Roteiro e figuras do curso

Caos em Sistemas

Hamiltonianos

Raúl O. Vallejos

Plano do Curso

Os sistemas hamiltonianos pertencem à classe maisampla dos Sistemas Dinâmicos.Um sistema dinâmico é definido por duas condicões:

b) a evolução do sistema está governada por um conjunto de N equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:

a) o estado do sistema em um dado instante está completamente determinado pelos valores de N variáveis

Nxx ,,1

),,(

),,(

1

111

NNN

N

xxfdt

dx

xxfdt

dx

)(XFdt

dXou

Sistemas Dinâmicos

Introdução

Figura extraída de: http://www.curvuspro.ch/english/curvuspro/gallery/3dgallery.htmlVeja animação em:http://www.exploratorium.edu/complexity/java/lorenz.html

Exemplo: o sistemade Lorentz

)28,3/8,10(

3213

21312

211

rb

xbxxdt

dx

xxrxxdt

dx

xxdt

dx

O ponto representativo X se movimenta com velocidade F, descrevendo uma curva chamada trajetória ou órbita,tangente em cada ponto ao campo de velocidades F.

Integrais do movimento

Uma integral de um sistema dinâmico é uma funçao cujo valor é constante ao longo deuma trajetória qualquer. Isto é:

),( 1 NxxI

FIfx

If

x

I

dt

dIN

N

11

0

As integrais (ou constantes) de movimento permitem reduzir a ordem de um sistema dinâmico.

Espaço de fasesO espaço de N dimensões com os como coordenadas é chamado “espaço de fases”. O estado do sistema é representado por um ponto neste espaço.

Nxx ,,1

Seções e mapas de

Poincaré Se o nosso interesse for entender o comportamento assintótico de uma trajetória, no será necessário seguir sua evolução com grande detalhe. Bastará olharmos para ela em certos instantes de tempo. Por exemplo, podemos registrar apenas as interseções da trajetória com uma superfície de referência. No caso de um espaço de fases tridimensional:

Temos assim um mapa , chamado mapa dePoincaré:

:G

iYGY ii ),(1

As propriedades essenciais do sistema de equações diferencias se verão refletidas nas propriedades do mapa G. Por exemplo, uma trajetória periódica do sistema diferencial se corresponde com um conjunto depontos periódicos de G; se a trajetória for instável, os pontos periódicos também o serão.

0Y1Y 2Y

Pontos fixos

)( YGY

Um ponto fixo é um ponto que satisfaz a equação

Y

YYdY

dGM

Os pontos pixos jogam um papel muito importante porque forçam uma estrutura definida de órbitas na sua vizinhança. Vejamos: se , entãoUYY

ii UMU 1

onde M é a matriz jacobiana de G:

Ciclos, Variedades invariantes

A dinâmica em torno de é determinada pelos autovalores e autovetores de M.

Y

Um ciclo é uma seqüência de pontostais que

10 ,, nYY

102101 ,,, nnn YGYYGYYGY Com outras palavras, um ciclo é uma trajetóriaperiódica.

A variedade estável de um ponto fixo é o conjunto de pontos tais que a trajetória que passa portende a quando .A variedade instável tem uma definição análoga: é oconjunto de pontos que tendem ao ponto fixo quando .Variedades estáveis e instáveis são às vezes chamadasseparatrizes.

*Y0Y 0Y*Y t

t

Sistemas hamiltonianos

Un sistema hamiltoniano é caracterizado, em primeirolugar, por um número par de dimensões: N=2n.O número n é o número de graus de liberdade.As 2n variáveis são chamadas tradicionalmente:

nn ppqq ,,,,, 11

O sistema é definido completamente por uma funçãodas 2n variáveis, chamada “hamiltoniano”:

),,,,,( 11 nn ppqqH As equações de evolução são

i

i

i

i

q

H

dt

dp

p

H

dt

dq

,Os mapas de Poincaré hamiltonianos possuem a propriedade simplética.

Órbitas periódicas, estabilidade

V

V

1V

1V

2V

2V

Exemplo: dinâmica linear em torno de um ponto fixo de um mapa de Poincaré de um sistema com 2 graus de liberdade. Três casos:um par de autovalorescomplexos conjugados e de módulo unitário (ponto fixo elíptico), doisautovalores reais epositivos (ponto fixo hiperbólico), reais enegativos (hiperbólico com reflexão). As retas representam os autovetores .

