consequentemente

u(t) = B(t)−1ψ(t)

e o unico candidato a controlo optimo. Os proximos corolarios sao consequencia imediata

do Lema 2.4 e dos Teoremas 2.6 e 2.7.

Corolario 2.2

O problema (P ∗) tem uma unica solucao. A sua restricao a cada subintervalo [ti, ti+1],

e solucao da equacao diferencial com coeficientes matriciais L∗(B(t)w) = 0 onde L∗ ≡−D − A(t)′ e o operador adjunto associado ao operador L ≡ D −A(t). A trajectoria

optima correspondente e, em cada subintervalo [ti, ti+1], solucao da equacao diferencial

com coeficientes matriciais, L∗Lw = 0, que se pode escrever por extenso da seguinte

forma

w + (A(t)′ −A(t)) w −(A(t)′A(t) + A(t)

)w = 0 .

Corolario 2.3

A trajectoria optima do problema (P ∗) e o spline generalizado em Rn, associado ao

operador L ≡ D −A(t) e a particao ∆, que satisfaz as condicoes de interpolacao prescritas

no enunciado do problema.

No Teorema 2.8 apresentamos expressoes locais explıcitas para o controlo e estado opti-

mos, obtidas a partir da matriz de transicao associada ao sistema homogeneo x = A(t)x.

Teorema 2.8

Se x e o estado optimo do problema (P ∗) entao x e definido em cada subintervalo [ti, ti+1]

por

x(t) = Φ(t, ti)αi +

(∫ t

ti

Φ(t, s)Φ(ti, s)′ ds

)Si

−1 (Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi) ,

onde Φ(t, ti) e a matriz de transicao associada ao sistema homogeneo x = A(t)x e Si

representa a matriz simetrica∫ ti+1

ti

Φ(ti, s)Φ(ti, s)′ ds .

Se u e o controlo optimo do problema (P ∗) entao u e definido em cada subintervalo

[ti, ti+1] por

u(t) = B(t)−1 Φ(ti, t)′ Si

−1 (Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi) .

Demonstracao - Devido a relacao ψ(t) = B(t)u(t), valida em cada subintervalo

[ti, ti+1], o sistema Hamiltoniano, associado ao problema (P ∗), pode reescrever-se do

seguinte modo x(t) = A(t)x(t) + ψ(t)

ψ(t) = −A(t)′ψ(t). (2.8)

43


Da equacao adjunta ψ(t) = −A(t)′ψ(t) conclui-se imediatamente que

ψ(t) = Φ(ti, t)′ψ(ti)

onde Φ(t, ti) e a matriz de transicao para x = A(t)x. A substituicao da expressao para ψ

na primeira equacao do sistema (2.8) origina o sistema linear de primeira ordem completo

x = A(t)x + Φ(ti, t)′ψ(ti). A sua solucao, com condicao inicial x(ti) = αi, e dada por


∫ t

ti

Φ(t, s)Φ(ti, s)′ψ(ti) ds . (2.9)

So falta determinar uma expressao explıcita para ψ(ti). Usando a outra condicao inicial

x(ti+1) = αi+1 tem-se, a partir da equacao anterior,

αi+1 = Φ(ti+1, ti)αi +

(∫ ti+1

ti

Φ(ti+1, s)Φ(ti, s)′ ds

)ψ(ti)

= Φ(ti+1, ti)αi + Φ(ti+1, ti)

(∫ ti+1

ti

Φ(ti, s)Φ(ti, s)′ ds

)ψ(ti) .

A ultima equacao permite escrever Φ(ti+1, ti)−1 αi+1 − αi = Si ψ(ti) ou de forma equi-

valente Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi = Si ψ(ti). Porque Si e sempre uma matriz nao singular

(qualquer que seja o subintervalo) obtem-se

ψ(ti) = Si−1(Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi) . (2.10)

Finalmente, substituindo a expressao de ψ(ti) na equacao (2.9) deduz-se, tal como

foi enunciado, a expressao de x em cada subintervalo [ti, ti+1]. A expressao de u,

em cada subintervalo [ti, ti+1], e uma consequencia imediata da relacao entre u e ψ,

u(t) = B(t)−1ψ(t), da expressao para ψ, ψ(t) = Φ(ti, t)′ψ(ti), e de (2.10) para ψ(ti).

Vale a pena reparar que esta demonstracao acaba por estar assente num facto simples.

Sabe-se que a trajectoria optima do problema (P ∗) e em cada subintervalo solucao da

equacao diferencial L∗Lx = 0. E natural decompor esta equacao no seguinte conjunto

de duas equacoes Lx(t) = ψ(t)

L∗ψ(t) = 0,

que nao e mais do que o sistema Hamiltoniano (2.8). Numa primeira fase resolve-se

a equacao L∗ψ(t) = 0, que e um sistema homogeneo. Depois, resolve-se a equacao

Lx(t) = ψ(t) que e um sistema completo. Esta observacao tem ainda outra vantagem,

esclarece sobre qual o caminho a tomar, para poder obter expressoes locais explıcitas do

estado optimo e do controlo optimo do problema principal que e (P ).

Observacao 2.5

A demonstracao do Teorema 2.8 permite obter uma expressao para o valor optimo da

funcao objectivo do problema (P ∗). Em [ti, ti+1] deduz-se, sem dificuldade, que o valor

44


mınimo da funcao objectivo e ψ(ti)′Si ψ(ti). Logo, J(u) =

∑m−1i=0 (ψ(ti)

′Si ψ(ti)), e

portanto,

J(u) =

m−1∑

i=0

((Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi)

′Si−1(Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi)

).

Observacao 2.6

Verificamos que a trajectoria optima do problema (P ∗) e solucao da equacao diferencial

x+ (A(t)′ −A(t)) x−(A(t)′A(t) + A(t)

)x = 0

em cada subintervalo da particao ∆. Gostarıamos apenas de salientar que esta equacao

nao depende da matriz B. Este facto nao e surpreendente e aceita-se facilmente se

observarmos que na resolucao do problema (P ∗), usando o PMP, esta implıcito que

v(t) = B(t)u(t), facto que elimina a ocorrencia da matriz B em todos os calculos poste-

riores. A nao dependencia da matriz B tambem esta patente na expressao explıcita de

x apresentada no enunciado do Teorema 2.8. Ou seja, como seria de esperar, fixando A

e variando B, obtem-se uma multiplicidade de problemas que estao directamente rela-

cionados com o mesmo spline generalizado em Rn.

Na formulacao do problema (P ∗) exigiu-se que a matriz B(t) fosse quadrada. O caso

em que esta matriz e rectangular e analisado no final deste capıtulo.

Observacao 2.7

Algumas conclusoes quando L e invariante no tempo.

• O estado optimo e o controlo optimo do problema (P ∗) tem em cada subintervalo

[ti, ti+1] as seguintes expressoes

x(t) = e(t−ti)A

(αi +

(∫ t

ti

e(ti−s)(A +A′) ds

)ψ(ti)

),

e

u(t) = B(t)−1 e(ti−t)A′

ψ(ti) ,

onde

ψ(ti) =

(∫ ti+1

ti

e(ti−s)(A +A′) ds

)−1(e(ti−ti+1)A αi+1 − αi

).

• Cada segmento do estado optimo x e em cada intervalo [ti, ti+1] solucao da equacao

diferencial

x+ (A′ −A) x− (A′A)x = 0 .

45


2.2.2 Exemplos

Consideramos dois exemplos do caso p = 1 com espaco de estados R2. Assumimos que

x(t) = (x1(t), x2(t))′ e u(t) = (u1(t), u2(t))

′.

Exemplo 2.1

J(u(·)) =

∫ 2

0

(u1(t))2 + (u2(t))

2 dt −−−→u∈U

min ,

sujeito ao sistema de controlo nao autonomox1 = t 2x2 + u2

x2 = −t 2x1 + u1

e condicoes de interpolacao

x(t0 = 0) = (0, 0)′ , x(t1 = 1) = (1, 0.5)′ , x(t2 = 2) = (−0.25, 1)′ .

O intervalo de tempo e [0, 2] e a particao escolhida e ∆ : a = 0 < 1 < 2 = b. A matriz de

transicao associada ao sistema homogeneo e

Φ(t, ti) =

cos

(t3−ti

3

3

)sin(

t3−ti3

3

)

− sin(

t3−ti3

3

)cos(

t3−ti3

3

) .

O sistema de controlo e completamente controlavel no intervalo [a, b]. O resultado

classico, devido a Kalman [38], para testar a controlabilidade completa do sistema, con-

siste em averiguar se a matriz simetrica

W = W (τ0, τ1) =

∫ τ1

τ0

Φ(τ0, t)B(t)B(t)′ Φ(τ0, t)′ dt

e definida positiva sempre que τ1 > τ0 com τ0, τ1 ∈ [0, 2]. Porque B e Φ sao matrizes

ortogonais a matriz W e simplesmente[τ1 − τ0 0

0 τ1 − τ0

]

logo definida positiva em todo o subintervalo de [0, 2]. O controlo optimo u e, em cada

subintervalo [ti, ti+1], solucao da equacao diferencial L∗(Bu) = 0, isto e, solucao do

sistema de equacoes diferenciaisu2 − t 2u1 = 0

u1 + t 2u2 = 0.

Obtem-se

u1(t) = ci1 sin(

t3

3

)+ ci2 cos

(t3

3

),

u2(t) = ci2 sin(

t3

3

)− ci1 cos

(t3

3

),

46


ci1, ci2 ∈ R. O spline generalizado em R2 que corresponde a u e em cada subintervalo

[ti, ti+1] solucao do seguinte sistema de equacoes diferenciais, que resulta da equacao

L∗Lx = 0, x1 − 2 t 2x2 − t 4x1 − 2 t x2 = 0

x2 + 2 t 2x1 + 2 t x1 − t 4x2 = 0.

Obtem-se para as componentes do vector de estado

x1(t) = (ci2 + tci4) sin(

t3

3

)− (ci1 + tci3) cos

(t3

3

),

x2(t) = (ci1 + tci3) sin(

t3

3

)+ (ci2 + tci4) cos

(t3

3

),

ci1, ci2, ci3, ci4 ∈ R. O spline generalizado gerado e uma funcao contınua em [0, 2]. O

mesmo ja nao acontece para u que tem uma descontinuidade no instante t1.

x1

x2

−0.6−0.2

0 0.2

0.2

0.6

0.6

1

1

Figura 2.1: Spline generalizado em R2

u1

u2

0.5 1.5 2

−2

−1

−1

1

1

Figura 2.2: Controlo optimo

47


Exemplo 2.2

J(u(·)) =

∫ 4

0

(u1(t))2 + 2 u1(t)u2(t) + 2 (u2(t))

2 dt −−−→u∈U

min ,

sujeito ao sistema de controlo autonomo

x1 = −x2 + u2

x2 = 2 x1 + u1 + u2

e condicoes de interpolacao

x(t0 = 0) = (0, 0)′ , x(t1 = 1) = (1, 0.5)′ ,

x(t2 = 2) = (−0.25, 1)′ , x(t3 = 4) = (1,−1)′ .

O sistema e completamente controlavel. Basta observar que a matriz de controlabilidade

tem caracterıstica maxima. O controlo optimo u e, em cada subintervalo [ti, ti+1], solucao

da equacao diferencial L∗(Bu) = 0, isto e, solucao do sistema de equacoes diferenciais

u2 + 2 u1 + 2 u2 = 0

u1 + u2 − u2 = 0.

Daqui resulta

u1(t) = ci1 sin(√

2 t)

+ ci2 cos(√

2 t),

u2(t) = −(√

23 ci2 + 2

3 ci1

)sin(√

2 t)

+(√

23 ci1 − 2

3 ci2

)cos(√

2 t),

ci1, ci2 ∈ R. O spline generalizado em R2 que corresponde a u e em cada subintervalo

[ti, ti+1] solucao da equacao

x+ (A′ −A) x− (A′A)x = 0 ,

isto e, do seguinte sistema de equacoes diferenciais

x1 + 3 x2 − 4 x1 = 0

x2 − 3 x1 − x2 = 0.

Obtem-se para as componentes do vector de estado

x1(t) = (ci1 + ci3t) sin(√

2 t)

+ (ci2 + ci4t) cos(√

2 t),

x2(t) =(ci2

√2 + 1

3 ci3 + ci4√

2 t)sin(√

2 t)−(ci1

√2 + ci3

√2 t− 1

3 ci4)cos(√

2 t),

onde ci1, ci2, ci3 e ci4 sao constantes reais a determinar em cada subintervalo [ti, ti+1].

48


x1

x2

−0.8 0.4

−1.5

−1

−0.5

0

0.51

1

Figura 2.3: Spline generalizado em R2

u1

u2

−1.5 −1 −0.5 0.5

−0.6

0

0.6

1.2

Figura 2.4: Controlo optimo

2.2.3 Ligacoes com equacoes de Riccati

Recordemos que (Observacao 2.7) no caso em que p = 1 e L e invariante no tempo, cada

segmento do estado optimo e solucao da equacao diferencial

x+ (A′ −A) x − (A′A)x = 0 .

Este facto motiva a seguinte pergunta:

Dada uma equacao diferencial de segunda ordem com coeficientes matriciais

x+ C x+K x = 0 , x ∈ Rn ,

onde C e anti-simetrica e K e simetrica, em que condicoes sao as suas solucoes

segmentos de um spline generalizado em Rn?

Pretende-se saber afinal se existe uma matriz A tal que

A′ −A = C e −A′A = K . (2.11)

49


Vejamos que a existencia de A e equivalente a existencia de uma solucao simetrica de

uma certa equacao algebrica de Riccati. Na verdade, porque toda a matriz A admite a

decomposicao em parte simetrica e em parte anti-simetrica

A = A+A′

2 + A−A′

2 ,

fica claro que, se existe A satisfazendo (2.11) entao, existe uma matriz simetrica S tal

que

A = S − C2 .

Da condicao −A′A = K, conclui-se que

−(S − C

2

)′ (S − C

2

)= K

⇔ −(S − C′

2

)(S − C

2

)= K

⇔ S2 + S(−C

2

)+(−C

2

)′S − C2

4 +K = 0 . (2.12)

Esta e a equacao algebrica de Riccati que mencionamos anteriormente. Recorrendo a Lan-

caster e Rodman [41] podemos concluir que a equacao (2.12) tem uma solucao simetrica

se e somente se os blocos de Jordan associados aos valores proprios imaginarios puros da

matriz Hamiltoniana

H =

[−C

2 IC2

4 −K −C2

]

tem dimensao par. Alem disso essa solucao e unica se todos os valores proprios de H

forem imaginarios puros.

Uma outra relacao entre os problemas em analise neste capıtulo e uma certa equacao

diferencial de Riccati surge ao tentar responder a seguinte questao:

Sera possıvel obter resultados semelhantes aos da Seccao 2.2.1 para o pro-

blema (P ∗) quando B(t) e uma matriz rectangular de dimensao n× r, r < n,

e rankB(t) = r para todo t ∈ [a, b]?

O problema de controlo optimal correspondente contınua a ter solucao unica. Mostra-se

que o estado optimo e controlo optimo tem em cada subintervalo [ti, ti+1] as seguintes

expressoes


(∫ t

ti

Φ(t, s)Ψ(s)Φ(ti, s)′ ds

)Si

−1 (Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi) , (2.13)

e

u(t) = (B(t)′B(t))−1B(t)′ Φ(ti, t)

′ Si−1 (Φ(ti, ti+1)αi+1 − αi) , (2.14)

onde

Si =

∫ ti+1

ti

Φ(ti, s)Ψ(s)Φ(ti, s)′ ds

50


e uma matriz simetrica definida positiva e

Ψ(t) = B(t) (B(t)′B(t))−1B(t)′ .

Contudo, em geral, x dado por (2.13) nao e solucao da equacao diferencial L∗Lx = 0.

Basta por exemplo considerar o caso autonomo em que

A =

[0 1

0 0

]e B =

[0

1

]. (2.15)

A matriz Ψ desempenha aqui um papel determinante. E uma matriz quadrada de ordem

n, simetrica, tal que Ψ(t)B(t) = B(t) e Ψ(t)k = Ψ(t) para todo k ∈ N. Esta propriedade

implica em particular que det Ψ(t) = 0 ou detΨ(t) = 1. Tem-se detΨ(t) = 0 quando B

e rectangular de dimensao n × r (de caracterıstica maxima), pois pode verificar-se que

rankΨ(t) = r. Tem-se detΨ(t) = 1 quando B e quadrada de ordem n (de caracterıstica

maxima), pois verifica-se facilmente que Ψ(t) = I.

Mostra-se que u, dado por (2.14), e solucao da equacao L∗(Bu) = 0 (e, portanto, x e

um spline generalizado) se e somente se Ψ e solucao da equacao diferencial matricial de

Riccati

X(t) = X(t)A(t)′ −A(t)′X(t) . (2.16)

Quando B e uma matriz quadrada (de caracterıstica maxima), Ψ(t) = I e evidentemente

uma solucao da equacao (2.16).

Sobre esta equacao de Riccati podemos dizer um pouco mais. Demonstra-se, em

Reid [55] e Barnett [8], que a equacao (2.16), com condicao inicial X(t0) = X0, tem uma

unica solucao dada por

X(t) = Φ(t0, t)′X0 Φ(t, t0)

′ ,

e que rankX(t) = rankX0 qualquer que seja t ∈ [a, b]. Assim, X e invertıvel em [a, b] se

X0 for invertıvel.

Finalmente, o exemplo sugerido em (2.15) acaba por mostrar que o estado optimo do

problema de controlo optimal, associado aos splines generalizados escalares, nao e um

spline generalizado em Rn tal como foi definido neste capıtulo.


Na Pre-Publicacao (Rodrigues e Silva Leite [62]), do Departamento de Matematica da

Universidade de Coimbra, surgem os primeiros resultados sobre splines generalizados em

Rn, quando o operador diferencial e invariante no tempo. A extensao destes resultados ao

caso em que o operador diferencial e variante no tempo aparece a posteriori e encontra-se

publicada em revista internacional (Rodrigues e Torres [65]).

Enquanto no trabalho de investigacao [62] os resultados obtidos decorrem de uma

abordagem variacional, em [65] a abordagem decorre fundamentalmente da aplicacao de

51


metodos proprios da area de controlo optimal, nomeadamente da aplicacao do Princıpio

do Maximo de Pontryagin.

Os resultados foram apresentados com comunicacao, pelo autor, no encontro “Second

Junior European Meeting on Control Theory and Stabilization”, que decorreu no “Di-

partimento di Matematica del Politecnico di Torino”, em Dezembro de 2003, no “First

Control Training Site Workshop”, que decorreu na Universidade de Coimbra em Julho de

2004, e finalmente, na conferencia internacional “Optimization’2004”, na Universidade

de Lisboa, ainda em Julho de 2004.

Sobre o Princıpio do Maximo de Pontryagin e fundamental consultar os textos cla-

ssicos de Pontryagin et al. [53] e de Boltyanskii [9]. Uma descricao sobre a genese do

Princıpio do Maximo de Pontryagin pode encontrar-se em Gamkrelidze [30]. Destacamos

ainda sobre controlo optimal e calculo das variacoes (Pinch [52]) e numa perspectiva

historica (Sussmann e Willems [75]).

Sobre equacoes diferenciais matriciais de Riccati destacamos (Barnett [8]). Estas

equacoes diferenciais tem sido largamente estudadas por matematicos. A atencao que

despertam em teoria de sistemas, tem origem na forma como uma equacao diferencial

matricial de Riccati muito particular, surge associada a um certo problema de controlo

optimal para sistemas lineares. Este problema e conhecido na literatura como the linear

regulator problem, consulte-se por exemplo (Kalman [38]).

52

Parte II

Algoritmos geometricos

para a geracao de curvas spline

em variedades Riemanianas

53

Capıtulo 3

Elementos de geometria Riemaniana

Neste capıtulo apresentamos uma sıntese de conceitos e resultados da area

da geometria Riemaniana que sao essenciais na discussao do trabalho de

investigacao que apresentamos nos dois proximos capıtulos. As referencias

bibliograficas de base estao descritas no final do capıtulo.

3.1 Preliminares de geometria diferencial

Seja M uma variedade suave de dimensao finita n ∈ N (usamos a definicao adoptada

por Boothby [10] e, em particular, assumimos que M e uma variedade topologica). Neste

capıtulo, a expressao suave significa sempre C∞ diferenciavel.

Se q e um ponto de M entao TqM representa o espaco tangente a variedade M em

q, isto e, o conjunto de todas as derivacoes Xq cujo domınio e constituıdo por todas

as funcoes reais suaves, definidas numa vizinhanca de q. Existem no entanto outras

definicoes equivalentes de espaco tangente. A definicao apresentada e geralmente desig-

nada como a definicao algebrica de espaco tangente e tem como principal caracterıstica

ser independente de qualquer sistema de coordenadas locais. O espaco tangente a M em

q e um espaco vectorial real de dimensao igual a dimensao de M enquanto variedade,

ou seja, dim TqM = dimM , para todo o q ∈ M . Aos elementos deste espaco vectorial

da-se o nome de vectores tangentes a M no ponto q. Ao conjunto TM =⋃

q ∈M TqM

que resulta da uniao disjunta de todos os espacos tangentes chama-se fibrado tangente.

Este e uma variedade suave de dimensao 2n.

Um campo de vectores em M e qualquer aplicacao X : M → TM que a cada ponto

q ∈M associa um vector tangente X(q) = Xq ∈ TqM . Um campo de vectores e suave se

a aplicacao entre variedades, que o define, for suave. O conjunto de todos os campos de

vectores suaves, que denotamos por X(M), e um espaco vectorial real para as operacoes

X + Y : (X + Y )q = Xq + Yq e αX : (αX)q = αXq com X,Y ∈ X(M) e α ∈ R.

Seja C∞(M) o conjunto de todas as funcoes reais suaves definidas num aberto da

55


variedade M . Com um campo de vectores X ∈ X(M) e uma funcao f ∈ C∞(M), e

possıvel definir um novo campo de vectores fX ∈ X(M) da seguinte forma q ∈ M 7→fX(q) = f(q)X(q), e uma nova funcao Xf ∈ C∞(M) da seguinte forma, q ∈ M 7→Xf(q) = Xq(f) (Xq e uma derivacao).

Uma curva parametrizada, ou simplesmente curva, suave em M , e qualquer aplicacao

γ : (a, b) ⊂ R → M que seja suave (entre variedades). Usando o conceito de curva e

possıvel apresentar uma definicao equivalente de espaco tangente. O espaco TqM , q ∈M ,

pode definir-se em alternativa como o conjunto de todos os vectores velocidade com ponto

de aplicacao o ponto q de todas as curvas suaves em M , isto e, Xq ∈ TqM se

Xq =(

dγdt

)t=0

onde γ : (−ε, ε) ⊂ R → M , ε > 0, e uma curva suave em M tal que γ(0) = q. Esta

definicao alternativa fornece uma interpretacao geometrica explıcita do espaco tangente.

E no entanto uma definicao local, pois esta dependente de cada sistema de coordenadas.

Seja X um campo de vectores suave na variedade suave M de dimensao n. Uma

curva suave γ : (a, b) ⊂ R → M e uma curva integral de X se γ(t) = X(γ(t)) para todo

t ∈ (a, b). A determinacao de uma curva integral de X equivale, em coordenadas locais,

a determinacao de uma solucao de um sistema de n equacoes diferenciais ordinarias.

Teorema 3.1 (Boothby [10])

Seja X um campo de vectores suave numa variedade suave M . A cada q ∈ M esta

associado um unico intervalo aberto (−ε, ε) ⊂ R, onde ε ≡ ε(q), e uma curva integral de

X , γ : (−ε, ε) → M , tal que γ(0) = q. Se α : (−a, a) → M e outra curva integral de X

tal que α(0) = q entao (−a, a) ⊂ (−ε, ε) e α(t) = γ(t) para todo t ∈ (−a, a).

