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2º Teste (problemas 3 e 4) & 1º Exame Termodinâmica e Estrutura da Matéria MEFT, MEBM & LMAC 15 de Janeiro de 2013, 15h00 Duração: 1h30 (Teste) & 3h00 (Exame) Prof. Responsável: João P. S. Bizarro ATENÇÃO: É permitido o uso de calculadoras, mas não de formulários Deve indicar os cálculos intermédios que realiza, ao resolver cada questão Resolver cada grupo numa folha separada (mas não separar/desagrafar) Indicar no cabeçalho da prova se está a fazer Teste ou Exame Quem entregar a prova passada hora e meia do início é porque optou por Exame CONSTANTES E FÓRMULAS k = 1.38 ! 10 "23 J ºK -1 R = 8.314 J mol -1 ºK -1 ! = 5.67 ! 10 "8 W m -2 ºK -4 b = 2.898 ! 10 "3 m ºK (constante de Wien) x n = (1 ! x ) !1 n=0 " # ( x < 1 ) sinh x = (e x ! e ! x )/2 cosh 2 x ! sinh 2 x = 1 sinh x ! x e cosh x ! 1 para x << 1 [Cotação: ai) 1.5; aii) 1.5; bi) 1.5; bii) 1.5; ci) 2.0; cii) 2.0] 1- Considere um sistema constituído por um muito grande número N ( N >> 1 ) de partículas distinguíveis em contacto com um reservatório de calor à temperatura T , as quais se podem distribuir por três níveis de energia ! 1 = ! , ! 2 = 2! e ! 3 = 3 ! . a) Obtenha, em função de T , expressões para: i. as ocupações médias n 1 (T ) , n 2 (T ) e n 3 (T ) de cada nível; ii. a energia interna E (T ) do sistema. Resposta: i. Tratando-se de partículas distinguíveis, seguem uma estatística de Maxwell-Boltzmann: n i (T ) = Ne !! i /kT / z(T ) = Ne !i ! /kT / z(T ) ( i = 1, 2, 3 ), com z(T ) = e !! /kt + e !2! /kt + e !3! /kt ; ii. E (T ) = n 1 (T ) ! 1 + n 2 (T ) ! 2 + n 3 (T ) ! 3 = N! 1 + 2e !! /kT + 3e !2! /kT ( ) 1 + e !! /kT + e !2! /kT ( ) . b) Obtenha, e interprete fisicamente, os valores limite para E (T ) quando: i. ! >> kT (baixas temperaturas, T ! 0 ); ii. ! << kT (altas temperaturas, T !" ). Resposta: i. ! >> kT ! exp("! / kT ) # 0 ! E (T ) # N! ; a energia térmica kT das partículas não é suficiente para excitá-las para os níveis acima do fundamental, permanecendo elas neste nível, e então E (T ) ! N! ; ii. ! << kT ! exp("! / kT ) # 1 ! E (T ) # 2 N! ; a energia térmica kT das partículas é de tal maneira elevada que é como se os três níveis de energia fossem degenerados (tivessem a mesma energia), distribuindo-se então as partículas uniformemente por ambos, donde resulta

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2º Teste (problemas 3 e 4) & 1º Exame

Termodinâmica e Estrutura da Matéria MEFT, MEBM & LMAC 15 de Janeiro de 2013, 15h00 Duração: 1h30 (Teste) & 3h00 (Exame) Prof. Responsável: João P. S. Bizarro

ATENÇÃO: É permitido o uso de calculadoras, mas não de formulários Deve indicar os cálculos intermédios que realiza, ao resolver cada questão Resolver cada grupo numa folha separada (mas não separar/desagrafar) Indicar no cabeçalho da prova se está a fazer Teste ou Exame Quem entregar a prova passada hora e meia do início é porque optou por Exame CONSTANTES E FÓRMULAS k =1.38!10"23 J ºK-1 R = 8.314 J mol-1 ºK-1 ! = 5.67!10"8 W m-2 ºK-4

b = 2.898!10"3 m ºK (constante de Wien) xn = (1! x)!1n=0

"

# ( x <1 )

sinh x = (ex ! e!x ) / 2 cosh2 x ! sinh2 x =1 sinh x ! x e cosh x !1 para x <<1

[Cotação: ai) 1.5; aii) 1.5; bi) 1.5; bii) 1.5; ci) 2.0; cii) 2.0] 1- Considere um sistema constituído por um muito grande número N ( N >>1 ) de partículas

distinguíveis em contacto com um reservatório de calor à temperatura T , as quais se podem distribuir por três níveis de energia !1 = ! , !2 = 2! e !3 = 3! . a) Obtenha, em função de T , expressões para:

i. as ocupações médias n1(T ) , n2 (T ) e n3(T ) de cada nível; ii. a energia interna E(T ) do sistema.

