representação de linhas de transmissão trifásicas ......domínio das fases a partir da...

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

Newton Vieira de Souza Junior

Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas

Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD

Ilha Solteira 2015

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

Newton Vieira de Souza Junior

Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas

Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD

Tese apresentada à Faculdade de

Engenharia - UNESP – Campus de Ilha

Solteira, para obtenção do título de

Doutor em Engenharia Elétrica.

Área de Conhecimento: Automação.

Prof. Dr. Sergio Kurokawa Orientador

Ilha Solteira

2015

Souza JuniorRepresentação de Linhas de Transmissão Trifásicas Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCDIlha Solteira2015 123 Sim Tese (doutorado)Engenharia ElétricaAutomaçãoSim

.

FICHA CATALOGRÁFICA

Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação

Souza Junior, Newton Vieira. Representação de linhas de transmissão trifásicas diretamente no domínio das fases por meio da matriz ABCD / Newton Vieira Souza Junior. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2015 121 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2015 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia 1. Linhas de transmissão. 2. Matriz ABCD 3. Transitórios eletromagnéticos. 4. Modelo desenvolvido diretamente no domínio das fases.

S729r

Dedicatória

Dedico esse trabalho aos meus pais, Newton Vieira de Souza e Márcia Helena da Cunha Souza (in memoriam).

Aos meus irmãos Marcelo Augusto da Cunha Souza e Mariana Cristina da Cunha Souza e à pelo apoio e carinho a mim dedicados.

Agradecimentos

Em primeiro lugar a Deus por ter me dado força e sabedoria para buscar e lutar por aquilo em

que acredito.

E em especial quero agradecer e dedicar este trabalho à:

A meus pais Newton Vieira de Souza e Márcia Helena da Cunha Souza (in

memorian) e os meus irmãos, Marcelo Augusto da Cunha Souza e Mariana

Cristina da Cunha Souza, pelo apoio, compreensão e incentivo que me deram nas

horas difíceis.

A minha Tia Maria Guimarães (in memorian) pelo carinho dedicado a mim durante

todo esse período de plena dedicação ao doutorado.

Ao professor Sérgio Kurokawa a quem sou eternamente grato por toda confiança,

dedicação e apoio, confiados a mim durante todo o período em que estive

desenvolvendo este trabalho. Sou lhe grato pela grande amizade obtida durante esse

tempo.

Aos professores Aílton Akira Shinoda, Carolina Goulart de Carvalho, Eduardo

Coelho Marques da Costa e Júlio Borges de Souza pela disposição para participar

da banca e principalmente pelas sugestões para a melhoria do meu trabalho.

Aos amigos que fiz durante todo tempo que estudei e em especial, aos meus amigos do

GATE (Grupo de Análise de Transitórios Eletromagnéticos):Anderson, Júlia,Pablo e

Rodrigo, sou lhes grato pelo apoio, confiança e amizade adquiridos nesse período e

também a minha amiga Elizabete.

A CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pelo

incentivo por meio da concessão de bolsa de estudo.

A todos os docentes e funcionários desta unidade que contribuíram para minha

formação profissional.

Meu muito obrigado!!

“Estude a si mesmo, observando que autoconhecimento traz humildade e sem humildade é impossível ser feliz.”

(Allan Kardec)

RESUMO

Este trabalho apresenta um modelo de linha de transmissão desenvolvido diretamente no

domínio das fases a partir da representação por meio de quadripolos para linhas polifásicas.

Deste modo, esse modelo de linha foi estruturado em função dos parâmetros longitudinais e

transversais variáveis na frequência e por meio da matriz ABCD. Esta abordagem foi possível

a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação, variável em função da

frequência utilizada nas transformações entre os domínios das fases e dos modos. A matriz de

transformação é descrita explicitamente em função dos parâmetros longitudinais e

transversais de uma linha trifásica. As grandezas modais da linha foram convertidas para o

domínio das fases e resultando assim, em um modelo analítico desenvolvido diretamente no

domínio das fases. O modelo proposto foi aplicado para simular uma linha trifásica em um

plano de simetria vertical e também situações assimétricas envolvendo condições

desequilibradas de carga, por exemplo: faltas fase-fase ou fase-terra e cargas desequilibradas.

As simulações considerando condições assimétricas ou desequilibradas não são possíveis em

muitos modelos no domínio do tempo e da frequência utilizando uma matriz real e constante.

No entanto, a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação variável na

frequência, o modelo proposto tornou-se capaz de simular transitórios eletromagnéticos em

condições assimétricas e desequilibradas. Um dos grandes atributos do modelo proposto

consiste na inclusão e simulação de condições não-lineares de forma simplificada por meio de

condições de contorno aplicadas aos sinais de entrada e saída das matrizes ABCD.

Simulações no domínio do tempo e da frequência foram efetuadas durante o desenvolvimento

deste trabalho, possibilitando a ampla análise das possíveis aplicações do modelo de linhas de

transmissão proposto.

Palavras Chaves: Modelo de linhas de transmissão. Matriz ABCD. Representação modal.

Matriz de transformação. Domínio das fases.

Abstract

This work presents a transmission line model developed directly in the domain of phases from

representation through quadripolos for polyphase lines. Thus, the line model was structured as

function of longitudinal and transverse parameters variable frequency and by means of ABCD

matrix. This approach was possible from the implicit use of a transformation matrix, variable

a function of frequency used in transformations between domains of the phases and modes.

The transformation matrix is explicitly described as a function of the longitudinal and

transverse parameters of a three-phase line. Modal line magnitudes were converted into the

domain of the phases, resulting in an analytical model developed directly in the domain phase.

The proposed model was applied to simulate a three-phase line without a vertical symmetry

plane and also situations involving asymmetric unbalanced load conditions, for example:

phase-to-phase or phase-ground and unbalanced loads. The simulations considering

asymmetrical or unbalanced conditions are not possible in many models in the time domain

and frequency using a real and constant matrix. However, from the implicit use of variable

frequency transformation matrix, the model was able to simulate electromagnetic transients in

asymmetrical manner and unbalanced. One of the major attributes of the model consists of the

inclusion and non-linear simulation conditions in a simplified manner by means of boundary

conditions applied to the input and output signals of ABCD matrices. The simulations in the

time domain and frequency domain were made during the development of this work, enabling

the comprehensive analysis of possible applications the lines proposed transmission model.

Keywords: Transmission line model. ABCD matrix. Modal representation. Transformation

matrix. Phase domain.

Lista de Figuras

Figura 1 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d. ........................................... 25

Figura 2 - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. .............................. 26

Figura 3 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d no domínio da frequência.... 29

Figura 4 - Correntes e tensões em uma linha com n fases. .................................................... 31

Figura 5 - Representação em diagrama de blocos de uma linha de transmissão polifásica no

domínio modal. .................................................................................................... 36

Figura 6 – Representação de quadripolos. ............................................................................ 38

Figura 7 - (a) Modelo modal clássico (b) Modelo proposto(CARVALHO, 2013). ................ 44

Figura 8 - Representação das correntes e tensões em uma linha polifásica com n fases. ........ 45

Figura 9 - Linha trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical. ............................ 49

Figura 10 - Linha trifásica genérica. ..................................................................................... 61

Figura 11 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do

modo 1............................................................................................................... 62

Figura 12 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e

receptor (B) do modo 2. ..................................................................................... 63

Figura 13 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e

receptor (B)do modo 3. ...................................................................................... 64

Figura 14 - Silhueta da estrutura de uma linha de transmissão trifásica de 440 kV. ............... 69

Figura 15 – Energização da linha em aberto. ........................................................................ 70

Figura 16 -Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. .......... 71

Figura 17 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no

terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. ........................................... 71

Figura 18 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km........... 72


terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km ............................................ 72

Figura 20 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km........... 73



Figura 22 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km. ....... 74

Figura 23 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no

terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km. ........................................... 74

Figura 24 - Módulo da corrente no terminal emissor (A) da fase 2 da linha de 200 km. ........ 75




Figura 27 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente no


Figura 28 - Energização da linha em curto circuito. .............................................................. 77










Figura 35 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. ....... 81









Figura 41 - Energização da linha trifásica. ............................................................................ 84

Figura 42 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. Modelo

proposto (1) e modelo clássico (2)...................................................................... 85

Figura 43 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.Modelo


Figura 44 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.Modelo


Figura 45 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B) das fases 1, 2 e 3 pelo modelo

proposto, para uma linha de 200 km. .................................................................. 86

Figura 46 - Incidência de uma descarga atmosférica na linha trifásica com carga ZC. ........... 88

Figura 47 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de

200 km, com o terminal emissor (A) em aberto. ................................................. 88


200 km, com o terminal emissor (A) em aberto. ................................................. 89


200 km, com o terminal emissor (A) em aberto .................................................. 89


200 km, com o terminal receptor (B) em curto. .................................................. 90





Figura 53 - Comparação dos autovalores de λ1, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2, 3 e 4

(autovalores analíticos). ................................................................................... 103

Figura 54 - Comparação dos autovalores de λ2, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2

(autovalor analítico). ........................................................................................ 104

Figura 55 - Comparação dos autovalores de λ3, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2

(autovalor analítico). ........................................................................................ 104

Figura 56 - Linha trifásica genérica. ................................................................................... 109


modo 1............................................................................................................. 110


modo 2............................................................................................................. 111

Figura 59- Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do

modo 3............................................................................................................. 111

LISTA DE ABREVIAÇÕES

ULM Universal LineModel

Matlab® MATrixLABoratory

Skin effect Efeito Skin

LISTA DE SÍMBOLOS

[Z] Matriz de impedância longitudinal

[Y] Matriz de admitância transversal

d Comprimento da linha de transmissão em km

zii Impedância própria da fase i

zij Impedância mútua entre as fases i e j

yii Admitância da fase i

yij Admitância entre as fases i e j

R Resistência por unidade de comprimento

L Indutância por unidade de comprimento

G Condutância por unidade de comprimento

C Capacitância por unidade de comprimento

γ Função de propagação

ZC Impedância característica

[V] Vetor de tensão

[I] Vetor de corrente

[TV] Matriz de transformação (autovalores do produto matricial [Z][Y])

[TI] Matriz de transformação (autovalores do produto matricial [Y][Z])

[TΩ] Matriz inversa da matriz de transformação [TV]

Zmk Impedância no k-ésimo modo da linha

Ymk Adimtânciano k-ésimo modo dalinha

Vmk Tensão no k-ésimo modo da linha

Imk Correnteno k-ésimo modo da linha

λk K-ésimo autovalor

[S] Produto entre as matrizes [Z][Y]

[U] Matriz identidade

[Vf] Vetor de tensão nas fases da linha de transmissão

[If] Vetor de corrente nas fases da linha de transmissão

[Vm] Vetor de tensão nos modos da linha de transmissão

[Im] Vetor de corrente nos modos da linha de transmissão

SUMÁRIO 1 MODELAGENS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA ..... 17 1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 17

2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS MONOFÁSICAS .......... 24 2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 24

2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA MONOFÁSICA............................... 25

2.3 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 30

3 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL ....... 31 3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 31

3.2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES PARA LINHAS POLIFÁSICAS ........... 31

3.3 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL ................... 33

3.4 PROCEDIMENTOS PARA SE CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NOS

TERMINAIS DE UMA LINHA UTILIZANDO O MODELO MODAL ....................... 36

3.5 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 37

4 MODELO DESENVOLVIDO DIRETO NO DOMÍNIO DAS FASES PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS REPRESENTADA POR MEIO DA MATRIZ ABCD........................................................................................................................... 38

4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 38

4.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHA POR UM QUADRIPOLO (MATRIZ ABCD) ........... 38

4.3 CORRENTES E TENSÕES DE FASE PARA UMA LINHA POLIFÁSICA ATRAVÉS

DA TEORIA DE DECOMPOSIÇÃO MODAL ............................................................ 40

4.4 MODELO DE LINHAS POLIFÁSICAS DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO

DOMÍNIO DAS FASES ............................................................................................... 42

4.5 DESCRIÇÃO DO MODELO PROPOSTO ................................................................... 44

4.6 OBTENÇÃO ANALÍTICA DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA n

FASES .......................................................................................................................... 45

4.7 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 48

5 REPRESENTAÇÃO DA LINHA TRIFÁSICA SEM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL, POR MEIO DO MODELO PROPOSTO ............................................ 49

5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 49

5.2 OBTENÇÃO DOS AUTOVALORES E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DA

MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA UMA LINHA TRIFÁSICA SEM

PLANO DE SIMETRIA VERTICAL ........................................................................... 49

5.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO PROPOSTO .................................................... 60

5.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 68

6 VALIDAÇÃO DO MODELO PROPOSTO ................................................................. 69 6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 69

6.2 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO

TEMPO PARA AS TENSÕES E CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B)

EM ABERTO ............................................................................................................... 70


TEMPO PARA AS CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B) EM CURTO

CIRCUITO ................................................................................................................... 77

6.4 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS

RESULTANTES DA ENERGIZAÇÃO DA LINHA .................................................... 84


RESULTANTES DA INCIDÊNCIA DE DESCARGA ATMOSFÉRICA ..................... 87

6.6 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 91

7 CONCLUSÃO ................................................................................................................ 93 7.1 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................................. 93

7.2 SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS ................................................................ 94

APÊNDICE A .................................................................................................................... 99

DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DOS AUTOVALORES, IMPEDÂNCIAS MODAIS, ADMITÂNCIAS MODAIS, IMPEDÂNCIAS CARACTERISTICAS E DAS FUNÇÕES DE PROPAGAÇÃO DA LINHA ............................................................... 99

A.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 99

A.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DOS AUTOVALORES ................................... 99

A.3 SIMULAÇÕES DOS AUTOVALORES ..................................................................... 103

A.4 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARAS AS MATRIZES DE IMPEDÂNCIA [Zm] E DE

ADMITÂNCIA [Ym] MODAIS .................................................................................. 105

A.5 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO γm E

IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA Zcm PARA CADA MODO DA LINHA (MARTI,

1982; CHIPMAN, 1972) ............................................................................................. 106

A.6 CONCLUSÃO ............................................................................................................ 107

APÊNDICE B ................................................................................................................... 108 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] .................... 108 B.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 108

B.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] ............. 108

B.3 CONCLUSÃO ............................................................................................................ 119

17

1 MODELAGENS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 1.1 INTRODUÇÃO

A abordagem técnica computacional de sistemas de energia elétrica para estudo de

transitórios eletromagnéticos iniciou-se por volta da década de 1960, quando alguns artigos

passaram a ser publicados. Dentre estes, obtiveram maior destaque aqueles publicados por

(DOMMEL, 1969; BUDNER,1970).

O artigo publicado em 1969 por Dommel, sugeriu um modelo computacional que

simulava os transitórios eletromagnéticos de uma linha de transmissão polifásica, no domínio

do tempo, com seus parâmetros distribuídos ou discretos. Contudo, o modelo computacional

proposto apresentou algumas limitações, como a quantidade de amostras em um intervalo de

tempo Δt muito grande na discretização do vetor de tempo t, que resultou em erros de

trucamento e instabilidade numérica do método proposto.

Para tentar diminuir as oscilações e os erros apresentados, o autor utilizou o método de

integração trapezoidal na resolução de equações diferenciais ordinárias para linhas, sendo

suas constantes dadas pelas capacitâncias e indutâncias equivalentes aos parâmetros

longitudinais e transversais de uma linha sem perdas. Desta abordagem, uma solução exata

pôde ser obtida por meio do método das características, também denominado método de

Beregeron, que se fundamenta na propagação de ondas em uma linha de transmissão sem

perdas (DOMMEL, 1969).

