Limites e Conjuntos Abertos

Uma sequência de números reais é uma função �: ℕ → ℝ, ou seja, que atribui a cada número

natural um número real. Logo uma sequência {��, �, ��, … } é formada por números reais �� onde � = 1, … , �, advindos de números naturais, em que ��1� = ��, ��2� = �, … , ���� = ��.

Uma sequência pode ser denotada por {��}���� .

I. Limite de uma Sequência

Existem basicamente três tipos de sequências:

a) Sequências cujos valores se aproximam de um valor limitante, ou seja, TENDEM para

um valor;

b) Sequências que aumentam indefinidamente;

c) Sequências que oscilam em um determinado ponto.

Estamos interessados, nesse caso, no tipo (a) de sequências.

Para definirmos o conceito de limite precisamos definir primeiro o conceito de intervalo cujos

números se encontram próximos uns dos outros.

• Intervalo (��): Seja � um número que se aproxima de �, ����� um pequeno intervalo

em que �, � ∈ ��, e > 0 um número real pequeno: ����� = {� ∈ ℝ: |� − �| < }

Isso significa que |� − �| (distância de � para �) é menor que (número infinitamente

pequeno.

• Limite (definição superficial): Seja {��}���� uma sequência e � ∈ ℝ, dizemos que � é

um limite se ∀ > 0 ∃ ) > 0 tal que ∀� ≥ ), �� ∈ �����.

Isso significa que a partir de certo elemento da sequência {��}���� os elementos que se seguem

se aproximam ou se encontram cada vez mais próximos do elemento limitante (ou seu limite).

• Subsequência: Seja {��}���� uma sequência determinada por �: ℕ → ℝ, tome + um

subconjunto infinito de ℕ igual a {��, �, ��, … }. A partir do subconjunto definimos

uma nova sequência {,-}, onde os elementos pertencentes a essa sequência são: ,- = ��. , / = 1, 2, 3, …

Essa nova sequência {,-}-��� é chamada de subseqüência da sequência original {��}���� .

• �-bola: Seja � um vetor em ℝ1 e seja > 0. A -bola sobre � é: 2���� ≡ {� ∈ ℝ: ‖� − �‖ < }

Isso significa que uma -bola é um conjunto que contém � ∈ ℝ1 onde a distância de � para �

é menor que o raio, ou seja, menor que . Como > 0, 2���� pode ser chamada de bola aberta; se a -bola fosse definida com ≥ 0, 2���� poderia ser chamada de bola fechada.

• Convergência: Uma sequência {��}���� converge para um vetor � se, ∀ > 0 ∃ ) >0 ∈ ℝ tal que ∀ � > ), �� ∈ 2����, isto é: 5���, �� = ‖�� − �‖ <

O vetor � é chamado de limite de uma sequência.

Logo, uma sequência {��}���� converge para um vetor � se, ao selecionarmos um �� desta

sequência, onde � > ), temos que a distância de �� para � é sempre menor que (um número

positivo pequeno), ou seja, �� ∈ 2����. O ), nesse caso, representa certo número da sequência em

que, a partir deste número, a sequência se aproxima de seu limite.

• Ponto de Acumulação: O vetor � é um ponto de acumulação da sequência {��}����

se, ∀ > 0 , existem uma infinidade de números inteiros � tal que ‖�� − �‖ < . O

limite é um caso especial de ponto de acumulação.

II. Conjuntos Abertos

Para entender as definições a seguir é necessário o conhecimento dos pontos anteriores, em

especial os conceitos de bola aberta e bola fechada.

• Conjunto Aberto: Um conjunto 6 em ℝ1 é aberto se para cada � ∈ 6, existe uma -

bola aberta ao redor de � completamente contida em 6: � ∈ 6 ⟹ existe > 0 tal que 2���� ⊂ 6

Um conjunto aberto 6 que contem o ponto � é chamado de vizinhança aberta de �.

A palavra “aberta” possui a conotação de “sem fronteira”, ou seja, qualquer ponto do conjunto

pode se mover uma pequena distância em qualquer direção e ainda estar contido no conjunto.

• Interior: Suponha que 6 seja um subconjunto de ℝ�. Denotaremos como ��9�6� a

união de todos os conjuntos abertos contidos em 6. O conjunto aberto ��9�6� é

chamado de interior de 6.

Por sua definição, o interior de um conjunto pode ser considerado o maior conjunto aberto

contido num conjunto.

III. Conjuntos Fechados

Segue-se a definição de um conjunto fechado:

• Conjunto Fechado: Um conjunto 6 em ℝ1 é fechado se, para toda sequência {��}���� convergente completamente contida em 6, seu limite também está contido em 6.

