UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAS APLICADAS

CIÊNCIAS ECONÔMICAS

Rendas Certas, Séries Financeiras ou Séries de Pagamentos

Trabalho produzido por

Recife, Abril de 2013

Introdução

O processo de capitalização se concretiza através do fluxo monetário captado ou

aplicado, em períodos diferentes, que objetivam a formação de um certo capital, ou o

pagamento de uma dívida qualquer, que denominamos de renda monetária.

Que ainda pode ser classificada quanto às seguintes variáveis:

1) Quanto aos períodos:

-Períodos Unitários: quando o período é coincidente com o período da taxa

(efetiva) empregada.

-Períodos Múltiplos: se o período entre dois termos for múltiplo do período da

taxa.

-Períodos fracionários: período entre dois termos como submúltiplo do período

da taxa.

-Período Continuo: para períodos infinitesimais entre os termos.

2) Quanto ao prazo de duração:

-Rendas Temporárias: número definido de termos.

-Rendas Perpétuas: número indefinido de termos.

3) Quanto à carência de pagamentos:

-Rendas Imediatas: não existe carência antes do(s) primeiro(s) termo(s).

-Rendas diferidas: há exigência de diferimento ou carência antes do(s)

primeiro(s) termo(s).

4) Quanto aos vencimentos:

-Postecipados ou vincendos: quando os termos da renda sempre se localizam no

final dos sucessivos períodos.

-Antecipados ou vencidos: para os termos da renda se verificando no início dos

sucessivos períodos.

Teoria Matemática

1) Montante ou valor futuro das rendas certas temporárias imediatas de termos constantes

Definimos montante de uma renda certa como a soma dos montantes de seus respectivos termos, dispondo os termos da renda nos sucessivos períodos e aplicando o conceito de capitalização para um capital isolado temos que:

F = C . (rn – 1/ i )

O fator financeiro entre parênteses (rn – 1/ i ), tem a denominação de FATOR ACUMULAÇÃO DE CAPITAL para uma série uniforme. O fator financeiro é determinado pelo uso de tabelas financeiras usuais ou por meio de calculadoras eletrônicas.

Exemplo:

Se depositarmos R$ 100.000,00 trimestralmente em uma instituição financeira que fornece uma taxa de juros compostos de 15% a.t. durante 2 anos e 6 meses, quanto teremos acumulado ao fim deste período ?

F = C . (rn – 1/ i ) = 100000 . 20,30371824 = R$ 2.030.371,82

1.1) Montante ou valor futuro das rendas certas temporárias diferidas de termos constantes

O cálculo dos montantes das rendas imediatas é pura e simplesmente a aplicação do somatório aos montantes parciais dos termos de renda, verificando o correto princípio da capitalização.

Exemplo:

Que fórmula teríamos para o montante da renda certa diferida de termos postecipados, conforme o esquema abaixo, para uma taxa de juros compostos “i” por

período.

Onde:

n = número de capitais ou de termosk = diferimento ou prazo de carência

Solução: Se aplicarmos o princípio do somatório, obteremos:

F = Σnt=1 C . rn+k-t C . rn+k Σn

t=1 r-t

F = C . rn+k (1 – vn/ i )

2) Valor atual ou valor presente das rendas certas temporárias de termos constantes

Valor atual pode ser definido como somatório dos valores atuais dos seus respectivos termos, Σn

t=1 Pt . Dispondo os termos de renda nos sucessivos períodos e aplicando o conceito de valor presente para um capital isolado, temos:

Pn = C . vn

Aplicando a definição de valor atual para a renda certa imediata postecipada,

P = C . Σnt=1 vt

, sabendo que Σnt=1 vt = (1 – vn ) / i ,substituímos e obtemos:

P = C .[ (1 – vn ) / i ]

Exemplo:

Que preço máximo estaríamos dispostos a pagar a vista por uma mercadoria, se a sua venda a prazo é realizada mediante um pagamento de R$ 100.000,00 na data de compra, seguido de 18 pagamentos mensais postecipados de R$ 5.000,00 cada ? Admita uma taxa de juros compostos de 4,5% a.m.

Solução: P = Entrada + C . [ (1 – vn ) / i ] = R$ 160.799,96

2.1) Valor atual das rendas certas perpétuas

Por não ter significado financeiro a determinação de montantes ou valores futuros das rendas certas perpétuas, iremos mostrar através de exemplo a determinação dos valores atuais das rendas certas perpétuas.

Exemplo: Dada uma renda certa perpétua, imediata e postecipada, qual vai ser seu valor presente?

Solução:

P = Σ∞ t=1 Pt = C . limn -> ∞ [(1 – vn) / i] = C . (1 / i )

3) Rendas certas de termos variáveis

Essa alternativa de se ter a renda certa de termos variáveis ocorre comumente não apenas com pessoas físicas, ao adquirirem mercadorias ou imóveis no longo prazo, mas também com pessoas jurídicas que possuem fluxo de receitas ou de despesas que variam no tempo, em função das condições de mercado ou das medidas arbitradas pelas autoridades monetária e fiscal.