O segundo exemplo mencionado é o artigo publicado em 1970 por Budner (1970),

onde o autor modelou uma linha bifásica e a desacoplou em seus dois modos de propagação

independentes um do outro, sendo modelados em dois quadripolos no domínio da frequência.

As equações de corrente e tensão no domínio da frequência são obtidas pelas equações

trigonométricas referentes à representação de quadripolos, sendo que para o domínio do

tempo, as equações de corrente e tensão são obtidas por meio da transformada de Fourier e do

cálculo das integrais de convolução resultantes.

O modelo proposto por Budner teve exatidão, uma vez que modelou de maneira

apropriada a distribuição dos parâmetros variáveis da linha em função da frequência

(BUDNER, 1970).

A literatura técnica demonstra que,os parâmetros de linhas de transmissão aéreas ou cabos

subterrâneos eram fortemente dependentes do efeito da frequência, devido ao efeito do

retorno da corrente através do solo e em frequências mais baixas, influenciados pelo efeito

18

pelicular decorrente da interação entre o campo eletromagnético no interior dos condutores da

linha (FUCHS, 1979; COSTA, 2013).

Como amplamente descrito pela literatura técnica, sabia-se antes do inicio dos anos

1980 que os parâmetros elétricos de linhas de transmissão aéreas ou cabos subterrâneos são

fortemente dependentes do efeito da frequência, i.e., determinados em função da frequência

devido ao efeito do retorno da corrente através do solo (efeito solo) e, em frequências mais

baixas, influenciados pelo efeito pelicular (skineffect) decorrente da interação entre o campo

eletromagnético no interior dos condutores da linha (FUCHS, 1979). Uma grande quantidade

de artigos descrevendo a solução das equações de linhas de transmissão no domínio da

frequência foram propostas, por meio do uso de transformadas inversas e convoluções

(SNELSON, 1972; MEYER; DOMMEL, 1974).

No contexto das diversas formas de modelagem de linhas de transmissão, algumas

foram desenvolvidas diretamente no domínio do tempo considerando o efeito da frequência

sobre os parâmetros longitudinais da linha. Tais modelagens baseiam-se na aproximação da

impedância Longitudinal [Z] por funções racionais, desta forma, o método representa uma

cascata de circuitos π, de maneira que possa incluir os efeitos da frequência em cada seção da

linha de transmissão (MARTÍ, 1982; 1988).

Essas técnicas de modelagens, desenvolvidas décadas atrás, denominadas na literatura

como vector fitting e formam uma base essencial para a modelagem de linhas de transmissão

e sistemas de energia elétrica dependentes da frequência (GUSTAVSEN; SEMLYEN, 1998,

1981).

Fazer a integração de modelos desenvolvidos diretamente no domínio da frequência e

simular os resultados no domínio do tempo é um procedimento complexo, por isso, o modelo

foi desenvolvido no domínio da frequência e solucionado através da transformada inversa de

Fourier para o domínio do tempo. Este modelo foi nomeado de Universal LineModel (ULM)

(MORCHED; GUSTAVSEN; 1999).

O ULM representa um modelo computacional preciso para linhas de transmissão para

simulações de transitórios eletromagnéticos. A modelagem faz uso de uma matriz de

transformação modal dependente da frequência, porém, pode-se dizer que resulta do

aprimoramento da técnica proposta em 1970 por Budner (BUDNER, 1970).

Por sua vez, Gómez e Uribe (2008) apresentaram uma revisão sobre a utilização de

transformada de Laplace na simulação e análise de transitórios eletromagnéticos, mostrando

vários aspectos importantes no uso da transformada inversa e o desenvolvimento das soluções

das integrais de convolução relativas à técnica de modelagem abordada. Os modelos

19

desenvolvidos diretamente no domínio da frequência, a partir das equações de corrente e

tensão da linha de transmissão ou representadas pelos seus modos de propagação por

quadripolos ou uma matriz ABCD, apresentam maior precisão em seus resultados, já que a

modelagem é feita por parâmetros distribuídos no domínio da frequência e convertida para o

domínio do tempo através da transformada inversa.

A maior confiabilidade na modelagem supracitada pode ser vista por meio das

simulações de transitórios eletromagnéticos decorrentes de um impulso unitário através de um

modo de propagação modelado por elementos discretos diretamente no domínio do tempo, e

posteriormente comparando os mesmos resultados obtidos para o mesmo meio de propagação,

porém, modelado por parâmetros distribuídos no domínio da frequência e fazendo uso de

transformada inversa de Laplace (COSTA et al., 2010).

Kurokawa et al. (2009) mostraram um modelo de linha de transmissão levando em

consideração o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha, utilizando

vector fitting e fazendo uso da representação das equações diferenciais resultantes da

representação da linha por elementos discretos (resistivos, indutivos e capacitivos).

Posteriormente, os mesmos autores desenvolvem um modelo de linha trifásico com

plano de simetria vertical não idealmente transposta, utilizando uma matriz constante e real,

que faz o desacoplamento dessa linha. No artigo Alternative Proposal for Modal

Representation of a Non-Tranposed Three-Phase Transmition Line with a Vertical Symmetry

Plane, a linha é desacoplada em seus modos e quasi-modos e podem ser escritos como sendo

três linhas monofásicas independentes umas das outras (KUROKAWA et al., 2009).

Dos anos 2000 até o presente momento, muitos autores desenvolveram modelos

diferentes para linhas de transmissão, tendo como referência o efeito da frequência, e

componentes não lineares; propondo técnicas até então não desenvolvidas e muitas vezes

aprimorando os métodos já desenvolvidos desde 1960. Um modelo que se destaca mais

recentemente é o apresentado por (MORENO et al., 2005), onde os autores apresentam um

modelo desenvolvido no domínio da frequência e faz uso da transformada inversa de Laplace

para obter os resultados no domínio do tempo. Na representação de elementos não lineares, o

trabalho propõe algumas aproximações na representação de chaveamentos no sistema

(MORENO et al., 2005). No entanto, como discutido anteriormente, generalizar a modelagem

de elementos não lineares acoplados ao sistema (e.g. corona, descargas desruptivas nas

cadeias de isoladores, transformadores, capacitores, pará-raios inseridos na linha, manobras

mecânicas, etc.) é uma proposta complexa e em muitos casos torna-se impraticável.

20

Souza Junior et al. (2013) publicaram um artigo propondo a utilização da matriz

ABCD para representar uma linha de transmissão polifásica no domínio das fases, sem a

necessidade de fazer as conversões de fase-modo-fase. No modelo desenvolvido, as

expressões permitem que os elementos da matriz ABCD para uma linha de transmissão

polifásica possam ser escrito em função dos parâmetros longitudinal e transversal da linha. A

principal vantagem do modelo é que pode ser utilizado para representar a linha para situações

em que o desacoplamento das fases é inadequado.

Alguns exemplos dizem respeito à simulação de transitórios para a análise da linha de

transmissão, considerando a mesma com curto-circuito em fase-terra ou fase-fase. Nestas

situações, os modos de propagação de uma linha polifásica não são totalmente desacoplados

e, portanto, não podem ser representados como linhas monofásicas desacopladas. Esta

situação não é de fácil simulação se a linha está representada no domínio modal, mas pode ser

simuladas e a linha estiver representada no domínio das fases. O modelo foi aplicado em uma

linha bifásica e seus resultados foram comparados com o modelo clássico de decomposição

modal (SOUZA JUNIOR et al., 2013).

Em 2013, Carvalho (2013) propôs em sua tese de doutorado, um modelo analítico para

uma linha de transmissão trifásica com plano de simetria vertical, onde devido às

características físicas dessa linha, foi possível representá-la por um sistema constituído por

uma linha monofásica e por uma linha bifásica. Neste sistema, as equações que descrevem o

comportamento das grandezas nos terminais da linha monofásica são conhecidas, enquanto

que as equações da linha bifásica foram obtidas utilizando uma matriz de transformação

escrita explicitamente em função dos parâmetros da linha trifásica. Em seguida, as grandezas

modais da linha trifásica foram convertidas para o domínio das fases e as equações resultantes

representam um modelo analítico desenvolvido diretamente no domínio das fases dessa linha.

Tal modelo leva em conta o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha, e

também o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento.

Tal modelo, pelo fato de ser obtido diretamente das equações de propagação da linha, permite

a obtenção de resultados de simulações de transitórios eletromagnéticos que ocorrem em

sistemas de energia elétrica mais preciso, possibilitando assim, que o sistema de energia

elétrica opere com maior confiabilidade e segurança. No entanto, as condições da linha eram

limitadas (CARVALHO, 2013).

Tendo como referência a análise bibliográfica apresentada sobre a modelagem de

linhas de transmissão para o estudo de transitórios eletromagnéticos, foi desenvolvido um

21

modelo analítico para uma linha de transmissão trifásica sem plano de simetria vertical,

fazendo uso das relações de correntes e tensões de uma linha de transmissão e da

representação da linha no domínio dos modos.

Inicialmente, foi realizado um estudo a respeito das equações diferencias de uma linha

de transmissão polifásica genérica que é caracterizada por matrizes com as impedâncias [Z] e

admitâncias [Y] da linha, obtidas a partir dos parâmetros longitudinais e transversais da

mesma.

O conteúdo aborda a técnica de decomposição modal, que foi de extrema relevância

para o desenvolvimento das equações que descrevem o modelo analítico proposto.

Na representação modal, uma linha de transmissão, que originalmente está no domínio

das fases, é separada em seus modos de propagação. Desse modo, uma linha de n fases é

representada por seus n modos de propagação e cada um desses modos comportam-se como

uma linha monofásica, e é totalmente desacoplado dos demais modos.

Para esse modelo, os cálculos das correntes e tensões na linha são realizados no

domínio dos modos e em seguida, essas grandezas são convertidas novamente para o domínio

das fases. A conversão fase-modo-fase dá-se por meio de uma matriz de transformação modal

obtida a partir das matrizes de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da

linha. Geralmente, a matriz de transformação possui elementos pertencentes ao conjunto dos

números complexos e tais elementos são variáveis em relação à frequência (WEDEPOHL;

NGUYEN; IRWIN, 1996).

Com essas características, a matriz de transformação usualmente é obtida por meio de

métodos numéricos, assim torna-se inviável o desenvolvimento de um modelo analítico para

linhas com mais de uma fase. Porém, uma vez obtida de maneira explícita, uma função que

relacione os elementos da matriz de transformação aos parâmetros da linha, é possível

desenvolver um modelo analítico para linhas de transmissão polifásicas cujas equações são

funções desses parâmetros.

A partir da obtenção desse modelo, ele admitirá uma melhor compreensão da função

que relaciona as correntes e tensões aos parâmetros da linha de transmissão. Atualmente, esta

relação não é conhecida, pois os elementos da matriz de transformação são obtidos por meio

de métodos numéricos.

Uma essencial vantagem do modelo proposto é o seu desenvolvimento diretamente no

domínio das fases, o que permite que as correntes e tensões sejam obtidas em qualquer

situação de análise da linha (e.g. na análise da linha considerando a mesma com curto-circuito

22

em fase-terra ou fase-fase), o que não pode ser feito tão facilmente na técnica de

decomposição modal.

As equações que descrevem esse modelo permitem que o cálculo das correntes e

tensões seja mais simples, uma vez que essas equações não exigem, por parte do usuário, o

conhecimento matemático avançado, ao contrário de outras técnicas previamente propostas,

que apesar de mostrarem relativa precisão, são implementadas por meio da manipulação dos

autovalores e dos autovetores utilizados no cálculo das matrizes de transformação modal em

função da frequência.

Esses métodos de correção modal são complexos e, em muitos casos, ineficientes do

ponto de vista computacional, uma vez que são métodos realimentados por meio de um erro

relativo a cada passo de cálculo, i.e., os valores de cada elemento da matriz de transformação

são recalculados em função do erro obtido com base no valor anterior para cada elemento do

vetor de frequências (COSTA, 2013).

Todos os termos presentes nas equações que representam esse modelo são funções,

unicamente, dos parâmetros [Z] e [Y], sendo que a análise dessas funções poderá resultar em

conhecimentos úteis que passam a ser utilizados na tentativa de se obter um modelo no

domínio do tempo.

O modelo desenvolvido leva em conta o efeito da frequência sobre os parâmetros

longitudinais da linha e também o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao

longo de seu comprimento. A análise das matrizes, que dão suporte ao modelo, e a validação

do modelo no domínio do tempo possa dar origem, futuramente, a um modelo de linha de

transmissão desenvolvido diretamente no domínio do tempo. A vantagem do modelo

desenvolvido é que, ele pode ser aplicado para linhas de transmissão com qualquer tipo de

geometria, por exemplo: linhas sem plano de simetria vertical, diferentemente de modelos já

desenvolvidos, que só permitem a análise de transitórios para linha com algum plano de

simetria. Pelo fato de ser obtido diretamente das equações de propagação da linha, o modelo

permitiu que depois de feitas as simulações de transitórios eletromagnéticos que ocorrem em

sistemas de energia elétrica, os resultados se mostraram mais precisos, permitindo assim que o

sistema de energia elétrica opere com maior confiabilidade e segurança.

Assim, acredita-se que este trabalho seja um novo conceito de representação de linhas

de transmissão, de maneira que esse modelo seja uma das formas de se analisar fenômenos

transitórios que ocorrem em linhas de transmissão do sistema de energia elétrica.

Portanto, neste capítulo foi apresentada de maneira breve uma abordagem histórica a

respeito da modelagem de sistemas de energia elétrica para estudo de transitórios

23

eletromagnéticos. Estas descrições contribuíram para enfatizar as principais contribuições da

metodologia proposta nesta tese e o objetivo deste trabalho.

24

2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS MONOFÁSICAS

2.1 INTRODUÇÃO

No estudo e desenvolvimento de modelos de linhas de transmissão, verifica-se que os

parâmetros longitudinais e transversais da linha são influenciados pelas características físicas

da linha e pelas características do meio em que essa está imersa. Considera-se também, que os

parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento.

Devido à natureza distribuída dos parâmetros, as correntes e tensões em uma linha de

transmissão são obtidas a partir da solução de equações diferenciais que são funções do tempo

e da posição ao longo da linha. As soluções dessas equações diferenciais são conhecidas no

domínio do tempo somente para o caso de linhas ideais (linhas sem perdas), mas tais soluções

são facilmente obtidas no domínio da frequência.

Neste capítulo, será mostrado o desenvolvimento das equações clássicas que

descrevem o comportamento de uma linha de transmissão (com perdas) e as soluções para

essas equações no domínio da frequência.

Inicialmente, serão apresentadas as equações diferenciais de uma linha de transmissão

monofásica genérica no domínio da frequência, bem como sua solução. A partir dessas

relações, as equações diferenciais de uma linha de transmissão polifásica serão apresentadas.

A solução para as equações que representam uma linha polifásica genérica pode ser

obtida por meio da representação dessa linha no domínio modal. No domínio modal, uma

linha polifásica com n fases é representada por seus n modos de propagação e cada um desses

n modos comporta-se como uma linha monofásica independente. Essa maneira de representar

a linha será denominada, neste trabalho, modelo clássico.

Na representação modal, as grandezas de fase são convertidas para o domínio dos

modos por meio de uma matriz de transformação modal adequada. Nesse domínio, as

correntes e tensões são obtidas para cada modo e em seguida, essas grandezas são convertidas

novamente para o domínio das fases. A matriz de transformação que realiza a conversão fase-

modo-fase é uma matriz cujas colunas são autovetores correspondentes aos autovalores do

produto [Z][Y] ou [Y][Z], sendo [Z] a matriz de impedâncias longitudinais e [Y] a matriz de

admitâncias transversais da linha. Essa matriz é, geralmente, variável em função da frequência

e pode ser obtida por meio de métodos numéricos como, por exemplo, o método de Newton-

Raphson (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996).

