resolução de sistemas lineares - icmcmari/segundonum2011/sistemaslineares.pdf · resolução de...

Resolução de sistemas linearesSME 0200 – Cálculo Numérico I

Docente: Prof. Dr. Marcos Arenales

Estagiário PAE: Pedro Munari

[[email protected], [email protected]]

Introdução

� Sistemas lineares são de grande importância para a descrição e resolução de problemas que surgem nas mais diversas áreas da ciência e engenharia.

� Geometria� Redes elétricas, hidráulicas, de tráfego, ...� Distribuição de calor� Química� Economia� Otimização linear� Estatística� Jogos� ...(http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/system.html)

Introdução

� Por que utilizar um método?

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

K

K

K

2211

22222121

11212111

Introdução

� Notação

bAx =

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

K

K

K

2211

22222121

11212111

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

K

MOMM

K

K

21

22221

11211

=

nx

x

x

xM

2

1

=

mb

b

b

bM

2

1

,nx ℜ∈,nmA ×ℜ∈ .mb ℜ∈

Número de soluções

� Dado um sistema linear, apenas uma das situações abaixo pode ocorrer:

� O sistema tem solução única

� O sistema tem infinitas soluções

� O sistema não admite solução

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4


−=−=+

23

32

21

21

xx

xx2x

1x

Solução única

-2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6


=+=+

624

32

21

21

xx

xx2x

1x

Infinitas soluções

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

2

4


=+=+

224

32

21

21

xx

xx2x

1x

Não admite solução


� Graficamente...� Solução única:

� Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam.

� Infinitas soluções:

� Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções do sistema.

� O sistema não admite solução:

� Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.


� No caso geral...

� Precisamos analisar o Posto e a

Imagem da matriz A, de acordo com

suas dimensões m e n.

,nx ℜ∈bAx = ,nmA ×ℜ∈ .mb ℜ∈

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4


2x

2)Im( ℜ=A

−=−=+

23

32

21

21

xx

xx

Solução única

2)( =Aposto


� As colunas de A são Linearmente Independentes e formam uma base do R2.

� b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A.

−=−=+

23

32

21

21

xx

xx)Im(Ab ∈

Sistema compatSistema compatíível determinadovel determinado

-2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6


=+=+

624

32

21

21

xx

xx2x

1x

Infinitas soluções

2)Im( ℜ⊂A

1)( =Aposto


� As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2.

� Basta uma coluna de A para escrever b.

=+=+

624

32

21

21

xx

xx)Im(Ab ∈

Sistema compatSistema compatíível vel inindeterminadodeterminado

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

2

4


=+=+

224

32

21

21

xx

xx

Não admite solução

2)Im( ℜ⊂A

1)( =Aposto


� As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2.

� b não pode ser escrito como combinação das colunas de A.

=+=+

224

32

21

21

xx

xx)Im(Ab ∉

Sistema Sistema inincompatcompatíívelvel


� Essas situações se estendem para o caso

geral, sempre que m = n.

� Quando m ≠ n, temos:

� posto(A) ≤ min{m, n}

� se m < n o sistema nunca pode ter solução

única, pois posto(A) < n

� se m > n o sistema pode não ter solução

Métodos de resolução

Métodos de resolução

� Veremos aqui métodos para a

resolução de sistemas com n linhas

e n variáveis (a matriz A deve ter posto completo).

� Os métodos de resolução podem ser divididos em dois grupos:� Métodos Exatos (ou Diretos)

� Métodos Iterativos

Eliminação de Gauss

=

=++=+++

mnmn

nn

nn

dxc

dxcxc

dxcxcxc

22222

11212111

O

K

K

(2)


� Qual sistema é mais fácil de ser resolvido?

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

K

K

K

2211

22222121

11212111

(1)

Resolução de sistema triangular

Algoritmo:

x[n] := b[n]/A[n][n];

Para i = n-1 até 1, faça

início

soma := 0;

Para j = i+1 até n, faça

soma := soma + A[i][j] * x[j];

x[i] := (b[i] - soma) / A[i][i];

fim


� Consiste em transformar o sistema a ser

resolvido em um sistema triangular

equivalente, por meio de operações

elementares.

� A solução do sistema original é obtida

pela resolução desse sistema triangular.


� Operações elementares:� Multiplicar uma equação por uma

constante não-nula;

� Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação;

� Trocar duas equações de posição.

� O sistema resultante tem as mesmas soluções que sistema o original


nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

M

K

MOMM

K

K

2

1

21

22221

11211


)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

M

K

MOMM

K

K


)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

M

K

MOMM

K

K

Zerar esses elementosutilizando operaçõeselementares


)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

M

K

MOMM

K

K

pivô



)2(

)2(2

)1(1

)2()2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

b

b

b

aa

aa

aaa

M

K

MOMM

K

K


)2(

)2(2

)1(1

)2()2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

b

b

b

aa

aa

aaa

M

K

MOMM

K

K


pivô


� Ao fim do processo:


)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

M

K

MOMM

K

K

)1(11

)1(1

1 a

am i

i =Multiplicador

12122 LmLL −←

11LmLL nnn −←

...

