PIBIC-UFU, CNPq & FAPEMIG Universidade Federal de Uberlândia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação DIRETORIA DE PESQUISA

REMOÇÃO DE RUÍDO EM IMAGENS COLORIDAS

Henrique Coelho Fernandes1 Universidade Federal de Uberlândia – Av João Naves de Ávila 2121. Bairro Santa Mônica. Uberlândia, Minas Gerais. henriquecoelhofernandes@gmail.com Prof. Dra. Celia Aparecida Zorzo Barcelos2 Universidade Federal de Uberlândia celiazb@ufu.br Resumo: Devido ao advento das câmeras digitais e dos computadores pessoais com grande capacidade de armazenamento, o número de imagens digitais armazenadas tem crescido exponencialmente. Por isso se faz importante que técnicas eficientes, para o armazenamento e para o processamento digital dessas imagens, sejam desenvolvidas. Este processamento é feito para que se possa extrair informações relevantes dessas imagens. Um dos principais problemas, em se tratando de imagens, são os ruídos que muitas vezes são provenientes de sua própria aquisição. Apresentamos neste relatório resultados obtidos na exploração da remoção de ruídos em imagens digitais coloridas via equações diferenciais parciais. A remoção de ruído foi estudada usando duas decomposições distintas das cores: RGB e L*a*b*. Resultados experimentais são apresentados e discutidos. Palavras-chave: imagem digital, remoção de ruído, equações diferenciais parciais, modelo RGB, modelo L*a*b*.

1. INTRODUÇÃO

Atualmente é extremamente fácil a aquisição de imagens digitais bem como seu

armazenamento. Entretanto, pequenas distorções podem aparecer na imagem, o que chamamos de ruído. Estas distorções podem dificultar a extração de informação relevante da imagem. Por isso, em várias aplicações, é preciso remover esse ruído para depois extrair a informação da imagem. Alguns exemplos de aplicações onde precisamos remover ruído são: imagens de satélites usadas em sensoriamento remoto e imagens médicas usadas para diagnostico automático.

Vários são os métodos de remoção de ruído, contudo efeitos indesejados, como o deslocamento de bordas, tornam alguns métodos ruins quando se deseja eliminar informações irrelevantes e ao mesmo tempo manter inalteradas as bordas físicas. A busca por um método que ofereça bom desempenho é alvo de várias pesquisas, ou seja, um método que suavize mais intensamente as regiões homogêneas da imagem, retirando as informações de menor contraste, geralmente relacionadas com ruído e elementos de textura e mantenha inalteradas em termos de completeza e localização, as bordas de contraste melhor definido, possibilitando detectar principalmente os contornos dos objetos.

Em processamento de imagens, métodos de eliminação de ruídos são denominados filtros. O uso de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) têm se tornado uma alternativa em substituição aos filtros Gaussianos os quais, tendem a suavizar demais as imagens, e podem perder importantes características como bordas, quinas, junções, etc. Vários autores usam EDPs para realizar a remoção de ruído tais como: [2], [3], [7], [8], [9].

Os resultados obtidos usando equações diferenciais parciais mostram uma significativa melhora na qualidade das imagens filtradas com perda mínima de resolução.

1 Aluno do curso de Bacharelado em Ciência da Computação – Faculdade de Computação 2 Professora Orientadora – Faculdade de Matemática

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2. FUNDAMENTOS

2.1. Imagem Digital

O termo imagem refere-se à função bidimensional de intensidade da luz f(x,y), onde x e y denotam as coordenadas espaciais e o valor de f em qualquer ponto (x,y) é proporcional ao brilho da imagem (ou nível de cinza) naquele ponto. Em termos computacionais uma imagem é representada por uma matriz onde cada posição da matriz corresponde ao nível de cinza naquele ponto. Processamento de imagens é qualquer procedimento/processamento efetuado nessa imagem para melhorar a informação visual para interpretação do olho humano ou para possibilitar a percepção automática da cena através de máquinas.

