malha fechada modelagem
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Conteúdo
• Definições básicas;
• Caracterização de Sistemas Dinâmicos;
• Caracterização dinâmica de conversores cc-cc;
• Controle Clássico x Controle Moderno;
Engenharia de Controle
Definições Básicas
• Definição:
Ramo da engenharia que se ocupa da modelagem, análise e
compensação de Sistemas Dinâmicos.
– Sistema: “combinação de componentes que atuam conjuntamente e realizam
um certo objetivo” (Ogata – Engenharia de Controle Modero);
– Sistema Dinâmico: sistemas cujo comportamento apresenta uma lei de
evolução em função do tempo;
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Engenharia de Controle
Definições Básicas
• Definição:
Ramo da engenharia que se ocupa da modelagem, análise e
compensação de Sistemas Dinâmicos.
– Sistema: “combinação de componentes que atuam conjuntamente e realizam
um certo objetivo” (Ogata – Engenharia de Controle Modero);
– Sistema Dinâmico: sistemas cujo comportamento apresenta uma lei de
evolução em função do tempo;
– Modelagem: representação matemática do sistema objeto (Planta) que
evidencie o comportamento que se deseja analisar;
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Engenharia de Controle
Definições Básicas
• Definição:
Ramo da engenharia que se ocupa da modelagem, análise e
compensação de Sistemas Dinâmicos.
– Sistema: “combinação de componentes que atuam conjuntamente e realizam
um certo objetivo” (Ogata – Engenharia de Controle Modero);
– Sistema Dinâmico: sistemas cujo comportamento apresenta uma lei de
evolução em função do tempo;
– Modelagem: representação matemática do sistema objeto (Planta) que
evidencie o comportamento que se deseja analisar;
– Análise: é a extração de informações acerca da resposta e estabilidade da
planta, realizada a partir do modelo elaborado;
– Compensação: é a intervenção sobre a planta a fim de ajustar sua resposta
(transitória e permanente), garantindo a estabilidade do novo sistema;
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Caracterização de Sistemas Dinâmicos
• Principais parâmetros de caracterização de Sistemas Dinâmicos:
– Memória: um sistema dinâmico possui memória quando sua saída atual não
depende apenas de sua entrada atual mas de todas as entradas passadas;
– Causalidade: todo sistema fisicamente realizável é causal, pois em sistemas
não-causais a saída atual depende de entradas futuras;
– Linearidade: um sistema dinâmico é dito linear quando atende ao princípio
da superposição, ou seja, se a sua resposta a dois sinais simultâneos
equivale à soma das respostas a cada sinal de excitação aplicados
separadamente;
– Invariância no tempo: um sistema é dito invariante no tempo quando suas
características físicas intrínsecas (massa, momento de inércia,
condutividade, viscosidade e etc...) não variam com o tempo;
– No. Entradas/Saídas: um sistema pode apresentar apenas uma entrada e
uma saída (sistema SISO) ou múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO);
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Caracterização Dinâmica
dos Conversores cc-cc
• Causalidade;
• Invariância no Tempo;
• Entradas/Saídas:
– Buck:
• Entradas: Razão Cíclica;
• Saídas: Tensão de Saída ou Corrente de Saída;
– Boost:
• Entradas: Razão Cíclica;
• Saídas: Tensão de Saída ou Corrente de entrada;
– BuckBoost:
• Entradas: Razão Cíclica;
• Saídas: Tensão de Saída;
• Memória;
• Linearidade;
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Controle Clássico x Controle Moderno
• Controle Clássico:
– Sistemas SISO, invariantes no tempo e lineares (ou passíveis de
linearização);
– Modelagem → Equações Diferenciais Lineares à Coeficientes Constantes
(EDCC);
– Transformada de Laplace: EDCC (tempo) → Equações Algébricas
(frequência);
• Controle Moderno:
– Sistemas MIMO, variantes no tempo e/ou não-lineares;
– Modelagem → Equações Diferenciais não-lineares à Coeficientes Variáveis;
– Transformada de Laplace: EDCC (tempo) → Equações Algébricas
(frequência);
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Representação de Sistemas Dinâmicos
LTI e SISO
• Planta:
• Representação geral no domínio do tempo:
• Aplicando a Transformada de Laplace:
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1 1
1 0 1 01 1... ...
n n m m
n n m mn n m m
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dt dt dt dt
1 1
1 0 1 0... ...n n m m
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1 1
1 0 1 0... ...n n m m
n n m mY s a s a s a U s b s b s b
Representação de Sistemas Dinâmicos
LTI e SISO
• Planta:
• Função de Transferência do sistema:
Razão entre a Transformada de Laplace da Saída e a Transformada de
Laplace da Entrada.