Consequentemente, da definição, os conjuntos fechados devem conter suas “fronteiras”,

exatamente o oposto dos conjuntos abertos.

• Fecho ou Aderência: Suponha que 6 seja um subconjunto de ℝ�. Denotaremos como :; a interseção de todos os conjuntos fechados que contém 6. O conjunto fechado :; é

chamado de fecho ou aderência de 6.

Assim, o fecho de um conjunto 6 é o menor conjunto fechado que contém 6.

• Fronteira: Um ponto � está na fronteira de um conjunto 6 se toda bola aberta sobre �

contém ambos os pontos em 6 e pontos no complemento de 6.

Isso significa que um ponto � está na fronteira de um conjunto 6 se há pontos dentro de 6

arbitrariamente próximos de � (ou tendendo a �) e pontos fora de 6 (complemento de 6)

arbitrariamente próximos de � (ou tendendo a �).

IV. Conjunto Compacto

Para o conceito de conjunto compacto (relativamente simples) precisamos definir o que é um

conjunto limitado.

• Conjunto Limitado: Um conjunto 6 em ℝ� é limitado se existe um número 2 tal que ‖�‖ ≤ 2, ∀ � ∈ 6, isto é, se 6 está contido em alguma bola em ℝ�.

• Conjunto Compacto: Um conjunto 6 em ℝ� é compacto se, e somente se, ele é

fechado e limitado.

Uma característica interessante dos conjuntos compactos é que qualquer sequência

definida num conjunto compacto contém uma subseqüência convergente, um

resultado conhecido como Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Funções de Várias Variáveis

Aqui serão expostas apenas as definições mais importantes das funções. Conceitos mais

comuns – como imagem, domínio e contradomínio – serão considerados como conhecidos e não serão

tratados nessa revisão.

I. Tipos Especiais de Funções

1. Função Linear em ℝ=

• Definição: Uma função linear de ℝ= para ℝ1 é uma função � que preserva a

estrutura de espaço vetorial: ��� + ,� = ���� + ��,� e ����� = �����

Para todo � e , em ℝ= e todos os escalares �. Funções lineares também são

chamadas de transformações lineares.

Funções lineares em ℝ= podem ser associadas com um vetor único ? ∈ ℝ=,

logo:

���� = ? ∙ � = �?� ⋯ ?=� B��⋮�=D

Portanto, vale o Teorema:

Seja uma função linear �: ℝ= → ℝ1. Então, existe uma matriz E1×=

tal que ���� = E�, ∀ � ∈ ℝ=.

2. Forma Quadrática

• Definição: Uma forma quadrática em ℝ= é uma função real de forma:

G���, … , �=� = H ?�-���-�

�,-��

As curvas de nível das formas quadráticas recebem o nome de seções cônicas.

Uma observação importante pode ser feita a partir de um Teorema:

A função quadrática padrão:

G���, … , �=� = H ?�-���-�

�,-��

Pode ser escrita como:

��� � ⋯ ���IJJK

?�� �?��?� ?⋯⋯

�?���?�⋮ ⋮ ⋱ ⋮�?�� �?� ⋯ ?�� MNNO B���⋮��

D

Isto é: �PE�, onde E é uma matriz simétrica. Similarmente, se E é

uma matriz simétrica então a função real G��� = �PE� é uma forma

quadrática.

3. Polinômio

Para se definir um polinômio precisamos tomar conhecimento dos monômios:

• Definição: Uma função �: ℝ= → ℝ� é um monômio se pode ser escrita como: ����, … , �=� = Q��RS�RT ⋯ �=RU

Onde Q é um escalar e os expoentes ?�, … , ?= são números não negativos. A

soma dos expoentes é chamado de grau do monômio.

Agora podemos discutir acerca do conceito de polinômio:

• Definição: Uma função �: ℝ= → ℝ� é chamada de polinômio se � é uma

soma finita de monômios em ℝ=. O grau mais alto que ocorre entre esses

monômios é chamado de grau do polinômio. Uma função �: ℝ= → ℝ1 é

chamada de polinômio se cada uma das funções que o compõe é um

polinômio real.

II. Função Contínua

• Definição: Seja � uma função de �: ℝ= → ℝ1. Seja �V um vetor em ℝ= e , = ���V� sua

imagem. A função � é contínua em �V se, toda vez que alguma sequência {��}���� em ℝ=

convergir para �V, então a sequência {�����}���� em ℝ1 convergirá para ���V�. A função

é dita contínua se é contínua em todo ponto de seu domínio.