O uso de cores em processamento de imagens é motivado por dois fatores principais: primeiramente, em análise de imagens automatizadas, a cor é um descritor poderoso que freqüentemente simplifica a identificação de um objeto e a extração de uma cena. Em segundo lugar, em análise de imagens desempenhada por seres humanos, a motivação para o uso de cores é que o olho humano pode discernir milhares de tons e intensidades de cores [1]. Existem diversas formas de representar o espaço de cores, apresentaremos os modelos RGB e L* a* b* que foram os estudados no estágio.

2.2. Modelo de Cores

O propósito de um modelo de cores é facilitar a especificação das cores em alguma forma

padrão e de aceite geral. Essencialmente, um modelo de cor é uma especificação de um sistema de coordenadas tridimensionais e um subespaço dentro deste sistema onde cada cor é representada por um único ponto.

A maioria dos sistemas de cores atualmente em uso são orientados para o hardware (tais como para monitores coloridos e impressoras) ou para aplicações envolvendo manipulação de cores (tais como na criação de gráficos de cores para animação). Os modelos orientados para hardware mais comumente usados na prática são o RGB (“red, green, blue”) para monitores coloridos e uma ampla classe de câmeras de vídeo a cores e o CMYK (“cyan, magenta, yellow and black”) para impressoras coloridas. O modelo L*a*b* (L – ligthness, a – red/green, b – blue/yellow), criado pela CIE - La Commision Internationale de L'Eclairage em 1976, é um modelo que objetiva representar numericamente as variações de cores percebidas pelo sistema visual humano. Assim, o modelo L*a*b* apresenta uma relação mais próxima com a forma como o ser humano percebe as cores [10, 11, 12, 13 e 14].

O modelo RGB representa, de forma simplificada, o modo como o olho humano detecta radiação eletromagnética, entretanto em muitas situações é importante utilizar um sistema que permita representar a informação de cor de maneira independente da luminância ou brilho, tal como o modelo L*a*b*. 2.2.1. Modelo RGB (Red, Green, Blue)

Uma grande porcentagem do espectro visível pode ser representada misturando-se luz vermelha, verde e azul (RGB) em várias intensidades. Onde as cores se sobrepõem, surgem o cyan, o magenta e o amarelo que são as cores secundárias da cor-luz. As cores são criadas acrescentando luz a cada uma das cores intervenientes no processo. O monitor da televisão e do computador utiliza as mesmas propriedades fundamentais da luz que ocorrem na natureza. O modelo de cores RGB é um modelo linear e por isso não consegue representar perfeitamente o

modo com que o olho humano percebe as cores. A Figura 1 representa esse modelo.

Figura 1 - Modelo RGB

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Como as cores RGB se combinam para criar o branco, também são denominadas cores aditivas. Juntando todas as cores obtemos o branco, ou seja, toda a luz é refletida de volta ao olho. As cores aditivas são usadas em vídeo e monitores. O monitor, por exemplo, cria a cor emitindo luz através de fósforo vermelho, verde e azul. Em um monitor colorido as cores são formadas pela reunião de minúsculos pontos na écran chamados pixels. A cada uma das três cores (RGB - red - green - blue) é atribuído um valor numérico de 0 a 255. Quanto mais altos os valores, maior é a quantidade de luz branca. Assim, valores elevados de RGB resultam em cores mais claras. Esse modelo de cores apresenta uma desvantagem: ele é dependente do dispositivo que é usado. Isto significa que pode ocorrer variação de cores entre monitores e scanners, podendo acarretar um desvio em suas especificações, exibindo assim, as cores de maneira diferente. A Figura 2 mostra os três canais do modelo RGB separadamente.

(a) (b) (c) (d) Figura 2 –Imagem no Modelo RGB - (a) Imagem original, (b) Canal R, (c), Canal G e (d) Canal B

2.2.2. Modelo de cores uniforme da CIE

La Commision Internationale de L'Eclairage (CIE), que em português siguinifica Comissão Internacional em Iluminação, foi fundada em 1913 como um órgão internacional autônomo para prover um fórum de troca de idéias e informações e definir padrões sobre tudo que está relacionado com iluminação. A CIE possui um comitê técnico especializado em “Visão e Cores” que tem realizado estudos em colorimetria desde sua primeira reunião em Cambridge, Inglaterra, em 1931.

