Fsica e MatemticaLEIA COM ATENO01. S abra este caderno aps ler todas as instrues e quando for autorizado pelos fiscais da sala. 02. Preencha os dados pessoais. 03. Este caderno contm as provas de FSICA e MATEMTICA, cada uma com 16 (dezesseis) questes,numeradas de 01 a 16, que podem ser de proposies mltiplas e/ou de respostas numricas. Se no estiver completo, exija outro do fiscal da sala.

04. As questes de proposies mltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0) aduplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras falsas. Na folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna V, as falsas, na coluna F. Caso no desejar responder algum item marque a coluna NR.

05. As questes numricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser marcados, na

folha de respostas, no local correspondente ao nmero da questo. (COLUNA D para as dezenas e COLUNA U para as unidades. Respostas com valores entre 0 e 9 devem ser marcadas antepondo-se zero (0) ao valor, na COLUNA D). irregularidade observada comunique imediatamente ao fiscal. respostas.

06. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e nmero de inscrio. Qualquer 07. Assinale a resposta de cada questo no corpo da prova e, s depois, transfira os resultados para a folha de 08. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferogrfica preta e faa as marcas de acordo como modelo (). A marcao da folha de respostas definitiva, no admitindo rasuras.

09. No risque, no amasse, no dobre e no suje a folha de respostas, pois isto poder prejudic-lo. 10. Os fiscais no esto autorizados a emitir opinio nem a prestar esclarecimentos sobre o contedo das provas.Cabe nica e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir.

11. Se a Comisso verificar que a resposta de uma questo dbia ou inexistente, a questo ser posteriormenteanulada, e os pontos a ela correspondentes, distribudos entre as demais.

No me: I den t id ad e: Assin at u ra:

I nscrio : rg o Exp ed id o r:

COMISSO DE PROCESSOS SELETIVOS E TREINAMENTOS (0xx81) 3412 0800 (0xx81)3412 0805

FSICADados: Acelerao da gravidade: 10 m/s 3 3 Densidade da gua: 10 kg/m 8 Velocidade da luz no vcuo: 3 10 m/s 30 37 45 sen 0,50 0,60 0,71 cos 0,86 0,80 0,712

01. Uma estrela de nutrons tem massa igual a quatro vezes a massa do Sol evolume esfrico de raio 20 km. Considere a massa do Sol igual a 2 10 kg e as densidades da estrela de nutrons e da gua denotadas, respectivamente, N por est e gua. Se a ordem de grandeza da razo est/gua 10 , qual o valor de N?30

Resposta: 14 Justificativa: A densidade da estrela de nutrons dada por est = M/V = 4(2 30 4 3 17 3 10 kg)/[4(2 10 m) /3] 2,4 10 kg/m . Assim, a ordem de grandeza 14 da razo est/gua 10 .

02. Uma partcula liberada em queda livre a partir do repouso. Calcule o mduloda velocidade mdia da partcula, em m/s, aps ela ter cado por 320 m.

Resposta: 40 Justificativa: No MUV a velocidade mdia a mdia aritmtica das 2 velocidades inicial e final. A velocidade final v = 2g(h) = 2 10 320 = 6400 v = 80 m/s. Assim, vm = (80+0)/2 = 40 m/s.

03. Para medir o coeficiente de atrito cintico,

C, entre um bloco e uma superfcie plana, um impulso inicial dado ao bloco, que se desloca em linha reta sobre a superfcie at parar. O bloco percorre 80 cm desde o instante em que a sua velocidade tem mdulo igual a 2 m/s at o instante em que para. Expressando 2 o coeficiente de atrito cintico na forma C = A 10 , qual o valor de A?

Resposta: 25 Justificativa: Pela 2 lei de Newton, Fat = Ma, onde Fat = N = Mg. Assim, 2 2 a = g. Pela equao de Torricelli, v = v0 + 2aL. Substituindo v = 0,obtemos = v0 /(2gL) = 0,25 = 25 10 .2 2

04. O grfico seguinte mostra como a energia potencial de uma partcula varia com

a sua posio. O valor da energia mecnica da partcula, EM, tambm aparece no grfico. A partcula de massa 0,1 kg se move em linha reta. Todas as foras que atuam na partcula so conservativas. Obtenha a velocidade mxima da partcula, em m/s.