Essa definição diz que � é contínua em �V se é possível prever a imagem de � em �V apenas

conhecendo as imagens de todos os �’s próximos de �V.

Cálculo de Várias Variáveis

Para aplicar o cálculo em funções de várias variáveis trabalhamos a partir do conceito mais

simples, isto é, mudamos uma variável por vez, mantendo todas as outras constantes. Esse método é

conhecido como derivada parcial, pois, realizando esse procedimento, não demonstramos interesse

na variação total da função, apenas na variação parcial.

I. Derivada Parcial

• Definição: Seja �: ℝ� → ℝ. Então para cada variável �� em cada ponto �V = ���V, … , ��V�

no domínio de � W�W�� ���V, … , ��V� = lim[→V �\��V, … , ��V + ℎ, … , ��V^ − �\��V, … , ��V, … , ��V^ℎ

se esse limite existe. Apenas a �-ésima variável muda, enquanto as outras são tratadas

como constantes.

Observe que na definição apenas a �-ésima variável muda ���V + ℎ�, enquanto as outras não

sofrem alteração do ℎ.

II. Derivada Total

Considere a função _��, ,� de duas variáveis na vizinhança de um dado ponto ��∗, ,∗�, se

mantermos , fixo em ,∗ e mudarmos �∗ para �∗ + ∆�, então:

_��∗ + ∆�, ,∗� − _��∗, ,∗� ≈ W_W� ��∗, ,∗�∆�

Isso implica dizer que, similarmente à interpretação de derivadas de uma variável, cdce ��∗, ,∗�

mede como uma mudança ∆� em � afeta ,.

Similarmente podemos aplicar uma mudança ,∗ + ∆, em ,∗:

_��∗, ,∗ + ∆,� − _��∗, ,∗� ≈ W_W, ��∗, ,∗�∆,

O efeito dessa variação combinada é, basicamente, a soma dos efeitos de cada mudança

individual nas variáveis:

_��∗ + ∆�, ,∗ + ∆,� − _��∗, ,∗� ≈ W_W� ��∗, ,∗�∆� + W_W, ��∗, ,∗�∆,

Podendo ser escrita como:

_��∗ + ∆�, ,∗ + ∆,� ≈ _��∗, ,∗� + W_W� ��∗, ,∗�∆� + W_W, ��∗, ,∗�∆,

1. Aproximação Linear

Podemos interpretar a equação acima dizendo que a mudança

_��∗ + ∆�, ,∗ + ∆,� − _��∗, ,∗�

Pode ser aproximada pelo mapeamento linear

�∆�, ∆,� ⟼ W_W� ��∗, ,∗�∆� + W_W, ��∗, ,∗�∆,

Que pode ser escrito em forma de matriz como

gW_W� ��∗, ,∗� W_W, ��∗, ,∗�h g∆�∆,h

Consideramos agora a matriz

gW_W� ��∗, ,∗� W_W, ��∗, ,∗�h

Como representante do mapeamento linear de _ ao redor de ��∗, ,∗�. Nesse sentido,

nós chamamos esse mapa linear e a matriz que o representa de derivada de _ em ��∗, ,∗� e

escrevemos como:

i_��∗, ,∗� = i_�e∗,j∗� = gW_W� ��∗, ,∗� W_W, ��∗, ,∗�h

Essa discussão é importante, pois, além de ser comum formar matrizes cujos

elementos são derivadas parciais, o mapeamento que essa matriz representa é a aproximação

linear de _ em ��∗, ,∗�.

Notação. No caso em que avaliamos o plano tangente ao gráfico de uma função _ no

ponto ��∗, ,∗�, utilizaremos 5�, 5, e 5_ para denotar o diferencial:

5� = ∆�, 5, = ∆, k 5_ = W_W� ��∗, ,∗�5� + W_W, ��∗, ,∗�5,

Assim como é feito para funções de uma variável. A expressão acima para 5_ em

termos de 5� e 5, é chamada de diferencial total de _ em ��∗, ,∗�.

III. Regra da Cadeia

1. Curvas

• Definição: Uma curva em ℝ� é uma �-upla de funções contínuas ��9� = ����9�, … , ���9��

Onde cada �� mapeia de ℝ a ℝ. As funções ���9� são chamadas de funções

coordenadas e 9 é o parâmetro que descreve a curva. A �-upla ����9�, … , ���9��

descreve as coordenadas da curva no ponto aonde o valor do parâmetro é 9.

Para esclarecer essa definição pense no parâmetro 9 como sendo a variável tempo,

então ��9� = ����9�, … , ���9�� seria a posição de um ponto em sua trajetória no ℝ� no

instante 9.

