Dados dois conjuntos, o conjunto de partida (A) e o conjunto de chegada (B), chamamos função a toda a correspodência que a cada elemento do conjunto de partida (A) faz corresponder um e

1. Conceito de Função

1, 2, 3 e 4 são elementos do conjunto A, logo A = {1, 2, 3, 4}. Aos elementos do conjunto A chamamos objectos. Numa função, ao conjunto A – conjunto dos objectos –

chamamos conjunto de partida ou domínio da função e representamo-lo por Df.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 e 16 são elementos do conjunto B, logo B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.

Ao conjunto B chamamos conjunto de chegada. 4, 8, 12 e 16 são elementos do conjunto C. Aos elementos do conjunto C chamamos imagens. Ao conjunto C – conjunto das imagens – chamamos contradomínio da função e representamo-lo por D’f. Dizemos que a imagem de 1 é 4 e escrevemos f(1) = 4. Dizemos que o objecto cuja imagem é 12, é o 3 e escrevemos f(3)=12.

Exemplos:

A correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (A) faz corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada (B).

Domínio: Df = { José, Catarina, Júlia }

Contradomínio: D’f = { 73, 10, 45 }

Lê-se f de 3 igual a 12.

Conjunto de chegada: B = { 73, 10, 45 }

A correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (C) faz corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada (D).

Domínio: Df = { Rui, António, Júlia }

Contradomínio: D’f = { Filipa, Tomás, Rita }

Conjunto de chegada: D = { Filipa, Pedro, Tomás, Rita }

A correspondência não é uma função porque ao elemento Mamíferos do conjunto de partida (E) faz corresponder mais do que um elemento do conjunto de chegada (F).

A correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (G) faz corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada (H).

Domínio: Df = { Petit, Brad Pitt, Eminem, Luis Figo }

Contradomínio: D’f = { Actor, Futebolista, Cantor }

Conjunto de chegada: H = { Actor, Futebolista, Cantor }

A correspondência não é uma função porque o elemento Fevereiro do conjunto de partida (I) não tem correspondência com qualquer elemento do conjunto de chegada (J).

2. Representação de uma Função

Loja de Gomas: O Luis tem por hábito visitar o centro comercial Almada Forum pelo menos uma vez por

semana. Numa das suas visitas, entrou na loja “docemania” para comprar chocolates. Comprou alguns chocolates e o preço de cada chocolate é de 0,80�.

Sabemos que o preço de cada chocolate é de 0,80�, mas não sabemos quantos chocolates o Luis comprou. No entanto, também sabemos que o valor total pago pelo Luis depende da quantidade de chocolates que comprou.

Portanto, o valor total pago pelos chocolates é função da quantidade de chocolates que o Luis comprou.

Neste caso, a variável independente é o número de chocolates, que designaremos por (c).

A variável dependente será o valor total pago pelo Luis, que designaremos por (v).

Para calcular o valor total pago pelo Luis

(v), podemos recorrer a uma equação:

v = c × 0,80 Assim, se o Luis comprar 1 chocolate,

pagará 0,80�. Basta substituir, na equação, o c por 1.

C = 1 � v = 1 × 0,80 ⇔ v = 0,80 Se o Luis comprar 2 chocolates, pagará

1,60�. Basta substituir na equação, o o c por 2.

C = 2 � v = 2 × 0,80 ⇔ v = 1,60

E consoante o número de chocolates (c) comprados pelo Luis, assim será o valor total (v) que terá que pagar.

C = 3 � v = 3 × 0,80 ⇔ v = 2,40 C = 4 � v = 4 × 0,80 ⇔ v = 3,20 C = 5 � v = 5 × 0,80 ⇔ v = 4,00 Com a informação que temos, podemos

desenhar um DIAGRAMA DE SETAS: A cada um dos elementos do conjunto de

partida (A) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (B). A essa correspondência damos o nome de função e representá-la-emos por f.

O domínio (Df) é o conjunto dos objectos.

Df = O contradomínio (D’f) é o conjunto das

imagens. D’f =

. . .

1 2

3 4

5

0,80 1,60

2,40 3,20

4,00

A B f

f

Com os mesmos dados construiremos uma TABELA:

Na 1ª linha, colocaremos os valores da variável

independente (c)– objectos. Na 2ª linha colocaremos os valores da variável

dependente (v)- imagens.

c 1 2 3 4 5

v 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00

Com os dados da tabela podemos

construir um GRÁFICO:

No eixo das abcissas (eixo horizontal) colocaremos os valores da variável independente – objectos.

No eixo das ordenadas (eixo vertical) colocaremos os valores da variável dependente – imagens.

