Revisão de conceitos Matemáticos

Matemática e Fundamentos de Informática

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ConjuntosTeoria dos conjuntos✴Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos).

✴Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc.

✴Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive.

✴Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade o número de elementos que contém.

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ConjuntosRepresentação

✴Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto em maiúscula (A, B, C, ...). ✴Já os elementos do conjunto são representados por letras minúsculas. ✴A representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:✴A = {v,x,y,z}✴Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

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ConjuntosEspecificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:P = {6,28,496}Usa-se o sinal ... para indicar um conjunto com infinitos elementos:N = {1,2,3,4,5,...}Subconjuntos são representados com chaves dentro de chaves:T = {{1,6},{5,8}}

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ConjuntosEspecificando conjuntos

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:A = {x | P(x)}P é uma função que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, A = {2,4}.

A = {x ∈, x2 − 6x = −8}

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Notações matemáticas

• Valido para todo x pertencente ao conjunto A

• Usado para especificar a existência de um elemento de um conjunto com alguma propriedade, isto é para todo x pertencente a A vale uma determinada propriedade.

• ex: Se A for o conjunto formado por todos os estados Brasileiros então para todo x pertencente a A vale a propriedade: , x tem capital.

1.2 Símbolos Lógicos

∀x ∈A

∀x ∈A6

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Notações matemáticas

• Existe um elemento x em A .

• Usado para especificar alguma propriedade , isto é , existe algum elemento em x no conjunto A para o qual vale determinada propriedade.

1.2 Símbolos Lógicos

∃x ∈A

∃x ∈A Que possuem uma estatua do Cristo Redentor

A( cidades Brasileiras)7

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Conjuntos numéricos

✴Existem diversos conjuntos numéricos, que tem consideração especial em matemática. Os principais conjuntos numéricos são listados a seguir:

✴ Conjunto dos números naturais

✴ Conjunto dos números inteiros

✴ Conjunto dos números racionais

✴ Conjunto dos números irracionais

✴ Conjunto dos números reais

✴ Conjunto dos números complexos

✴ Conjunto dos números imaginários

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Conjunto dos números naturais

Os números naturais são usados para contar.

O símbolo usualmente representa este conjunto.

= {0,1,2,..}* = {1,2,3,..}

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Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b.

O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).

= {...,−2,−1,0,1,2,..}

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Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75).

Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c.

O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).

= {ab:a,b ∈,b ∉0}

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Conjunto dos números racionais

Propriedades dos números Racionais:

‣ Soma e produto de números Racionais:

ab+cd=ad + bcbd

ab* cd=acbd

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Conjunto dos números irracionais

O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero.

Estes números podem, no entanto, ser associados a pontos numa reta, a reta real.

ex: 2

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Conjunto dos números reais

• O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

• Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.

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Conjunto dos números complexos

• conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real.

• O símbolo usualmente representa este conjunto.

• Cada numero complexo é a soma dos números reais e dos imaginários: r + s j .

• Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos.

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Conjunto Vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

∅

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Relações entre conjuntos

x ∈A

Cidades Paraenses

x = Castanhal

A

xyzd

x pertence ao conjunto A

Relação de inclusãoSe x é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto A e podemos escrever . Se x não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever x ∉A

Exemplos

−16 ∈c ∈{a,b,c,d,e, f }c ∉{a,e,i,o,u}49∉

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Relações entre conjuntos

A ⊂ B xyzd

X= Castanhaly=Belémz= Santa Izabeld= Mojug= Rio de JaneiroF= São Paulo

gf

B ( Cidades Brasileiras)

A ( Cidades Paraenses)

A está contido em B

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Operações com conjuntos

UniãoA união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Matematicamente:

A = {a,e,i}B = {o,u}A B = {a,e,i,o,u}

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Operações com conjuntos

União

Vale ressaltar o seguinte:•união de um conjunto , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto

• Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja,

A ∅ = A

A (B C) = (A B)C = (A C) B

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Operações com conjuntos

A intersecção de dois conjuntos A e B , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos.Exemplos:

Intersecção

A = {1,2,3}B = {3,4,5}A B = {3}

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Operações com conjuntos

Exemplos:

Intersecção

B ( Cidades Brasileiras que começam com a letra S!!)

