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UNIVERSIDADESOJUDASTADEU DATA:

CURSO: ENGENHARIA TURMA: N DE ORDEM:DISCIPLINA: CLCULO II Prof. Ms Rogrio Lobo

EQUAO DIFERENCIAL ORDINRIARESUMO 13

Equao Linear

Definio:

Uma equao diferencial da forma

+ =

chamada de equao linear.

Porm uma forma mais til de escrever a

equao acima dividi-la por .Assim:

+ =

+

=

Logo,+ = (1)

Devemos procurar uma soluo para (1) em um

intervalo I no qual as funes P(x) e f(x) so

contnuas.

Fator de Integrao :

Para encontrar o fator de integrao reduzimosa equao (1) a forma diferencial:

dydx+ Pxy = fx

dydx= fx Pxy

dy =fx Pxydx dy + (Pxy fx)dx = 0 dy+x(Pxy fx)dx = 0que uma equao diferencial exata. Ento:

xx =

x [x(Pxy fx)]

ddx= Px

Assim:

ddx= Px

d = Px

d = Pxdx

ln||= Pxdx x = ke Pxdx

Agora fazendo k = 1 obtemos:

=

Assim o fator de integrao = .

Exemplo

Resolva a equao= 3 + 4.

Soluo:

= 3 + 4

3 = 4 (*)

O fator de integrao . Logo,e= e. Multiplicando a equao (*)por segue que

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dydx 3y e= 4e

e dydx 3ey = 4ed

xe. = 4e

ye= 4edxye= 4. e+ ky = + ke.

Exerccios de Aula

Resolva as seguintes equaes diferenciais:

1-) xy 2y = x

2-) y= x + 5y

3-) xy= y + xsenx, y= 0

4-) No circuito a seguir, uma pilha fornece uma

voltagem constante de 40 V, a indutncia 2 H,

a resistncia 10 e I(0) = 0.a-) Encontre I(t);

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b-) Calcule a corrente depois de 0,1 s.

5-) Um objeto de massa m solto a partir do

repouso e presumimos que a resistncia do ar

seja proporcional velocidade do objeto. Se s(t)

for a distncia percorrida depois de t segundos,

ento a velocidade v = ste a acelerao a = v t. Se g for a acelerao da gravidade,ento a fora para baixo no objeto mg-cv,

onde c uma constante positiva, e a Segunda

Lei de Newton fornece

m dvdt= mg cva-) Resolva essa equao linear para mostrar

que v = 1 e).

b-) Qual a velocidade-limite?

c-) Calcule a distncia que o objeto caiu depois

de t segundos.

Exerccios de Casa

1.Resolva:

a-)

=

b-) =

+ > 0

c-)= +

d-)= 2 + 2

e-) 4 = 6