Universidade Paulista – UNIPCurso: Engenharia/Básico

Disciplina: Complementos de Física – Teoriaprof. Gilberto Lima

Exercícios Propostos da Apostila – págs. 135 a 142ResoluçõesResoluções

1) a) No instante to = 0 s, a barra ℓ é abandonada sobre os trilhos o que promove o fechamento do circuito e o estabelecimento de uma corrente io no sentido horário produzida pelo gerador

com fem ε. Nesse instante, usando a Lei das Malhas de Kirchhoff , teríamos a

seguinte equação para descrever o circuito (lembrando que há uma resistência global R nessa malha, conforme dito no enunciado):

Mas ocorre uma interação entre esta corrente io e o campo magnético externo , e, portanto, surge uma força magnética sobre a barra, cujo valor é dado por:

onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente; neste caso β = 90o.

Pela regra da mão direita vê-se que tal força tende a fazer a barra mover-se para a direita.

io

ε + ℓ –

io io

Os trilhos e a barra estabelecem uma área atravessada pelo campo magnético , portanto há um fluxo magnético dado por:

Aqui escolhi apontar para baixo o versor normal à área, de tal forma a ter o ângulo α entre o campo magnético e o versor valendo 0o.

Com o movimento da barra, a área definida por ela e pelos trilhos aumentará e, portanto, haverá também uma variação do fluxo magnético o que acarretará o surgimento de uma força eletromotriz induzida (εinduzida) e também de uma corrente induzida (iinduzida). Seus valores são dados pela lei de Faraday-Lenz e depois pela lei de Ohm:

x

onde v é a velocidade de deslocamento da barra.

E:

A função destas duas grandezas é produzir um campo magnético induzido ( ) que se contraponha à variação do fluxo; no caso, como o fluxo está aumentando juntamente com a área delimitada pela barra, a fem e a corrente induzidas se estabelecem no sentido anti-horário, de forma a produzirem um campo magnético induzido com sentido para cima (regra da mão direita), para tentar compensar o aumento do fluxo magnético para baixo. Esta corrente induzida também interagirá com o campo magnético externo , o que produzirá uma força magnética induzida (

) que aponta para a esquerda, justamente para tentar conter o movimento original da barra para a direita; o valor dessa força magnética induzida é:

onde γ é o ângulo entre a corrente induzida e o campo magnético externo ; no caso γ = 90o. Aqui desconsideramos o sinal negativo de iinduzida já que estamos calculando apenas o módulo da força magnética induzida.

Todo este conjunto de grandezas induzidas é mostrado na figura abaixo.

io

ε + ℓ io . iind

Voltando a aplicar a Lei das Malhas sobre este circuito, considerando agora a presença da fem induzida, teremos:

,

onde , é a corrente resultante no circuito. A subtração entre as duas correntes deve-se ao fato de elas terem sentidos opostos.

x

b) Sobre a barra atuam duas forças: a força magnética original e a induzida, portanto, a Lei Fundamental da Dinâmica (Segunda Lei de Newton) sobre a barra resulta em:

c) A velocidade e a corrente limites são alcançados quando as forças sobre a barra se igualam, ou seja, quando

Quando a barra atinge essa velocidade, a corrente resultante terá o valor:

Ou seja, na velocidade limite: .

Quer dizer que a corrente induzida assume o mesmo valor da corrente original, mas elas têm sentidos contrários e se anulam.

Reparem que a velocidade da barra estava aumentando até atingir essa velocidade limite, em conseqüência, a taxa de variação temporal (a derivada com o tempo) do fluxo magnético também estava aumentando já que ela dependia da velocidade, em razão disso a fem induzida também aumentava com o objetivo de conter aquela tendência do fluxo. Contudo, quando a barra atinge a velocidade limite, a taxa de variação do fluxo com o tempo passa a ser constante, daí a fem induzida também se torna constante. Embora o fluxo em si continue a aumentar porque a coordenada x, da qual ele depende, ainda permaneça aumentando, a sua taxa de variação passou a ser constante e a fem induzida depende é dessa taxa.

