resolução de problemas do campo aditivo por alunos de quinto … · pereira, josé fernando...

Resolução de problemas do campo

aditivo por alunos de quinto ano de

uma escola pública da cidade de São

Paulo

JOSÉ FERNANDO FERNANDES PEREIRA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO

CAMPO ADITIVO POR ALUNOS DE

QUINTO ANO DE UMA ESCOLA

PÚBLICA DA CIDADE DE SÃO

PAULO

José Fernando Fernandes Pereira

Edda Curi

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO

CAMPO ADITIVO POR ALUNOS DE

QUINTO ANO DE UMA ESCOLA

PÚBLICA DA CIDADE DE SÃO

PAULO

Universidade Cruzeiro Do Sul

2013

© 2013

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi

Banca examinadora

Profa. Dra. Edda Curi

Profa. Dra. Celi Aparecida Espasandin Lopes

Profa. Dra. Maria Tereza Carneiro Soares

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

P492r

Pereira, José Fernando Fernandes.

Resolução de problemas do campo aditivo por alunos de quinto

ano de uma escola pública da cidade de São Paulo / José Fernando Fernandes Pereira. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.

29 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e

Matemática). 1. Ensino de matemática. 2. Resolução de problemas 3. Campo

aditivo (Matemática) 4. Escola pública (SP). I. Título II. Série.

CDU: 51

Sumário

1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5

2 APORTE TEÓRICO ................................................................................................................ 7

3 O PRODUTO ......................................................................................................................... 12

3.1 SOBRE A IDENTIFICAÇÃO DA OPERAÇÃO QUE RESOLVE O PROBLEMA ..... 12

3.2 SOBRE OS PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO . 20

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 22

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 27

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 29


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1 APRESENTAÇÃO

Este texto refere-se a uma síntese do trabalho que envolveu o estudo

realizado em uma escola da rede pública estadual, na cidade de São Paulo,

com o propósito de identificar saberes e dificuldades apresentados por alunos

de quinto ano do Ensino Fundamental, na resolução de problemas do Campo

Aditivo.

O trabalho a que nos referimos originou a dissertação de mestrado

defendida em 14 de junho de 2013, sob orientação da Profª Drª Edda Curi, com

o título “Resolução de problemas do Campo Aditivo por alunos de quinto ano

de uma escola pública da cidade de São Paulo”.

A Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud deu consistência

à fundamentação teórica, mesmo que outros pesquisadores como Chapin e

Johnson ou Van de Walle hajam contribuído por meio de suas pesquisas que

envolveram discentes no mesmo nível de escolaridade.

O estudo teve caráter metodológico quantitativo, enquanto se referia à

identificação da operação que resolvia o problema. A execução do

procedimento na operação envolvida, após análise dos protocolos dos alunos,

deu origem a categorizações que requeriam uma metodologia qualitativa que

emergia de uma pesquisa documental.

Analisando os dados encontrados à luz da teoria apresentada pelos

pesquisadores supracitados, pudemos abstrair consideráveis resultados sobre

obstáculos identificados na determinação da operação que resolve o problema,

bem como dificuldades apresentadas na indicação ou resolução do algoritmo.

Apresentamos sugestões de como facilitar a escolha correta da

operação e de como efetuar satisfatoriamente o algoritmo, com base nos

estudos realizados pelos pesquisadores indicados.

Na sequência, descrevemos a trajetória que percorremos até a


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finalização do estudo aqui descrito.

Iniciadas as aulas do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e

Matemática, ingressei, como bolsista CAPES, no projeto intitulado “Prova Brasil

de Matemática: revelações, possibilidades de avanços nos saberes de alunos

de 4ª série/5º ano e indicativos para a formação de professores”, coordenado

pela Profª Drª Edda Curi, com previsão de encontros quinzenais com

propósitos bem definidos, quais sejam: divulgar a produção e os resultados

encontrados, aproximando a universidade à realidade local bem como instruir e

melhorar a prática dos professores, realizando um trabalho conjunto entre o

pesquisador acadêmico e o professor-pesquisador, aquele que investiga sua

própria prática. No caminhar do grupo, escolhi o tema “Resolução de

problemas do Campo Aditivo”, uma das primeiras dificuldades do ingressante.

Identificar quais os saberes e dificuldades que os alunos de 5º ano do

Ensino Fundamental de uma das escolas envolvidas no projeto revelam, em

sala de aula, na resolução de problemas do campo aditivo foi o objetivo da

pesquisa.

Problemas elaborados e exaustivamente discutidos e ajustados para

cada nível escolar, durante as reuniões do grupo de pesquisa, compuseram os

protocolos dos alunos para análise, constituindo uma fonte de pesquisa

acessível (GOLDENBERG, 1999), que originou material para responder a

seguinte questão de pesquisa: “Que indicativos nos oferecem os protocolos

dos alunos de 5º ano de uma escola pública da cidade de São Paulo, em

relação aos seus saberes e dificuldades na resolução de problemas do campo

aditivo?”.

