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Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores

Implementação de um sistema de calculo para sistemas de energia solar

Autor: Hugo Emanuel Barreira e Oliveira Ribeiro

Supervisor: Professor Doutor João Abel Peças Lopes

Projecto, Seminário ou Trabalho de Final de Curso Software de cálculo para sistemas solares

Porto, Julho de 2006

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Faculdade de Engenharia

Universidade do Porto

Implementação de um sistema de calculo para sistemas de energia solar

Hugo Emanuel Barreira e Oliveira Ribeiro

Relatório realizado sob a supervisão de

Professor Doutor João Abel Peças Lopes, do Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores da Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto



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1. Resumo

Nos dias de hoje dá-se a devida importância às energias renováveis. Este tipo de

energias são consideradas limpas e inesgotáveis. Como energia renovável entende-se

energia que, utilizada de forma adequada, pode ser explorada ilimitadamente. Por outras

palavras a quantidade disponível não diminui à medida a que se aproveita.

Este projecto de final de curso, inserido na cadeira Projecto, Seminário ou Trabalho

Final do Curso do ramo de Energia, teve como principal objectivo a implementação de

uma ferramenta de trabalho credível e rápida para o projecto de sistemas solares.

O Projecto foi realizado numa empresa sediada em Vigo, Espanha. A empresa,

Formartec Formación S. L., tem nos seus quadros engenheiros que realizam projectos

de energia solar. A fim de realizar um bom trabalho foi sempre tido em conta a opinião

destes de modo a estarem integrados numa ferramenta que irão utilizar futuramente.

A ferramenta de cálculo foi efectuada em Excel por ser um software de fácil

utilização. A escolha do Excel também teve em conta o facto de ser possível a inserção

de novos dados, como painéis, elementos de estações, etc, de forma fácil por parte dos

trabalhadores da empresa, não sendo necessário nenhum tipo de conhecimento de

programação.

Durante o projecto foram efectuados diversos estudos que permitem uma maior

qualidade ao projecto efectuado. Foi também efectuada um tentativa de previsão da

radiação solar que chega ao colectores solares baseado em métodos numéricos para

séries temporais, no entanto esta previsão, que será explicada e documentada mais

adiante, não foi inserida na ferramenta de cálculo devido à incerteza que caracteriza os

fenómenos atmosféricos.

Deste modo, foram utilizados para este projecto métodos de cálculos já existentes e

conhecidos, um sistema de previsão da posição solar, tabelas necessárias tais como de

temperaturas e de coeficientes de reflexão, e um estudo estatístico de valores de

radiação solar lidos por diversas estações meteorológicas durante os últimos anos de

modo a ter um valor médio esperado para a radiação que existirá durante o ano.



4

There is an increasing amount of interest in renewable energies, which are

considered to be a clean and endless source of energy, while reducing CO2 emissions.

Therefore, they should be perceived as a source of energy and power that when used

adequately presents no limits to its use. In other words, the available primary source of

energy does not decrease as it is being used.

This End of Course Project, developed for the Project, Seminar or End of Course

Work subject, aimed to develop a fast and reliable work tool which will aid the

development of solar energy projects. It place at company in Vigo, Spain. The

company, Formartec Formación S. L., employs several engineers responsible for several

solar energy projects. To ensure the quality and the usefulness of this tool, an effort was

made to make sure these engineers had the opportunity to share their input in the

developing of this tool, which they will be using in the future.

This work tool was developed using Excel, which, despite its great calculating

power is still intuitive and easy to use software. It was also chosen as it made possible

inserting new data, like panels, station elements, among others. As such, this procedure

can easily be done by company workers who have no previous programming training or

background.

During this project, several studies were made in order to guarantee the accuracy

and validity of the tool. It was also made an attempt to forecast the amount of solar

radiation that reaches the solar collectors using numerical analysis based in time series.

Nevertheless, this forecasting method, which will be explained in more detail further

ahead in this report, was not included in the final version of work tool, due to the

inherent uncertainty associated with atmospheric phenomenon in general. As such, this

project relies on existent and proven methods of calculations, and uses sun positioning

system, necessary data tables such as temperatures and reflection coefficients. It also

uses a statistic study of solar radiation values collected by several meteorological

stations throughout the years, in order to obtain an expected mean value for the solar

radiation for a given year.



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2. Prefácio

O Sol é considerado como um fornecedor de energia bastante importante, basta

reparar para o facto de ser um dos pilares da Vida na Terra. Quase toda a energia que

conhecemos vem do Sol, de um modo directo ou indirecto.

A energia transmitida pelo Sol é interceptada pela Terra no seu percurso sob a forma

de radiação solar, esta energia pode ser aproveitada de várias formas das quais se

destacam a directa, térmica e fotovoltaica.

Um exemplo de aproveitamento da energia solar directamente é o uso para a

iluminação e a secagem de roupa. Termicamente a energia proveniente do sol faz-se

sentir na forma de calor. Os sistemas fotovoltaicos têm a capacidade de aproveitar a

irradiação solar e a transformar em energia eléctrica, isto acontece sem passar por um

processo térmico.

A União Europeia apresentou nos seus objectivos estratégicos a energia como um

factor essencial para a competitividade e desenvolvimento económico Europeu.

Em 1997, durante a assinatura do Protocolo de Kioto, foi dado realce às mudanças

climáticas reforçando o desenvolvimento sustentável na política energética mundial.

A energia obtida a partir de fontes de energia renovável vem de encontro com este

desejos europeus. O aproveitamento deste tipo de fontes de energia provoca uma

diversificação de sistemas energéticos e ajuda na luta contra as alterações climáticas. O

plano de actuação comunitária e a estratégia esta referida no Livro Branco das Energias

Renováveis, indicando que temos de “Alcançar, em 2010, uma penetração mínima de

12% das fontes de energia renováveis na Europa”.