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2) a) Sobre a barra colocada no plano inclinado atua a componente paralela à rampa da força da gravidade: , com sentido descendente (negativo, portanto). A barra delimita uma área sobre o plano inclinado e, portanto, determina também um fluxo magnético que atravessa essa área dado por:

,

θ

Note que o ângulo α entre o campo magnético e o versor normal à superfície atravessada pelo campo é, neste caso, igual ao próprio ângulo θ do plano inclinado como a figura abaixo procura demonstrar.

N ℓ x’

M R

Conforme a barra desliza pelo plano inclinado, ocorre uma variação do fluxo magnético e então são induzidas uma força eletromotriz e uma corrente, ambas no sentido anti-horário. Essa corrente induzida interage com o campo magnético, gerando uma força magnética induzida sobre a barra que busca opor-se à tendência de descida desta. Portanto, pela Lei de Faraday-Lenz:

E: .

E ainda:

onde γ é o ângulo entre a corrente induzida e o campo magnético que vale, neste caso, 90o.

No entanto, esta força magnética não é paralela ao plano inclinado, portanto é preciso determinar a sua projeção na direção do plano inclinado que será dada pelo produto entre seu módulo e o cosseno do ângulo θ, ou seja:

θ

θ

A figura abaixo procura ilustrar todas essas idéias:

x’

iinduzida

R θ

Aplicando a Segunda Lei de Newton à barra teremos:

A velocidade limite (terminal) da barra é alcançada quando as forças se igualam, ou seja, quando a aceleração se anula e a barra passa a se mover com velocidade constante, portanto:

Na última passagem usei a relação:

b) Aqui devemos demonstrar que a energia potencial gravitacional da barra é inteiramente convertida em energia elétrica, ou melhor, é convertida em energia térmica através da sua dissipação no resistor do circuito. Nesse resistor temos uma potência dissipada dada por: , onde a corrente i é a induzida pelo movimento da barra. Assim:

Introduzindo nesta expressão o valor da velocidade limite determinada no item anterior, encontramos:

A energia potencial gravitacional da barra deve ser a origem dessa energia sendo dissipada. Tal energia é obtida de:

,

onde h é a altura que a barra está do solo e que pode ser obtida neste caso da relação:

Para obter a potência fornecida devemos derivar esta energia potencial pelo tempo, dessa forma:

Substituindo aqui a velocidade pelo valor determinado no item passado, encontramos:

,

Fica demonstrado então que: Pdissipada = Pfornecida, ou seja, fica evidenciada a Conservação da Energia no processo.

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10)

d

h

ℓ

a) A espira adentra a região com campo magnético uniforme no instante que convencionaremos como sendo t = 0 s, e nesse momento ela está numa posição que especificaremos como xo = 0 m.

t = 0 s

x = xo = 0 m

O detalhe significativo deste exercício é que o fluxo magnético tem que ser calculado em três situações distintas:

I) quando a espira está invadindo a região na qual o campo magnético está confinado; II) quando a espira está inteiramente dentro daquela região;

III) quando a espira está deixando a referida região.

Em cada uma dessas etapas teremos um fluxo distinto e, em conseqüência, uma fem induzida específica. Calculemos o fluxo em cada uma dessas situações:

I) Enquanto a espira invade a região magnetizada, a área dela que é atravessada pelo campo é dada por: A = hx, onde h = 5 cm = 0,05 cm. Consideremos um versor normal à espira tendo sentido para baixo, de maneira a formar um ângulo de 0o com o campo magnético.