Participaram da pesquisa 189 alunos, resolvendo problemas referentes a

cinco relações de base (ideias) diferentes e relacionadas aos três estados

possíveis (inicial, intermediário e final), produzindo 189 X 5 X 3 = 2835

protocolos.


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2 APORTE TEÓRICO

A proposta do trabalho foi analisar as estruturas aditivas à luz da Teoria

dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, que visa ajudar a entender

como as crianças constroem os conhecimentos matemáticos e, para isso,

propõe uma estrutura que permita compreender as filiações e rupturas entre

conhecimentos, em crianças e adolescentes, entendendo por conhecimento,

tanto a informação expressa como as habilidades no tratamento dessa

informação (VERGNAUD, 1996, p. 155).

Elaborada, inicialmente, para tratar de estruturas matemáticas, como a

Estrutura Aditiva, a Teoria dos Campos Conceituais não é específica da

Matemática, podendo ser aplicada em qualquer aprendizagem científica ou

técnica.

Vergnaud distingue duas classes de situações na resolução de um

problema. O sujeito pode dispor das competências necessárias a sua solução e

torná-la imediata, ou, em contrapartida, se o sujeito não dispuser de todas as

competências necessárias, terá que refletir, explorar, hesitar, reformular e

atingir, ou não, a solução correta do problema. O tornar a solução imediata não

exclui a ação de refletir, nem o que já tenha sido explorado e reestruturado.

À organização invariante do comportamento para uma classe de

situações dadas, Vergnaud chama de esquema, ou seja, é o espaço onde os

conhecimentos em ação são transformados numa ação operatória, gerando os

teoremas em ação que, segundo Vergnaud, são as compreensões das

crianças, mostradas em ação, mesmo que não verbalizadas.

O funcionamento cognitivo que faz essa transformação envolve

operações que, progressivamente, se automatizam, relacionando diretamente

as características do problema ao algoritmo. A automatização não elimina, no

aluno, o poder de decisão se uma operação é, ou não, apropriada.

A adição de números naturais, objeto de nosso estudo, tem, em seu

algoritmo, um conjunto de regras difíceis de serem explicitadas às crianças.


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Percebe-se que sem a compreensão do Sistema de Numeração Decimal,

através da decomposição polinomial dos números (por exemplo, 378 = 3.102 +

+ 7.101 + 8.100) o esquema-algoritmo pode não levar o aluno ao sucesso.

Segundo Vergnaud, um esquema sempre se apoia em uma

conceitualização implícita, donde se conclui que, considerando duas classes de

situações, na primeira classe de situações (quando o sujeito dispõe das

competências) o conceito de esquema se aplica com mais facilidade do que na

segunda classe de situações (quando não dispõe das competências) onde o

sujeito tenta diferentes abordagens que tenham afinidade com o objeto de

estudo, com o objetivo de encontrar a solução através de esquemas

disponíveis ou criados para a nova situação.

O autor conclui que para estudar o desenvolvimento e o funcionamento

de um conceito, durante o processo de aprendizagem, ou no decorrer de sua

utilização, devem ser considerados os três planos a seguir, simultaneamente:

S – conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência);

I – conjunto das invariantes nas quais se assenta a operacionalidade dos

esquemas (o significado);

L – conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem

representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os

procedimentos de tratamento (o significante) (VERGNAUD, 1996).

A ideia de Campo Conceitual, para esse autor, é a de um conjunto de

situações que podem ser analisadas como uma combinação de tarefas, cujas

características quanto à natureza e dificuldades específicas são bem

conhecidas.

A Teoria dos Campos Conceituais considera que existe uma série de

fatores que influenciam e interferem na formação e no desenvolvimento dos

conceitos e que o conhecimento conceitual deve emergir dentro de situações-

problema (MAGINA et al., 2008). Em seguida apresentaremos alguns tipos de


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situações-problema.

Segundo Vergnaud, o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é o

conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições e

subtrações agregado ao conjunto dos conceitos e teoremas que permitem

analisar tais situações como tarefas matemáticas.

As primeiras situações enfrentadas pelo aluno que geraram domínio

sobre o assunto e deram sentido aos conceitos por ele formulados, servirão de

base para as relações com novas situações (tarefas) que dão continuidade na

combinação de tarefas do mesmo campo conceitual.

As relações de base e as classes de problemas que podem ser

construídos a partir delas, segundo Vergnaud, devem vir acompanhadas de

uma sistemática classificação.

