respostas e justificativas ed complementos de física - eng. 4º semestre unip

Exercício 1 – Resposta E

Na posição de equilíbrio a elongação da mola é igual a amplitude do movimento:

Fm=k.ym

Na análise das forças, o módulo da força da mola acaba sendo iguala força peso:

Fm=P

k.ym=m.g

k.0,05=4.10

k=800 (N/m)

A energia mecânica do sistema é dada por EM=0,5.k.(ym)^2

EM=0,5.800.0,05^2

EM=1 J

Como no estado de equilíbrio tem apenas energia cinética, a energia cinética acaba sendo igual a energia mecânica do sistema.

EM=ECequilíbrio=1 J

Exercício 2 – Resposta B

A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial em qualquer posição do movimento, então:

EM=EC+EP

Logo:

1=0,5.m.v^2+0,5.k.x^2

Substituindo:

2=4.v^2+800.0,02^2

4.v^2=1,68

v=0,648 m/s

Exercício 3 – Resposta D

Calcula o valor da pulsação por w=2.pi.f

w=2.3,14.2,5

w=15,7

Calcula a amplitude através da fórmula dada:

ym=(y(0)^2+(v(0)/w)^2)^1/2

ym=(0,011^2+(0,011/15,7)^2)^1/2

ym=0,0146 m = 1,46 cm

Exercício 4 – Resposta A

A amplitude da velocidade de um MHS é calculada por vm=ym.w

vm=1,46.15,7

vm=22,9 (cm/s)


Primeiro analisamos as forças envolvidas no movimento:

-Fm-Fv=Fr

Fm= Força da mola; Fv= Força viscosa; e Fr = Força resultante.

-y.k-v.b=m.a

Substitui se o que der e resolve se a equação diferencial:

-y.32000 -v.640 -80.a=0 (divide por 80)

-y.400-v.8 -a=0

Resolvendo a equação diferencial, chega-se ao seguinte:

y=e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)]

Derivando a equação acima obtemos a equação da velocidade:

V=-4.e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-4t).[-19,6.A.sen(19,6t) + 19,6.B.cos(19,6t)]

Substituindo as condições iniciais, descobre-se o valor de A e de B, chegando a equação do movimento completa:

y= e^(-4t).[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]

Agora termina-se de resolver o exercício:

y(0,4) = e^(-4.0,4).[0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(19,6.0,4)]

y(0,4) =0,202.[0,0069+0,6089]

y(0,4) = 0,124 m


Para saber onde o instante em que o corpo passa pela origem deve-se igualar a equação do movimento a zero e descobrir a raiz de mais baixo valor.

0 = e^(-4t).[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]

A raiz de mais baixo valor será obtida pela parte oscilante da equação, então:

0 = 0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)

-0,492.cos(19,6t) = + 0,609.sen(19,6t)

-0,492/0,609 = tg(19,6t)

tg(19,6t) = -0,808

19,6t = -0,679

O valor encontrado é negativo, a tangente tem uma periodicidade de Pirad, então basta somar Pi ao valor de - 0,679:

19,6t=2,462

t = 0,126 s


Em amortecimento crítico o valor equivalente a metade da razão entre a constante de viscosidade e a massa, é igual à velocidade angular inicial que é igual a raiz quadrada da razão entre a constante elástica e a massa, logo:

0,5.b/m = (k/m)^(1/2)

0,5.b/80 = (32000/80)^(1/2)

0,00625.b = 20

b = 3200 N.s/m


A equação que descreve uma situação de amortecimento crítico é:

y= (C1 + C2.t).e^(-g.t)

Aplicando as condições iniciais e calculando o valor de g, encontramos a equação:

g = 0,5.b/m

g = 20

0,1 = (C1 + C2.0).e^(-20.0)

0,1 = (C1 +0).1

0,1 = C1

v = C2.e^(-g.t) + (0,1 + C2.t).(-20).e^(-20.0t)

2 = C2.e^(-g.t0) + (0,1 + C2.0).(-20).e^(-20.0)

2=C2 -2

C2 = 4

y = (0,1 + 4.t).e^(-20.0t)

As raízes da equação nos darão os instantes em que o corpo está na posição de equilíbrio:

0 = (0,1 + 4.t).e^(-20.0t)

0 = (0,1 + 4.t)

-0,1 = 4.t

t = -0,025 s

E a outra raiz, como não existe logaritmo de zero, colocamos um numero muito pequeno no lugar de zero = 0,001

0,001 =e^(-20.0t)

-6,9077 = -20.t

t= 0,345 s

A diferença entre os dois instantes dará o intervalo necessário para que o corpo volte para posição de equilíbrio:

T = 0,345 - (- 0,025)

T = 0,37 s

Exercício 9 – Resposta C

A = 2.ym.cos[(Pi/4).0,5]

A = 2.1.cos[Pi/8]

A = 1,85 mm


Para descobrir a diferença de fase pedida, basta usar a mesma equação usada no exercício anterior, porém sem substituir o valor da fase e substituir a amplitude.

