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UNIVERSIDADE SO JUDAS TADEU

DATA:

CURSO: ENGENHARIA TURMA:

N DE ORDEM:

DISCIPLINA: CLCULO II Prof. Ms Rogrio Lobo

MXIMOS E MNIMOS

RESUMO 07

Mximos e Mnimos de Funes de Vrias

Variveis

Definio: Seja f uma funo definida em uma

regio R contendo o ponto (a, b). Ento, f tem

um mximo relativo em (a, b) se f(x, y) f(a, b)

para todos os pontos (x, y) que so

suficientemente prximos a (a, b). O nmero

f(a, b) chamando de valor mximo relativo.

Analogamente, f tem um mnimo relativo em

(a, b), com valor mnimo relativo f(a, b), se

f(x, y) f(a, b) para todos os pontos (x, y) que

esto suficientemente prximos a (a, b).

Exemplo

no grfico a seguir: A um ponto de mnimo

absoluto; B um ponto de mximo relativo; C

um ponto de mnimo relativo e D um ponto de

mximo absoluto.

no grfico a seguir, E um ponto de sela, pois

existem pontos prximos de E que so mais

altos e mais baixos.

O prximo teorema nos ajuda a encontrar os

pontos crticos da funo e identificar se existe

ou no um extremo relativo.

Teorema:

primeiro determine os pontos crticos de f(x, y)

resolvendo o sistema de equaes simultneas

fx = 0 e fy = 0.

Vamos supor que o resultado desse sistema

seja o par (a, b).

Faa, agora, o teste da segunda derivada.

Seja

D(x, y) = |fxx fyxfxy fyy

|

ento,

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Se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, ento f(x, y) tem

um mximo relativo no ponto (a, b).

se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, ento f(x, y) tem

um mnimo relativo no ponto (a, b).

se D(a, b) < 0, ento f(x, y) no tem um

mximo relativo e nem um mnimo relativo no

ponto (a, b).

se D(a, b) = 0, ento nada se pode afirmar.

Observao: Esse determinante, D(x, y),

muitas vezes chamado de Hessiano.

Exemplo

Determine os extremos relativos da funo

f(x, y) = x2 + y2

Soluo:

= 2;

fy = 2y;

fxx = 2;

fyy = 2;

fxy = fyx = 0;

{fx = 0fy = 0

{2x = 02y = 0

(x, y) = (0,0)

Assim o ponto crtico (0,0).

Vamos, agora, analisar se esse ponto crtico

gera ou no um extremo relativo na funo.

Como D(0,0) = |2 00 2

| = 4 > 0 e fxx(0,0) = 2 > 0

segue que f tem um ponto de mnimo relativo

em (0,0). Esse ponto : Min (0,0) = f(0,0) = 0.

Veja o grfico:

Exerccios de Sala

Determine os valores extremos (ou pontos

crticos) de:

a) f(x, y) = x2 + y2 2x 6y + 14

xy

3

b) f(x, y) = y2 x2

2-) Uma caixa retangular sem tampa deve ser

feita com 12 m2 de papelo. Determine o

volume mximo dessa caixa.

Exerccios de Casa

1-) Determine os extremos relativos, se existir

de cada funo abaixo:

a-) f(x, y) = 1 5x2 y2

b-) f(x, y) = x2 4xy + y2 + 4

c-) f(x, y) = x2 y2 3x + 2y + 6

d-) f(x, y) = x2 + y2 2x + 4y + 2

e-)f(x, y) = x2 + xy + y2 2x + 6y

f-) f(x, y) = x2 + 2y2 2xy + 3y + 4x

g-) f(x, y) = x3 + y2 4x2 y + 10x

h-) f(x, y) = x3 + y2 xy + 3y + 3x

i-) f(x, y) = x3 2xy + y3 5

2. A receita total semanal (em reais) da

empresa Escrivaninhas Brasil, obtida pela

manufatura e venda de escrivaninhas, dada

por R(x, y) = 2x2 + 5y2 2xy 2000x + 1600y

onde x denota o nmero mensal de unidades

com acabamento e y denota o nmero de

unidades sem acabamento manufaturadas e

vendidas por semana. O custo total semanal

atribudo manufatura dessas escrivaninhas

de C(x, y) = 200x + 50y + 5000 reais. Determine

quantas unidades com e sem acabamento a

companhia deve manufaturar por semana, a fim

de maximizar seu lucro. Qual o maior lucro

que pode ser obtido?

Sugesto: o lucro(L) dado por:

L(x, y) = R(x, y)-C(x, y)

4

3. Uma caixa retangular aberta com um volume

de 108 l deve ser construda usando uma chapa

de ao. Encontre as dimenses dessa caixa que

minimizam a quantidade de material utilizada.

4. Um prdio com o formato de uma caixa

retangular dever ter um volume de 12000 3.

Estima-se que os custos anuais de aquecimento

e refrigerao sero de R$2,00/m2 para o topo,

R$4,00/2 para as paredes frontal e traseira e

R$ 3,00/ 2 para as paredes laterais. Determine

as dimenses do prdio que resultaro em um

custo anual mnimo de aquecimento e

refrigerao. Qual esse custo mnimo?