0 s < t < 5 s

h

Com esse detalhe, o fluxo magnético através da espira, enquanto ela invade a região coberta pelo campo, é:

Mas, esta espira desloca-se na direção x com velocidade constante, portanto ela desenvolve um movimento retilíneo uniforme (MRU), cuja equação horária é: , onde, como já estabelecemos, xo = 0 m. Assim: , simplesmente. Portanto:

Ingressando com os valores numéricos temos:

Temos assim o fluxo magnético em função do tempo, mas este resultado só é válido até a espira invadir totalmente a região com campo magnético, o que ocorre no instante em que ela percorre uma distância d = 10 cm = 0,10 m, ou seja em:

.

x

A partir desse instante o valor do fluxo vai mudar.

t = 5 s

II) Quando a espira estiver completamente dentro da região com campo magnético o fluxo através dela será constante, uma vez que tanto a área quanto a intensidade do campo não variam mais. Embora a espira ainda se mova, sua área permanece a mesma e ela vai atravessando regiões em que o campo magnético tem sempre o mesmo valor (assim como mesma direção e sentido), isto acarreta uma uniformidade do fluxo magnético também. De fato, agora:

onde d = 10 cm = 0,10 m. Nenhum dos fatores que compõe o fluxo aqui se alteram com o tempo; o fluxo é, portanto, constante.

Numericamente:

Como a espira demorou 5 s para entrar completamente na região com campo, levará mais 5 s para sua aresta dianteira atingir a extremidade oposta da região, ou seja, ao todo demorará 10 s para começar a sair da área com campo. De fato, tendo essa área um comprimento ℓ = 20 cm = 0,20 m, então, o tempo necessário para a espira atravessar a região é:

A partir desse momento, a área da espira em contato com o campo passará a diminuir.

hd

t = 10 s

ℓ

III) Como o desenho abaixo procura mostrar, a área da espira em contato com o campo magnético passa a ser:

10 s < t < 15 s

x

ℓ

Assim, o fluxo magnético na área da espira que ainda permanece dentro da região com campo magnético é:

hd

hd

Entrando com os valores numéricos temos:

Quando x = (ℓ + d) = (20 cm + 10 cm) = 30 cm = 0,30 m, a espira sairá completamente da região sob influência do campo magnético. A partir desse momento não haverá mais fluxo magnético a ser calculado:

t = 15 s

Um gráfico representando o comportamento do fluxo magnético durante o movimento da espira teria o seguinte aspecto:

5

t(s) 0 5 10 15

x

ℓ

d

b) A fem induzida também terá um valor específico em cada uma dessas etapas do movimento da espira. Aplicando a lei de Faraday-Lenz a cada uma delas encontraremos:

I) Para 0 s < t < 5 s:

II) Para 5 s < t < 10 s:

III) Para t > 10 s:

O gráfico da fem induzida em função do tempo seria então:

1

0 5 10 15 t (s)

–1

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11) a) A barra juntamente com as guias delimita uma área que é atravessada pelo campo magnético redundando no aparecimento de um fluxo magnético dado por:

.

Como vê-se na figura abaixo escolhemos um versor normal à essa área e com sentido para dentro, de tal forma a fazê-lo paralelo ao campo magnético e, assim, ter θ = 0o.

A fem induzida será dada pela lei de Faraday-Lenz:

Introduzindo os valores numéricos encontramos, em módulo:

ℓ R

b) O sentido em que a corrente se estabelece está indicado na figura acima. A força magnética induzida que essa corrente produz deve se opor ao movimento da barra para tentar conter o aumento do fluxo que se dá devido ao aumento da área. Para que surja uma força magnética com o sentido contrário ao da velocidade a corrente elétrica induzida deve ter o sentido horário. Com isso e usando-se a regra da mão direita constata-se que a força magnética tem o sentido correto.

Usando a Lei das Malhas de Kirchhoff teremos a seguinte equação para descrever

esse circuito:

O que resulta em:

Portanto, a corrente induzida vale 2,5 A e tem sentido anti-horário.