Resposta: i. Tratando-se de partículas distinguíveis, seguem uma estatística de Maxwell-Boltzmann: ni (T ) = Ne

!!i /kT / z(T ) = Ne!i! /kT / z(T ) ( i =1,2,3 ), com z(T ) = e!! /kt + e!2! /kt + e!3! /kt ; ii. E(T ) = n1(T )!1 + n2 (T )!2 + n3(T )!3 = N! 1+ 2e

!! /kT +3e!2! /kT( ) 1+ e!! /kT + e!2! /kT( ) .

b) Obtenha, e interprete fisicamente, os valores limite para E(T ) quando:

i. ! >> kT (baixas temperaturas, T! 0 ); ii. ! << kT (altas temperaturas, T!" ).

Resposta: i. ! >> kT ! exp("! / kT )# 0! E(T )# N! ; a energia térmica kT das partículas não é suficiente para excitá-las para os níveis acima do fundamental, permanecendo elas neste nível, e então E(T ) ! N! ; ii. ! << kT ! exp("! / kT )#1! E(T )# 2N! ; a energia térmica kT das partículas é de tal maneira elevada que é como se os três níveis de energia fossem degenerados (tivessem a mesma energia), distribuindo-se então as partículas uniformemente por ambos, donde resulta

E(T ) ! (N / 3)(! + 2! +3!) = 2N! .

c) Obtenha, e interprete fisicamente, os valores limite para a entropia: i. S(T! 0) ; ii. S(T!") .

Nota: se precisar, pode usar a relação !(T ) " Z(T )eE (T )/kT para o número de estados acessíveis.

Resposta: Tem-se, com Z = zN , S(T ) = k ln!(T ) " k lnZ(T )+E(T ) / kT#

$%&= Nk ln z(T )+E(T ) / NkT#

$%& , donde:

i. S(T! 0) " Nk ln z(T! 0)+E(T! 0) / NkT#$

%& " NK lne'! /kT '! / kT#$ %&= 0 ; estando praticamente

todas as partículas no estado fundamental, vem !(T" 0) =1e S(T! 0) = k ln"(T! 0) = 0 ;

ii. S(T!") # Nk ln z(T!")+E(T!") / NkT$%

&' # Nk ln3( 2! / kT[ ] # Nk ln3 ; distribuindo-se as

partículas uniformemente pelos três níveis de energia, !(T"#) = N! (N / 3)![ ]3 $ 3N e S(T!") = k ln#(T!") = Nk ln3 .

[Cotação: a) 3.0; bi) 1.0; bii) 1.0; c) 2.0; d) 3,0]

2- Considere um ciclo de Diesel descrito por uma mole de gás perfeito com CV = 20.8 J/molºK e ! =1.4 . O ciclo é constituído pelos seguintes processos: adiabática entre A e B; isobárica entre B e C; adiabática entre C e D; e isométrica entre D e A. Conhecem-se as temperaturas nos diferentes vértices do ciclo: TA = 298 ºK, TB = 880 ºK, TC = 2640 ºK, e TD =1387 ºK. Contudo, não se sabe se o ciclo corresponde a um motor (que fornece trabalho) ou a uma bomba de calor (que consome trabalho). Pode assumir que os processos adiabáticos ocorrem de forma reversível. O ciclo é descrito usando apenas duas fontes térmicas. a) Calcule (em módulo) os calores Qfq e Qff trocados com as fontes quente e fria,

respectivamente, e o trabalho W fornecido/consumido. Resposta: Qfq = (cV + R)(TC !TB ) = 51 kJ; Qff = cV (TD !TA ) = 23 kJ; W =Qfq !Qfq = 28 kJ.

b) Calcule: i. o rendimento ! de um motor que funcionasse com base neste ciclo; ii. a eficiência ! de uma bomba de calor que funcionasse com base neste ciclo.

Resposta: i. ! =W /Qqf = 0.55 ;

ii. ! =Qfq /W =1.82 .

c) Calcule a taxa de compressão/expansão VA/VB. Resposta: VA /VB = (TB /TA )

1/(!!1) =15 .

d) Diga, justificando detalhadamente, se este ciclo é usado no funcionamento de um motor ou de uma bomba de calor. Resposta: Antes de mais, há que perceber que as fontes quente e fria estão às temperaturas

TC = 2640 ºK e TA = 298 ºK, respectivamente. Ora, se fosse motor !S =Qff /TA "Qfq /TC = 58 J/ºK; se fosse bomba de calor, ter-se-ia !S = "58 J/ºK, o que não pode ser. Alternativamente, era notar que o rendimento de uma bomba de calor funcionando reversivelmente entre aquelas duas fontes seria !rev = Tfq / (Tfq !Tff ) =1.13< ! =1.82 , o que não pode ser. Conclusão, o ciclo é usado no funcionamento de um motor.