EP(J) EM = 45

15 0 x

Resposta: 30 Justificativa: A energia mecnica a soma da energia cintica com a energia potencial, Em = Ec + Ep. Logo, a energia cintica mxima ocorre na posio 2 onde a energia potencial mnima, (Ec)max = Em - Ep = 45 J = mv /2. Assim, v = 30 m/s.

05. Duas partculas idnticas, que se movem sobre a superfcie horizontal de umamesa sem atrito, realizam uma coliso perfeitamente inelstica, como mostra a figura. Antes da coliso, cada partcula tinha velocidade de mdulo 5 m/s e direo = 37 em relao linha contnua da figura. Qual a velocidade das partculas aps a coliso, em m/s?

Antes da coliso ( ( mesaResposta: 04

Depois da coliso

mesa

Justificativa: H a conservao da quantidade de movimento (momento linear) total das partculas. No caso de coliso perfeitamente inelstica, ao longo da direo da linha contnua da figura, escrevemos: 2Mvf = Mvcos + Mvcos, ou seja, vf = vcos = 5 0,8 = 4 m/s.

06. Um barco de passageiros afundou em um lago. preciso i-lo utilizando boiasespeciais. A massa do barco 8000 kg e o volume ocupado por ele 3 m . 3 Despreze o peso das boias. Determine o volume mnimo, em m , que devem ter as boias para que o barco fique na iminncia de ser elevado do fundo do lago.3

Resposta: 05 Justificativa: O barco e as boias esto sujeitos s foras peso e empuxo. Aplicando a 2 lei de Newton na iminncia de movimento tem-se, Eboia + Ebarco Pbarco = 0. Logo, guaVboiag + guaVbarcog Mbarcog = 0 Vboia = 5 3 m .

07. Descobre-se que uma estrela de massa igual a quatro vezes a massa do Sol,

localizada na Via Lctea, possui um planeta orbitando ao seu redor, em movimento circular uniforme (MCU) de raio R. O tempo necessrio para que esse exoplaneta percorra uma circunferncia completa ao redor da estrela a metade de um ano terrestre. Considere que a Terra realiza um MCU ao redor do Sol de raio RTS e despreze a influncia gravitacional de outros corpos do sistema solar. Quanto vale a razo R/RTS?

Resposta: 01 Justificativa: A 2 lei de Newton para o exoplaneta sob a ao da fora 2 2 gravitacional da estrela dada por GMEMP/R = MPv /R. Escrevendo v = 3 2 2 2R/TP, obtemos R = GMETP /(4 ). O mesmo clculo realizado para o 3 2 2 sistema Terra Sol leva a RTS = GMST /(4 ). Dividindo uma equao pela 3 2 outra, obtemos (R/RTS) = (ME/MS)(TP/T) . Substituindo ME = 4MS e TP = T/2, encontramos R/RTS = 1.

08. Um estudante precisa de trs litros de gua temperatura de 37 oC. Ele jdispe de dois litros de gua a 17 C. A que temperatura, em C, ele deve aquecer o litro de gua a ser misturado com o volume j disponvel? Considere a existncia de trocas trmicas apenas entre os volumes de gua na mistura.o o

Resposta: 77 Justificativa: Considerando que haja trocas trmicas apenas entre os volumes de gua misturados, as trocas de calor so descritas pela equao M1c(Tf T1) + M2c(Tf T2) = 0. Como a densidade da gua = M/V, ento, o T2 = V1(Tf T1)/V2 + Tf. Substituindo os valores, obtemos T2 = 77 C.

