resolução de teste (1 e 2) e exame
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Resolução de teste (1 e 2) e exame analise Matematica1...UEM-Faculdade de EngenhariaTRANSCRIPT
Luís, Taunde Dauce
Análise Matemática І
Resolução de testes e exames:
Teste І, teste ІІ e exame de 2014
“A verdadeira maneira de se enganar é julgar-se mais sábio que os
outros” (LA ROCHEFOUCAUDA)
Maputo, Junho, 2015
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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE FACULDADE DE CIÊNCIAS Departamento de Matemática e Informática
Análise Matemática І para cursos de engenharias
Regime: Pós Laboral
1.°Ano 1.° Semestre Teste І
Data de realização: 03/04/2014 Duração: 100 minutos
Guião de correcção
1. (3.0v) Considere a sucessão , onde
a) Mostre que é decrescente.
b) Mostre que
Resolução:
a)
Temos que provar que:
, sendo assim teremos:
para
b)
, seja
e
então os termos de e são:
;
;
;
;
;
;
Como os termos de são iguais a termos de , então , isto é,
.
2. (3.0v) Usando o teorema de sucessões enquadradas, estude quanto a convergência
o seguinte termo
Resolução:
2
, Converge para .
3. (2.0v) Usando o resultado, “ se
, então √
“
estude a convergência do termo
√
Resolução:
√
√
4. (2.0v + 2.0v) Calcule os seguintes sucessões
a)
b)
Resolução:
a)
[ ]
(
)
b)
*
+
*
+
5. (3.0v) Recorrendo ás relações entre infinitésimos, calcule:
Resolução:
[
]
6. (3.0v) Mostre que a função
tem descontinuidade em .
Classifique o tipo de descontinuidade.
Resolução:
A função dada é contínua , excepto o ponto no qual ela não é definida.
Visto que: { }
3
{ }
{
{
{
Assim, . Logo, a função dada no ponto tem uma
descontinuidade removível.
7. (2.0v) calcule de
Resolução:
(
)
Resolvido por:
Estudante Taunde Dauce Luis
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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE FACULDADE DE CIÊNCIAS Departamento de Matemática e Informática
Analise Matemática I para cursos de engenharias
Regime: Pós Laboral
1.°Ano 1.° Semestre Teste ІІ
Duração: 100 minutos 28/05/2014 Hora: 13:35-15:20
Guião de correcção
1. Verifique o teorema de Rolle para a função sobre o
segmento *
+.
Seja
A função é contínua e derivável . Em particular é continua em
*
+ e derivável em +
*.
(
) (
)
Pelo teorema de Rolle +
* :
Como , o ponto c onde é:
+
*
2. Calcular os integrais
a) ∫
b) ∫√
c) ∫
√
5
Resolução:
a) ∫
{
∫
∫
b) ∫√
∫√
∫√
∫
√
∫
√ ∫
√
∫
√ √
√
c) ∫
√ √ ,
∫
∫ (
)
∫
∫ (
)
] | |]
3. e construir o gráfico da função
{ }
{ }
Assímptotas:
A.V. {
{
logo é A.V. da
função.
Seja 𝑥 𝑡 𝑡 √ 𝑥
𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑡
6
A.H. {
{
{
Logo
é A.V. da função.
N.B. acha-se A.O. quando a função não tem A.H. consequentemente a função não
tem A.O.
Monotonia e extremos da função:
√
não se anula, pelo que também não existem extremos da função.
] [ -2 ] [ 8 ] [
Concavidade, convexidade, pontos de inflexão:
( ) *( )
+
=
( )
( )
=0
, a equação não se anula, isto é, não têm zeros, pelo que
também não têm pontos de inflexão.
] [ -2 ] [ 8 ] [
7
Gráfico:
0
Contradomínio da função:
8
4. Achar a área limitada pelas curvas e
:
Seja e
As intersecções entre as parábolas da função são:
, logo os pontos de intersecção
são:
Fazendo o esboço das parábolas teremos:
-2
9
∫ [ ]
∫
∫
∫ ∫
|
|
(
)
Resolvido por:
Estudante Taunde Dauce Luis
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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE FACULDADE DE CIÊNCIAS Departamento de Matemática e Informática
Analise Matemática I para cursos de engenharias
Regime: Pós Laboral
1.°Ano 1.° Semestre Exame normal
Duração: 120 minutos 11/06/2014 Hora: 17:00-19:00
Guião de correcção
1. (2.0) Calcule o limite da sucessão √
Resolução:
√
=
√
=
√
=
√
=
=
2. (2.5) Calcule a derivada primeira da função
Resolução:
=*
+
=[
]
=
[ ]
=
[ ]
=
[ ]
=
[ ]
3. (2.5) Desenvolva a função em potência do binómio função ate ao
termo que contenha .
Resolução:
Usando a fórmula de Taylor
+
+
+ ….+
+
, onde e , teremos:
11
Substituindo as expressões encontradas na fórmula de Taylor, teremos:
+
-
, Onde
4. (5.0) Dada a função
, construa o gráfico determinando: o campo de
existência, os pontos de descontinuidade, a monotonia, os extremos, os pontos de inflexão,
a concavidade e convexidade.
Resolução:
Campo de existência da função:
={ } { }, Isto é, a função existe e têm valores finitos desde que .
A função é descontínua no ponto . A recta é A.V. do gráfico, visto que:
Monotonia e os extremos da função:
⇔ ⇔ ⇔
] [ ] [ ] [ ] [
Máx. Mín.
Máx:
,
Mín:
,
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Os pontos de inflexão, concavidade e convexidade da função:
⇔
⇔ ⇔ ⇔ √
é impossível.
não tem zeros, isto é, não se anula, pelo que também não existem pontos de inflexão
da função.
] [ ] [
Para ] [ a convexidade da curva está orientada para cima (a curva é convexa)
Para ] [ a convexidade da curva está orientada para baixo ( a curva é côncava).
N.B. a função
não têm A.H e A.O
Gráfico da função:
4
-1 0 1
13
Contradomínio da função:
] ] [ [
5. (8.0) Calcule os seguintes integrais:
a) (3.0) ∫
b) ∫
c) ∫
√
Resolução:
a) ∫
∫
,
⇔ ,
⇔ ,
⇔ ,
⇔ ,
∫
∫
| | | |
b) ∫
{
∫
[ ]
∫
;
Sabendo que ∫
[ ]
∫
Teremos:
∫
[ ]
[ ] ∫
∫
[ ]
[ ]
∫
[ ] [ ]
14
c) ∫
√
; { √ }
{ }
∫
√
=∫
√
∫
√
∫
√
∫
√
=
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
Resolvido por:
Estudante Taunde Dauce Luis