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12) Neste exercício o enunciado já é claro quanto ao fato de o campo magnético ser perpendicular à área que ele atravessa, portanto, cosθ = 1. Daí:

iinduzida

x

A área é fixa, mas o campo magnético está variando (o sinal negativo é porque o

campo está diminuindo), portanto:

Agora, aplicando a lei de Ohm para essa espira obteremos:

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13) Novamente o enunciado do exercício já anuncia que o campo é perpendicular à área atravessada por ele, portanto, θ = 0o e cosθ = 1. O fluxo magnético será dado por:

Onde levamos em conta que se trata de uma bobina com N espiras de área A cada uma.

A fem induzida nessa bobina é obtida pela aplicação da lei de Faraday-Lenz:

A área não está mudando neste caso, mas apenas o campo e temos como determinar qual é a sua taxa de variação:

Portanto:

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14) O gráfico apresentado do fluxo magnético em função do tempo é muito similar ao obtido no exercício 10 acima, apenas diferindo nos valores. Conforme veremos, o gráfico da fem induzida também será semelhante ao daquele exercício.

No intervalo de tempo 0 s ≤ t ≤ 0,1 s, o fluxo aumenta linearmente com o tempo. Ou seja: , é a equação de uma reta cujos coeficientes, a e b, devemos determinar. O coeficiente angular dessa reta pode ser obtido de:

.

Já o coeficiente linear a é claramente igual a 0 Wb neste segmento. Dessa forma obtemos:

para 0 s ≤ t ≤ 0,1 s.

Determinemos o valor da fem induzida neste intervalo:

Agora, no intervalo 0,1 s ≤ t ≤ 0,3 s, vemos que o fluxo magnético é constante:

.

Obviamente então:

Finalmente, no intervalo 0,3 s ≤ t ≤ 0,4 s, vê-se que o fluxo decresce linearmente com o tempo, ou seja, novamente: , onde agora:

.

Para encontrar a usaremos o fato que quando t = 0,4 s temos , e daí:

O fluxo magnético nesse intervalo é, portanto:

,resultando em:

Combinando em um gráfico todos esses resultados da força eletromotriz em cada intervalo obtemos:

40

0 0,1 0,2 0,3 0,4 t(s)

–40

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15) Sobre a barra atuam três forças:

I) O seu próprio peso Pbarra = mg; II) A tensão exercida pelo peso do bloco pendurado que indicarei simplesmente por Pbloco = Mg. Estas duas forças apontam para baixo. III) Uma força magnética com sentido para cima e que equilibra o sistema. Esta força nasce da interação entre o campo magnético externo e a corrente elétrica produzida pela bateria; seu sentido é obtido a partir da aplicação da regra da mão direita, e sua intensidade é:

onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente; neste caso β = 90o.

Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff temos a seguinte equação para descrever

esse circuito:

onde ε é a fem fornecida pelo gerador presente, e r é a resistência da barra.

Dessa forma, a força magnética toma a forma:

A figura abaixo ilustra essa composição de forças. y ε

R = 20 Ω

yo

io

0 M

a) Aplicando a 2ª. Lei de Newton a esse sistema de forças, encontramos:

Como todas as forças estão na direção y, não foi necessário adotar a notação vetorial, bastando apenas indicar os sentidos das forças com os sinais adequados (seguindo a convenção mostrada no desenho).

Como o sistema está equilibrado, então a aceleração é nula, e, portanto, a soma das forças também é zero (a resultante de forças é nula). Assim, temos:

Introduzindo os valores numéricos fornecidos, obtemos:

b) Quando o bloco é desconectado da barra, o equilíbrio de forças é quebrado e a barra passa a subir. Dessa forma, a área delimitada por ela e pelo circuito passa a se alterar, produzindo uma variação do fluxo magnético e, conseqüentemente, gerando uma força eletromotriz, uma corrente e uma força magnética induzidas no sistema que tentam impedir o movimento da barra. O desenho abaixo procura ilustrar a nova composição de forças que surge.

y io yo

iinduzida y 0

Equacionando este sistema de força encontramos agora que:

Para determinarmos o valor dessa força magnética induzida devemos calcular o fluxo magnético e dele obter a força eletromotriz induzida. Considerando um versor normal à área apontando para dentro da página (vide figura acima), resulta que o ângulo entre o campo e o versor é zero, portanto:

Aplicando a lei de Faraday-Lenz:

onde v é a velocidade de deslocamento da barra. Lembrando que yo é uma constante e sua derivada é nula.