25

2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA MONOFÁSICA

A distribuição das correntes e tensões e a transferência de energia ao longo da linha de

transmissão podem ser analisadas de diversas maneiras. O objetivo dessas análises é obter

expressões matemáticas aplicáveis à solução de problemas envolvendo linhas genéricas de

transmissão. Essas expressões devem não só garantir a solução para linhas de transmissão,

como também devem representar suas características e limitações (FUCHS, 1979).

Verifica-se que é possível estabelecer, matematicamente, uma relação entre as

correntes e tensões, em um sistema de transmissão, por meio de equações, descritas no tempo

e na frequência, considerando aspectos físicos da linha e do meio na qual a linha está inserida.

Considere uma linha de transmissão monofásica genérica representada na figura 1.

(CARVALHO, 2013).

Figura 1 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d.

Fonte: Elaboração do próprio autor.

A figura 1 mostra uma linha monofásica, de comprimento d, onde o retorno da

corrente se dá por meio do solo.

Nessa figura, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha,

enquanto que v(x,t) e i(x,t) são, respectivamente, a tensão e a corrente na posição x ao longo

da linha no instante de tempo t.

Sabendo-se que os parâmetros elétricos longitudinais e transversais de uma linha de

transmissão, do tipo mostrado na figura 1, são uniformemente distribuídos ao longo do

comprimento da mesma. Pode-se representar um elemento infinitesimal desta linha, como

mostraremos na figura 2, a seguir. (CHIPMAN, 1972; GREENWOOD, 1977).

A

solo

d (km)

B v(x,t)

i(x,t)

26

Figura 2 - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha.


Na figura 2 os parâmetros longitudinais R e L são, respectivamente, a resistência e a

indutância por unidade de comprimento da linha enquanto os parâmetros transversais G e C

são respectivamente a condutância e a capacitância da linha por unidade de comprimento. Os

termos i(x,t) ei(x+Δx, t) são as correntes longitudinais no elemento diferencial da linha. Os

termos v(x,t)e v(x+Δx, t) são as tensões transversais neste elemento. As equações da corrente

e da tensão paraeste circuito aplicando a lei dos nós e a lei das malhas de Kirchhoff, podem

ser escritas como:

( )( ) ( ) ( ) v x+ Δx,ti x,t i x+ Δx,t GΔxv x+ Δx,t CΔxt

(1)

A equação (1) pode ser escrita na forma:

( , )( , ) ( , ) ( , ) v x x ti x x t i x t G xv x x t C xt

(2)

Dividindo a equação (2) por ∆x, teremos:

( ) ( ) ( )( )i x+ Δx,t i x,t v x+vΔx,tG v x+ Δx,t CΔx t

(3)

Calculando o limite da equação (3) para ∆x tendendo a zero, obtém-se

(SWOKOWSKI, 1994):

0

( ) ( ) ( )lim

x

i x+ Δx,t i x,t v x,tCx t

(4)

27

O lado esquerdo da equação (4) é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Portanto,

a equação (4) será reescrita, como sendo (CHIPMAN, 1972):

( , ) ( , )( , )i x t v x tGv x t Cx t

(5)

Para o circuito da figura 2, também pode-se escrever:

( , ) ( , ) 0R Lv x t V V v x x t (6)

( , )( , ) ( , ) ( , ) 0i x x tv x t R xi x x t L x v x x tt

(7)

( , )( , ) ( , ) ( , ) i x tv x t v x x t R x i x t L xt

(8)

( , )( , ) ( , ) ( , ) i x tv x x t v x t R x i x t L xt

(9)

Dividindo (9) por ∆x, teremos:

( , ) ( , ) ( , )( , )v x x t v x t i x tR i x t Lx t

(10)

Calculando o limite de (10), para x tendendo a zero, (SWOKOWSKI, 1994), fica:

0

( , ) ( , ) ( , )limx

v x x t v x t i x tx x

(11)

O lado esquerdo da equação (11) é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Logo, a

equação (11) será reescrita, como sendo (CHIPMAN, 1972):

( , ) ( , )( , )v x t i x tRi x t Lx t

(12)

As equações (5) e (12) são equações diferenciais de primeira ordem e descrevem o

comportamento das correntes e tensões, em uma linha monofásica, no domínio do tempo.

As soluções das equações diferenciais (5) e (12) no domínio do tempo não são

facilmente obtidas (BRANIN, 1967). No entanto, é possível obter as soluções dessas

equações no domínio da frequência.

28

No domínio da frequência, as equações (5) e (12), tornam-se (MARTINEZ;

GUSTAVSEN; DURBAK, 2005; BUDNER, 1970):

d (x, ) ( ) ( , )x

i Y V xd

(13)

d (x, ) ( ) ( , )x

v Z I xd

(14)

onde:

( ) ( ) ( )Z R j L (15)

( ) ( ) ( )Y ω G j C (16)

Nas expressões (13) e (14), i(x, ω) e v(x, ω) são, respectivamente, a corrente e a tensão

em uma posição x da linha no domínio da frequência. Os termos Z(ω) e Y(ω)

são,respectivamente, a impedância longitudinal e a admitância transversal da linha por

unidade de comprimento.

Na equação (15) os parâmetros R(ω) e L(ω) são a resistência e a indutância por

unidade de comprimento da linha respectivamente e na equação (16) os parâmetros Z(ω) e

Y(ω) são a condutância e a capacitância por unidade de comprimento da linha. Nas equações

(13)-(16), o termo jω corresponde à frequência angular imaginária e por questões de

simplificação será omitido no restante deste trabalho.

Geralmente, em casos de linhas aéreas costuma-se desprezar a condutância G(ω) e

também, desconsidera-se o efeito da frequência sobre a capacitância C(ω) (MARTINEZ;

GUSTAVSEN; DURBAK, 2005).

Derivando as equações (13) e (14) em relação ax, teremos: 2

2( ) ( )d v x d i xZ

d x d x (17)

2

2( ) ( )d i x d v xY

d x d x (18)

Substituindo a equação (13) em (17) e (14) em (18), respectivamente, e fazendo as

manipulações matemáticas necessárias, obtêm-se:

29

2

2( ) ( )d v x Z Y v x

d x (19)

2

2( ) ( )d i x Z Y i x

d x (20)

As equações (19) e (20) são as equações diferencias de 2ª ordem para o cálculo das

tensões e correntes e suas soluções são do tipo:

( ) x xv x ae be (21)

1 1( ) x x

C C

i x ae beZ Z

(22)

Nas equações (21) e (22) os termos e ZC são respectivamente, a função de

propagação e a impedância característica da linha e são escritos como sendo (MARTI, 1983,

CHIPMAN, 1972):

Z Y (23)

YZZC (24)

Considere que na linha mostrada na figura 1 possui, em seus terminais, correntes e

tensões conforme mostra a figura 3.

Figura 3 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d no domínio da frequência.


Na figura 3 A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha

monofásica. As componentes IA e IB são as correntes longitudinais da linha nos terminais A e

IA A B IB

VA VB

solo

30

B, respectivamente, enquanto que VA e VB são as tensões nesses terminais. As correntes IA e

IB e as tensões VA e VB estão no domínio da frequência.

A partir da figura 3, podem-se escrever as equações hiperbólicas da linha como sendo

(BUDNER, 1970):

cos h( ) ( )B A C AV V d Z I sen h d (25)

1 ( ) cos ( )B A AC

I V sen h d I h dZ

(26)

onde:

( )2

d de esen h d

(27)

cos ( )2

d de eh d

(28)

Uma vez obtida às correntes e tensões no terminal receptor da linha no domínio da

frequência e conhecendo-se a corrente e tensão no terminal emissor da linha, é possível

convertê-las para o domínio do tempo por meio do uso das transformadas inversas de Fourier

ou Laplace (MORENO; RAMIREZ, 2008).

2.3 CONCLUSÃO

A revisão descrita neste capítulo, com base nas equações do telegrafista, mostra que os

transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão são de fato ondas viajantes guiadas ao

longo dos condutores metálicos. Características de propagação, tais como atenuação e desvio

de fase, são observadas com base na função de propagação e impedância característica do

meio de propagação. Estes parâmetros são uniformemente distribuídos ao longo do

comprimento da linha e para uma maior precisão, deve-se considerá-los dependentes da

frequência. As equações diferenciais obtidas são de difícil solução no domínio do tempo,

sendo que esta solução somente é conhecida para alguns casos específicos.

31

3 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL

3.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior foram mostrados modelos de linhas que permitem obter as

correntes e tensões de linhas monofásicas.

Para o caso de linhas com mais de uma fase, pode-se utilizar a técnica de

decomposição modal (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996).

A técnica de decomposição modal consiste em representar uma linha polifásica no

domínio modal, onde uma linha de n fases pode ser desacoplada em seus n modos de

propagação, sendo que cada um dos modos de propagação comporta-se como sendo uma

linha monofásica independente das demais. Deste modo, as correntes e tensões de cada modo

de propagação podem ser calculadas, no domínio modal, por meio das equações

desenvolvidas no capítulo 2. A representação de uma linha no domínio modal dá-se por meio

de uma matriz denominada matriz de decomposição modal (WEDEPOHL; NGUYEN;

IRWIN, 1996).

Uma vez calculadas as correntes e tensões no domínio modal, é possível obter as

correntes e tensões nas fases da linha polifásica por meio do uso da matriz de transformação

modal inversa.

3.2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES PARA LINHAS POLIFÁSICAS

Considere uma linha com n fases, conforme mostra a figura 4.

Figura 4 - Correntes e tensões em uma linha com n fases.


Na figura 4 I1 e V1, são respectivamente as correntes e tensões na fase 1, I2 e V2, são

respectivamente as correntes e tensões na fase 2 e In eVn, são respectivamente as correntes e

tensões na fase n.

solo

In

I2

I1

Vn

V1

V2

Fase n

Fase 2

Fase 1

32

A matriz de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da linha

mostrada na figura 4, são escritas como sendo (PORTELA; TAVARES, 1993):

11 12 1n

21 22 2n

n1 n 2 nn

z z zz z z

Z

z z z

(29)

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

y y yy y y

Y

y y y

(30)

sendo:

zii impedância própria da fase i;

zij impedância mútua entre as fases i e j;

yii admitância da fase i;

yij admitância entre as fases i e j.

As equações diferenciais de tensão e corrente para essa linha são escritas como sendo

(BUDNER, 1970):

d VZ I

dx (31)

d IY V

dx (32)

As equações de segunda ordem para uma linha polifásica, escritas no domínio da

frequência, podem ser escritas como:

2

2

d VZ Y V

dx (33)

2

2

d IY Z I

dx (34)

Nas equações (31)-(34), [V] e [I] são vetores com as tensões e correntes de fase,

respectivamente e escritos no domínio da frequência.

33

Nas equações (33) e (34), os produtos [Z][Y] e [Y][Z] são distintos, e as matrizes [Z] e

[Y] não são matrizes diagonais, fato que dificulta a obtenção das soluções das equações

diferenciais.Tais produtos podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da

utilização de uma transformação de similaridade (CHEN, 1999).

Nesse caso, os produtos matriciais [Z] [Y] e [Y] [Z] resultarão em matrizes diagonais

cujos elementos são os autovalores dos produtos matriciais.

Portanto, para obter as correntes e tensões nos terminais de uma linha monofásica,

pode-se utilizar a técnica de decomposição modal que será mostrada em seguida.

3.3 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL

A matriz [λV], que é a matriz com os autovalores de [Z][Y], é calculada por meio da

seguinte relação (FARIA, 1997):

]T][Y][Z[]T[][ V1

VV (35)

Os autovalores [λI] do produto matricial [Y][Z] são (WEDEPOHL; NGUYEN;

IRWIN, 1996):

]T][Z][Y[]T[][ I1

II (36)

Nas equações (35) e (36), as matrizes [TV] e [TI] são as matrizes cujas colunas são os

autovetores associados aos autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z], respectivamente, e

[TV]-1 e [TI]-1 são, respectivamente, as matrizes inversas de [TV] e [TI]. As matrizes [TV], [TI],

[λI] e [λV] são complexas e variáveis em relação à frequência.

Os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z], de maneira genérica são distintos e,

portanto,as matrizes [TV] e [TI] são diferentes.No entanto, mesmo sendo [Z][Y] e [Y][Z]

matrizes distintas, seus determinantes e consequentemente seus autovalores [λI] e [λV] são

iguais.

Assim, denominando os autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z] como [λm], as

equações (35) e (36), tornam-se:

1m V VT Z Y T

(37)

1m I IT Y Z T (38)

A matriz [λm], em (37) e (38), é uma matriz diagonal do tipo (LIPSCHUTZ, 1974):

34

1

2m

n

0 00 0

00 0

(39)

Na equação (37), a matriz [TV], é uma matriz cujas colunas são autovetores associados

ao produto [Z][Y] e, na equação (38), a matriz [TI] é uma matriz cujas colunas são

autovetores associados a [Y][Z] (WEDEPOHL;NGUYEN; IRWIN, 1996).

Manipulando as equações (37) e (38), respectivamente obtém-se:

1VmV ]T][][T[]Y][Z[ (40)

1ImI ]T][][T[]Z][Y[ (41)

Substituindo as equações (40) e (41) nas equações (33) e (34) obtêm-se:

11V

m Vd²[T ] [V] [ ][T ] [V]

dx²

(42)

11I

m Id²[T ] [I] [ ][T ] [I]

dx²

(43)

Nas equações (42) e (43), as tensões e corrente modais são definidas como:

1m V[V ] [T ] [V] (44)

1m I[I ] [T ] [I] (45)

Desenvolvendo as equações (44) e (45), obtêm-se:

]V][T[]V[ mV (46)

]I][T[]I[ mI (47)

Nas equações (44) e (45), [Vm] e [Im] são os vetores com as tensões e correntes modais

da linha, respectivamente.

Substituindo as equações (46) e (47) nas equações (42) e (43), respectivamente,

obtém-se:

35

mm m

d²[V ] [ ][V ]dx²

(48)

mm m

d²[I ] [ ][I ]dx²

(49)

De forma análoga, substituindo as equações (46) e (47) nas equações (31) e (32),

obtém-se:

]I][T[-[Z]xd

]V][T[dmI

mv (50)

]V][T[-[Y]xd

]I][T[dmV

mI (51)

Desenvolvendo matematicamente as equações (50) e (51), têm-se:

]I][T[[Z]][T-xd

]V[dmI

1-V

m (52)

]V][T[[Y]][T-xd

]I[dmV

1-I

m (53)

onde:

]T][Z[]T[=]Z[ I1

Vm- (54)

]T][Y[]T[=]Y[ V1

Im- (55)

Nas equações (54) e (55), as matrizes de [Zm] e [Ym] são as matrizes de impedâncias

longitudinais e admitâncias transversais modais da linha de transmissão.

Derivando as equações (52) e (53) em relação a x, têm-se:

2

mm m m2

d VZ Y V

dx (56)

2

mm m m2

d IY Z I

dx (57)

36

As equações (56) e (57) são as equações diferenciais modais da linha. Uma vez que as

matrizes [Zm] e [Ym] são diagonais (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996) as equações

(56) e (57) estão desacopladas e escritas no domínio modal.

3.4 PROCEDIMENTOS PARA SE CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NOS

TERMINAIS DE UMA LINHA UTILIZANDO O MODELO MODAL

Verifica-se que para utilizar o modelo modal de linhas de transmissão, inicialmente a

linha deve ser separada em seus modos de propagação que se comportam como linhas

monofásicas. Em seguida cálcula-se as correntes e tensões nos modos de propagação da linha.