Passo 1


)2(

)2(2

)1(1

)2()2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

b

b

b

aa

aa

aaa

M

K

MOMM

K

K

)1(11

)1()2(

)1(11

)1()2(

bmbb

amaa

iii

jiijij

−=

−=

Eliminação de Gauss – Algoritmo

Para k = 1 até n-1, faça

início

Para i = k+1 até n, faça

início

mult := A[i][k] / A[k][k];

A[i][k] := 0;

Para j = k+1 até n, faça

A[i][j] := A[i][j] - mult * A[k][j];

b[i] := b[i] - mult * b[k];

fim_para (i)

fim_para (k)

Resolva o sistema triangular resultante;

Eliminação de Gauss – Exemplo 1

� Resolva o sistema linear

=+−=+−

=+−

12 5

511296

20523

31

321

321

xx

xxx

xxx


� Notação matricial

−−−

1

51

20

205

1296

523


� Passo k = 1

−−−

1

51

20

205

1296

523


� Passo k = 1� i = 2

12122 LmLL −←

−−−

1

51

20

205

1296

523

23

6

11

2121 ===

a

am


� Passo k = 1� i = 2

12122 LmLL −←

−−−

1

51

20

205

1296

523

23

6

11

2121 ===

a

am

03*2611212121 =−=−= amaa


� Passo k = 1� i = 2

12122 LmLL −←

−−−

1

51

20

205

1290

523

23

6

11

2121 ===

a

am

03*2611212121 =−=−= amaa

( ) 52*2912212222 −=−−−=−= amaa


� Passo k = 1� i = 2

12122 LmLL −←

−−−

1

51

20

205

1250

523

23

6

11

2121 ===

a

am

03*2611212121 =−=−= amaa

( ) 52*2912212222 −=−−−=−= amaa

25*21213212323 =−=−= amaa


� Passo k = 1� i = 2

12122 LmLL −←

−−−

1

51

20

205

250

523

23

6

11

2121 ===

a

am

1120*25112122 =−=−= bmbb


� Passo k = 1

−−−

1

11

20

205

250

523


� Passo k = 1� i = 3

−−−

1

11

20

205

250

523

13133 LmLL −←

3

5

11

3131

−==a

am


� Passo k = 1� i = 3

−−−

1

11

20

205

250

523

13133 LmLL −←

3

5

11

3131

−==a

am

03*3

5511313131 =

−−−=−= amaa


� Passo k = 1� i = 3

−−

1

11

20

200

250

523

13133 LmLL −←

3

5

11

3131

−==a

am

3

10)2(*

3

5012313232 −=−

−−=−= amaa


� Passo k = 1� i = 3

−−−

1

11

20

23100

250

523

13133 LmLL −←

3

5

11

3131

−==a

am

3

31)5(*

3

5213313333 =

−−=−= amaa


� Passo k = 1� i = 3

−−−

1

11

20

331

3100

250

523

13133 LmLL −←

3

5

11

3131

−==a

am

3

10320*

3

5113133 =

−−=−= bmbb


� Passo k = 1

−−−

3103

11

20

331

3100

250

523


� Passo k = 2

−−−

3103

11

20

331

3100

250

523


� Passo k = 2� i = 3

−−−

3103

11

20

331

3100

250

523

23233 LmLL −←

3

2

22

3232 ==

a

am


� Passo k = 2� i = 3

−−−

3103

11

20

331

3100

250

523

23233 LmLL −←

3

2

22

3232 ==

a

am

0)5(*3

2

3

1022323232 =−

−−=−= amaa


� Passo k = 2� i = 3

−−

3103

11

20

33100

250

523

23233 LmLL −←

3

2

22

3232 ==

a

am

92*3

2

3

3123323333 =

−=−= amaa


� Passo k = 2� i = 3

−−

3103

11

20

900

250

523

23233 LmLL −←

3

2

22

3232 ==

a

am

2711*3

2

3

10323233 =

−=−= bmbb


� Passo k = 2� Sistema triangular obtido:

−−

27

11

20

900

250

523


� Resolução do sistema triangular

−−

27

11

20

900

250

523

39

273 ==x



15

5

5

3*211

22

32322 −=

−=

−−=−=

a

xabx

−−

27

11

20

900

250

523

39

273 ==x



15

5

5

3*211

22

32322 −=

−=

−−=−=

a

xabx

−−

27

11

20

900

250

523

39

273 ==x

13

3

3

)3*5)1(*)2((20)(

11

31321211 ==+−−−=+−=

a

xaxabx


� Logo,

é solução do sistema:

=+−=+−

=+−

12 5

511296

20523

31

321

321

xx

xxx

xxx

−=

3

1

1

3

2

1

x

x

x


� Resolva o sistema linear:

−=+−−=++−

=++−−=++−

601082

48104

4111236

7532

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx


� Notação matricial:

−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312


� Passo k = 1:

−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312


� Passo k = 1:� i = 2

−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312

12122 LmLL −←

32

6

11

2121 ===

a

am


� Passo k = 1:� i = 3

−

−

−−−

−−

60

4

25

7

10820

81014

4300

5312

13133 LmLL −←

22

4

11

3131 ===

a

am


� Passo k = 1:� i = 4

−

−

−−−−

−

60

18

25

7

10820

2410

4300

5312

14144 LmLL −←

02

0

11

4141 ===

a

am


� Passo k = 1:

−

−

−−−−

−

60

18

25

7

10820

2410

4300

5312


� Passo k = 2:

−

−

−−−−

−

60

18

25

7

10820

2410

4300

5312


� Passo k = 2:

−

−

−−−−

−

60

18

25

7

10820

2410

4300

5312

O pivô é nulo!