Neste tópico iremos apenas ajustar as fórmulas para montante e valor atual para as rendas certas de termos variáveis em progressão aritmética ou geométrica, e dar uns exemplos para melhor entendimento.

3.1) Rendas certas de termos variáveis em progressão aritmética ( ou em gradiente)

C = 1º termo da renda certaα = razão de variação aritmética

Montante:

F = [C + (α / i)] . Sn ┐i – (nα / i )

Valor atual :

Para a determinação do valor atual das rendas certas de termos variáveis em progressão aritmética, devemos aplicar simplesmente o fator financeiro “vn” sobre o valor do montante.

P = vn . F

Ou

P = [C + (α / i)] . a n ┐i - (nα . vn) / i

Exemplo: Uma empresa possui um débito cuja amortização é representada por 18 pagamentos mensais crescentes em progressão aritmética. Sabendo-se que a empresa está disposta a renegociar os pagamentos de sua dívida com o credor, quando é estabelecida uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., determinar o pagamento único a vencer no final do 18º mês.Dados:C = R$ 10.000,00α = - R$ 200,00i = 3,5 a.m.

Solução : F = P18 = [C + (α / i)] . a n ┐i - (nα . vn) / i

Logo, P18 = R$ 207.855,82

3.2) Rendas certas de termos variáveis em progressão geométrica

C = 1º termo da renda certag = razão da variação geométrica

Montante:

F = C . rn-1 {[(gv)n-1] / gv – 1 }

Valor Atual:

Aplicamos o fator financeiro na fórmula do montante e teremos determinado nosso valor atual.

P = C . v {[(gv)n-1] / gv – 1 }

Exemplo: Um terreno é vendido mediante 36 prestações mensais postecipadas variáveis em progressão geométrica. Sabendo-se que a primeira prestação é de R$ 1.000,00 e as demais são crescentes à razão de 10% sobre as anteriores, e que a taxa vigente no mercado é de 30% a.a. com capitalização mensal, determinar o valor à vista do terreno.

Dados:

C = R$ 1.000,00n = 36 mesesg = (1+0,10) = (1,10)i = J / 12 = 2,5 % a.m.

Solução:

P = C . v {[(gv)n-1] / gv – 1 }

P = R$ 156.106,79

Exercícios

 1) (ESAF) João tem um compromisso representado por 2 promissórias: uma de R$200.000,00 e outra de R$ 250.000,00, vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente.Prevendo que não disporá desse valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 meses. Sabendo-se que o banco adota em juros compostos de 5% a.m., o valor da nota promissória é de, em R$ (desprezar os centavos no resultado final).

a) 420.829,00b) 430.750,00c) 445.723,00d) 450.345,00e) 456.703,00

2) (ESAF) Dois esquemas financeiros são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros,quando apresentam:a) os mesmos valores de aplicações nas datas iniciais e aplicações diferenciadas nasdemais datas, sendo equivalentes as taxas de juros de aplicações b) o mesmo valor atual, em qualquer data, à mesma data, à mesma taxa de jurosc) a mesma soma de pagamentos nos seus perfis de aplicaçõesd) o mesmo prazo total para suas aplicações

3) (ESAF) Uma empresa tem um compromisso de R$ 100.000,00 para ser pago dentro de30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propõe ao banco a seguinte forma de pagamento: R$ 20.000,00 antecipados, à vista, e 2 pagamentos iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 7% a.m., o valor dessas parcelas deve ser de, em R$:a) 43.473 b) 46.725c) 46.830d) 47.396e) 48.377

4) (Caixa Econômica Federal 2010/ CESPE) Se uma dívida no valor de R$ 10.000,00 for paga, com juros de 5% ao mês, em 4 prestações mensais e consecutivas, pelo sistema de amortização constante (SAC), a soma das prestações pagas será igual a:

a) R$ 11.150,00 b) R$ 11.250,00 c) R$ 11.350,00 d) R$ 11.450,00 e) R$ 11.550,00

5) (Caixa Econômica Federal 2010/ CESPE) Um servidor se aposentará daqui a 200 meses e pretende aplicar, durante esse período, uma mesma quantia mensal em uma instituição financeira que paga juros compostos mensais de 0,8%. Ele pretende obter, ao final desses 200 meses, um montante que lhe permita fazer retiradas mensais de R$ 784,00 durante os 25 anos seguintes à sua aposentadoria. Nessa situação, considerando 4,92 e 0,09 como valores aproximados para 1,008200 e 1,008-300 , respectivamente, a quantia a ser aplicada mensalmente pelo servidor durante os 200 meses deverá ser igual a:a) R$ 212,00 b) R$ 202,00 c) R$ 192,00 d) R$ 182,00e) R$ 172,00

6) (Caixa Econômica Federal 2010/ CESPE) Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5ª prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta.a) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês.b) Todas as prestações foram de mesmo valor.c) Após a 5ª amortização, o valor da dívida era de R$ 4.000,00.d) O valor dos juros pagos na 3ª prestação foi de R$ 200,00.e) A soma das 3ª e 6ª prestações foi igual a R$ 4.000,00.

Bibliografia

FERREIRA, Roberto G. Matemática Financeira Aplicada (7ª edição). São Paulo: Editora Atlas S.A., 2010.