Para finalizar, estas correntes e tensões modais são convertidas, por meio de uma

matriz de transformação modal adequada, para o domínio das fases.

A figura 5 mostra, na forma de diagrama de blocos, o procedimento para calcular as

correntes e tensões nos terminais de uma linha utilizando o modelo modal.

Figura 5 - Representação em diagrama de blocos de uma linha de transmissão polifásica no domínio modal.


Linha polifásica comnfases

Transformação modal

Modos de propagação (Linhas monofásicas)

Cálculo das correntes e tensões nos modos

Transformação modal inversa

Linhas polifásicas com n fases

Domínio modal

Domínio das fases

Domínio das fases

37

3.5 CONCLUSÃO

Neste capítulo, mostrou-se o processo de decomposição modal de linhas de

transmissão. A representação modal de linhas permite que uma linha de transmissão de n

fases seja decomposta em seus n modos de propagação.

A vantagem de se representar a linha por meio de seus modos de propagação está no

fato de que cada modo comporta-se como uma linha monofásica. Portanto, uma linha

polifásica com n fases pode ser representada como sendo n linhas monofásicas independentes,

cujas equações de correntes e tensões são conhecidas e cujas soluções foram apresentadas no

capítulo anterior.

38

4 MODELO DESENVOLVIDO DIRETO NO DOMÍNIO DAS FASES PARA LINHAS

DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS REPRESENTADA POR MEIO DA MATRIZ

ABCD

4.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior, foi visto que para obter as correntes e tensões de uma linha de

transmissão polifásica pode-se utilizara técnica de decomposição modal. Nesse modelo, uma

linha de transmissão polifásica com n fases é representada por n modos de propagação que se

comportam como n linhas monofásicas independentes e equivalentes ao sistema polifásico

original.

Neste capítulo será proposto um modelo de linha desenvolvido diretamente no

domínio das fases a partir da representação de quadripolos para linhas polifásicas. Desse

modo, o modelo de linha é apresentado como uma função dos parâmetros longitudinais e

transversais, variáveis na frequência, e por meio da matriz ABCD. Essa abordagem é possível

a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação, variável na frequência,

utilizada na transformação fase-modo-fase.

4.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHA POR UM QUADRIPOLO (MATRIZ ABCD)

Considera-se, inicialmente, uma linha monofásica com comprimento d, representada

como um circuito quadripolo como na figura6. As tensões nos terminais emissor e receptor

são VA e VB respectivamente. As correntes nesses terminais são descritos como IA e IB.

Figura 6 – Representação de quadripolos.


Para a linha representada na figura 6, às correntes e tensões, no domínio da frequência,

em ambos os terminais são expressos como (NELMS et al., 1989):

A B B CV V cos h d I Z sen h d (58)

39

A B BC

1I V sen h d I cos h dZ

(59)

Nas equações (58) e (59), d é o comprimento da linha, γ é a função de propagação da

linha e ZC é a impedância característica. Ambos os termos são expressos como uma função

dos parâmetros longitudinal e transversal da linha e são escritos como (MARTI, 1983;

CHIPAMAN, 1972):

ZY (60)

CZZY

(61)

As equações (58) e (59) podem ser escritas sob a forma de matriz:

A B

A B

V VA BI IC D

(62)

O conceito de matriz ABCD é primeiramente exemplificado neste capítulo, tal como

descrito na expressão (62). Os elementos A, B, C e D são expresso como:

A cos h d (63)

CB Z sen h d (64)

C

1C sen h dZ

(65)

D cos h d (66)

Os modelos de linha no domínio da freqüência foram desenvolvidos com base na

representação de quadripolos para uma linha de transmissão monofásica (BUDNER, 1970;

SNELSON, 1972; NELMS et al., 1989; CHAPRA, 2005).

No entanto, o modelo de linha polifásico proposto neste trabalho é desenvolvido a

partir dos conceitos básicos da representação de quadripolos.

40

4.3 CORRENTES E TENSÕES DE FASE PARA UMA LINHA POLIFÁSICA ATRAVÉS

DA TEORIA DE DECOMPOSIÇÃO MODAL

Para a linha polifásica de n fases, no domínio da frequência, a impedância longitudinal

[Z] e a admitância transversal [Y], por unidade de comprimento, são escritas,

respectivamente, na forma:

11 12 1n

21 22 2n

n1 n 2 nn

z z zz z z

Z

z z z

(67)

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

y y yy y y

Y

y y y

(68)

As correntes e tensões em ambos os terminais da linha podem ser expressa na formade

vetor para as n fases.

Para calcular as correntes e tensões de fase em ambos os terminais, técnicas de

desacoplamentos modais são amplamente utilizadas por muitos modelos da linha A

transformação modal consiste em desacoplar as n fases da linha em n modos de propagação

totalmente independentes. Esse procedimento pode ser realizado utilizando matrizes de

transformação modal variáveis na frequência ou então uma abordagem que utiliza uma matriz

real e constante (MINGLI et al., 2004; DOMMEL, 1969; GOMES; URIBE, 2009; COSTA et

al., 2010; COSTA et al., 2011).

A relação entre a fase e modo é expressa da seguinte forma:

]T][Z[]T[=]Z[ I1

Vm- (69)

]T][Y[]T[=]Y[ V1

Im- (70)

As matrizes [Zm] e [Ym] são, respectivamente, a impedância modal e admitância

modal para os n modos de propagação. A matriz [TV] é uma matriz de transformação variável

na da frequência, cujas colunas são autovetores associados aos autovalores do produto

matricial [Z][Y] e a matriz [TI] é uma matriz de transformação variável na freqüência, cujas

colunas são os autovalores do produto [Y][Z]. As matrizes [TV]-1 e [TV]T são a inversa e a

41

transposta de [TV], [TI]-1 é a matriz inversa da matriz [TI]. Assim, [Zm] e [Ym] são expressas

como duas matrizes diagonais (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

m11

m22m

mk

z 0 00 z 0

[Z ]

0 0 z

(71)

m11

m22m

mk

y 0 00 y 0

[Y ]

0 0 y

(72)

As características de propagação de um modo genérico k são representadas pela

impedância modal Zmk e admitância modal Ymk. Uma vez que o k-ésimo modo de propagação

é completamente independente dos outros modos, esse pode ser representado e modelado

como uma linha monofásica (MINGLI et al., 2004; GOMEZ et al., 2008).

Desta forma, o modo de propagação k pode ser representado como um circuito de

quadripolo conforme mostra a figura 6, sendo as correntes e as tensões modais em ambos os

terminais são expressos de forma análoga como nas equações (58) e (59).

Amk Bmk mk Bmk Cmk mkV V cosh d I Z senh d (73)

Amk Bmk mk Bmk mkCmk

1I V senh d I cosh dZ

(74)

Nas equações (73) e (74), γmk e ZCmk são, respectivamente, a função de propagação e a

impedância característica de um modo genérico k. Os termos IAmk e VAmk são as correntes e as

tensões no terminal emissor no domínio modal. Os termos IBmk e VBmk são as correntes e

tensões no terminal receptor no domínio modal.

Desde que as correntes e as tensões modais sejam conhecidas, as correntes e tensões

de fase podem ser calculadas a partir das seguintes relações (MORCHED et al., 1999):

V mV T V (75)

tV mI T I (76)

42

As maiorias dos modelos de linhas citadas neste trabalho utilizam o procedimento

fase-modo-fase apresentado nesta seção para simular transitórios eletromagnéticos no

domínio da frequência. Com base na mesma teoria modal, o modelo proposto neste trabalho

será desenvolvido a seguir.

4.4 MODELO DE LINHAS POLIFÁSICAS DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO

DOMÍNIO DAS FASES

A formulação usando a matriz ABCD é estendida para uma representação polifásica

diretamente no domínio das fases.

A partir das equações de quadripolos apresentadas anteriormente nas equações (73) e

(74), para um modo genérico k, a mesma formulação pode ser estendida para uma linha de

transmissão de n fases com n modos de propagação:

Am 1 Bm 2 BmV F V F I (77)

Am 3 Bm 4 BmI F V F I (78)

Nas equações (77) e (78) as matrizes [F1], [F2], [F3] e [F4] são dadas por:

m1

m21

mk

cos h( d) 0 00 cos h( d) 0

F0

0 0 cos h( d)

(79)

Cm1 m1

Cm2 m22

Cmn mk

Z sen h( d) 0 00 Z sen h( d) 0

F0

0 0 Z sen h( d)

(80)

m1Cm1

m2Cm23

mkCmn

1 sen h( d) 0 0Z

10 sen h( d) 0ZF

010 0 sen h( d)

Z

(81)

43

4 1F F (82)

As correntes e tensões, no domínio modal, são obtidas a partir de (77) e (78).

Considerando as relações fase-modo mostradas nas equações (75) e (76), e fazendo

algumas manipulações, tem-se:

1 TA V 1 V B V 2 V BV T F T V T F T I (83)

T1 1 T

A V 3 V B V 4 V BI T F T V T F T I (84)

Nas equações (83) e (84), os vetores de [VA] e [IA] são compostos de n elementos, que

são as tensões e correntes de fase respectivamente, no terminal emissor de uma linha

polifásica. Os termos [VB] e [IB] contêm as tensões e correntes de fase no terminal receptor,

respectivamente.

Seguindo a mesma linha de representação por um quadripolo apresentado na equação

(62), as equações no domínio das fases descritas em (83) e (84) são reestruturadas como:

A B

A B

A BV VC DI I

` (85)

onde:

1V 1 VA T F T

(86)

TV 2 VB T F T (87)

T1 1

V 3 VC T F T (88)

T1 T

V 4 VD T F T (89)

Na equação (85), uma linha de n fases é modelada diretamente no domínio das fases

baseada na representação de quadripolo por meio da matriz ABCD. As sub-matrizes

quadradas representadas por [A], [B], [C] e [D] tem dimensão n enquanto que a matriz ABCD

na equação (62) tem dimensão 2n.

44

4.5 DESCRIÇÃO DO MODELO PROPOSTO

É importante salientar que a representação da matriz apresentada em (85) é

completamente descrita no domínio das fases em função, unicamente dos parâmetros

longitudinais e transversais da linha.

Outra observação importante é que os elementos das matrizes [Z] e [Y] podem ser

escritos na forma de funções racionais cujos pólos possuem parte real negativa. Espera-se que

o modelo proposto, baseado única e exclusivamente nas matrizes [Z] e [Y], possa futuramente

ser escrito na forma de funções racionais que permite a implementação do mesmo no domínio

do tempo (GUSTAVSEN; NORDSTROM, 2008).

Figura 7 - (a) Modelo modal clássico (b) Modelo proposto(CARVALHO, 2013).

(a) (b)


Para analisar o processo de cálculo das correntes e tensões em uma linha polifásica

genérica, a figura 7 mostra uma representação da técnica de decomposição modal e uma

representação do modelo proposto neste capítulo.

Na figura 7, o diagrama (a) representa o modelo modal clássico e o diagrama (b)

representa o modelo proposto neste capítulo. Pretende-se enfatizar com essas representações,

a obtenção das correntes e tensões considerando cada modelo.

Domínio modal

Domínio das fases

Linha polifásica comn fases

Transformação modal

Modos de propagação (Linhas monofásicas)

Cálculo das correntes e tensões nos modos de propagação

Transformação modal inversa

Linhas polifásicas com n fases

Domínio das fases

Modelo modal clássico Modelo proposto

Linha Polifásica

Correntes e tensões calculadas direto no domínio das fases

Domínio das fases

45

Verifica-se que na representação modal, as correntes e tensões são obtidas por meio do

processo de conversão fase-modo-fase. Já no modelo proposto, esse processo não é realizado,

uma vez que as correntes e tensões são obtidas diretamente nas fases da linha.

4.6 OBTENÇÃO ANALÍTICA DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA n

FASES

Anteriormente, verificou-se que para implementar o modelo proposto é necessário que

a matriz de transformação modal, que desacopla a linha polifásica, seja obtida em função dos

parâmetros longitudinais e transversais dessa linha.

Considere a representação de uma linha polifásica com n fases conforme mostra a

figura 8.

Figura 8 - Representação das correntes e tensões em uma linha polifásica com n fases.


Para a linha polifásica mostrada na figura 8, no domínio da frequência, a impedância

longitudinal [Z] e aadmitância transversal [Y], por unidade de comprimento, são

representadas, respectivamente, como (PORTELA; TAVARES, 1993):

nn2n1n

n22221

n11211

zzz

zzzzzz

]Z[

(90)

nn2n1n

n22221

n11211

yyy

yyyyyy

]Y[

(91)

. . .

. . .

46

Os autovalores podem ser obtidos por meio da seguinte expressão (LIPSCHUTS,

1974):

kdet [S] [U] 0 (92)

Na expressão (92), a matriz [S] é a matriz obtida pelo produto [Z][Y] e a matriz [U] é

a matriz identidade de ordem n.

Desenvolvendo (92), tem-se:

11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n 2 n n n

S S S 0 0S S S 0 0

det 0

S S S 0 0

(93)

Na equação (93), os elementos da matriz [S] são conhecidos, enquanto que a matriz

[λk] deve ser determinada para cada valor de frequência.

Desenvolvendo a equação (93), obtém-se:

11 1 12 1n

21 22 2 2n

n1 n2 n n n

S S S

S S Sdet 0

S S S

(94)

Calculando o determinante mostrado na expressão (94) obtém-se um polinômio de

grau n, onde n é o mesmo número de fases da linha. Logo, para determinar os autovalores λk é

necessário determinar as raízes da equação polinomial e, uma vez obtida, pode-se partir para a

obtenção dos elementos da matriz de transformação [TV].

Então, para um autovalor λk genérico, é possível escrever a seguinte expressão

(WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

k Vk([S] [U])[T ] [0] (95)

Considerando uma linha de transmissão polifásica, a matriz de transformação que

desacopla essa linha pode ser representada por:

47

11 12 1n

21 22 2nV

n1 n 2 nn

T T TT T T

[T ]

T T T

(96)

Para a matriz dada na equação (96), sua k-ésima coluna, o vetor [TVk] está associado

ao k-ésimo autovalor λk. Ou seja, para se obter o primeiro conjunto de autovetores

correspondentes ao primeiro autovalor encontrado, a equação (95) torna-se:

1 V1([S] [U])[T ] [0] (97)

Na equação (97), o vetor [TV1] contém os autovetores da primeira coluna da

matriz [TV]. Desenvolvendo a equação (97), obtém-se:

0

00

T

TT

SSS

SSSSSS

1n

21

11

1nn2n1n

n212221

n112111

(98)

Manipulando algebricamente essa expressão, tem-se:

0T)S(TSTS

0TST)S(TS

0TSTST)S(

1n1nn212n111n

1nn2211221121

1nn1211211111

(99)

O sistema mostrado em (99), possui infinitas soluções. Para que se obtenha uma única

solução, considera-se a hipótese de que o módulo de [TV1] é unitário (WEDEPOHL;

NGUYEN; IRWIN, 1996):

01TTT 21n

221

211 (100)

Logo, a solução desse sistema dá-se por meio da obtenção dos elementos

T11, T21,..., Tn1, da primeira coluna da matriz [TV].

Analogamente, o processo se repete para todas as colunas da matriz [TV].

48

Considerando as equações (99) e (100), é possível obter analiticamente, em função dos

parâmetros da linha, todas as colunas da matriz [TV].

No entanto, em se tratando de linhas polifásicas, as matrizes [Z] e [Y] são de ordem n.

