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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ESTUDO DAS EXPRESSÕES E DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO
Autora: Elza Celeri da Silva¹
Orientador: Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho²
RESUMO Este artigo tem como objetivo mostrar aos professores da disciplina de Matemática formas diferenciadas de trabalhar com as Expressões Algébricas. O material aqui desenvolvido após aprofundamento teórico traz várias possibilidades de incentivar a aprendizagem do aluno. Partimos da premissa de que uma das formas fundamentais de influenciar a qualidade do ensino de Matemática no nível básico e fornecer elementos para enriquecer a formação dos alunos é que os professores evidenciem e trabalhem explicitamente o pensamento algébrico. A proposta, descrita neste artigo, se utiliza dos elementos de formação do pensamento algébrico para fortalecer as estratégias utilizadas na construção cuidadosa do significado dos conceitos algébricos, incluindo uma análise de sua evolução histórica. O estudo das conexões entre os elementos e argumentos compartilhados com outros domínios da Matemática, faz da resolução de problemas uma abordagem singularmente produtiva em questões que envolvem discussão e pesquisa. O texto é um relato de implementação da proposta de ensino forjada durante o Programa de Desenvolvimento Educacional, desenvolvido pela Secretaria de Educação do Estado do Paraná com resultados positivos. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Expressões Algébricas; Ensino Fundamental.
_____________________ ¹ Professora PDE. Lotada na Escola Estadual “Comendador Geremias Lunardelli” Ensino Fundamental e Médio. Grandes Rios – PR, 2012 ² Orientador: Professor do Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, 2012.
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1 INTRODUÇÃO
O presente artigo tem como objetivo investigar contribuições que as
atividades de Resoluções de Problemas podem trazer ao processo de aprendizagem
de expressões algébricas e apresentar atividades de aplicações.
Nas últimas duas décadas, numerosas investigações analisaram e
promoveram a integração da álgebra ao currículo do Ensino Fundamental. Este novo
currículo propõe a introdução de formas de pensamento algébrico na matemática
escolar a partir dos anos finais do ensino fundamental.
A proposta tem como objetivo promover a observação de aulas, relações e
propriedades matemáticas, cultivando hábitos de pensamento que abordam a
estrutura da matemática.
O propósito deste artigo é promover a compreensão da aprendizagem
matemática, particularmente em álgebra. Considera como diferentes formas de
pensamento algébrico podem surgir naturalmente, aumentando o potencial de
enriquecer a atividade matemática escolar e, principalmente, desenvolver novas
formas de ensino-aprendizagem.
A álgebra tem sido um dos maiores obstáculos ao aprendizado do aluno.
Para ser trabalhada, é necessária alguma profundidade, que pode ser atingida por
meio da introdução nas aulas de situações-problema interessantes, desafiadoras,
mas factíveis, e é um ramo da matemática que se caracteriza por sua abstração e
generalidade, oferecendo ferramentas conceituais e procedimentos para aplicações
em diferentes campos do conhecimento como geometria, análise e teoria dos
números. Pretende-se que os alunos sejam capacitados a identificar os processos
de raciocínio e as dificuldades quando trabalhadas com situações que requerem o
pensamento algébrico.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Considerando a importância da aprendizagem dos educandos, faz-se
necessário a garantia de que tenham habilidades de avaliar as respostas e analisar
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os caminhos tomados para remover as barreiras que os impedem de compreender
conceitos e termos matemáticos.
Krulik e Reys (1997) descrevem formas para a resolução dos problemas
matemáticos dando pistas da melhor maneira que o professor pode explicar e fazer
com que os alunos aprendam a resolver as situações-problema de forma produtiva.
O aluno é levado a avaliar, analisar, visualizar e interpretar fatos, cultivando seu
espírito crítico.
Matos (2007) relata em seu livro uma interessante intervenção pedagógica
na qual descreve o processo de desenvolvimento/ampliação/aprofundamento do
raciocínio lógico-matemático e pensamento algébrico da aluna Sofia, a partir do
trabalho da professora. Trata-se de uma ótima referência sobre como abordar a
álgebra nas aulas de matemática, a fim de que os alunos possam tirar o maior
proveito possível e desenvolver-se bem nesta disciplina.
“A aluna Sofia revela, ao longo deste estudo, uma propensão cada vez maior para efetuar generalizações, que vai exprimindo de um modo cada vez mais formal, com recurso à linguagem simbólica. Desta forma, é visível que evolui bastante no seu pensamento algébrico. É um fato que esta experiência de ensino relativamente curta e o pensamento algébrico é algo que deve ser desenvolvido desde cedo, prolongando-se ao longo dos anos. No entanto, o progresso que obteve em tão curto espaço de tempo mostra que a aluna poderá continuar a evoluir, no sentido de compreender ainda melhor os conceitos algébricos fundamentais.” (MATOS, 2007).
Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica,
A álgebra é um campo de conhecimento matemático que se formou sob contribuições de diversas culturas. Pode mencionar a álgebra egípcia, babilônica, grega, chinesa, hindu, arábica e da cultura européia renascentista. Cada uma evidenciou elementos característicos que expressam o pensamento algébrico de cada cultura. Com Diofanto, no século lII d.C., fez-se o primeiro uso sistemático de símbolos algébricos. Tal sistematização foi significativa, pois estabeleceu uma notação algébrica bem desenvolvida para resolver problemas mais complexos, antes não abordados. (PARANÁ, 2008, p.51)
Fiorentim, Fernandes e Cristovão (2004) apresentam em seu artigo um
relato sobre uma experiência realizada em 2004 com alunos dos sextos anos de
uma escola pública do interior de São Paulo, cujo intuito era investigar as
potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas (IM) no ensino da
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álgebra elementar, identificando, sobretudo, indícios de formação e desenvolvimento
da linguagem e do pensamento algébricos destes alunos.
Para Arcavi (2006), só é possível ajudar a desenvolver o pensamento
algébrico se ajudarmos a desenvolver o sentido do símbolo e tal só acontece se
tivermos a capacidade de criar atividades e práticas de sala de aula cujo propósito
seja o significado dos símbolos.
Moura e Souza (2004) descrevem uma pesquisa realizada com professores
de Ensino Fundamental no decorrer de suas aplicações do conteúdo de álgebra em
sala de aula, numa abordagem lógico-histórica. Através de questionários e da
análise das atividades que os professores propuseram em sala de aula, os autores
puderam verificar o processo de desenvolvimento da linguagem algébrica, tendo
como referências as classes de desenvolvimento da álgebra; retórica, sincopada e
simbólica. Da representação algébrica retórica (apenas palavras), passando pela
sincopada (alguma notação especial, em particular palavras abreviadas) e à
simbólica (apenas os símbolos e sua manipulação) haveria um correspondente
desenvolvimento intelectual. Destas observações, pode-se concluir que seguir a
trajetória do uso de símbolos permite acompanhar a trajetória do desenvolvimento
do pensamento algébrico. A passagem da álgebra retórica à simbólica, onde as
equações são expressas totalmente em símbolos, demorou cerca de mil anos, e
aconteceu como consequência das profundas mudanças pelas quais passou a
Europa na transição da Idade Média para a Idade Moderna.
Todos os alunos devem aprender Álgebra, mas para tal é necessário que entendam os conceitos algébricos, as estruturas e princípios que regem as manipulações simbólicas e como estes símbolos podem ser utilizados para traduzir ideias matemáticas. É essencial aos alunos aprenderem Álgebra, desenvolverem o seu pensamento algébrico, perceberem o significado dos símbolos. Perceber o conceito de variável é crucial para o estudo da álgebra; um dos grandes problemas do esforço que os alunos fazem para compreender e trabalhar em álgebra, resulta da sua limitada interpretação do termo variável (NCTM, 1991, p.122).
Segundo Day e Jones (1997), os alunos só dão início ao domínio do
pensamento algébrico quando adquirem a capacidade de perceber e de construir
relações entre variáveis. Segundo Arcavi (2006, p.374) “o pensamento algébrico
inclui a conceptualização e aplicação de generalidade, variabilidade, estrutura”.
Diante dos estudos realizados, a Resolução de Problemas apresenta-se
como um caminho eficaz para o ensino e aprendizagem da matemática. Aplicando
esta metodologia o aluno poderá entender e refletir sobre a importância do estudo
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da álgebra no seu cotidiano, consequentemente com esta motivação a compreensão
para resolução de problemas será facilitada.
3 DESENVOLVIMENTO
A implementação do Projeto “Resolução de Problemas no Estudo das
Expressões e Desenvolvimento do Pensamento Algébrico” foi desenvolvida com
alunos de duas turmas do 8º ano do Ensino Fundamental, 6 alunos do A e 10 alunos
do B, perfazendo um total de 16 alunos.
No primeiro dia de aula, expliquei o que é o PDE (Programa de
Desenvolvimento Educacional) e que o trabalho é parte de uma do desenvolvimento
do programa. Comentei sobre o projeto que consiste em trabalhar problemas da
OBMEP, (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Publicas), utilizando a
metodologia de Resolução de Problemas, objetivando explorar ao máximo os
conteúdos matemáticos presentes, deixando claro que o tempo gasto para resolver
a tarefa ou a resposta final tem importância secundária. Antes de começar a
trabalhar com os problemas, fiz uma avaliação para saber o que os alunos já
conheciam a respeito do conteúdo.
