UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

CAMPUS CATALÃO

CURSO DE ENGENHARIA DE MINAS

CALCULO II

PAULO GALDINO

Multiplicadores de Lagrange.

Catalão - GO

2015

Hiago Rodrigues

Gabriel de Araújo

João Victor Queiroz

Arthur Coelho

Matheus Coutinho

Utilização do Mutiplicador de Lagrange na área da

Mineração.

Catalão 24 de junho de 2015.

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO...........................................................................................................4

1.1 PORQUE UTILIZAR OS MULTIPLICADOR DE LAGRANGE...............................................4

1.2 PROBLEMA A SER RESOLVIDO........................................................................................5

2. RESOLUÇÃO ITEM A)...................................................................................................6

2.1 Resolução item b)........................................................................................................8

2.1.1 RESOLUÇÃO ITEM C).................................................................................................11

2.2 Conclusão..................................................................................................................11

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1. Introdução

O nióbio é o mais leve metal refratário e apresenta uma elevada temperatura

de fusão (2.468°C). Graças a esta propriedade, as ligas de nióbio se apresentam

como soluções estruturais para aplicações a altas temperaturas: acima de 600°C em

ligas à base de níquel e até 1.300°C em ligas à base de nióbio.·.

As temperaturas inferiores a -264°C, o nióbio possui propriedades

supercondutoras. Conduz corrente elétrica livre de resistência em grandes

densidades, favorecendo campos e forças magnéticas que viabilizam aplicações

práticas nas áreas de diagnósticos médicos, pesquisa de materiais e em transportes.

1.1 Porque utilizar os multiplicadores de Lagrange?

Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores

de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de

uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições. Além disso, exige

menos cálculos que o método tradicional em que é necessário encontrar os pontos

críticos e aplicar o teste da segunda derivada.

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1.2 Problema a ser resolvido

Uma determinada empresa de mineração de Nióbio deseja construir um

galpão em um terreno triangular para colocar caixas, as quais irão conter alumínio

beneficiado por essa empresa. As caixas serão fabricadas para ter um volume

máximo de 2m³ pois a empilhadeira que a empresa possui levanta uma carga com

no máximo de 5450kg e cada caixa com o minério beneficiado terá praticamente

esse peso. A empresa deseja evitar muitos custos e por isso precisa que seu galpão e

suas caixas tenham certas dimensões e que apenas uma caixa pode ser colocada

sobre outra para não estragar a caixa inferior. O problema para a construção do

galpão é que ele deve estar dentro dos limites do terreno da empresa e que uma

estrada ficará próxima a ele.

O objetivo será utilizar os multiplicadores de Lagrange para encontrar as

dimensões do galpão de modo que ele tenha uma área máxima dentro dos limites do

terreno da empresa e encontrar as dimensões da caixa que irão gerar o menor custo

para a mesma. E por fim, determinar quantas caixas será colocado no galpão e o

custo total de fabricação delas.

Seja a região triangular que a empresa possui dada em metros, limitada

por x0, y0 que são os limites do terreno da empresa e que r: x+2y=100

representa a reta que limita o tamanho do terreno devido à estrada que ficará

próxima ao galpão. Deseja-se construir o alicerce de um galpão retangular, em que

um de seus vértices está contido na reta x+2y=100. Determine a área máxima

possível para o alicerce do galpão.

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2. Resolução

As condições impostas são:

Pela equação da reta observa-se que:

A partir destes dados podemos representar a reta r e o alicerce do galpão.

Sabemos que a área do retângulo que irá representar o alicerce

. Então, sejam e . Assim,

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queremos maximizar A(x,y) sujeito a restrição de f(x,y). Pelo método dos

multiplicadores de Lagrange, temos:

A(x,y)= = =(x,y) A(x,y)=(y,x)

f(x,y)= = = (1,2) f(x,y)=(1,2)

Assim, temos o seguinte sistema:

→

Substituindo os valores de *e** em *** obtemos:

Substituindo o valor de em * e ** teremos:

Assim, encontramos os valores de x e y que irão maximizar a área do galpão.

Agora basta substituir estes valores na função A (x,y).

Portanto, o galpão que a empresa irá construir terá área máxima de 1250m².

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Sabendo que o volume da caixa deve ser V=2m³ e que o custo de

fabricação da caixa é de R$3,00 por metro quadrado, determine as dimensões da

caixa de modo que o custo da empresa seja o mínimo possível.

Restrição:

2.1 Resolução

De acordo com o enunciado a caixa pode ser representada no gráfico a seguir:

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A função que vamos minimizar é C(x, y, z), pelo método dos multiplicadores

de Lagrange temos:

V(x,y,z)= = =(yz,xz,xy)

V(x,y,z)= (yz,xz,xy)

C(x,y,z)= =

C(x,y,z)=(6y+6z,6x+6z,6x+6y)

Assim, temos o seguinte sistema:

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De * segue que x0, y0 e z0. A partir de **,*** e **** concluímos que

0, pois em caso contrário teríamos que x=0, y=0 e z=0 para satisfazer essas

equações, fato que não deve ocorrer. Sabendo que 0 e isolando em ** e ***,

obtemos as seguintes equações equivalentes:

→ 6(x+z)yz=6(y+z)xz → xyz+yz²=xyz+xz² → yz²=xz² → y=x

Da mesma forma, isolando em *** e ****, obtemos:

6(x+z)xy=6(x+y)xz → x²y+xyz=x²z+xyz → x²y=x²z → y=z

Analisando os resultados concluímos que x=y=z, assim, em * temos que:

= 1,26.

Portanto, as dimensões de cada caixa que fazem o custo para sua fabricação

ser o mínimo são x=1,26m, y=1,26m e z=1,26m. Substituindo as variáveis x,y e z

por estes valores temos:

A (1.26, 1.26, 1.26)=9,5256m²9,53m²

C (1.26, 1.26, 1.26)= 3.9,53=28,59

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Logo, o valor de cada caixa será de R$ 28,59.

A partir das dimensões calculadas determine quantas caixas a empresa

poderá colocar no galpão e o custo total de todas elas sabendo também que apenas

uma caixa poderá ser colocada sobre a outra para não danificar a caixa que está

embaixo.

2.1.1 Resolução

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O galpão terá fileiras de caixas obedecendo as suas dimensões

máximas, assim ele terá:

E o custo total dessas caixas será de:

3. Conclusão

A partir da resolução do problema podemos concluir que a utilização do

método dos multiplicadores de Lagrange é útil para encontrar áreas de máximos e

mínimos de funções de duas ou mais variáveis, além de se obter a otimização de

áreas, no caso de depósitos e dentre outras utilidades.

Assim temos que, a utilização do método de lagrange é útil na área da

mineração, pois pode se através de seu uso quantificar o armazenamento mineral

com o objetivo de aperfeiçoar o deposito de minérios beneficiados buscando

diminuir custos.