09. Um gs ideal se transforma de acordo com o ciclo termodinmico mostradoabaixo no diagrama presso versus volume. Os processos AB e CD so isovolumtricos, e os processos BC e DA so isotrmicos. Qual a razo TC/TD entre as respectivas temperaturas absolutas do gs nos pontos C e D?p(Pa) 2,5 B

0,5

A

C

D V

Resposta: 05 Justificativa: Segundo a lei dos gases ideais, ao longo da isovolumtrica AB, temos que pA/TA = pB/TB. Se os processos BC e CD so isotrmicos, ento, TC = TB e TD = TA, de modo que TC/TD = pB/pA = 5.

10. A figura mostra uma montagem onde um oscilador gera uma onda estacionriaque se forma em um fio. A massa de um pedao de 100 m deste fio 20 g. Qual a velocidade de propagao das ondas que formam a onda estacionria, em m/s?

oscilador

polia

M = 128 gResposta: 80 Justificativa: A velocidade de uma onda mecnica se propagando em um fio 1/2 dada por v = (T/) , onde T a trao sobre o fio e a densidade linear -4 do fio. Assim, T = 0,128 10 = 1,28 N e = 0,02/100 = 2 10 kg/m, de modo que v = 80 m/s.

11. Uma carga eltrica puntiforme gera campo eltrico nos pontos P1 e P2. A

figura a seguir mostra setas que indicam a direo e o sentido do vetor campo eltrico, nestes pontos. Contudo, os comprimentos das setas no indicam os mdulos destes vetores. O mdulo do campo eltrico no ponto P1 32 V/m. Calcule o mdulo do campo eltrico no ponto P2, em V/m.

P1

P2

Resposta: 16 Justificativa: Visto que a carga puntiforme, a posio da carga determinada pelo cruzamento das direes das setas. A carga se encontra no vrtice superior direito do quadrado (de lado L) no canto inferior esquerdo da figura. O mdulo campo gerado no ponto P1 E1 = kQ/(22L) = 32 kQ/L = 256. O campo eltrico E2 = kQ/(4L) = 256/16 = 16.2 2 2

12. Uma pequena lanterna utiliza uma pilha do tipo AA. A pilha tem resistnciae fornece uma fora eletromotriz de = 1,5 V. Calcule a interna r = 0,25 energia dissipada pela lmpada, de resistncia eltrica R = 0,5 , quando esta ligada durante t = 30 s. Obtenha o resultado em J.

Resposta: 60 Justificativa: A corrente da lmpada dada pela lei de Ohm, tem-se que = 2 2 (r + R)I I = 1,5/(0,25+0,5) = 2 A. A potncia da lmpada P = RI = 0,5 2 = 2 W. A energia qumica da pilha transformada em luz e calor E = P(t) = 60 J.

13. A figura apresenta um experimento com um raio de luz que passa de um blocode vidro para o ar. Considere a velocidade da luz no ar como sendo igual velocidade da luz no vcuo. Qual a velocidade da luz dentro do bloco de 8 vidro, em unidades de 10 m/s?

bloco de vidro ar

30

o

45

o

Resposta: 02 Justificativa: Usando a lei de Snell, n1sen(30) = n2sen(45) 0,5 = 8 (v/c)0,71 v = 0,5c/0,71 = 2,11 10 m/s.

14. A figura mostra uma montagem onde um objeto foi colocado sobre o eixo ticolente objeto

distando 4,2 cm de uma lente convergente de distncia focal f = 4 cm. Calcule o fator de ampliao, em mdulo, para a montagem descrita.

foco

foco

Resposta: 20 Justificativa: Usando a expresso que relaciona a distncia focal com a distncia do objeto e a da imagem tem-se, 1/f = 1/o +1/i i = 84 cm. O mdulo da ampliao A = i/o = 20.

15. O circuito eltrico plano, mostrado a seguir, possui uma bateria de fora

eletromotriz = 48 V e resistncia interna r = 1 ligada a resistores de resistncias R = 9 e r = 1 O trecho retilneo ab do circuito possui comprimento de 50 cm. No plano do circuito, existe um campo magntico uniforme, de mdulo B = 2,5 T e direo fazendo um ngulo de 37 com a direo do trecho ab. Qual o mdulo da fora magntica que age no trecho ab, em N?