O teorema garante a existencia de uma unica curva integral de X , definida para valores

de t suficientemente proximos de zero, que no instante t = 0 toma o valor q. Denotamos

esta curva integral de X , associada ao ponto q, por γq(·).Seja δ > 0 um numero real tal que, qualquer que seja q ∈ M , γq esta definida no

intervalo (−δ, δ). A famılia de todas as aplicacoes

P t : M →M ; q 7→ P t(q) = γq(t) , t ∈ (−δ, δ) ,

chama-se fluxo do campo de vectores X . Cada aplicacao P t e um difeomorfismo1. Alem

disso, P 0 = Id (aplicacao identidade) e P t P s = P s P t = P t+s, t, s, t + s ∈ (−δ, δ),logo, P−t P t = P t P−t = Id e portanto (P t)−1 = P−t.

X e um campo de vectores completo se cada curva integral de X associada a todo o

ponto q ∈M esta definida para todo t ∈ R.

Observacao 3.1

Se M e uma variedade suave compacta entao todos os elementos de X(M) sao completos.

1Aplicacao bijectiva suave cuja inversa tambem e suave.

56

3.2. Variedades Riemanianas

Seja F : M → N uma aplicacao suave entre as variedades suavesM e N . O diferencial

(ou aplicacao tangente) de F no ponto q ∈M e a aplicacao linear

dFq : TqM → TF (q)N

que ao vector tangente Xq de TqM associa o vector tangente dFq(Xq) ∈ TF (q)N definido

do seguinte modo

dFq(Xq) =(

ddtF (γ(t))

)t=0

,

onde γ : (−ε, ε) →M e uma qualquer curva em M suave tal que γ(0) = q e γ(0) = Xq.

Observacao 3.2

Se F : M → N e um difeomorfismo entao dFq tambem e bijectiva, ou seja, a aplicacao

diferencial e um isomorfismo entre espacos vectoriais para todo o q ∈M sendo (dFq)−1 =

(dF−1)F (q).

F : M → N e uma imersao de M em N se dFq e injectiva para todo q ∈ M (logo,

acontece dimM ≤ dimN). Se F e uma imersao injectiva entao M = F (M) 2 e uma sub-

variedade3 da variedade N , designada subvariedade imersa. Mais restritivo e o conceito

de mergulho. Se uma imersao injectiva F : M → N e tambem um homeomorfismo4 de

M em M = F (M), onde em M ⊂ N se toma a topologia relativa5, entao F diz-se um

mergulho. A imagem de um mergulho e uma subvariedade mergulhada.

Exemplo 3.1

A esfera n-dimensional

Sn = x ∈ Rn+1 : x1

2 + · · · + xn+12 = 1

e uma subvariedade mergulhada de Rn+1.

O proximo resultado, devido a Whitney, indica que toda a variedade suave pode ser

mergulhada num espaco Euclidiano de dimensao suficientemente grande.

Teorema 3.2 (Whitney)

Toda a variedade suave M pode ser mergulhada em RN com N ≤ 2 dimM + 1.

3.2 Variedades Riemanianas

Uma metrica Riemaniana permite estabelecer um produto interno em cada espaco tan-

gente a variedade. Permite ainda que a transicao de produto interno para produto in-

terno, entre espacos tangentes, seja uma transicao suave. Com uma metrica Riemaniana

passa a ser possıvel analisar na variedade certas caracterısticas geometricas tais como o

comprimento de curvas na variedade.

2Com a topologia e a estrutura diferenciavel que tornam F : M → fM um difeomorfismo.3Subconjunto da variedade que e tambem uma variedade suave.4Aplicacao ϕ entre espacos topologicos que e bijectiva e bicontınua, ou seja, ϕ e ϕ−1 sao contınuas.5Topologia induzida em fM pela topologia em N .

57


Definicao 3.1

Uma metrica Riemaniana numa variedade suaveM e qualquer aplicacao que a cada ponto

q de M , associa um produto interno 〈·,·〉q no espaco tangente TqM , de tal modo que, se

X e Y pertencem a X(M), entao a aplicacao entre variedades q 7→ 〈X(q), Y (q)〉q e suave.

Por uma questao de simplicidade e costume omitir o ındice na expressao 〈·,·〉q e usar 〈·,·〉para representar a metrica Riemaniana. Assim faremos sempre que nao haja motivo para

confusao. Note-se que uma metrica Riemaniana nao e necessariamente unica.

Observacao 3.3

Em toda a variedade suave e possıvel definir uma metrica Riemaniana.

Definicao 3.2

Uma variedade Riemaniana e um par (M, 〈·,·〉) constituıdo por uma variedade suave e

uma sua metrica Riemaniana.

Exemplo 3.2

Rn com o produto interno Euclidiano e uma variedade Riemaniana.

Seja W uma subvariedade imersa de uma variedade Riemaniana N . A metrica Rie-

maniana definida em N induz uma metrica Riemaniana em W transformando W numa

variedade Riemaniana. A metrica induzida e definida a custa da aplicacao inclusao

i : W → N , do seguinte modo: se q ∈ W e u, v ∈ TqW entao 〈u, v〉q = 〈diq(u), diq(v)〉q .O mesmo acontece quando W e uma subvariedade mergulhada de N

Exemplo 3.3

Porque Sn e uma subvariedade mergulhada de Rn+1, a aplicacao inclusao i : Sn → R

n+1

induz uma metrica Riemaniana em Sn. Os vectores tangentes a esfera n-dimensional

sao simplesmente interpretados como vectores em Rn+1 com o consequente calculo do

produto interno Euclidiano.

Se γ : (a, b) ⊂ R → M e uma curva suave numa variedade Riemaniana M entao a

funcao suave

t ∈ (a, b) 7→⟨

dγdt, dγ

dt

⟩ 12

γ(t)≡⟨

dγdt, dγ

dt

⟩12 ∈ R

+

associa a cada t ∈ (a, b) o comprimento do vector velocidade γ(t) (assumimos que o

vector velocidade nao tem nunca comprimento nulo). O comprimento de arco da curva

γ no intervalo [c, d] ⊂ (a, b) e dado pelo valor do integral

l(γ) =

∫ d

c

⟨dγdt, dγ

dt

⟩12

dt . (3.1)

A curva γ esta parametrizada por comprimento de arco se⟨

dγdt, dγ

dt

⟩= 1 para todo o t.

Por fim, seja F : M → N um difeomorfismo entre duas variedades Riemanianas. F e

uma isometria se 〈u, v〉q = 〈dFq(u), dFq(v)〉F (q) para todo o q ∈M e todo o u, v ∈ TqM .

58

3.3. Conexao Riemaniana

3.3 Conexao Riemaniana

Seja M uma variedade suave. Um campo de vectores ao longo de uma curva suave

γ : (a, b) ⊂ R → M e qualquer aplicacao suave V : (a, b) → TM que a cada t ∈ (a, b)

associa um vector tangente V (t) ∈ Tγ(t)M . O conjunto dos vectores velocidade de γ

permite definir o campo de vectores ao longo de γ, t ∈ (a, b) → dγdt

(t), designado como

campo de vectores velocidade ao longo da curva γ. Um campo de vectores V ao longo

da curva γ e induzido por X ∈ X(M) se V (t) = X(γ(t)) para todo t ∈ (a, b).

Definicao 3.3

Uma conexao afim ∇ numa variedade suave M e uma aplicacao, que a cada par (X,Y ) ∈X(M) × X(M) associa um outro campo de vectores em X(M) representado por ∇XY ,

com as seguintes propriedades

i) ∇fX+gY Z = f ∇XZ + g∇Y Z,

ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ,

iii) ∇X(f Y ) = f ∇XY +X(f)Y ,

onde X,Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ C∞(M).

Pode provar-se que ∇XY (q), q ∈ M , depende de Y e apenas do valor de X em q.

Este facto permite dar sentido a expressao ∇XqY , definindo-a como ∇Xq

Y = ∇XY (q).

Uma conexao afim em M da origem, de forma unica, a uma forma de derivar (derivada

covariante) campos de vectores ao longo de curvas.

Proposicao 3.1 (Carmo [24])

SeM e uma variedade suave com uma conexao afim ∇ e γ e uma curva suave em M entao,

existe uma unica transformacao, denotada por Ddt

e designada por derivada covariante,

que a cada campo de vectores V ao longo de γ associa um outro campo de vectoresDVdt

(derivada covariante de V ) ao longo de γ. A transformacao Ddt

tem as seguintes

propriedades que a caracterizam:

i) Se V e induzido por Y ∈ X(M) entao DVdt

= ∇ dγdtY ,

ii) D(Y +Z)dt

= DYdt

+ DZdt

, se Y e Z sao campos de vectores ao longo de γ,

iii) D(fY )dt

= dfdtY + f DY

dt, se Y e um campo de vectores ao longo de γ e f ∈ C∞(M).

Em i), se a curva suave γ : (a, b) → M e tal que γ(t0) = q e γ(t0) = v entao a expressaoDVdt

= ∇ dγdtY significa, em particular, que DV

dt(t0) = ∇vY ∈ TqM .

A derivada covariante pode aplicar-se sucessivamente obtendo de cada vez um novo

campo de vectores ao longo da curva.

Quando M = Rn mostra-se que a derivada covariante coincide com a derivada usual.

59


Observacao 3.4

Quando M e uma subvariedade mergulhada em Rn a derivada covariante admite uma

interpretacao geometrica importante. Seja γ : (a, b) →M uma curva suave em M e seja

V : (a, b) → TM um campo de vectores ao longo de γ. Observando γ e V do ponto de

vista do espaco ambiente pode concluir-se que a derivada usual dVdt

: (a, b) → Rn e um

campo de vectores ao longo de γ. Contudo, em geral, dVdt

(τ), τ ∈ (a, b), nao pertence

ao espaco tangente Tγ(τ)M , e portanto, dVdt

nao e do ponto de vista de M um campo de

vectores ao longo de γ. Existe no entanto uma relacao entre a derivada usual de V e a

derivada covariante de V . Pode mostrar-se que a derivada covariante de V e um campo

de vectores ao longo de γ que em cada instante τ ∈ (a, b) e o vector de Tγ(τ)M que resulta

da projeccao ortogonal do vector dVdt

(τ) ∈ Rn no espaco tangente Tγ(τ)M .

Seja M uma variedade suave com uma conexao afim ∇ e γ uma curva suave em M .

Um campo de vectores V ao longo de γ diz-se paralelo (ao longo de γ) se DVdt

≡ 0 no

domınio de γ. Se v ∈ Tγ(t0)M entao existe um unico campo de vectores V paralelo ao

longo da curva γ tal que V (t0) = v. V e designado por transporte paralelo de v ao longo

da curva γ.

Seja (M, 〈·,·〉) uma variedade Riemaniana com uma conexao afim ∇. Se 〈V1, V2〉 e

constante para todo o par de campo de vectores V1, V2 paralelos ao longo de qualquer

curva suave γ em M entao a conexao diz-se compatıvel com a metrica Riemaniana.

O proximo resultado apresenta uma propriedade interessante.

Proposicao 3.2 (Milnor [48], Carmo [24])

Seja M uma variedade Riemaniana com uma conexao afim compatıvel com a metrica

Riemaniana. Se X e Y sao campos de vectores ao longo de uma curva suave γ em M

entao ddt〈X,Y 〉 =

⟨DXdt, Y⟩

+⟨X, DY

dt

⟩no domınio de γ.

Uma conexao afim ∇ numa variedade suave M diz-se simetrica se ∇XY − ∇YX =

[X,Y ] para todo o X,Y ∈ X(M), onde [X,Y ] ∈ X(M) e definido como [X,Y ](f) =

X(Y f) − Y (Xf) para todo o f ∈ C∞(M).

Teorema 3.3 (Milnor [48], Carmo [24])

Numa variedade Riemaniana existe uma unica conexao afim que e simultaneamente

simetrica e compatıvel com a sua metrica Riemaniana.

A conexao afim que o Teorema 3.3 refere, e apelidada de conexao Riemaniana ou conexao

de Levi-Civita.

3.4 Geodesicas em variedades Riemanianas

M passa a designar uma variedade Riemaniana munida da sua conexao Riemaniana.

60

3.4. Geodesicas em variedades Riemanianas

Definicao 3.4

Uma curva suave γ : (a, b) ⊂ R → M e uma geodesica se Ddt

dγdt

= 0 para todo t ∈ (a, b),

isto e, se o campo de vectores velocidade de γ e paralelo ao longo de γ.

E claro que as curvas geodesicas em M estao directamente associadas a escolha de uma

determinada metrica Riemaniana.

Quando γ : (a, b) → M e uma geodesica tem-se ddt

⟨dγdt, dγ

dt

⟩= 2

⟨Ddt

dγdt, dγ

dt

⟩= 0, e

portanto, o comprimento do vector velocidade e constante ao longo de γ. Contudo, o

vector velocidade pode ter comprimento constante ao longo de uma curva sem que esta

seja uma geodesica. Se o comprimento do vector velocidade e constante igual a zero

entao a geodesica reduz-se apenas a um ponto de M . Assumimos doravante que o vector

velocidade nao tem nunca comprimento nulo. Assim, o comprimento de arco da curva

geodesica γ a partir de γ(t0), t0 ∈ (a, b), e proporcional a (t− t0) (ver (3.1)).

Porque toda a restricao de uma geodesica e ainda uma geodesica, chamamos segmento

de geodesica ou arco de geodesica, a toda a geodesica definida num intervalo fechado.

Dizemos que uma geodesica γ em M une o ponto q1 ao ponto q2 se γ e um segmento de

geodesica definido num intervalo [a, b] com γ(a) = q1 e γ(b) = q2.

Um ponto interessante: uma mudanca de parametro t → τ numa curva geodesica,

permite gerar uma nova curva geodesica se e so se τ e funcao linear do parametro t.

Assim, por exemplo, se γt e um segmento de geodesica definido em [a, b] (b 6= a) entao

γτ , onde τ = t−ab−a

, e um segmento de geodesica definido no intervalo [0, 1] 6. A imagem

de ambas as geodesicas e evidentemente a mesma.

Suponhamos que a variedade M tem dimensao n. Em coordenadas locais, pode

observar-se que a existencia de uma geodesica esta directamente dependente da deter-

minacao de solucao de um sistema nao linear de n equacoes diferenciais ordinarias de

segunda ordem. De facto, se (U,ϕ) e um sistema de coordenadas de γ(t0) e ϕ γ(t) =

(x1(t), . . . , xn(t)) entao γ e uma geodesica se e so se as funcoes coordenadas x1, . . . , xn,

definidas para todo t tal que γ(t) ∈ U , sao solucao do sistema de equacoes diferenciais

d 2xk

dt2+

n∑

i,j =1

Γkij

dxi

dt

dxj

dt= 0 , k = 1, 2, . . . , n , (3.2)

onde Γkij sao n3 funcoes reais suaves7 definidas no aberto U .

O proximo teorema sobre existencia e unicidade de uma curva geodesica e uma con-

sequencia directa de resultados contidos, em simultaneo, em Carmo [24] e Milnor [48].

Teorema 3.4

Para cada q ∈ M e cada v ∈ TqM existe um numero real ε > 0 e uma unica geodesica

em M , γ : (−ε, ε) →M , tal que γ(0) = q e γ(0) = v.

6O parametro de um segmento de geodesica γ : [0, 1] → M e proporcional ao comprimento de arco.7As funcoes Γk

ij tem o nome de sımbolos de Christoffel da conexao. Mostra-se que permitem deter-

minar de forma unica a conexao Riemaniana.

61


No enunciado do Teorema 3.4, o numero real ε depende directamente do comprimento do

vector velocidade v. Em particular, pode aumentar-se o comprimento do vector veloci-

dade v (aumentar a velocidade de uma geodesica) diminuindo a amplitude do intervalo

de definicao da geodesica, ou entao, pode aumentar-se o intervalo de definicao de uma

geodesica diminuindo a velocidade da geodesica.

Considera-se no espaco tangente TqM o aberto B(0, δ) = v : ‖v‖ < δ, isto e, a bola

aberta de centro no elemento neutro de TqM e raio δ > 0. Escolhe-se o numero real

δ por forma que, para todo o v ∈ B(0, δ), a unica geodesica γ em M , que no instante

t = 0 passa pelo ponto q com velocidade v, esta definida no intervalo (−ε, ε) com ε > 1.

Define-se a aplicacao exponencial em q da seguinte forma

expq : B(0, δ) ⊂ TqM →M ; v 7→ expq(v) = γ(1) , (3.3)

isto e, como a aplicacao suave que a cada v ∈ B(0, δ) associa o ponto γ(1) ∈M da unica

geodesica que no instante t = 0 passa por q com velocidade v. Em particular, tem-se

expq(0) = q. expq(v) e o ponto da unica geodesica determinada por v cuja distancia

(medida na geodesica) ao ponto q e exactamente o comprimento do vector v. De facto,

l =

∫ 1

0

⟨dγdt, dγ

dt

⟩12

dt =

∫ 1

0

⟨dγ(0)

dt, dγ(0)

dt

⟩12

dt =

∫ 1

0

‖v‖ dt = ‖v‖ .

QuandoM = Rn e se identifica TqM com R

n, a aplicacao exp e a aplicacao identidade.

Lema 3.1 (Boothby [10])

Seja q ∈ M e seja v ∈ TqM tal que expq(v) esta bem definida. Logo, expq(tv) esta

definida pelo menos em |t| ≤ 1 e γ(t) = expq(tv) e a geodesica em M tal que γ(0) = q e

γ(0) = v.

A unica geodesica que no instante t = 0 passa por q ∈ M com velocidade v ∈ TqM e

denotada por expq(tv) ficando explıcita a dependencia de q e de v.

Lema 3.2 (Milnor [48])

A cada ponto q ∈ M estao associados um numero real δ > 0 e uma vizinhanca U de q,

de tal forma que:

i) Existe um unico segmento de geodesica em M de comprimento l ≤ δ que une cada

par de pontos de U .

ii) A aplicacao expp : B(0, δ) ⊂ TpM → M define, para todo o ponto p ∈ U , um

difeomorfismo de B(0, δ) ⊂ TpM num aberto de M que contem U .

Nao esta garantido que a unica geodesica na alınea i), no enunciado do lema, esteja

totalmente contida na vizinhanca U . Tal e no entanto sempre possıvel se se escolher

convenientemente U . O proximo resultado mostra que as geodesicas sao, de um ponto

de vista local, curvas que minimizam o comprimento de arco de curva.

62

3.4. Geodesicas em variedades Riemanianas

Chamamos curva seccionalmente suave a toda a aplicacao contınua w : [a, b] → M

que e seccionalmente suave no intervalo [a, b]. Dizemos que w une o ponto q1 ao ponto

q2 se w(a) = q1 e w(b) = q2.

Teorema 3.5 (Milnor [48])

Sejam δ e U tal como no enunciado do Lema 3.2 e γ : [0, 1] → M o unico segmento

de geodesica de comprimento l = l(γ) ≤ δ que une dois pontos quaisquer de U . Se

w : [0, 1] →M e uma curva seccionalmente suave que une os mesmos pontos de U entao

l(γ) ≤ l(w). A igualdade e valida se e somente se w([0, 1]) = γ([0, 1]).

Corolario 3.1 (Milnor [48], Carmo [24])

Se uma curva seccionalmente suave w : [a, b] → M , com parametro proporcional ao

comprimento de arco, tem comprimento menor ou igual ao comprimento de qualquer

outra curva seccionalmente suave unindo os pontos w(a) e w(b) entao w e uma geodesica.

O calculo de um segmento de geodesica unindo quaisquer dois pontos (tal como

definido no enunciado do Teorema 3.5) envolve a determinacao de uma solucao de um

problema com condicoes de fronteira para o sistema de equacoes diferenciais (3.2).

Definicao 3.5

Uma geodesica γ : [a, b] → M e minimal (ou de comprimento mınimo) se l(γ) ≤ l(w)

qualquer que seja a curva seccionalmente suave w unindo os pontos extremos de γ.

Em sıntese, os segmentos de geodesica que unem pontos suficientemente proximos

minimizam o comprimento de arco de curva, e sao por isso geodesicas de comprimento

mınimo. E claro que uma geodesica minimal pode nao ser unica.

As curvas geodesicas admitem outra caracterizacao bastante interessante. Mostra-se

que uma curva seccionalmente suave w : [0, 1] → M e uma geodesica se e somente se w

e ponto crıtico da funcional energia E(γ) =∫ 1

0〈dγ

dt, dγ

dt〉 dt.

Daqui em diante M e uma variedade Riemaniana conexa (munida da sua conexao

Riemaniana).

Definicao 3.6

M e geodesicamente completa se para todo q ∈M e todo o v ∈ TqM existe uma geodesica

γ definida para todo t ∈ R tal que γ(0) = q e γ(0) = v.

Ou seja, M e geodesicamente completa se e so se para todo o ponto q ∈ M a aplicacao

exponencial expq esta definida para todo o vector v ∈ TqM .

Toda a variedade Riemaniana conexa M e um espaco metrico para a distancia d, que

a cada par de pontos (q1, q2) ∈M ×M associa o numero d(q1, q2) definido como sendo o

ınfimo dos comprimentos de todas as curvas seccionalmente suaves em M que unem q1 e

q2 (existe pelo menos uma curva porque M e conexa).

Um arco de geodesica, unindo dois pontos de M , e minimal se e somente se o seu

comprimento e igual a distancia d entre o seu ponto inicial e o seu ponto final.

63


Teorema 3.6 (Hopf e Rinow)

Se M e uma variedade Riemaniana conexa entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

i) M e geodesicamente completa.

ii) Existe q ∈M tal que expq esta definida em todo o espaco TqM .

iii) M e um espaco metrico completo para a distancia d.

iv) Existe uma geodesica minimal unindo qualquer par de pontos de M .

Algumas conclusoes sobre os resultados apresentados no Teorema 3.6. A equivalencia

entre as alıneas i) e ii) permite concluir que basta existir um ponto q de M tal que

expq esteja definida em todo o espaco tangente TqM , para que o mesmo aconteca para

todo o ponto de M . Devido a equivalencia entre i) e iii), em vez de dizer que M e

uma variedade Riemaniana geodesicamente completa pode dizer-se simplesmente que M

e uma variedade Riemaniana completa.

As variedades Riemanianas simultaneamente conexas e completas sao particularmente

importantes porque existe a garantia da existencia de uma geodesica minimal unindo

quaisquer dois pontos.

Basta recordar que um espaco metrico compacto e completo para concluir que, se

uma variedade Riemaniana conexa M e compacta entao M e completa.

Exemplo 3.4 (Algumas curvas geodesicas)

Apresentamos as curvas geodesicas em duas variedades Riemanianas simultaneamente

conexas e completas.

1. Seja M = Rn com a metrica Riemaniana definida pelo produto interno Euclidiano.

Neste caso, a derivada covariante coincide com a derivada usual, logo, γ e uma

geodesica se d2γdt2

≡ 0, isto e, se γ e uma recta parametrizada onde o parametro e

proporcional ao comprimento de arco.

2. Seja M = Sn com a metrica Riemaniana induzida pelo espaco ambiente Rn+1

(munido da metrica Euclidiana).

Todas as geodesicas de Sn estao contidas em cırculos maximos8.

Existe uma infinidade de geodesicas de comprimento mınimo que unem dois pontos

antıpodas9 de Sn. Quando os pontos nao sao antıpodas existe apenas uma geodesica

de comprimento mınimo unindo os dois pontos. Constata-se que um segmento de

geodesica e minimal se e so se o seu comprimento e inferior ou igual a π. Se os

pontos sao antıpodas entao o segmento e minimal se o comprimento e exactamente

igual ao valor π. Em qualquer dos casos, existe uma infinidade de geodesicas nao

minimais unindo pontos de Sn.

8Curvas que resultam da interseccao de Sn com qualquer plano que passe pelo seu centro.9Pontos que resultam da interseccao de Sn com qualquer recta que passe pelo seu centro.

64

3.5. Grupos de Lie

Se q ∈ Sn e v ∈ TqSn, v 6= 0, entao a curva parametrizada

γ(t) = cos(‖v‖t) q + 1‖v‖ sin(‖v‖t) v , t ∈ R ,

e a unica geodesica em Sn que no instante t = 0 passa pelo ponto q com velocidade

v. Se q1 e q2 nao sao pontos antıpodas de Sn entao o arco de geodesica minimal

que une o ponto q1 (no instante t = 0) ao ponto q2 (no instante t = 1) e

γ(t) = sin((1−t)θ)sin θ

q1 + sin(tθ)sin θ

q2 , t ∈ [0, 1] ,

onde θ = cos−1(q1′q2) e o angulo entre os vectores de R

n+1 com origem no centro

de Sn e extremidade nos pontos q1 e q2.