Uma vez que os chocolates são vendidos por inteiro (porque a senhora da loja não vende apenas uma parte do chocolate) não faz sentido unir os pontos do gráfico por uma linha.

A cada um dos elementos do conjunto de

partida (A) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (B). A essa correspondência damos o nome de

função e representá-la-emos por f. Então podemos traduzir o problema da seguinte forma:

“Existe uma função f de A para B que ao

número de chocolates comprados (c) faz corresponder o seu preço (c × 0,80�).”

f : A B

c v = c × 0,80

A EXPRESSÃO ANALÍTICA da função f é:

f(c) = c × 0,80

Temos que a imagem v = f(c). Para calcularmos uma imagem, através da expressão analítica de uma função, basta substituirmos o valor do objecto.

Por exemplo, para calcular a imagem de 100, substituo c pelo objecto 100:

f(c) = c × 0,80

f(100) = 100 × 0,80 f(100) = 80

v = 80

A imagem de 100 por meio da função f é

80.

Concluíndo:

Podemos representar uma função através:

• de um diagrama de setas; • de uma tabela; • de um gráfico; • da expressão analítica.

Nº de chocolates comprados

Valo

r to

tal d

os c

hoco

late

s (�

)

Imagem (v) Objecto (c)

Exercício 1. Numa corrida de Atletismo registou-se a distância percorrida por um Atleta em função do

tempo.

Tempo em segundos 0 1 3 6 9 12

Distância percorrida em metros 0 0 8 30 70 100

1.1- Constrói um gráfico que traduza a informação dada pela tabela.

1.2- Se fosses um(a) jornalista de desporto e pretendesses relatar a corrida do Atleta, o que dirias sobre:

• o tempo que o atleta demorou a partir; R: O atleta demorou 1 segundo a partir. • a distância, em metros, da corrida; R: A corrida tinha uma distância de 100 metros. • quanto tempo demorou o atleta a terminar a corrida;

R: O atleta demorou 12 segundos a terminar a corrida. • quando é que o atleta correu mais depressa.

R: O atleta correu mais depressa dos 6 aos 9 segundos.

1.3- O gráfico seguinte representa a corrida de um outro Atleta. Constrói uma tabela idêntica à anterior, tendo em conta os dados do gráfico.

Tempo (s) 1 3 6 8 13

Distância Percorrida (m) 5 15 30 80 100

80

100

5 15

30

50

Tempo/ s

Dist

ância

Per

corri

da/ m

Tempo/ s

Dist

ância

Per

corri

da/

m

Exercício 2.

Uma torneira enche uma vazilha em 5 minutos, deixando cair 6 dm3 de água por minuto. Seja f a função que a cada minuto faz corresponder o volume de água na vazilha.

2.1- Constrói uma tabela de valores da função, de zero a cinco minutos.

Tempo (minutos) 0 1 2 3 4 5

Volume (dm3) 0 6 12 18 24 30

2.2- Constrói, com os dados da tabela, um gráfico que traduza a situação descrita no

enunciado.

2.3- Indica, por meio de f : • a imagem de 2 ; R: A imagem de 2 por meio de f é 12. • o objecto que tem por imagem 18; R: O objecto que tem por imagem 18 é o 3.

2.4- Escreve a expressão analítica da função f. R: f(t) = t × 6

2.5- Qual o volume de água, na vazilha, aos 3,7 minutos? f(t) = t × 6 ⇔ f(3,7) = 3,7 × 6 ⇔ f(3,7) = 22,2 R: Aos 3,7 minutos, o volume de água na vazilha é de 22,2 dm3.

2.6- Ao fim de quanto tempo o volume de água na vazilha é de 26 dm3?

R: O volume de água na vazilha é de 26 dm3 ao fim de, aproximadamente, 4,3 minutos.

2.7- Qual é, em litros, a capacidade da vazilha? R: Como a vazilha fica cheia aos 30 dm3 e como 1 dm3 = 1 litro, a capacidade da vazilha é de 30 litros.

3. Função Afim

Chama-se Função Afim a uma função cujo gráfico é uma recta. A expressão analítica de

uma Função Afim é da forma f(x) = kx + b, onde o k (coeficiente de x) representa o declive

da recta e o b (termo independente) representa o valor da ordenada na origem.

Exercício 1.

1.1- Considera a função f definida pela expressão analítica f(x) = x + 4 e completa a tabela seguinte:

1.2- Traça, no referencial seguinte, o gráfico correspondente à função f.

1.3- Traça, no referencial anterior, as seguintes funções:

g(x) = x + 4; h(x) = 2x + 4; j(x) = -x + 4; m(x) = -2x + 4.