Daí podemos obter a corrente elétrica induzida:

Da interação entre esta corrente e o campo magnético origina-se a força magnética induzida:

Introduzindo este resultado na equação de movimento da barra temos:

Na última passagem simplesmente dividi os dois lados da expressão por m.

Colocando nessa expressão os valores numéricos já conhecidos, encontramos:

Neste resultado abolimos as unidades por questão de facilidade de manuseio das expressões, mas você pode realizar uma análise dimensional e conferir se tudo está coerente.

Temos agora uma pequena equação diferencial para resolver. Devemos multiplicar ambos os lados pela diferencial dt para poder separar as variáveis e integrar, dessa forma obteremos o comportamento da velocidade da barra com o tempo. Então:

Explicando os limites de integração adotados: na primeira integral, o limite inferior é a velocidade inicial da barra que era zero, uma vez que ela estava parada quando o bloco M foi retirado; o limite final é a velocidade num instante t qualquer (fizemos uma distinção na variável de integração para não confundi-la com essa variável do extremo da integral). Na segunda integral, o limite inferior é zero porque começamos a contar o tempo no instante em que o bloco M foi liberado; o limite superior é um instante t qualquer.

Resolvendo as integrais encontramos:

Aplicando a exponencial aos dois lados dessa expressão teremos:

Portanto, a velocidade da barra tende exponencialmente a um valor limite. (Tente desenhar o gráfico desta função num programa como o Excel, por exemplo, e visualize o comportamento da velocidade com o tempo.)

c) A velocidade limite é alcançada quando portanto:

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16) No instante inicial (t = 0), a barra AB é abandonada sobre os fios fechando o circuito. Nesse instante há duas forças agindo sobre ela:

I) O seu próprio peso Pbarra = mg; eII) A força magnética produzida pela interação entre o campo magnético e a corrente elétrica que circula no circuito formado pela barra e os fios. Essa força é dada, como sempre, por:

onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente; neste caso β = 90o, e ε é a fem fornecida pelo gerador presente.

A figura abaixo ilustra essas forças e indica que a força magnética aponta para baixo, segundo a regra da mão direita.

Em t = 0 s ε R

io

A partir do momento em que a barra começa a mover-se para baixo, a área por ela delimitada passa a variar e, em conseqüência, ocorre também uma variação do fluxo magnético dando origem a uma força eletromotriz e a uma corrente elétrica induzidas. A interação desta corrente com o campo magnético produz uma força magnética induzida que tende a se contrapor ao movimento da barra (vide figura abaixo). Como na questão anterior podemos determinar o valor dessa força magnética seguindo o roteiro padronizado.

io

iinduzida

y

Associando-se um versor normal à área e com sentido para dentro, resulta que o ângulo entre o campo e esse versor é zero, portanto:

Aplicando a lei de Faraday-Lenz:

onde v é a velocidade de deslocamento da barra.

Daí podemos obter a corrente elétrica induzida:

,

Da interação entre esta corrente e o campo magnético origina-se a força magnética induzida:

Equacionando o sistema de força encontramos que (adotando o sentido positivo do eixo y como sendo para baixo, conforme se vê na figura acima), temos:

Ingressando com os valores numéricos conhecidos, obtemos:

Novamente, trata-se de uma pequena equação diferencial a ser resolvida pelo método de separação de variáveis já usado no exercício anterior:

Já a corrente em função do tempo será obtida de:

,

onde i aqui é a corrente resultante. Colocando nesta expressão os valores numéricos conhecidos, e também a velocidade recém obtida, teremos:

b) Como sempre, a velocidade limite é alcançada quando a aceleração se anula, portanto:

Este resultado também pode ser obtido através da expressão para a velocidade em função do tempo, , buscando-se seu valor quando o tempo tende ao infinito ( ). Neste caso:

portanto: .