2 = 2.1.cos[o.0,5]

1 = cos[0,5.o]

0,5.o = arccos(1)

0,5.o = 0

o = 0


Para descobrir a velocidade transversal na posição e instante pedido, basta derivar a equação do movimento no tempo, assim se obtém a equação da velocidade transversal, então depois basta substituir os valores de tempo e posição:

y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3]

vt = 15.sen[Pi.x/4].(-30.Pi)sen[30.Pi.t + Pi/3]

vt = -1414.sen[Pi.x/4]. sen[30.Pi.t + Pi/3]

vt(2;2) = -1414.sen[Pi.2/4]. sen[30.Pi.2 + Pi/3]

vt(2;2) = -1225 cm/s


Para descobrir a amplitude da oscilação em dado ponto e em dado instante, basta pegar a parte da equação que é o termo da amplitude e substituir a condições:

y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3]

A = 15.sen[Pi.x/4]

A (2;2) = 15.sen[Pi.2/4]

A (2;2) = 15 cm


Primeiro descobrimos as densidades lineares de cada fio:

d1 = 2,6.0,01 = 0,026 g/cm

d1 = 0,0026 kg/m

d2 = 7,8.0,01 = 0,078 g/cm

d2 = 0,0078 kg/m

Agora através da equação que relaciona a frequência com comprimento de onda, tensão na corda e densidade linear, substituímos os valores que temos de cada parte da corda e igualamos as equações:

f1 = [n1/(2.L1)].[F/d1]^(1/2)

f2 = [n2/(2.L2)].[F/d2]^(1/2)

Igualam-se as duas equações e substitui as variáveis conhecidas:

[n1/(2.0,6)].[100/0,0026]^(1/2) = [n2/(2.0,866)].[100/0,0078]^(1/2)

[n1/(2.0,6)]^2.1 /2,6 = [n2/(2.0,866)]^2.1/7,8

n1 = [3,74.(n2)^2/23,4]^(1/2)

n1 = 0,4.n2

n2 = 2,5.n1

Uma vez que se descobriu a relação entre o numero da corda de aço e o numero da corda de alumínio, isolamos a razão n2/n1:

n2/n1= 2,5

n2/n1= 2/5 (Na forma de fração mais simplificada)

Onde n2 = 5, que corresponde ao aço e n1 = 2, que corresponde ao alumínio.

Através das propriedades no fio de aço ou no fio de alumínio, é possível determinar a frequência.

f = [ n1 / (2.L1) ].[ ( F/d1 ) ^ (1/2) ]

f = [ 2 / (2.0,6) ].[ ( 100/0,0026 ) ^ (1/2) ]

f = 327 Hz

f = 1034 Hz


Visto que no exercício anterior determinou-se o numero de ventre de cada parte da corda temos o numero total de ventres = 7, logo o numero total de nós é 8, descontando os nós das extremidades, temos:

Nnós = 6.


Primeiro identificamos em qual parte do gráfico está o instante pedido, então calculamos o fluxo magnético nesta parte do gráfico:

Calculando o fluxo magnético entre 0 e 2 segundos.

f= 0,2.t.(PI.r^2) = 0,2.t.(3,14.3,99^2)

f = -10.t

E = df/dt = -10

Portanto o módulo da força eletromotriz é: 10 V


Primeiro identificamos em qual parte do gráfico está o instante pedido, então calculamos o fluxo magnético nesta parte do gráfico:

Calculando o fluxo magnético entre 5 e 10 segundos.

f = -0,08.(PI.3,99^2).t

f = -4.t

E= +4 V

E = R.I

4 = 20.I

I = 0,2 A

Sentido horário.