O aquecimento de locais e o aquecimento de águas sanitárias são um dos pontos

onde o uso da energia solar pode ser aproveitado. Este tipo de utilização está a ser

bastante incentivado pelos governos de modo a facilitar a sua implementação reduzindo

os seus custos.

Como se sabe os sistemas solares funcionam com a radiação solar, no entanto esta

radiação não é certa, é garantido que chega ao colectores mas não se sabe em que

quantidade. Isto acontece pelo facto dessa energia se perder na atmosfera e nos

elementos que a constituem, tendo principal influência a presença ou ausência de

nuvens. No entanto o aparecimento de nuvens na atmosfera terrestre é de difícil

previsão, se não for mesmo impossível. Como se verifica todos os dias as variáveis

climáticas são incertas e de previsão difícil. Durante este trabalho foram feitas algumas



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tentativas de prever a radiação solar mas não se obteve resultados satisfatórios por esse

motivo.

Para este trabalho foram importantes várias pessoas a vários níveis, pessoal,

profissional e em ambos os casos. Em primeiro lugar quero agradecer à minha família, a

minha mãe Maria Helena Pito Barreira Oliveira Ribeiro, ao meu pai Artur Manuel

Oliveira Ribeiro, à minha irmã Susana Maria Barreira e Oliveira Ribeiro, ao meu irmão

Miguel Artur Barreira e Oliveira Ribeiro, ao meu cunhado João Pedro Liça e ao meu

sobrinho Gonçalo Ribeiro Liça, por todo o apoio que me dispensaram nesta minha

primeiras experiência fora de casa. A minha namorada, Filipa Ribeiro Carneiro, também

merece um especial agradecimento pelo apoio diário e pela ajuda nos momentos mais

difíceis.

Ao meu supervisor, João Abel Peças Lopes, que me apoio e ajudou neste projecto.

Ao meu orientador Manuel Lopez Gallo pelo apoio profissional e pela recepção que me

proporcionou na empresa como a toda a empresa em geral.

Um agradecimento que não pode passar em claro vai para o Professor Cláudio

Monteiro pela ajuda que me deu a nível académico e pelos conselhos que me deu para o

projecto.

Ao Programa Operacional da Ciência e Inovação 2010 (POCI 2010) pelo apoio

financeiro.

Resta-me agradecer a todos os meus amigos e familiares não referidos pois todos

eles me apoiaram e ajudaram a passar esta experiência.



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3. Índice 1. Resumo ..................................................................................................................... 3 2. Prefácio..................................................................................................................... 5 3. Índice ........................................................................................................................ 7 4. Glossário................................................................................................................. 11 5. Introdução............................................................................................................... 12 6. Energia Solar .......................................................................................................... 14

6.1. Radiação solar extraterrestre .......................................................................... 15 7. Incidência Solar ...................................................................................................... 19

7.1. Processo de cálculo......................................................................................... 19 7.1.1. Ângulo diário.......................................................................................... 20 7.1.2. Declinação solar ..................................................................................... 20 7.1.3. Equação do tempo .................................................................................. 23 7.1.4. Ângulo horário........................................................................................ 25 7.1.5. Posição solar sobre uma superficie horizontal ....................................... 27 7.1.6. Posição solar sobre uma superficie inclinada e orientada ...................... 31

8. Historial da radiação nos últimos anos ................................................................... 33 8.1. Tratamento do dados ...................................................................................... 34

8.1.1. Médias horárias ...................................................................................... 34 8.1.2. Conclusão ............................................................................................... 36

9. Ferramenta de cálculo............................................................................................. 37 9.1. Informação pessoal ......................................................................................... 37 9.2. Dados de cálculo............................................................................................. 38

9.2.1. Dados do painel ...................................................................................... 38 9.2.2. Rendimento do sistema........................................................................... 39 9.2.3. Orientação e inclinação dos paineis........................................................ 39 9.2.4. Umbral de radiação................................................................................. 40 9.2.5. Estação meteorológica............................................................................ 40 9.2.6. Tipologia de consumo ............................................................................ 41

9.3. Cálculos .......................................................................................................... 41 9.3.1. Irradiação média ..................................................................................... 41 9.3.2. Irradiação corrigida com a inclinação .................................................... 42 9.3.3. Ângulo de incidência longitudinal e rendimento do paineis .................. 44 9.3.4. Ângulo de incidência longitudinal e rendimento do paineis .................. 46 9.3.5. Irradiação média corrigida com coeficientes longitudinais e transversais ............................................................................................................. 47 9.3.6. Energia global recolhida pela instalação ................................................ 48 9.3.7. Necessidades da instalação para água quente sanitária .......................... 49

9.3.7.1. Ocupação ........................................................................................ 49 9.3.7.2. Temperatura da água da capital ...................................................... 49 9.3.7.3. Temperatura da água na localidade ................................................ 50 9.3.7.4. Número de dias do mes .................................................................. 50 9.3.7.5. Consumo de água por mes.............................................................. 51 9.3.7.6. Energia necessária .......................................................................... 51

9.3.8. Poupança energética ............................................................................... 51 9.3.8.1. Energia recolhida............................................................................ 52 9.3.8.2. Temperatura exterior ...................................................................... 52 9.3.8.3. Rendimento do painel..................................................................... 53



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9.3.8.4. Energia útil ..................................................................................... 54 9.3.8.5. Energia para uso ............................................................................. 54 9.3.8.6. Poupança......................................................................................... 54 9.3.8.7. Energia não consumida................................................................... 55

9.3.9. Resumo de resultados para aquecimento de água sanitária.................... 55 10. Tratamento de séries temporais .......................................................................... 57

10.1. Introdução sobre séries temporais .............................................................. 57 10.2. Tratamento de dados................................................................................... 58 10.3. Valores utilizados ....................................................................................... 59 10.4. Analise de Séries Temporais ...................................................................... 60

