Eliandro R. Cirilo

Departamento de Matemática

Resolução Numérica da Equação de Condução do Calor em Uma Placa

Bidimensional

Estrutura da Apresentação:

3 – Questões Numéricas

1 – Aspectos Históricos

2 – Equação de Condução do Calor

4 – Resultados Numéricos

5 – Consideração Finais

1 – Aspectos Históricos• A condução do calor está ligada a fenômenos físicos difusivos.• O seu estudo teve inicio por volta de 1800.• A primeira investigação importante foi desenvolvida por Joseph B. Fourier (1768-1830), ele enunciava que uma função totalmente arbitrária podia ser representada por uma série da forma

• Em homenagem a ele as séries dessa forma são denominadas séries de Fourier, e são fundamentais na solução analítica do PVC da condução do calor unidimensional.• Para problemas mais complexos, ainda não é disponível a solução de forma fechada.

∑∞

=

++

1

0 cos2 m

mm l

xmsenb

l

xma

a ππ

2 – Equação de Condução do CalorA equação diferencial parcial que descreve a condução do calor numa placa retangular, do espaço bidimensional, é da forma:

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

y

T

x

T

t

T α

onde:

Rl;l ∈21

[ )∞∈ ,t 0 é a variável temporal;

( ) [ ] [ ]21 00 l,l,y,x ×∈ é o ponto discreto do espaço 2D

)y,x,t(TT ≡ é a temperatura no tempo e espaço

α é o coeficiente de difusividade térmica do meio1l

2l( )y,x,tT

2.1 – Solução Analítica

Admitindo por hipótese que 0=∂∂t

Ta equação de condução fica:

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

T

x

T“Equação de Laplace”

considerando

500 =)y,x,(T 00 =)y,,t(T 102 =)y,,t(T 00 =),x,t(T 01 =),x,t(T

foi demonstrado que a solução do problema é dada por:

∑∞

=

−=1 2

120

n

)yn(sen).xn(senh)n(senh.n

)ncos()y,x(T ππ

πππ

Malha de 50x50 Isolinhas Gradiente

Mas e os casos onde:

1. a geometria é complexa

2. as condições de contorno são variáveis

3. há geração de calor internamente

4. há transferência de calor pelo contorno

5. há troca de calor com o meio externo

6. Etc…

nestas, e outras, situações ainda não há solução na forma fechada, logo se faz necessária à abordagem numérica.

3 – Questões NuméricasDa fórmula de Taylor infinitesimal tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +′′′+′′+′+=+ φφφφφ fhfhfhfhf 32

6

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +′′′−′′+′−=− φφφφφ fhfhfhfhf 32

6

1

2

1

onde .Rh∈( )φf é uma função “n” vezes derivável em ,φ e

Negligenciando termos da ( )2hO obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )22

2 2

h

hffhf

d

fd −+−+≅ φφφφ

φ ( ) ( ) ( )h

fhf

d

df φφφφ −+≅

que substituídas na equação do calor nos dá a forma discretizada da mesma.

( )hOe

Considerando um esquema implícito, então )j,i,k(T)y,x,t(T ≡ logo:

t

)j,i,k(T)j,i,k(T)j,i,k(

t

T)y,x,t(

t

T

∆−+≈

∂∂=

∂∂ 1

22

2

2

2 111211

x

)j,i,k(T)j,i,k(T)j,i,k(T)j,i,k(

x

T)y,x,t(

x

T

∆−+++−++≈

∂∂=

∂∂

22

2

2

2 111211

y

)j,i,k(T)j,i,k(T)j,i,k(T)j,i,k(

y

T)y,x,t(

y

T

∆−+++−++≈

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

y

T

x

T

y

T

x

T

t

T

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂ ααα

Substituindo-as na equação

obtemos

=∆

−+t

)j,i,k(T)j,i,k(T 1

( ) ( ) ( ) +

∆−+++−++

2

111211

x

j,i,kTj,i,kTj,i,kTα

∆

−+++−++2

)1,,1(),,1(2)1,,1(

y

jikTjikTjikTα

que depois do reagrupamento fica

( )TTATATATAA

)j,i,k(T ssnnwweeP

++++

=+ 1

1

onde

∆

+∆

∆+=22

1121

yxtAP α we A

x

tA =

∆∆=

2

αsn A

y

tA =

∆∆=

2

α

e os índice, p, e, w, n e s, designam localizações cardeais.

)j,i,k(TTe 11 ++= )j,i,k(TTw 11 −+= )j,i,k(TTn 11 ++=

)j,i,k(TTs 11 −+= )j,i,k(TT =

O sistema de equações ( )TTATATATAA

)j,i,k(T ssnnwweeP

++++

=+ 1

1

é resolvido pelo método das relaxações sucessivas, dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1111 ++ +++−=+ ITj,iGS

ITj,i

ITj,i j,i,kT.rj,i,kT.rj,i,kT

onder

ITé o fator de relaxação tal que o método só converge se 20 << r

é o nível iterativo.

MALHA SOLVER

EXECUTAR

IT+1

IT

celula do contorno

celula do interior

níveis iterativos

VISUALIZAR

4 – Resultados NuméricosObservando as isolinhas, e conseqüentemente, os mapas do gradiente de temperatura, abaixo, percebe-se que eles apresentaram uma significativa similaridade

Solução analítica Solução numérica

Considerando que a equação de condução (de uma chapa de alumínio)

é resolvida no mesmo domínio já abordado, e sujeita às condições:

500 =)y,x,(T 1500 =)y,,t(T 202 =)y,,t(T 700 =),x,t(T 1010 =),x,(T

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

860y

T

x

T,

t

T

As isolinhas e o mapa de cores para porcentagens de 25%, 50%, 75% e 100% do tempo para alcançar o estado permanente podem ser observadas abaixo:

Considerando que a equação de condução (de uma chapa de tijolo)

é resolvida no mesmo domínio já abordado, e sujeita às condições:

500 =)y,x,(T 1500 =)y,,t(T 202 =)y,,t(T 700 =),x,t(T 1010 =),x,(T

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

00380y

T

x

T,

t

T

ele necessitou de 15.4276 segundo para alcançar o estado permanente, e a distribuição ficou:

5 – Consideração FinaisTendo informações sobre o comportamento da distribuição de temperatura pode-se:

• Analisar os gradientes em regiões específicas na geometria;

• Sugerir medidas de controle, mudanças de design, etc. Via simulação numérica.

• Analisar o tempo necessário, em que intensidade, se alcança o equilíbrio térmico;

• Etc... www.mat.uel.br/ercirilo