[Cotação: a) 3.0; bi) 2.0; bii) 2.0; biii) 3.0] 3- Considere um sistema formado por um muito grande número N ( N >>1 ) de moléculas diatómicas

cujos átomos constituintes são iguais (por exemplo, H2 ). As moléculas encontram-se adsorvidas numa superfície de área A e o sistema está em equilíbrio térmico a uma dada temperatura T . a) Quando T > T * , sendo T * uma temperatura característica do sistema, as moléculas movem-

se livremente formando um gás ideal clássico a duas dimensões. As moléculas podem ainda vibrar no plano da superfície e rodar em torno de um eixo perpendicular a esta. Usando o teorema da equipartição da energia, calcule a energia média E do sistema de N moléculas, bem como o calor específico molar a área constante cA . Resposta: Trata-se de um gás ideal clássico com dois graus de liberdade de translação, um de rotação e um de vibração, donde E = (2+1+ 2)NkT / 2 = 5NkT / 2 e cA = (NAvog. / N )(!E /!T )A = 5R / 2 ., com

NAvog. o número de Avogadro.

b) A temperaturas T < T * , os átomos formam uma rede cristalina bidimensional, podendo apenas oscilar em torno das posições de equilíbrio. Considerando cada um dos 2N átomos como um oscilador harmónico independente a duas dimensões obtém-se o modelo de Einstein para um sólido bidimensional. O oscilador harmónico a duas dimensões apresenta níveis de energia dados por !n = (n+1/ 2)!" ( n = 0,1, 2,... ) para cada dimensão (equivalente a dois osciladores harmónicos unidimensionais independentes).

i. Mostre que a função de partição Z para este sistema é

Z = z4N = 2sinh(!!w / 2)[ ]!4N com z a função de partição para um oscilador unidimensional e ! =1/ kT .

ii. Mostre que a energia média é dada por E = 2N!wcoth(!!w / 2)

e o calor específico molar a área constante por

cA = R!wkT!

"#

$

%&2 1sinh2(!w / 2kT )

.

iii. Considere o limite de altas temperaturas na fase sólida, kT * > kT >> !! . Obtenha expressões aproximadas para E e cA a partir dos resultados anteriores. Compare com a previsão clássica dada pelo teorema da equipartição.

Resposta: i. Cada um dos 2N átomos corresponde a dois osciladores independentes, vindo então a função de partição para 4N osciladores:

Z = exp !! "nii=1

4N

"#

$%

&

'(

n1,n2 ,...,n4N=0

)

" = exp(!!"ni )ni=0

)

" = exp(!!"n )n=0

)

"*

+,

-

./

4N

i=1

4N

0 = z4N , com

z = exp(!!"n )n=0

"

# = e!!!! /2 e!"n!!n=0

"

# = e!"!! /2 1! e!"!!( ) = 2sinh(!!! / 2)[ ]!1

seguindo-se o resultado pedido.

ii. E = !" lnZ /"! e cA = (NAvog. / N )(!E /!T )A , seguindo-se os resultado pedidos.

iii. Neste limite, E ! 2N!w / (!!w / 2) = 4NkT e cA ! R(!w / kT )2 (!w / 2kT )"2 4R , recuperando-se a

previsão clássica dada pelo teorema da equipartição para 4N osciladores.

[Cotação: ai) 2.0; aii) 2.0; aiii) 2.0; bi) 2.0; bii) 2.0]

4- Pretende-se ter algumas ordens de grandeza sobre fenómenos que envolvem a radiação de corpo negro.

a) Uma explosão nuclear de fissão produz uma temperatura T !106 ºK. Assumindo que isto é

verdade sobre uma esfera de raio r ! 5 cm, calcule:

i. o comprimento de onda !max correspondente ao máximo no espectro radiado; ii. a potência total Prad radiada pela esfera; iii. o fluxo de radiação dPrad / dA (potência incidente por unidade de área) a 1 km de

distância.

Resposta: i. !max = b /T = 2.9 nm; ii. Prad = 4!r

2"T 4 =1.8!1015 W; iii. dPrad / dA = Prad / 4!L

2 =1.4!108 W/m2.

b) Considere um recipiente cúbico dentro do qual se encontra uma mole de um gás ideal clássico monoatómico em equilíbrio térmico com radiamento (gás de fotões). Relembre que a densidade de energia no gás de fotões em equilíbrio térmico a uma dada temperatura pode ser dada por urad = (4 / c)!T

4 .

i. Qual deve ser o comprimento da aresta da cavidade para que, à temperatura ambiente T ! 300 ºK, as capacidades caloríficas a volume constante dos dois gases sejam iguais?

ii. À mesma temperatura, qual a razão entre as pressões dos dois gases quando ambos estão confinados num recipiente com 1 m de aresta?

Resposta: i. Crad /Cg.i. = (16 / c)!VT 3!" #$ (3 / 2)R , donde L =V 1/3 = 3cR / 32!( )1/3T !1 = 535 m;

ii. prad / pg.i. = urad / 3( ) 2ug.i. / 3( ) = 4!L3T 3 3cR = 8.2!10"10 .