introdução à teoria dos grafos: caminhos hamiltonianos e
TRANSCRIPT
1
Introdução à Teoria dos grafos: caminhos Hamiltonianos e passeios Eulerianos
Cecilia Alcantara
Isabel Gonçalves
Simone Dantas
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática e Estatística
2
Introduzir conceitos de teoria dos
grafos através de caminhos
hamiltonianos e passeios Eulerianos.
Passeando em grafos (tabuleiro, Desafios 1 e 2,
Anexo 1)
Folhas e lápis;
Giz e apagador;
Fita Adesiva.
3
A atividade Passeando em Grafos deve ser realizada em grupos de 3 alunos.
Durante a atividade, cada trio receberá 1 tabuleiro, 1 folha do Desafio 1, 1
folha do Desafio 2, e 1 folha de rascunho.
A atividade é composta por dois desafios. Em cada desafio os alunos devem
encontrar um percurso no mapa de acordo com as condições determinadas
pelo problema. Os alunos devem trabalhar em conjunto para desenvolver a
solução e devem explicar o motivo da resposta dada.
Imprima uma cópia do Desafio 1 (página 11) e uma cópia do Desafio 2
(página 12) para cada trio.
Imprima uma cópia do arquivo Anexo 1. Recorte as folhas na parte
pontilhada. Utilizando a fita adesiva, cole as figuras no quadro na mesma
disposição que o tabuleiro da página 17. Utilizando um giz, ligue as figuras
reproduzindo o mapa deste tabuleiro.
Separe uma folha em branco por grupo para possíveis rascunhos dos alunos.
Divida a turma em grupos de 3 alunos e distribua o Desafio 1 e uma folha de
rascunho.
Peça que um aluno de cada trio leia o desafio em voz alta para o grupo e que
eles discutam o problema entre eles. Depois que todos os alunos terminarem,
recolha os desafios e folhas de rascunho.
Distribua o Desafio 2. O objetivo deste desafio é proporcionar ao aluno maior
familiaridade com a modelagem do problema utilizando a representação
geométrica de um grafo, sem que ele saiba se tratar do mesmo. Não se deve
falar a palavra Grafo neste momento.
4
Este desafio não possui solução, mas chegar a essa conclusão não é imediato.
O professor deve proporcionar um tempo de reflexão aos alunos e motivá-
los com perguntas tais como:
• Tentaram iniciar por todos os estabelecimentos?
• Acham que existem ruas “atrapalhando”?
• O que está atrapalhando vocês de resolver o desafio?
Proponha uma pergunta de cada vez, fornecendo um tempo entre elas, para
tentar estimular o pensamento crítico dos alunos.
Nesta parte da atividade os alunos devem escrever as suas suspeitas do
porquê não estão conseguindo resolver o problema. Este processo de
investigação é fundamental para o bom desenvolvimento da próxima etapa.
Passado o tempo, ou seja, quando sentir que já terminaram a discussão,
recolha novamente todo material dos alunos.
Utilizando o mapa construído com as figuras coladas no quadro, mostre as
possíveis resoluções do Desafio 1 para os alunos.
Observação: caso o professor tenha acesso à um projetor, também é possível
utiliza-lo nessa etapa, projetando a imagem do mapa da pagina 17 no quadro,
ao invés de imprimir o Anexo 1.
Solução 1:
5
Solução 2:
Depois, pergunte aos alunos se eles conseguiram resolver o Desafio 2.
Pergunte se eles identificam o motivo da impossibilidade da resolução do
segundo desafio e discuta sobre a resposta negativa. Pergunte também o que
eles fariam para tornar o desafio possível.
A seguir, exibimos duas opções de tornar o Desafio 2 possível:
Solução 1: eliminar ruas que ligam o salão de beleza ao restaurante e o salão
de beleza à pizzaria.
6
Desta maneira, uma resolução seria:
Solução 2: adicionar uma rua entre o restaurante e o mercado.
Desta maneira, uma resolução seria:
1 5
4
9
3 2
6 8 7
1
5
4
9
3
2
6
8
7
10 11
12
7
Finalmente, explique aos alunos que os conteúdos trabalhados no jogo são os
Caminhos Hamiltonianos e Passeios Eulerianos., descritas a seguir. Coloque
no quadro as definições de Grafo, Grafo Conexo, Passeio, Grau de um vértice,
Caminhos Hamiltonianos e Passeios Eulerianos. As definições de grafo
conexo e grau de um vértice são necessárias para a proposição que explica a
impossibilidade do Desafio 2. Depois, escreva no quadro a proposição que
esclarece o impedimento do segundo desafio, como sugerido a seguir.
Grafo G = (V,E) é um conjunto finito não vazio V e um conjunto E de
pares não-ordenados de elementos distintos de V. Os elementos de V
são chamados vértices do grafo e os elementos e=(v,w) de E são as
arestas de G (v e w são elementos de V).
Grafo conexo: existe um caminho entre qualquer par de vértices.
8
Passeio: sequência alternada de vértices e arestas.