Consequentemente, a equação (95) resultará em um polinômio de grau n em λ, cuja

solução analítica não é facilmente obtida.

Considerando uma linha de transmissão trifásica não transposta e sem plano de

simetria vertical, verificou-se que a aplicação do modelo proposto é viável e possível. Pois,

devido às características físicas dessa linha pode-se representa-lá por um sistema constituído

por três linhas monofásicas.

Logo, para uma linha trifásica genérica, a obtenção analítica dos autovalores resultará

em um polinômio de grau 3, cuja solução será apresentada no próximo capítulo.

4.7 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi descrito um modelo para uma linha de transmissão polifásica direto

no domínio das fases, fazendo uso da representação por quadripolo e matriz ABCD. A

contribuição original do desenvolvimento é a representação por quadripolo aplicada a linhas

com n fases, com ou sem plano de simetria vertical e capaz de simular transitórios compostos

por uma ampla faixa de frequências.

Para a obtenção desse modelo, foi necessário desenvolver uma relação explícita entre a

matriz de transformação modal e os parâmetros da linha. Porém, verificou-se que no caso de

linhas polifásicas com n fases, a obtenção da matriz de transformação depende da solução

analítica de um polinômio de grau n, cuja solução não é conhecida.

Uma alternativa nesse caso foi considerar uma linha trifásica sem plano de simetria

vertical cujas características permitem o cálculo dos autovalores e assim a obtenção analítica

da matriz de transformação [TV].

O modelo é proposto direto no domínio das fases e será validado com base no modelo

clássico fazendo o uso de decomposição modal e representação pro quadripolo de cada modo

de propagação individualmente.

Todos os elementos contidos nesse modelo são escritos em função, unicamente, dos

parâmetros longitudinais e transversais da linha.

49

5 REPRESENTAÇÃO DA LINHA TRIFÁSICA SEM PLANO DE SIMETRIA

VERTICAL, POR MEIO DO MODELO PROPOSTO

5.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior, verificou-se que a obtenção de um modelo analítico para linhas

de transmissão polifásicas requer que os elementos da matriz de transformação sejam

expressos analiticamente.

No entanto, para que esse modelo seja considerado um modelo analítico é necessário

obter uma relação explícita entre a matriz de transformação e os parâmetros da linha.

Sendo assim, neste capítulo foi necessário encontrar os autovalores, cuja obtenção

analítica se deu por meio do teorema de Cardano-Tartaglia. Uma vez conhecidos os

autovalores, é possível obter analiticamente a matriz de transformação [TV] responsável pela

conversão fase-modo-fase das grandezas dessa linha. Este modelo terá como base a

representação da linha no domínio modal.O método foi desenvolvido analiticamente para uma

linha trifásica genérica sem plano de simetria vertical, que é caracterizada por suas matrizes

de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y].

A seguir será apresentado o desenvolvimento do modelo proposto, considerando as

relações entre correntes e tensões obtidas no capítulo 2.

5.2 OBTENÇÃO DOS AUTOVALORES E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DA

MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA UMA LINHA TRIFÁSICA SEM

PLANO DE SIMETRIA VERTICAL

Considere uma linha de transmissão trifásica sem plano de simetria vertical e não

idealmente transposta como mostra na figura 9 a seguir.

Figura 9 - Linha trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical.


Fase 1

Fase 2

Fase 3

solo

50

Para a linha trifásica mostrada na figura 9, no domínio da freqüência, a impedância

longitudinal e aadmitância transversal, por unidade de comprimento, são representadas,

respectivamente como (PORTELA; TAVARES, 1993):

11 12 13

12 22 23

13 23 33

z z z[Z] = z z z

z z z

(101)

11 12 13

12 22 23

13 23 33

y y y[Y] y y y

y y y

(102)

Os autovalores do produto matricial [Z]]Y] ou [Y][Z] podem ser obtidos a partir da

seguinte expressão (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996;LIPSCHUTZ, 1974):

det S U 0 (103)

Na expressão (103), a matriz [S] é a matriz obtida pelo produto [Z][Y] ou seja,

[S]=[Z][Y] e seus resultados são calculados analiticamente e serão mostrados no apêndice A,

a matriz [U] é a matriz identidade de ordem 3.

Desenvolvendo (103), tem-se:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

S S S 0 0det S S S 0 0 0

S S S 0 0

(104)

Na equação (104), os elementos da matriz [S] são conhecidos, enquanto que a matriz

[λ] deve ser determinada para cada valor de frequência.

Desenvolvendo a equação (104), obtém-se:

11 1 12 13

21 22 2 23

31 32 33 3

S S Sdet S S S 0

S S S

(105)

Calculando o determinante mostrado na expressão (105) obtém-se um polinômio

complexo de grau 3 com seus coeficientes complexos devido as características dos parâmetros

51

de impedância [Z] e admitância [Y] da linha de transmissão e o polinômio pode ser

representado por:

3 2a b c 0 (106)

onde:

11 22 33a S S S (107)

11 22 11 33 22 33 12 21 23 32 13 31b S S S S S S S S S S S S (108)

11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31c S S S S S S S S S S S S S S S S S S (109)

Assim, para determinar os autovalores é necessário encontrar as raízes da equação

polinomial (106). Para isso, será aplicado o teorema de Cardano-Tartaglia (LAGES LIMA,

1987). As equações subsequentes serão detalhadas de maneira mais profunda no apêndice A

desse trabalho.

Fazendo:

au3

(110)

substituindo a equação (110) na equação (106), obtemos a seguinte expressão:

3u pu q 0 (111)

onde:

2ap b3

(112)

32a abq c27 3

(113)

Assim, a equação (111) é a equação reduzida do polinômio original da equação (106).

Substituindo as equações (112) e (113) na equação (111) e a desenvolvendo

matematicamente, obtém-se:

52

2 3 2 33 3q q p q q p au

2 4 27 2 4 27 3 (114)

Chamando u=λ por conveniência, substituindo λ na equação (114) e a desenvolvendo,

tem-se:

3 3 2 2 3 23

1 3

23

3 3 2 2 3 23

2a 3 3 4a c a b 18a bc 4b 27c 9ab 27c

3 2

2 3b a a33 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c

(115)

O teorema de Cardano-Tartaglia permite obter três autovalores para a equação (111),

porém, apenas um autovalor é exato, conforme mostra a equação (115).

A equação1 (115) é uma raiz do polinômio original dado pela equação (106). A partir

desse autovalor é possível obter os dois autovalores restantes por meio de uma divisão

polinomial.

Logo, os dois autovalores restantes são dados por:

2 21 1 1

2

a 3 2a a 4b2

(116)

2 21 1 1

3

a 3 2a a 4b2

(117)

Verifica-se que as equações (115), (116) e (117) são os autovalores do polinômio

original.

O desenvolvimento analítico do teorema de Cardano-Tartaglia e dos autovalores será

mostrado no apêndice A desse trabalho. Verifica-se também, que os autovalores são

calculados unicamente em função dos parâmetros [Z] e [Y] da linha trifásica.

As raízes λ1, λ2 e λ3, mostradas em (115)-(117) correspondem aos autovalores do

produto [S]=[Z][Y]. Uma vez obtidos esses autovalores é possível determinar a matriz de

transformação [TV] a partir da seguinte equação (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

k Vk([S] [U])[T ] [0] (118)

1 Disponível em: <http://www.wolframalpha.com.br>. Acesso em: 12 de fev. 2014.

53

Considerando uma linha de transmissão trifásica, a matriz de transformação que

desacopla essa linha pode ser representada por:

V11 V12 V13

V V21 V22 V23

V31 V32 V33

T T T[T ] T T T

T T T

(119)

Na equação (118), o vetor [TV] está associado ao autovalor λ. Ou seja, para se obter o

primeiro conjunto de autovetores correspondentes ao primeiro autovalor encontrado, a

equação (118) torna-se:

1 V1([S] [U])[T ] [0] (120)

Na equação (120), o vetor [TV1] contém os autovetores da primeira coluna da

matriz [TV].

Desenvolvendo essa equação, obtém-se:

11 1 12 13 V11

21 22 1 23 V21

31 32 33 1 V31

S S S T 0S S S T 0S S S T 0

(121)

Manipulando algebricamente a expressão acima, tem-se:

11 1 V11 12 V21 13 V31

21 V11 22 1 V 21 23 V31

31 V11 32 V21 33 1 V31

S T S T S T 0S T S T S T 0S T S T S T 0

(122)

Desenvolvendo matematicamente a equação (122), tem-se:

11 12 13 V11

22 23 V21

33 V31

T 00 T 00 0 T 0

(123)

sendo:

11 1 (124)

1212

11 1

SS

(125)

54

1313

11 1

SS

(126)

12 3112 2122 22 1 32

11 1 11 1

S SS S S SS S

(127)

13 21 12 3123 23 22 1

11 1 11 1

S S S SS SS S

(128)

13 21 12 3133 23 32

11 1 11 1

13 31 12 2133 1 22 1

11 1 11 1

S S S SS S

S S

S S S SS SS S

(129)

Na equação (123), os elementos α21, α31 e α32 são nulos.

Como foi mostrado acima, o sistema dado pela equação (122) possui infinitas soluções

e para que se obtenha uma única solução desse sistema, considera-se a hipótese de que o

módulo de [TV1] seja unitário (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

2 2 2v11 v21 v31T T T 1 (130)

Assim, desenvolvendo a equação (123) e utilizando a hipótese de que o módulo de

[Tv1] seja unitário dada pela equação (130), obtêm-se:

12 23

2 2 2 2 222 12 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

V1111

13 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

11

1

2 1

T

1

2 1

(131)

55

23V21 2 2 2 2 2

22 12 23 12 13 22 23 12 13 232 2 211 22 22

1T2 1

(132)

V31 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

1T2 1

(133)

A solução do sistema dado pela equação (122) é obtida por meio da obtenção dos

elementos TV11, TV21 e TV31, da primeira coluna da matriz [TV].

Analogamente, o processo se repete para todas as colunas da matriz [TV].

Na segunda coluna da matriz [TV], que é um vetor que será denominado [TV2], está

relacionada ao autovalor λ2 por meio da seguinte expressão (WEDEPOHL; NGUYEN;

IRWIN, 1996).

2 V2S U [T ] 0 (134)

Na equação (134), o vetor [TV2] contém os autovetores da segunda coluna da

matriz [TV]. Desenvolvendo essa equação, obtém-se:

11 2 12 13 v12

21 22 2 23 v22

31 32 33 2 v32


(135)


11 2 v12 12 v22 13 v32

21 v12 22 2 v22 23 v32

31 v12 32 v22 33 2 v32


(136)


11 12 13 v12

22 23 v22

33 v32

T 00 T 00 0 T 0

(137)

56

onde:

11 1 (138)

1212

11 2

SS

(139)

1313

11 2

SS

(140)

12 3112 2122 22 2 32

11 2 11 2

S SS S S SS S

(141)

13 21 12 3123 23 22 2

11 2 11 2

S S S SS SS S

(142)

13 21 12 3133 23 32

11 2 11 2

13 31 12 2133 2 22 2

11 2 11 2

S S S SS SS S

S S S SS SS S

(143)

Sendo que, os elementos β21, β31 e β32 da equação (137) são nulos.


e para que se obtenha uma única solução desse sistema, considere a hipótese de que o módulo

de [TV2] seja unitário (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

2 2 2v12 v22 v32T T T 1 (144)


[TV2] seja unitário dada pela equação (144), obtêm-se:

(145)

12 23

2 2 2 2 222 12 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

v1211

13 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

11

1

2 1T

1

2 1

57

23v22 2 2 2 2 2

22 12 23 12 13 22 23 12 13 232 2 211 22 22

1T2 1

(146)

v32 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

1T2 1

(147)

Na terceira coluna da matriz [TV], que é um vetor que será denominado [TV3], está

relacionada ao autovalor λ3 por meio da seguinte expressão (WEDEPOHL; NGUYEN;

IRWIN, 1996).

3 V3S U [T ] 0 (148)

Na equação (148), o vetor [TV3] contém os autovetores da segunda coluna da

matriz [TV]. Desenvolvendo essa equação, obtém-se:

11 3 12 13 v13

21 22 3 23 v23

31 32 33 3 v33


(149)


11 3 v13 12 v23 13 v33

21 v13 22 3 v23 23 v33

31 v13 32 v23 33 3 v33


(150)


11 12 13 v13

22 23 v23

33 v33

T 00 T 00 0 T 0

(151)

onde:

58

11 1 (152)

1212

11 3

SS

(153)

1313

11 3

SS

(154)

12 3112 2122 22 3 32

11 3 11 3

S SS S S SS S

(155)

13 21 12 3123 23 22 3

11 3 11 3

S S S SS SS S

(156)

13 21 12 3133 23 32

11 3 11 3

13 31 12 2133 3 22 3

11 3 11 3

S S S SS SS S

S S S SS SS S

(157)

Sendo que, os elementos C21, C31 e C32 da equação (151) são nulos.


e para que se obtenha uma única solução desse sistema, considere a hipótese de que o módulo

de [TV3] seja unitário (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

2 2 2v13 v23 v33T T T 1 (158)


[TV3] seja unitário dada pela equação (158), obtêm-se:

59

12 23

2 2 2 2 222 12 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

v1311

13 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

11

1

2 1T

1

2 1

(159)

23v23 2 2 2 2 2

22 12 23 12 13 22 23 12 13 232 2 211 22 22

1T2 1

(160)

v33 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23

2 2 211 22 22

1T2 1

(161)

Logo, os elementos descritos pelas equações (131)-(133), (145)-(147) e (159)-(161)

são os autovetores da matriz de transformação [TV] e verifica-se que todos os elementos

contidos nessas matrizes são calculados única e exclusivamente em função dos parâmetros [Z]

e [Y] da linha trifásica.

A matriz [TΩ] é a matriz inversa da matriz de transformação [TV] e a mesma pode ser

escrita como:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T T TT T T T

T T T

(162)

60

E seus elementos são:

v22 v33 v32 v2311

v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31

T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T

(163)

v12 v33 v32 v1312

v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v 22 v31


(164)

v12 v23 v22 v1313



(165)

v21 v33 v31 v2321



(166)

v11 v33 v31 v1322



(167)

v11 v23 v21 v1323



(168)

v21 v32 v31 v2231

v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v 22 v31


(169)

v11 v32 v31 v1232



(170)

v11 v22 v21 v1233



(171)

A matriz inversa da matriz de transformação [TV] será de grande importância para o

restante do desenvolvimento das equações.

5.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO PROPOSTO

Para a linha mostrada na figura 9, sabemos que no domínio modal as matrizes de

impedância longitudinal [Zm] e de admitância transversal [Ym], são escritas, respectivamente,

como (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

TmZ T Z T (172)

m VY T Y T (173)

61

Nas equações (172) e (173), a matriz [TV] é uma matriz cujas colunas são os

autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y]. A matriz [TΩ]é a inversa da matriz

de transformação [TV] e ([TΩ])Té a matriz transposta da matriz inversa [TΩ].

As matrizes [Zm] e [Ym] são as matrizes diagonais e podem ser escritas como

(BUDNER, 1970):

m11

m m22

m33

Z 0 0Z 0 Z 0

0 0 Z

(174)

m11

m m22

m33

Y 0 0Y 0 Y 0

0 0 Y

(175)

No domínio modal, a linha trifásica mencionada anteriormente é representada por

meio de seus três modos de propagação. A figura 10 mostra 3 modos genéricos de uma linha

de transmissão trifásica.

Figura 10 - Linha trifásica genérica.