10.4.1. Modelização por componentes ............................................................... 60 10.4.2. Box-Jenkins ............................................................................................ 61

10.4.2.1. Médias móveis................................................................................ 62 10.4.2.2. Autorregressivo .............................................................................. 63 10.4.2.3. ARMA ............................................................................................ 63

10.5. Modelização através de uma função trignométrica .................................... 64 10.6. Suavizado exponencial ............................................................................... 65

10.6.1. Escolha do coeficiente de ponderação.................................................... 67 10.8. Método utilizado......................................................................................... 70

10.8.1. Dados ...................................................................................................... 70 10.9. Conclusão ................................................................................................... 80

11. Conclusão ........................................................................................................... 81 12. Referências ......................................................................................................... 85 13. Bibliografia......................................................................................................... 86 Anexo A.......................................................................................................................... 87

Índice de figuras

Figura 1 - efeito estufa num colector (1) ........................................................................ 15 Figura 2 - distância da Terra ao Sol em unidade astronómica (AU) (2) ........................ 16 Figura 3 – rendimento vs ângulo de incidência (3) ........................................................ 19 Figura 4 – plano eliptico (4) ........................................................................................... 21 Figura 5 - movimento aparente do sol, esfera celeste e ângulo de declinação (2) ......... 22 Figura 6 – meridianos de fuso horário em função do meridiano de Greenwich ............ 27 Figura 7 – esfera celestial e coordenadas relativas a um observador, ponto O (2) ........ 28 Figura 8 – posição do sol sobre uma superficie horizontal (4)....................................... 29 Figura 9 – esquema no plano horizontal de uma superficie inclinada e orientada (4) ... 31 Figura 10 – localização das estações meteorológicas (5) ............................................... 33 Figura 11 – informação da empresa ............................................................................... 37 Figura 12 – informação do cliente.................................................................................. 37 Figura 13 – informação do projecto ............................................................................... 38 Figura 14 – dados do painel............................................................................................ 38 Figura 15 – rendimento do sistema ................................................................................ 39 Figura 16 – inclinação e orientação dos paineis ............................................................. 40 Figura 17 – tipologia de consumo .................................................................................. 41 Figura 18 – estação meteorológica ................................................................................. 42 Figura 19 – irradiação média para a estação Alto Rodicio............................................. 42



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Figura 20 – coeficientes a que acresce a radiação (6) .................................................... 43 Figura 21 – latitude do local e inclinação do painel ....................................................... 44 Figura 22 – valores de correcção.................................................................................... 44 Figura 23 – valores corrigidos para a inclinação e latitude ............................................ 44 Figura 24 – painel escolhido para exemplo, um painel .................................................. 45 Figura 25 – ângulo de incidência longitudinal ............................................................... 45 Figura 26 – factores de ângulo para o painel Vitosol 250 (3) ........................................ 46 Figura 27 – rendimento longitudinal do painel .............................................................. 46 Figura 28 – ângulo de incidência transversal ................................................................. 47 Figura 29 – rendimento transversal do painel ................................................................ 47 Figura 30 – irradiação média corrigida com os coeficiente de rendimento longitudinal e transversal....................................................................................................................... 48 Figura 31 – energia global recolhida pela instalação ..................................................... 48 Figura 32 – necessidades da instalação e dados necessários .......................................... 49 Figura 33 – temperatura média da água da rede (6) ....................................................... 50 Figura 34 – poupança energética .................................................................................... 52 Figura 35 – temperatura ambiente em horas de sol das capitais de provincia (6).......... 53 Figura 36 – resumo de resultados para aquecimento de água sanitária.......................... 56 Figura 37 – radiação extra terrestre, radiação da estação e diferença, dados diários ..... 72 Figura 38 – calculo das médias móveis através do add-in Forecasting.......................... 73 Figura 39 – tabela utilizada para o cálculo dos índices de estacionalidade.................... 74 Figura 40 – resultado da tabela dinâmica ....................................................................... 75 Figura 41 – resumo da regressão .................................................................................... 76 Figura 42 – tabela com tendência, Y modelizado e residuo........................................... 76 Figura 43 - radiação extra terrestre, valores da previsão, diferença entre ambos e média semanal ........................................................................................................................... 78 Figura 44 – valores da previsão...................................................................................... 79

Índice de gráficos

Gráfico 1 – Radiação extra terrestre ............................................................................... 18 Gráfico 2 – equação do tempo em minutos .................................................................... 24 Gráfico 3 – equação do tempo em horas ........................................................................ 25 Gráfico 4 – média horárias no mes de Março................................................................. 36 Gráfico 5 – médias semanais e aproximação a um coseno............................................. 58 Gráfico 6 - tendência ...................................................................................................... 59 Gráfico 7 - diferença entre radiação extra terrestre e valores medidos .......................... 71 Gráfico 8 – gráfico dos residuos, diferença entre a radiação extra terrestre e os dados. 72 Gráfico 9 – médias móveis ............................................................................................. 73 Gráfico 10 – índices de estacionalidade ......................................................................... 75 Gráfico 11 – valores dos dados e valores do modelo ..................................................... 77 Gráfico 12 – residuos obtidos na modelização............................................................... 77 Gráfico 13 – previsão anual............................................................................................ 80 Gráfico 14 – comparação da radiação prevista. Série temporal, média e valores medidos........................................................................................................................... 82 Gráfico 15 – modelização trigonométrica ...................................................................... 93



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Índice de tabelas

Tabela 1 – média horárias no mes de Março.................................................................. 35 Tabela 2 – valores do método de previsão, média anual e medidos pela estação .......... 83 Tabela 3 – valores da função coseno por unidade de tempo .......................................... 92



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4. Glossário Irradiação solar – energia incidente por unidade de superfície de um dado plano,

obtida pela integração da irradiancia durante um intervalo de tempo, normalmente uma hora ou um dia. A unidade é kWh/m2.