3.5 Grupos de Lie

Iniciamos esta seccao apresentando a definicao de algebra de Lie.

Definicao 3.7

Um espaco vectorial V sobre o corpo R e uma algebra de Lie se e possıvel definir em Vuma operacao binaria

[·,·] : V × V → V

designada por produto de Lie, com as seguintes propriedades

i) [u, v] = −[v, u] (anti-simetria),

ii) [αu + βv, w] = α[u,w] + β[v, w] (linearidade),

iii) [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0 (identidade de Jacobi),

onde α, β ∈ K e u, v, w ∈ V .

As propriedades i) e ii) garantem que o produto de Lie e bilinear. A propriedade i)

permite ainda concluir que [v, v] = 0 para todo v ∈ V . A dimensao de uma algebra de

Lie e a sua dimensao enquanto espaco vectorial.

Exemplo 3.5

O espaco vectorial X(M) e uma algebra de Lie para o produto de Lie que associa a

cada par X,Y ∈ X(M) o campo de vectores [X,Y ] ∈ X(M) definido como [X,Y ](f) =

X(Y f) − Y (Xf) para todo o f ∈ C∞(M).

Definicao 3.8

Um grupo algebrico G e um grupo de Lie se for uma variedade suave de dimensao n, de

tal modo que, as operacoes produto e inversa

G×G → G

(g, h) 7→ gh

G → G

h 7→ h−1

65


sao aplicacoes suaves entre variedades. A dimensao de um grupo de Lie e a sua dimensao

enquanto variedade10. G e um grupo de Lie abeliano se G e um grupo algebrico abeliano.

Exemplo 3.6

Rn e um grupo de Lie aditivo (abeliano).

Se G e um grupo de Lie e g e um elemento fixo de G entao as aplicacoes

inversa

I : G→ G ; h 7→ h−1,

translacao a esquerda (por g)

Lg : G→ G ; h 7→ gh,

e translacao a direita (por g)

Rg : G→ G ; h 7→ hg,

sao difeomorfismos tais que I−1 = I, (Lg)−1 = Lg−1 e (Rg)

−1 = Rg−1 .

Uma metrica Riemaniana 〈·,·〉 num grupo de Lie G e invariante a esquerda (invariante

por translacoes a esquerda) se 〈u, v〉g = 〈d(Lh)g(u), d(Lh)g(v)〉Lh(g) para todo g, h ∈ G e

todo u, v ∈ TgG, ou seja, por outras palavras, se a aplicacao Lh e uma isometria. Define-se

de modo semelhante, usando Rh, metrica Riemaniana invariante a direita. Uma metrica

Riemaniana em G e bi-invariante se e em simultaneo invariante a esquerda e invariante

a direita.

Observacao 3.5

Se G e um grupo de Lie conexo e compacto entao G tem uma metrica Riemaniana

bi-invariante que e unica.

Um campo de vectores X ∈ X(G) e invariante a esquerda (invariante por translacoes

a esquerda) se dLhX = X para todo h ∈ G, isto e, se d(Lh)g(Xg) = XLh(g) = Xhg

para todo h, g ∈ G e todo Xg ∈ TgG. Define-se de modo semelhante campo de vectores

invariante a direita.

Observacao 3.6

Todo o campo de vectores invariante a esquerda e completo. Se X,Y ∈ X(G) sao inva-

riantes a esquerda entao o produto de Lie [X,Y ] ∈ X(G) e invariante a esquerda.

Para determinar completamente um campo de vectores invariante a esquerda basta con-

hecer o seu valor num ponto qualquer g ∈ G (em particular na identidade11 do grupo).

De facto, seja X um campo de vectores invariante a esquerda, Xg o seu valor no ponto

10Consideramos apenas grupos de Lie de dimensao finita.11Representamos a identidade do grupo de Lie G por e.

66

3.5. Grupos de Lie

g ∈ G e q um outro ponto de G. Tem-se Xq = Xhg para algum h ∈ G e portanto

Xq = d(Lh)g(Xg). Deduz-se que a cada v ∈ TgG, qualquer que seja g ∈ G, esta asso-

ciado um unico campo de vectores X ∈ X(G), invariante a esquerda, tal que X(g) = v.

Em particular, a cada V ∈ TeG12 esta associado

X : G→ TG ; g 7→ X(g) = d(Lg)e(V ) ∈ TgG

que e o unico campo de vectores invariante a esquerda tal que X(e) = V .

Este ultimo resultado permite definir, tendo em conta que o produto de Lie de campos

invariantes a esquerda e tambem um campo invariante a esquerda, o seguinte produto de

Lie no espaco tangente na identidade de G

[·,·] : TeG× TeG→ TeG ; (Xe, Ye) 7→ [Xe, Ye] = [X,Y ](e) (3.4)

transformando-o numa algebra de Lie (sobre R).

A algebra de Lie de G, denotada por g, e o espaco tangente TeG munido do produto

de Lie (3.4).

Observacao 3.7

Existe uma correspondencia biunıvoca entre vectores da algebra de Lie g e campos de

vectores em G invariantes a esquerda.

Qualquer produto interno 〈·,·〉e definido na algebra de Lie g de um grupo de Lie G,

permite definir uma metrica Riemaniana invariante a esquerda em G, do seguinte modo

〈u, v〉g = 〈d(Lg−1)g(u), d(Lg−1)g(v)〉e

onde g ∈ G e u, v ∈ TgG. De modo semelhante, usando Rg−1 , define-se uma metrica

Riemaniana invariante a direita em G. Se estas coincidirem entao estamos perante uma

metrica bi-invariante.

Seja φ : R → G um homomorfismo de grupos de Lie13. A imagem da aplicacao φ, que

e um subgrupo algebrico abeliano de G, chama-se subgrupo com um-parametro14 de G.

Note-se que a aplicacao φ e tambem uma curva suave no grupo de Lie G tal que φ(0) = e

e portanto φ(0) ∈ g.

Todo o vector tangente V ∈ g determina um unico homomorfismo de grupos de Lie

φV : R → G tal que φV (0) = V . Na verdade, ao vector V corresponde um unico campo

de vectores X ∈ X(G) invariante a esquerda tal que X(e) = V . Logo, existe uma unica

curva integral ψ de X , tal que ψ(0) = e. A curva ψ esta definida para todo t ∈ R

porque X e completo e evidentemente ψ(0) = V . Por fim, mostra-se que ψ : R → G e

12Usamos letra maiuscula para representar os elementos do espaco tangente TeG.13φ e um homomorfismo de grupos de Lie se φ e em simultaneo um homomorfismo algebrico entre

grupos e uma aplicacao suave entre variedades.14E costume associar um subgrupo com um-parametro a aplicacao φ e nao a sua imagem (tal como

acontece para as curvas).

67


um homomorfismo algebrico entre os grupos R e G e portanto ψ e o homomorfismo de

grupos de Lie φV pretendido. O homomorfismo φV associado ao vector V e ainda tal que

φsV (t) = φV (st), s ∈ R.

Existe de facto uma correspondencia biunıvoca entre elementos de g e subgrupos com

um-parametro de G.

Define-se a aplicacao exponencial no grupo de Lie G como sendo a aplicacao suave

exp : g → G ; V 7→ exp(V ) = φV (1) .15 (3.5)

Conclui-se de imediato que

φ(t) ≡ φV (t) = exp(tV ) , t ∈ R ,

e o unico subgrupo com um-parametro associado ao vector V ∈ g. Logo,

• exp((t+ s)V ) = exp(tV ) exp(sV ),

• (exp(tV ))−1 = exp(−tV ),

• exp(0) = e.

A aplicacao exponencial no grupo de Lie nao e uma aplicacao injectiva. E por vezes sobre-

jectiva (o que acontece, por exemplo, quando G e um grupo de Lie conexo e compacto).

Contudo, a aplicacao exp e um difeomorfismo local de uma vizinhanca de 0 ∈ g numa

vizinhanca de e ∈ G. Existe por isso uma vizinhanca U da identidade de G onde se de-

fine a aplicacao inversa (que e tambem um difeomorfismo local) designada por logaritmo:

log : U → g.

Seja G um grupo de Lie e g a sua algebra de Lie. Se H e um subgrupo de Lie16 de G

entao a algebra de Lie h de H e uma subalgebra de Lie17 de g.

Se H e um subgrupo de Lie de um grupo de Lie G entao os subgrupos com um-

parametro de H sao exactamente os subgrupos com um-parametro de G associados aos

elementos de h ⊂ g.

3.5.1 Grupos de Lie matriciais

Consideramos o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n, com entradas reais,

representado por gl(n) ≡ Rn×n e o seu subconjunto

GL(n) = A ∈ gl(n) : detA 6= 0 .15A aplicacao exponencial em grupos de Lie (3.5) e em geral distinta da aplicacao exponencial (3.3)

quando M e um grupo de Lie e q e a identidade do grupo (Helgason [32]). Estas coincidem quando M

e um grupo de Lie munido de uma metrica Riemaniana bi-invariante.16H e em simultaneo um subgrupo algebrico e uma subvariedade de G e a aplicacao inclusao i : H → G

e uma imersao injectiva.17h e um subespaco de g e o produto de Lie (induzido) e fechado em h.

68

3.5. Grupos de Lie

Estes dois conjuntos de matrizes sao variedades suaves de dimensao n2. Alem disso,

GL(n) e um grupo de Lie multiplicativo sendo gl(n) a sua algebra de Lie com produto

de Lie o comutador de matrizes, isto e,

[V,W ] = VW −WV , para todo V,W ∈ gl(n) . (3.6)

Por grupo de Lie de matrizes (que tenham entradas reais) entende-se qualquer sub-

grupo de Lie de GL(n). Todo o grupo de Lie de matrizes G tem uma algebra de Lie de

matrizes g, que e obviamente uma subalgebra de Lie de gl(n).

Um grupo de Lie de matrizes conexo e compacto que iremos considerar nos proximos

capıtulos e o grupo ortogonal especial. Este e constituıdo pelas matrizes ortogonais de

determinante um e e representado por SO(n). Ou seja,

SO(n) = A ∈ GL(n) : A′A = I e det(A) = 1 .

A algebra de Lie de SO(n) e o conjunto das matrizes anti-simetricas

so(n) = V ∈ gl(n) : V = −V ′ .

cuja dimensao e n(n−1)2 . Um caso particular muito importante ocorre quando n = 3.

SO(3) e designado por grupo de Lie das rotacoes no espaco (se A ∈ SO(3) e v ∈ R3

entao Av corresponde a uma rotacao de v, em R3, de um angulo pertencente ao intervalo

[0, 2π[ em torno de um eixo fixo dado por um vector de R3).

O produto interno

〈·,·〉 : g × g → R ; (V,W ) 7→ 〈V,W 〉 = tr(V ′W ) 18 (3.7)

na algebra de Lie g de um grupo de Lie de matrizes G, permite definir duas metricas

Riemanianas em G (uma invariante a esquerda e outra invariante a direita). Quando

G = SO(n) a metrica gerada pelo produto interno e bi-invariante e, alem disso, 〈A,B〉g =

tr(A′B) para todo o g ∈ SO e todo A,B ∈ TgSO.

No caso particular dos grupos de Lie e algebras de Lie de matrizes, a aplicacao ex-

ponencial e precisamente a exponencial de matrizes que a cada V ∈ g associa a matriz

exp(V ) ≡ eV ∈ G que e a soma da serie convergente∑∞

j=0V j

j! . Logo, todo o subgrupo

com um-parametro de G corresponde a imagem de uma curva t ∈ R 7→ etV com V ∈ g.

A aplicacao logaritmo e um difeomorfismo local de uma certa vizinhanca U da matriz

identidade I ∈ G, numa vizinhanca da matriz nula 0 ∈ g. Mostra-se que a aplicacao

logaritmo associa a cada A ∈ U a matriz log(A) ∈ g que e a soma da serie convergente∑∞

j=1(−1)j+1 (A−I)j

j.

A maior vizinhanca da matriz nula 0 ∈ g onde exp e injectiva chama-se domınio de

injectividade da aplicacao exponencial. Os resultados que envolvem a exponencial e o

18O traco de uma matriz A e representado por tr(A).

69


logaritmo, a apresentar nos dois proximos capıtulos, pressupoem que estamos restringidos

a este domınio.

QuandoG e um grupo de Lie de matrizes os campos de vectores invariantes a esquerda

e invariantes a direita tem uma expressao simples. De facto, se X e um campo de

vectores invariante a esquerda associado a V ∈ g entao X(g) = gV para todo g ∈ G

(isto e, simplesmente multiplicacao a esquerda por g) - Se X e um campo de vectores

invariante a direita associado a V ∈ g entao X(g) = V g para todo g ∈ G (isto e,

simplesmente multiplicacao a direita por g). Para tal, basta verificar que d(Lh)g(Xg) =

hXg e d(Rh)g(Xg) = Xgh para todo h, g ∈ G e todo Xg ∈ TgG. Vejamos como no

primeiro caso. Seja γ(t) uma curva em G tal que γ(0) = Xg (evidentemente γ(0) = g).

Logo,

d(Lh)g(Xg) = d(Lh)g(γ(0))

= ddt

(Lh γ(t))t=0 = h γ(0) = hXg .

A representacao simplificada de campos de vectores invariantes (a esquerda e a direita)

num grupo de Lie de matrizes G, permite caracterizar qualquer espaco tangente TgG,

g ∈ G, de uma forma simples a custa dos elementos da algebra de Lie de G. Seja

X : g 7→ gV o unico campo de vectores invariante a esquerda associado a V ∈ g, isto

e, tal que X(e) = V . Tem-se X(g) = d(Lg)e(V ) = gV para todo o g ∈ G. Porque a

aplicacao tangente d(Lg)e e um isomorfismo entre os espacos vectoriais g e TgG, conclui-se

finalmente que

TgG = gV, V ∈ g

qualquer que seja g ∈ G. De igual modo, a custa da caracterizacao de campos de vectores

invariantes a direita em G, conclui-se que

TgG = V g, V ∈ g

qualquer que seja g ∈ G. Suponhamos agora que x : (a, b) → G e uma curva suave em G.

Os resultados apresentados permitem afirmar que x(t)−1x(t) e x(t)x(t)−1 sao elementos

da algebra de Lie g, qualquer que seja t ∈ (a, b).

Observacao 3.8

Sejam q ∈ SO(n), S1 = TqSO(n) = V q, V ∈ so(n) e S2 = Sq, S ∈ S(n) onde S(n)

denota o subespaco de gl(n) das matrizes simetricas de ordem n. Seja ainda o produto

interno (3.7) definido na algebra de Lie gl(n). Mostra-se que S2 e subespaco de gl(n), que

〈S1,S2〉 = 0 (porque o traco do produto de uma matriz simetrica por outra anti-simetrica

e nulo) e que gl(n) = S1 ⊕ S2 (porque gl(n) e soma directa de so(n) e S(n)). Ou seja,

deduz-se que (TqSO(n))⊥ = S2.

Observacao 3.9

Note-se que a expressao do produto de Lie de matrizes (3.6), na algebra de Lie gl(n), e

um caso particular do produto de Lie (3.4), definido no espaco tangente na identidade de

70

3.5. Grupos de Lie

qualquer grupo de Lie. Na deducao deste resultado e preciso considerar a representacao

simplificada, em grupos de Lie de matrizes, dos campos de vectores invariantes a esquerda.

A cada elemento V de uma algebra de Lie g associa-se a aplicacao linear

adV : g → g ; W 7→ (adV )W = [V,W ] .

Verifica-se que (adV )[A,B] = [(adV )A,B] + [A, (adV )B] qualquer que seja A,B ∈ g.

Define-se recursivamente (adV )jW = (adV )j−1W para todo j ≥ 2. A aplicacao que

associa a cada V ∈ g a aplicacao linear adV de gl(n) e um homomorfismo de algebras de

Lie19.

Enunciamos a seguir alguns resultados, sobre grupos de Lie de matrizes e algebras de

Lie de matrizes, que nos serao particularmente necessarios nos proximos capıtulos.

Lema 3.3

Se t 7→ A(t) e t 7→ B(t) sao curvas suaves numa algebra de Lie g entao

eA(t)B(t) e−A(t) ∈ g

para todo t e tem-se

eA(t)B(t) e−A(t) = B(t) + (adA(t))B(t) + 12!(adA(t))2B(t) + 1

3! (adA(t))3B(t) + · · · .

Observacao 3.10

Usando a aplicacao ad tambem podemos escrever eA(t)B(t) e−A(t) = eadA(t)B(t).

Lema 3.4 (Sattinger e Weaver [69])

Se t 7→ A(t) e uma curva suave numa algebra de Lie g entao

d

dteA(t) = ΩL

A(t) eA(t) = eA(t) ΩRA(t)

onde

ΩLA(t) =

∫ 1

0

eu adA(t)A(t) du e ΩRA(t) =

∫ 1

0

e−u adA(t)A(t) du .

Observacao 3.11

Se t 7→ A(t) e uma curva suave numa algebra de Lie g entao ΩLA(t) e ΩR

A(t) pertencem a

g para todo o t. Deduzem-se as seguintes identidades

ΩL−A(t) = −ΩR

A(t) ,

ΩLA(t) = eA(t)ΩR

A(t) e−A(t) = eadA(t)ΩRA(t) .

Destas obtem-se

ΩLA(t) = −eA(t)ΩL

−A(t) e−A(t).

19φ : g → h e um homomorfismo de algebras de Lie se φ e linear e preserva o produto de Lie, isto e,

φ([V, W ]g) = [φ(V ), φ(W )]h para todo V, W ∈ g.

71


Lema 3.5

Se t 7→ A(t) e t 7→ B(t) sao curvas suaves numa algebra de Lie g entao

d

dt

(eadA(t)B(t)

)= eadA(t)

((adΩR

A(t))B(t) + B(t)).

Demonstracao - Aplicando os resultados contidos nos Lemas 3.3 e 3.4 obtem-se

d

dt

(eadA(t)B(t)

)=

d

dt

(eA(t)B(t) e−A(t)

)

= eA(t)ΩRA(t)B(t) e−A(t) + eA(t)

(B(t) e−A(t) +B(t)ΩL

−A(t) e−A(t))

= eA(t)(ΩR

A(t)B(t) + B(t) −B(t)ΩRA(t)

)e−A(t)

= eA(t)([ΩR

A(t), B(t)] + B(t))e−A(t)

= eadA(t)((adΩR

A(t))B(t) + B(t)).

Observacao 3.12

Salientamos ainda as seguintes propriedades.

- e−adA(t) = ead(−A(t)) ,

- eadA(t)(−B(t)) = − eadA(t)B(t) ,

-(eadA(t)B(t)

)′= e−adA(t)′B(t)′ ,

- ((adA(t))B(t))′= − (adA(t)′)B(t)′ = (ad(−A(t)′))B(t)′ ,

-d

dte−A(t) = − e−A(t)

(d

dteA(t)

)e−A(t) .

Exemplo 3.7 (Algumas curvas geodesicas)

1. Seja G um grupo de Lie conexo e compacto com a sua metrica Riemaniana bi-

invariante. Mostra-se que uma curva γ e uma geodesica de G (para a metrica

bi-invariante) se e somente se γ e um subgrupo com um-parametro de G ou uma

translacao de um subgrupo com um-parametro. Ou seja, toda a geodesica de G e

dada por

γ(t) = g exp(tV ) , t ∈ R ,

ou por

γ(t) = exp(tV )g , t ∈ R ,

onde g ∈ G e V ∈ g (algebra de Lie de G). Em particular, o unico subgrupo com

um-parametro de G determinado pelo vector V ∈ g, exp(tV ), t ∈ R, e a unica

geodesica γ em G tal que γ(0) = e e γ(0) = V . Ao vector V chama-se gerador

infinitesimal de γ.

72


Seja G um grupo de Lie matricial conexo e compacto. Se g, h ∈ G e V ∈ g e tal

que V = log(g−1h) entao

γ(t) = getV , t ∈ [0, 1] ,

e um arco de geodesica minimal que une o ponto g (no instante t = 0) ao ponto h

(no instante t = 1). Confirmacao: Seja γ(t) = getV , t ∈ [0, 1], V ∈ g, um arco de

geodesica que une o ponto g (no instante t = 0) ao ponto h (no instante t = 1), ou

seja, tal que eV = g−1h. Porque a metrica Riemaniana e bi-invariante, tem-se

l(γ) =

∫ 1

0

〈γ(t), γ(t)〉12

γ(t) dt

=

∫ 1

0

⟨γ(t)−1γ(t), γ(t)−1γ(t)

⟩ 12

edt

=

∫ 1

0

〈V, V 〉 12 dt = 〈V, V 〉 1

2 .

Para que γ(t) = getV seja um arco de geodesica minimal, a matriz V ∈ g tem de

ser tal que eV = g−1h e 〈V, V 〉 e mınimo, ou seja, V = log(g−1h).

Outro arco de geodesica minimal, unindo o ponto g (no instante t = 0) ao ponto h

(no instante t = 1), e γ(t) = etW g, t ∈ [0, 1], onde W ∈ g e tal que W = log(hg−1).

2. (Curva geodesica na esfera Sn,

continuacao do ponto 2, exemplo 3.4, pagina 64)

Na esfera Sn existem inumeros arcos de geodesica de comprimento mınimo que

unem qualquer par de pontos antıpodas. Se q1 e q2 sao dois pontos antıpodas entao

todo o arco de geodesica minimal, unindo q1 (no instante t = 0) a q2 (no instante t =

1) pode escrever-se (usando a aplicacao exponencial de matrizes) como γ : [0, 1] →Sn, t 7→ γ(t) = etθ QAQ′

q1, onde θ = cos−1(q1′q2), A = E21 − E12 e uma matriz

anti-simetrica, de ordem n+1, resultado da diferenca das matrizes elementares E21

e E12, e Q e uma matriz ortogonal, de ordem n + 1, cujas colunas resultam da

aplicacao do metodo de Gram-Schmidt a uma base ordenada v1, v2, · · · , vn+1 de

Rn+1, onde se impoe apenas que v1 = q1. Note-se que a matriz QAQ′ e tambem

anti-simetrica porque Q e ortogonal. Pode constatar-se que etθ QAQ′

e para todo t

uma matriz de SO(n+ 1). Quando n = 2 e interessante observar que a aplicacao γ

provoca de facto uma rotacao (contınua) do ponto q1 no espaco R3. Sobre rotacoes

no espaco e esclarecedora a consulta da referencia (Kuipers [40]).


Este capıtulo tem como principais referencias bibliograficas os textos (Boothby [10]),

(do Carmo [24]), (Milnor [48]) e (Spivak [72, 73]). Ainda neste contexto e num ambito

73


interdisciplinar foi tambem importante a consulta dos textos (Agrachev e Sachkov [1]),

(Arnold [7]), (Bullo e Lewis [13]), (Helgason [32]), (Isidori [34]), (Murray, Li e Sastry [49])

e (Sattinger e Weaver [69]).

74

Capıtulo 4

Um algoritmo com tres passos

Apresentamos um algoritmo geometrico que permite construir, numa va-

riedade Riemaniana, uma curva spline de uma classe de suavidade arbitraria,

que satisfaz um conjunto prescrito de condicoes de interpolacao (posicoes e

velocidades). A ideia do algoritmo surgiu da observacao da importancia de

algumas propriedades do algoritmo classico de De Casteljau. O novo algo-

ritmo define em apenas tres passos cada segmento da curva spline. O numero

de passos e independente da classe de suavidade pretendida e do numero

de condicoes de interpolacao prescritas. Esta propriedade e consequencia da

introducao de uma funcao suavizante na descricao do algoritmo. A funcao

suavizante e escolhida logo que o grau de suavidade da curva spline esteja

definido.

4.1 Formulacao do problema

Propomos um algoritmo geometrico que permite gerar uma solucao para o seguinte pro-

blema generico com condicoes de interpolacao.