A seguir a turma foi dividida em grupos, cada grupo recebeu seus
problemas impressos, acompanhado de seus conteúdos e objetivos, tendo como
finalidade auxiliar na sua resolução.
Na sequência, cada grupo resolvia seus problemas, sendo as soluções e
encaminhamentos apresentadas por um membro de cada equipe. Foram discutidos
os acertos e os erros de cada um. Por meio da identificação dos erros, os alunos
puderam compreender (particularmente aquele que apresentava) o que deveria ter
sido feito reorganizavam os dados em busca de uma solução correta.
3.1 Problemas Propostos
Tempo estimado: duas aulas para cada problema.
Recurso: folha sulfite, já impresso o material, quadro, giz e dicionário.
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Método: são problemas para realizados em grupo de quatro alunos.
Avaliação: a avaliação foi feita através de observação em sala de aula,
sendo analisadas as hipóteses e as estratégias utilizadas por cada grupo, as
dúvidas e as dificuldades que iram surgindo, tendo o professor o papel de mediador,
facilitador do diálogo entre os alunos, intervindo quando necessário ou quando o
grupo solicitava.
Problema 1
A figura mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três retângulos de
mesmo perímetro. Qual é a área do retângulo sombreado?
Discussão e Resultados Obtidos
Iniciou-se a aula fazendo alguns questionamentos:
Professora: Como definimos quadrado?
Grupo 1: Quadrado é uma figura que tem todos os lados iguais
Grupo 3: E tem os ângulos de dentro iguais a 90º Graus.
Professora: Como representamos um ângulo de 90º Graus?
Grupo 2: Com duas retas perpendiculares iguais ao canto do quadro.
Professora: Como podemos classificar o ângulo?
Grupo 4: Em ângulo reto e ângulo agudo.
Professora: Só existem dois tipos de ângulos?
Grupo 3: Três, faltou o ângulo obtuso.
Professora: Muito bem. Existem diferenças de um retângulo e de um
quadrado?
Grupo 1: Existe, o quadrado tem todos os lados iguais, o retângulo tem o
comprimento diferente da altura.
Professora: Como podemos classificar os ângulos do retângulo?
Grupo 3: Ângulo reto igual ao do quadrado, a diferença esta nos lados.
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Professora: Como podemos definir perímetro?
Grupo 2: Perímetro é a medida dos lados.
Grupo 3: É a soma de todos os seus lados.
Professora: Como podemos definir área?
Grupo 1: Área é a medida da superfície.
Após realizar esse questionamento foram distribuídos o problema 1, já
impresso aos grupos. Os alunos fizeram a seguinte resolução:
O objetivo principal deste problema foi representar por meio de uma
equação o enunciado do problema e desenvolver no aluno conceitos relacionados a
perímetro e área.
Observei também que, por ter havido uma aula anterior sobre os conteúdos,
a resolução do problema foi facilitada.
Problema 2
A figura mostra três polígonos desenhados em uma folha quadriculada. Para
cada um desses polígonos foi assinalado, no plano cartesiano à direita, o ponto
cujas coordenadas horizontal e vertical são, respectivamente, seu perímetro e sua
área.
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Discussão e Resultados Obtidos
Neste problema esperava que os alunos utilizassem o lado de um dos
quadradinhos como unidade de comprimento, isto não aconteceu com todos os
grupos.
O grupo 2 e 4 fez a contagem direta na figura, calculou as áreas e os
perímetros dos polígonos. Os grupos 1 e 3 resolveram cálculos da área, utilizaram a
equação: A=b.h; b: base e h: altura. Pode observar-se a seguinte resolução de um
dos grupos:
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O objetivo da atividade foi o de representar, por meio de uma expressão
algébrica o perímetro e a área de um polígono e fazer comparações.
Problema 3
Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$8,00
faltarão R$2,50 para pagar a pizza, e se cada um der R$9,00 sobrarão R$3,50. Qual
é o preço da pizza?
Discussão e Resultados Obtidos
Com essa situação, pretendia-se que os alunos discutissem sentenças
matemáticas nas quais por meio da álgebra atribuiriam valores que o problema
apresenta, chegando ao resultado esperado, no qual pode ser verificado se está ou
não correto fazendo a substituição dos valores encontrados na sentença
matemática. Esse foi o problema que os alunos tiveram maior dificuldade em
resolver.
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Problema 4
Um lote retangular foi dividido em quatro terrenos, todos retangulares. As
áreas de três deles estão dadas na figura, em km². Qual é a área do lote?
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Discussão e Resultados Obtidos
Todos os grupos resolveram pelo mesmo método, colocaram x na área desconhecida e usaram a proporcionalidade.
Problema 5
Na expressão a + c = 29 as letras a, b, c, e d representam números inteiros b d 30
de 1 a 9.
Qual é o valor de a + b + c + d?