R R R

a

r B

37 b

= 48 VResposta: 03

r

Justificativa: A corrente eltrica constante no circuito dada por i = /Req, onde a resistncia equivalente Req = R/3 + r = 4 . Assim, i = 12 A. A corrente que percorre o trecho ab , portanto, 4 A. A fora devido a um campo magntico de mdulo B em um trecho retilneo de comprimento L de um fio atravessado por uma corrente eltrica i constante possui mdulo F = iLBsen, onde o ngulo entre o trecho do fio e o vetor campo magntico. Nesse caso, substituindo os dados fornecidos na expresso da fora, obtemos F = (4 o A)(0,5 m)(2,5 T)sen(37 ) = 3 N.

16. Sobre os modelos atmicos de Thomson, Rutherford e Bohr, podemos fazer asseguintes afirmaes. 0-0) A partir do resultado do espalhamento de partculas por folhas metlicas finas, Rutherford concluiu que a densidade de carga positiva do modelo atmico de Thomson era muito maior que a real. 1-1) A estabilidade do tomo de Bohr era garantida por um postulado, pois, de acordo com a fsica clssica, um eltron em movimento circular teria perdas de energia por irradiao devido sua acelerao centrpeta. 2-2) De acordo com o modelo de Rutherford, os eltrons se distribuem em rbitas quantizadas na regio ao redor do ncleo denominada eletrosfera. 3-3) A razo entre as energias quantizadas de duas rbitas no modelo atmico de Bohr para o tomo de hidrognio igual razo entre os nmeros qunticos associados a estas rbitas. 4-4) No modelo atmico de Bohr para o tomo de hidrognio, o produto da velocidade do eltron pelo raio da rbita quantizado.

Resposta: FVFFV Justificativa:0-0) FALSA, pois, a partir do resultado do espalhamento de partculas por finas folhas metlicas, Rutherford concluiu que a densidade de carga positiva do modelo atmico de Thomson era muito menor que a real, criando, assim, o conceito de ncleo atmico. 1-1) VERDADEIRA, pois, de fato, eltrons acelerados irradiam energia, de acordo com a fsica clssica, devendo espiralar at o ncleo. Bohr resolveu a questo da estabilidade atmica por meio de um postulado. 2-2) FALSA, pois Rutherford no considerou a quantizao das rbitas eletrnicas em seu modelo. 3-3) FALSA, pois a razo entre as energias quantizadas de duas rbitas no modelo atmico de Bohr para o tomo de hidrognio igual ao inverso do quadrado da razo entre os nmeros qunticos associados a estas rbitas. 4-4) VERDADEIRA, pois Bohr considerou, em seu modelo, que o momento angular do eltron em uma rbita circular quantizado, sendo este proporcional ao produto da velocidade do eltron pelo raio da sua rbita.

MATEMTICA01. A curva da figura abaixo representa parte do conjunto dos pontos (x, y) quesatisfazem a equao

y 4y 4x = 0.Com base nesses dados, analise as afirmaes seguintes.

2

0-0) Para cada y real, existe um real x tal que (x,y) est na curva. 1-1) A curva o grfico da funo y = 2 2 x + 1 , com domnio os reais -1. 2-2) A parte da curva em trao pontilhado ilustra o grfico da funo y = 2 + 2 x + 1 , com domnio os reais -1. 3-3) A parte da curva em trao contnuo ilustra o grfico da funo y = 2 2 x + 1 , com domnio os reais -1. 4-4) No possvel expressar x como funo de y.

Resposta: VFVVFJustificativa: Completando quadrados, obtemos y 4y + 4 = 4x + 4 ou (y 2) = 4 (x +1).2 2

Portanto y = 2 2 x + 1 , que so duas funes de x.

02. Na ilustrao a seguir, temos parte dos grficos das funes f : IR IR dadapor f(x) = 5 x e g : IR - { 0 }2

IR dada por g(x) = 2/x.