21,VV

Sistemas IntegráveisPodemos tentar simplificar um sistema hamiltonianofazendo uma mudança de variáveis apropriada. Se asnovas coordenadas

nn PPQQ ,,,,, 11

são tais que as equações de movimento podem ser derivadas de um novo hamiltoniano

),,,,,( 11 nn PPQQH a transformação de coordenadas é chamada canônica.O caso ideal é quando o novo H não depende dasNestas condições as equações de movimento ficam

iQ

iiiii DttQCtP )(,)(

Assim obtemos a solução geral em forma explícita.As “ações” P são constantes do movimento. Um sistema hamiltoniano pode ser resolvido completamentese conhecemos n=N/2 integrais.

Exemplo

11,km22 ,km

nn km ,

Toros e trajetórias

Para um sistema recorrente as coordenadas Q devem ser cíclicas, i.e., representam ângulos. No caso de um sistema com n graus de liberdade, as trajetórias ficam restritas a toros n-dimensionais. Elas são periódicas ou,quase-periódicas. Quando não existem relações decomensurabilidade as trajetórias preenchem densamente os toros respectivos.

Secão de Poincaré, números de rotação

O espaço de fases de um sistema hamiltoniano integrável está organizado em toros n-dimensionais.Quando cortarmos o espaço de fases com uma seçãode Poincaré veremos que as trajetórias (agora discretas)ficam em toros de dimensão n-1. Cada um destes torosé caracterizado por um conjunto de números de rotação.

Dois graus de liberdade

Este caso é sempre integrável.

Em geral as equações de movimento não podem serresolvidas em forma explícita; só existe uma constantede movimento: o próprio hamiltoniano.

Exemplo 1: Potencial triangular

)2(

)(),,,(3

3

22222

1

222

1

yyxyx

ppppyxH yxyx

A figura mostra três seções de Poincaré, definidas pelas condições E=constante e x=0. Para a energia mais baixa o espaço de fases parece estar organizado em toros. Conforme aumentamos a energia, os toros vão sendo destruídos e substituidos por regiones caóticas.

Um grau de liberdade

E=0.0833

E=0.125

E=0.16667

Exemplo 2: o mapa quadrático

Organização hierárquica das ilhas

24.0cos α

αxαyαxy

αxαyαxx

coscossin'

sinsincos'2

2

Trajetóriasdo mapaquadrático.

Detalhe dafigura anterior

O teorema KAMConsideremos um mapa bidimensional associado a umsistema integrável. Por cada ponto do espaço de fases passa uma curva invariante. O que acontece com as curvas invariantes quando perturbamos (fracamente) o sistema? O teorema KAM afirma as curvas “suficientemente irracionais” sobrevivem.

O teorema de Poincaré-Birkhoff

E que acontece nas regiões do espaço de fases onde os torossão destruídos?Os toros racionais são substituídos por cadeias de pontos fixos, alternativamente elípticos e hiperbólicos. Em torno dos pontos fixos elípticos podemos aplicar de novo o teorema KAM e o teorema de Poincaré-Birkhoff. Isto nos leva a uma estrutura autosimilar em todas as escalas (ou fractal).

Variedades estável (vermelho) e instável (amarelo) do ponto fixo hiperbólico (azul) do mapa quadrático de Hénon.

Regiões caóticas, interseções homoclínicas, ferraduras

Caos e Fractais

Um conjunto de Mandelbrot.http://www.curvuspro.ch/english/curvuspro/gallery/2dgallery.html

Conjunto de Cantor dos terços.http://personal.bgsu.edu/~carother/cantor/Cantor2.html

O mapa da ferradura de Smale. O mecanismo de esticamento e dobra gera chaosno tempo e estruturas fractais no espaco de fases.http://zebu.uoregon.edu/~js/21st_century_science/readings/Parker_Chap5.html

Quantificando o caosExpoentes de Lyapunov, sensibilidade às condições iniciais, entropias

Caos, entropia e a segunda lei da Termodinâmica

A evolução hamiltoniana tranforma uma região simples num fractal. A entropia aumenta quando “suavizamos” o fractal.http://necsi.org/faculty/baranger.html (M. Baranger, “Chaos, complexity and entropy”)

A entropia permanececonstante.

A entropia aumenta

Controle do caos

Seqüência de manobras que levaram o ISEE-3/ICE, primeiro até o ponto L1/Terra-Sol, e mais tarde até os locais de observação dos cometas Giacobini-Zinner e Halley.(http://guinan.gsfc.nasa.gov/Images/misc_missions/isee3_traj.gif)