Problema (P ):

Seja M uma variedade Riemaniana conexa e completa. Considere m + 1

pontos distintos de M , pi, i = 0, 1, . . . ,m, e m + 1 vectores tangentes a M ,

vi, i = 0, 1, . . . ,m, tais que vi ∈ TpiM . Pretende-se determinar uma curva

spline

s : [a, b] ⊂ R →M

que seja suave de classe C k, k ∈ N, em [a, b], e que satisfaca as condicoes de

interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = vi ,

em cada instante ti de uma particao ∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b de [a, b].

75


Na literatura podemos encontrar varios algoritmos e varias solucoes para o problema

(P ). As curvas geradas evoluem em variedades Riemanianas conexas e completas tais

como espacos Euclidianos ou grupos de Lie. Grande parte dos resultados tem como prin-

cipal motivacao as aplicacoes a engenharia, nomeadamente, o planeamento de trajectorias

para o movimento de um corpo rıgido. Um dos metodos mais conhecidos para a geracao

de curvas polinomiais em espacos Euclidianos e o algoritmo classico de De Casteljau. Este

algoritmo fornece, com algumas adaptacoes, uma solucao para (P ) quando M = Rn. A

extensao do algoritmo de De Casteljau a outras variedades Riemanianas, grupos de Lie

matriciais e esferas unitarias, aparece pela primeira vez no trabalho pioneiro de Park e

Ravani [51] e Crouch, Kun e Silva Leite [19, 20].

Apresentamos um algoritmo geometrico que permite construir uma solucao para o

problema (P ). Consideramos em primeiro lugar o caso em que M = Rn (munido da

metrica Euclidiana). A descricao do novo algoritmo e assim mais intuitiva e mais facil

de visualizar. A observacao e interpretacao das suas caracterısticas principais, no espaco

Rn, permite que a descricao noutras variedades Riemanianas fique bem mais facilitada.

Analisamos o processo de adaptacao deste novo algoritmo ao caso em que M e um grupo

de Lie matricial. Destacamos o caso do grupo ortogonal especial. Nestes casos, nao

consideramos o problema (P ) em toda a sua generalidade, isto e, nao garantimos que a

curva gerada e de facto de classe C k com k arbitrario.

O novo algoritmo geometrico e composto apenas de tres passos qualquer que seja o

grau k de suavidade da curva spline. A ideia principal surge da observacao da construcao

geometrica, operada pelo algoritmo classico de De Casteljau, para a determinacao de

um spline cubico de classe C 1 no espaco Rn. Comecamos por recordar o algoritmo

geometrico de De Casteljau.

4.2 O algoritmo de De Casteljau

O algoritmo de De Casteljau tem por finalidade a construcao de curvas polinomiais inter-

poladoras em espacos Euclidianos. E nesse contexto, um dos algoritmos mais conhecidos.

O interesse que desperta resulta sobretudo de dois factos: 1) O algoritmo e do ponto de

vista algebrico bastante simples de compreender; 2) Mais importante ainda, o algoritmo

de De Casteljau e um algoritmo geometrico - todo o desenvolvimento do algoritmo tem

uma interpretacao geometrica muito simples e intuitiva, que decorre da aplicacao repetida

de um processo de interpolacao linear. A nossa principal fonte de informacao sobre este

algoritmo e (Farin [28]). Segundo parece, estes resultados foram obtidos por volta de

1959, por Paul De Casteljau, para a empresa Citroen. Em [28] sao mencionados dois re-

latorios, da autoria de De Casteljau, de 1959 e 1963, onde estes resultados se encontram

descritos.

O metodo de De Casteljau permite construir uma curva polinomial parametrizada,

de qualquer grau r, r ≥ 1, a partir de um conjunto de r+ 1 pontos distintos de Rn. Seja

76

4.2. O algoritmo de De Casteljau

q0, q1, . . . , qr uma sequencia de r + 1 pontos distintos de Rn. O metodo gera uma curva

polinomial parametrizada c : [0, 1] → Rn, de grau maximo r, que satisfaz as condicoes

de interpolacao c(0) = q0 e c(1) = qr. Apenas os pontos q0 e qr sao realmente pontos

de interpolacao da curva polinomial gerada pelo metodo de De Casteljau. Os pontos

q1, . . . , qr−1 servem apenas de suporte a aplicacao do algoritmo e, por este motivo, sao

designados como pontos de suporte1 da curva c. Mostramos como construir uma curva

polinomial de grau tres para exemplificar como funciona o metodo de De Casteljau. Neste

caso particular o metodo e composto de tres iteracoes. Considere a sequencia q0, q1, q2, q3

de pontos distintos de Rn.

Primeira iteracao: Definem-se tres curvas polinomiais de grau um,

c11(t) = (1 − t)q0 + tq1 ,

c21(t) = (1 − t)q1 + tq2 ,

c31(t) = (1 − t)q2 + tq3 , t ∈ [0, 1] .

Segunda iteracao: Definem-se duas curvas polinomiais de grau dois,

c12(t) = (1 − t)c11(t) + tc21(t) , c22(t) = (1 − t)c21(t) + tc31(t) , t ∈ [0, 1] .

Terceira e ultima iteracao: Da iteracao anterior resulta a seguinte curva polinomial

de grau tres

c13(t) = (1 − t)c12(t) + tc22(t) , t ∈ [0, 1] .

A curva polinomial gerada e simplesmente c(t) = c13(t), t ∈ [0, 1], sendo

c(t) = (1 − t)3q0 + 3t(1 − t)2q1 + 3t2(1 − t)q2 + t3q3 , t ∈ [0, 1] , (4.1)

uma expressao explıcita da curva. Vejamos o que acontece do ponto de vista geometrico

no decorrer das tres iteracoes. As seguintes figuras representam as iteracoes do algoritmo.

q0

q1

q2

q3 q0

q1

q2

q3

c11(·)

c21(·)

c31(·)

Figura 4.1: Dados iniciais e primeira iteracao

1Existem designacoes alternativas como por exemplo pontos de controlo ou pontos de Bezier.

77


q0

q1

q2

q3

c12(·)

c22(·)

q0

q1

q2

q3

c13(·)

Figura 4.2: Segunda iteracao e terceira iteracao

Na proxima figura podemos observar os dados iniciais e a curva polinomial gerada pelo

algoritmo. Observe-se novamente que a curva c passa unicamente pelo ponto inicial e

pelo ponto final da sequencia de pontos prescrita.

q0

q1

q2

q3

c(·)

Figura 4.3: Curva final

A figura seguinte permite observar sem qualquer duvida que todo o ponto da curva final,

c(τ), com τ ∈ ]0, 1[, resulta de um processo repetido de interpolacao linear.

q0

q1

q2

q3

c11(τ )

c21(τ )

c31(τ )

c12(τ )

c22(τ )

c(τ )

Figura 4.4: Interpolacao linear sucessiva

78


Vejamos a descricao geral do algoritmo de De Casteljau. Esta e feita de um modo

recursivo como o exemplo apresentado sugere.

Algoritmo classico de De Casteljau:

Sejam q0, q1, . . . , qr pontos distintos de Rn. Se

ci0(t) = qi−1 , t ∈ [0, 1] ,

i = 1, 2, . . . , r + 1 ,

entao a formula recursiva

cij(t) = (1 − t) cij−1(t) + t ci+1j−1(t) , t ∈ [0, 1] ,

j = 1, 2, . . . , r ,

i = 1, 2, . . . , r − j + 1 ,

gera uma curva parametrizada c ≡ c1r : [0, 1] → Rn, polinomial de grau

maximo r, que passa pelo ponto q0 no instante t = 0 e pelo ponto qr no

instante t = 1. O ındice j identifica o numero da iteracao enquanto o numero

r − j + 1 indica o numero de curvas polinomiais de grau j em cada iteracao.

A obtencao de uma curva polinomial de grau r ≥ 1, que passe pelos pontos q0 e qr,

exige a realizacao de r iteracoes e o calculo de r2+ r2 curvas polinomiais. Observe-se que

em cada nova iteracao sao geradas curvas polinomiais que resultam de uma combinacao

convexa, de curvas obtidas na iteracao anterior. Mostra-se que a curva polinomial obtida

por aplicacao do algoritmo de De Casteljau tem a seguinte expressao explıcita, funcao

dos dados iniciais,

c(t) =

r∑

i=0

(ri

)ti (1 − t)r−iqi . (4.2)

Considere r = 3 e compare com a expressao (4.1). Toda a curva polinomial na forma (4.2)

e designada por curva de Bezier. O algoritmo de De Casteljau e portanto um algoritmo

recursivo para construir curvas de Bezier. Mais ainda, toda a curva polinomial gerada

no decurso do algoritmo e tambem uma curva de Bezier.

Observacao 4.1

A curva polinomial de grau r ≥ 1 depende directamente da escolha dos r − 1 pontos de

suporte. Logo, manipulando os pontos de suporte e possıvel gerar uma curva polinomial

com algumas propriedades antecipadamente desejadas.

Observacao 4.2

A partir da expressao (4.2) deduzem-se expressoes simples para as derivadas (ate a ordem

79


r) da curva c nos instantes inicial e final 2. Tem-se,

c(k)(0) =r!

(r − k)!∆kq0 , (4.3)

c(k)(1) =r!

(r − k)!∆kqr−k , k = 0, 1, . . . , r , (4.4)

onde

∆kqi =

k∑

j=0

(kj

)(−1)k−jqi+j .

Naturalmente, os valores de c(k)(0) e c(k)(1) dependem explicitamente dos dados iniciais.

Em particular, de (4.3) e (4.4) resulta por exemplo

c(0) = r(q1 − q0) , c(1) = r(qr − qr−1) , (4.5)

c(0) = (r2 − r)(q2 − 2q1 + q0) , c(1) = (r2 − r)(qr − 2qr−1 + qr−2) .

Estes resultados sugerem como recorrer ao algoritmo de De Casteljau para construir uma

curva polinomial c : [0, 1] → Rn que satisfaca, por exemplo, as condicoes

c(0) = p0 , c(1) = p1 ,

c(0) = v0 , c(1) = v1 ,

onde p0 e p1 sao pontos distintos de Rn e v0, v1, sao vectores tangentes nos pontos p0 e

p1 respectivamente. Definem-se os pontos de suporte

x0 = p0 + 13 v0 , x1 = p1 − 1

3 v1 ,

e repete-se o processo de construcao de uma curva polinomial de grau tres. Usando (4.5)

confirma-se que a curva obtida satisfaz todas as condicoes de interpolacao.

Mostramos a seguir como a aplicacao do algoritmo classico de De Casteljau permite

construir uma curva spline s : [a, b] → Rn que seja solucao do problema (P ). A estrategia

consiste em calcular separadamente, por meio do algoritmo de De Casteljau, cada seg-

mento de s. Consideramos primeiro a situacao em que k = 1. Considere o segmento

si : [ti, ti+1] → Rn (onde i pode variar de 0 ate m − 1). Porque si tem de satisfazer as

seguintes condicoes de interpolacao

si(ti) = pi , si(ti+1) = pi+1 ,

si(ti) = vi , si(ti+1) = vi+1 ,

podemos aplicar directamente o raciocınio apresentado na Observacao 4.2. Por uma

questao de simplicidade substituımos o intervalo de tempo [ti, ti+1] pelo intervalo [0, 1].

2As derivadas nos instantes t = 0 e t = 1 sao evidentemente derivadas laterais.

80


Uma conveniente reparametrizacao de cada segmento, aquando da definicao da curva

final, devolve a estrutura original. Escolhem-se os pontos de suporte

xi = pi + 13 vi , xi+1 = pi+1 − 1

3 vi+1 ,

e define-se si como a curva polinomial de grau tres que decorre da aplicacao do metodo

de De Casteljau. Repetindo este processo para todo o i = 0, 1, . . . ,m− 1, obtem-se uma

curva spline t → s(t), resultado da ligacao de todos os segmentos si, com a seguinte

expressao

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 , (4.6)

que e solucao do problema (P ) com k = 1. Em (4.6), a curva si : [0, 1] → Rn e

construıda tal como si, mas esta associada aos pontos de suporte xi = pi + 13 hi vi e

xi+1 = pi+1 − 13 hi vi+1, com hi = ti+1 − ti. A curva spline (4.6) e (em geral) apenas

de classe C 1 no intervalo [a, b]. Apesar de ser localmente polinomial de grau tres esta

curva nao e no entanto um spline cubico classico. Vejamos como determinar uma solucao

para o problema (P ) no caso geral k > 1. Cada segmento da curva s e, tal como

anteriormente, determinado de forma independente. Porque a curva final tem de ser de

classe C k e preciso prescrever k−1 derivadas sucessivas, ate a ordem k, em cada instante

ti. Logo, a determinacao de cada segmento si pressupoe o calculo de 2k pontos de

suporte x0, x1, . . . , x2k−1. Os pontos x0, . . . , xk−1 dependem directamente das k derivadas

prescritas no instante ti enquanto os pontos xk, . . . , x2k−1 dependem directamente das

k derivadas prescritas no instante ti+1. Cada segmento si e uma curva polinomial de

grau 2k + 1. A curva final s e o resultado da ligacao de todos os segmentos e a sua

expressao e mais uma vez tal como em (4.6). A determinacao de cada segmento exige o

calculo de 2k pontos de suporte e envolve a realizacao de 2k + 1 iteracoes do algoritmo,

com o consequente calculo de (2k + 1)(k + 1) curvas polinomiais. E portanto evidente

que o numero de operacoes envolvidas na determinacao de s aumenta substancialmente

a medida que o valor de k aumenta.

Uma adaptacao natural do algoritmo de De Casteljau a outras variedades Riema-

nianas completas, tais como grupos de Lie matriciais conexos e compactos, surge pela

primeira vez no trabalho de Park e Ravani [51]. A ideia de base e simples e consiste na

substituicao de segmentos de recta, em espacos Euclidianos, por arcos de geodesica, em

variedades Riemanianas. Esta generalizacao e do ponto de vista teorico bastante elegante,

mas como seria de esperar, a aplicacao dos resultados e em geral bastante difıcil. O estudo

e aplicacao desta generalizacao a grupos de Lie matriciais conexos e compactos e esferas

unitarias, surge posteriormente nos trabalhos de Crouch, Kun e Silva Leite [19, 20]. Nada

se sabe ainda sobre o comportamento optimal das curvas geradas.

81


4.3 O novo algoritmo em espacos Euclidianos

Consideramos M = Rn munido da metrica Euclidiana. A novidade do novo algoritmo

proposto surge na construcao de cada segmento da curva spline. Para construir cada

segmento sao necessarios apenas tres passos qualquer que seja o grau de suavidade k da

curva final. A introducao de uma funcao suavizante de ordem k e um dos pontos funda-

mentais deste novo algoritmo. A funcao suavizante acaba por ser a principal responsavel

pelo facto do numero de passos do algoritmo nao depender do valor de k.

4.3.1 Funcoes suavizantes

Definicao 4.1

Uma funcao real φ : [0, 1] → R e uma funcao suavizante de ordem k, k ∈ N, se φ e suave

e satisfaz o seguinte conjunto de condicoes

φ(0) = 0 , φ(1) = 1 , (4.7)

φ(j)(0) = 0 , φ(j)(1) = 0 , j = 1, 2, . . . , k − 1 (k > 1) . (4.8)

Uma funcao suavizante de ordem k = 1 e qualquer funcao suave φ : [0, 1] → R que

satisfaz apenas (4.7). Um exemplo simples e φ(t) = t. Outro ainda e φ(t) = sin(

π2 t).

Observacao 4.3

Chamamos funcao suavizante a toda a funcao nas condicoes da Definicao 4.1 porque

estas tem a qualidade de suavizar o spline gerado pelo novo algoritmo. Mostramos mais

a frente porque motivo tal acontece.

A seguir mostramos que existe sempre uma funcao suavizante de ordem k, qualquer

que seja k ∈ N. Optamos por um processo construtivo, para tal, determinamos uma

funcao polinomial com todas as caracterısticas pretendidas.

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k entao g(t) = φ(t), t ∈ [0, 1], e uma funcao

suave tal que g(j)(0) = 0 e g(j)(1) = 0 para todo o j = 0, 1, . . . , k− 2. Uma funcao nestas

condicoes e

g(t) = α tk−1 (1 − t)k−1 = αk−1∑

v=0

(k−1

v

)(−1)v tk−1+v , α ∈ R .

Logo, podemos concluir que

φ(t) =

∫g(t) dt = α

(k−1∑

v=0

ηv tk+v

)+ β , α, β ∈ R ,

onde α e β sao constantes a determinar e

ηv =(−1)v

(k−1

v

)

k + v, v = 0, 1, . . . , k − 1 ,

82

4.3. O novo algoritmo em espacos Euclidianos

e candidata a ser uma funcao suavizante de ordem k. So falta mesmo garantir que φ

satisfaz (4.7). Para que tal seja possıvel e preciso acontecer β = 0 e α =(∑k−1

v=0 ηv

)−1

.

Estamos em condicoes de enunciar o seguinte resultado.

Lema 4.1

A funcao polinomial de grau 2k − 1

φ(t) = αk−1∑

v=0

ηv tk+v (4.9)

onde

ηv =(−1)v

(k−1

v

)

k + ve α =

(∑k−1v=0 ηv

)−1

e uma funcao suavizante de ordem k, k ∈ N.

Concretizamos a funcao suavizante (4.9) para alguns valores de k. Temos:

- φ(t) = t e uma funcao suavizante de ordem k = 1;

- φ(t) = 3t2 − 2t3 e uma funcao suavizante de ordem k = 2;

- φ(t) = 10t3 − 15t4 + 6t5 e uma funcao suavizante de ordem k = 3.

Observacao 4.4 (Propriedades da funcao suavizante (4.9))

• A funcao suavizante (4.9) e tal que

φ(k)(0) = α (k − 1)! 6= 0 e φ(k)(1) = α (−1)k−1(k − 1)! 6= 0 .

Basta recordar que a expressao da primeira derivada de (4.9) e α tk−1 (1 − t)k−1.

• A funcao suavizante (4.9) (de ordem k) e a unica solucao do seguinte problema do

calculo das variacoes:

J(x(·)) =

∫ 1

0

(x(k)(t)

)2

dt −−−→x∈Ω

min ,

sujeito as condicoes

x(0) = 0 , x(1) = 1 ,

x(j)(0) = 0 , x(j)(1) = 0 , j = 1, 2, . . . , k − 1 (k > 1) ,

onde Ω representa o conjunto de todas as funcoes suaves x : [0, 1] → R. Obtem-se

toda uma gama de funcoes suavizantes se se substituir, na expressao da funcional,

o operador diferencial L ≡ Dk por L ≡ Dk + ak−1Dk−1 + · · · + a1D + a0, com

coeficientes reais constantes. Constata-se que estas funcoes suavizantes sao afinal

segmentos de splines escalares tal como definidos no primeiro capıtulo.

83


4.3.2 Descricao do algoritmo

Pretende-se determinar uma curva spline s : [a, b] → Rn suave de classe C k que seja

solucao do problema (P ). Cada segmento de s e construıdo de forma individual. Seja

si : [ti, ti+1] → Rn o segmento de s que une o ponto pi, no instante t = ti, com si(ti) = vi,

ao ponto pi+1, no instante t = ti+1, com si(ti+1) = vi+1. Mais uma vez, por uma questao

de simplicidade no processo de construcao de si, usamos o intervalo de tempo [0, 1] em

vez de [ti, ti+1]. Definem-se dois pontos de suporte a partir dos dados iniciais. Esta e

uma etapa semelhante a que ocorre na aplicacao do algoritmo de De Casteljau aquando

da determinacao de uma curva de classe C 1. Os pontos de suporte sao neste caso

xi = pi + vi e xi+1 = pi+1 − vi+1 .

O processo de construcao de cada segmento envolve apenas tres passos, qualquer que seja

o grau de suavidade k da curva final.

Primeiro passo do algoritmo:

Definem-se os seguintes segmentos de recta

li(t) = (1 − t)pi + txi = pi + tvi ,

ci(t) = (1 − t)pi + tpi+1 = pi + t(pi+1 − pi) ,

ri(t) = (1 − t)xi+1 + tpi+1 = pi+1 + (t− 1)vi+1 , t ∈ [0, 1] .

As curvas li, ci, ri : [0, 1] → Rn chamamos respectivamente componente esquerda, com-

ponente intermedia e componente direita3 do segmento t→ si(t).

Observacao 4.5

• As componentes de si visualizam-se com facilidade se se observar que

ci(0) = li(0) = pi , ci(1) = ri(1) = pi+1 , (4.10)

e ainda, que li(1) = xi e ri(0) = xi+1.

• Note-se que as componentes esquerda e direita tem as seguintes propriedades

li(0) = pi , li(0) = vi , li(j)(0) = 0 , j ≥ 2 . (4.11)

ri(1) = pi+1 , ri(1) = vi+1 , ri(j)(1) = 0 , j ≥ 2 . (4.12)

Segundo passo do algoritmo:

Introduz-se uma funcao suavizante φ para definir as seguintes curvas

ai(t) = (1 − φ(t)) li(t) + φ(t) ci(t) ,

bi(t) = (1 − φ(t)) ci(t) + φ(t) ri(t) , t ∈ [0, 1] .(4.13)

As curvas ai : [0, 1] → Rn e bi : [0, 1] → R

n sao suaves e sao resultado de uma combinacao

convexa, usando uma funcao suavizante φ, de componentes do segmento si.

3As letras l, c, e r, sao fruto da descricao deste algoritmo em lıngua inglesa. Isto e, l indica “left”, c

esta para “center” e r indica “right”.

84


Observacao 4.6

As curvas t→ ai(t) e t → bi(t) tem as seguintes propriedades

ai(0) = bi(0) = li(0) = pi , ai(1) = bi(1) = ri(1) = pi+1 , (4.14)

ai(0) = li(0) = vi , bi(1) = ri(1) = vi+1 . (4.15)

Estas sao consequencia imediata de (4.10), (4.11) e (4.12), junto com as propriedades (4.7)

da funcao suavizante. As propriedades apresentadas permitem visualizar as duas curvas

com mais clareza.

Terceiro passo do algoritmo:

Combinando as curvas t → ai(t) e t → bi(t) de forma semelhante ao que foi feito no

passo anterior para as componentes li, ci e ri, isto e, atraves de uma combinacao convexa

usando φ, obtem-se por fim a curva suave

si(t) = (1 − φ(t)) ai(t) + φ(t) bi(t) , t ∈ [0, 1] . (4.16)

O segmento si admite tambem a seguinte representacao, funcao das suas componentes,

si(t) = (1 − φ(t))2 li(t) + 2φ(t)(1 − φ(t)) ci(t) + φ(t)2 ri(t) , t ∈ [0, 1] . (4.17)

Observacao 4.7

Um primeiro olhar sobre a expressao (4.17) permite concluir, usando (4.10) e as pro-

priedades (4.7) da funcao suavizante, que

si(0) = pi e si(1) = pi+1 . (4.18)

A derivada da expressao (4.16), junto com (4.14), (4.15) e (4.7), permite deduzir que

si(0) = vi e si(1) = vi+1 . (4.19)

Terminamos a descricao do algoritmo sublinhando que as propriedades (4.14), (4.15),

(4.18) e (4.19), sao totalmente independentes da ordem k da funcao suavizante φ. Ou

seja, e suficiente que φ satisfaca (4.7), para tal, basta considerar uma funcao suavizante

de ordem k = 1. As proximas figuras representam cada passo deste novo algoritmo.

Escolheu-se φ(t) = sin(

π2 t)

que e uma funcao suavizante de ordem k = 1.

r

q

p

pi pi+1

vi

vi+1

r

q

p

pi pi+1

xi

xi+1

li(·)

ci(·)

ri(·)

Figura 4.5: Dados iniciais e primeiro passo do algoritmo

85


r

q

p

pi pi+1

ai(·)

bi(·)

r

q

p

pi pi+1

si(·)

Figura 4.6: Segundo e terceiro passo do algoritmo

r

q

p

pi pi+1

vi

vi+1

si(·)

Figura 4.7: Dados iniciais e segmento si

Podemos considerar que a presenca dos pontos de suporte, xi e xi+1, nao e essencial

para a descricao do algoritmo. Na verdade, estes sao perfeitamente dispensaveis. So tem

mesmo relevancia na visualizacao ou representacao grafica das componentes esquerda e

direita.

