RESOLUÇÃO

DE

PROBLEMAS

Coordenação de Matemática

Adriana Silva

Abril/2014

Resolução de Problemas

abordagem metodológica para o ensino da Matemática

meio pelo qual “se inicia o aluno no modo de pensar

matemático e nas aplicações dessa disciplina” (Dante,

2009, p.9)

orientação para a aprendizagem, pois proporciona o

contexto em que se pode apreender conceitos,

procedimentos e atitudes matemáticas. (Dante, 2009,

p.17)

O que é um problema?

“problema é uma situação que um indivíduo ou

grupo quer ou precisa resolver e para a qual não

dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à

solução” (Lester, em Dante, 2009).

“uma situação que demanda a realização de uma

sequência de ações ou operações para obter um

resultado. Ou seja, a solução não está disponível

de início, no entanto é possível construí-la.” (PCN’s,

1998)

O que é resolver um problema?

“é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido

de antemão, encontrar um caminho a partir de uma

dificuldade, encontrar um caminho que contorne um

obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não

alcançável imediatamente, por meios adequados”.

“ A maior parte do nosso pensamento consciente é sobre

problemas; quando não nos entregamos a simples

contemplação, ou devaneios, nossos pensamentos estão

voltados a algum fim”

(Dante, 2009, p.14)

Várias interpretações da expressão “formulação e

resolução de problemas”:

• meta - motivo principal de se estudar Matemática, é o objetivo primordial

a ser atingido.

• processo - o que importa é o modo como o aluno formula e resolve um

problema, os métodos, as estratégias e os procedimentos que ele utiliza.

• habilidade básica - algo essencial que todos devem dominar para que

se insiram no mundo do conhecimento e do trabalho.

• Metodologia do ensino da Matemática - leva em conta e enriquece as

outras interpretações, desencadeando conceitos e procedimentos por

meio de situações-problema motivadoras e trabalhando com a

problematização de situações.

(Dante, 2009, p. 14-16)

Princípios para o trabalho com a Resolução de Problemas:

- o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o

problema.

- só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da

questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada.

- aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um

certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que

aprendeu para resolver outros.

- o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas

constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de

problemas. (Dante, 2009, p.17)

“O maior desafio da educação contemporânea é um ensino que prepare o

ser humano para a vida e a diversidade que nela se apresenta.”

“Sendo a matemática uma área do conhecimento voltada para o

raciocínio lógico e de direta relação com a vida cotidiana das pessoas...,

sua metodologia de ensino deve valorizar os pensamentos e

questionamentos dos alunos por meio da expressão de suas idéias. Daí a

necessidade de explorar a oralidade em matemática, estimulando os

alunos a expressarem suas estratégias diante de uma questão.”

“A formulação e resolução de problemas trazem essa possibilidade em

vários aspectos: as situações-problema desenvolvem o poder de

comunicação do aluno, quando trabalhadas oralmente, e valorizam o

conhecimento prévio do aluno, uma vez que dão a oportunidade de ele

mesmo explorar, organizar e expor seus pensamentos, estabelecendo

uma relação entre noções informais, intuitivas e a linguagem abstrata e

simbólica da matemática.”

(Dante, 2009, p.18)

Objetivos da formulação e resolução de problemas

• fazer o aluno pensar produtivamente: produzir novas e diferentes

soluções, inventando, buscando e usando novos métodos.

• desenvolver o raciocínio do aluno: elaborar raciocínios lógicos e fazer

uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, propondo boas soluções

aos problemas apresentados.

• ensinar o aluno a enfrentar situações novas: lidar com situações novas,

quaisquer que sejam elas, tendo iniciativa, espírito explorador,

criatividade e independência.

• dar ao aluno oportunidade de se envolver com as aplicações da

matemática: usar os conceitos e procedimentos matemáticos no dia a dia

(favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em relação

à matéria, evitando questionamentos como “Para que serve isso?” ou

“Onde vou usar isso na minha vida?”)

(Dante, 2009, p.18-23)

Objetivos da formulação e resolução de problemas

• tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras:

trabalhar de modo ativo, individualmente ou em pequenos grupos,

buscando a solução de um problema é mais dinâmico e motivador do que

ouvir o professor explicar e repetir;

• equipar o aluno com estratégias para resolver problemas: desenvolver e

apropriar-se de estratégias diversificadas que se apliquem a um grande

número de situações;

• dar uma boa base matemática às pessoas: saber resolver, de modo

inteligente, seus problemas domésticos, e da vida diária de modo geral.