Analise as afirmaes a seguir referentes s duas funes.10 8 6 4 2 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6

0-0) Um dos pontos de interseo dos grficos de f e g (2, 1). 1-1) As abscissas dos pontos de interseo dos grficos de f e g so as razes 3 reais da equao x 5x + 2 = 0. 2 2-2) f(x) g(x) = (x 2)(x + 2x 1)/x , para todo x real e diferente de zero. 3-3) O ponto de interseo dos grficos de f e g situado no terceiro quadrante tem ordenada 2(1 - 2 ). 4-4) Os grficos de f e g se interceptam em quatro pontos.

Resposta: VVFVFJustificativa: Substituindo x = 2 nas duas funes obtemos f(2) = 1 e g(2) = 1; logo, o ponto (2, 1) est no grfico das duas funes. Temos f(x) = g(x) se e somente se 5 2 3 x = 2/x que equivalente a x 5x + 2 = 0. Do clculo anterior, temos que f(x) 3 2 3 g(x) = (-x + 5x - 2)/x = - (x - 2)(x + 2x - 1)/2, dividindo x 5x + 2 por (x 2). As abscissas dos pontos de interseo dos grficos de f e g so as razes de (x 2)(x + 2x -1) = 0 que so x = 2 e x = (-2 2 2 )/2 = -1 2

2 e g(-1 -

2)=

2/(-1 -

2 ) = -2(-1 +

2 ) = 2(1 -

2 ).

03. Na figura abaixo ABCD um quadrado de lado 1, e BCG um tringuloequiltero.

A

B

E G F

D0-0) O ngulo DEC mede 45 1-1) O segmento ED mede

C3 3 3+ 3 2

2-2) A tangente do ngulo AEB 3-3) O tringulo EBC issceles 4-4) O segmento EB mede Resposta: FVVFF Justificativa:

1+ 2 3 3

ECB = CED = 60 , ECD = 30 e tg 30 = ED/DC = 1/ 3Ento ED = 1/ 3 e AE = 1 1/ 3 . Portanto, a tangente do ngulo AEB (3 + 3 )/2. O ngulo EBC maior que 60 e o ngulo BEC menor que 60.2

o

o

o

1 1 2 72 3 = 1 + 1Temos: EB = 1 + 1 + = e EB 3 3 3 3 2 2

72 3 . 3

04. Se o nmero complexo 3 + 2i raiz da equao x3 23x + c , com c sendo umaconstante real, qual o valor de c?

Resposta: 78Justificativa: 3 + 2i raiz da equao x 6x + 13 e, dividindo x 23x + c por este polinmio obtemos quociente x + 6 e resto c 78. Para o resto ser zero devemos tomar c = 78.2 3

05. Diferentes quantidades de fertilizantes so aplicadas em plantaes de cereais

com o mesmo nmero de plantas, e medido o peso do cereal colhido em cada plantao. Se x kg de fertilizantes so aplicados em uma plantao onde foram colhidas y toneladas (denotadas por t) de cereais, ento, admita que estes r valores estejam relacionados por y = k. x , com k e r constantes. Se, para x = 1 kg, temos y = 0,2 t e, para x = 32 kg, temos y = 0,8 t, encontre o valor de x, em kg, quando y = 1,8 t e assinale a soma dos seus dgitos.

Resposta: 09Justificativa: Substituindo x = 1 e y = 0,2 em y = kx , obtemos 0,2 = k.1 e k = 0,2. r 2 Substituindo x = 32 e y = 0,8 obtemos 0,8 = 0,2.32 que equivalente a 2 =r

2 e segue que r = 2/5=0,4. Portanto, y = 0,2.x 0,4 1/0,4 5 = 3 = 243 kg. obtemos 1,8 = 0,2.x e x = 9

5r

0,4.

. Substituindo y = 1,8

06. A populao de peixes de um lago atacada por uma doena e deixa de se

reproduzir. A cada semana, 20% da populao morre. Se inicialmente havia 400.000 peixes no lago e, ao final da dcima semana, restavam x peixes, assinale 10log x. Dado: use a aproximao log 2 0,3.

