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ROTEIRO PARA ABORDAGEM DE CONTEÚDOS DE FÍSICA NA
EXPERIMENTAÇÃO - A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO ESTATÍSTICO DE
REGRESSÃO, ATRAVÉS DE SOFTWARE, NO ENSINO MÉDIO
Thales Cerqueira Mendes
Produto Educacional apresentado ao Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Física da
Universidade Federal do Vale do São Francisco
(UNIVASF) no Curso de Mestrado Nacional
Profissional de Ensino de Física (MNPEF),
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Mestre em Ensino de
Física.
Orientador:
Prof. Dr. Alessandro Pereira Moisés
Juazeiro - BA
Julho de 2016
ii
Sumário
Introdução ................................................................................................................................ 1
1. Abordagem teórico-computacional da Regressão .................................................................. 1
1.1 Sobre a Regressão Linear Simples .................................................................................... 1
1.2 Pré-requisitos .................................................................................................................. 2
1.3 Material utilizado ............................................................................................................ 2
1.4 Procedimentos ................................................................................................................ 2
1.5 Considerações finais dessa abordagem ............................................................................ 6
2. Experimentando com a Lei de Hooke .................................................................................... 6
2.1 Sobre os conteúdos abordados........................................................................................ 6
2.1.1 Lei de Hooke ............................................................................................................. 6
2.1.2 Erros instrumentais e propagação de erros ............................................................... 8
2.2 Pré-requisitos .................................................................................................................. 8
2.3 Material utilizado ............................................................................................................ 9
2.4 Procedimentos ................................................................................................................ 9
2.5 Considerações finais para essa experimentação ............................................................ 12
3. Outras possibilidades de abordagem ................................................................................... 13
Referências bibliográficas ....................................................................................................... 14
1
Introdução
Diante de uma proposta de Iniciação Científica para o Ensino Médio, esse Produto
Educacional se configura como uma estratégia de ensino. Possui foco na experimentação
e na utilização de um software para facilitar o ensino, por parte do professor, e a
aprendizagem, por parte do aluno. A ideia é que ele possa ser aplicado em sala de aula,
ou no laboratório didático, por outros professores.
Dessa forma, o objetivo é apresentar um roteiro para abordagem de conteúdos de
Física na experimentação, com a utilização do método estatístico de regressão, através de
software, no Ensino Médio1.
Primeiramente, expõe-se um tratamento qualitativo do método estatístico de
regressão de forma teórica, com a utilização de um software. Depois, descreve-se uma
aplicação com a Lei de Hooke, proposta para aproximar o aluno com o método estatístico
utilizado, dando aplicabilidade ao conteúdo exposto de forma teórica. Posteriormente,
segue um breve resumo sobre outras possibilidades de aplicação, com outros conteúdos
de Física.
1. Abordagem teórico-computacional da Regressão2
Ressalta-se que a aplicação dessa atividade tem como objetivo a abordagem do
método estatístico de regressão com a utilização de um software, numa abordagem
qualitativa.
1.1 Sobre a Regressão Linear Simples
A regressão linear simples é um modelo matemático que tenta explicar a relação
entre duas variáveis. Dessa forma, através de dados (x e y) é possível criar um modelo
matemático através de uma equação.
Y=A.X+B (1)3
As constantes A e B da equação 1 podem expressar funções (a exemplo das
polinomiais, exponenciais, logarítmicas) que provem da solução de um sistema de
1 Esse roteiro está disponível em: https://goo.gl/MK2OnX. 2 Um vídeo com a manipulação do Excel está disponível em: https://youtu.be/SP8ivbRFTXM. 3 Essa referência (1) será utilizada para denotar equações. Dessa forma, essa é equação 1. (2) refere-se à
equação 2 e assim sucessivamente.
2
equações de uma combinação linear. Essa equação pode servir para fazer projeções para
o futuro ou pode servir para entender a relação entre variáveis em um determinado
fenômeno [1].
O coeficiente de determinação, R2, é um indicador de medida da qualidade do
ajustamento de uma linha de regressão. Ou seja, de que forma, em que proporção, a
variável dependente é explicada pela variável independente. Esse coeficiente varia de
zero até um [1].