Irradiancia solar – potencia radiante incidente por unidade de superfície sobre um dado plano. A unidade é kW/m2.

Radiação solar – energia procedente do sol sob a forma de onda electromagnética.

Esfera celeste – globo fictício de raio indefinido cujo centro radial é o observador. Na esfera celeste os pontos das posições aparentes dos astros são marcados nesta superfície, independentemente da sua distância.

Nadir – ponto inferior da esfera celeste, segundo a perspectiva de um observador na superfície do planeta é a projecção do alinhamento vertical que está sob os seus pés à esfera celeste.

Zênite – ponto superior da esfera celeste, segundo a perspectiva de um observador na superfície do planeta é a projecção do alinhamento vertical que está acima da sua cabeça à esfera celeste.

Declinação solar – é o arco do meridiano do sol compreendido entre o plano equador da esfera celeste e o astro. Mede-se de 0º a 90º para Norte ou para Sul, sendo por vezes representado com valor entre + 90º e -90º, positivo para Norte e negativo para Sul.

Equação do tempo – forma de determinar a evolução anual da diferença entre a posição real a cada momento do Sol no firmamento e a posição que ocuparia nesse momento se o eixo da Terra fosse perpendicular à elíptica e à órbita terrestre circular.



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5. Introdução

A energia solar tem sido objecto de estudo de várias pessoas. Existem vários

documentos sobre a investigação neste campo, alguns incluem sistemas matemáticos e

outros recorrem à utilização de imagens de satélite, os satélites NOAA-AVHRR,

GOES, etc.

Sendo a empresa uma entidade que está acreditada para dar cursos de formação

foram estudados manuais de alguns cursos, do mesmo modo a experiência da empresa

foi importante durante o trabalho.

Durante o trabalho foram explorados métodos de previsão de séries temporais,

foram abordados vários livros sobre o tema como o recurso a programas de séries

temporais.

Durante o documento vão ser inseridos vários capítulos de modo a explicar o que foi

efectuado no trabalho como a focalizar os temas do trabalho de um modo detalhado

dando a hipótese de ser possível a consulta futura por parte de colegas e futuros colegas.

No capítulo 1 fala-se de uma forma geral sobre o projecto, pretende-se resumir de

forma clara de modo a cativar a leitura do documento.

No capítulo 2 enquadra-se o tema, aborda-se as dificuldades, a motivação que me

levou a aceitar este desafio. Pretende-se abordar os objectivos de estudo, do mesmo

modo é aproveitado este capítulo para realizar os agradecimentos a todas as pessoas que

me ajudaram e apoiaram.

No capítulo 3 está o índice, da mesma forma está o índice de tabelas e figuras de

modo a permitir uma orientação fácil no documento.

No capítulo 4 está um glossário com a explicação de termos utilizados durante o

trabalho.

No capítulo 5 temos uma apresentação do documento, nomeadamente de todos os

capítulos do relatório de modo a permitir ao leitor saber o que vai encontrar em cada um

e permitir que rapidamente escolha o capítulo que quer.

No capítulo 6 fala-se sobre a energia solar, a sua importância, o que a constitui. Do

mesmo apresenta-se uma introdução ao processo de cálculo. Aqui apresenta-se a

constante solar, a variação da radiação extra terrestre entre outras coisas.

No capítulo 7 está descrito o processo de cálculo que permite saber a incidência

solar, a posição solar a qualquer momento do ano. Destaca-se a importância deste ponto

no projecto pelo facto de o rendimento do painel variar conforme a posição do sol.



13

No capítulo 8 mostra-se o método que é utilizado para a radiação solar, como foi

efectuada assim como os aspectos geográficos das estações utilizadas.

No capítulo 9 está presente a ferramenta projectada para a empresa, destaca-se a

investigação realizada e a importância da mesma para a ferramenta de cálculo.

No capítulo 10 pretende-se dotar o documento de uma parte sobre séries temporais,

este ponto foi estudado e investigado não sendo inserido no projecto devido à sua

incerteza, como se poderá verificar. Este ponto pretende abordar vários métodos e

mostrar o cálculo efectuado. Pretende ainda ser um capitulo didáctico para quem quiser

ter um conhecimento sobre séries temporais, serão efectuada referências livros que

poderão ser consultados, livros estes consultado por mim ou aconselhado pela Dra.

Leila Vespoli de Carvalho que é professora do Departamento de Ciências Atmosféricas

do Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São

Paulo.

No capítulo 11 existe uma conclusão onde se reforça o trabalho e se faz um balanço

de todo o documento.

No capítulo 12 estão inseridas as referências utilizadas durante o trabalho.

No capítulo 13 está inserida a bibliografia utilizada.



14

6. Energia Solar

O sol, denominado de astro-rei com toda a justiça, pode ser considerada a única

fonte de energia na Terra. Facilmente de percebe que toda a energia disponível está

directa ou indirectamente relacionada com o sol.

O petróleo, a fonte de energia que tanta discórdia tem provocado devido ao aumento

de preço e a poluição que causa, vem indirectamente do sol. De facto o petróleo que se

extrai do sub solo não é mais do que matéria orgânica pré-histórica que está sepultada

por baixo de camadas da crosta terrestre a uma pressão elevada. Esta matéria orgânica

viveu, cresceu e multiplicou-se devido ao processo de fotossíntese que está directamente

ligada ao sol (1).

A energia hidráulica está do mesmo modo relacionada com o sol, visto que este

acompanha o processo de evaporação e condensação da água que retorna aos rios

através de chuva.

A energia solar é irradiada pelo sol, esta é gerada por reacções nucleares que se

produzem no seu interior.

A intensidade da radiação solar não é constante, esta é menor no Inverno e maior no

verão, não está disponível durante a noite e é afectada pela presença de nuvens. Quando

se pensa na utilização da energia solar tem de se ter em conta estes factores, por vezes

não pode ser utilizada e tem de se procurar sempre a maneira mais racional para a sua

captação e utilização.