Nessa época pesquisadores viram a necessidade de desenvolver um modelo de cores que conseguisse representar a cor realmente como ela é vista pelo olho humano, ou seja, mínimas diferenças de cores percebidas pelo olho deviam ser representadas matematicamente (sistema de cores uniforme). Eles tentaram fazer isso introduzindo o fator luminância em seus modelos. Os modelos de cores da CIE foram desenvolvidos para serem totalmente independentes de qualquer dispositivo ou outro meio de emissão ou reprodução e é baseado, o máximo possível, em como o homem percebe a cor.

Diversos foram os modelos de cores desenvolvidos pela CIE. Dentre eles destacamos três. (1) XYZ, ou CIE XYZ. Foi definido em 1931 e é uma simples transformação linear do sistema RGB onde o componente Y representa a luminância. (2) L*u*v*, ou CIELUV. Definido em 1976, o modelo CIELUV possibilitou a representação de diferenças mínimas de cores. Esta foi uma tentativa de criar um modelo uniforme de cores onde duas cores diferentes podem ser representadas pela distância Euclidiana entre elas. O componente L* representa a luminância (permite que a luminosidade próxima seja levada em conta na representação da cor). Os componentes u* e v* são os componentes cromáticos do sistema (red/green e blue/yellow). Com isso é possível ter a cor representada bem próxima do que o olho humano percebe. (3) L*a*b*, ou CIELAB. Também definido em 1976 e é bastante semelhante ao CIELUV. O componente L* representa a luminância e os componentes a* e b* são os componentes cromáticos do modelo. Entretanto, a* e b* são obtidos de forma diferente que os componentes u* e v*. 2.2.3. Modelo L*a*b*

4

Em 1976, o modelo de cores L*a*b* foi definido para proporcionar cores consistentes, independentes das características de qualquer componente de hardware. É um sistema de cores uniforme que utiliza o componente luminância para representar a cor.

O L*a*b* é um modelo de cores uniforme onde a distância Euclidiana entre duas cores distintas representa a diferença visual percebida pelo sistema visual humano quando comparamos estas duas cores diferentes [14].

O L*a*b* é composto por três eixos: o componente L* representa a luminância e outros dois componentes a* e b* que são ortogonais que representam cor e saturação [12]. O eixo L* vai de cima para baixo e pode variar entre 100 e 0, onde 100 representa uma reflexão perfeita da luz. Os eixos a* e b* não tem limites numéricos específicos, a* positivo é vermelho e a* negativo é verde, b* positivo é amarelo e b* negativo é azul ([10], [11] e [12]). A Figura 3 representa o modelo L*a*b*.

Para fazermos a transformação do modelo RGB para o modelo L*a*b* primeiro temos que passar pelo modelo XYZ ([13] e [14]):

(1)

Baseado nesses valores de XYZ, os componentes L*a*b* são:

(2)

onde a função f é definida como:

se q > 0,008856 (3) caso contrário.

Os termos são calculados baseados na quantidade de luminância presente na

“cena”. A figura 4 apresenta a imagem no modelo L*a*b* e cada componente separadamente.

(a) (b) (c) (d)

Figura 4 – Imagem no modelo L*a*b* - (a) Original, (b) Canal L*, (c), Canal a*e (d) Canal b*

2.3. RUÍDO

Figura 3 - Modelo L*a*b*

5

Ruído é qualquer distorção indesejada presente na imagem que não faz parte realmente da imagem original. As figuras 5 e 6 mostram imagens com e sem ruído.

(a) (b)

Figura 5 – Lena níveis de cinza - (a) Imagem Original , (b) Imagem com ruído

(a) (b)

Figura 6 - Lena colorida - (a) Imagem Original , (b) Imagem com ruído

Para extrair informações relevantes da imagem muitas vezes se faz necessário remover esta distorção indesejada. Um dos métodos usados para a remoção de ruído é a filtragem espacial. Filtros têm o objetivo de corrigir ou realçar detalhes em uma imagem. A correção é a remoção de características indesejáveis como ruídos e a melhoria/realce é a acentuação de características.