1.4- O que podes dizer acerca da inclinação das rectas que representam graficamente as funções f e h? E sobre

a inclinação das rectas que representam graficamente as funções j e m? R: A recta h é mais inclinada que a recta f. A recta m é mais inclinada que a recta j.

1.5- Qual é a ordenada do ponto em que as rectas intersectam o eixo vertical (ou seja, ordenada na origem)? R: As rectas inntersectam o eixo vertical no ponto cuja ordenada é 4.

x -8 -2 0 5 6

y = f(x) -4 2 4 9 10

Para calcular a imagem de determinado

objecto basta substituir o x na expressão analítica da função f, pelo valor do objecto em questão. Por exemplo:

Para calcular a imagem do objecto -8,

substitui-se o x na expressão analítica da função f por -8, ou seja,

f(x) = x + 4 f (- 8) = - 8 + 4 f (- 8) = - 4

Portanto, a imagem de - 8 é - 4, ou seja,

y = f (- 8) = - 4

y

x

f g

h m j

4. Declive de uma recta

���� Declive Positivo k > 0 Quando o declive é positivo, a

função é crescente.

���� Declive Negativo k < 0

Quando o declive é negativo, a

função é decrescente.

���� Declive Nulo k = 0 Quando o declive é nulo, a função é constante.

Ordenada na origem Declive da recta

f(x) = kx +

5. Inclinação e Declive

6. Rectas com o mesmo declive

Representemos graficamente as seguintes funções definidas pelas respectivas expressões analíticas:

� f(x) = 2x + 1 k=2 � h(x) = 2x + 3 � m(x) = 2x + 7

m h f

O valor do declive, de cada uma das rectas que

representam graficamente as funções, é 2.

7. Função Afim Linear

Uma Função Afim Linear é uma função cuja expressão analítica é do tipo f(x) = kx

(com k � 0). A representação gráfica de uma Função Afim Linear é uma recta que contém

a origem do referencial. O valor do declive (k) da recta é igual ao valor da constante de

proporcionalidade directa. A Função Afim Linear relaciona grandezas directamente

proporcionais, logo é uma função de proporcionalidade directa.

Exercício 1.

A D. Maria vende peixe fresco no mercado do Monte de Caparica e tem o preço da

pescada registado numa tabela idêntica à tabela seguinte:

1.1- Como obtens o preço da pescada em função do peso? R: Tenho que multiplicar o peso da pescada por 2,5, ou seja, Preço = 2,5× Peso.

1.2- Qual o valor da constante de proporcionalidade directa que te permite calcular o preço da pescada em função do peso? R: O valor da constante de proporcionalidade directa que me permite calcular o preço da pescada em função do peso é 2,5.

1.3- Neste problema, que significado tem a constante de proporcionalidade directa?

R: Neste problema, a constante de proporcionalidade directa representa o preço de 1 quilograma de pescada.

1.4- Seja h a função que ao peso da pescada faz corresponder o respectivo preço.

Escreve a expressão analítica da função h. R: Se representarmos por x o peso da pescada, a expressão analítica da função h será h(x) = 2,5 x.

Peso (em kg)

Preço (em �)

1 2,5

2 5

3 7,5

4 10

1.5- Representa graficamente, no referencial, a função h.

1.6- Representa graficamente, no referencial anterior, a função g cuja expresão analítica

é g(x) = 6x.

1.7- Indica o valor do declive (k) da recta que representa graficamente a função h. R: O valor do declive da recta que representa graficamente a função h é 2,5.

1.8- Como relacionas o valor do declive (k) da recta que representa graficamente a

função h, com a constante de proporcionalidade directa? R: O valor do declive da recta que representa graficamente a função h é igual ao valor da constante de proporcionalidade directa.

1.9- O que têm em comum as representações gráficas das funções g e h?

R: Ambas as rectas intersectam o referencial na origem.

h g

8. Função Afim Constante

Uma Função Afim Constante é uma função cuja expressão analítica é do tipo f(x) = b.

A representação gráfica de uma Função Afim Constante é uma recta paralela ao eixo das

abcissas (eixo dos xx) e cujo valor do declive (k) é nulo.

���� Declive Nulo k = 0 Quando o declive é nulo, a função é constante.

f(x)=6 f

g(x)=0 g

h(x)=-3 h

b=6

b=0

b=-3

�����������

f(x) = kx + b

k � 0 e b = 0

������������� ���

f(x) = kx

������������������� �

f(x) = b

k < 0 k > 0

9. Esquema Resumo

k = 0

b < 0 b = 0 b > 0