Em termos de zeros e polos:
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1
1 0
1
1 0
...
...
m m
m m
n n
n n
Y s b s b s b
U s a s a s a
1 1
1 1
...
...
m mm
n n n
Y s s z s z s zb
U s a s p s p s p
Análise da Estabilidade
• Definição de estabilidade:
Um sistema dinâmico é estável se apresenta resposta finita mediante
entradas finitas. Todo sistema dinâmico LTI, SISO e causal (n>m) atende a
essa definição se todos os seus polos se localizarem no semiplano
esquerdo do plano complexo, ou seja, se todos os seus polos possuírem
parte real negativa.
• Técnicas algébricas:
– Routh-Hurwitz;
• Técnicas gráficas:
– Lugar das raízes;
– Diagrama de Nyquist;
– Diagrama de Bode;
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Análise da Estabilidade
• Sistema Original:
• Sistema Realimentado:
FT de malha fechada:
Equação Característica:
FT de malha aberta:
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Y sG s
U s
1
Y s G sT s
X s G s H s
1 0G s H s
FTMA s G s H s
Análise da Estabilidade
• Sistema Original:
• Sistema Realimentado e Compensado:
FT de malha fechada:
Equação Característica:
FT de malha aberta:
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Y sG s
U s
1
Y s C s G sT s
X s C s G s H s
1 0C s G s H s
FTMA s C s G s H s
Método de Bode
• Diagrama:
– Módulo (dB) x Frequência (Log);
– Fase (graus) x Frequência (Log);
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1
1G s
s
Método de Bode
• Critérios de compensação:
– Erro estático nulo: a FTMA do sistema deve apresentar pelo menos um polo
na origem (sistema tipo 1);
– A curva de ganho deve cruzar o 0dB a -20dB/dec;
– A velocidade com que uma perturbação é corrigida está intimamente
relacionada com a frequência de cruzamento (fc) da curva de ganho com o
0dB (ganho unitário);
– A medida que fc se aproxima de fs o sistema tende à instabilidade. Um valor
seguro é fc = fs/5;
– O sobressinal observado na resposta no domínio do tempo do sistema
compensado ao degrau está intimamente relacionado à sua margem de fase.
Recomenda-se 45º<MF<90º;
– A definição da estrutura compensadora é feita pelo método de cancelamento
de polos e zeros, a fim de obter a resposta em frequência descrita acima;
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Modelagem do Conversor Buck
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) a ei v t V d t
)L
L
di tii v t L
dt
) L e siii v t V d t v t
) L C Riv i t i t i t
)s
C
dv tv i t C
dt
)s
R
L
v tvi i t
R
•Substituindo as eqs. 3, 5 e 6 na eq. 2, tem-se que:
)s s
e s
L
dv t v tdvii V d t v t L C
dt dt R
2
2
s s
e s
L
d v t dv tLV d t v t L C
dt R dt
2
2
s s
e s
L
d v t dv tLV d t L C v t
dt R dt
Modelagem do Conversor Buck
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•Aplicando a TL à eq. 7:
2) e s s s
L
Lviii V D s L C V s s V s s V s
R
2 1e s
L
LV D s V s L C s s
R
2 1
s e
L
V s V
LD sL C s s
R
Análise do Conversor Buck
• Diagrama de Bode da FT do Conversor Buck:
– Parâmetros de projeto:
– Parâmetros Calculados:
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_ min _ max20 , 10 , 14 , 5 , 40 , 20% 10%n e e s sP W V V V V V V f kHz i e v
1,25 , 100 147nR L H e C F
Fechamento da Malha do Buck
• Efeito do modulador;
• Ganho de realimentação;
• Definição da estrutura do compensador no domínio da frequência;
• Definição do ganho do compensador;
• Determinação do circuito do compensador;
• Cálculo dos componentes do compensador;
• Simulação do buck compensado;
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