O aproveitamento desta energia em forma de calor leva a aplicação de um fenómeno

físico conhecido denominado de efeito estufa. Este efeito consiste no impedimento de

fuga para o exterior da energia resultante da reflexão na superfície de um objecto, um

colector no caso deste estudo. Isto consegue-se com aplicação de um cristal que permite

a passagem da energia solar mas impede a sua reflexão. Deste modo consegue-se um

melhor aproveitamento da energia solar através do aumento de temperatura na

superfície receptora, o colector.

Na figura 1 podemos perceber melhor a vantagem deste efeito



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Figura 1 – efeito estufa num colector (1)

6.1. Radiação solar extraterrestre

A radiação extra terrestre é a radiação lida acima da atmosfera terrestre, esta

radiação não é influenciada pelas nuvens existentes na atmosfera pelo que se facilmente

se pode calcular a radiação extra terrestre ao longo do ano (2).

Como é do conhecimento o movimento da Terra à volta do sol não é uma

circunferência mas sim uma elipse. Isto faz com que a radiação extra terrestre não seja

constante ao longo do ano, variando com as estações do ano.

Como mostra a figura 2 a terra está mais perto do sol no Inverno e mais afastada no

verão. Para o cálculo da radiação solar extra terrestre vão ser agora inseridos alguns

conceitos que serão explicados a tempo.



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Figura 2 – distância da Terra ao Sol em unidade astronómica (AU) (2)

A quantidade de radiação solar é inversamente proporcional ao quadrado da

distância. A unidade que mede a distância da Terra ao sol é chamada de unidade

astronómica (AU). A distância média corresponde a 1 AU que em km é igual a 1,498 *

108, verifica-se no equinócio da primavera e do Outono, altura em que o dia é igual à

noite.

Para a energia solar extra terrestre é necessário saber a distância actual, no caso

utilizado foi inserido um factor de correcção da distância da Terra-Sol. Este factor é

calculado através de dia do ano, dia esse expresso em dia juliano. O dia juliano é feito

em função do dia do ano, tem o valor de 1 para o dia 1 de Janeiro e de 365 para 31 de

Dezembro. A expressão utilizada foi formulada por Duffie e Beckman em 1980

1

2

365**2

cos*033,01−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Π+= d nρ

Onde dn corresponde ao dia juliano. A radiação solar extra terrestre pode ser

calculada pela seguinte expressão (2).

( ) )cos(**cos** 0 θρθ IrIG scsco r=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



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onde:

Isc = 1367 Wm-2 é a constante solar

Θ é o ângulo solar cenital

O valor da constante solar é conhecido e foi medido por satélites que se encontram

após a atmosfera.

Para os cálculos efectuados o ângulo solar cenital foi considerado nulo que indica

que se está a calcular a radiação extra terrestre que chega a uma superfície perpendicular

ao sol.

Vamos exemplificar a radiação que se obtém acima da atmosfera terrestre com o

recurso a três valores, dia 1 de Janeiro, 1 de Julho e 1 de Dezembro, respectivamente dia

1, 182 e 335 quando falamos em dia juliano.

Para o dia 1 de Janeiro os valores obtidos formam

968,0365

1**2cos*033,011

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

+=−

ρ

1344)0cos(*968,0*1367 ==Go Wm-2

Para o dia 1 de Julho os valores obtidos formam

034,1365

182**2cos*033,011

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

+=−

ρ

1389)0cos(*034,1*1367 ==Go Wm-2

Para o dia 1 de Dezembro os valores obtidos formam

972,0365

335**2cos*033,011

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Π

+=−

ρ

1347)0cos(*972,0*1367 ==Go Wm-2



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No total dos anos todos temos o gráfico que se apresenta a seguir correspondente a

todos os dias do ano.

Radiação extra terrestre

1320

1330

1340

1350

1360

1370

1380

1390

1400

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248 267 286 305 324 343 362

dia juliano

radi

ação

ext

ra te

rres

Gráfico 1 – Radiação extra terrestre

Como se vai ter oportunidade de verificar estes valores foram utilizado para o

tratamento das séries temporais que serão explicadas no capítulo 9.



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7. Incidência Solar

Neste ponto do projecto foi realizado o cálculo da incidência solar, este ponto é

essencial num projecto de energia solar. O rendimento de um painel é bastante diferente

consoante o ângulo de incidência no painel. Este conhecimento do ângulo de incidência

permite saber que orientação devemos dar ao painel assim como a inclinação.

Com o recurso aos teste efectuados pelo instituto suíço SPF Solartechnik Prϋfung

Forschung que estão documentados na sua página de Internet

http://www.solarenergy.ch/spf.php?lang=es&fam=1&tab=1 (3) foram recolhidos todos

os dados dos painéis disponíveis de modo a serem inseridos na ferramenta projectada

para a realização dos projectos.

A título de exemplo podemos verificar na figura 3, referente ao colector solar

VitoSol 100 S25 da empresa Viessmann Werke GmbH & Co que a eficiência de um

painel é diferente consoante o ângulo de incidência.

Figura 3 – rendimento vs ângulo de incidência (3)

Para o projecto foram retirados os valores para um ângulo de incidência de 0º,

perpendicular ao colector, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º, 70º, 80º e 90º.

7.1. Processo de cálculo

Como já foi referido anteriormente a irradiação solar que atinge uma superfície não

é constante variando consoante a estação do ano e o dia. Além destes factores que



20

alteram a radiação transmitida pelo sol, temos também de considerar factores como a

hora e a posição do local em termos geográficos, latitude e longitude.

Ao longo da explicação do cálculo efectuado vão sendo explicados os dados que

forem utilizados e a forma como são utilizados.