Req = R1.R2/(R1 + R2)

Req = 10.15/(10 + 15)

Req = 6 ohm

I = (B.l/Req).v

I = (0,5.0,4/6).20

I = 0,667 A


Uma vez que já temos a corrente, calculada no exercício anterior, basta substituir na equação P = I^2.Req

P = 0,667^2.6

P = 2,67 W


Primeiro calculamos o valor de k:

c = w/k

k = 10^15/3.10^8

k = 3,33.10^6

O vetor velocidade de propagação é igual ao produto vetorial entre o campo elétrico e o campo magnético dividido pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo:

cv = Ev x Bv/( Bv .Bv)

-3.10^8.i = [(E.k) x (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).j]/((10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x)^2)

(3.10^8.k).(10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) = E.k

E = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) (N/C)

Ev = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).k (N/C)


Primeiro calculamos o valor médio do vetor poynting

S = 0,5.8,85.10^-12.3.10^8.900

S = 1,19

Agora calculamos a energia eletromagnética:

Dw = S.A.Dt

Dw = 1,19.3.7200

Dw = 25807 J


Como o campo magnético é uniforme na região e varia somente com o tempo, não há a necessidade da integração.

f = B.n.A

f = (0,2t^2 – 2,4t +6,4)k.k.(0,5.0,5)

f(2)= (0,2.(2)^2 – 2,4.(2) +6,4).0,25

f(2)= 0,6 weber

f(9)= (0,2.(9)^2 – 2,4.(9) +6,4).0,25

f(9) = 0,25 weber


Através da derivada temporal da equação que descreve o fluxo, obtemos a equação da força eletromotriz.

E = - (0,1t - 0,6)

E(2) = - (0,1.(2) – 0,6)

E(2) = 0,4 V

I(2) = 0,4/40

I(2) = 0,01 A (anti-horário)

E(9) = - (0,1.(9) – 0,6)

E(9) = -0,3 V

I(9) = - 0,3/40

I(9) = - 0,0075 A (horário)


Primeiro deve-se descobrir a função que descreve o fluxo em função do tempo:

f = B.A

O campo magnético não varia em função do tempo porém a área varia em função do tempo:

A = 0,5.w.t.r^2

A = 0,5.300.t.0,25^2

A = 9,375 m^2

Portanto o fluxo é:

f = 0,1.9,375.t

f = 0,9375 wb

Agora basta fazer a derivada temporal negativa do fluxo que obtem-se a força eletromotriz:

E(0---P1) = - 0,9375 V


O potencial de cada ponta da barra será o mesmo, logo a diferença de potencial entre eles será zero.

Vp2 – Vp1 = 0 V


O fluxo magnético quando não há variação de área com o tempo é

f = B.n.A

f = (0,5 – 0,125t).1,7.2,1

f = 1,785 – 0,44625t

A derivada temporal negativa do fluxo é a fem:

E = 0,44625

I = E/R

I = 0,44625/25

I = 0,01785 A (anti-horário)


A força necessária para manter a barra em repouso é calculada pela formula:

F = I.L.B

F = 0,01785.1,7.0,5

F = 0,0152 N

O sentido é contrário ao da força que movimenta a barra, logo:

F = -0,0152i N


Existem duas formulas para calcular a intensidade da onda, uma relaciona a potência com a área e a outra relaciona a amplitude do campo elétrico com a velocidade da luz e constante de permissividade elétrica:

I = P/A

I = [e.c.(Em)^2]/2

0,25/(4.Pi.r^2) = [http://online.unip.br/exercicio/Salvar/2733188,85.10^-12.3.10^8.(0,2)^2]/2

r^2 = 370

r = 19,4 m


Considerando que o sentido de propagação da onda é j positivo, a direção e sentido do campo magnético, no dado instante em que o campo elétrico é i negativo, é k positivo.

Bv = +kB


A direção e o sentido de uma onda eletromagnética é igual a direção e sentido do produto vetorial do campo elétrico com o campo magnético.

v = (i) x (k)

v = (-j)

http://online.unip.br/exercicio/Salvar/273318


A velocidade de propagação da onda eletromagnética é igual ao valor da velocidade da luz, mas também é obtida pela razão entre o produto vetorial do campo elétrico e campo magnético pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo.

c = (E x B)/(B.B)

3.10^8 = E/B

E = 3.10^8.91,5.10^-6

E = 27450 V/m


A intensidade da onda é a razão entre a potência e a área.

I = P/A

I = 0,02/(Pi.10^-12)

I = 6,366.10^9

A intensidade da onda também pode ser calculada em uma formula que contém a amplitude do campo elétrico.

6,366.10^9 = 0,5.8,85.10^-12.3.10^8.(Em)^2

(Em)^2 = 4,796.10^12

Em = 2,19.10^6 V/m


A equação do campo magnético tem a parte oscilante igual a do campo elétrico, logo só precisa calcular a amplitude do campo magnético e descobrir a direção e sentido.

B = E/c

B = 1,1.10^6/(3.10^8)

B = 3,7.10^-3 T

A direção e sentido da velocidade de propagação da onda é igual ao do produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético.

/c/ = /E/ x /B/

-k=j x (ai + bj + ck)

-k = -ka +ic

c = 0

a = 1

Logo, a direção e o sentido do vetor campo magnético é ipositivo:

B = 3,7.sen(5,9.10^6.z + 1,77.10^15.t).i (Wb/m^2)


A curva A, é característica de um amortecimento fraco, visto que oscila antes de estabilizar.