Na estrutura aditiva, Vergnaud classifica as relações de base em:

1. Composição de duas medidas em uma terceira;

2. Transformação (quantificada) de uma medida inicial em uma

medida final;

3. Relação (quantificada) de comparação entre duas medidas;

4. Composição de duas transformações;

5. Transformação de uma relação;

6. Composição de duas relações.

As relações aditivas de base podem ser expressas conforme

representações indicadas no quadro a seguir:


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Quadro 1: Relações Aditivas de Base

medida

transformação ou relação (positiva ou negativa)

Essas categorias, na sequência, serão melhor identificadas e

exemplificadas.

Sobre a ideia de composição, Vergnaud nos indica que está relacionada


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com a ideia de espaço. No mesmo ambiente, os problemas apresentam ideia

de “juntar” duas medidas ou “separar” uma medida de outra, sempre com a

mesma finalidade de obter uma terceira medida. As três medidas apresentadas

caracterizam três estados a saber: Estado Inicial (EI), Estado Intermediário (I) e

Estado Final (EF).

A ideia de transformação está relacionada com a ideia de tempo. A partir

de uma situação, ocorre uma ação que a transforma em outra situação.

Podemos ter uma transformação positiva (quando a ação é aditiva) ou uma

transformação negativa (quando a ação é subtrativa).

Já a ideia de comparação encerra três valores: a medida de referência, a

medida referida e a relação entre ambas. As quantidades são comparadas

através de uma relação entre elas, que pode ser positiva ou negativa.

Há situações em que ocorrem transformações sucessivas, denominadas

Composição de Transformações. Enunciaremos apenas os casos que

envolvem composição de duas transformações, os quais apresentam quatro

configurações distintas, a saber: a-) Transformações positiva e positiva; b-)

Transformações positiva e negativa; c-) Transformações negativa e positiva; d-)

Transformações negativa e negativa. Habitualmente, a busca é pelo resultado

da composição de transformações, mas alguns problemas podem solicitar a

busca por uma das transformações ou pelo estado inicial.

Vale destacar que nos problemas de composição de transformações o

valor inicial, o valor intermediário e o valor final podem, ou não, servir de base à

resolução do problema. Nem sempre eles interessam à resolução do problema,

servindo, às vezes, como mero dificultador ao aluno.

O estudo das relações de base denominadas por Transformação de uma

relação e Composição de duas relações não cabe neste nível da Educação

Básica.


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3 O PRODUTO

3.1 SOBRE A IDENTIFICAÇÃO DA OPERAÇÃO QUE RESOLVE O

PROBLEMA

A ideia de composição

Os problemas propostos para essa ideia foram:

Numa festa de aniversário havia 1120 brigadeiros e 1285

beijinhos. Quantos doces havia nessa festa?

Na festa da Escola Pinguinho há 1250 doces, sendo 810

brigadeiros e os demais beijinhos. Quantos são os beijinhos?

Numa festa de casamento há alguns brigadeiros e 723 beijinhos.

No total são 1335 doces. Quantos são os brigadeiros?

Os dados do estudo mostram que as crianças não encontram dificuldade

em resolver os problemas de composição, quando a busca é pelo estado final.

Percebemos uma sensível diferença nos resultados do estudo, quando a busca

é pelos estados intermediário ou inicial. As professoras relataram que não

requerem, habitualmente, de seus alunos, que resolvam problemas onde a

busca é pelo estado intermediário ou pelo estado inicial.

Segundo Magina et al. (2008), os problemas de composição em que as

duas partes do todo são dadas e é pedido que se encontre o todo, constituem

os primeiros problemas que a criança domina, não apresentando dificuldade

em resolvê-los, até antes dos seis anos, tornando-se a primeira representação

de adição que ela forma. Sua solução é, em geral, associada ao processo de

contagem.

Os problemas em que são dados o todo e uma das partes e é pedido

que se encontre a outra parte, constituem uma extensão do problema anterior,

e sua solução envolve a operação subtração, desconstruindo a ideia de que a

situação parte-todo está sempre relacionada com a operação adição. Algumas


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vezes é resolvido com o procedimento da complementação (ibidem).

Quando a busca é pelo estado final (o todo), segundo Van de Walle

(2009), no que refere à escolha da operação, a dificuldade que os alunos

parecem demonstrar é a noção de conceito parte-todo, onde a adição nomeia o

todo em termos das partes. As partes são fornecidas e o que se procura é o

todo. Na situação em que são fornecidos o todo e uma das partes e se busca

encontrar a outra parte, quando o aluno não identifica a operação que resolve o

problema, Van de Walle (2009) sugere que a dificuldade que os alunos

parecem demonstrar é a noção do conceito parte-todo, onde, nesta situação, a

subtração nomeia a parte que falta.

A ideia de transformação positiva


Marcos coleciona figurinhas. Ele tem 1538 figurinhas e ganhou 71

de seu tio. Com quantas figurinhas ele ficou?

Marcos tinha 1609 figurinhas. Ganhou algumas e ficou com 1651.

Quantas figurinhas Marcos ganhou?