7.1.1. Ângulo diário

O ângulo diário é um ângulo utilizado para nos indicar a posição da terra no plano

elíptico, este valor vai de 0º para o dia 1 de Janeiro, dia juliano número 1, e de 360º para

o dia 31 de Dezembro, dia juliano número 365.

Este ângulo é fácil de calcular partindo dos princípios atrás descritos, a seguinte

fórmula encontrada em (2) dá esse valor.

( )13652

−= d nA π (rad)

Onde dn é o dia juliano, conceito já introduzido no capitulo 5.

7.1.2. Declinação solar

O movimento da Terra em torno do sol segue uma trajectória elíptica, tal como já foi

referido, este movimento dá origem às estações do ano, tal como se pode ver na figura

4.



21

Figura 4 – plano elíptico (4)

Na imagem está representado o eixo polar, este eixo é medido entre a linha

imaginária que atravessa os pólos e uma outra linha normal ao plano elíptico.

Para além da rotação da terra no plano elíptico, existe também uma rotação em volta

do eixo polar. Esta rotação provoca as alterações diárias da incidência solar. Do mesmo

modo este eixo é o responsável pelas diferenças que se verificam nas estações do ano.

Como foi descrito no capítulo 5 secção 5.1, a terra está mais próxima do sol no

Inverno que no verão, quando estamos a falar de uma posição no hemisfério norte. Com

esta afirmação surgem algumas questões devido a estas distâncias, tais como “Se está

mais perto no Inverno porque é que no Inverno é mais frio do que no verão?” ou ainda

“A duração do dia no verão é maior mesmo estando mais longe do sol? Como é que isso

é possível?”

A resposta a estas questões está no eixo polar. A inclinação deste eixo, que é sempre

constante e igual a 23,45 como indica a figura 4, faz com que no Inverno a radiação que

atinge a Terra seja mais obliquoa atravessando mais atmosfera, o que faz com que

tenhamos Invernos frios e verões quentes. Mais tarde vamos perceber o porquê das

diferenças na duração do dia ao longo do ano.

Tal como a inclinação do eixo polar é constante o mesmo se pode dizer se

considerarmos um eixo equatorial. No entanto o ângulo formado entre o plano



22

equatorial e a linha que une o centro do sol ao centro da terra varia de dia para dia,

sendo este ângulo denominado de declinação solar.

Esta definição de declinação solar é um pouco confusa quando explicada em texto,

de modo que se vai proceder a uma explicação mais visual.

Para uma explicação mais gráfica vamos colocar a Terra no centro, estando o sol a

girar à volta da Terra, desenhando a esfera celeste. Com estas posições podemos

desenhar dois planos que poderão ser vistos na figura 5.

Figura 5 – movimento aparente do sol, esfera celeste e ângulo de declinação (2)

Os pólos da esfera celeste correspondem aos pontos de intercepção entre a linha que

une os pólos terrestres com a esfera celeste. A partir desta linha é possível desenhar o

plano equatorial celeste. Inserido na imagem está o plano equatorial do sol, de relembrar

que é o plano que corresponde ao movimento aparente do sol. O plano equatorial do sol

demora um ano a ser percorrido pelo sol, deste modo podemos reparar que a cada dia

que passa o ângulo formado entre a união do centro da Terra ao centro do Sol com a

linha entre o centro da Terra e o plano equador celeste varia ao longo do ano. A este

ângulo denomina-se declinação solar.

Como se verifica na figura 6.3 a declinação solar varia entre -23,5º, no solstício de

Inverno e 23,5º, no solstício de verão.



23

Os valores da declinação solar podem ser consultados em efemérides, no entanto é

possível o seu cálculo através de equações simples. Para o projecto foi utilizada a

equação de Spencer, reportada como a mais utilizada na literatura solar.

)(*070257,0)cos(*399912,0006918,0 AsenA +−=δ

)2(*000907,0)2cos(*006758,0 AsenA +−

)3(*00148,0)3cos(*002697,0 AsenA +− (rad)

Para um melhor entendimento da inclinação solar existem equações que nos dão o

valor em graus, este é mais compreensível para a maioria das pessoas pelo habito que

existe em classificar os ângulos por graus. Apesar de se colocar aqui uma equação que

nos dá o valor em graus (4) há que ter em atenção que o para o processo de cálculo da

posição solar é necessário utilizar os valores em radianos por imposição do Excel.

)(*070257,0)cos(*399912,0006918,0(*2958,57 AsenA +−=δ

)2(*000907,0)2cos(*006758,0 AsenA +−

))3(*00148,0)3cos(*002697,0 AsenA +−

7.1.3. Equação do tempo

A rotação da terra sobre o seu eixo polar, que se recorda está inclinado de 23,45º

sobre a normal elíptica, e o movimento de translação da Terra à volta do sol dá origem

ao tempo solar verdadeiro. Quando temos um observador estático num ponto da terra

podemos considerar o dia solar como o tempo que o Sol demora a dar a volta sobre esse

observador, este tempo não é constante de 24 horas estando relacionado com a normal

elíptica e o movimento de rotação. Se considerarmos a volta da Terra ao longo da

normal elíptica temos a verificação da lei das áreas, que dá origem a que a velocidade

de translação da Terra não seja constante, facto que resulta num dia solar não uniforme.

Este ultimo ponto, de o dia solar não ser uniforme resulta na impossibilidade de o

adoptar como unidade de tempo.

De modo a superar esta dificuldade vamos proceder ao recurso de uma esfera celeste

que possui um movimento de rotação uniforme à volta do Sol. Com um movimento

uniforme a esfera fictícia demora o mesmo tempo a dar uma volta completa igual ao



24

tempo que a Terra demora a percorrer o seu ciclo à volta do Sol, dando origem ao seu

tempo solar médio, 24 horas.

A equação do tempo descreve a diferença entre este tempo solar médio e o tempo

solar verdadeiro que varia consoante o lugar e o dia do ano. Recorrendo novamente às

equações de Spencer (1971).