Reparem, contudo, que a corrente resultante não é nula quando se atinge esta velocidade limite. De fato:

Esta corrente residual se faz necessária para gerar uma força magnética que compense o peso da barra e mantenha esta movendo-se com velocidade constante. O sinal negativo nela indica que esta corrente tem sentido oposto à corrente original produzida pelo gerador.

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17) a) Se o bloco M sobe com velocidade constante é porque a barra move-se para a direita e a resultante de forças sobre ela é nula. Nessa barra atuam três forças que nos interessam neste caso:

I) A tensão T exercida pelo peso do bloco M, portanto T = Mg;II) Como há uma corrente passando pela barra então deve haver uma força magnética produzida pela interação dessa corrente com o campo magnético presente. Essa força deve ter o sentido para a direita na figura uma vez que se faz necessária uma força com essa característica para compensar a tensão T, e assim manter a velocidade da barra constante. Para que, num campo magnético com a direção indicada, apareça uma força magnética horizontal apontando para a direita, é necessário que a corrente circule no sistema no sentido anti-horário (regra da mão direita). Com essa exigência já se pode então definir a polaridade do gerador G e ela é mostrada na figura abaixo.

A intensidade dessa força magnética é dada por:

onde β é o ângulo entre o campo magnético e a corrente, neste caso β = 90o, e ε é a fem fornecida pelo gerador presente.

Mas notem, contudo, que esta força magnética não aponta para a direita, mas faz sim um ângulo de 30º em relação ao plano da barra, portanto, para determinarmos o valor exato da força que arrasta a barra devemos determinar a projeção dessa força magnética no plano da espira. Isto resulta em:

Na figura abaixo procuro demonstrar todos esses detalhes.

30o R 30o 60o

–

+ io

x

III) Devido ao movimento da barra, a área delimitada por ela e pelos trilhos passa a se alterar, produzindo uma variação do fluxo magnético e, conseqüentemente, gerando uma força eletromotriz,uma corrente e uma força magnética induzidas que tentam se opor ao deslocamento da barra.

Escolhendo o versor normal ( ) à área delimitada pelos trilhos e pela barra com sentido para cima, observa-se na figura que isto resulta num ângulo de 30o entre ele e o campo magnético, assim, a intensidade da força magnética induzida é obtida através dos seguintes passos:

i) Fluxo Magnético:

ii) FEM Induzida:

iii) Corrente Induzida:

iv) Força Magnética Induzida:

Mas também esta força magnética não está contida no plano da espira, conforme a figura abaixo procura mostrar. Para obter a sua projeção sobre o plano da espira devemos fazer:

io

R iinduzida

x

Entrando com este conjunto de forças na 2ª. Lei de Newton, temos:

Substituindo os termos pelos valores conhecidos chega-se a:

Devemos lembrar agora que a barra está-se movendo com velocidade constante, portanto:

b) No instante inicial (t = 0), desconecta-se o bloco da barra e assim se elimina a tração que este exercia sobre a ela, a equação do movimento assume então a seguinte configuração:

Fazendo a atribuição dos valores numéricos temos:

Novamente surge uma pequena equação diferencial para resolver:

Aplicando a exponencial aos dois membros desta expressão, obtém-se:

A diferença entre este resultado e o apresentado na apostila deve-se ao fato de nesta o autor não ter considerado que a velocidade inicial da barra era de 5 m/s (no momento em que se solta o bloco preso a ela). Reparem que considerei o limite inferior da integração iniciada acima como sendo essa velocidade, provavelmente o autor esqueceu-se deste detalhe e iniciou sua integração com velocidade nula. Isto configura um problema, pois se usarmos o resultado da apostila no instante t = 0 s, veremos que resulta numa velocidade nula nesse momento, o que não está correto. Já o resultado aqui obtido fornece a velocidade inicial exata.