Marcos tinha algumas figurinhas. Ganhou 140 e ficou com 1724.

Quantas figurinhas ele tinha inicialmente?

Como nos problemas que envolvem o significado de composição, os

dados do estudo mostram que as crianças não encontram dificuldade em

resolver os problemas de transformação positiva, quando a busca é pelo

estado final. Percebemos uma sensível diferença nos resultados do estudo,

quando a busca é pelo estado intermediário (a transformação) ou pelo estado

inicial.

Vergnaud (2009) classifica a transformação como positiva, quando a

ação é aditiva e a não percepção dessa ação constituiu o erro do aluno.

Chapin e Johnson (2006) enfatizam que nesta ideia de transformação,


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quando o desconhecido é o estado final, o problema não oferece dificuldade.

A influência da congruência semântica é claramente observada nos

problemas em que se procura o estado intermediário (a transformação) ou o

estado final. Nos problemas propostos para as duas situações há “ganho” de

figurinhas e a operação que resolve ambos os problemas é uma subtração.

Vários pesquisadores destacam dificuldades com os problemas em que

a busca é pelo estado intermediário (a transformação) ou pelo estado inicial,

como expomos a seguir.

Nesse sentido, Van de Walle (2009) sugere que os problemas devam

ser expressos em forma de equação semântica, enquanto as crianças

trabalham com números de pequena ordem de grandeza, para que possam ser

escritas as respectivas equações equivalentes – aquelas que explicitam a

operação que vai resolver o problema – facilitando a verificação da

equivalência.

No segundo problema temos 1609 + ? = 1651, como equação semântica

e 1651 – 140 = ?, como equação equivalente, enquanto no terceiro problema

temos ? + 140 = 1724, como equação semântica e 1724 – 140 = ?, como

equação equivalente.

O erro do aluno se constitui na não identificação do cálculo relacional,

qual seja, determinar a transformação sendo dados o estado inicial e o estado

final, ou determinar o estado inicial sendo dados a transformação e o estado

final (KOCH; SOARES, 2005). O cálculo relacional refere-se às operações do

pensamento necessárias para que haja a manipulação das relações envolvidas

nas situações (MAGINA et al., 2008).

Chapin e Johnson (2006) sugerem, como procedimento mais eficiente,

reconhecer a ação correspondente à situação, representar a expressão

numérica correspondente à situação e pensar numericamente como encontrar

a resposta.


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Percebemos uma forte tendência dos pesquisadores referenciados em

representar o problema por meio de uma sentença matemática.

A ideia de transformação negativa


Tiago coleciona figurinas. Ele tinha 1550 figurinhas, mas perdeu

55. Quantas figurinhas Tiago tem agora?

Tiago tinha 1605 figurinhas. Deu algumas para seu irmão e ficou

com 1552. Quantas figurinhas ele deu para o irmão?

Tiago tinha algumas figurinhas. Perdeu 193 e ficou com 1401.

Quantas figurinhas ele tinha inicialmente?

Os dados do estudo mostram que as crianças não encontram dificuldade

em resolver os problemas de transformação negativa, quando a busca é pelo

estado final. Percebemos uma pequena diferença nos resultados do estudo,

quando a busca é pelo estado intermediário (a transformação), mas uma

grande diferença, quando a busca é pelo estado inicial.

Vergnaud (2009) classifica a transformação como negativa, quando a

ação é subtrativa e a não percepção dessa ação constitui o erro do aluno.

Van de Walle (2009) classifica este problema como um problema de

separar. Quando o estado final é desconhecido – grande incidência na maioria

dos currículos – deve proporcionar um percentual pequeno de alunos que não

identificam a operação que resolve o problema.

Chapin e Johnson (2006) afirmam que nesta ideia de transformação,

quando o estado final é desconhecido, o problema não oferece dificuldade.

A influência da congruência semântica é claramente observada nos

problemas em que se procura o estado intermediário (a transformação) ou o

estado final. Nos problemas propostos para as duas situações há “doação” ou

“perda” de figurinhas. Na situação em que a operação que resolve o problema


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é uma subtração, refletindo congruência semântica é apresentado percentual

de acerto de 74,1%. Já na situação em que a operação que resolve o problema

é uma adição, refletindo a falta de congruência semântica é apresentado

percentual de acerto de 48,1%.

Alguns pesquisadores destacam a dificuldade que os alunos encontram

ao resolver os problemas de transformação negativa, quando a busca é pelo

estado inicial, caso em que não há congruência semântica, como expomos a

seguir.

Para as situações de transformação (positiva ou negativa), crianças de

sete anos já não devem ter dificuldade na resolução dos problemas em que

são dados o estado inicial e uma transformação (de ganho ou de perda) e é

pedido o estado final. A associação de “ganho” com a operação adição e a de

“perda” com a operação subtração, além da situação de juntar partes são

adquiridas antes do início da educação formal, a partir da experiência do dia-a-

dia da criança (MAGINA et al., 2008).