Resposta: 46Justificativa: A populao de peixes no lago aps n semanas P(n) = 400000(0,8) . x = 5 10 5 10 10 10 -5 P(10) = 4.10 .(0,8) = 4.10 .8 /10 = 4.8 .10 logo log x = log 4 + 10log 8 5log 10 2.0,3 + 30.0,3 5 = 32.0,3 5 = 9,6 5 = 4,6.n

07. Em um grupo de cinco torcedores, trs torcem pelo time A, e dois torcem pelotime B. Escolhendo aleatoriamente trs torcedores do grupo, qual a probabilidade percentual de serem selecionados os dois torcedores do time B?

Resposta: 30Justificativa: O nmero de maneiras de escolher trs dentre os cinco torcedores C5 = 5.4/2 = 10. O nmero de maneiras de escolher trs torcedores dos quais dois so os que torcem pelo time B trs. A probabilidade procurada 3/10 = 30%.3

08. Na ilustrao a seguir, temos a circunferncia com equao x2 + y2 + 6x + 8y =75 e a reta passando pela origem e pelo centro da circunferncia. Determine o ponto da circunferncia mais distante da origem e indique esta distncia.

Resposta: 15Justificativa: A equao da circunferncia tambm pode se escrever na forma (x + 3) + (y2

+ 4) = 10 , e a circunferncia tem centro no ponto (-3, -4) e raio 10. A reta passando pela origem e pelo centro da circunferncia tem equao y = -4x/(-3) = 4x/3. Os pontos da circunferncia mais prximo e mais distante da origem so as intersees da circunferncia com a reta passando pela origem e pelo centro da circunferncia. Substituindo y = 4x/3 na equao da circunferncia, 2 2 2 obtemos (x + 3) + (4x/3 + 4) = 100 que se simplifica como (x + 3) + 16(x + 2 2 3) /9 = 100 e tambm como (x + 3) = 36 e x = 6 3 = 3, -9. Os pontos de interseo so (3, 4) e (-9, -12). O ponto mais distante da origem (-9, -12), e a distncia 2 2 9 + 12 = 15.

2

2

09. Nos anos de 2008, 2009 e 2010, um trabalhador recebeu um total de

rendimentos de R$ 66.200,00. Se a renda do trabalhador, em 2010, foi 10% superior renda de 2009, e a renda em 2009 foi 10% superior renda de 2008, calcule o total de rendimentos do trabalhador em 2010 e indique a soma de seus dgitos.

Resposta: 08Justificativa: Se x a renda do trabalhador em 2010, ento, a sua renda, em 2009, foi de 2 x/1,1 e, em 2008, foi de x/1,1 . Segue que x + x/1,1 + x/1,21 = 66200 e x.3,31 = 1,21.66200 e x = 1,21.20000 = 24200 reais.

2 2x + 4 A B C 10. Sabendo que x3 2 = + + , assinale A + B + 2C.

x + x 2x

x

x+2

x 1

Resposta: 02Justificativa: Temos

A( x 2 + x 2) + B( x 2 x ) + C( x 2 + 2x ) A B C + + = x x + 2 x 1 x ( x 2 + x 2)2 2x + 4 = x3 + x 2 2x x

Igualando os numeradores, temos A + B + C =1, A B + 2C = -2 e -2A = 4. Portanto, A = -2, 2A + 3C = -1, C = 1 e B = 2. Logo, A + B + 2C = -2 + 2 + 2 = 2.

11. Considere trs cubos, com arestas medindo 1 cm, 2 cm e 3 cm. Os cubos serocolados ao longo de suas faces de modo a se obter um slido. Pretende-se saber quais os slidos com menor rea total da superfcie.

Por exemplo, se a colagem feita como na ilustrao a seguir temos um slido 2 com rea da superfcie 6(1 + 4 + 9) (8 + 2) = 74 cm .

Dentre os slidos obtidos, colando os trs cubos ao longo de suas faces, existem alguns com menor rea total da superfcie. Indique o valor desta rea 2 em cm .