A filtragem espacial trabalha no domínio espacial. O termo domínio espacial refere-se ao agregado de pixels que compõem uma imagem, e métodos no domínio espacial são procedimentos que operam diretamente sobre estes pixels. Um filtro pode ser expresso como:

(4) em que f(x,y) é a imagem de entrada, u(x,y) é a imagem processada, e T é um operador sobre f, definido sobre alguma vizinhança de (x,y).

Um método de remoção de ruído que tem apresentado bons resultados são modelos de difusão que utilizam as Equações Diferenciais Parciais, as quais serão apresentadas na próxima seção. 2.4. EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL – EDP 2.4.1. Modelos de Difusão

Um dos primeiros trabalhos nessa área surgiu em 1980, apresentado por Marr & Hildreth [4]. O processo de suavização utilizado por eles era feito através da convolução da imagem original com o Laplaciano da função Gaussiana.

Em 1984, Koenderink [5] relacionou as estruturas das imagens à equação do calor (5), definindo um processo para suavização de imagens que utiliza a evolução temporal, onde uma família de imagens é obtida a partir do cálculo da solução de uma Equação Diferencial Parcial (EDP) para diferentes níveis de suavização:

(5)

6

onde I é a imagem original e , e .

Em 1996, J.A. Sethian [6] propôs a seguinte equação:

, em (6)

u(0,x) = I(x) em onde x = (x,y)

Esta equação ficou conhecida como equação do fluxo da curvatura média. A existência,

unicidade e estabilidade é devida a L.C. Evans [7]. Esta equação realiza uma difusão na direção ortogonal ao gradiente de u, .

Os resultados obtidos da aplicação da equação da curvatura média ainda não são capazes de preservar a localização de bordas das imagens.

Uma importante contribuição foi feita por Perona e Malik [8], que introduziram um modelo cuja idéia central consistia em realizar uma suavização seletiva na imagem, ou seja, combinaram a idéia de difusão direcionada, introduzida no método da curvatura média, com um processo de detecção de bordas:

, em (7)

em

onde é uma função suave, não crescente e, tal que , e quando . A idéia é efetuar uma difusão fraca nos pontos de onde for grande, preservando a

localização exata de um ponto de borda. A equação de Perona e Malik passou a representar um modelo de difusão não linear,

fornecendo um algoritmo com grande potencial para segmentação de imagens, remoção de ruídos, detecção de bordas e realce de imagem, tornando-se imprescindível para o surgimento de novos trabalhos nesta linha de pesquisa.

Mas, o modelo de Perona e Malik ainda apresentava inconsistências na sua formulação. Por exemplo, se a imagem é muito ruidosa, o gradiente será muito grande em quase todos os pontos e, como conseqüência a função será quase nula nestes pontos. Assim, todos os ruídos da imagem permanecem quando a mesma for processada pelo processo de suavização introduzido por esse modelo. Isso impulsionou trabalhos de pesquisas voltados ao aperfeiçoamento de novos modelos.

Uma grande contribuição foi dada por Alvarez, Lions e Morel [9], que substituíram o gradiente da função pelo produto de convolução em uma vizinhança dos pontos discretizados:

(8)

Outros trabalhos surgiram e, com o intuito de melhorar o desempenho dos modelos, alguns

termos foram acrescentados ou alterados.

2.4.2. Modelo de Difusão Bem Balanceada

Seguindo a teoria proposta por Perona e Malik, Barcelos et al. em [2] propôs um modelo de equação de difusão não linear bem balanceada. A diferença está no acréscimo de um termo na equação que força a imagem a permanecer perto da imagem original I em pontos longe da borda:

(9)

7

onde:

, , e são constantes e .

2.4.3. Discretização das equações diferenciais parciais

Geralmente, o primeiro passo de um método destinado a solução numérica de equações diferenciais é discretizar a região onde se deseja encontrar a solução. No caso deste trabalho, tem-se imagens bidimensionais representadas pela função onde se deseja encontrar a solução . Para isso é necessário discretizar o domínio da função intensidade de imagens .