Na figura 10, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha

trifásica e [TV] é a matriz que decompõe a linha trifásica bifásica em seus modos. Essa matriz

é expressa em função dos parâmetros da linha trifásica, ou seja, [TV]é a matriz cujas colunas

são os autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y].

Verifica-se que na figura 56, as componentes modais da linha trifásica são os modos 1,

2 e 3, sendo que esses modos se comportam como sendo linhas monofásicas independentes

cujas equações são conhecidas. Uma vez que os elementos da matriz [TV] são obtidos

analiticamente, é possível estabelecer uma relação entre essas equações e os parâmetros da

linha trifásica (BUDNER, 1970):

62

Am Bm m cm Bm mV V cosh( d) Z I senh( d) (176)

Am Bm m Bm mCm

1I V senh( d) I cosh( d)Z

(177)

Nas equações (176) e (177), d é o comprimento da linha, γm é a função de propagação

nos modos da linha de transmissão. O termo Zcm é a impedância característica nos modos da

linhae elas são escritas como sendo (MARTI, 1982; CHIPMAN, 1972).

m m mZ Y (178)

mCm

m

ZZY

(179)

Considere o modo 1, representado na figura 11 mostrada logo abaixo.

Figura 11 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 1.


Na Figura 11, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 1.

Os termos VAm1 e VBm1 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do

modo 1, enquanto que os termos IAm1 e IBm1 são, respectivamente, as correntes longitudinais

nos terminais A e B desse modo.

A relação entre as correntes e tensões no modo 1 é escrita como:

Am1 Bm1 m1 cm1 Bm11 m1V V cosh( d) Z I senh( d) (180)

Am1 Bm1 m1 Bm1 m1Cm1


(181)

A B IBm1 IAm1

solo

VBm1 VAm1

Modo 1

63

Nas equações (180) e (181), os termos γm1 e ZCm1 são, respectivamente, a função de

propagação e a impedância característica do modo 1. Esses elementos podem ser calculados

em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.

Considere o modo 2, representado na figura 12 mostrada logo abaixo.

Figura 12 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 2.


Na figura 12, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 2.








(183)




Considere o modo 3, representado na figura 13, mostrada logo abaixo.

A B IBm2 IAm2

solo

VBm2 VAm2

Modo 2

64

Figura 13 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e receptor (B)do modo 3.


Na figura 13, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 3.








(185)




É possível escrever as equações (180), (182) e (184) na forma matricial, assim:

Am1 m1 Bm1

Am 2 m 2 Bm 2

Am 3 m3 Bm 3

cm1 m1 Bm1

cm 2 m 2 Bm 2

cm 3 m 3 Bm3

V cosh( d) 0 0 VV 0 cosh( d) 0 VV 0 0 cosh( d) V

Z senh( d) 0 0 I0 Z senh( d) 0 I0 0 Z senh( d) I

(186)

De forma análoga, é possível escrever as equações (181), (183) e (185) na forma

matricial, logo:

A B IBm3 IAm3

solo

VBm3 VAm3

Modo 3

65

m1cm1

Am1 Bm1

Am 2 m2 Bm2cm2

Am3 Bm3

m3cm3

m1 Bm1

m2 Bm 2

m3 Bm3

1 senh( d) 0 0Z

I V1I 0 senh( d) 0 V

ZI V

10 0 senh( d)Z

cosh( d) 0 0 I0 cosh( d) 0 I0 0 cosh( d) I

(187)

As equações (186) e (187) podem ser escritas de forma mais resumida, como segue:

A m 1 Bm 2 BmV F V F I (188)

A m 3 Bm 4 BmI F V F I (189)

onde:

m1

1 m2

m3

cosh( d) 0 0F 0 cosh( d) 0

0 0 cosh( d)

(190)

cm1 m1

2 cm2 m2

cm3 m3

Z senh( d) 0 0F 0 Z senh( d) 0

0 0 Z senh( d)

(191)

m1cm1

3 m2cm2

m3cm3

1 senh( d) 0 0Z

1F 0 senh( d) 0Z

10 0 senh( d)Z

(192)

1 4F F (193)

66

Nas equações (190)-(193), verifica-se que as funções de propagação, γm1, γm2eγm3 e as

impedâncias características, ZCm1, ZCm2e ZCm3são conhecidas e são funções dos parâmetros da

linha trifásica. O cálculo desses elementos será mostrado no apêndice A deste trabalho.

Temos que as grandezas de fase-modo obedecem às seguintes relações:

Tm I fV T [V ] (194)

1m I fI T [I ] (195)

Na equação (194), [Vf] é o vetor com as tensões de fase da linha, enquanto que [Vm] é

o vetor com as tensões modais da linha, e na equação (195) [If] é o vetor com as correntes de

fase da linha e [Im] é o vetor com as correntes modais da linha.

Na equação (195) [TI] é uma matriz cujas colunas são os autovetores associados aos

autovalores do produto [Y][Z], e [TI]-1 é a inversa da matriz [TI]. As matrizes [TV] e [TI]

obedecem à seguinte relação (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

T 1I VT T (196)

Substituindo as equações (188) e (189) nas equações (194) e (195) e manipulando-as

matematicamente deixando em função da matriz de transformação [TV], dada pela relação

(196), onde, [TV]-1=[TΩ],obtêm-se:

TA f V 1 B f V 2 V B fV = T F T V T F T [I ] (197)

T T TA f 3 B f 3 V B f[I ] T F T V T F T [I ] (198)

Sendo, [VAf] e [VBf] nas equações (197) e (198) os vetores com as tensões de fase no

terminal emissor A e no terminal receptor B respectivamente, e [IAf] e [IBf] sãos os vetores

com as correntes de fase no terminal emissor A e no terminal receptor B. Logo, as equações

(197) e (198) podem ser escritas, resumidamente, como sendo:

A f Bf B fV A V B I (199)

A f Bf B f[I ] C V D I (200)

67

Seguindo a mesma linha de representação por um quadripolo mostrado na equação

(62), as equações no domínio das fases descritas nas equações (199) e (200) são reestruturadas

como:

Af Bf

Af Bf

V VA BI IC D

` (201)

onde:

V 1A T F T (202)

TV 2 VB = T F T (203)

T3C T F T (204)

T T4 VD T F T (205)

Uma vez que a matrizes [A], [B], [C] e [D] são calculadas a partir da matriz de

transformação [TV] e elas podem ser usadas para calcular as correntes e tensões nos terminais

da linha trifásica, essas matrizes são calculadas única e exclusivamente em função dos

parâmetros [Z] e [Y] da linha.

Assim, é possível reescrever a equação (201) como sendo:

Af1 Bf111 12 13 11 12 13

A f 2 Bf 221 22 23 21 22 23

Af 3 Bf 331 32 33 31 32 33

Af 1 Bf111 12 13 11 12 13

Af 2 Bf 221 22 23 21 22 23

Af 3 Bf 331 32 33 31 32 33

V VA A A B B BV VA A A B B BV VA A A B B BI IC C C D D DI IC C C D D DI IC C C D D D

(206)

Desta forma, a partir da equação (206), é possível obter as correntes e tensões de fase

para qualquer configuração da linha trifásica mostrada na figura 9 (e.g., curto-circuito fase-

terra ou entre fases).

68

5.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado o desenvolvimento analítico do modelo proposto para

uma de linha de transmissão trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical, direto

no domínio das fases, fazendo uso da representação por quadripolo e matriz ABCD.

Também foi possível obter analiticamente uma matriz de transformação adequada

variável na frequência e, escrita em função dos parâmetros da linha trifásica e dessa forma

estabelecer relações entre as correntes e tensões de fase da linha.

A contribuição original do desenvolvimento é representação por quadripolo aplicada a

linhas com n fases, com ou sem plano de simetria vertical e capaz de simular transitórios

compostos por uma ampla faixa de frequências. Outros atributos do modelo proposto são:

simulação de sistemas desbalanceados (e.g., curto-circuito fase-terra ou entre fases) e diversas

condições variáveis em função do tempo (inserção de elementos não lineares na modelagem).

Essas relações entre correntes e tensões foram escritas em função única e

exclusivamente das impedâncias longitudinais [Z] e das admitâncias transversais [Y] da linha.

As matrizes [A], [B], [C] e [D] apresentada neste capítulo, serão desenvolvidas

analiticamente no apêndice B deste trabalho.

O exemplo adotado na validação do modelo proposto representa um sistema

assimétrico com duas fases. No entanto, essa representação pode ser facilmente extrapolada

para linhas trifásicas simples ou com circuito duplo, variando apenas a dimensão da matriz

ABCD e dos vetores de corrente e tensão nos terminais. Além disso, o modelo possibilita a

inserção de diversos elementos não lineares por meio de simples adaptações nos vetores com

as tensões e correntes nos terminais da linha.

O modelo proposto foi validado com base no modelo clássico fazendo uso de

decomposição modal e representação por quadripolo de cada modo de propagação

individualmente. O modelo foi validado no domínio da frequência e do tempo. Os resultados

obtidos pelos dois modelos são idênticos, validando o modelo proposto sem o uso explicito de

transformação modal.

69

6 VALIDAÇÃO DO MODELO PROPOSTO 6.1 INTRODUÇÃO

No capítulo 5, foi desenvolvido um modelo analítico para calcular as correntes e

tensões diretamente no domínio das fases de uma linha de transmissão trifásica. Para verificar

o desempenho do modelo proposto, o mesmo foi utilizado para simular as sobretensões

resultantes da energização e da incidência de descarga atmosférica na linha, em seguida

aplicado em uma linha de 440 kV conforme mostra a figura abaixo.

Os resultados obtidos com o modelo analítico (domínio das fases) foram comparados

aos resultados obtidos com o modelo clássico (domínio modal) descrito no capítulo 2.

Figura 14 - Silhueta da estrutura de uma linha de transmissão trifásica de 440 kV.


Na estrutura mostrada na figura 14, cada uma das fases é constituída de condutores

múltiplos cujos subcondutores são do tipo Grosbeak. A estrutura possui dois cabos pára-raios

do tipo EHSW-3/8”. Considerou-se a resistividade do solo igual a 1000 Ω.m.

Os parâmetros longitudinais e transversais da linha foram calculados levando em

consideração os efeitos do solo e pelicular (DOMMEL, 1996; MARTI, 1983). Considerou-se

que a condutância da linha é nula e os elementos da matriz de capacitância constantes

(MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 2005).

Considerou-se também, que os cabos pára-raios foram rebatidos nas fases da linha

(KUROKAWA et al., 2005).

feixe de subcondutores que constitui cada fase

70

As simulações foram realizadas no domínio da freqüência considerando uma linha de

200 km e em seguida convertidas para o domínio do tempo utilizando a transformada inversa

de Laplace obtida numericamente. As simulações foram realizadas no software Matlab®.


TEMPO PARA AS TENSÕES E CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B)

EM ABERTO

A figura 15 mostra a linha trifásica, descrita na figura 14, sendo energizada por uma

fonte de tensão constante no terminal emissor (A) e com o terminal receptor (B)em aberto.

Figura 15 – Energização da linha em aberto.


As figuras a seguir mostram o módulo das tensões nos terminal emissor (A) das fases

1, 2 e 3 com o terminal receptor (B) em aberto, considerando o processo de energização dessa

linha. A curva 1 representa a tensão obtida pelo modelo proposto e a curva 2 representa o

modelo clássico.

71

Figura 16 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.


Figura 17 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.


101 102 103 104 10510-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da te

nsão

[p.u

]

(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico

1

2

0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo [ms]

Tens

ão [p

.u]


1

2

72



Figura 19 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km


101 102 103 104 10510-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da te

nsão

[p.u

]


1

2

0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo [ms]

Tens

ão [p

.u]


1 2

73



Figura 21 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.


101 102 103 104 10510-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da te

nsão

[p.u

]


1

2

0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo [ms]

Tens

ão [p

.u]


1 2

74

Figura 22 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km.


Figura 23 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km.


101 102 103 104 10510-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


1

2

0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 x 10-3

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


21

75

Figura 24 - Módulo da corrente no terminal emissor (A) da fase 2 da linha de 200 km.




101 102 103 104 10510-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


2

1

0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 x 10-3

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


21

76



Figura 27 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km.


101 102 103 104 10510-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


2

1

0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 x 10-3

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


21

77

Em todos os gráficos, verificou-se que as curvas 1 e 2 têm o mesmo comportamento.

Assim, pode-se afirmar que o modelo proposto, apresenta resultados idênticos aos

resultados obtidos através do modelo clássico, tanto no domínio da freqüência como no

domínio do tempo.


TEMPO PARA AS CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B) EM CURTO

CIRCUITO

A figura 28 mostra a linha trifásica, descrita anteriormente, sendo energizada por uma

fonte de tensão constante no terminal emissor (A) e com o terminal receptor (B) em curto

circuito.

Figura 28 - Energização da linha em curto circuito.


78





101 102 103 104 10510-10

10-8

10-6

10-4

10-2

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


1

2

0 1 2 3 4 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


1 2

79





101 102 103 104 10510-10

10-8

10-6

10-4

10-2

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


2

1

0 1 2 3 4 5-0.015

-0.01

-0.005

0

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


1 2

80





101 102 103 104 10510-10

10-8

10-6

10-4

10-2

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


2

1

0 1 2 3 4 5-0.015

-0.01

-0.005

0

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


1 2

81

Figura 35 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.


Figura 36 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.


101 102 103 104 10510-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


1

2

0 1 2 3 4 5-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


1

2

82





101 102 103 104 10510-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


2

1

0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20 x 10-3

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


1

2

83





101 102 103 104 10510-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Frequência [Hz]

Mód

ulo

da c

orre

nte

[p.u

]


2

1

0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20 x 10-3

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


1

2

84




domínio do tempo.


RESULTANTES DA ENERGIZAÇÃO DA LINHA

Para simular as tensões e correntes durante a energização da linha, considerou-se o

circuito mostrado na figura 41.

Na figura 41, a linha de 440 kV é energizada por um gerador trifásico ideal, com

frequência de 60 Hz.

Foram realizadas simulações considerando uma linha de 200 km alimentando cargas

trifásicas com impedância por fase de 1000 Ω.

Figura 41 - Energização da linha trifásica.


85

Figura 42 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. Modelo proposto (1) e modelo clássico (2).


Figura 43 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.Modelo proposto (1) e modelo clássico (2).


0 5 10 15 20-400

-200

0

200

400

600

800

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V]


1

2

0 5 10 15 20-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V]


1

2

86

Figura 44 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.Modelo proposto (1) e modelo clássico (2).


Figura 45 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B) das fases 1, 2 e 3 pelo modelo proposto, para uma linha de 200 km.


0 5 10 15 20-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V]


2

1

0 5 10 15 20 25 30-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V]

(1) Tensão na fase 1(2) Tensão na fase 2(3) Tensão na fase 3

1 32

87

Na figura 45 é mostrado as três tensões de fase obtidas pelo método proposto, nota-se

que, elas estão em regime transitório até 10 ms em seguida com menos de um ciclo as tensões

entram em regime permanente. Nota-se também que, elas possuem iguais amplitudes porém,

são defasadas 120º uma das outras.


Assim, podemos dizer que o modelo proposto desenvolvido no domínio das fases, apresenta

resultados idênticos aos resultados obtidos através do modelo clássico desenvolvido no

domínio modal.


RESULTANTES DA INCIDÊNCIA DE DESCARGA ATMOSFÉRICA

Para simular a incidência de uma descarga atmosférica considerou-se o circuito

mostrado na figura 46. Essa configuração foi escolhida por ser uma configuração típica na

análise do desempenho de modelos de linhas de transmissão (GUSTAVSEN;

SEMLYEN, 1998).