Van de Walle (2009) propõe que os problemas devam ser expressos em

forma de equação semântica, durante o período em que as crianças trabalham

com números de pequena ordem de grandeza, podendo, na sequência, serem

escritas as respectivas equações equivalentes, possibilitando ao aluno a

validação da resposta.

Nos problemas em que se busca o estado inicial, seja a transformação

positiva ou negativa, Chapin e Johnson (2006) enfatizam que é importante

notar se o aluno sabe representar a expressão numérica corretamente e se

consegue pensar numericamente como encontrar a resposta, uma vez que a

ação de “ganhar” será resolvida por uma subtração, enquanto a ação de

“perder” será resolvida por uma adição. Novamente a falta de congruência

semântica, provocou baixos índices na identificação da operação que resolve o

problema.

O erro do aluno se constitui na não identificação do cálculo relacional,


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principalmente na situação em que se busca o estado inicial (KOCH; SOARES,

2005).

Nesta situação também notamos a insistente indicação dos

pesquisadores referenciados em representar o problema por meio de uma

sentença matemática.

A sensível diferença entre as ideias de transformação positiva e

transformação negativa, na categoria “identificaram a operação que resolve o

problema”, quando a busca é pelo estado intermediário (a transformação),

representada, respectivamente, pelas frequências relativas 59,3% e 74,1%,

acreditamos ser reflexo da associação de “ganho” com a operação adição e de

“perda” com a operação subtração. Na primeira situação, apesar de ser uma

transformação positiva, a operação que resolvia a situação-problema era a

subtração, enquanto na segunda situação, tratava-se de uma transformação

negativa e a operação que resolvia a situação-problema era uma subtração. A

falta de congruência semântica pode ter prejudicado o aluno na interpretação

do enunciado, na primeira situação-problema.

A ideia de comparação positiva


João e Pedro colecionam chaveiros. João tem 607 e Pedro 528.

Quantos chaveiros João tem a mais que Pedro?

Lucas tem alguns chaveiros e Ricardo tem 210. Se Ricardo tem

80 chaveiros a mais que Lucas, quantos chaveiros tem Lucas?

Fábio tem 420 chaveiros e Camila tem 185 a mais que Fábio.

Quantos chaveiros tem Camila?

Os dados do estudo mostram que as crianças encontraram, nessa ideia,

sua maior dificuldade em resolver os problemas onde a busca é pelo estado

final (relação entre as medidas), apresentando o menor percentual, (68,9%)

nessa situação. Das relações de base do campo aditivo que foram

implementadas aos alunos, a comparação positiva, quando se busca o estado


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final, é a única que não apresenta congruência semântica entre o enunciado

(tem a mais) e a operação que resolve o problema (subtração).

Quando a busca é pelo valor referente, a pesquisa apresenta percentual

ainda mais baixo (48,8%) de crianças que identificaram a operação que resolve

o problema. A situação também apresenta falta de congruência semântica.

Segundo Torres (2008, p. 31), Vergnaud considera difícil para a criança

distinguir o que (ou quem) representa o Valor Referente e o que (ou quem)

representa o Valor Referido.

Na busca da Relação entre as medidas, acreditamos que a dificuldade

que os alunos encontraram parece ter sido a identificação da operação

subtração para resolver a situação-problema. Nossa hipótese é que tenham

relacionado a operação adição à expressão “tem a mais” escrita no enunciado.

Indicaram a adição para resolver o problema. O erro do aluno é caracterizado

pela não identificação do cálculo relacional, qual seja, determinar a relação

entre as medidas enunciadas (KOCH; SOARES, 2005). Quando se quer saber

quanto tem a mais, na realidade, procura-se a diferença entre as duas

quantidades. Parece-nos ser esta a indicação de procedimento mais eficiente.

Na situação em que se busca o Valor Referente, nossa hipótese é que o

aluno pode ter relacionado a operação adição à expressão “tem a mais” escrita

no enunciado. O erro do aluno se constituiu na não identificação do cálculo

relacional, qual seja, determinar o valor do referente (KOCH; SOARES, 2005).

Quando a busca é pelo Valor Referido, acreditamos que a dificuldade

que os alunos encontraram parece ter sido a identificação da operação adição

para resolver a situação-problema. Notamos que o percentual de alunos que

não identificaram a operação que resolve o problema, quando a busca é pelo

Valor Referido é menor que o percentual de alunos na mesma situação

apresentada na busca do Valor Referente. Nossa hipótese é que o aluno tenha

mais facilidade em resolver problemas em que ele parta de um valor conhecido

– o valor de referência, hipótese já discutida anteriormente.