Lema 4.2

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k entao as curvas t→ ai(t) e t→ bi(t), definidas

em (4.13), sao tais que

ai(j)(0) = li

(j)(0) e bi(j)(1) = ri

(j)(1) , j = 0, 1, . . . , k . (4.20)

Consequentemente,

ai(0) = pi , bi(1) = pi+1 ,

ai(0) = vi , bi(1) = vi+1 ,

ai(j)(0) = 0 , bi

(j)(1) = 0 , j = 2, 3, . . . , k .

86


Demonstracao - Comecamos por reescrever as curvas ai e bi do seguinte modo

ai(t) = li(t) + φ(t) (ci(t) − li(t)) ,

bi(t) = ci(t) + φ(t) (ri(t) − ci(t)) , t ∈ [0, 1] .

Aplicando a formula de Leibniz para a derivada de ordem j do produto, obtem-se

ai(j) = li

(j) +

j∑

v=0

(jv

)φ(v)(ci − li)

(j−v)

=

j∑

v=1

(jv

)φ(v)(ci − li)

(j−v) + (1 − φ) li(j) + φ ci

(j) ,

bi(j) = ci

(j) +

j∑

v=0

(jv

)φ(v)(ri − ci)

(j−v)

=

j∑

v=1

(jv

)φ(v)(ri − ci)

(j−v) + (1 − φ) ci(j) + φ ri

(j) .

O uso das propriedades (4.7) e (4.8) da funcao suavizante, junto com (4.10), permite

obter (4.20). A observacao das propriedades (4.11) e (4.12) completa a demonstracao.

Observacao 4.8

A demonstracao do lema anterior permite verificar que

ai(k+1)(0) = (k + 1)φ(k)(0)

(ci(0) − li(0)

)

= (k + 1)φ(k)(0) (pi+1 − pi − vi) ,

bi(k+1)(1) = (k + 1)φ(k)(1) (ri(1) − ci(1))

= (k + 1)φ(k)(1) (vi+1 − pi+1 + pi) ,

qualquer que seja k ∈ N. Podemos afirmar que os valores ai(k+1)(0) e bi

(k+1)(1) sao em

geral nao nulos para uma funcao suavizante de ordem k.

Lema 4.3

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k entao o segmento t→ si(t), definido em (4.16),

e tal que

si(j)(0) = li

(j)(0) e si(j)(1) = ri

(j)(1) , j = 0, 1, . . . , k .

Logo, tem-se

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

si(0) = vi , si(1) = vi+1 ,

si(j)(0) = 0 , si

(j)(1) = 0 , j = 2, 3, . . . , k .

87


Demonstracao - Reescrevemos a curva si do seguinte modo

si(t) = ai(t) + φ(t) (bi(t) − ai(t)) , t ∈ [0, 1] .

A aplicacao da formula de Leibniz para a derivada de ordem j do produto, permite obter

si(j) = ai

(j) +

j∑

v=0

(jv

)φ(v)(bi − ai)

(j−v)

=

j∑

v=1

(jv

)φ(v)(bi − ai)

(j−v) + (1 − φ) ai(j) + φ bi

(j) .

O uso das propriedades (4.7) e (4.8) da funcao suavizante φ, em conjunto com (4.14) e

os resultados do Lema 4.2, conclui a demonstracao.

Observacao 4.9

Para obter expressoes para as derivadas si(k+1)(0) e si

(k+1)(1) deve considerar-se em

separado os casos k = 1 e k > 1. Quando k = 1 obtem-se

si(0) = 2 φ(0)(2 (pi+1 − pi − vi) + φ(0)(pi+1 − pi − vi+1)

),

si(1) = 2 φ(1)(2 (vi+1 − pi+1 + pi) − φ(1)(pi+1 − pi − vi)

).

Quando k > 1 obtem-se

si(k+1)(0) = 2(k + 1)φ(k)(0) (pi+1 − pi − vi)

= 2 ai(k+1)(0) ,

si(k+1)(1) = 2(k + 1)φ(k)(1) (vi+1 − pi+1 + pi)

= 2 bi(k+1)(1) .

Podemos concluir que os valores de si(k+1)(0) e de si

(k+1)(1) sao em geral nao nulos.

O proximo resultado estabelece que a curva spline, gerada por aplicacao do novo

algoritmo, e solucao do problema (P ).

Observacao 4.10

O Teorema 4.1 e consequencia da aplicacao do Lema 4.3 a cada um dos subintervalos

[ti, ti+1]. E, por isso, necessario definir si : [0, 1] → Rn tal como si, em (4.16), mas

satisfazendo as condicoes

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

˙si(0) = hi vi , ˙si(1) = hi vi+1 ,

onde hi = ti+1 − ti.

88


Teorema 4.1

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k entao a curva spline definida do seguinte modo

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 , (4.21)

e solucao do problema (P ), isto e, s e uma curva suave de classe C k que satisfaz as

condicoes de interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = vi , s(j)(ti) = 0 , j = 2, 3, . . . , k ,

para todo o i = 0, 1, . . . ,m.

Demonstracao - E suficiente constatar que s(j)(ti+1−) = s(j)(ti+1

+) para todo o

j = 0, 1, . . . , k e todo o i = 0, 1, . . . ,m− 2.

A determinacao de uma solucao para o problema (P ) requer a escolha de uma funcao

suavizante e a aplicacao repetida do novo algoritmo ao calculo de cada segmento. A

curva final (4.21), solucao de (P ), e o resultado da ligacao de todos os segmentos.

4.3.3 Propriedades do algoritmo

1. Destacamos novamente que o numero de passos do novo algoritmo nao depende

do valor de k. Mais precisamente, o numero de passos para cada segmento e

sempre tres, qualquer que seja o grau de suavidade k da curva spline (4.21).

Esta propriedade e consequencia do papel fundamental desempenhado pela funcao

suavizante.

2. Se φ for a funcao polinomial de grau 2k− 1 definida em (4.9) entao cada segmento

da curva spline (4.21) e uma curva polinomial de grau (maximo) 4k− 1. Para esta

escolha de φ, cada segmento requer o calculo de seis curvas polinomiais. Foi visto

que a aplicacao do algoritmo de De Casteljau, com a consequente prescricao das

restantes condicoes iniciais, isto e, da prescricao de derivadas nulas (desde a ordem

dois ate a ordem k) em cada instante da particao, requer o calculo de (2k+1)(k+1)

curvas polinomiais em 2k+1 passos. A diferenca e bastante substancial. No entanto,

cada segmento da curva, obtida por aplicacao do algoritmo de De Casteljau, e uma

curva polinomial de grau (maximo) 2k + 1, distinto do valor 4k − 1.

3. Outra propriedade importante que distingue a curva (4.21) das demais curvas spline,

tem a ver com o facto de cada segmento da curva estar unicamente dependente dos

dados iniciais na sua vizinhanca (alem da funcao suavizante). Cada segmento e de-

terminado de forma individual. O mesmo acontece quando se aplica o algoritmo de

De Casteljau. Esta e no entanto uma propriedade pouco comum a maior parte das

curvas spline. Damos como exemplo as curvas spline apresentadas no Capıtulo 2,

89


onde se inclui o spline cubico classico em Rn. Esta propriedade local e muito im-

portante e bastante util do ponto de vista da aplicacao pratica da curva (4.21).

Suponhamos que e necessario modificar os dados iniciais associados a determinado

instante ti de ∆. Se ti e um instante intermedio entao e preciso calcular de novo

apenas os segmentos si−1 e si. Caso contrario bastara calcular de novo um unico

segmento do spline, o segmento inicial ou o segmento final. Nao e pois necessario

repetir o calculo de todos os segmentos da curva. No calculo da maior parte das

curvas spline acontece precisamente o contrario.

4. Quando se pretende determinar uma curva de classe C 1 basta escolher φ(t) = t.

Acontece que a curva spline (4.21), que corresponde a esta escolha de φ, e exac-

tamente a mesma curva que resulta da aplicacao, aos mesmos dados iniciais, do al-

goritmo de De Casteljau. A confirmacao deste facto e simples. Cada segmento das

duas curvas e por construcao uma curva polinomial de grau maximo tres. Os seg-

mento sao identicos porque tem de satisfazer o mesmo conjunto de quatro condicoes

iniciais. Cada segmento tem neste caso a seguinte expressao

si(t) = pi + vit+ (3pi+1 − 3pi − 2vi − vi+1)t2 + (2pi + vi − 2pi+1 + vi+1)t

3 .

5. A curva spline gerada pelo novo algoritmo nao e em geral de classe C k+1 tal como

se pode deduzir da Observacao 4.9. So mesmo em certos casos especiais. O es-

tudo destes casos decorre da analise da equacao si(k+1)(1) = si+1

(k+1)(0) com

i = 0, 1, . . . ,m − 2. Quando k = 1 e a funcao suavizante e φ(t) = t, conclui-

se, usando a informacao contida na Observacao 4.9, que a curva spline (4.21) e

de classe C 2 se e so se acontecer 3pi+2 − vi+2 − 4vi+1 − 3pi − vi = 0 para todo

i = 0, 1, . . . ,m − 2. Ou seja, se existir uma relacao entre os dados iniciais que

originam o segmento si, e os dados iniciais que permitem determinar o segmento

si+1. Quando k > 1 e a funcao suavizante e dada por (4.9), deduz-se, usando mais

uma vez a informacao contida na Observacao 4.9, que a curva spline (4.21) e de

classe C k+1 se e so se, para todo i = 0, 1, . . . ,m−2, acontecer pi+2−2vi+1−pi = 0

se k e ımpar ou pi+2 − 2pi+1 + pi = 0 se k e par.

6. Resultados globais sobre o comportamento optimal da curva (4.21) sao por en-

quanto desconhecidos. Um facto interessante ocorre quando k = 1 e φ(t) = t.

Neste caso, cada componente da curva spline e uma funcao L-spline (de tipo I)

associada ao operador diferencial L ≡ D2, a particao ∆ de [a, b] e ao vector de

incidencia Z = (z1, z2, . . . , zm−1) = (2, 2, . . . , 2). Por isso, se 〈·, ·〉 representa o pro-

duto interno Euclidiano entao a curva spline (4.21) e solucao do seguinte problema:

J(x(·)) =

∫ b

a

〈x(t), x(t)〉 dt −−−→x∈Ω

min ,

90


sujeito as condicoes

x(ti) = pi , x(ti) = vi , i = 0, 1, . . . ,m ,

onde Ω e a famılia de curvas x : [a, b] → Rn suaves de classe C 1.

4.3.4 Flexibilidade do algoritmo

Mostramos como adaptar o novo algoritmo a um problema de interpolacao mais geral,

onde o numero de condicoes de interpolacao pode variar de ponto para ponto, ou seja,

quando em cada instante ti de ∆ as condicoes de interpolacao sao

s(ti) = pi , s(ti) = p1i , . . . s(ki)(ti) = pki

i , (4.22)

onde ki e um numero associado ao ponto pi e e tal que 1 ≤ ki ≤ k, i = 0, 1 . . . ,m.

A adaptacao do algoritmo requer modificacoes simples, que incidem apenas na defi-

nicao das componentes esquerda e direita de cada segmento do spline. A componente in-

termedia nao sofre alteracoes bem como todo o processo posterior que permite a obtencao

de cada segmento. Seja si : [0, 1] → Rn o segmento que une o ponto pi ao ponto pi+1. Se

ki e o numero associado ao ponto pi entao a componente esquerda e o seguinte polinomio

de grau ki

li(t) = pi +

ki∑

v=1

pvi

v!tv , t ∈ [0, 1] . (4.23)

Se ki+1 e o numero associado ao ponto pi+1 entao a componente direita e o seguinte

polinomio de grau ki+1

ri(t) = pi+1 +

ki+1∑

v=1

pvi+1

v!(t− 1)v , t ∈ [0, 1] . (4.24)

A componente intermedia nao sofre alteracoes, isto e, mantem-se

ci(t) = (1 − t)pi + tpi+1 , t ∈ [0, 1] . (4.25)

Observe-se que as componentes esquerda e direita tem as seguintes propriedades

li(0) = pi , ri(1) = pi+1 ,

li(0) = p1i , ri(1) = p1

i+1 ,

......

li(ki)(0) = pki

i , ri(ki+1)(1) = p

ki+1

i+1 ,

li(j)(0) = 0 , j > ki , ri

(j)(1) = 0 , j > ki+1 .

Optamos por nao dar importancia aos pontos de suporte xi = li(1) e xi+1 = ri(0), pois

nao sao relevantes para a descricao do algoritmo. A partir daqui o processo nao sofre

91


alteracoes. Escolhe-se uma funcao suavizante de ordem k e determinam-se curvas ai,

bi e si tal como foi descrito na apresentacao do algoritmo. Resultados semelhantes aos

Lemas 4.2 e Lema 4.3 tem demonstracoes identicas. Assim, podemos enunciar o seguinte

resultado global.

Teorema 4.2

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k entao:

(i) Cada segmento si : [0, 1] → Rn, i = 0, 1, . . . ,m− 1, definido da forma

si(t) = (1 − φ(t))2 li(t) + 2φ(t)(1 − φ(t)) ci(t) + φ(t)2 ri(t) , t ∈ [0, 1] ,

onde li esta definida em (4.23), ri esta definida em (4.24) e ci esta definida em (4.25),

tem as propriedades:

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

si(0) = p1i , si(1) = p1

i+1 ,

......

si(ki)(0) = pki

i , si(ki+1)(1) = p

ki+1

i+1 ,

si(j)(0) = 0 , j = ki + 1, . . . , k , si

(j)(1) = 0 , j = ki+1 + 1, . . . , k .

(ii) A curva spline s : [a, b] → Rn definida do seguinte modo

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,

e uma curva suave de classe C k que satisfaz as condicoes de interpolacao (4.22) e

s(j)(ti) = 0 , j = ki + 1, . . . , k ,

em cada instante ti de ∆. Na expressao de s, si e construıdo tal como si, mas

satisfaz as condicoes

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

˙si(0) = hi p1i ,

˙si(1) = hi p1i+1 ,

......

s(ki)

i (0) = (hi)ki pki

i , s(ki+1)

i (1) = (hi)ki+1 p

ki+1

i+1 ,


Se a funcao suavizante e dada por (4.9) entao cada segmento si e uma curva polinomial

de grau 4k − 2 + max(ki, ki+1).

Nas proximas seccoes necessitamos de conceitos e resultados de geometria Riemaniana

que se encontram descritos no Capıtulo 3.

92

4.4. O algoritmo em grupos de Lie matriciais

4.4 O algoritmo em grupos de Lie matriciais

Consideramos no problema inicial (P ) o caso k = 1 e apresentamos uma generalizacao

do algoritmo a grupos de Lie de matrizes onde a interpolacao por arcos de geodesica

substitui o processo de interpolacao linear.

A adaptacao do algoritmo a grupos de Lie matriciais desperta um interesse teorico

natural. Em pe de igualdade estao as possıveis aplicacoes praticas do algoritmo. Tal so e

contudo possıvel se o algoritmo for aplicavel do ponto de vista computacional, isto e, se

o calculo das curvas geodesicas, envolvidas na descricao do algoritmo, for razoavelmente

simples de concretizar. Tal acontece quando a variedade Riemaniana, onde o problema

e formulado, e um grupo de Lie de matrizes conexo e compacto.

Quando G e um grupo de Lie conexo e compacto, as curvas geodesicas sao subgrupos

com um-parametro ou suas translacoes. Em particular, quando G e um grupo de Lie de

matrizes compacto, o calculo das curvas geodesicas requer apenas o calculo da exponencial

de matrizes.

Seja M = G um grupo de Lie matricial simultaneamente conexo e compacto, munido

da sua unica metrica Riemaniana bi-invariante, e seja g a algebra de Lie de G.

O metodo que apresentamos permite construir uma curva spline s : [a, b] → G, de

classe C 1, tal que s(ti) = pi ∈ G e s(ti) = vi ∈ TpiG em cada instante ti, i = 0, 1, . . . ,m,

de uma particao ∆ de [a, b]. Associado a cada ponto pi e a cada vector tangente vi existe

um unico elemento Vi ∈ g tal que vi = Vipi, para todo i = 0, 1, . . . ,m.

Tal como para o caso Euclidiano, cada segmento de s e construıdo de forma individual.

Seja si : [0, 1] → G o segmento de s que une o ponto pi (no instante t = 0) com velocidade

vi = Vipi, ao ponto pi+1 (no instante t = 1) com velocidade vi+1 = Vi+1pi+1. Uma vez

mais, usamos o intervalo [0, 1] em vez de [ti, ti+1].


Definem-se os seguintes arcos de geodesica que sao as correspondentes componentes es-

querda, intermedia e direita do segmento si:

li(t) = etVipi ,

ci(t) = etWipi ,

ri(t) = e(t−1)Vi+1pi+1 , t ∈ [0, 1] ,

(4.26)

onde

Wi = log(pi+1pi

−1).

Note-se que a curva ci e um arco de geodesica minimal unindo pi a pi+1.

Observacao 4.11

Confirma-se sem dificuldade que as componentes de si sao curvas suaves tais que:

ci(0) = li(0) = pi , ci(1) = ri(1) = pi+1 ,

li(0) = Vipi = vi , ri(1) = Vi+1pi+1 = vi+1 .

93



Introduz-se uma funcao suavizante φ para definir as curvas:

ai(t) = eφ(t)Ai(t) li(t) ,

bi(t) = eφ(t)Bi(t) ci(t) , t ∈ [0, 1] ,(4.27)

onde

Ai(t) = log(ci(t) li(t)

−1)

e Bi(t) = log(ri(t) ci(t)

−1), t ∈ [0, 1] , (4.28)

sao curvas suaves na algebra de Lie g.

Observacao 4.12

Constata-se que

Ai(0) = Bi(1) = 0 .

Se por acaso [Vi,Wi] = [Vi+1,Wi] = 0 entao Ai(1) = Wi − Vi e Bi(0) = Wi − Vi+1.

Observacao 4.13

As curvas ai : [0, 1] → G e bi : [0, 1] → G foram definidas combinando duas curvas

geodesicas, que sao componentes do segmento si, num processo que e analogo ao processo

de combinacao convexa no espaco Euclidiano Rn. A tecnica e semelhante a utilizada no

estudo da generalizacao do algoritmo de De Casteljau com Park e Ravani [51] e Crouch,

Kun e Silva Leite [19, 20] .

Vejamos o que acontece do ponto de vista geometrico para a curva ai. Para obter o ponto

ai(τ), onde τ ∈ [0, 1], une-se o ponto li(τ) (no instante t = 0) ao ponto ci(τ) (no instante

t = 1) pela curva em G, parametrizada pela funcao φ,

γτ (t) = eφ(t)Ai(τ) li(τ) , t ∈ [0, 1] .

O ponto ai(τ) e finalmente dado por γτ (τ).

As seguintes expressoes alternativas para as curvas ai e bi serao uteis um pouco mais

a frente:

ai(t) = e(φ(t)−1)Ai(t) ci(t) ,

bi(t) = e(φ(t)−1)Bi(t) ri(t) .(4.29)

A obtencao destas expressoes e simples. Por exemplo, para ai, tem-se,

ai(t) = eφ(t)Ai(t) li(t)

= eφ(t)Ai(t) e−Ai(t) eAi(t) li(t)

= e(φ(t)−1)Ai(t)(ci(t) li(t)

−1)li(t)

= e(φ(t)−1)Ai(t) ci(t) .

94


Terceiro passo do algoritmo:

Define-se a curva si, combinando t→ ai(t) e t→ bi(t), da seguinte forma:

si(t) = eφ(t)Si(t) ai(t) , t ∈ [0, 1] , (4.30)

onde

Si(t) = log(bi(t) ai(t)

−1), t ∈ [0, 1] , (4.31)

e uma curva suave na algebra de Lie g. O segmento si admite a seguinte expressao

alternativa

si(t) = e(φ(t)−1)Si(t) bi(t) , t ∈ [0, 1] . (4.32)

Observacao 4.14

• Constata-se que

Si(0) = Si(1) = 0 . (4.33)

• O segmento si pode ainda escrever-se do seguinte modo

si(t) = eφ(t)Si(t) eφ(t)Ai(t) etVi pi , t ∈ [0, 1] .

Esta expressao permite observar o que acontece geometricamente. Para obter o

ponto si(τ), onde τ ∈ [0, 1], concretiza-se um deslocamento do ponto pi ao longo do

arco de geodesica li ate ao ponto li(τ). Segue-se um deslocamento ao longo da curva

γτ (t) = eφ(t)Ai(τ)li(τ), t ∈ [0, 1], ate ao ponto γτ (τ) = eφ(τ)Ai(τ)li(τ). Finalmente,

desloca-se o ponto γτ (τ) ao longo da curva eφ(t)Si(τ)γτ (τ) = eφ(t)Si(τ)ai(τ) ate ao

ponto eφ(τ)Si(τ)ai(τ) que e si(τ).

Lema 4.4

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 entao ai e bi, definidas em (4.27)-(4.28),

sao curvas suaves em G com as seguintes propriedades

ai(0) = bi(0) = li(0) = pi , ai(1) = bi(1) = ri(1) = pi+1 , (4.34)

ai(0) = li(0) = vi , bi(1) = ri(1) = vi+1 . (4.35)

Demonstracao - Para obter (4.34) basta usar (4.27) para t = 0 e (4.29) para t = 1.

A obtencao de (4.35) envolve dois passos. Tomando A(t) = φ(t)Ai(t), obtem-se, a partir

de (4.27),

ai(t) = ΩLA(t) eA(t) li(t) + eA(t) li(t) .

Logo, porque A(0) = 0,

ai(0) = ΩLA(0) li(0) + li(0)

= A(0) pi + li(0) .

95


Porque φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 e Ai(0) = 0, conclui-se que

ai(0) = li(0) = vi .

Definindo B(t) = (φ(t) − 1)Bi(t), tem-se de (4.29),

bi(t) = ΩLB(t) eB(t) ri(t) + eB(t) ri(t) .

Porque B(1) = 0,

bi(1) = ΩLB(1) ri(1) + ri(1)

= B(1) pi+1 + ri(1) .

Por fim, porque φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 e Bi(1) = 0, conclui-se que

bi(1) = ri(1) = vi+1 .

Lema 4.5

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 entao o segmento si, definido em (4.30)-

(4.31), e uma curva suave em G tal que

si(0) = li(0) = pi , si(1) = ri(1) = pi+1 , (4.36)

si(0) = li(0) = vi , si(1) = ri(1) = vi+1 . (4.37)

Demonstracao - As propriedades (4.36) resultam de (4.30), (4.33) e (4.34). A

obtencao de (4.37) envolve dois passos. Definindo S(t) = φ(t)Si(t) tem-se, de (4.30),

si(t) = ΩLS(t) eS(t) ai(t) + eS(t) ai(t) .

Porque S(0) = 0, deduz-se que

si(0) = ΩLS(0) ai(0) + ai(0)

= S(0) pi + li(0) .

Porque φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 e Si(0) = 0, tem-se

si(0) = li(0) = vi .

Usando a expressao alternativa para si, (4.32), tomando, desta vez, S(t) = (φ(t)−1)Si(t),

tem-se

si(t) = ΩLS(t) eS(t) bi(t) + eS(t) bi(t) .

Porque S(1) = 0, vem que

si(1) = ΩLS(1) bi(1) + bi(1)

= S(1) pi+1 + ri(1) .

96


Porque φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 e Si(1) = 0, tem-se por fim

si(1) = ri(1) = vi+1 .

Os Lemas 4.4 e 4.5 permitem apresentar o proximo resultado. A semelhanca da

Observacao 4.10, define-se si : [0, 1] → G tal como si, em (4.30)-(4.31), mas satisfazendo

as condicoes si(0) = pi, si(1) = pi+1, ˙si(0) = hi vi e ˙si(1) = hi vi+1, onde hi = ti+1 − ti.

Teorema 4.3

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k = 1 entao a curva spline

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

)∈ G , t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,

e solucao do problema (P ) com k = 1, isto e, s e uma curva suave de classe C 1 que

satisfaz as condicoes de interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = vi , i = 0, 1, . . . ,m .