A correlação (dado pelo coeficiente de correlação, R) é uma medida estatística que
tem por objetivo verificar o grau de associação entre duas variáveis (uma variável
independente e outra dependente), é um valor que irá oscilar entre -1 e 1. Esse valor pode
dar zero quando não há correlação entre as variáveis ou quando a regressão não for linear
[1].
1.2 Pré-requisitos
Manipular fórmulas, tabelas e gráficos no Microsoft Office Excel® (Excel);
Conteúdo de equações lineares e quadráticas.
1.3 Material utilizado
Excel instalado em computador.
1.4 Procedimentos
Antes de abordar o assunto com o aluno, é necessário que o professor tenha
familiaridade com o programa e com o método de regressão. Segue a sequência da
atividade.
Insira uma tabela com 10 pares ordenados (x,y) no Excel.
x y
1 9
2 11
3 13
4 15
5 17
6 19
7 21
8 23
9 25
10 27
Tabela 1. Exemplo de tabela com valores, proposta ao aluno.
3
Os valores de x aleatórios e de y imposto por uma equação linear (exemplo:
y=2x+7). Explore a utilização de fórmulas no programa;
No programa copie e cole a tabela somente com valores. Esse procedimento é para
que o aluno perceba que não há registro da equação utilizada para gerar os valores de
y na tabela;
Selecione a tabela e insira um gráfico de dispersão;
Figura 1. Gráfico de dispersão com os pontos propostos (y por x).
Questione o aluno a relacionar os pontos a um alinha imaginária que passe por eles
(uma reta). E se fosse uma curva pouco acentuada, não levaria a pensar que é uma
reta? E mesmo que fosse uma curva acentuada, ao se observar um infinitésimo dela,
também pareceria uma reta?
Insira uma linha tendência linear;
Figura 2. Gráfico da linha de tendência linear (y por x).
4
Insira outras linhas de tendência como a quadrática, exponencial, logarítma. É
importante o aluno perceber a distância dos pontos para as curvas e as diferenças
entre elas – somente algumas se ajustam;
Figura 3. Gráfico da linha de tendência exponencial (y por x).
Com a linha de tendência linear, insira, através da “formatação de linha de tendência”
no programa, a equação da reta e o coeficiente de determinação, R2. Uma primeira
situação importante nesse momento é o retorno da equação inicial que foi retirada do
programa. Discuta como o programa “conseguiu achar” a equação – o papel da
regressão. A outra situação, natural, se ao aluno nunca viu ou estudou o termo, é a
pergunta: e o R? Não conceitue, por enquanto;
Figura 4. Gráfico da regressão, equação e R2 (y por x).
Solicite uma alteração em qualquer par ordenado e observe o gráfico. Para exemplo,
o par (1,9) foi trocado por (1,10) na tabela do programa. Como resultado, a equação
e o R2 muda. Mais importante o ponto “desalinha” da reta;
5
Figura 5. Gráfico com a alteração da equação e R2 (y por x).
Questione o aluno: como foi colocado uma unidade mais em y (de 9 passou a ser 10)
se tirar uma unidade em algum lugar, deve votar ao “normal” (o que era antes)? Retire
essa unidade - a exemplo o par (3,13) foi trocado por (3,12) na tabela do programa.
Constata-se que o valor do R2 diminui mais e os pontos estão mais distantes da curva;
Figura 6. Gráfico com a diminuição no valor do R2 (y por x).
Permita que o aluno manipule e modifique outros números até que ele consiga
relacionar o R2 com o alinhamento dos pontos. Nesse momento, conceitue o R2 como
coeficiente de determinação e a sua representação percentual.
R2=1=100% (2)
6
Significa que todos os pontos plotados se adequam a reta de tendência na regressão
utilizada). Falando em variáveis, esse coeficiente dá ideia do quanto a equação
encontrada representa os dados inseridos de x e y.
1.5 Considerações finais dessa abordagem
Aqui foi utilizado o Excel para realizar essa exposição. Caso o professor tenha
dificuldade de acesso a esse programa, poderá utilizar o LibreOffice Calc.
As situações didáticas se distinguem em alguns aspectos – os métodos do ensino
dependem dos questionamentos dos alunos, as vezes não visualizados pelo professor.
Porém, o que se tentou descrever aqui foi o padrão percebido na execução dessa atividade
com alunos.