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A ideia de comparação negativa


João e Pedro colecionam chaveiros. João tem 1393 e Pedro

1268. Quantos chaveiros Pedro tem a menos que João?

Lucas tem alguns chaveiros e Ricardo tem 815. Se Ricardo tem

112 chaveiros a menos que Lucas, quantos chaveiros tem Lucas?

Fábio tem 743 chaveiros e Camila tem 102 a menos que Fábio.

Quantos chaveiros tem Camila?

Os dados do estudo mostram que as crianças encontraram, na ideia de

comparação, uma grande dificuldade, principalmente, quando a busca é pelo

valor referente, na comparação negativa, situação que apresenta o mais baixo

percentual (30,8%) de crianças que identificaram a operação que resolve o

problema.

Na ideia de comparação negativa, quando se busca o estado final

(relação entre as medidas), como em todas as outras relações de base do

campo aditivo, à exceção da comparação positiva, existe congruência

semântica entre o enunciado e a operação que resolve o problema, voltando,

dessa forma, a produzir alto percentual (82,9%) de acerto nessa situação.

Magina et al. (2008) consideram que, embora os problemas de

comparação positiva e comparação negativa se refiram a representações

diferentes, quando se busca o valor referido, as pesquisas mostram que as

crianças resolvem ambos, mais ou menos com a mesma idade. Afirmam,

ainda, que na situação em que se busca a relação entre as medidas, é

importante que a criança entenda que a pergunta se refere à diferença entre as

quantidades.

A situação em que se busca o Valor Referente apresentou o problema

que mais dificuldade ofereceu à compreensão do aluno, na busca da

identificação da operação que resolve o problema, acarretando a maior

frequência relativa (57,4%), nesse quesito. Acreditamos que a dificuldade


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parece ter sido a identificação da operação adição para resolver a situação-

problema. Nossa hipótese é que o aluno pode ter relacionado a operação

subtração à expressão “tem a menos” escrita no enunciado. O erro do aluno se

constituiu na não identificação do cálculo relacional, qual seja, determinar o

valor referente (KOCH; SOARES, 2005).

Quando a busca é pelo Valor Referido, acreditamos que a dificuldade

que os alunos encontraram parece ter sido a identificação da operação

subtração para resolver a situação-problema. Notamos que o percentual de

alunos que não identificaram a operação que resolve o problema, quando a

busca é pelo Valor Referido é menor que o percentual de alunos na mesma

situação apresentada na busca do Valor Referente. Nossa hipótese é que o

aluno tenha mais facilidade em resolver problemas em que ele parta de um

valor conhecido – o valor de referência, hipótese já discutida anteriormente.

3.2 SOBRE OS PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO UTILIZADOS NA

RESOLUÇÃO

Notamos sensível diminuição na frequência relativa aos erros de

procedimentos utilizados para efetuar a adição. Temos por hipótese que as

professoras podem ter implementado, em sala de aula, exercícios

complementares com o propósito de tentar diminuir essa dificuldade.

Acreditamos também na possibilidade de algumas adições envolvidas não

apresentarem a dificuldade do procedimento de recurso/reserva, nem o zero

como elemento dificultador.

Em relação à subtração, as maiores dificuldades apresentadas foram no

procedimento de recurso/reserva, na subtração do algarismo de menor valor

significativo daquele que tem maior valor significativo, independente da posição

que ocupam no algoritmo e, finalmente, na presença do zero como elemento

dificultador. Acreditamos que a oscilação de frequências relativas aos erros de

procedimentos utilizados para efetuar a subtração tenha ocorrido em função da

existência, ou não, dessas categorias referenciadas durante a análise. Apenas

uma subtração envolvida nos problemas propostos não apresenta a dificuldade


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do procedimento de recurso/reserva e, pode ter sido esse o motivo de apontar

o menor percentual de erros.

Em alguns casos, alunos resolveram os problemas propostos utilizando

a multiplicação ou a divisão. Temos por hipótese que pudesse ser o conteúdo

desenvolvido pelas professoras, no período em que nossa pesquisa foi

aplicada.

Um aluno que nos despertou atenção foi o que expressou o problema na

forma de equação semântica, embora não o tenha resolvido de forma correta.

A seguir apresentamos um quadro referente à análise dos

procedimentos em cada uma das relações de base estudadas.

Tabela Ideia Busca de Operação Freq. de erro

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Composição

Estado Final Adição 19,2%

17 Est. Intermediário Subtração 8,7%

18 Estado Inicial Subtração 15,1%

19 Transformação

Positiva

Estado Final Adição 12,2%

20 A Transformação Subtração 19,1%

21 Estado Inicial Subtração 16,3%

22 Transformação

Negativa

Estado Final Subtração 30,2%

23 A Transformação Subtração 28,6%

24 Estado Inicial Adição 7.4%

25 Comparação

Positiva

Relação/medidas Subtração 23,8%

26 Valor Referente Subtração 11.6%

27 Valor Referido Adição 6,1%

28 Comparação

Negativa

Relação/medidas Subtração 30,8%

29 Valor Referente Adição 2,4%

30 Valor Referido Subtração 10,6%

Quadro 2: Resumo das Frequências Relativas nos Erros de Procedimento


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4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

O início do percurso para responder a questão de pesquisa: “Que

indicativos nos oferecem os protocolos dos alunos de 5º ano de uma escola

pública da cidade de São Paulo, em relação aos seus saberes e dificuldades,

na resolução de problemas do campo aditivo” deu-se com nosso ingresso no

Projeto de Pesquisa, que alavancou estudos em searas jamais percorridas. Os

desafios foram surgindo, desde as disciplinas às quais nunca déramos

importância até a barreira tecnológica. Fomos vencendo um a um, ao nosso

tempo.

Mesmo sabendo ser um percurso difícil observar e investigar os saberes

matemáticos dos alunos na série escolhida, não nos furtamos arriscar.

Os estudos teóricos, por meio de muita leitura, nos levaram a ter a

segurança que precisávamos para começar a escrever o capítulo de

fundamentação teórica que, aliado à questão de pesquisa e à metodologia

utilizada, propiciaram a realização do trabalho.

Sobre as relações de base do Campo Aditivo, indicadas por Vergnaud,

faremos algumas considerações.

Segundo Magina et al. (2008), a ideia de juntar envolvida nos problemas

de composição é a primeira representação de adição que a criança

compreende e, aos seis anos, já não apresenta dificuldade em resolver. Em

geral a criança a associa ao processo de contagem. Nossas crianças de 5º

ano, mesmo que tenham apresentado frequência relativa de 91,3% no que

refere à identificação da operação que resolve o problema, quando a busca era

do estado final, apenas 76,2% (72,1% + 4,1%) lograram êxito. Perderam-se no

algoritmo.

Já a ideia envolvida nos problemas de transformação (ganhos ou

perdas) deve estar construída até 7 anos, pois fazem parte do dia-a-dia da

criança e são representações formadas entre 4 e 5 anos (ibidem). As crianças

de 5º ano, apesar de terem apresentado frequência relativa de 86,8%


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(transformação positiva) e 76,2% (transformação negativa) no que refere à

identificação da operação que resolve o problema, quando a busca era do

estado final, apenas 80,9% (74,6% + 6,3%) – na transformação positiva – e

51,3% (46,0% + 5,3%) – na transformação negativa - lograram êxito.

Perderam-se no algoritmo. A sensível diferença entre 80,9% e 51,3% pode

revelar maior dificuldade no algoritmo da subtração em relação ao da adição.

Quando se busca o estado intermediário, ou seja, a transformação,

independente de ser positiva ou negativa, o que se busca é a variação entre os

estados final e inicial e, como variação, resolvida por subtração. Nunes et al.

(2008) trabalham explorando a reta numérica para encontrar a variação.

Acreditamos na força do conceito de variação para o cálculo da transformação

(estado intermediário). Na busca da transformação, o êxito obtido foi de 44,4%

(40,2% + 4,2%) e 47,1% (45,5% + 1,6), respectivamente; o que nos parece

reduzido em função da idade das crianças envolvidas.

Segundo Magina et al. (2008), a compreensão da ideia envolvida nos

problemas de comparação se dá quando o aluno percebe que a relação entre

as medidas é o valor que se deve adicionar ou subtrair ao valor referente para

obter o valor referido, ou seja, a relação entre as medidas é a diferença entre

as duas medidas. As expressões “tem a mais” na comparação positiva ou “tem

a menos” na comparação negativa podem ter exercido forte influência na

escolha da operação a ser realizada, uma vez que, nas duas ideias, a relação

entre as medidas é a diferença entre a medida maior e a medida menor. A falta

de congruência semântica entre “ter a mais” e “fazer uma subtração” pode ter

provocado o menor rendimento na comparação positiva (68,3%) em relação à

comparação negativa (82,9%). Ainda na busca do valor referente ou do valor

referido, a congruência semântica (ou falta dela) exerce razoável influência.

Sobre os procedimentos de cálculo utilizados pelos alunos faremos

algumas considerações.

Acreditamos nos algoritmos não convencionais indicados por Chapin e

Johnson (2006), em casos específicos, assim como no uso da notação


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expandida referida por Vale e Cardoso (2004). Modelos apresentados mostram

que nem sempre a permuta entre o algoritmo convencional e um procedimento

alternativo levará o aluno ao sucesso. A vantagem dos não convencionais

reside no fato de que eles permitem ao aluno operar da esquerda para a direita

(método parcial da adição), ou desvinculam o aluno do “vai 1” (método parcial

da adição ou sobrecontagem com ordem), ou excluem o aluno do perigo do

“empréstimo” (técnica do troco ou técnica da decomposição na subtração),

como vemos no Quadro 3.

Quadro 3: Algoritmos da adição

Para a subtração também são apresentados alguns algoritmos não

convencionais, descritos por Chapin e Johnson (2006) e apresentados no

Quadro 4.


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Quadro 4: Algoritmos não convencionais da subtração

A maior vantagem do método parcial da adição encontra-se na não

desconstrução do valor posicional, pois não há “transporte”, como explicam

Kamii e Joseph (2005), ao relatarem que seus alunos ao lidarem com 15 + 27,

fariam primeiro 10 + 20 = 30, porque jamais haviam sido ensinados a adicionar

5 + 7 em primeiro lugar. Afirmam, ainda, que “o algoritmo de ‘transporte’ serve

para ‘desensinar’ o valor posicional, incentivando as crianças a pensarem

sobre todo dígito como se fosse uma unidade”.


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Na situação apresentada 15 + 27, as crianças dizem “cinco mais sete

são doze, vai um. Um mais um são dois, mais dois são quatro” (ibidem).


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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Consideramos que, mais do que memorizar e treinar um conjunto de

“passos” para realizar o algoritmo convencional, os alunos, ao realizarem um

cálculo, sejam capazes de mobilizar conhecimentos que têm sobre os números

e as operações e os apliquem de forma eficaz, relacionando-os ao contexto, ao

significado da operação e às estratégias de cálculo. A importância da

composição e decomposição de números na resolução dos problemas do

campo aditivo se faz presente em função das dificuldades encontradas pelos

alunos ao desenvolverem os procedimentos.

Em relação ao algoritmo convencional, o estudo mostra que os alunos o

fazem sem compreensão e, talvez, se tivessem trabalhado com algoritmos

intermediários ou por decomposição, respeitando o ritmo de aprendizagem,

houvesse maior compreensão dos procedimentos.

Um resultado de nosso estudo quebra um mito bastante evidenciado por

professores que afirmam que as crianças erram os problemas matemáticos

porque não sabem ler e interpretar. Os percentuais de acertos na identificação

da operação que resolve o problema mostram que as crianças leem e

interpretam os enunciados e que as dificuldades surgem na execução do

algoritmo.

Nossa visita à escola selecionada, apresentando resultados parciais do

estudo, desenvolvendo procedimentos não convencionais, seja no campo das

ideias ou no algoritmo e, principalmente, dando voz ao professor, mostrou que

estudos como este, que propiciam a integração entre a escola e a

universidade, por meio do intercâmbio entre professor e pesquisador, são

exequíveis. Em conversa com as professoras, no primeiro encontro,

confessaram que evitavam resolver problemas de matemática, porque se

sentiam inseguras, caso algum aluno fizesse alguma pergunta. Confirmaram as

pesquisas, quando afirmaram que trabalhavam, exclusivamente, a ideia de

composição, na busca do estado final. No segundo encontro, garantiram que

haviam se sentido mais seguras na resolução de problemas que envolviam


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outras ideias ou naqueles em que a busca era pelo estado intermediário ou

pelo estado inicial. Asseguraram desenvolver, paulatinamente, com seus

alunos, novos procedimentos, assim que se tornarem seguras.


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REFERÊNCIAS

CHAPIN, S. H.; JOHNSON, A. Math Matters. Sausalito, CA: MathSolutions,

2006.

GOLDEMBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em

ciências sociais. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 1999.

KAMII, C.; JOSEPH, L. L. Crianças pequenas continuam reinventando a

aritmética (séries iniciais): implicações da teoria de Piaget. Trad. Vinicius

Figueira. 2. ed. Porto Alegre: Artmed, 2005.

KOCH, N. T. O.; SOARES, M. T. C. O professor, seus alunos e a resolução de

problemas de estrutura aditiva. In: MORO, M. L. F.; SOARES, M. T. C. (Org.).

Desenhos, palavras e números: as marcas da matemática na escola.

Curitiba: Ed. da UFPR, 2005.

MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria

dos campos conceituais. 3. ed. São Paulo: PROEM, 2008.

NUNES, T. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. 2.

ed. São Paulo: PROEM, 2008.

TORRES, I. R. V. Os significados das operações de adição e subtração

desenvolvidos em problemas por autores de livros didáticos, documentos

oficiais e por professores dos anos iniciais do ensino fundamental. 2008.

Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade

Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2008.

VALE, M. I. P.; CARDOSO, M. T. P. Números e operações. In: PALHARES, P.

(Coord.). Elementos de matemática para professores do ensino básico.

Lisboa: Lidel, 2004.

VAN de WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de

professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino

da matemática na escola elementar. Trad. Maria Lúcia Faria Moro. Curitiba: Ed.

da UFPR, 2009.

______. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. (Dir.) Didácticas das

MATEMÁTICAS. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.

resolução de problemas do campo aditivo por alunos de quinto … · pereira, josé fernando...

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