)(*032077,0)cos(*001868,0000075,0(*)18,229( AsenAEt ++−=

)2sin(*04089,0)2cos(*014615,0 AA −− (minutos)

A fim de se passar o valor para horas, que é necessário para prosseguir o cálculo da

posição solar, é necessário dividir este valor por 60.

60

minEEutoss

thorast = (horas)

Apresentamos o gráfico para os valores da equação do tempo em minutos, gráfico 2,

e em horas, gráfico 3.

Equação do tempo

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361

dia juliano

min

utos

Gráfico 2 – equação do tempo em minutos



25

Equação do Tempo

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361

dia juliano

hora

Gráfico 3 – equação do tempo em horas

Para a necessidade de um valor pouco rigoroso para a equação do tempo pode ser

retirado de um destes gráfico, no entanto para um cálculo mais rigoroso é aconselhável

a utilização da fórmula proposta por Spencer.

7.1.4. Ângulo horário

Como se sabe o planeta Terra está dividido em 24 meridianos, com origem no

meridiano Greenwich. Estes meridianos dão origem aos fusos horários existente na

Terra.

O ângulo horário é o ângulo medido entre o meridiano da hora local e a posição do

observador.

Para o cálculo deste ângulo é necessário saber qual a hora solar verdadeira, isso

consegue-se sabendo a hora solar verdadeira a que está o observador. Para este valor da

hora solar verdadeira temos de ter conhecimento de vários factores, um deles já foi

explicado que é a equação do tempo.

Um dos pontos que necessitamos de saber é a hora local, para este ponto não

necessitamos mais do que um relógio com a hora local certa, ou então escrever um valor

qualquer para a hora pois esta vai ser corrigida consoante os factores que se vão a

apresentar. Para ter um raciocínio mais visual vamos desde já escrever a equação que

nos permite saber a hora solar verdadeira (Hsol) (4).



26

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−+=15

LHLLAOETTOHsol

Na expressão temos TO, que corresponde ao que foi explicado no parágrafo

anterior, a hora local. O elemento ET corresponde à equação do tempo, valor explicado

e calculado na subsecção anterior, este valor tem de estar colocado em horas, motivo

pelo qual anteriormente se escreveu a expressão para passar a equação de tempo de

minutos para horas. AO é a hora de adianto ou atraso, caso aconteça, em função ao fuso

horário. Esta hora de adianto é decretada pelos governos em função de motivos

diversos, entre os quais se encontra a poupança de electricidade. Este é um valor que

muda durante o ano uma vez que temos dois tipos de hora durante o ano, hora de verão

e hora de Inverno. Em Portugal estes valores são de 0 horas para o horário de Inverno e

1 hora para o horário de verão, em Espanha é de 1 hora e 2 horas, para horário de

Inverno e de verão respectivamente.

Encontramos na expressão um factor que relaciona a longitude local, LL, com a

longitude do meridiano de origem da hora local em relação ao meridiano de Greenwich,

LH. De fazer notar que este ultimo valor é positivo para este de Greenwich e negativo

para oeste e é múltiplo de 15.

Esta designação de sinais vem em conformidade com os dados definido pelas

NASA que estão descritos na figura 6.



27

Figura 6 – meridianos de fuso horário em função do meridiano de Greenwich

O cálculo do ângulo horário é agora fácil de calcular se relembrarmos que cada hora

corresponde a 15º e que este ângulo é negativo da parte da manhã, antes da 12 horas e

positivo da parte da tarde em função do meio-dia.

Não falta nada a não ser escrever a expressão para o ângulo horário que se apresenta

a seguir.

( ) 15*12−= Hsolω (º)

Mais uma vez por motivos referentes ao Excel este valor tem de ser alterado para

radianos, isto consegue-se com a utilização da função Radians.

7.1.5. Posição solar sobre uma superfície horizontal

A quantidade de radiação que atinge um ponto na Terra depende muito da posição

solar, como já foi dito esta posição depende no dia e da hora.

O sistema mais utilizado para a posição do Sol relativamente a um observador na

Terra é o sistema horizontal, sistema esse que vai ser introduzido neste trabalho. Este

sistema horizontal baseia-se numa esfera celeste em que no centro dessa esfera

encontra-se o observador, figura 7.



28

Figura 7 – esfera celestial e coordenadas relativas a um observador, ponto O (2)

A posição do observador sobre a esfera celestial é chamada de cenith local, este

ponto encontra-se traçando uma linha normal à Terra na posição do observador, do

outro lado dessa linha temos o nadir local. O horizonte do observador, horizonte

celestial do observador é desenhado tendo como centro a Terra e com o auxílio do eixo

celestial da Terra, linha que une o cenith ao nadir, que é normal ao plano do horizonte

celestial. Na esfera celestial é possível fazer o desenho do equador celeste, este equador

é traçado pela linha do equador da Terra, ou então a colocação do pólo norte e pólo sul

celestial que dá origem a linha eixo celestial da Terra normal a esse equador. A ter em

atenção que a Terra encontra-se no centro do equador celeste. A partir destes pontos

podemos facilmente explicar os seguintes, deste modo temos:

- Latitude Φ, ângulo entre o cenith local e o equador celeste;

- Altura solar α, ângulo entre o horizonte celestial do observador e a posição

do sol;

- Ângulo cenithal θz, ângulo entre o cenith local e a linha que une o

observador ao sol;

- Declinação solar δ; ângulo entre a posição do sol e o equador celeste;



29

- Ângulo horário ω; ângulo entre a posição do sol e o meio-dia solar;

- Azimute solar ψ; ângulo entre a projecção do sol no horizonte celestial do

observador e o sul do observador

Visto sobre uma superfície horizontal é mais fácil compreender este sistema, figura

8, no entanto é necessário fazer o esquema anterior antes de passar para um plano

horizontal. De fazer notar que este sistema não igual para todas as posições do

observador, muito pelo contrário já que cada posição do observador dá lugar a uma

esfera celestial diferente.

