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UNIVERSIDADESO JUDAS TADEU DATA:

CURSO: ENGENHARIA TURMA: N DE ORDEM:

DISCIPLINA: CLCULO II Prof. Ms Rogrio Lobo

EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS (EDO)RESUMO 12

DIFERENCIAL EXATA

Teorema: Critrio para uma Diferencial Exata

Sejam M(x, y) e N(x, y) funes contnuas com

derivadas parciais contnuas em uma regio

retangular R definida por a < x < b, c < y < d.

Ento, uma condio necessria e suficiente

para que M(x, y)dx + N(x, y)dy seja uma

diferencial exata

=

Equao Exata

Definio: Uma expresso diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy uma diferencial exata em

uma regio R do plano xy se ela corresponde

diferencial total de alguma funo f(x, y). Uma

equao diferencial da forma M(x, y)dx +

N(x, y)dy = 0 chamada de uma equao exata

se a expresso do lado esquerdo uma

diferencial exata.

Exemplo

A equao xyd x + xydy = 0 exata, pois

()

= 3xy =

()

.

Mtodo de Soluo da Equao Diferencial

Exata:

M(x, y)d x + N(x, y)dy = 0

1 passo:mostre que

=

;

2 passo:suponha que

= M(x, y);

3 passo:agora encontramos f, considerando y

constante: f(x, y)= M(x, y)dx + g(y) (*) em que

g(y) uma constante de integrao.

4 passo: suponha

= N(x, y)e derive (*) em

relao y:

=

( M(x, y)dx + g(y)) =

N(x, y) g(y)= N(x, y)

M(x, y)dx(**);

5 passo: integre (**) em relao y e substitua

o resultado em (*). A soluo da equao

f(x, y) = c.

Exerccios de Aula

1-) Resolva 2xydx + (x 1)dy = 0.

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2-) Resolva

(e ycos(xy))dx + (2xe xcos(xy) + 2y)dy = 0

3-) Resolva

( ) + (1 ) = 0 com a

condio inicial y(0) = 2.

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Exerccios de Casa

(i) Verifique se a equao dada exata, se for

resolva.

1-)

2-)

3-)

4-)

5-)

6-)

7-)

8-)

9-)

10-)

(ii) Resolva a equao diferencial dada sujeita

condio inicial indicada.1-)

2-)

3-)

4-)

Algumas Respostas:

(i)

(ii)

1-)

2-)