Na figura 46, considerou-se uma linha trifásica com uma carga trifásica conectada em

seus terminais. No terminal emissor dessa linha, considerou-se a incidência de uma descarga

atmosférica que foi representada de acordo com as descrições técnicas obtidas junto à

InternationalElectrotechnicalCommission (IEC/60060-1, 2010), por uma função do tipo dupla

exponencial que no domínio da frequência é escrita como sendo:

bs1

as1V)s(V 0 (208)

onde:

a = 0.141 x 106 e b = 5.300 x 107;

V0=1 p.u é a amplitude da tensão aplicada no terminal emissor e s = jω.

Foram realizadas simulações considerando uma linha de 200 km alimentando cargas

trifásicas com impedância por fase de ZC=1000 Ω.

88

Figura 46 - Incidência de uma descarga atmosférica na linha trifásica com carga ZC.


Figura 47 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de 200 km, com o terminal emissor (A) em aberto.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Tempo [ms]

Tens

ão [p

.u]


21

89

Figura 48 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 2 da linha de 200 km, com o terminal emissor (A) em aberto.


Figura 49 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de 200 km, com o terminal emissor (A) em aberto


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Tempo [ms]

Tens

ão [p

.u]


21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Tempo [ms]

Tens

ão [p

.u]


21

90

Figura 50 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de 200 km, com o terminal receptor (B) em curto.




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-15

-10

-5

0

5 x 10-4

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15

20 x 10-4

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


21

91






domínio do tempo.

6.6 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi feita a verificação do desempenho do modelo proposto (domínio das

fases).

Para isso, os resultados obtidos com o modelo proposto foram comparados aos

resultados obtidos com um modelo clássico (domínio modal)

A análise considerou os parâmetros de uma linha trifásica de 440 kV e a simulações

resultantes da energização e da incidência de descarga atmosférica foram feitas.

Considerou-se uma a linha com comprimento igual a 200 km. As simulações foram

realizadas no domínio da frequência e convertidas para o domínio do tempo através de um

programa numérico que utiliza a transformada inversa de Laplace, as simulações foram

realizadas no software Matlab®.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15

20 x 10-4

Tempo [ms]

Cor

rent

e [p

.u]


21

92

Todos os resultados obtidos por meio do modelo proposto apresentam o mesmo

comportamento que os resultados obtidos por meio do modelo clássico, tanto no domínio da

freqüência, como no domínio do tempo.

Portanto, o modelo analítico desenvolvido no capítulo 5 mostrou-se eficiente e pode

ser utilizado como um modelo alternativo no cálculo das correntes e tensões da linha trifásica.

93

7 CONCLUSÃO 7.1 CONCLUSÕES GERAIS

Neste trabalho foi apresentado o desenvolvimento de um modelo de linhas de

transmissão trifásicas sem um plano de simetria vertical direto no domínio das fases, fazendo

uso da representação por quadripolo e matriz ABCD.

Para que o modelo proposto fosse desenvolvido, foi feito um estudo sobre soluções

para as equações diferencias de uma linha de transmissão. Notou-se que de maneira contrário

que ocorre em linhas monofásicas, não existe um modelo que descreve o comportamento das

correntes e tensões no domínio das fases. Isso acontece, devido ao fato de que a matriz de

transformação que decompõe a linha em seus modos de propagação, na representação modal é

geralmente obtida por meio de métodos numéricos.

Sendo assim, neste trabalho foi desenvolvida uma relação explícita entre a matriz de

transformação e os parâmetros longitudinais e transversais da linha. Essa relação deu início ao

desenvolvimento de um modelo analítico.

Durante o processo de desenvolvimento do modelo, notou-se que, para linhas

polifásicas, a obtenção analítica da matriz de transformação depende da solução de um

polinômio de grau n. Para uma linha trifásica o cálculo analítico da matriz de transformação é

conhecida. Nesse caso, é necessário obter as raízes de um polinômio de grau 3 cuja a solução

poder ser obtida pelo teorema de Cardano-Tartaglia.

Como exemplo de aplicação, considerou-se uma linha trifásica sem transposição e sem

um plano de simetria vertical. No processo de decomposição dessa linha, foi obtida uma

matriz de transformação, e essa matriz desacoplou a linha trifásica em três linhas

monofásicas.

A matriz de transformação que decompõe a linha trifásica foi obtida analiticamente,

em função dos parâmetros de impedância longitudinal e admitância transversal da linha, e a

partir dessa relação, as equações de correntes e tensões de fase da linha trifásica foram

desenvolvidas.

Obtidas as grandezas modais, o passo seguinte foi convertê-las para o domínio das

fases. O processo de conversão foi realizado, inicialmente, agrupando as grandezas modais e,

por meio de operações matemáticas foram obtidas as equações de correntes e tensões de fase

da linha. Essas equações também foram escritas unicamente em função das matrizes de

impedância longitudinal e admitância transversal da linha.

94

A validação do modelo proposto deu-se por meio de comparações de resultados de

simulações de transitórios resultantes da energização e da incidência de descarga atmosférica

na linha.

Todas as simulações realizadas mostram que os resultados obtidos com o modelo

clássico e proposto são coincidentes.

Portanto, o modelo proposto mostrou-se eficiente no cálculo das correntes e tensões de

uma linha trifásica.

As vantagens de um modelo analítico para linhas de transmissão de energia elétrica

estão listadas a seguir.

Todas as equações que representam o modelo desenvolvido são funções, unicamente,

dos parâmetros [Z] e [Y], sendo que a análise dessas funções poderá resultar na

tentativa de se obter um modelo no domínio do tempo;

Durante o desenvolvimento do modelo, as equações obtidas mostram que para sua

obtenção, não foi exigida um amplo conhecimento de análises matemáticas complexas

(como, por exemplo, os conceitos de autovetores e autovalores que são fundamentais

no modelo modal).

O desenvolvimento do modelo representado por quadripolo por meio da matriz ABCD

pode ser aplicado a linha trifásica sem plano de simetria vertical e foi capaz de simular

transitórios compostos por uma ampla faixa de frequências.

7.2 SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS

As propostas para trabalhos futuros são:

A aplicação do modelo desenvolvido em situações que modelo clássico (domínio

modal) não é tão facilmente aplicado, como por exemplo: a análise da linha

considerando a existência de curto circuito fase-terra e fase-fase.

E também que possa ser feito um estudo de referência para falta de altas impedâncias

em linhas de transmissão.

95

REFERÊNCIAS

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99

APÊNDICE A DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DOS AUTOVALORES, IMPEDÂNCIAS MODAIS, ADMITÂNCIAS MODAIS, IMPEDÂNCIAS CARACTERISTICAS E DAS FUNÇÕES DE PROPAGAÇÃO DA LINHA A.1 INTRODUÇÃO

No capítulo 5, foi desenvolvido um modelo analítico para uma linha de transmissão

trifásica não idealmente transposta e sem um plano de simetria vertical, também foi mostrado

o desenvolvimento analítico da matriz de transformação [TV].

No entanto, para que esse modelo seja considerado um modelo analítico válido, é

necessário obter uma relação explícita entre a matriz de transformação e os parâmetros da

linha, como os autovalores, as impedâncias, admitâncias modais da linha e suas das

impedâncias características e das funções de propagação.

Portanto, neste apêndice será mostrado o desenvolvimento analítico para os

autovalores e seus resultados, o desenvolvimento analítico das impedâncias modais da linha,

admitâncias modais da linha, impedâncias características e das funções de propagação da

linha.

A.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DOS AUTOVALORES Considere uma linha de transmissão trifásica sem um plano de simetria vertical dada

pela figura 9 no capítulo 5.

As matrizes de impedância longitudinal [Z] e admitância transversal [Y] para essa

linha são escritas como (KUROKAWA et al.,2005):

11 12 13

12 22 23

13 23 33

z z z[Z] = z z z

z z z

(A.1)

11 12 13

12 22 23

13 23 33

y y y[Y] y y y

y y y

(A.2)

A matriz [S] é a matriz obtida pelo produto [Z][Y] pode ser calculado como sendo:

100

11 12 13

12 22 23

13 23 33

S S S[S] S S S

S S S

(A.3)

onde:

11 11 11 12 12 13 13S z y z y z y (A.4)

12 11 12 12 22 13 23S z y z y z y (A.5)

13 11 13 12 23 13 33S z y z y z y (A.6)

21 12 11 22 12 23 13S z y z y z y (A.7)

22 12 12 22 22 23 23S z y z y z y (A.8)

23 12 13 22 23 23 33S z y z y z y (A.9)

31 13 11 23 12 33 13S z y z y z y (A.10)

32 13 12 23 22 33 23S z y z y z y (A.11)

33 13 13 23 23 33 33S z y z y z y (A.12)

onde:

11 22 33a S S S (A.13)

11 22 11 33 22 33 12 21 23 32 13 31b S S S S S S S S S S S S (A.14)

11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31c S S S S S S S S S S S S S S S S S S (A.15)

As expressões de (A.4)-(A.12) foram escritas em função única e exclusivamente das

impedâncias longitudinais [Z] e das admitâncias transversais [Y] da linha.

Aplicando o teorema de Cardano-Tartaglia na equação (106) que é um polinômio

complexo e com coeficientes complexos, e o desenvolvendo matematicamente a fim de obter

um polinômio reduzido de grau 3, obtém-se:

Fazendo:

au3

(A.16)

101

Substituindo a equação (A.16) na equação (106), para eliminar o coeficiente em λ2,

obtém-se:

3 2a a au a u b u c 03 3 3

(A.17)

Desenvolvendo a equação (A.17), obtém-se:

3 3 33 2 2 2a 2ua a ub ab cu u a ua u a

27 3 9 3 3 3 (A.18)

Resolvendo a equação (A.18), tém-se:

2 3 33 2 2a b a a ab cu u a 0

3 3 27 9 3 3

(A.19)

Reescrevendo a equação (A.19) em uma forma mais resumida, tém-se:

2 33 a 2a abu u b c 0

3 27 3

(A.20)

onde:

2ap b3

(A.21)

32a abq c27 3

(A.22)

Substituindo as equações (A.21) e (A.22) na equação (A.20), obtém-se:

3u pu q 0 (A.22)

A equação (A.22) é a equação reduzida do polinômio original dado pela equação

(106).

A fórmula de Cardano-Tartaglia é dada pela seguinte expressão:

2 3 2 33 3

q q p q q pu2 4 27 2 4 27

(A.23)

Essa fórmula nos dá três autovalores do polinômio reduzido, que somada ou subtraída

à (a/3) nos dá três autovalores do polinômio original, porém, apenas um é exato. A fórmula é

102

somada ou subtraída á (a/3) devido ao sinal que acompanha o termo de grau 3 no polinômio

original, quando o sinal for negativo a fórmula é somada à (a/3) e quando o sinal que

acompanha o termo de grau 3 for positivo a fórmula é subtraída à (a/3), logo, os autovalores

são dados:

3 3 2 2 3 23

3

23

3 3 2 2 3 23

2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27cu

3 22 3b a a

33 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c

(A.24)

3 3 2 2 3 23,

3

2

23 3 2 2 3 233

1 i 3 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27cu

6 2

1 i 3 3b a a3

3x2 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c

(A.25)

3 3 2 2 3 23,,

3

2

23 3 2 2 3 233

1 i 3 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27cu

6 2

1 i 3 3b a a3

3x2 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c

(A.26)

Como mencionado anteriormente, existe apenas um autovalor exato, e ele é dado pela

equação (A.24). Por conveniência, chamando de u=λ1 e substituindo na equação (A.24),

temos:

3 3 2 2 3 23

1 3

23

3 3 2 2 3 23

2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c3 2

2 3b a a33 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c

(A.27)

Uma vez encontrado um autovalor exato é possível obter os outros dois autovalores

por meio de uma divisão polinomial. Feito a divisão polinomial, é obtido um polinômio de

103

grau 2 e os dois autovalores restantes são calculados usando o teorema de Bhaskara e são

dados por (CASTRUCCI et al., 2012):

2 21 1 1

2

a 3 2a a 4b2

(A.28)

2 21 1 1

3

a 3 2a a 4b2

(A.29)

As equações (A.24), (A.28) e (A.29) são os autovalores exatos do polinômio original.

A.3 SIMULAÇÕES DOS AUTOVALORES

A seguir, serão mostradas as simulações dos autovalores obtidos pelo teorema de

Cardano-Tartaglia, em seguida os autovalores foram comparados com o modelo clássico. As

simulações foram feitas no domínio da frequência.

Figura 53 - Comparação dos autovalores de λ1, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2, 3 e 4 (autovalores analíticos).

Fonte: elaboração do próprio autor.

A figura 53 mostra a comparação entre os autovalores analíticos e o autovalor

numérico, nota-se que, as curvas 1 e 2 tem o mesmo comportamento, enquanto que as curvas

3 e 4 possuem o comportamento diferente. Isso se dá devido à condição que o teorema de

Cardano-Tartaglia mostra, conforme descrito no início desse apêndice.

101

102

103

104

10510

-10

10-5

100

105

1010

Frequência [Hz]

Mód

ulo

do a

utov

alor

1 [p

.u]

(1) Autovalor numérico(2) Autovalor analítico(3) Autovalor analítico(4) Autovalor analítico

4

3

2

1

104

Figura 54 - Comparação dos autovalores de λ2, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2 (autovalor analítico).


Figura 55 - Comparação dos autovalores de λ3, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2 (autovalor analítico).


101

102

103

104

105

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Frequência [Hz]

Mód

ulo

do a

utov

alor

2 [p

.u]

(1) Autovalor numérico(2) Autovalor analítico

1

2

101

102

103

104

105

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Frequência [Hz]

Mód

ulo

do a

utov

alor

3 [p

.u]

(1) Autovalor numérico(2) Autovalor analítico

1

2

105

A figura 54 mostra a comparação entre o autovalor analítico e o autovalor numérico,

nota-se que, as curvas 1 e 2 tem o mesmo comportamento, da mesma forma a figura 55

mostra a comparação entre o autovalor analítico e o autovalor numérico, e também as curvas

1 e 2 tem o mesmo comportamento.

A.4 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARAS AS MATRIZES DE IMPEDÂNCIA [Zm] E DE

ADMITÂNCIA [Ym] MODAIS

Temos que as matrizes de impedância [Zm] e de admitância [Ym] modais, são dadas

respectivamente por:

TmZ T Z T (A.30)

m VY T Y T (A.31)

Os elementos das matrizes [TV] e [TΩ] foram mostrados no capítulo 5 deste trabalho.

Desenvolvendo matematicamente a equação (A.30), temos:

m11

m m22

m33

Z 0 0Z 0 Z 0

0 0 Z

(A.32)

onde:

2 2 2m11 11 11 12 22 13 33

11 12 12 11 13 13 12 13 23

Z T z T z T z

2 T T z 2 T T z 2 T T z

(A.33)

2 2 2m 22 21 11 22 22 23 33

21 22 12 21 23 13 22 23 23

Z T z T z T z

2 T T z 2 T T z 2 T T z

(A.34)

2 2 2m33 31 11 32 22 33 33

31 32 12 31 33 13 32 33 23

Z T z T z T z

2 T T z 2 T T z 2 T T z

(A.35)

As equações (A.33)-(A.35) são os elementos da diagonal principal da matriz de

impedância modal dada pela equação (A.30).