Os resultados obtidos apontam para que a curva spline, apresentada no enunciado do

Teorema 4.3, seja uma curva de classe C k. O resultado com a generalidade esperada nao

foi no entanto ainda alcancado.

4.4.1 O algoritmo no grupo ortogonal especial

Quando o grupo de Lie matricial G e o grupo ortogonal especial SO(n), conseguimos

melhores resultados. Consideramos SO(n) munido da metrica Riemaniana bi-invariante,

gerada pelo produto interno de Frobenius na algebra de Lie so(n), ou seja, o produto

interno que a cada par de matrizes anti-simetricas (V,W ) associa 〈V,W 〉 = tr(V ′W ).

Neste caso particular, conseguimos mostrar que a derivada covariante de cada seg-

mento si, i = 0, 1, . . . ,m − 1, e nula quer no instante t = 0 quer no instante t = 1.

Conseguimos portanto mostrar que o spline s em SO(n) e de facto uma curva de classe

C 2 em [a, b] (quando φ e uma funcao suavizante de ordem k = 2). Para tal, e preciso

desenvolver um pouco as expressoes de ai e si que culminem na obtencao de expressoes

explıcitas para ai e si.

Definindo A(t) = φ(t)Ai(t), tem-se de (4.27) para ai e de (4.26) para li,

ai(t) = ΩLA(t) ai(t) + eA(t) Vi li(t)

= ΩLA(t) ai(t) + eA(t) Vi e

−A(t) eA(t) li(t)

= ΩLA(t) ai(t) + eA(t) Vi e

−A(t) ai(t)

=(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)ai(t) .

97


Para a segunda derivada tem-se

ai(t) =(ΩL

A(t) + eadA(t)(ad ΩRA(t))Vi

)ai(t) +

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)ai(t)

=

(ΩL

A(t) + eadA(t)(adΩRA(t))Vi +

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)2)ai(t) .

Definindo S(t) = φ(t)Si(t), tem-se da expressao para ai e da expressao (4.30) para si,

si(t) = ΩLS(t) si(t) + eS(t) ai(t)

= ΩLS(t) si(t) + eS(t)

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)ai(t)

= ΩLS(t) si(t) + eS(t)

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)e−S(t) eS(t) ai(t)

= ΩLS(t) si(t) + eadS(t)

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)si(t)

=(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

))si(t) .

Logo,

si(t) =(ΩL

S(t) + eadS(t)((ad ΩR

S (t))(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)+ ΩL

A(t)

+ eadA(t)(ad ΩRA(t))Vi

))si(t) +

(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

))si(t)

=(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

A(t) + (ad ΩRS (t))

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)

+ eadA(t)(ad ΩRA(t))Vi

)+(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

))2)si(t) .

Para todo q ∈ SO(n) tem-se gl(n) = TqSO(n) ⊕ (TqSO(n))⊥ com

TqSO(n) = V q : V ∈ so(n)

e

(TqSO(n))⊥ = Sq : S ∈ S(n)

onde S(n) denota o conjunto de todas as matrizes reais simetricas de ordem n. Obser-

vando a expressao de si concluımos que

ΩLS(t) + eadS(t)

(ΩL

A(t) + (ad ΩRS (t))

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)+ eadA(t)(ad ΩR

A(t))Vi

)

pertence a algebra de Lie so(n) e que

(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

))2

pertence ao subespaco S(n), qualquer que seja t ∈ [a, b]. Ou seja, a expressao para

si(t) apresenta uma decomposicao unica como soma de um elemento de Tsi(t)SO(n) com

um elemento de (Tsi(t)SO(n))⊥. Tendo presente a interpretacao geometrica de derivada

98


covariante, numa variedade Riemaniana mergulhada num espaco Euclidiano, concluımos

que

Dsi

dt(t) =

(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

A(t)+

+ (adΩRS (t))

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)+ eadA(t)(adΩR

A(t))Vi

))si(t) .

Porque S(0) = A(0) = 0 e φ(0) = 0 tem-se ΩRA(0) = A(0) = 0 e ΩR

S (0) = S(0) = 0, logo,

Dsi

dt(0) =

(ΩL

S(0) + ΩLA(0) + (ad ΩR

S (0))(ΩL

A(0) + Vi

)+ (adΩR

A(0))Vi

)pi

=(ΩL

S(0) + ΩLA(0)

)pi .

Assumindo φ(0) = 0 tem-se

ΩLA(0) =

∫ 1

0

eu adA(0)((adΩR

uA(0)) A(0) + A(0))du = 0

e

ΩLS(0) =

∫ 1

0

eu adS(0)((ad ΩR

uS(0)) S(0) + S(0))du = 0 .

Consequentemente,Dsi

dt(0) = 0 .

O mesmo acontece para t = 1. Neste caso, usando as expressoes alternativas para bi e

si, (4.29) e (4.32), definindo B(t) = (φ(t) − 1)Bi(t) e S(t) = (φ(t) − 1)Si(t), obtem-se

bi(t) =

(ΩL

B(t) + eadB(t)(adΩRB(t))Vi+1 +

(ΩL

B(t) + eadB(t)Vi+1

)2)bi(t)

e

si(t) =(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

B(t) + (ad ΩRS (t))

(ΩL

B(t) + eadB(t)Vi+1

)

+ eadB(t)(ad ΩRB(t))Vi+1

)+(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

B(t) + eadB(t)Vi+1

))2)si(t) .

Logo,

Dsi

dt(t) =

(ΩL

S(t) + eadS(t)(ΩL

B(t)+

+ (adΩRS (t))

(ΩL

B(t) + eadB(t)Vi+1

)+ eadB(t)(ad ΩR

B(t))Vi+1

))si(t) .

Porque S(1) = B(1) = 0 e φ(1) = 1 tem-se ΩRB(1) = B(1) = 0 e ΩR

S (1) = S(1) = 0.

Impondo φ(1) = 0 conclui-se que

Dsi

dt(1) = 0 .

99


Observacao 4.15

Observe-se queDai

dt(t) =

(ΩL

A(t) + eadA(t)(adΩRA(t))Vi

)ai(t)

eDbidt

(t) =(ΩL

B(t) + eadB(t)(ad ΩRB(t))Vi+1

)bi(t) .

Logo, assumindo φ(0) = φ(1) = 0, conclui-se, como seria de esperar, que

Dai

dt(0) = 0 e

Dbidt

(1) = 0 .

Acabamos de demonstrar o Teorema 4.4. Como anteriormente, si : [0, 1] → SO(n) e

definido como si, em (4.30)-(4.31), mas satisfaz as condicoes si(0) = pi, si(1) = pi+1,˙si(0) = hi vi e ˙si(1) = hi vi+1, onde hi = ti+1 − ti.

Teorema 4.4

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k = 2 entao a curva spline

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

)∈ SO(n), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,

e uma curva suave de classe C 2 que satisfaz as condicoes de interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = vi ,Ds

dt(ti) = 0 , i = 0, 1, . . . ,m ,

isto e, a curva s e solucao do problema (P ) com k = 2.

Observacao 4.16

• Quando n = 3, isto e, quando G e SO(3), o grupo de Lie das rotacoes no espaco,

existem expressoes explıcitas para a aplicacao exponencial e para a aplicacao lo-

garitmo (mais detalhes em Murray, Li e Sastry [49]). A descricao do algoritmo fica

por isso mais facilitada quer do ponto de vista computacional quer do ponto de

vista numerico.

• Pode usar-se a descricao do algoritmo em R3 e em SO(3) para definir uma curva

suave no grupo de Lie SE(3), grupo de Lie Euclidiano especial (grupo de Lie das

configuracoes, rotacao e posicao, do corpo rıgido).


Os resultados originais contidos neste capıtulo encontram-se publicados em revista inter-

nacional (Rodrigues, Silva Leite e Jakubiak [58]). Uma versao preliminar foi apresentada,

pelo autor, na conferencia internacional “MTNS’2004 - Sixteenth International Sympo-

sium on Mathematical Theory of Networks and Systems” (Leuven, Belgica), encontrando-

se publicada nos Proceedings da Conferencia (Rodrigues e Silva Leite [63]). Em [58] pode

100


encontrar-se o estudo do algoritmo com tres passos no caso particular em que a variedade

Riemaniana M e a esfera Sn.

Trabalhos anteriores, que motivaram em larga medida o estudo apresentado neste

capıtulo, foram apresentados, pelo autor, na conferencia internacional “ICAR’2003 - 11th

International Conference on Advanced Robotics” (Coimbra, Portugal), e encontram-se

publicados nos Proceedings do Encontro (Rodrigues, Silva Leite e Rosa [59]). Este tra-

balho versa o estudo de um algoritmo para a geracao de uma curva spline em espacos

Euclidianos, cuja expressao local e resultado de uma combinacao convexa de arcos de

circunferencia e segmentos de recta.

101

Capıtulo 5

Um algoritmo com dois passos

Apresentamos um algoritmo geometrico que permite construir uma curva

spline, de uma classe de suavidade arbitraria, que satisfaz um conjunto pre-

scrito de condicoes de interpolacao. O novo algoritmo define em apenas dois

passos cada segmento da curva spline. O numero de passos e independente

da classe de suavidade pretendida e do numero de condicoes de interpolacao

prescritas. Esta propriedade e consequencia da introducao de uma funcao

suavizante na descricao do algoritmo. Esta e escolhida logo que o grau de

suavidade da curva spline esteja definido.

5.1 Formulacao do problema

Estamos interessados no seguinte problema com condicoes de interpolacao.

Problema (P ):

Determinar uma curva spline s : [a, b] ⊂ R →M , numa variedade Riemaniana

conexa e completa M , que seja suave de classe C k, k ∈ N, em [a, b], e que

satisfaca em cada instante ti de uma particao ∆ : a = t0 < t1 < · · · < tm = b

de [a, b], as condicoes de interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = p1i , . . .

Dδ−1s

dt δ−1(ti) = pδ

i ,

onde pi e um ponto de M e p1i , . . . , p

δi , com 1 ≤ δ ≤ k, sao vectores tangentes

a M no ponto pi, para todo i = 0, 1, . . . ,m. Exige-se que p0, p1, . . . , pm sejam

pontos distintos de M .

Propomos um algoritmo geometrico que permite gerar uma solucao para o problema (P )

quando M = Rn. Generalizamos o processo a outras variedade Riemanianas, nomeada-

mente a grupos de Lie matriciais (destacando o caso M = SO(n)) e a esfera Sn. Nestes

casos, os resultados obtidos contemplam apenas o caso em que no problema (P ) estao

prescritas condicoes de interpolacao nas posicoes e nas velocidades, ou seja, quando δ = 1.

103


5.2 O novo algoritmo em espacos Euclidianos

O algoritmo permite construir de uma forma individual cada segmento de uma solucao

para o problema (P ) e tem sempre dois passos quaisquer que sejam o grau de suavidade

k e o numero δ de condicoes de interpolacao nas derivadas.

Observacao 5.1

Recordamos que uma funcao suavizante de ordem k+ 1, k ∈ N, e qualquer funcao suave

φ : [0, 1] → R, que satisfaz o conjunto de condicoes de interpolacao

φ(0) = 0 , φ(1) = 1 , (5.1)

φ(j)(0) = 0 , φ(j)(1) = 0 , j = 1, 2, . . . , k . (5.2)

Uma funcao suavizante de ordem k+1 e por exemplo a funcao polinomial de grau 2k+1

φ(t) = α

k∑

v=0

ηv tk+1+v (5.3)

onde

ηv =(−1)v

(kv

)

k + 1 + ve α =

(∑kv=0 ηv

)−1

.

O conceito de funcao suavizante foi apresentado no Capıtulo 4 (na pagina 82).

Considera-se M = Rn munido da metrica Euclidiana. Pretende-se determinar uma

curva spline s : [a, b] → Rn que seja solucao do problema (P ). Seja si : [ti, ti+1] → R

n o

segmento de s que une o ponto pi, no instante t = ti, ao ponto pi+1, no instante t = ti+1.

Por uma questao de simplicidade no processo de construcao de si, usamos o intervalo de

tempo [0, 1] em vez de [ti, ti+1].


Este passo consiste na determinacao de duas curvas suaves li, ri : [0, 1] → Rn que de-

signamos respectivamente por componente esquerda e componente direita do segmento

si. Escolhe-se um operador diferencial L, linear de ordem k + 1, com coeficientes reais

constantes. Determinam-se as componentes li e ri do seguinte modo:

A componente esquerda e a unica solucao do problema

Lx(t) = 0 , t ∈ [0, 1] ,

x(0) = pi , x(0) = p1i , . . . x(δ)(0) = pδ

i ,

x(j)(0) = 0 , j = δ + 1, . . . , k ,

(5.4)

enquanto a componente direita e a unica solucao do problema

Lx(t) = 0 , t ∈ [0, 1] ,

x(1) = pi+1 , x(1) = p1i+1 , . . . x(δ)(1) = pδ

i+1 ,

x(j)(1) = 0 , j = δ + 1, . . . , k .

(5.5)

104



Introduz-se uma funcao suavizante φ para construir o segmento si : [0, 1] → Rn. Este

e definido como combinacao convexa, usando a funcao suavizante φ, das componentes

esquerda e direita, da seguinte forma

si(t) = (1 − φ(t)) li(t) + φ(t) ri(t) , t ∈ [0, 1] . (5.6)

Lema 5.1

Seja φ uma funcao suavizante de ordem k + 1 e seja L um operador diferencial linear

de ordem k + 1, com coeficientes reais constantes. Se li : [0, 1] → Rn e solucao do

problema (5.4) e ri : [0, 1] → Rn e solucao do problema (5.5), entao

si(t) = (1 − φ(t)) li(t) + φ(t) ri(t) , t ∈ [0, 1] ,

e uma curva suave tal que

si(j)(0) = li

(j)(0) e si(j)(1) = ri

(j)(1) , j = 0, 1, . . . , k ,

isto e,

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

si(0) = p1i , si(1) = p1

i+1 ,

......

si(δ)(0) = pδ

i , si(δ)(1) = pδ

i+1 ,

si(j)(0) = 0 , j = δ + 1, . . . , k , si

(j)(1) = 0 , j = δ + 1, . . . , k .

Demonstracao - A curva si pode escrever-se do seguinte modo

si(t) = li(t) + φ(t) (ri(t) − li(t)) , t ∈ [0, 1] .

A aplicacao da formula de Leibniz para a derivada de ordem j do produto, permite obter

si(j) = li

(j) +

j∑

v=0

(jv

)φ(v)(ri − li)

(j−v)

=

j∑

v=1

(jv

)φ(v)(ri − li)

(j−v) + (1 − φ) li(j) + φ ri

(j) .

O uso das propriedades (5.1) e (5.2) da funcao suavizante φ, permite concluir por fim

que

si(j)(0) = li

(j)(0) e si(j)(1) = ri

(j)(1) , j = 0, 1, . . . , k .

O proximo resultado, consequencia do Lema 5.1, estabelece que a curva spline, gerada

por aplicacao do algoritmo, e solucao do problema (P ).

105


Observacao 5.2

Tal como no capıtulo precedente, torna-se necessario definir si : [0, 1] → Rn como foi

feito para si, em (5.6), mas satisfazendo as condicoes

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

˙si(0) = hi p1i ,

˙si(1) = hi p1i+1 ,

......

s(δ)

i (0) = (hi)δ pδ

i , s(δ)

i (1) = (hi)δ pδ

i+1 ,


Teorema 5.1

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k + 1 e L e um operador diferencial linear de

ordem k + 1, com coeficientes reais constantes, entao a curva spline

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 , (5.7)

e solucao do problema (P ), isto e, s e uma curva suave de classe C k que satisfaz as

condicoes de interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = p1i , . . . s(δ)(ti) = pδ

i ,

e alem destas,

s(j)(ti) = 0 , j = δ + 1, . . . , k ,

para todo o i = 0, 1, . . . ,m.

Demonstracao - E suficiente observar que s(j)(ti+1−) = s(j)(ti+1

+) para todo o

j = 0, 1, . . . , k e todo o i = 0, 1, . . . ,m− 2.

A determinacao de uma solucao para o problema (P ), atraves da aplicacao repetida

do algoritmo, pressupoe a escolha de uma funcao suavizante de ordem k + 1 e de um

operador diferencial linear de ordem k + 1, com coeficientes reais constantes. A curva

final (5.7), solucao de (P ), e o resultado da ligacao de todos os segmentos.

Observacao 5.3

Para gerar uma curva de classe C 1 pode escolher-se a partir de (5.3), a funcao suavizante

φ(t) = 3t2 − 2t3 .

Uma curva de classe C 2 resulta por exemplo, da escolha de

φ(t) = 10t3 − 15t4 + 6t5 .

Apresentamos algumas figuras que descrevem o processo de construcao da curva

spline. Estas representam a construcao de uma curva de classe C 1 com componentes

polinomiais.

106


p

p0 p1 p2

p10

p11

p12

Figura 5.1: Dados iniciais

p

p0 p1 p2

l0(·) r0(·)

l1(·) r1(·)

p

p0 p1 p2

s0(·)

s1(·)

Figura 5.2: Primeiro e segundo passo do algoritmo

p

p0 p1 p2

p10

p11

p12

s(·)

Figura 5.3: Dados iniciais e curva s

107


5.2.1 Propriedades do algoritmo

1. O numero de passos do algoritmo nao depende do valor de k, uma vez que o numero

de passos para cada segmento e sempre dois, qualquer que seja o grau de suavidade

k da curva (5.7), e o numero δ (1 ≤ δ ≤ k) de condicoes de interpolacao nas

derivadas. Esta propriedade e consequencia do papel fundamental desempenhado

pela funcao suavizante.

2. Se φ e a funcao polinomial de grau 2k+1 definida em (5.3) e li e ri sao as solucoes

polinomiais de grau δ associadas ao operador L ≡ Dk+1 e aos problemas (5.4) e (5.5)

entao, cada segmento da curva (5.7) e uma curva polinomial de grau (maximo)

2k + 1 + δ. Neste caso, cada segmento da curva s requer o calculo de tres curvas

polinomiais.

3. Outra propriedade decorre da determinacao individual de cada segmento. O facto

de cada segmento estar unicamente dependente dos dados iniciais na sua vizinhanca

(alem da funcao suavizante e do operador diferencial), distingue a curva (5.7) das

demais curvas spline. Recordamos as curvas spline apresentadas no Capıtulo 2, onde

se inclui o spline cubico classico em Rn. Esta propriedade local e muito importante

e bastante util do ponto de vista da aplicacao pratica da curva (5.7). Ao modificar

os dados iniciais associados a determinado instante ti de ∆, e necessario calcular de

novo os segmentos si−1 e si, se ti e um instante intermedio, caso contrario, basta

calcular de novo um unico segmento do spline, o segmento inicial ou o segmento

final. Nao e por isso necessario repetir o calculo de todos os segmentos da curva. E

de notar que para a maior parte das curvas spline acontece precisamente o oposto.

4. A curva spline gerada pelo novo algoritmo nao e em geral de classe C k+1. So mesmo

em casos especiais e que tal acontece. O estudo destes casos decorre da analise da

equacao si(k+1)(1) = si+1

(k+1)(0) para todo i = 0, 1, . . . ,m− 2.

Observacao 5.4

Resultados globais sobre o comportamento optimal da curva (5.7) nao sao por enquanto

conhecidos.

5.2.2 Flexibilidade do algoritmo

Mostramos como adaptar o novo algoritmo a problemas de interpolacao mais exigentes,

onde o numero de condicoes de interpolacao pode variar de ponto para ponto, ou seja,

quando em cada instante ti de ∆ as condicoes de interpolacao sao

s(ti) = pi , s(ti) = p1i , . . . s(ki)(ti) = pki

i , (5.8)

onde ki esta associado ao ponto pi e e tal que 1 ≤ ki ≤ k, i = 0, 1 . . . ,m.

108


A adaptacao do novo algoritmo requer modificacoes simples, que incidem apenas na

definicao das componentes esquerda e direita de cada segmento. Nem mesmo a escolha

da funcao suavizante ou a escolha do operador diferencial tem de ser alteradas. Seja

si : [0, 1] → Rn o segmento que une o ponto pi ao ponto pi+1.

Se ki e o numero associado ao ponto pi entao a componente esquerda e a unica solucao

do problema

Lx(t) = 0 , t ∈ [0, 1] ,

x(0) = pi , x(0) = p1i , . . . x(ki)(0) = pki

i ,

x(j)(0) = 0 , j = ki + 1, . . . , k .

(5.9)

Se ki+1 e o numero associado ao ponto pi+1 entao a componente direita e a unica solucao

do problema

Lx(t) = 0 , t ∈ [0, 1] ,

x(1) = pi+1 , x(1) = p1i+1 , . . . x(ki+1)(1) = p

ki+1

i+1 ,

x(j)(1) = 0 , j = ki+1 + 1, . . . , k .

(5.10)

O processo nao sofre mais alteracoes. Escolhe-se uma funcao suavizante de ordem k + 1

e determina-se a curva si tal como foi descrito na apresentacao do algoritmo. Enuncia-se

o seguinte resultado global.

Teorema 5.2

Se φ e uma funcao suavizante de ordem k + 1 e L e um operador diferencial linear de

ordem k + 1, com coeficientes reais constantes, entao:

(i) Cada segmento si : [0, 1] → Rn, i = 0, 1, . . . ,m− 1, definido da forma

si(t) = (1 − φ(t)) li(t) + φ(t) ri(t) , t ∈ [0, 1] ,

onde li e solucao de (5.9) e ri e solucao de (5.10), tem as propriedades:

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

si(0) = p1i , si(1) = p1

i+1 ,

......

si(ki)(0) = pki

i , si(ki+1)(1) = p

ki+1

i+1 ,

si(j)(0) = 0 , j = ki + 1, . . . , k , si

(j)(1) = 0 , j = ki+1 + 1, . . . , k .

(ii) A curva spline s : [a, b] → Rn definida do seguinte modo

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,

e uma curva suave de classe C k que satisfaz as condicoes de interpolacao (5.8) e

s(j)(ti) = 0 , j = ki + 1, . . . , k ,

109


em cada instante ti de ∆. Na expressao de s, si e construıdo tal como si, mas

satisfaz as condicoes

si(0) = pi , si(1) = pi+1 ,

˙si(0) = hi p1i ,

˙si(1) = hi p1i+1 ,

......

s(ki)

i (0) = (hi)ki pki

i , s(ki+1)

i (1) = (hi)ki+1 p

ki+1

i+1 ,


Observacao 5.5

Observando a descricao dos passos do algoritmo pode constatar-se que e possıvel escolher

operadores diferenciais (lineares de ordem k+1 com coeficientes reais constantes) distintos

no calculo de cada segmento.

Nas proximas seccoes necessitamos de conceitos e resultados de geometria Riemaniana

que se encontram descritos no Capıtulo 3.

5.3 O algoritmo em grupos de Lie matriciais

O processo de construcao apresentado na seccao anterior nao se pode estender na sua

globalidade a toda a variedade Riemaniana. O principal problema reside na obtencao das

componentes esquerda e direita de cada segmento do spline. Nem mesmo quando estas sao

funcoes polinomiais de grau maior que um, existe uma correspondencia completamente

satisfatoria a outras variedades Riemanianas. Formulas explıcitas para o analogo de

polinomios em variedades Riemaniana sao tambem por enquanto desconhecidas. Por

estes motivos, so mesmo quando as componentes esquerda e direita sao polinomios de

grau um, e que a generalizacao e praticavel.

Consideramos no problema inicial (P ) apenas o caso k = 1 e apresentamos uma

generalizacao do algoritmo a grupos de Lie de matrizes, conexos e compactos, onde a

interpolacao por arcos de geodesica substitui o processo de interpolacao linear.

Seja M = G um grupo de Lie matricial simultaneamente conexo e compacto, munido

da sua unica metrica Riemaniana bi-invariante. Seja ainda g a algebra de Lie de G.

O algoritmo permite construir uma curva spline s : [a, b] → G, de classe C 1, tal que

s(ti) = pi ∈ G e s(ti) = vi ∈ TpiG em cada instante ti, i = 0, 1, . . . ,m, de uma particao ∆

de [a, b]. Podemos afirmar que a cada ponto pi e a cada vector tangente vi esta associado

um unico elemento Vi ∈ g tal que vi = Vipi, i = 0, 1, . . . ,m.