• liberar a criatividade do aluno: desenvolver a criatividade por meio do

pensamento produtivo.

Como se resolve um problema

Segundo Polya, são quatro as etapas principais orientadoras do

processo de resolução de um problema (não são rígidas, fixas e

infalíveis):

- compreender o problema: ler atentamente o problema, buscando

entender o que se deve fazer;

- elaborar um plano: fazer conexão entre os dados do problema e o

que ele pede;

- executar o plano: fazer o que foi planejado, verificando cada passo a

ser dado;

- retrospecto ou verificação: analisar a solução obtida e fazer a

verificação do resultado (rever o próprio pensamento expressado na

solução).

Pedro e José possuem, juntos, 36 figurinhas. Pedro

possui 6 a mais que José. Quantas figurinhas tem

cada um?

Pedir aos grupos que resolvam o problema e registrem a solução para socializar com a turma.

Pedir aos grupos que resolvam o problema e registrem a solução para socializar com a turma.

BUENO, Renata. Poemas problemas. São Paulo: Editora do Brasil, 2011, p. 31

Como encaminhar a solução de um problema em sala de aula

Ensinar a resolver problemas não é um mecanismo direto de

ensino, mas uma variedade de processos de pensamento que precisam

ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo

do professor.

O professor precisa:

- ajudar os alunos a pensar, questionando-os a respeito do problema;

- encorajar os alunos a questionar, o professor e os colegas de grupo,

para esclarecer pontos fundamentais, destacar informações importantes

e compreender melhor o que o problema pede e que dados e condições

possuem para resolvê-lo;

Como encaminhar a solução de um problema em sala de aula

- incentivar os alunos a pensar e por em ação estratégias para solucionar o

problema (estratégias pessoais/ noções intuitivas, informais/conhecimento

formal);

- propor aos alunos a verificação (um retrospecto) da solução encontrada

(pensar sobre o que foi pensado/ revisar);

- pedir aos alunos que socializem/ apresentem à turma a solução

encontrada.

- estabelecer relações entre as diferentes soluções/ diferentes registros

encontrados pela turma;

- estabelecer relações entre o conhecimentos/registros informais e o

conhecimento/registro formal (para se apropriar de um sistema de

representação convencional, é fundamental que usem inicialmente

representações pessoais). Ler e discutir com a turma o texto das páginas 56-58

Características de um bom problema

- ser desafiador (que motive, que aumente a curiosidade);

- ser de interesse do aluno (relação com o universo infantil);

- ser o elemento desconhecido de um problema realmente

desconhecido;

- não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais

operações aritméticas;

- ter nível adequado de dificuldade.

Como contornar fatores que dificultam um problema- linguagem usada na redação do problema: usar linguagem clara e

simples, apropriada a cada faixa etária e o vocabulário o mais próximo

possível da vivência do aluno (nos primeiros anos pode-se usar imagens

e palavras);

- tamanho e estrutura das frases: em geral, os alunos se perdem na

leitura de frases longas e complexas. É interessante separá-las em duas

ou mais frases curtas e simples;

- vocabulário matemático específico: é preciso ajudar o aluno a distinguir

o significado de uma palavra em linguagem matemática e em uso

corrente;

- tamanho e complexidade dos números: problemas com números

“pequenos” fazem com que o aluno focalize mais o problema em si e os

processos de pensamento necessários para resolvê-los, e não

simplesmente os cálculos;

Como contornar fatores que dificultam um problema

- ordem em que as informações (dados e condições) são dadas:

um problema se torna mais difícil quando as informações que

contém não são usadas na mesma ordem em que aparecem;

- número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade:

se um problema apresenta duas ou mais condições a serem

satisfeitas , ele se torna mais difícil, em geral o aluno pensa que o

problema já está resolvido quando consegue satisfazer uma delas.

- número e complexidade de operações e estratégias envolvidas:

de modo geral, se a solução do problema envolve apenas uma

operação, ele é mais simples do que aqueles que requerem duas

ou mais operações. Quanto ao tipo de estratégias também podem

ser considerados simples ou não.

Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa

do que ensinar algoritmos. A postura do professor ao ensinar um

algoritmo é, em geral, a de um orientador que dá instruções,

passo a passo, de como fazer. Na resolução de problemas, ao

contrário, o professor deve funcionar como incentivador e

moderador das idéias geradas pelos próprios alunos.

Diferentemente de mostrar e repetir, com base na expressão é

assim que se faz,... [nesta perspectiva de ensino] o professor

encoraja o aluno a pensar por si mesmo, a levantar as próprias

hipóteses e a testá-las, a criar as próprias estratégias, a discutir

com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer

funciona. O papel do professor é manter os alunos pensando e

gerando ideias produtivas.

(DANTE, 2009, p. 56)

Orientações Metodológicas

- O sucesso em alguma atividade nos leva a desenvolver atitudes positivas em

relação a ela. Comece dando problemas bem fáceis aos alunos, de tal modo que

todos os resolvam. Em seguida, apresente problemas de impacto que envolvam

os alunos, levando-os a pensar neles e a querer resolvê-los. Lembre-se de que

repetidos fracassos levam à desmotivação e à frustração. A ordem poderia ser:

problemas fáceis, um pouco mais difíceis e, finalmente, os desafios.

- É interessante resolver diferentes problemas com uma mesma estratégia e

aplicar diferentes estratégias para resolver um mesmo problema.

- Deve-se focalizar, enfatizar e valorizar mais a análise do problema, as estratégias

utilizadas, os procedimentos que podem levar à solução e a revisão da solução

obtida, do que simplesmente a resposta correta.

- Não se aprende resolver problemas de repente. É um processo vagaroso e

contínuo, que exige planejamento e tempo.

Orientações Metodológicas

- É preciso reconhecer que, ao apresentar, por exemplo, vários problemas de

adição, logo após o estudo dessa operação, estamos fazendo exercícios de

aplicação para fixar a idéia de adição e o algoritmo da adição. Não estamos

apresentando problemas-processo, pois o algoritmo a ser usado já é conhecido.

Por isso, não há desenvolvimento de estratégias nem pesquisa e exploração.

Basta apenas aplicar o algoritmo estudado anteriormente.

- Devemos incentivar os alunos a “pensarem alto”. Assim, nossa função de

orientador e facilitador da aprendizagem se realizará mais facilmente, pois

poderemos perceber como eles estão pensando, como estão encaminhando a

solução do problema, que estratégias estão tentando usar, que dificuldades

tentam superar.

Orientações Metodológicas

- Devemos motivar os alunos a rever o seu raciocínio, descrevendo-o, a pensar

como poderiam ter resolvido de outra maneira o problema, a testar a solução

encontrada, a generalizar os resultados e a criar novos problemas com base

naquele resolvido.

- Formar um banco de problemas e pedir que os alunos tragam problemas

curiosos e interessantes. Toda segunda-feira pode-se colocar no mural o problema

da semana e recolher as soluções na sexta-feira seguinte. Nesse mesmo dia, os

alunos devem explicar as soluções trazidas e fazer comentários a respeito delas.

- Ao incentivar os alunos na resolução de um problema, devemos apresentar

sugestões e insinuações, mas nunca apontar o caminho a ser seguido. É melhor

transformar as informações que porventura forneceríamos em descobertas do aluno

orientadas por nós.

Orientações Metodológicas

- É conveniente apresentar problemas num contexto que motive o aluno, problemas que

possam ser resolvidos apenas por contagem.

- É interessante fornecer respostas para que os alunos inventem problemas

correspondentes.

- Apresentar problemas sem números e pedir que os alunos coloquem números nos

problemas e os resolvam.

- Propor problemas sem perguntas. Por exemplo, descrever uma situação e pedir à

classe para fazer a pergunta.

- Propor problemas extravagantes e irreais.

- Apresentar problemas com falta de dados, para que o aluno os descubra.

- Apresentar problemas com excesso de dados para que o aluno “retire os excessos”.

- Propor aos alunos a invenção de problemas (saber formular um problema é tão

Importante quanto resolvê-lo corretamente. Pode-se apresentar um desenho, uma figura

Ao aluno. Ele inventa uma história e faz uma ou mais perguntas.