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  • 1. Mtodos Quantitativos Aplicados Gesto Autor Eduardo Arajo2. edio 2009

2. 2006-2008 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentordos direitos autorais. A663M Arajo, Eduardo. / Mtodos Quantitativos Aplicados Gesto./ Eduardo Arajo. 2 ed. Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2009. 188 p. ISBN: 978-85-7638-956-9 1. Matemtica Financeira. 2. Matemtica. 3. Estatstica. I. Ttulo. CDD 650.01513Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A.Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 Batel80730-200 Curitiba PR www.iesde.com.br 3. SumrioFundamentos da Matemtica | 7Equao do 1. grau | 7Razo | 9Proporo | 10Regra de trs | 11Funo do 1. grau | 12A porcentagem: consideraes bsicas e importantes | 21Definio e generalizaes | 21A porcentagem como uma parte do todo | 23Regras de arredondamento | 26A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda | 27Estatstica I | 35Distribuio de freqncias para dados no-agrupados | 36Representao grfica de dados no-agrupados | 38Estatstica II | 45A mdia aritmtica para dados no-agrupados | 45A moda para dados no-agrupados (Mo) | 46A mediana para dados no-agrupados (Md) | 46A mdia ponderada para dados no-agrupados (Xw ) | 47Agrupando os conhecimentos | 48Curiosidade | 49Medidas de variabilidade para dados no-agrupados | 57Simplificando a definio | 57A varincia (2 ), o desvio-padro () e a amplitude (A) para dados no-agrupados (Xw ) | 58Agrupando os conhecimentos | 61Concluindo e comparando | 62 4. Trabalhando com dados agrupados | 67Construindo a tabela de freqncia | 67Medidas de tendncia central para dados agrupados: a mdia, a moda e a mediana | 69Medidas de variabilidade para dados agrupados: a varincia, o desvio-padro e a amplitude total | 71Introduo Matemtica Financeira: juros simples | 77Noes bsicas | 77Clculo dos juros simples (J) | 78Clculo do valor futuro ou montante (VF) | 80Capitalizando e descapitalizando capitais | 82Desconto simples | 87Definio operaes de desconto | 87Desconto racional (DR) ou por dentro (taxas de juros) e o desconto nominal ou por fora | 88Relao entre taxa de desconto e taxa de juros | 90Equivalncia de capitais | 95Igualando os valores atuais | 95Operaes com juros compostos | 101Definio de juros compostos | 101Clculo do montante de juros compostos para perodos no-inteiros | 104Anexos | 113Tabela 1 | 113Tabela 2 | 125Gabarito | 137Teste de reviso | 175Referncias | 187 5. Em nosso cotidiano, estamos cercados de situaes que nos exigem pro-ximidade com o universo matemtico e quantitativo. Expresses comojuros, taxas percentuais, indicadores, dficit, entre outras so componen-tes de comunicao apresentadas nas ruas, no rdio, na TV e nos jornaisa todo momento.Os negcios, cuja importncia indiscutvel em tempos de globalizao,encontram-se diretamente vinculados evidncia de decises quantita-tivas. Os grficos instrumentalizados e as anlises numricas realizadaspelos gestores mediante o levantamento de dados, proporcionam umconhecimento mais profundo e detalhado de sua realidade, minimizan-do o erro na tomada de deciso.O papel dos mtodos quantitativos nas empresas est intimamente li-gado aos processos decisrios estratgicos das mais diferentes reas daadministrao, desde os recursos humanos, passando pelas finanas,marketing, produo e logstica. O uso deste conhecimento uma ferra-menta fundamental a ser incorporada experincia, inteligncia e intui-o no diagnstico, avaliao e tomada de deciso.Os mtodos explicados aqui alguns advindos da economia, finanas ede outras reas compem o objeto de estudo deste livro, cuja principalfuno a de ser um guia para a compreenso do correto funcionamen-to de tais mtodos e a melhor forma de aplic-los s possveis situaesde sua rotina.Boa leitura! 6. Resumo Existem fundamentos de Matemtica que so imprescindveis nas diversas formaes profissio-nais. Mdicos, arquitetos, engenheiros, administradores, gestores e tantos outros profissionais utilizama Matemtica para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratar, dessaforma, dos principais conceitos de Matemtica bsica que so fundamentais para a sua formao.Fundamentos da Matemtica Eduardo Arajo*Equao do 1. grauChamamos de equao do 1. grau na incgnita x toda equao que pode ser escrita na formaax=b, sendo a e b nmeros racionais, com a diferente de zero.Vamos entender a definio?Equao: toda sentena composta por uma (ou mais) incgnita(s) e uma igualdade.Incgnita: o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).Grau: dado pelo maior expoente da incgnita.O valor da incgnita, que torna uma equao verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equao. Em igualdades matemticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguaisaos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantm. claro, se fizermos as mesmas opera-es, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermosequaes do primeiro grau, utilizaremos operaes matemticas de ambos os lados da igualdade atque a incgnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:* Mestre em Ensino de Cincias e Matemtica pela Universidade Luterana do Brasil (ULBRA). Especialista em Educao a Distncia pelo ServioNacional de Aprendizagem Comercial (Senac). Graduado em Matemtica pela ULBRA. 