Caminho Hamiltoniano: passeio que contém cada vértice do grafo
uma única vez.
Passeio Euleriano: passeio que contém cada aresta do grafo uma
única vez.
9
Nesse momento fale novamente a definição de caminho Hamiltoniano e
passeio Euleriano. Explique bem a diferença entre os dois: caminho
Hamiltoniano percorre cada vértice do grafo uma única vez e passeio
Euleriano percorre cada aresta do grafo uma única vez.
Grau de um vértice v: número de arestas incidentes a v.
Proposição: um grafo conexo possui passeio Euleriano se e somente
se possui no máximo dois vértices de grau ímpar.
Observação: vértices em vermelho possuem grau impar.
10
Distribua para cada aluno uma cópia da ficha de verificação de aprendizagem (página com título "Agora é com você!"), e peça que os alunos respondam às questões explicando o motivo de cada resposta. Note que após a página com a verificação de aprendizagem encontra-se a
ficha com as "Resoluções para o Professor".
Bru
no
pro
du
z d
oce
s e
real
iza
entr
egas
pel
o b
airr
o. E
le r
epre
sen
tou
no
map
a o
s es
tab
ele
cim
ento
s q
ue
fize
ram
ped
ido
par
a sá
bad
o.
Par
a n
ão p
erd
er t
emp
o e
co
nse
guir
rea
lizar
to
das
as
entr
egas
no
mes
mo
dia
, Bru
no
não
qu
er p
assa
r d
uas
vez
es n
a m
esm
a lo
ja. É
po
ssív
el
ach
ar u
m t
raje
to d
e ta
l fo
rma
qu
e el
e p
asse
po
r ca
da
esta
bel
ecim
ento
do
map
a u
ma
ún
ica
vez?
Se
sim
, qu
al s
eria
o t
raje
to?
Ha
mb
urg
ue
ria
Me
rca
do
Piz
zaria
Sa
lão
de
Be
leza
Re
sta
ura
nte
Ca
fete
ria
Pa
da
ria
Dep
ois
das
en
treg
as, B
run
o p
erce
beu
qu
e a
pro
du
ção
de
do
ces
foi m
aio
r d
o q
ue
o e
nco
men
dad
o. P
ara
com
pen
sar
este
err
o e
le
dec
idiu
pas
sar
po
r to
das
as
ruas
do
bai
rro
ofe
rece
nd
o o
s d
oce
s p
ara
qu
em q
uis
esse
co
mp
rar
a va
rejo
no
dia
seg
uin
te. C
om
um
a
can
eta
e u
m p
apel
fez
rap
idam
ente
um
des
enh
o s
imp
lific
ado
do
map
a p
ara
con
segu
ir p
ensa
r m
elh
or.
É p
oss
ível
en
con
trar
ess
e tr
ajet
o?
Nome: Turma:
Leia e responda atentamente as questões a seguir.
1) A figura abaixo representa a cidade de Königsberg no século XVIII, suas 4 ilhas e as pontes
que as conectavam.
É possível passar por todas as 7 pontes somente uma vez em cada uma delas? Faça um grafo
que modele a cidade e explique como chegou na sua resposta.
Agora é com você!
2) Exiba, no grafo abaixo, um caminho hamiltoniano que comece e termine no mesmo vértice.
1) A figura abaixo representa a cidade de Königsberg no século XVIII, suas 4 ilhas e as pontes
que as conectavam.
É possível passar por todas as 7 pontes somente uma vez em cada uma delas? Faça um grafo
que modele a cidade e explique como chegou na sua resposta.
RESOLUÇÃO:
Grafo que modela a cidade:
Não é possível passar por todas as pontes somente uma vez em cada uma delas, pois os
quatro vértices tem grau ímpar e, segundo a proposição dada na sala de aula, não é
possível passar por todas as arestas de um grafo que possui mais de dois vértices com grau ímpar.
Resoluções para o professor
C
B
D
A
2) Exiba, no grafo abaixo, um caminho Hamiltoniano que comece e termine no mesmo
vértice.
RESOLUÇÃO:
Exemplos de soluções:
4
5 8
1 e 9
2 3
6 7 1 e 9
2 3
4
5 8
7 6
2
3 6
7
8 1 e 9
4 5 1 e 9
2 5
6
7 8
3 4
Ha
mb
urg
ue
ria
Me
rca
do
Piz
zaria
Sa
lão
de
Be
leza
Re
sta
ura
nte
Ca
fete
ria
Pa
da
ria
Sugestões? Mande mensagem para: [email protected]
Para acompanhar nossas notícias, acesse o site
http://www.antenabrasil.uff.br
ou nossa página no Facebook:
https://www.facebook.com/antenabrasileiradematematica/
Agradecemos a professora Telma Silveira Pará pela cuidadosa revisão do trabalho e pela colaboração nas pesquisas científicas envolvendo a aplicação deste material na Escola Técnica Estadual Adolph Bloch (ETEAB), da rede Fundação de Apoio à Escola Técnica (FAETEC) do Rio de Janeiro. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001, e das seguintes instituições e órgãos de fomento brasileiros: