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Resistência dos Materiais 2

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 3-4 – TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES

Transformação no Estado Plano de Tensões

◦O estado geral de tensão em umponto é caracterizado por seiscomponentes independentes detensões normal e de cisalhamento.

◦Esse estado de tensão, entretanto,não é encontrado com frequênciana prática de engenharia.

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◦Fazendo-se uma simplificação,atribuindo apenas tensões em umplano, teremos um estado plano detensões

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◦O estado geral plano de tensõesem um ponto é representado,portanto, pela combinação de doiscomponentes de tensão normal eum componente de tensão decisalhamento.

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◦É possível transformar as componentes detensão modificando o ângulo de referência deestudo, conforme apresentado na figura.

◦As duas orientações representam o mesmoestado de tensão, porém os valores dastensão mudaram, conforme a orientação.

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◦Para calcular o estado as tensões resultantesda transformação de tensão basta resolver aequação de equilíbrio apresentada na figura.

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Transformação no Estado Plano de TensõesExemplo 9.1

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Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano

◦Para geração de equações gerais,primeiramente é importante adotaruma convenção de sinais.

◦Desta forma, a tensão normal positivaatua para fora de todas as faces e atensão de cisalhamento positiva atuapara cima na face direita do elemento.

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◦Dado um estado plano de tensões aorientação do pano inclinado no qualdevem ser determinados oscomponentes das tensões normal e decisalhamento será definida pelo ânguloθ.

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◦O diagrama de corpo livre produzidoesta mostrado na figura. Aplicando asequações de equilíbrio é possíveldeterminar as tensões na novaorientação.

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Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado PlanoExemplo 9.2

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Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano

◦Conforme mostrado pelas equações, as tensões dependem daorientação do plano. Na prática de engenharia, em geral, éimportante determinar a orientação dos planos que fazem atensão normal chegar ao valor máximo e mínimo, bem comoa orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamentochegar ao máximo.

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◦Para determinar a tensão normal máxima e mínima podemosdiferenciar a equação abaixo e igualar a 0.

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◦Desta forma é possível obter uma equação queapresenta os valores máximos e mínimos detensões (tensões principais).

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◦Neste caso, resolvendo a equação docisalhamentos para a posição detensão normal máxima, o resultadoobtido será zero.


◦Para determinar a orientação de um elementocujas faces atua a tensão de cisalhamentomáxima, deriva-se a equação da tensãocisalhante em relação ao ângulo e iguala-se azero.

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◦Resolvendo a equação datensão normal para a posição decisalhante máxima, obtém-se:

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Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no PlanoExemplo 9.3

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Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no PlanoExemplo 9.5

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Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado PlanoExemplo 9.2

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Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões◦As equações de transformação para o estadoplano de tensões tem uma solução gráfica que,em geral, é mais fácil de usar e lembrar.

◦Além disso, essa abordagem permite visualizarcomo os componentes das tensões normal e decisalhamento variam conforme orientação doplano em que atuam.

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Christian Otto Mohr

Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões◦As equações da tensão podem ser reescritas daseguinte forma:

◦Elevando as duas equações ao quadrado esomando-as, teremos:

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Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões◦Desse modo, a equação podeser reescrita de forma maiscompacta:◦Se estabelecermos um eixo emque a tensão normal sejapositiva para direita e a tensãode cisalhamento positiva parabaixo, veremos que arepresentação da equaçãosimplificada encontrada formaum círculo.

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Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões◦Esse círculo é chamado de circulo de Mohr.

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Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões

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Círculo de Mohr – Estado Plano de TensõesExemplo 9.7

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Círculo de Mohr – Estado Plano de TensõesExemplo 9.9

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Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à Torção

◦Ocasionalmente, os eixos circulares sãosubmetidos a efeitos combinados decarga axial e torção. As tensões principaissão determinadas tanto pelas equaçõesde transformação de tensão como pelocírculo de Mohr.

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Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à TorçãoExemplo 9.12

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Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga◦Em geral, em uma seçãoarbitrária a-a ao longo doeixo da viga, ocisalhamento interno V e omomento M desenvolvem-se a partir de umadistribuição parabólica datensão de cisalhamento ede uma distribuição linearda tensão normal.

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Variação de Tensão ao Longo de Uma VigaExemplo 9.13

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Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

◦Quando determinado ponto em umcorpo é submetido a um estado geral detensões tridimensional, sobre cada facede um elemento do material atuam umcomponente de tensão normal e doiscomponentes de tensão decisalhamento.

◦Neste caso é possível representar trêscírculos de Mohr, um para cada plano.

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◦Voltando para um estado plano detensões, o caso aplsentado na figuraenvolve tensão que podem serrepresentados no plano x-y.

◦Porém também é possível respresentaro círculo de Mohr para os planos z-y e z-x.

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◦De forma geral atensão decisalhamento máximaabsoluta poderá serdeterminada pelaseguinte equação:

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Tensão de Cisalhamento Máxima AbsolutaExemplo 9.15

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