De fato, o tratamento qualitativo (uma vez que não há exposição das equações da
regressão) dos dados foi facilitado pelo programa (Excel). Ajudou no tempo de aplicação
e na visualização, principalmente no momento da alteração dos dados na tabela, pois a
mudança provoca uma animação quase que imediata no gráfico.
2. Experimentando com a Lei de Hooke
O objetivo dessa experimentação é aplicar o método estatístico de regressão, numa
situação real, para determinar a constante elástica de uma mola. Essa abordagem
apresenta-se mais quantitativa que a anterior. Quando possível, na abordagem do
conteúdo, que segue, procurou-se referências bibliográficas do Ensino Médio, já que o
foco está nesse nível.
2.1 Sobre os conteúdos abordados
2.1.1 Lei de Hooke
Quando aplicamos uma força em um ponto material, o efeito que observamos se
associa com a aceleração. Quando aplicamos uma força em um corpo extenso, podemos
observar outro efeito além da aceleração: a deformação do corpo. Há vários fenômenos
nos quais o efeito mais importante é a deformação, como no caso das molas. As molas
tendem a se deformar ao receber uma força em sua extremidade [2].
Seja uma mola helicoidal, como a ilustrada na figura 7. Aplicando-se uma força à
extremidade livre da mola, ela tem uma deformação x. Observa-se que, dentro de certos
7
limites, a deformação x é diretamente proporcional à força aplicada à extremidade livre
da mola (força Peso da massa m).
Figura 7. Deformação da mola.
A força elástica, Fel, é de restauração e por consequência, na posição de equilíbrio
(força resultante é nula) tem valor igual ao da citada força. Essa lei de proporcionalidade
foi enunciada pelo cientista Robert Hooke e é analiticamente representada por:
|𝐹𝑒𝑙| = 𝑘. |𝑥| (3)
Onde, k é a constante elástica da mola. A constante da mola depende de ela ser mais ou
menos rígida, ou seja, depende de suas características físicas (19). Outra notação comum
para a força elástica, em uma dimensão, é:
𝐹𝑒𝑙 = −𝑘. 𝑥 (4)
Para essa notação: x=0 é o ponto de equilíbrio da mola (não há deformação); x>0
são valores quando se estica a mola em relação a ponto de equilíbrio (elongação); x<0
são valores quando se comprime a mola em relação ao ponto de equilíbrio (compressão).
O valor negativo da força tem significado físico e representa que a força elástica é de
restauração à posição de equilíbrio. Está sempre contrária ao sentido de x [2].
8
2.1.2 Erros instrumentais e propagação de erros
Todas as medidas têm um erro associado. Para minimizar esse erro, pode-se realizar
um número maior de medidas, diminuindo a incerteza sobre o valor da medida. Enquanto
a incerteza é um parâmetro que mostras a dispersão dos valores medidos em relação ao
esperado, o erro é a diferença entre o valor medido e o valor esperado. Existem erros
causados pela imprecisão dos aparelhos de medição ou na metodologia utilizada pelo
observador e afetam a exatidão das medidas – erros sistemáticos. Outros se devem a
fatores imprevisíveis e afetam a precisão das medidas - erros aleatórios [3].
Ao utilizar um instrumento de medição, deve-se associar o erro a ele vinculado:
x ± Δx (5)
Onde x é o valor associado a leitura e Δx o erro inerente a instrumento. Em geral, para
aparelhos analógicos se utiliza como erro instrumental a metade da menor medida e para
aparelhos digitais, a menor medida [3].
Ao fazer operações matemáticas com essas medidas, os erros se propagam. Em
geral, utiliza-se as derivadas parciais para determinação desses erros propagados. Para
uma função de variáveis independentes
f(x1, x2, ..., xn) (6)
o valor do erro propagado é dado por
∆𝑓 = √∑(𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖)2
. ∆𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
(7)
e o valor encontrado expresso como
f ± Δf (8)
2.2 Pré-requisitos
Manipular fórmulas, tabelas, gráficos e funções de linha de tendência no Excel;
9
Conteúdo de erros instrumentais, propagação de erros e Gravitação.
2.3 Material utilizado
Kit experimental da Olimpíada Brasileira de Física das Escolas Públicas –OPFEP
(figura 8)4:
1 mola;
5 arruelas;
1 gancho para segurar as arruelas;
1 régua;
Figura 8. Kit experimental.