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Discussão e Resultados Obtidos
O grupo 2 resolveu por tentativa de erro, o grupo 1 não conseguiu resolver e
o grupo 3 e 4 apontou a fração irredutível apresentada na expressão algébrica e
observou que o produto b.d é múltiplo de 30.
Problema 6
Na figura dada, teremos dois quadrados. O lado do maior mede a + b e do
menor a. Qual é a área da região cinza destacada?
Discussão e Resultados Obtidos
Nesse problema, todos os grupos resolveram os cálculos, utilizando a
multiplicação do polinômio.
Identificaram que a região cinza é a diferença do quadrado maior e menor
a a+b
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Problema7
Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores, as áreas
de três deles estão indicadas na figura dada. Qual é a área do retângulo ABCD?
A D
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12 27
B C
Discussão e Resultados Obtidos
Todos os grupos utilizaram a mesma estratégia do problema 4.
CONCLUSÃO
Minha experiência com esse projeto foi gratificante, observei que os alunos
que considero indisciplinados foram os que mais participaram. A resolução de
problemas é um método que mostra a importância de cada tarefa tornando-a
significativa.
Os resultados deste estudo mostram que o significado no contexto do
pensamento alébrico, não é do conhecimento intuitivo para os estudantes e é
comparado diretamente pelo que é explicado na sala de aula. A divisão dos alunos
em grupos iguais foi importante para trabalhar com várias maneiras para iniciar a
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construção e compreensão do pensamento algébrico, e para mudar a sua
interpretação do símbolo operacional. Compreendeu-se que as dificuldades
encontradas foram resultado das atividades repetitivas ao longo da escolaridade dos
estudantes, de igualdades com as operações, juntamente com a obtenção de uma
resposta pronta que normalmente domina o ensino da matemática.
As equações algébricas provaram no contexto o que é verdadeiro e falso ou
eficaz no desenvolvimento do pensamento algébrico, através do qual os alunos
podem verbalizar, desenvolver e compreender os problemas apresentados.
Esse estudo ajudou a observar o cotidiano para desenvolver novas
estratégias de ensino, interrompendo a tendência da repetição de atividades, e
mostrou o desenvolvimento do pensamento relacional. O sucesso demonstrado nos
resultados da implementação nos permite prescrever aos estudantes a abordagem
da Resolução de Problemas como metodologia de ensino que desenvolva o
pensamento algébrico.
Uma dificuldade observada em relação a este desenvolvimento através de
atividades consideradas foi a necessidade dos estudantes ouvir um ao outro para
trocar estratégias e opiniões para a resolução dos problemas. As dificuldades
descritas na resolução de diferentes tipos de equações, e os desenvolvimentos
descritos na compreensão e estratégias dos alunos trouxeram informações úteis
para ensino e para o desenvolvimento de novas estratégias para a aprendizagem.
Ele mostra o potencial da investigação sobre o desenvolvimento de pensamento
relacional que favorece uma abordagem não “robotizada” e compreensão semântica
da aritmética, bem como a abordagem estreita das expressões, ideia de grande
importância para ser tratada na pré-álgebra.
A metodologia tradicional conduz o aluno a repetir por várias vezes as
atividades, apresentando-se assim de forma ineficaz, uma vez que causa
desinteresse por parte dos alunos. A Resolução de Problemas pode possibilitar o
desenvolvimento do interesse do aluno a chegar ao resultado desejado.
A busca de atividades que trabalham a resolução de problemas no estudo
das expressões e desenvolvimento do pensamento algébrico deve ser parte da
interação e discussão aberta entre grupos de pesquisa sobre os aspectos comuns
ou fundamentos além dos princípios que distinguem formas diferentes para ensinar.
No entanto, a pesquisa e a prática de ensino devem estar de acordo com a
importância da disciplina em conceituar termos, dilemas ou perguntas para que os
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estudantes possam compreender as expressões e desenvolver o pensamento
algébrico.
Neste contexto, as abordagens para a solução de problemas podem ser
inconsistentes ou limitadas. Ainda assim, o professor pode redefinir e aprimorar
aprendizagem, dando importância aos alunos que apresentam e discutem
abertamente as ideias, pois isso promove autoestima e incentiva a aprendizagem.
REFERÊNCIAS
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DAY, R.; JONES, G.. Construindo Pontes para pensamento algébrico. Ensino da Matemática no Ensino Médio. pg. 208-212, 1997.
KRULIK, S.; REYS, R. E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.
MATOS, A. S. S. M. de. Um Estudo sobre o Desenvolvimento do Pensamento Algébrico. Universidade de Lisboa: dissertação de mestrado, 2007.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: Jam3 Comunicação, 2008.
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OBMEP 2010. Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf. Acessado em: 03 jul. 2011.