As imagens digitais são representadas por matrizes. Os valores representam a intensidade do tom de cinza da imagem na posição . Usando uma notação simplificada podemos escrever representando o valor de , i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n onde m e n são as dimensões da imagem.

A região é discretizada de forma regular com pontos igualmente espaçado. Esse espaçamento tem como distância uma unidade de pixel.

Para obter as diferenças relativas às derivadas parciais, referente a função , um método bastante usado é a aproximação por diferenças finitas.

Usando o método das diferenças finitas, podemos aproximar as expressões por

(10)

(11) (12)

(13) (14)

A solução de uma equação diferencial parcial é obtida em cada tempo de escala

, onde Denota-se por .

Através da discretização de por Euler obtemos:

(15) com

, sendo I a imagem original,

e (16)

3. RESULTADOS

Para a realização dos testes foram adotados os seguintes parâmetros: Ruído: o ruído foi Gaussiano com média 0 e variância 0,05 e : o tamanho do passo da discretização usado foi de 0,3.

A Figura 7(a) mostra uma imagem sintética formada por diferentes formas geométricas e a

Figura 7(b) mostra esta mesma imagem corrompida por ruído gaussiano.

8

(a) (b)

Figura 7 – Imagem 1 - (a) Imagem original, (b) Imagem com ruído

Primeiramente realizamos os testes utilizando o modelo de cores RGB. A Figura 8 mostra os resultados da equação de suavização implementada após 30, 60, 100 e 200 iterações.

(a) (b) (c) (d)

Figura 8 – Imagem 1 suavizada no modelo RGB - (a) 30 iterações, (b) 60 iterações, (c) 100 iterações e (d) 200 iterações

Para visualização das diferenças obtidas em cada teste fizemos o plot da linha 128 das

imagens dadas nas figuras 7 e 8 em cada um dos canais de cores.As figuras 9 e 10 mostram os gráficos do primeiro canal e o comportamento dos outros canais é semelhante.

Figura 9 - Gráfico da linha 128 da imagem 1 original no modelo RGB – da esquerda para direita: Canal R, Canal G e Canal B

(a) (b) (c)

(d) (e) Figura 10 – Gráfico da linha 128 da imagem 1 processada no modelo RGB - Canal R- (a) imagem

com ruído, (b) a (e) imagem após 30, 60, 100 e 200 respectivamente.

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Utilizando o modelo RGB foi possível suavizar a imagem e verificamos que quanto maior o número de iterações mais suavizada fica a imagem. Os mesmos testes foram realizados utilizando o modelo L*a*b*. A Figura 11 mostra os resultados da aplicação da equação de suavização implementada após 30, 60, 100 e 200 iterações.

(a) (b) (c) (d) Figura 11 – Imagem 1 suavizada no L*a*b* - (a) a (d) 30, 60, 100 e 200 iterações respectivamente.

Para visualização das diferenças obtidas em cada teste novamente fizemos o plot da linha

128 das imagens dadas na Fig. 11 no primeiro canal de cor.A figura 12 mostra esses gráficos.

(a) (b) (c) (d)

Figura 12 – Gráfico da linha 128 da imagem 1 processada no modelo L*a*b* - Canal L - (a) a (d) imagem após 30, 60, 100, 200 iterações respectivamente.

4. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Além dos resultados apresentados outros exeprimentos foram realizados e em todos notamos

que a utilização do sistema de cores RGB foi mais adequado. Quando utilizamos o L*a*b* constatamos que a imagem após algumas iterações começa a sofrer um borramento mais intenso que o que ocorre quando usamos o RGB e com isso, no L*a*b* , existe uma maior perda de bordas. Isso pode ser facimente verificado quando comparamos os gráficos apresentados.

Logo, pelos resultados obtidos, a utilização do modelo L*a*b* para a remoção de ruído em imagens coloridas utilizando as Equações Diferenciais Parciais parece não ser o mais adequado pois quando usamos o modelo RGB obtemos resultados mais satisfatórios. Como em alguns trabalhos da literatura é mencionado que o sistema L*a*b* é mais adequado para tratar imagens coloridas e não foi isso que observamos nos exemplos estudados concluímos que um estudo mais aprofundado se faz necessário para afirmarmos os pontos positivos e os pontos negativos do uso de cada um dos dois modelos.