Resposta: 72Justificativa:

As somas das reas das superfcies dos trs cubos 6(1 + 4 + 9) = 84 cm . A 2 maior rea de contato dos dois cubos maiores 4 cm , o que diminui a rea 2 do slido em 2.4 = 8 cm . A maior rea de contato do cubo menor com o slido j construdo obtida quando o menor tem uma face de contato com cada um dos dois cubos maiores, o que diminui a rea do slido agora 2 construdo em 2.2 = 4 cm . A menor rea de superfcie possvel 84 8 4 = 2 72 cm e um dos slidos possveis est ilustrado a seguir.

2

12. Uma locadora de vdeos tem trs estilos de filmes: de fico cientfica,dramticos e comdias. Sabendo que:

- o total de filmes de fico cientfica e dramticos, adicionado de um quarto dos filmes de comdia, corresponde metade do total de filmes da locadora; - o nmero de filmes de comdia excede em 800 o total de filmes de fico cientfica e dramticos; - o nmero de filmes dramticos 50% superior ao nmero de filmes de fico cientfica. Encontre o nmero de filmes dramticos da locadora e indique a soma de seus dgitos.

Resposta: 12Justificativa: Sejam x, y e z os nmeros respectivos de filmes de fico, dramticos e de comdias. Da primeira condio, temos x + y + z/4 = (x + y + z)/2 que se simplifica como x + y z/2 = 0. A segunda condio se traduz como z = 800 + x + y ou x + y z = -800. A terceira condio se escreve simbolicamente como y = 1,5x. Subtraindo as duas primeiras igualdades obtemos z/ 2 = 800 e z = 1600. Substituindo z na primeira equao, obtemos x + y = 800. Substituindo nesta equao y = 1,5x obtemos 2,5x = 800 e x = 320, y = 480.

13. Qual o menor inteiro positivo que deixa resto 2, quando dividido por 3; resto 3,quando dividido por 5, e resto 5, quando dividido por 7?

Resposta: 68Justificativa: Os naturais que deixam resto 2 quando divididos por 3 so 2, 5, 8, 13, ... e 8 tambm deixa resto 3 quando dividido por 5. Os naturais que deixam resto 2, quando divididos por 3, e resto 3, quando divididos por 5 so 8, 23, 38, 53, 68, .. e 68 tambm deixa resto 5 quando dividido por 7.

14. Na ilustrao a seguir, temos um octaedro regular com rea total da superfcie36 3 cm . Indique o volume do octaedro, em cm .2 3

Resposta: 36Justificativa: Se a aresta do octaedro mede a cm, ento, a rea de sua superfcie 8.a2

3 /4 = 2 a

2

3 = 36 3 e

a = 3 2 cm. A altura de uma das pirmides quadradas que formam metade do octaedro mede2 (a 3 / 2) (a / 2) = a / 2 cm, e o volume do octaedro 2

ser 2.a .(a/ 2 )/3 = a

2

3

2 /3 = 27.2 2 . 2 /3 = 36 cm .

3

15. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemtica,Fsica e Qumica. Sabendo que: - o nmero de alunos que cursam Matemtica e Fsica excede em 5 o nmero de alunos que cursam as trs disciplinas; - existem 7 alunos que cursam Matemtica e Qumica, mas no cursam Fsica; - existem 6 alunos que cursam Fsica e Qumica, mas no cursam Matemtica; - o nmero de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas 150; - o nmero de alunos que cursam pelo menos uma das trs disciplinas 190. Quantos alunos cursam as trs disciplinas?

Resposta: 22Justificativa: O nmero de alunos que cursam exatamente uma disciplina 150; o nmero de alunos que cursam exatamente duas disciplinas 5 + 7 + 6 = 18. O nmero de alunos que cursam as trs disciplinas 190 18 150 = 22.

16. Quantas solues a equao trigonomtrica sen2 x + cos x = 5/4 admite nointervalo [0, 60]? Parte do grfico da funo sen x + cos x est esboada abaixo.2

Resposta: 60Justificativa: Substituindo sen x = 1 cos x na equao obtemos cos x cos x + = 0 que tem a raiz dupla cos x = . A igualdade anterior tem as solues x = /3 + 2k. Em cada ciclo completo, a equao admite duas solues; logo, no intervalo [0, 60], admite 30.2 = 60 solues.2 2 2