Estratégias de pivotamento

� O que acontece se o pivô for nulo?

� Pivô próximo de zero pode levar a resultados incorretos.

� Para contornar esses dois problemas deve-se adotar uma estratégia para a escolha de um “bom” pivô.

Estratégias de pivotamento

� Pivotamento parcial� Escolher para pivô o elemento de maior

módulo na coluna, dentre os que ainda irão atuar no processo de eliminação.

� Pivotamento completo� Escolher para pivô o elemento de maior

módulo dentre todos os elementos que ainda irão atuar no processo de eliminação.


� Resolva o sistema linear a seguir, utilizando pivotamento parcial:

−=+−−=++−

=++−−=++−

601082

48104

4111236

7532

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx


� Notação matricial:

−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312


� Passo k = 1:

−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312


� Passo k = 1:� Qual o maior elemento (em módulo)?

−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312



−

−

−−−−−

60

4

4

7

10820

81014

111236

5312Troca de linhas(permutação)


� Passo k = 1:� O pivô é o maior elemento da coluna!

−

−

−−−−−

60

4

7

4

10820

81014

5312

111236


� Passo k = 1:� i = 2

−

−

−−−−−

60

4

7

4

10820

81014

5312

111236

12122 LmLL −←

3

1

6

2

11

2121 ===

a

am


� Passo k = 1:� i = 3

−

−

−−−

−−

60

4

3333.8

4

10820

81014

3333.1100

111236

13133 LmLL −←

3

2

6

4

11

3131 ===

a

am


� Passo k = 1:� i = 4

−

−

−−

−−

60

33333.1

3333.8

4

10820

66667.0210

3333.1100

111236

14144 LmLL −←

06

0

11

4141 ===

a

am


� Passo k = 1:

−

−

−−

−−

60

33333.1

3333.8

4

10820

66667.0210

3333.1100

111236


� Passo k = 2:

−

−

−−

−−

60

33333.1

3333.8

4

10820

66667.0210

3333.1100

111236



−

−

−−

−−

60

33333.1

3333.8

4

10820

66667.0210

3333.1100

111236



−

−

−−

−−

60

33333.1

3333.8

4

10820

66667.0210

3333.1100

111236

Troca de linhas(permutação)



−

−

−

−−−

3333.8

33333.1

60

4

3333.1100

66667.0210

10820

111236


� Passo k = 2:� i = 3

−

−

−

−−−

3333.8

33333.1

60

4

3333.1100

66667.0210

10820

111236


� Passo k = 2:� i = 4

−−

−

−−−−

−

3333.8

667.28

60

4

3333.1100

6667.5200

10820

111236


� Passo k = 2:

−−

−

−−−−

−

3333.8

667.28

60

4

3333.1100

6667.5200

10820

111236



−−

−

−−−−

−

3333.8

667.28

60

4

3333.1100

6667.5200

10820

111236


� Passo k = 3:� i = 4

−−

−

−−−−

−

3333.8

667.28

60

4

3333.1100

6667.5200

10820

111236


� Passo k = 3:� Sistema triangular obtido:

−−

−−−−

−

6

667.28

60

4

5.1000

6667.5200

10820

111236


� Resolução do sistema triangular:

−−

−−−−

−

6

667.28

60

4

5.1000

6667.5200

10820

111236

45.1

64 −=

−=x



−−

−−−−

−

6

667.28

60

4

5.1000

6667.5200

10820

111236

32

6

2

)4(*6667.5667.28

33

43433 =

−−=

−−−−=−=

a

xabx



−−

−−−−

−

6

667.28

60

4

5.1000

6667.5200

10820

111236

22

4

2

))4(*103*)8((60)(

22

42432322 −=

−=

−−+−−−=+−=

a

xaxabx



−−

−−−−

−

6

667.28

60

4

5.1000

6667.5200

10820

111236

16

6

6

)44366(4)(

11

41431321211 ==−+−=++−=

a

xaxaxabx


� Solução:

−

−=

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

Decomposição LU

Decomposição LU

� Decompor a matriz A em um produto de dois fatores:

� L: matriz triangular inferior

� U: matriz triangular superior

Ax = b LU x = b

A = LU

Decomposição LU

� U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss.

� Quem é L então?

� Por que utilizar a decomposição LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?

resolução de sistemas lineares - icmcmari/segundonum2011/sistemaslineares.pdf · resolução de...

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