Balança digital;
Computador com software Excel.
2.4 Procedimentos
Faça uma avaliação prévia com o aluno sobre a Lei de Hooke. Se necessitar,
intervenha em conceitos errôneos que não possam ser dirimidos na execução da
atividade;
Exponha o objetivo do experimento para o aluno, antes do início da experimentação;
Determine o erro instrumental da régua;
Meça o comprimento inicial do conjunto mola e gancho com a régua (l0);
Coloque uma massa (arruela 1) no sistema e meça com a régua o comprimento final
da mola (l1). Depois, coloque outra massa (arruela 2) junto com a primeira, e meça o
comprimento (l2). Repita, no mínimo, para 5 arruelas;
4 Esse aparato experimental é simples de ser montado, mesmos na ausência do Kit. Uma variação é utilizar
elástico feito para segurar dinheiro no lugar da mola. Se for utilizar esse elástico, é importante esticá-lo
antes, como se faz antes de soprar balões de aniversário, para diminuir a rigidez elástica. Aliás, esse é um
bom ponto de discussão com os alunos.
10
Com um balança digital verifique as massas das arruelas e seu erro;
Construa uma tabela no Excel com os dados coletados e erros;
i li ± 0,05 cm mi ± 0,1 g
0 1,60 -
1 1,62 7,6
2 3,65 7,3
3 6,10 7,6
4 8,35 7,7
5 10,90 7,5
Tabela 2. Exemplo de tabela com os valores coletados.
Para determinar a Força Elástica (que nesse caso é aproximadamente igual a força
gravitacional sobre as arruelas no gancho) é necessário o valor da aceleração da
gravidade local. Nesse cálculo, utilize a Lei da Gravitação de Newton5:
𝑔 =𝐺.𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎
(𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 + ℎ)2 (9)
É um bom momento para discutir a aceleração da gravidade local e sua influência
com a altitude. Peça ao aluno para buscar as informações para realizar o cálculo nessa
equação (a constante gravitacional, a massa e o raio da Terra e a altitude local).
Calcule e discuta o valor de g encontrado;
Constante Gravitacional [3] G 6,67 x 10-11 𝑵.𝒎𝟐
𝑲𝒈𝟐
Massa da Terra [3] MTerra 5,98 x 1024 𝐾𝑔
Raio Médio da Terra [3] RTerra 6,37 x 106 𝑚
Altitude local6 h 532 𝑚
Tabela 3. Exemplo de tabela com os dados para o cálculo de g local.
5 O valor de g pode ser verificado diretamente no site do Observatório Nacional. Disponível em:
<http://www.on.br>.
6 Altitude para Senhor do Bonfim –BA. Fonte: Instituto de Meteorologia – INMET. Disponível em:
<http://www.inmet.gov.br/portal/index.php?r=estacoes/estacoesautomaticas>.
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A intensidade da força elástica será determinada pela comparação com a intensidade
da força peso (Fel = P = m.g), para correspondência linear da equação 10. Nessa
comparação: y = Fel, A = k, x é a própria elongação (x) e B=0. Discuta essa relação
linear;
(10)
Retome os dados da tabela 2. A deformação da mola, x, em cada repetição, é dada
pela subtração do comprimento final e inicial, a massa no gancho é dada pela soma
com a massa anterior. Coloque as unidades no Sistema Internacional de Unidades
(SI) e elabore uma tabela para correspondência linear da equação 10. Utilize as
fórmulas do programa para fazer esses cálculos;
x ± 0,07.10-2 (m) Fel ± 0,01.10-1 (N)
2,00.10-4 7 7,47.10-2
2,05.10-2 1,46.10-1
4,50.10-2 2,21.10-1
6,75.10-2 2,97.10-1
9,30.10-2 3,71.10-1
Tabela 4. Exemplo dos dados para a regressão (Fel por x).
Insira um gráfico de dispersão no programa de Fel por x. Depois, aplique as fórmulas
no programa para tendência linear no gráfico e determinação do coeficiente de
determinação (R2);
7 O valor encontrado (2,00.10-4 m) é inferior ao erro propagado (7.10-4 m), embora o valor da força elástica
(7,47.10-2 N) esteja maior que seu erro (0,1.10-2 N). Nesse caso, é coerente coletar outra medida. Devido
ao valor de x. Discuta essas questões com o aluno.