A ( Cidades Paraenses)

Belém

Castanhal

Ananindeua

Santa Izabel

Santo Antonio

do Tauá

São Paulo

Santos

São Caetano

A! B

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Operações com conjuntos

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a AExemplos:

Diferença

A = {1,2,3}B = {3,4,5}A − B = {1,2}

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Exercício

• Considere os seguintes conjuntos a seguir

• A={-3,-1,0,5,7,8,20}

• B=

• C=

• Determine o resultado das seguintes operações:

B C(A C) B(B C) − A

{x ∈, tal que x ≥ 3}

{x ∈*, tal que x ≥ -1}

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Produto Cartesiano✴Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. ✴O símbolo do produto cartesiano é X.✴O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A × B = {(x, y) : x ∈A, y ∈B}

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Produto Cartesiano

✴O produto cartesiano é não-comutativo:

A × B ≠ B × AQuem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

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Par ordenado✴Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma

ordem definida;

✴existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo

elemento (ou segunda coordenada).

✴Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado —

simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada

ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros

elementos são iguais e os segundos elementos são iguais.

✴Ou seja, (a,b) ≠ (b,a)

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Relações

•Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B.•Relações são, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B.

• Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação especifíca que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.

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Relações•Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados

cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento

pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B.

•Representa-se a relação binária por .

•O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B

é chamado de contradomínio da relação.

R :A→ B

Relações - relação de A em B definida por elementos de B que sejam o dobro dos elementos de A.

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Especificando relaçõesA imagem à direita mostra uma maneira comum de se

especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.

As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:

Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }B = { 1,2,3,4,5,6 }

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Representação gráfica✴Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. ✴Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. ✴O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.✴Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. ✴Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.

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Representação gráfica

Relações/funções - exemplo de gráfico, que pode ser descrito pela relação

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Função✴Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. ✴A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).✴Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).

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Intervalos

✴Outro elemento que devemos analisar são os intervalos.

✴É a partir da definição dos intervalos que podemos analisar as funções , eles nos definirão o escopo a partir do qual devemos analisar as funções

✴Existem varias representações de intervalos , vamos analisar a seguir algumas...

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Intervalos

[a,b] = {x ∈ tais que x ≥ a e x ≤ b}

A B

[a,b[= {x ∈ tais que x ≥ a e x < b}

A B

]a,b] = {x ∈ tais que x > a e x ≤ b}

A B

]a,b[= {x ∈ tais que x > a e x < b}

A B

A [a,+∞[= {x ∈ tais que x ≥ a }

]a,+∞[= {x ∈ tais que x > a }

A

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Intervalos

]− ∞,b] = {x ∈ tais que x ≤ b }

B

]− ∞,b[= {x ∈ tais que x < b }

B

* = \ {0} = {x ∈ tais que x ≠ b }

0

+ = [0,+∞[= {x ∈ tais que x ≥ 0 }

0

+

* =]0,+∞[= {x ∈ tais que x > 0 }

0

− =]− ∞,0] = {x ∈ tais que x ≤ 0 }

0

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Exercício

• Desenhe na reta real os seguinte intervalos:

a) [0,2] U ]-2,1[

b) [0,2] - ]-2,1[

c) [0,2] ]-2,1[

d) .

e)

+ −

[−1,+∞[ { [2,15[ [-3,0[ }

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Referencias[1] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.[2] G. Iezzi, Fundamentos da matemática elementar 8: Limites, derivadas , noções de integral, vol. 8, 6 ed. São Paulo: Atual, 2005.[3] wikimedia, "Matemática Elementar: Conjuntos," wikimedia, Ed.: wiki livros, 2007- http://pt.wikibooks.org/wiki/Conjuntos_Numéricos

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