De forma análoga, desenvolvendo matematicamente a equação (A.31), tem-se:

106

m11

m m22

m33

Y 0 0Y 0 Y 0

0 0 Y

(A.36)

onde:

2 2 2m11 V11 11 V21 22 V31 33

V11 V 21 12 V11 V31 13 V 21 V31 23

Y T y T y T y

2 T T y 2 T T y 2 T T y

(A.37)

2 2 2m22 V12 11 V22 22 V32 33

V12 V 22 12 V12 V32 13 V22 V32 23

Y T y T y T y

2 T T y 2 T T y 2 T T y

(A.38)

2 2 2m33 V13 11 V23 22 V33 33

V13 V23 12 V13 V313 13 V 23 V33 23

Y T y T y T y

2 T T y 2 T T y 2 T T y

(A.39)

As equações (A.37)-(A.39) são os elementos da diagonal principal da matriz de

admitância transversal modal dada pela equação (A.31).

A.5 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO γm E

IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA Zcm PARA CADA MODO DA LINHA

(MARTI, 1982; CHIPMAN, 1972)

A função de propagação para os modos da linha é dada por:

m m mZ Y (A.40)

Logo, a função de propagação escrita analiticamente para cada modo da linha será dada por:

modo 1

m1 m11 m11Z Y (A.41)

modo 2

m2 m22 m22Z Y (A.42)

modo 3

m3 m33 m33Z Y (A.43)

107

As equações (A.41)-(A.43) são as equações de função de propagação de cada modo da

linha e seus elementos são escritos analiticamente em função dos parâmetros da linha e

mostrados nas equações (A.33)-(A.35) e (A.41)-(A.43).

A impedância característica de cada modo da linha é dada por:

mCm

m

ZZY

(A.44)

Logo, a impedância característica escrita analiticamente para cada modo da linha será

dada por:

modo 1

m11Cm1

m11

ZZY

(A.45)

modo 2

m22Cm2

m22

ZZY

(A.46)

modo 3

m33Cm3

m33

ZZY

(A.47)

As equações (A.45)-(A.47) são as equações de impedância característica de cada

modo da linha e seus elementos são escritos analiticamente em função dos parâmetros da

linha e mostrados nas equações (A.33)-(A.35) e (A.41)-(A.43).

A.6CONCLUSÃO Neste apêndice foi apresentado o desenvolvimento analítico dos autovalores e seus

resultados. Também foi mostrado o desenvolvimento analítico das impedâncias modais,

admitâncias modais, impedâncias características e das funções de propagação da linha.

Verifica-se que todos os elementos pertencentes a eles, são escritos única e

exclusivamente em função dos parâmetros da linha trifásica.

108

APÊNDICE B DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] B.1 INTRODUÇÃO

Conforme visto, no capítulo 5, foi desenvolvido um modelo analítico para uma linha

de transmissão trifásica não idealmente transposta e sem um plano de simetria vertical.

Também foi mostrado o desenvolvimento analítico da matriz de transformação [TV].

No apêndice A, apresentou-se mostrados o desenvolvimento analítico dos autovalores

e das impedâncias [Zm] e admitâncias [Ym] modais da linha, que são de suma importância

para o desenvolvimento analítico e a validação do modelo proposto.

Neste apêndice será mostrada a aplicação completa do modelo analítico em uma linha

de transmissão trifásica não idealmente transposta e sem um plano de simetria vertical.

B.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D]

Considere uma linha de transmissão trifásica sem um plano de simetria mostrada na

figura 9 no capítulo 5.

As matrizes de impedância longitudinal [Z] e admitância transversal [Y] para essa

linha são escritas como (KUROKAWA et al., 2005):

11 12 13

12 22 23

13 23 33

z z z[Z] = z z z

z z z

(B.1)

11 12 13

12 22 23

13 23 33

y y y[Y] y y y

y y y

(B.2)

Para a linha mostrada na figura, sabemos que no domínio modal as matrizes de

impedância longitudinal [Zm] e de admitância transversal [Ym], são escritas, respectivamente,

como (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

TmZ T Z T (B.3)

m VY T Y T (B.4)

109

Nas equações (B.3) e (B.4), a matriz [TV] é uma matriz cujas colunas são os

autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y]. A matriz [TΩ] é a inversa da matriz

de transformação [TV] e ([TΩ])T é a matriz transposta da matriz inversa [TΩ].

Os elementos da matriz [TV] são complexos e variáveis em relação à frequência, o que

dificulta a implementação dos mesmos em programas que realizam simulações diretamente no

domínio do tempo. Conforme mostrado anteriormente, as matrizes [TV] e [TΩ] são dadas pelas

equações (118) e (161) no capítulo 5.

As matrizes [Zm] e [Ym] são as matrizes diagonais conforme mostrado no apêndice A

deste trabalho (BUDNER, 1970).

No domínio modal, a linha trifásica mencionada anteriormente é representada por

meio de seus três modos de propagação que se comportam como três linhas monofásicas

independentes. A figura 56 mostra um modo genérico de uma linha de transmissão trifásica.

Figura 56 - Linha trifásica genérica.


Na figura 56, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha

trifásica e [TV] é a matriz que decompõe a linha trifásica bifásica em seus modos. Essa matriz

é expressa em função dos parâmetros da linha trifásica, ou seja, [TV]é a matriz cujas colunas

são os autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y].

Verifica-se que na Figura 56, as componentes modais da linha trifásica são os modos

1, 2 e 3, sendo que esses modos se comportam como sendo linhas monofásicas independentes

cujas equações são conhecidas. Uma vez que os elementos da matriz [TV] são obtidos

analiticamente, é possível estabelecer uma relação entre essas equações e os parâmetros da

linha trifásica (BUDNER, 1970):

Am Bm m cm Bm mV V cosh( d) Z I senh( d) (B.5)

Am Bm m Bm mCm


(B.6)

110

Nas equações (B.5) e (B.6) d é o comprimento da linha, γm é a função de propagação

nos modos da linha de transmissão. O termo Zcm é a impedância característica nos modos da

linha e elas são escritas como sendo (MARTI, 1982; CHIPMAN, 1972).

m m mZ Y (B.7)

mCm

m

ZZY

(B.8)

Considere o modo 1, representado na Figura 57 mostrada logo abaixo.








Am1 Bm1 m1 Cm1 Bm11 m1V V cosh( d) Z I senh( d) (B.9)

Am Bm1 m1 Bm1 m1Cm1


(B.10)

Nas equações (B.9) e (B.10), os termos γm1 e ZCm1 são, respectivamente, a função de




A B IBm1 IAm1

solo

VBm1 VAm1

Modo 1

111


Fonte: Elaboração do próprio autor









(B.12)





Figura 59- Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 3.

Fonte: Elaboração do próprio autor



A B IBm2 IAm2

solo

VBm2 VAm2

Modo 2

A B IBm3 IAm3

solo

VBm3 VAm3

Modo 3

112







(B.14)




É possível escrever as equações (B.9), (B.11) e (B.13) na forma matricial, assim:

Am1 m1 Bm1

Am 2 m 2 Bm 2

Am 3 m 3 Bm 3

Cm1 m1 Bm1

Cm 2 m 2 Bm 2

Cm 3 m 3 Bm 3

V cosh( d) 0 0 VV 0 cosh( d) 0 VV 0 0 cosh( d) V

Z senh( d) 0 0 I0 Z senh( d) 0 I0 0 Z senh( d) I

(B.15)

De forma análoga, é possível escrever as equações (180), (182) e (184) na forma

matricial, logo:

m1Cm1

Am1 Bm1

Am 2 m2 Bm2Cm2

Am3 Bm3

m3Cm3

m1 Bm1

m2 Bm 2

m3 Bm3

1 senh( d) 0 0Z

I V1I 0 senh( d) 0 V

ZI V

10 0 senh( d)Z

cosh( d) 0 0 I0 cosh( d) 0 I0 0 cosh( d) I

(B.16)

As equações (185) e (186) podem ser escritas de forma mais resumida, desta maneira:

113

A m 1 Bm 2 BmV F V F I (B.17)

A m 3 Bm 4 BmI F V F I (B.18)

onde:

m1

1 m2

m3

cosh( d) 0 0F 0 cosh( d) 0

0 0 cosh( d)

(B.19)

Cm1 m1

2 Cm2 m2

Cm3 m3

Z senh( d) 0 0F 0 Z senh( d) 0

0 0 Z senh( d)

(B.20)

m1Cm1

3 m2Cm2

m3Cm3

1 senh( d) 0 0Z

1F 0 senh( d) 0Z

10 0 senh( d)Z

(B.21)

1 4F F (B.22)

Nas equações (B.19)-(B.22), verifica-se que as funções de propagação, γm1, γm2 e γm3 e

as impedâncias características, ZCm1, ZCm2 e ZCm3 são conhecidas e são funções dos

parâmetros da linha trifásica. O cálculo desses elementos será mostrado no apêndice A deste

trabalho.

Temos que as grandezas de fase-modo obedecem às seguintes relações:

Tm I fV T [V ] (B.23)

1m I fI T [I ]

(B.24)

Na equação (B.23) [Vf] é o vetor com as tensões de fase da linha, enquanto que [Vm] é

o vetor com as tensões modais da linha, e na equação (B.24) [If] é o vetor com as correntes de

fase da linha e [Im] é o vetor com as correntes modais da linha.

114

Na equação (B.24) [TI] é uma matriz cujas colunas são os autovetores associados aos

autovalores do produto [Y][Z], e [TI]-1 é a inversa da matriz [TI]. As matrizes [TV] e [TI]

obedecem a seguinte relação (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):

TIT T (B.25)

Substituindo as equações (B.17) e (B.18) nas equações (B.23) e (B.24),

manipulando-as matematicamente e as deixando em função da matriz de transformação [TV]

dada pela relação (B.25), obtêm-se:

TA f V 1 B f V 2 V B fV = T F T V T F T [I ] (B.26)

T T TA f 3 B f 3 V B f[I ] T F T V T F T [I ] (B.27)

Onde, [VAf] e [VBf] nas equações (B.26) e (B.27) são os vetores com as tensões de fase

no terminal emissor A e no terminal receptor B respectivamente, e [IAf] e [IBf] sãos os vetores

com as correntes de fase no terminal emissor A e no terminal receptor B. Logo, as equações

(B.26) e (B.27) podem ser escritas, resumidamente, como sendo:

A f Bf B fV A V B I (B.28)

A f Bf B f[I ] C V D I (B.29)

Seguindo a mesma linha de representação por um quadripolo mostrado na equação

(62) no capítulo 4 deste trabalho, as equações no domínio das fases descritas nas equações

(B.28) e (B.29) são reestruturadas como:

A f Bf

Af Bf

V VA BI IC D

` (B.30)

onde:

V 1A T F T (B.31)

TV 2 VB = T F T (B.32)

T3C T F T (B.33)

115

T T4 vD T F T (B.34)

Desenvolvimento analítico da matriz [A] dada pela equação (B.31).

A matriz [A] pode ser reescrita como:

v11 v12 v13 m1 11 12 13

v21 v22 v23 m2 21 22 23

v31 v32 v33 m3 31 32 33

T T T cosh( d) 0 0 T T TA T T T 0 cosh( d) 0 T T T

T T T 0 0 cosh( d) T T T

(B.35)

Assim, desenvolvendo a equação (B.35), obtêm-se:

11 V11 11 m1 V12 21 m2 V13 31 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.36)

12 V11 12 m1 V12 22 m 2 V13 32 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.37)


21 V21 11 m1 V22 21 m2 V 23 31 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.39)






Reescrevendo as equações (B.36)-(B.44) e as deixando na forma matricial, tem-se:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A AA A A A

A A A

(B.45)

Desenvolvimento analítico da matriz [B] dada pela equação (B.32).

A matriz [B] pode ser reescrita como:

116

v11 v12 v13 Cm1 m1

v21 v22 v23 Cm2 m2

v31 v32 v33 Cm3 m3

v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33

T T T Z senh( d) 0 0B T T T 0 Z senh( d) 0

T T T 0 0 Z senh( d)

T T TT T TT T T

(B.46)


2 2 211 V11 Cm1 m1 V12 Cm2 m2 V13 Cm3 m3B T Z sen h( d) T Z sen h( d) T Z sen h( d) (B.47)

12 V11 V21 Cm1 m1 V12 V22 Cm2 m2 V13 V23 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.48)



2 2 222 V21 Cm1 m1 V 22 Cm2 m2 V23 Cm3 m3B T Z sen h( d) T Z sen h( d) T Z sen h( d) (B.51)




2 2 233 V31 Cm1 m1 V32 Cm2 m2 V33 Cm3 m3B T Z sen h( d) T Z sen h( d) T Z sen h( d) (B.55)


11 12 13

21 22 23

31 32 33

B B BB B B B

B B B

(B.56)

Desenvolvimento analítico da matriz [C] dada pela equação (B.33).

A matriz [C] pode ser reescrita como:

117

m1Cm1

11 21 31

12 22 32 m2Cm2

13 23 33

m3Cm3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 senh( d) 0 0Z

T T T1C T T T 0 senh( d) 0

ZT T T

10 0 senh( d)Z

T T TT T TT T T

(B.57)


2 2 2

11 21 3111 m1 m2 m3

Cm1 Cm2 Cm3

T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)

Z Z Z (B.58)

11 12 21 22 31 3212 m1 m2 m3

Cm1 Cm 2 Cm3

T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)

Z Z Z (B.59)

11 13 21 23 31 3313 m1 m 2 m3

Cm1 Cm2 Cm3


Z Z Z (B.60)

12 11 22 21 32 3121 m1 m2 m3

Cm1 Cm 2 Cm3


Z Z Z (B.61)

2 2 2

12 22 3222 m1 m2 m3

Cm1 Cm2 Cm3


Z Z Z (B.62)

12 13 22 23 32 3323 m1 m 2 m3

Cm1 Cm2 Cm3


Z Z Z (B.63)

13 11 23 21 33 3131 m1 m 2 m3

Cm1 Cm 2 Cm3


Z Z Z (B.64)

13 12 23 22 33 3232 m1 m2 m3

Cm1 Cm2 Cm3


Z Z Z (B.65)

2 2 2

13 23 3333 m1 m2 m3

Cm1 Cm2 Cm3


Z Z Z (B.66)


118

11 12 13

21 22 23

31 32 33

C C CC C C C

C C C

(B.67)

Desenvolvimento analítico da matriz [D] dada pela equação (B.34).

A matriz [D] pode ser reescrita como:

11 21 31 m1

12 22 32 m2

13 23 33 m3

v11 v21 v31

v12 v22 v32

v13 v23 v33

T T T cosh( d) 0 0D T T T 0 cosh( d) 0

T T T 0 0 cosh( d)

T T TT T TT T T

(B.68)


11 11 V11 m1 21 V12 m 2 31 V13 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.69)

12 11 V21 m1 21 V 22 m2 31 V23 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.70)


21 12 V11 m1 22 V12 m2 32 V13 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.72)

22 12 V21 m1 22 V22 m2 32 V 23 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.73)






11 12 13

21 22 23

31 32 33

D D DD D D D

D D D

119

Na equação (B.30), as matrizes [A], [B], [C] e [D] correspondem, respectivamente, às

funções matriciais [F1], [F2], [F3] e [F4] mostradas no capítulo 4, nas equações (77) e (78).

B.3 CONCLUSÃO

No capítulo 4, foi mostrado um modelo analítico para uma linha de transmissão

trifásica sem plano de simetria vertical.

No entanto, para que o modelo seja válido, as matrizes correspondentes a este modelo,

devem ser obtidas analiticamente em função dos parâmetros da linha.

Assim, o propósito deste apêndice foi mostrar o desenvolvimento analítico das

matrizes [A], [B], [C] e [D].

Uma vez que essas matrizes são conhecidas, o modelo proposto pode ser aplicado em

uma linha trifásica.

representação de linhas de transmissão trifásicas ......domínio das fases a partir da...

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