7. 8 |Mtodos Quantitativos Aplicados Gesto 2x + 10 = 18Para isolarmos o termo 2x, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja: 2x + 10 10 = 18 10 2x + 0 = 82x = 8 Para eliminarmos o valor 2 que multiplica nossa incgnita, dividiremos ambos os lados da igual-dade por 2, e ficamos com:2x 8 = 2 2 x=4 Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operaes em ambos os membros da igualda-de com os mesmos valores, a igualdade permanecer verdadeira. Como nosso objetivo sempre isolar a incgnita, podemos eliminar esses termos conforme nossanecessidade. Veja outro exemplo:y y+ = 153 22y +3y 90= 66(nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2)5y = 90 5y 90=5 5 y =18Uma maneira simplificada de resolver equaes dessa forma passando termos semelhantes deum lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operao matemtica que est sendo reali-zada (lembre-se: adio o inverso de subtrao e multiplicao o inverso de diviso). Observe:Se 3x + 4 =19, qual o valor de x que resolve essa equao?Soluo: 3x = 19 4 (enviando o elemento 4 e invertendo a operao de adio) 3x = 15 (resolvendo 19 4) 15 x=(enviando o elemento 3 e invertendo a operao de multiplicao)3 x=5Veja outros exemplos:Ex: 3x + 5 = 7 8. Fundamentos da Matemtica | 9Soluo: 3x = 7 5 3x = 12 12 x=3 x = +4Testando a resposta encontrada: 3 . 4 + 5 = 7 12 + 5 = 7 7 = 7 Ok!Ex: 4 2k = 4k 8Soluo: 2k 4k = 8 4 6k = 12 12 k=6 k = +2Como voc pode perceber, resolver equaes do primeiro grau bastante simples. O mtodosimplificado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operaoque estamos realizando, at que tenhamos nossa incgnita isolada.Razo A palavra razo derivada do latim ratio e significa diviso. Ou seja, para obtermos a razo entredois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomnio com 40 apar-tamentos, 12 sejam de 3 dormitrios, 18 sejam de 2 dormitrios e 10 de 1 dormitrio. Qual ser a razoentre o nmero de apartamentos de 3 e de 2 dormitrios?Razo entre o nmero de apartamentos de 3 e de 2 dormitrios 12: 62 = 18: 6 3 Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitrios, h 3 apartamentos de 2 dormi-trios. 9. 10 |Mtodos Quantitativos Aplicados Gesto Razo entre o nmero de apartamentos de 3 dormitrios e o total de apartamentos: 12: 4 3= 40: 4 10 Portanto, essa razo ser: para cada 10 apartamentos do edifcio, 3 so de 3 dormitrios.Esse conceito de razo, que nada mais do que a diviso entre dois elementos, ser fundamentalpara que possamos entender o conceito de proporo que veremos a seguir.ProporoUma proporo uma igualdade entre duas razes. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo,formam uma proporo, pois representam uma mesma quantidade. Ento, quando falamos que duascoisas so proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporo entre si. Veja um outroexemplo:2 3 e representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.8 12 Propriedade:Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios, ou seja:a cSe = (ou ainda, a : b = c : d), sempre ser verdadeiro que:b d a c = b d a.d=b.cVamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores? 2 3Se eformam uma proporo, ento 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e so, pois ambos 8 12geram o mesmo resultado, que 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma propor-o, veja: x 3Se = ento: 4 2 2x = 3 . 42x = 12 12x= =6 2O conceito de razo foi importante para entendermos o de proporo. O conceito de proporo, queagora estudamos, ser a base para compreendermos o conceito de regra de trs, nosso prximo tema. 10. Fundamentos da Matemtica | 11Regra de trsA regra de trs , possivelmente, um dos conceitos bsicos de Matemtica mais utilizadoshoje em dia. Ela trata de uma simples relao linear na qual conhecemos trs elementos, relaciona-dos entre si, e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporo. Como voc pode notar, re-gra de trs e propores so conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de trs nadamais do que uma proporo, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostosos dados em uma regra de trs::::: os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na mesma coluna;:::: para analisarmos se a proporo direta ou inversa, seguiremos os seguintes critrios: :::: se, ao aumentarmos o valor de uma varivel, a outra tambm aumentar seu valor (ou vice-versa), a relao ser direta e resolvemos o problema como em uma proporo: trata-se deuma regra de trs direta; :::: se, ao aumentarmos o valor de uma varivel, a outra diminuir (ou vice-versa), a relao serinversa. Nesse caso, invertemos a posio dos elementos de uma das razes e resolvemos oproblema como em uma prop