• Definição: Uma curva ����9�, … , ���9�� é regular se, e somente se, todo ��′�9� é

contínua em 9 e ����9�, … , ���9�� ≠ �0, … , 0�.

• Definição: Uma função �: ℝ� → ℝ é continuamente diferenciável (ou n�) em

um conjunto aberto o ⊂ ℝ� se, e somente se, para todo �, cpceq ��� existe para todo � em o e é contínua em �. Similarmente, a curva �: �?, r� → ℝ� é continuamente

diferenciável (ou n�) se cada componente da função ���9� é continuamente

diferenciável.

Teorema – Regra da Cadeia I

Seja ��9� = ����9�, … , ���9�� uma curva n� em um intervalo sobre 9V e �

uma função n� em uma bola sobre ��9V�, então s�9� ≡ �����9�, … , ���9�� é uma

função n� em 9V e 5s59 �9V� = W�W�� \��9V�^��t �9V� + ⋯ + W�W�� \��9V�^��t �9V�

Algumas vezes a Regra da Cadeia pode ser denotada por:

5�59 = W�W�� ∙ 5��59 + ⋯ + W�W�� ∙ 5��59

Teorema – Regra da Cadeia II

Considere uma função u: ℝv → ℝ�, u�9� = �u��9�, ⋯ , 9v�, u�9�, ⋯ , 9v�, … , u��9�, ⋯ , 9v��.

Então, para qualquer função �: ℝ� → ℝ�, a função composta s�9�, … , 9v� ≡ �\u��9�, u�9�, … , u��9�^

é uma função de ℝv para ℝ�. Diferenciamos essa função variando um 9� de cada

vez, mantendo os outros fixos WsW9� �9� = W�W�� \u�9�^ ∙ Wu�W9� �9� + ⋯ + W�W�� \u�9�^ ∙ Wu�W9� �9�

2. Derivadas Direcionais

As derivadas direcionais denotam como a Regra da Cadeia nos permite computar a

taxa em que uma função _���, … , ��� muda em certo ponto �∗ e em certa direção w =�w�, … , w��. Para isso, parametrizamos a direção (vetor) w em relação ao ponto �∗ escrevendo

a equação parametrizada da reta que passa por �∗ na direção w:

� = �∗ + 9w

A função _ passa ser avaliada junto a essa reta e é denotada por:

s�9� ≡ _��∗ + 9w� = _���∗ + 9w�, … , ��∗ + 9w��

Para analisarmos como _ varia ao longo dessa reta, usamos a Regra da Cadeia para

derivar s em 9 = 0:

st�0� = W_W�� ��∗�w� + ⋯ + W_W�� ��∗�w�

ou em notação matricial

g W_W�� ��∗� ⋯ W_W�� ��∗�h xw�⋮w�y = i_e∗ ∙ w

Essa expressão é chamada de derivada de z em {∗ na direção |. Outras notações

equivalentes são: cdc} ��∗� e i}_��∗�

3. Vetor Gradiente

O vetor gradiente indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma

quantidade por unidade de espaço. Vimos que a derivada direcional permite que computemos

a taxa em que uma função muda em certo ponto dada certa direção, essa é uma das aplicações

do vetor gradiente que pode ser denotado por:

∇_��∗� =IJK

W_W�� ��∗�⋮W_W�� ��∗�MNO

Assim podemos pensar nesse vetor-coluna como sendo um vetor em ℝ� com a sua

calda em �∗. As características importantes de um vetor são seu comprimento e sua direção.

Observe que a derivada direcional de _ em � na direção w, i_��∗�, pode ser representado

pelo produto interno dos vetores ∇_��∗� e w:

∇_��∗� ∙ w =IJK

W_W�� ��∗�⋮W_W�� ��∗�MNO ∙ xw�⋮w�y = H W_W�� ��∗��

��� w�

Note que nos concentramos apenas na direção w, ignorando o comprimento ‖w‖. Para

enfatizar ainda mais essa ideia, trabalharemos apenas com ‖w‖ = 1.

Utilizando as propriedades de produto interno na equação acima podemos obter:

∇_��∗� ∙ w = ‖∇_��∗�‖‖w‖ cos �

Como consideramos ‖w‖ = 1:

∇_��∗� ∙ w = ‖∇_��∗�‖ cos �

Onde � é o ângulo entre os vetores ∇_��∗� e w com base no ponto �∗

Otimização

I. Formas Quadráticas e Matrizes Definidas

Uma forma quadrática sempre assume o valor zero no ponto � = 0.