Cada segmento de s e construıdo de forma individual. Seja si : [0, 1] → G o segmento

de s que une o ponto pi (no instante t = 0) com velocidade vi = Vipi, ao ponto pi+1 (no

instante t = 1) com velocidade vi+1 = Vi+1pi+1.

110



Definem-se os seguintes arcos de geodesica que sao as componentes esquerda e direita do

segmento si:

li(t) = etVipi ,

ri(t) = e(t−1)Vi+1pi+1 , t ∈ [0, 1] .(5.11)

Observacao 5.6

As componentes de si sao curvas suaves tais que:

li(0) = pi , ri(1) = pi+1 ,

li(0) = Vipi = vi , ri(1) = Vi+1pi+1 = vi+1 .


Define-se o segmento si combinando as componentes t 7→ li(t) e t 7→ ri(t), atraves da

introducao de uma funcao suavizante φ, do seguinte modo:

si(t) = eφ(t)Si(t) li(t) , t ∈ [0, 1] , (5.12)

onde

Si(t) = log(ri(t) li(t)

−1), t ∈ [0, 1] , (5.13)

e uma curva suave na algebra de Lie g. O segmento si admite a expressao alternativa

si(t) = e(φ(t)−1)Si(t) ri(t) , t ∈ [0, 1] . (5.14)

Observacao 5.7

O segmento si pode ainda escrever-se do seguinte modo

si(t) = eφ(t)Si(t)etVipi , t ∈ [0, 1] .

Para obter o ponto si(τ), onde τ ∈ [0, 1], efectua-se um deslocamento do ponto pi ao longo

do arco de geodesica li ate ao ponto li(τ) = eτVipi. Segue-se um deslocamento ao longo

da curva γτ (t) = eφ(t)Si(τ) li(τ), t ∈ [0, 1], ate ao ponto si(τ) = γτ (τ) = eφ(τ)Si(τ) li(τ).

Lema 5.2

Se φ e uma funcao suavizante de ordem 2 entao o segmento si, definido em (5.12)-(5.13),

e uma curva suave em G com as seguintes propriedades

si(0) = li(0) = pi , si(1) = ri(1) = pi+1 , (5.15)

si(0) = li(0) = vi , si(1) = ri(1) = vi+1 . (5.16)

111


Demonstracao - Para obter (5.15) basta usar a expressao (5.12) para t = 0 e a

expressao (5.14) para t = 1 em conjunto com as propriedades (5.1) da funcao suavizante.

Para obter (5.16) o raciocınio e: Definindo A(t) = φ(t)Si(t) tem-se, de (5.12),

si(t) = ΩLA(t) eA(t) li(t) + eA(t) li(t) .

Logo, porque A(0) = 0,

si(0) = ΩLA(0) li(0) + li(0)

= A(0) pi + li(0) .

Porque φ e uma funcao suavizante de ordem 2 tem-se

si(0) = li(0) = vi .

Da expressao alternativa para si, (5.14), tomando B(t) = (φ(t) − 1)Si(t), tem-se

si(t) = ΩLB(t) eB(t) ri(t) + eB(t) ri(t) .

Porque B(1) = 0, vem que

si(1) = ΩLB(1) ri(1) + ri(1)

= B(1) pi+1 + ri(1) .

Porque φ e uma funcao suavizante de ordem 2 tem-se por fim

si(1) = ri(1) = vi+1 .

A semelhanca da Observacao 5.2, define-se si : [0, 1] → G tal como si, em (5.12)-

(5.13), mas satisfazendo as condicoes si(0) = pi, si(1) = pi+1, ˙si(0) = hi vi e ˙si(1) =

hi vi+1, onde hi = ti+1 − ti.

Teorema 5.3

Se φ e uma funcao suavizante de ordem 2 entao a curva spline

s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

)∈ G, t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,

e solucao do problema (P ) com k = 1, o que significa que s e uma curva suave de classe

C 1 que satisfaz as condicoes de interpolacao

s(ti) = pi , s(ti) = vi , i = 0, 1, . . . ,m .

Os resultados obtidos apontam para que a curva spline, apresentada no enunciado do

Teorema 5.3, seja mais precisamente uma curva de classe C k tal que

Dj s

dtj(ti) = 0 , j = 1, 2, . . . , k − 1 , i = 0, 1, . . . ,m .

O resultado com a generalidade esperada nao foi no entanto ainda alcancado!

112


5.3.1 O algoritmo no grupo ortogonal especial

Quando G = SO(n) podemos incrementar um pouco mais os resultados obtidos. Consi-

deramos SO(n) munido da metrica Riemaniana bi-invariante, gerada pelo produto interno

de Frobenius na algebra de Lie so(n), isto e, o produto interno que a cada par de matrizes

anti-simetricas (V,W ) associa 〈V,W 〉 = tr(V ′W ).

Mostramos que a derivada covariante de cada segmento si, i = 0, 1, . . . ,m− 1, e nula

quer no instante t = 0 quer no instante t = 1. Ou seja, o spline s em SO(n) e uma curva

de classe C 2 em [a, b] (quando φ e uma funcao suavizante de ordem 3).

Definindo A(t) = φ(t)Si(t), tem-se da expressao (5.12) para si e da expressao (5.11)

para li,

si(t) = ΩLA(t) si(t) + eA(t) Vi li(t)

= ΩLA(t) si(t) + eA(t) Vi e

−A(t) eA(t) li(t)

= ΩLA(t) si(t) + eA(t) Vi e

−A(t) si(t)

=(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)si(t) .

Logo,

si(t) =(ΩL


)si(t) +

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)si(t)

=

(ΩL

A(t) + eadA(t)(ad ΩRA(t))Vi +

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)2)si(t) .

Para todo q ∈ SO(n) tem-se gl(n) = TqSO(n) ⊕ (TqSO(n))⊥ com

TqSO(n) = V q : V ∈ so(n)

e

(TqSO(n))⊥ = Sq : S ∈ S(n)

onde S(n) denota o conjunto das matrizes reais simetricas de ordem n. Da expressao de

si deduz-se que

ΩLA(t) + eadA(t)(ad ΩR

A(t))Vi

pertence a algebra de Lie so(n) e que

(ΩL

A(t) + eadA(t)Vi

)2

e elemento do subespaco S(n), para todo o t ∈ [a, b]. Ou seja,

Dsi

dt(t) =

(ΩL


)si(t) .

Assumindo φ(0) = 0 e φ(0) = 0 tem-se A(0) = 0 e ΩRA(0) = A(0) = 0, e portanto,

Dsi

dt(0) = ΩL

A(0) pi .

113


Assumindo tambem φ(0) = 0 tem-se

ΩLA(0) =

∫ 1

0

eu adA(0)((ad ΩR

uA(0)) A(0) + A(0))du = 0 .

Logo,Dsi

dt(0) = 0 .

Da expressao alternativa para si, (5.14), com B(t) = (φ(t) − 1)Si(t), obtem-se

Dsi

dt(t) =

(ΩL

B(t) + eadB(t)(ad ΩRB(t))Vi+1

)si(t) .

Logo, assumindo φ(1) = 1 e φ(1) = φ(1) = 0, conclui-se que

Dsi

dt(1) = 0 .

Resumindo, temos o Teorema 5.4. Tal como anteriormente, e necessario definir si :

[0, 1] → SO(n) tal como si, em (5.12)-(5.13), mas satisfazendo as condicoes si(0) = pi,

si(1) = pi+1, ˙si(0) = hi vi e ˙si(1) = hi vi+1, onde hi = ti+1 − ti.

Teorema 5.4


s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

)∈ SO(n), t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,



dt(ti) = 0 , i = 0, 1, . . . ,m ,

isto e, s e solucao do problema (P ) com k = 2 e δ = 1.

5.4 O algoritmo na esfera n-dimensional

Estendemos a descricao do algoritmo ao caso da esfera

Sn = x ∈ Rn+1 : x1

2 + · · · + xn+12 = 1.

Assumimos que a variedade Riemaniana esta equipada com a metrica Riemaniana in-

duzida pela metrica Euclidiana do espaco ambiente Rn+1. Seja si : [0, 1] → Sn o seg-

mento que une o ponto pi ∈ Sn com velocidade vi ∈ TpiSn (no instante t = 0) ao ponto

pi+1 ∈ Sn com velocidade vi+1 ∈ Tpi+1Sn (no instante t = 1). E necessario assumir ainda

que: i) pi e pi+1 nao sao pontos antıpodas, ii) vi e vi+1 sao vectores nao nulos.

A componente esquerda do segmento si e o unico segmento de geodesica em Sn que

no instante t = 0 passa pelo ponto pi com velocidade vi, isto e,

li(t) = cos(‖vi‖t) pi + 1‖vi‖ sin(‖vi‖t) vi , t ∈ [0, 1] .

114

5.4. O algoritmo na esfera n-dimensional

A componente direita e o unico segmento de geodesica em Sn que no instante t = 1 passa

pelo ponto pi+1 com velocidade vi+1,

ri(t) = cos(‖vi+1‖(t− 1)) pi+1 + 1‖vi+1‖ sin(‖vi+1‖(t− 1)) vi+1 , t ∈ [0, 1] .

O segmento si e definido como combinacao das componentes t 7→ li(t) e t 7→ ri(t),

atraves da introducao de uma funcao suavizante φ, do seguinte modo:

si(t) =sin((1 − φ(t)) θi(t))

sin(θi(t))li(t) +

sin(φ(t) θi(t))

sin(θi(t))ri(t) , t ∈ [0, 1] , (5.17)

onde

θi(t) = cos−1(li(t)′ri(t)) , t ∈ [0, 1] . (5.18)

Observacao 5.8

Para as componentes li e ri obtem-se

li(t) = −‖vi‖ sin(‖vi‖t) pi + cos(‖vi‖t) vi , t ∈ [0, 1]

e

ri(t) = −‖vi+1‖ sin(‖vi+1‖(t− 1)) pi+1 + cos(‖vi+1‖(t− 1)) vi+1 , t ∈ [0, 1] .

Daqui resulta

li(k)(t) =

(−1)k2 ‖vi‖k li(t) se k e par

(−1)k−1

2 ‖vi‖k−1 li(t) se k e ımpar

e

ri(k)(t) =

(−1)k2 ‖vi+1‖k ri(t) se k e par

(−1)k−1

2 ‖vi+1‖k−1 ri(t) se k e ımpar.

Logo, em particular,

li(k)(0) =

(−1)k2 ‖vi‖k pi se k e par

(−1)k−1

2 ‖vi‖k−1 vi se k e ımpar(5.19)

e

ri(k)(1) =

(−1)k2 ‖vi+1‖k pi+1 se k e par

(−1)k−1

2 ‖vi+1‖k−1 vi+1 se k e ımpar. (5.20)

Para cada segmento si definem-se as funcoes

fi(t) =sin((1 − φ(t)) θi(t))

sin(θi(t))e gi(t) =

sin(φ(t) θi(t))

sin(θi(t)), t ∈ [0, 1] . (5.21)

Consequentemente, o segmento si pode escrever-se como

si(t) = fi(t) li(t) + gi(t) ri(t) , t ∈ [0, 1] .

115


Usando a regra de Leibniz para a derivada de ordem j do produto obtem-se

si(j) =

j∑

u =0

(ju

)fi

(u) li(j−u) +

j∑

u =0

(ju

)gi

(u) ri(j−u) .

Se φ e uma funcao suavizante de ordem 4 entao

fi(0) = 1 , fi(1) = 0 , gi(0) = 0 , gi(1) = 1 ,

fi(j)(0) = 0 , fi

(j)(1) = 0 , gi(j)(0) = 0 , gi

(j)(1) = 0 j = 1, 2, 3 .

Logo,

si(j)(0) = li

(j)(0) , si(j)(1) = ri

(j)(1) , j = 0, 1, 2, 3 , (5.22)

e portanto

si(0) = li(0) = pi , si(1) = ri(1) = pi+1 ,

si(0) = li(0) = vi , si(1) = ri(1) = vi+1 .

Se Π(si

(j)(t)), j ≥ 2, denota a projeccao ortogonal de si

(j)(t) no espaco tangente

Tsi(t)Sn entao

Π(si(j)(t)) = si

(j)(t) − 〈si(t), si(j)(t)〉 si(t) (5.23)

onde 〈·,·〉 denota o produto interno Euclidiano em Rn+1. Logo,

Dsi

dt(t) = Π(si(t)) = si(t) − 〈si(t), si(t)〉 si(t) .

No instante t = 0 tem-se, de (5.22) e (5.19),

Dsi

dt(0) = si(0) − 〈si(0), si(0)〉 si(0)

= −‖vi‖2pi + ‖vi‖2〈pi, pi〉 pi = 0 .

No instante t = 1 tem-se, de (5.22) e (5.20),

Dsi

dt(1) = si(1) − 〈si(1), si(1)〉 si(1)

= −‖vi+1‖2pi+1 + ‖vi+1‖2〈pi+1, pi+1〉 pi+1 = 0 .

PorqueDj si

dtj= Π

(d

dt

(Dj−1si

dtj−1

)), j ∈ N ,

tem-se, para j = 2,

D2si

dt2(t) = Π

(d

dt

(Ds

dt

))

= Π

(d

dt(si(t) − 〈si(t), si(t)〉 si(t))

)

= Π(...s i(t) − 〈si(t), si(t)〉 si(t) − 〈si(t),

...s i(t)〉 si(t) − 〈si(t), si(t)〉 si(t)) .

116

5.4. O algoritmo na esfera n-dimensional

Porque a operacao projeccao e linear, 〈si(t), si(t)〉 si(t) e 〈si(t),...s i(t)〉 si(t) tem a direccao

de si(t), logo, perpendiculares ao plano tangente no ponto si(t), e 〈si(t), si(t)〉 si(t) vive

no plano tangente no ponto si(t), conclui-se usando (5.23), que

D2si

dt2(t) = Π(

...s i(t)) − 〈si(t), si(t)〉 si(t)

=...s i(t) − 〈si(t),

...s i(t)〉 si(t) − 〈si(t), si(t)〉 si(t) .

No instante t = 0 tem-se de (5.22) e (5.19),

D2si

dt2(0) = −‖vi‖2vi + ‖vi‖2〈pi, vi〉 pi + ‖vi‖2〈pi, pi〉 vi = 0 .

No instante t = 1 tem-se de (5.22) e (5.20),

D2si

dt2(1) = −‖vi+1‖2vi+1 + ‖vi+1‖2〈pi+1, vi+1〉 pi+1 + ‖vi+1‖2〈pi+1, pi+1〉 vi+1 = 0 .

O proximo Lema e consequencia directa dos calculos efectuados.

Lema 5.3

Se φ e uma funcao suavizante de ordem 4 entao o segmento si, definido em (5.17)-(5.18),

e uma curva suave em Sn com as seguintes propriedades:

si(0) = pi , si(0) = vi ,Dsi

dt(0) = 0 ,

D2si

dt2(0) = 0 ,

si(1) = pi+1 , si(1) = vi+1 ,Dsi

dt(1) = 0 ,

D2si

dt2(1) = 0 .

Como anteriormente, si : [0, 1] → Sn e definido como si, em (5.17)-(5.18), mas satisfaz

as condicoes si(0) = pi, si(1) = pi+1, ˙si(0) = hi vi e ˙si(1) = hi vi+1, onde hi = ti+1 − ti.

Teorema 5.5


s(t) = si

(t− ti

ti+1 − ti

)∈ Sn, t ∈ [ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . ,m− 1 ,



dt(ti) = 0 ,

D2s

dt2(ti) = 0 , i = 0, 1, . . . ,m ,

onde vi 6= 0, isto e, s e solucao do problema (P ) com k = 3 e δ = 1.

Observacao 5.9

Os resultados obtidos apontam para que a seguinte afirmacao seja verdadeira.

• Se φ e uma funcao suavizante de ordem k + 1 entao, as funcoes 1 − fi e gi sao

funcoes suavizantes de ordem k + 1.

117


Ou seja, as funcoes fi e gi, definidas em (5.21), para cada segmento si, satisfazem

fi(0) = 1 , fi(1) = 0 , gi(0) = 0 , gi(1) = 1 ,

f(j)i (0) = 0 , f

(j)i (1) = 0 , g

(j)i (0) = 0 , g

(j)i (1) = 0 , j = 1, 2, . . . , k .

A confirmar-se a afirmacao anterior, pode concluir-se que

si(j)(0) = li

(j)(0) , si(j)(1) = ri

(j)(1) , j = 0, 1, . . . , k .

Apresentamos quatro figuras que ilustram o processo de construcao de uma curva

spline s de classe C 1 na esfera S2.

Figura 5.4: Dados iniciais

Figura 5.5: Primeiro e segundo passo do algoritmo

118


Figura 5.6: Dados iniciais e curva s


O algoritmo apresentado neste capıtulo permite resolver, em situacoes identicas, o mesmo

problema que o algoritmo do capıtulo anterior. No entanto, o algoritmo com dois passos

e mais eficaz e mais simples de implementar, sobretudo quando adaptado a espacos nao

Euclidianos, tais como grupos de Lie matriciais, onde o calculo da exponencial e do loga-

ritmo de matrizes envolve novas dificuldades (aproveitamos para mencionar os trabalhos

de Silva Leite e Crouch [71], Gallier e Xu [29] e Cardoso [16] sobre o calculo da aplicacao

exponencial e da aplicacao logaritmo em grupos de Lie matriciais). Contudo, e nossa

conviccao que os dois algoritmos escondem naturezas distintas apesar da semelhanca na

construcao das curvas em cada passo.

Parte dos resultados originais contidos neste capıtulo estao publicados em revista

internacional em (Jakubiak, Silva Leite e Rodrigues [36]).

119

Comentarios finais

Chegados a este ponto queremos partilhar com o leitor o nosso ponto de vista a respeito

dos progressos conseguidos com este trabalho de investigacao e dar conta de possıveis

caminhos a percorrer num futuro proximo.

Nesta dissertacao apresentamos alguns desenvolvimentos que contribuem para o es-

tudo do tema da geracao de funcoes interpoladoras suaves em variedades Riemanianas.

Os resultados contidos na primeira parte desta tese contribuem para que certos aspec-

tos da ligacao entre a teoria das funcoes spline e a teoria do controlo linear estejam hoje

bem definidos e consistentes1. A extensao dos resultados ao caso vectorial e uma con-

tribuicao que permite dar um sentido ainda mais global a essa ligacao. O estudo realizado

(para o caso vectorial) levanta algumas questoes bastante interessantes. A complexidade

associada aos operadores diferenciais de ordem p com coeficientes matriciais e um de-

safio por si so. Embora tenhamos expressoes explıcitas para as funcoes envolvidas, o seu

calculo para p > 1 nao e do ponto de vista computacional simples de concretizar. Os

operadores estudados tambem estao associados a certos problemas de valores proprios

polinomiais, mas neste campo quase tudo esta por fazer. Outra questao que merece

uma analise cuidada e a da relacao estabelecida (no caso p = 1) com uma certa equacao

algebrica de Riccati. A obtencao de resultados para p arbitrario e um assunto que nao foi

ainda devidamente explorado. Os resultados obtidos no caso vectorial levam-nos a supor

que a abordagem utilizada possa vir a ser adaptada a outras variedades Riemanianas que

nao o espaco Euclidiano. A experiencia acumulada permite-nos antever muitas dificul-

dades e desafios permanentes. Estas dificuldades foram, alias, a principal motivacao para

a abordagem alternativa aos problemas de interpolacao que apresentamos na segunda

parte desta tese.

Os algoritmos para a geracao de curvas suaves em variedades Riemanianas apresen-

tam processos de construcao que sao em simultaneo versateis e inovadores. As suas pro-

priedades principais sao consequencia directa da introducao das funcoes suavizantes. As

caracterısticas que revelam tornam-nos ferramentas fundamentais em muitas aplicacoes.

Neste contexto, reconhecemos que a sua simplicidade e tambem uma mais valia.

1Alem da investigacao que Clyde Martin e seus colaboradores desenvolveram nao temos conhecimento

de outros trabalhos nesta area.

121

Comentarios finais

O espaco Euclidiano e o ambiente ideal para poder experimentar (este e o espaco com

que nos identificamos) porque em geral ocorre uma maior simplicidade de processos que

esta provavelmente associada aos muitos recursos de que dispomos. E por isso natural

que se estudem primeiro os problemas num espaco Euclidiano, para assim poder mais

facilmente vislumbrar possıveis metodos de generalizacao a variedades Riemanianas. No

contexto dos espacos Euclidianos, ficamos com a ideia de que algumas propriedades e

ligacoes estao ainda por descobrir. Acreditamos ser possıvel identificar uma certa opti-

malidade no comportamento global das curvas geradas e com isso estabelecer a ponte

com problemas de controlo optimal. Recentemente, Egerstedt e Martin [27] mostraram

que as curvas de Bezier (que surgem em particular em todas as etapas da aplicacao

do algoritmo de De Casteljau) sao uma construcao fundamental em teoria do controlo,

surgindo como solucao de certo tipo de problemas de controlo optimal. Este e um dos

objectivos que pretendemos prosseguir. Uma outra questao prende-se com a conviccao

de que talvez hajam propriedades que permitam apresentar uma definicao unificada das

curvas geradas pelos dois algoritmos (e tambem pelo algoritmo de De Casteljau). Outra

questao que nos parece interessante explorar e que nao consideramos ainda, diz respeito

a analise das propriedades numericas de ambos os algoritmos.

Os grandes desafios ocorrem contudo noutra dimensao que e a das variedades Riema-

nianas nao Euclidianas. Este e o palco onde cada pequeno passo e de facto uma grande

contribuicao, onde existe uma grande actividade de investigacao e onde quase tudo esta

em aberto.

Os resultados que apresentamos em outras variedades Riemanianas conexas e com-

pactas como grupos de Lie matriciais sao prometedores. Contudo, com estes surgem

inumeras questoes e desafios tecnicos que nao foram ainda superados. Quando apre-

sentamos a aplicacao dos dois algoritmos no grupo de Lie ortogonal especial SO(n) refe-

rimos ser nossa conviccao que os resultados obtidos sao validos para a geracao de curvas

de classe C k, com k arbitrario (para uma escolha adequada da funcao suavizante). No

entanto, tudo parece indicar que a confirmacao deste facto requer encontrar um outro for-

malismo que permita superar as dificuldades na manipulacao das expressoes matematicas

envolvidas. Na esfera n-dimensional este problema parece mais tangıvel e acessıvel de

concretizar a curto prazo.

Uma outra questao para o caso dos grupos de Lie matriciais conexos e compactos,

munidos da metrica bi-invariante, esta associada a natureza local dos resultados obti-

dos e tem a ver directamente com o domınio de injectividade da aplicacao exponencial.

Esta e uma restricao necessaria com consequentes limitacoes no alcance global dos dois

algoritmos.

Uma questao pertinente ocorre quando se observa a flexibilidade de que os dois algo-

ritmos dao mostra no caso Euclidiano. Constata-se que as componentes de cada segmento

das curvas geradas, podem ser funcoes polinomiais de grau superior e no caso do segundo

algoritmo e ate possıvel optar por solucoes de outras equacoes diferenciais lineares. Na

122

Comentarios finais

extensao dos dois algoritmos a outras variedades Riemanianas consideramos componentes

que sao arcos de geodesica, isto e, tratamos apenas o caso que corresponde em espacos

Euclidianos a utilizacao de segmentos de recta. A extensao da flexibilidade demonstrada

a outras variedades Riemanianas pressupoe uma generalizacao adequada do conceito de

funcao polinomial. Recorde-se que Camarinha, Silva Leite e Crouch, em [14], apresen-

taram uma definicao de polinomio de grau superior em variedades Riemanianas, usando

uma abordagem variacional, mas nao conseguiram concretizar expressoes explıcitas para

as curvas geradas. Recentemente, Huper e Silva Leite [33] deram uma nova definicao de

polinomio em variedades Riemanianas, mergulhadas num espaco Euclidiano de dimensao

apropriada, que reduz substancialmente a complexidade da abordagem variacional. Alem

disso, tambem apresentaram um algoritmo para a geracao de curvas interpoladoras suaves

que e simples de implementar e permite a obtencao de expressoes explıcitas para as cur-

vas geradas. Estamos certos que este novo conceito de curvas polinomiais em variedades

Riemanianas permitira estender os dois algoritmos estudados (na segunda parte) a pro-

blemas de interpolacao mais complexos.