A curva B estabiliza o movimento antes que a curva A, porém, apenas depois que a curva C, isso ocorre devido ao alto valor do coeficiente de resistência viscosa, logo a curva B, é característica de um amortecimento supercrítico.

A curva C é a primeira a estabilizar, isso quer dizer que a relação entre o coeficiente de resistência viscosa e a constante elástica possui a melhor relação possível, característica do amortecimento crítico.

A, C, B.


A posição inicial pode ser definida por interpretação do gráfico:

y(0) = 0,2 m

No gráfico há uma reta tangente as curvas no instante zero. O coeficiente angular desta reta é igual a derivada temporal da equação de posição no instante zero, que é por definição a velocidade da partícula no instante zero.

v(0) = (0,5 – 0,2)/0,2

v(0) = 1,5 m/s


Analisando o gráfico podemos extrair a posição inicial do termo da amplitude, ou seja, considerando apenas a curva exponencial auxiliar:

ym.e^-=0,4

ym = 0,4 m

Agora que temos a amplitude inicial, podemos calcular a fase inicial com o auxilio da curva principal, ou seja, a curva que descreve o movimento. A posição inicial da partícula é 0,2 m.

0,2 = 0,4.cos(o)

o =arccos(0,5)

o = -Pi/3

Agora através do período podemos calcular a velocidade angular. Pelo gráfico temos que o período é 1,4 s.

w = 2.Pi/1,4

w = 1,43.Pi (rad/s)

Falta descobrir o valor de g (gama). Para isso pegamos um ponto conhecido no gráfico, vamos pegar o ponto (1;-0,2).

-0,2 = 0,4.e^-.cos(1,43.Pi - Pi/3)

-0,5 = -e-.0,954

1/1,84 = e^-

- = -0,61

= 0,61

Agora montamos a equação:

y = 0,4.e^(-0,61t).cos(1,43.Pi.t - Pi/3) (SI)


Primeiro calcular a velocidade angular inicial, w0.

W^2 = (w0)^2 – g^2

(1,43.Pi)^2 = (w0)^2 –(0,61)^2

(w0)^2 = 20,55

w0 = 4,5 rad/s

Agora calculamos o k da mola:

(4,5)^2 = k/m

(4,5)^2.0,8 = k

k = 16,44 N/m

Agora calculamos o coeficiente de viscosidade:

0,61 = c/(2.0,8)

c = 0,976 N.s/m

Agora calculamos o grau de amortecimento:

B = g/w0 = 0,61/4,5

B = 0,135


Primeiro calculamos o valor de gama.

g = (k/m)^(1/2)

g = (16,43/0,8)^(1/2)

g = 4,53

Agora calculamos o valor da constante de viscosidade.

g = c/2m

4,53 = c/(2.0,8)

c = 7,25 N/(m/s)


Uma vez que temos o valor de gama, basta descobrir as constantes através de pontos do gráfico:

0,2 = A1

Agora com a velocidade inicial descobrimos a outra constante A2:

1,5 = [-4,53.0,2 +A2]

2,41 = A2

Agora montamos a equação:

y = [0,2 +2,41.t].e^(-4,53t) (SI)


Com o valor do grau de amortecimento calculamos o coeficiente de resistência viscosa:

1,2836 = g/w0

g = c/2m

w0 = (K/m)^(1/2)

Logo,

1,2836 = (c/2m).[(m/k)^(1/2)]

1,6476 = [(c2)/2,56].[0,8/16,43]

86,624 = c^2

c = 9,307 N/(m/s)


Primeiro calculamos o valor de w0 e do g:

w0 = (16,43/0,8)^(1/2)

w0 = 4,532 rad/s

g = 9,307/1,6

g = 5,817

Agora com as condições iniciais y(0) = 0,2 m, e v(0) = 1,5 m/s, calculamos as constantes A1 e A2.

0,2 = A1 + A2

A2 = 0,2 – A1

e,

1,5 = A1.[-5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + A2.[-5,817 - (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)]

1,5 = A1.[-5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + .(0,2 – A1)[-5,817 - (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)]

1,5 = A1.(-2,1703) + (0,2 – A1).(- 9,4637)

3,393 = 7,2934.A1

A1 = 0,465

A2 = 0,2 – 0,465

A2 = - 0,265

Agora basta montar a equação e simplificar:

y = 0,465.e^(-5,817+3,6467)t – 0,265.e^(-5,817-3,6467)t

y = 0,465.e^(-2,17)t – 0,265.e^(-9,46)t (SI)

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