12
Figura 9. Gráfico do resultado da regressão de Fel por x.
Faça análise qualitativa e quantitativa desses resultados. Exemplo: o R2 significa
quanto os dados coletados se adequam ao modelo de regressão escolhido e esse valor
é, aproximadamente, 99,9%; o coeficiente de inclinação da equação linear é a
constate elástica da mola, k = 3,19 N/m. O coeficiente de interceptação deveria ser
zero e seu valor foi 0,08.
Insira um outro conceito: o do coeficiente de correlação. Para determinação do
coeficiente de correlação8, R, foi calculada a raiz quadrada do R2. Assim, esse
coeficiente tem valor +0,999. Embora esse valor seja o mesmo que o coeficiente de
determinação, tem significado diferente. Ele representa a correlação entre as
variáveis, nesse caso a força elástica e a elongação da mola. O sinal positivo é teórico
(correlação positiva), uma vez que a raiz quadrática pode ser positiva ou negativa e
esse coeficiente também.
2.5 Considerações finais para essa experimentação
Buscou-se mostra que embora os pontos pareçam alinhados, não estão. É
importante discutir se uma outra equação, ao invés da linear utilizada, poderia gerar um
resultado satisfatório para o R2, a exemplo de uma polinomial de ordem maior que 1.
Embora a prática utilizada aluda a verificação da constante elástica da mola, em
primeiro olhar, o objetivo principal não é sua obtenção. Ele está nos passos necessários
8 O símbolo R é intencional e relacionado como o R2.
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para atingir seu valor em um conjunto de operações (no sentido cognitivo) que permita e
facilite uma aprendizagem significativa para os alunos.
De outra forma, o tema permite uma abordagem no cotidiano do aluno e juntamente
com a experimentação, as idealizações e generalizações das fórmulas experimentais
geram discussões quanto aplicabilidade do método científico. A ideia primordial surgiu
do não acoplamento dos pontos a reta de regressão, que difere da fórmula teórica e
aproxima o aluno ao mundo da real.
3. Outras possibilidades de abordagem
O foco desse roteiro na Lei de Hooke é intencional. A abordagem dessa Lei é
simples, tanto para o professor como para o aluno. Dessa forma, indica-se em um primeiro
momento, para familiarizar esses protagonistas como o método de regressão no software.
Porém, o professor deve procurar, criar e adaptar, novas possibilidades. Neste
sentido, apresenta-se um resumo de outras possibilidades de aplicação da regressão,
inclusive com outras tendências, além da linear9:
Caso o professor tenha no laboratório didático de Física um dilatômetro poderá
utilizá-lo para determinar o coeficiente de dilatação linear pela regressão, com
tendência linear;
Através de um experimento de pêndulo simples, pode determinar a aceleração da
gravidade local. No tratamento dos dados, pode-se realizar uma regressão com
tendência quadrática, mas se recomenda a utilização da linear, reduzindo a equação
quadrática à linear;
Com a utilização de um simulador de planetário para coleta de dados, poderá
determinar os dias de Sol a pino entre os trópicos de Câncer e Capricórnio, com a
utilização de regressão com tendência pronominal de quarta ordem;
Poderia solicitar os alunos que construam um calorímetro e determinem a capacidade
térmica do mesmo, aplicando uma regressão com tendência linear;
Através da construção de um calorímetro de combustão indireta, compararia a
eficiência energética de óleos (poder de queima), com a utilização de regressão com
tendência polinomial de quarta ordem.
9 Descrição completa de outras possibilidades de abordagem. Disponível em: https://goo.gl/VQS8CD.
14
Referências bibliográficas
[1] J. C. LAPPONI, Estatística Usando Excel, Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.
[2] J. L. SAMPAIO e C. S. CALÇADA, Universo da Física - Mecânica, 2 ed., São
Paulo: Atual Editora, 2005.
[3] J. B. GONÇALVES, Sistemas de medição, erros e calibração, 1ª ed., Rio de Janeiro:
Ciência Moderna, 2014.
[4] D. HALLIDAY, R. RESNICK e J. WALKER, Fundamentos de Física, vol. 2, Rio
de Janeiro: LTC, 2009.