Os comentarios que acabamos de expor dao uma ideia dos muitos caminhos que

podemos optar por percorrer no futuro imediato.

123

Referencias bibliograficas

[1] Andrei A. Agrachev and Yuri L. Sachkov. Control theory from the geometric view-

point, volume 87 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin,

2004. citado na p. 74

[2] J. H. Ahlberg, E. N. Nilson, and J. L. Walsh. Fundamental properties of generalized

splines. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 52:1412–1419, 1964. citado nas pp. 3, 16 e 30

[3] J. H. Ahlberg, E. N. Nilson, and J. L. Walsh. The theory of splines and their

applications. Academic Press, New York, 1967. citado nas pp. 3 e 30

[4] Claudio Altafini. The De Casteljau algorithm on SE(3). In Nonlinear control in the

year 2000, Vol. 1 (Paris), volume 258 of Lecture Notes in Control and Inform. Sci.,

pages 23–34. Springer, London, 2001. citado na p. 6

[5] Tom M. Apostol. Calculus. Vol. I: One-variable calculus, with an introduction to

linear algebra. Second edition. John Wiley & Sons Inc., 1967. citado na p. 30

[6] Tom M. Apostol. Calculus. Vol. II: Multi-variable calculus and linear algebra, with

applications to differential equations and probability. Second edition. John Wiley &

Sons Inc., 1969. citado na p. 30

[7] V. I. Arnold. Mathematical methods of classical mechanics. Springer-Verlag, New

York, 1978. Translated from the Russian by K. Vogtmann and A. Weinstein, Grad-

uate Texts in Mathematics, 60. citado nas pp. 30 e 74

[8] S. Barnett. Matrices in control theory. Van Nostrand Reinhold Co., 1971. With

applications to linear programming. citado nas pp. 51 e 52

[9] V. G. Boltyanskii. Mathematical methods of optimal control. Holt, Rinehart and

Winston, Inc., New York, 1971. Translated from the Russian by K. N. Trirogoff.

Edited by Ivin Tarnove, Balskrishnan-Neustadt Series. citado na p. 52

[10] William M. Boothby. An introduction to differentiable manifolds and Riemannian

geometry. Academic Press, 1975. Pure and Applied Mathematics, No. 63. citado

nas pp. 55, 56, 62 e 73

125


[11] R. W. Brockett and M. D. Mesarovic. The reproducibility of multivariable systems.

J. Math. Anal. Appl., 11:548–563, 1965. citado na p. 30

[12] R. W. Brockett. Finite dimensional linear systems. Series in Decision and Control.

John Wiley & Sons Inc,, 1970. citado na p. 30

[13] Francesco Bullo and Andrew D. Lewis. Geometric control of mechanical systems,

volume 49 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2005. citado

na p. 74

[14] M. Camarinha, F. Silva Leite, and P. Crouch. Splines of class Ck on non-Euclidean

spaces. IMA J. Math. Control Inform., 12(4):399–410, 1995. citado nas pp. 6 e 123

[15] M. Camarinha. A geometria dos polinomios cubicos em variedades Riemannianas.

PhD thesis, Universidade de Coimbra, 1996. citado na p. 6

[16] J. Cardoso. Logaritmos de matrizes - aspectos teoricos e numericos. PhD thesis,

Universidade de Coimbra, Dezembro 2003. citado na p. 119

[17] Earl A. Coddington and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations.

McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955. citado nas

pp. 12 e 14

[18] P. Crouch and J. Jackson. Dynamic interpolation for linear-systems. In Proceedings

of the 29th IEEE conference on decision and control, pages 2312–2314, Honolulu,

Hawaii, 1990. citado nas pp. 1 e 4

[19] P. Crouch, G. Kun, and F. Silva Leite. De Casteljau algorithm for cubic polynomials

on the rotation group. In Proceedings of the 2nd Portuguese Conference on Auto-

matic Control, pages 547–552, Porto, Portugal, September 1996. citado nas pp. 6,

76, 81 e 94

[20] P. Crouch, G. Kun, and F. Silva Leite. The De Casteljau algorithm on Lie groups

and spheres. J. Dynam. Control Systems, 5(3):397–429, 1999. citado nas pp. 6, 76,

81 e 94

[21] P. Crouch and F. Silva Leite. Geometry and the dynamic interpolation problem. In

Proceedings of the American Control Conference, pages 1131–1136, Boston, USA,


[22] P. Crouch and F. Silva Leite. The dynamic interpolation problem: on Riemannian

manifolds, Lie groups, and symmetric spaces. J. Dynam. Control Systems, 1(2):177–

202, 1995. citado na p. 6

[23] F. R. Dias Agudo. Analise Real, volume III. Escolar Editora, 1992. citado na p. 30

126


[24] Manfredo Perdigao do Carmo. Geometria riemanniana, volume 10 of Projeto

Euclides. Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979. citado

nas pp. 59, 60, 61, 63 e 73

[25] Magnus Egerstedt and Clyde F. Martin. Optimal trajectory planning and smoothing

splines. Automatica, 37(7):1057–1064, 2001. citado na p. 4

[26] Magnus Egerstedt and Clyde Martin. Statistical estimates for generalized splines.

ESAIM Control Optim. Calc. Var., 9:553–562 (electronic), 2003. citado na p. 4

[27] Magnus B. Egerstedt and Clyde F. Martin. A note on the connection between Bezier

curves and linear optimal control. IEEE Trans. Automat. Control, 49(10):1728–1731,


[28] Gerald Farin. Curves and surfaces for computer-aided geometric design. Computer

Science and Scientific Computing. Academic Press Inc., San Diego, CA, fourth edi-

tion, 1997. citado na p. 76

[29] J. Gallier and D. Xu. Computing exponentials of skew-symmetric matrices and log-

arithms of orthogonal matrices. International Journal of Robotics and Automation,

17(4):1–11, 2002. citado na p. 119

[30] R. V. Gamkrelidze. Discovery of the maximum principle. J. Dynam. Control Sys-

tems, 5(4):437–451, 1999. citado na p. 52

[31] I. M. Gelfand and S. V. Fomin. Calculus of variations. Revised English edition

translated and edited by Richard A. Silverman. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs,

N.J., 1963. citado na p. 30

[32] Sigurdur Helgason. Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, vol-

ume 80 of Pure and Applied Mathematics. Academic Press Inc., 1978. citado nas

pp. 68 e 74

[33] Knut Huper and F. Silva Leite. On the geometry of rolling and interpolation curves

on Sn, SO(n) and Graßmann manifolds. Accepted for publication in Journal of

Dynamical and Control Systems, 2006. citado na p. 123

[34] Alberto Isidori. Nonlinear control systems. Communications and Control Engineer-

ing Series. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 1995. citado na p. 74

[35] J. Jackson and P. Crouch. Dynamic interpolation and application to flight control.

Journal of guidance control and dynamics, 14(4):814–822, 1991. citado nas pp. 1 e 4

[36] Janusz Jakubiak, Fatima Silva Leite, and Rui C. Rodrigues. A two-step algorithm

of smooth spline generation on Riemannian manifolds. J. Comput. Appl. Math.,

194(2):177–191, 2006. citado nas pp. ix e 119

127


[37] T. Kailath. Linear systems. Prentice-Hall Inc., 1980. Prentice-Hall Information and

System Sciences Series. citado na p. 30

[38] R. E. Kalman. Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat.

Mexicana (2), 5:102–119, 1960. citado nas pp. 46 e 52

[39] E. Kreindler and P. E. Sarachik. On the concepts of controllability and observability

of linear systems. IEEE Trans. Automatic Control, AC-9:129–136, 1964. citado na

p. 30

[40] Jack B. Kuipers. Quaternions and rotation sequences. Princeton University Press,

Princeton, NJ, 1999. citado na p. 73

[41] Peter Lancaster and Leiba Rodman. Algebraic Riccati equations. Oxford Science

Publications. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1995. citado

na p. 50

[42] David G. Luenberger. Optimization by vector space methods. John Wiley & Sons

Inc., New York, 1969. citado na p. 30

[43] David G. Luenberger. Introduction to dynamic systems. Theory, models, and appli-

cations. John Wiley & Sons Inc., 1979. citado na p. 30

[44] L. Machado. Problemas de mınimos quadrados em variedades Riemannianas. PhD

thesis, Universidade de Coimbra, 2005. citado na p. 4

[45] C. F. Martin, Shan Sun, and M. Egerstedt. Optimal control, statistics and path plan-

ning. Math. Comput. Modelling, 33(1-3):237–253, 2001. Computation and control,

VI (Bozeman, MT, 1998). citado na p. 4

[46] Clyde Martin, Per Enqvist, John Tomlinson, and Zhimin Zhang. Linear control

theory, splines and interpolation. In Computation and control, IV (Bozeman, MT,

1994), volume 20 of Progr. Systems Control Theory, pages 269–287. Birkhauser

Boston, Boston, MA, 1995. citado nas pp. 4, 22, 26 e 30

[47] G. Micula. A variational approach to spline functions theory. Rend. Sem. Mat.

Univ. Politec. Torino, 61(3):209–227 (2004), 2003. Splines, radial basis functions

and applications. citado na p. 30

[48] J. Milnor. Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals

of Mathematics Studies, No. 51. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1963.

citado nas pp. 60, 61, 62, 63 e 73

[49] Richard N. Murray, Ze Xiang Li, and S. Shankar Sastry. A mathematical introduction

to robotic manipulation. CRC Press, Boca Raton, FL, 1994. citado nas pp. 74 e 100

128


[50] Lyle Noakes, Greg Heinzinger, and Brad Paden. Cubic splines on curved spaces.

IMA J. Math. Control Inform., 6(4):465–473, 1989. citado nas pp. 5 e 6

[51] F. C. Park and B. Ravani. Bezier curves on Riemannian manifolds and Lie groups

with kinematic applications. ASME Journal of Mechanical Design, 117:36–40, 1995.

citado nas pp. 6, 76, 81 e 94

[52] Enid R. Pinch. Optimal control and the calculus of variations. Oxford Science

Publications. Oxford University Press, 1993. citado na p. 52

[53] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, and E. F. Mishchenko. The

mathematical theory of optimal processes. Translated from the Russian by K. N.

Trirogoff; edited by L. W. Neustadt. Interscience Publishers John Wiley & Sons,

Inc. New York-London, 1962. citado nas pp. 39 e 52

[54] P. M. Prenter. Splines and variational methods. Wiley-Interscience [John Wiley &

Sons], New York, 1975. Pure and Applied Mathematics. citado nas pp. 15 e 30

[55] William T. Reid. A matrix differential equation of Riccati type. Amer. J. Math.,

68:237–246, 1946. citado na p. 51

[56] Maria Isabel Ribeiro. Analise de sistemas lineares, volume 1 of Coleccao ensino da

ciencia e da tecnologia. IST Press, 2002. citado na p. 30

[57] Maria Isabel Ribeiro. Analise de sistemas lineares, volume 2 of Coleccao ensino da

ciencia e da tecnologia. IST Press, 2002. citado na p. 30

[58] Rui C. Rodrigues, F. Silva Leite, and Janusz Jakubiak. A new geometric algorithm

to generate smooth interpolating curves on Riemannian manifolds. LMS J. Comput.

Math., 8:251–266 (electronic), 2005. citado nas pp. ix e 100

[59] Rui C. Rodrigues, F. Silva Leite, and Silverio Rosa. On the generation of a trigono-

metric interpolating curve in R3. In Proceedings of the 11th International Confer-

ence on Advanced Robotics, ICAR2003, Coimbra, Portugal, 2003. CD-ROM paper

N1629.PDF. citado nas pp. 7 e 101

[60] Rui C. Rodrigues, F. Silva Leite, and C. Simoes. Generalized splines and optimal

control. In Proceedings of the European Control Conference, ECC’99, Karlsruhe,

Germany, 1999. CD-ROM paper F0259.PDF. citado nas pp. 4, 22, 26 e 30

[61] Rui C. Rodrigues and F. Silva Leite. L-splines – a manifestation of optimal control.

IMA J. Math. Control Inform., 19(3):313–324, 2002. citado nas pp. ix e 29

[62] Rui C. Rodrigues and F. Silva Leite. A multi-input/multi-output system repre-

sentation of generalized splines in Rn. Pre-publicacao 02-13, Departamento de

Matematica, Universidade de Coimbra, 2002. citado na p. 51

129


[63] Rui C. Rodrigues and F. Silva Leite. A new geometric algorithm to generate spline

curves. In Proceedings of the Sixteenth International Symposium on: Mathematical

Theory of Networks and Systems (MTNS2004), Leuven, Belgium, 2004. CD-ROM

paper 311.PDF. citado na p. 100

[64] Rui C. Rodrigues and F. Silva Leite. An optimal control problem for splines associ-

ated to linear differential operators. In Proceedings of the 7th Portuguese Conference

on Automatic Control - CONTROLO’2006, Lisboa, Portugal, 2006. citado nas pp. ix

e 29

[65] Rui C. Rodrigues and Delfim F. M. Torres. Generalized splines in Rn and optimal

control. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino, 64(1):63–78, 2006. citado nas

pp. ix e 51

[66] Rui C. Rodrigues. Splines e controlo optimal. Master’s thesis, Universidade de

Coimbra, Outubro 1998. citado nas pp. 4, 22, 26 e 30

[67] Rui C. Rodrigues. An optimal control approach of L-spline functions. In Proceedings

of the student forum - European Control Conference, ECC’01, Porto, Portugal, 2001.

citado na p. 29

[68] Wilson J. Rugh. Linear system theory. 2nd ed. Prentice Hall, 1996. citado na p. 30

[69] D. H. Sattinger and O. L. Weaver. Lie groups and algebras with applications to

physics, geometry, and mechanics, volume 61 of Applied Mathematical Sciences.

Springer-Verlag, New York, 1986. citado nas pp. 71 e 74

[70] M. H. Schultz and R. S. Varga. L-splines. Numer. Math., 10:345–369, 1967. citado

nas pp. 3, 11, 12, 13 e 30

[71] F. Silva Leite and P. Crouch. Closed forms for the exponential mapping on matrix

Lie groups based on Putzer’s method. J. Math. Phys., 40(7):3561–3568, 1999. citado

na p. 119

[72] Michael Spivak. Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of

advanced calculus. W. A. Benjamin, Inc., 1965. citado na p. 73

[73] Michael Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. I. Pub-

lish or Perish Inc., third edition, 1999. citado na p. 73

[74] Shan Sun, Magnus B. Egerstedt, and Clyde F. Martin. Control theoretic smoothing

splines. IEEE Trans. Automat. Control, 45(12):2271–2279, 2000. citado na p. 4

[75] H. J. Sussmann and J. C. Willems. 300 years of optimal control: from the brachys-

tochrone to the maximum principle. IEEE Control Systems, pages 32–44, 1997.

citado na p. 52

130


[76] Marta Szilvasi-Nagy and Terez P. Vendel. Generating curves and swept surfaces by

blended circles. Comput. Aided Geom. Design, 17(2):197–206, 2000. citado na p. 6

[77] Francoise Tisseur and Karl Meerbergen. The quadratic eigenvalue problem. SIAM

Rev., 43(2):235–286, 2001. citado na p. 33

[78] Milos Zefran, Vijay Kumar, and Christopher Croke. On the generation of smooth

three-dimensional rigid body motions. IEEE Transactions on Robotics and Automa-

tion, 14(4):576–589, 1998. citado na p. 5

[79] Grace Wahba. Spline models for observational data, volume 59 of CBMS-NSF Re-

gional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied

Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1990. citado na p. 4

[80] Zhimin Zhang, John Tomlinson, and Clyde Martin. Splines and linear control theory.

Acta Appl. Math., 49(1):1–34, 1997. citado nas pp. 22, 26 e 30

131

Indice alfabetico

A

adV , 71

Agrachev, 125

Ahlberg, 125

algebra de Lie, 65

algebra de Lie de matrizes, 69

algebra de Lie de um grupo de Lie, 67

algoritmo com dois passos

componente direita, 104

componente esquerda, 104

em grupos de Lie matriciais, 110

na esfera n-dimensional, 114

primeiro passo, 104

segundo passo, 105

algoritmo com tres passos

componente direita, 84

componente esquerda, 84

componente intermedia, 84

em grupos de Lie matriciais, 93

primeiro passo, 84

segundo passo, 84

terceiro passo, 85

algoritmo de De Casteljau, 76

curva de Bezier, 79

descricao geral, 79

em variedades Riemanianas

completas, 81

pontos de suporte, 77, 81

Altafini, 125

aplicacao exponencial

num grupo de Lie, 68

de matrizes, 69

numa variedade Riemaniana, 62

aplicacao logaritmo

num grupo de Lie, 68

de matrizes, 69

aplicacao translacao a direita, 66

aplicacao translacao a esquerda, 66

Apostol, 125

arco de geodesica, 61

Arnold, 125

B

Barnett, 125

Boltyanskii, 125, 129

Boothby, 125

Brockett, 126

Bullo, 126

C

C k[a, b], 11, 32

C∞(M), 55

cırculos maximos, 64

Camarinha, 126

campo de vectores, 55

completo, 56

invariante a direita, 66

num grupo de Lie de matrizes, 70

invariante a esquerda, 66


suave, 55

campo de vectores ao longo

de uma curva suave, 59

induzido, 59

paralelo, 60

133

Indice alfabetico

Cardoso, 126

Coddington, 126

comprimento de arco de uma curva, 58

comutador de matrizes, 69

conexao afim numa variedade suave, 59

compatıvel, 60

de Levi-Civita ou Riemaniana, 60

simetrica, 60

conjunto de controlos admissıveis, 20, 39

Croke, 131

Crouch, 126, 127, 130

curva de Bezier, 79

curva integral, 56

curva parametrizada

por comprimento de arco, 58

curva seccionalmente suave, 63

curva suave, 56

D

∆, ver particao de um intervalo realDdt

, 59

dFq, 57

δJ , ver variacao de Gateaux

δy, ver variacao admissıvel

Dk, 11, 32

De Casteljau, 76

derivada covariante, 59

Dias Agudo, 126

difeomorfismo, 56

diferencial num ponto, 57

dimensao de um grupo de Lie, 66

dimensao de uma algebra de Lie, 65

do Carmo, 127

E

expq, 62

expq(tv), 62

exp, 68

Egerstedt, 127, 128, 130

Enqvist, 128

equacao algebrica de Riccati, 50

equacao diferencial matricial de Riccati, 51

esfera n-dimensional, 57

espaco tangente num ponto, 55, 56


F

Farin, 127

fibrado tangente, 55

fluxo de um campo de vectores, 56

Fomin, 127

funcao suavizante de ordem k, 82

de ordem k = 1, 82

funcao polinomial, 83

G

G, ver grupo de Lie

g, ver algebra de Lie de um grupo de Lie

GL(n), 68

gl(n), 68

Gallier, 127

Gamkrelidze, 127, 129

Gelfand, 127

geodesica, 61

geodesica minimal, 63

geodesica na esfera n-dimensional, 64, 73

geodesica num grupo de Lie

conexo e compacto, 72

geodesicamente completa, 63

grupo de Lie, 65

campo de vectores



metrica Riemaniana

bi-invariante, 66



translacao a direita, 66

translacao a esquerda, 66

grupo de Lie abeliano, 66

grupo de Lie das rotacoes no espaco, 69

grupo de Lie de matrizes, 69

134

Indice alfabetico

grupo ortogonal especial, 69

H

Heinzinger, 129

Helgason, 127

homeomorfismo, 57

homomorfismo de algebras de Lie, 71

homomorfismo de grupos de Lie, 67

Huper, 127

I

identidade de Lagrange, 14

generalizacao, 34

imersao, 57

Isidori, 127

isometria, 58

J

Jackson, 126, 127

Jakubiak, 127, 129

K

Kk[a, b], 12

Kailath, 128

Kalman, 128

ker, 14

Kreindler, 128

Kuipers, 128

Kumar, 131

Kun, 126

L

L, 11, 16, 19, 32

L∗, 12, 17, 32

Lg, ver aplicacao translacao a esquerda

l(γ), 58

log, 68

L-spline, 12

L-spline (de tipo I), 13

L-spline interpolador, 13

Lancaster, 128

Levinson, 126

Lewis, 126

Li, 128

Luenberger, 128

M

M , 55, 60, 63, 75, 103

metrica Riemaniana, 58

Machado, 128

Martin, 127, 128, 130, 131

Meerbergen, 131

mergulho, 57

Mesarovic, 126

Micula, 128

Milnor, 128

Mishchenko, 129

Murray, 128

N

∇, ver conexao afim

∇XY , 59

Nilson, 125

Noakes, 129

O

Ω, 16, 32

ΩA, 17, 37

operador diferencial

invariante no tempo, 16, 19

variante no tempo, 11, 32

operador diferencial adjunto

invariante no tempo, 17

variante no tempo, 12, 32

output controllability, 25

ΩLA(t), 71

ΩRA(t), 71

P

(P ), 38, 75, 103

(P ∗), 42

(Pce), 24

(Pc), 20

135

Indice alfabetico

(Pv), 17, 37

[·, ·], ver produto de Lie

Paden, 129

Park, 129

particao de um intervalo real, 12, 16, 19, 32

Pinch, 129

PMP, 39

pontos antıpodas, 64

Pontryagin, 129

Prenter, 129

princıpio do maximo de Pontryagin, 39

condicao de maximo, 39

extremal de Pontryagin, 39

anormal, 40

normal, 40

funcao Hamiltoniana, 40

sistema adjunto, 39

sistema Hamiltoniano, 39

problema

de controlo optimal, 20, 24, 26, 38–40

linear-quadratico, 42

do calculo das variacoes, 17, 37, 83

problema de interpolacao

em variedades Riemanianas, 75, 103

produto de Lie, 65, 67, 69

Q

q.t.p., 20

R

Rg, ver aplicacao translacao a direita

Ravani, 129

Reid, 129

representacao de entrada-saıda, 20

representacao de estado, 22

representacao de estado minimal, 22

Ribeiro, 129

Rodman, 128

Rodrigues, 127, 129, 130

Rosa, 129

Rugh, 130

S

Sn, ver esfera n-dimensional

SO(n), ver grupo ortogonal especial

so(n), 69

SO(3), 100

SE(3), 100

Sachkov, 125

Sarachik, 128

Sastry, 128

Sattinger, 130

Schultz, 130

segmento de geodesica, 61

Silva Leite, 126, 127, 129, 130

Simoes, 129

sistema de controlo

equacao de estado, 22

equacao de saıda, 22

modelo de entrada-saıda, 20

modelo de estado, 22

SISO, 20

Spivak, 130

spline

segmento de um spline, 12

valores de fronteira, 13, 33

valores de interpolacao, 13, 33

spline generalizado em Rn, 32

spline generalizado escalar, 16

subalgebra de Lie, 68

subgrupo com um-parametro, 67

subgrupo de Lie, 68

subvariedade, 57

imersa, 57

mergulhada, 57

Sun, 128, 130

Sussmann, 130

Szilvasi-Nagy, 131

T

TM , 55

TqM , 55, 56

136

Indice alfabetico

(TqSO(n))⊥, 70

Tisseur, 131

Tomlinson, 128, 131

Torres, 130

U

U , 20, 39, 42

V

Varga, 130

variaveis de fase, 24

variacao admissıvel, 17, 37

variacao de Gateaux, 17, 37

variedade, 55

suave, 55

variedade Riemaniana, 58

vector de incidencia

de uma particao, 12, 16, 19

vector tangente num ponto, 55

Vendel, 131

W

Wahba, 131

Walsh, 125

Weaver, 130

Whitney, 57

Willems, 130

X

Xq, 55

X(M), 55, 65

Xu, 127

Z

Z, ver vector de incidencia de uma particao

Zefran, 131

Zhang, 128, 131

137

rui manuel carreira rodrigues - instituto superior de engenharia … · 2008. 1. 28. · rui manuel...

Documents