5. CONCLUSÕES

Durante a iniciação científica foram estudados dois modelos de cores distintos: o RGB e o L*a*b* . Cada um deles parece se mostrar mais apropriado para um determinado tipo de aplicação. Também foram estudados alguns métodos de remoção de ruído em imagens coloridas. Um método que vem demonstrando bons resultados é o método de suavização baseado nas Equações Diferenciais Parciais. A equação do fluxo bem balanceada foi implementada para realizar a remoção de ruído.

Aplicando o método de remoção de ruído estudado (Equações Diferenciais Parciais) em imagens coloridas (modelos RGB e L*a*b*) não foi possível, com os testes realizados, definir qual dos dois modelos se comporta melhor na aplicação de remoção de ruído. Existem indícios que o

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modelo RGB provê melhores resultados que o modelo L*a*b* na aplicação estudada. Mas isso não significa que o modelo L*a*b* é ruim mas sim que ele pode não ser adequado nesta situação. Já em outras aplicações, que não foram estudadas, o uso do modelo L*a*b* pode ser mais adequado.

Se faz necessário que estudos mais aprofundados na área sejam feitos para que um parecer mais conclusivo possa ser formulado.

6. AGRADECIMENTOS

Este trabalho foi financiado pelo CNPq (processo número 112004/2007-5). 7. REFERÊNCIAS

[1] Gonzalez, R. C.; Woods, R. E. Processamento de Imagens Digitais; tradução CESAR JUNIOR, R. M.; COSTA, L. C. – São Paulo: Editora Blucher, 2000. [2] Barcelos, C.A. Z.; Boaventura, M.; Júnior, E. C. S.; A well-balanced flow equation for noise removal and edge detection. IEEE Transaction on Image Processing, Vol.12, N.7, 2003. [3] Demirkaya, O; Anisotropic diffusion filtering of PET attenuation data to improve emission images. Physics in Medicine and Biology, v. 47, p. 271-278, 2002. [4] D. Marr and E. Hildreth; Theory of Edge Detection, 1980, Proc. Roy. Soc, London Ser. B, 207, pp. 187-217. [5] Koenderink, J. J.; 1984. The Structure of Images, Biol. Cybernet, 50, pp. 363-370. [6] Sethian, J.A.; Level Set Methods, Cambridge University Press, 1996. [7] Evans, L.C.; Spruck, J.. Motion of level sets by mean curvature. I. J. Differ. Geom., 33 (1991). [8] Malik, J., Perona , P; Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE TPAMI, 12, No. 7 (1990), 629-639. [9] Alvarez, L., Lions, P.L., Morel, J.M.; Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM J. Numer. Anal., 29 (1992), 845-866. [10] Hunter Associates Laboratory Applications Note, Insight on Color – CIE L*a*b** Color Scale, Vol. 8, No. 7 – Reston, Virginia, 2008. [11] Kasson, J. M., Plouffe, W.; An Analysis of Selected Computer Interchange Color Spaces, ACM Transactions on Graphics, Vol. 11, No. 4, Pages 373-405, October 1992. [12] Acharya, T.; Ray, A. K.; Image processing: principles and applications – 2005.

COLOR IMAGE DENOISING

Henrique Coelho Fernandes Federal University of Uberlandia – Av João Naves de Ávila 2121. Bairro Santa Mônica. Uberlandia, Minas Gerais. henriquecoelhofernandes@gmail.com Prof. Dra. Celia Aparecida Zorzo Barcelos Federal University of Uberlandia celiazb@ufu.br Abstract: Due to the advent of digital cameras and personal computers with large storage capacity, the number of stored digital images has grown exponentially. Therefore it is important that efficient techniques, for the storage and processing of digital images, are developed. This processing is done so that it can extract relevant information of these images. A major problem in image are the noises that are often come from their acquisition. We present in this report some results from image denoise using Partial Differential Equations. The denoising was studied using two different decompositions of colors: RGB and L * a * b *. Experimental results are also presented and discussed. Key-words: digital image, dinoising, partial differential equations, RGB model, L*a*b* model.