Figura 8 – posição do sol sobre uma superfície horizontal (4)

Com base nesta figura é possível calcular a posição do sol a partir da posição de um

observador com latitude Φ, e com ângulo horário ω. Deste modo temos as seguintes

expressões (2).

))cos(*)cos(*)cos()(*)(( ωφδφδα += sensenarcsen (º) (6.1)

αωφδφδθ −=+= 90))cos(*)cos(*)cos()(*)(cos( sensenarz

(º)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

)cos(*)cos()()(*)(cos

φαδφαψ sensensenar (º)



30

Pela convenção de sinais utilizados anteriormente temos que durante a manha, ω <0,

ψ=-ψ.

A partir destes dados é possível realizar o cálculo do ângulo de saída do sol, da

duração do dia, a hora do amanhecer e a hora o ocaso, valores que são importantes pois

indicam o tempo em que existe exposição solar.

O ângulo de saída do sol, ωs, é facilmente calculada já que nesse momento a

elevação solar é 0. Deste modo, utilizando a expressão 6.1 temos (4)

))(*)(cos( φδω tgtgars −= (º)

Este valor é sempre negativo uma vez que o amanhecer é sempre de manhã e tal

como foi dito, o ângulo horário é sempre negativo da manha e positivo de tarde.

A partir do ângulo de saída do sol facilmente de percebe que o sol quando se põe a

sua elevação é novamente 0, nesse caso o ângulo de posta do sol é simplesmente –ωs.

A partir destes valores e sabendo que quando ωs é 0 o sol está no seu meio-dia solar,

ou seja a meio do seu percurso facilmente se cálculo a amplitude do dia, So, sendo essa

amplitude

)(*2 ω soS −= (º)

Com estes três valores é possível, em hora solar, saber a hora do nascer do sol,

Hnascer, do por do sol, Hpor, e o tempo em horas que o sol demora desde que nasce até

que se põe. Para isso temos de transformar os ângulos em horas do seguinte modo.

1512 ω s

nascerH +=

1512 ω s

porH −=

O dia solar tem a duração de

15)(*2 ω s

nascerporo HHS−

=−=



31

7.1.6. Posição solar sobre uma superfície inclinada e orientada

Após o cálculo efectuado facilmente se consegue calcular a posição do sol numa

superfície inclina e orientada, para tal temos de inserir dois ângulos novos, o ângulo de

inclinação da superfície β, e o ângulo de orientação ε.

Na figura 9 podemos ver um esquema no plano horizontal de uma superfície

inclinada e orientada.

Figura 9 – esquema no plano horizontal de uma superfície inclinada e orientada (4)

Para este cálculo é necessário em primeiro lugar traçar a normal à superfície, o

ângulo de incidência e o azimute vão ser calculados a partir dessa normal. A partir dessa

normal temos as seguintes equações para os ângulos em causa.

Primeiro para o ângulo de incidência, θs (4).

)cos(*)(*)cos(*)()cos(*)(*)(cos( εβφδβφδθ sensensensenars

−=

)cos(*)cos(*)(*)(*)cos()cos(*)cos(*)cos(*)cos( ωεβφδωβφδ sensen++

))(*)(*)(*)cos( βωεδ sensensen+ (º)

Para o azimute começa-se por calcular o azimute para uma superfície inclinada

orientada a sul, após isso adicionamos ou subtraímos o azimute do painel, se estiver

orientado a oeste subtraímos e se estiver orientado para este somamos.



32

Para a superfície orientada a sul o seu azimute é o azimute solar, tal como foi

calculado para uma superfície horizontal. Após esse valor temos apenas de efectuar a

soma ou subtracção tal como foi escrito acima.



33

8. Historial da radiação nos últimos anos

Para este trabalho foram utilizados dados de radiação solar medidos por 12 estação

meteorológicas espalhadas pela Galiza (5). As estações meteorológicas medem a

radiação solar em espaço de 10 em 10 minutos durante 24 horas. Para a ferramenta de

cálculo foram calculadas as médias horárias desde as 7 da manhã até às 23 horas.

A posição das estações estão apresentadas na figura 10. Como se pode verificar

estas posições abrangem a zona da Galiza, local onde a empresa onde o estágio foi

realizado trabalha.

Figura 10 – localização das estações meteorológicas (5)



34

Após a consulta com a empresa, na pessoa do Director do Departamento de

Engenharia, foi indicado que os dados destas estações, pela localização, satisfaziam os

objectivos da empresa.

8.1. Tratamento de dados

O tratamento dos dados baseou-se na média dos dados históricos. Para teste

tratamento foram utilizadas a técnicas que serão expostas a seguir, tal como a ordem em

que foram utilizadas.

8.1.1. Médias horárias

Os dados estão disponíveis na Internet, estes podem ser consultados em

http://www.meteogalicia.es/galego/observacion/estacions/estacionsHistorico.asp?Nest=

10124&red=102 e podem ser descarregados para utilização.

Com a dispersão com que os dados são medidos das estações, de 10 em 10 minutos,

foi procedida a uma média por horas, para este ponto não se fez mais do que realizar a

soma das radiações no espaço de uma hora dividindo pelo número de medidas.

Para esta etapa foi tido em conta que, como espaço de tempo utilizado tem vários

anos, por exemplo para a estação de Alto Rodicio o espaço é de 4 anos de 2002 a 2005

foi efectuada a média horária para cada mes. Para exemplificar aqui fica uma tabela,

tabela 1, com os dados para cada ano no mes de Março e a média do mes de Março para

essa estação. O gráfico pretende mostrar que esta aproximação resulta num cálculo com

um erro pequeno.



35

Mar-02 Mar-03 Mar-04 Mar-05 Media 00h-01h 0 0 0 0 0,00 01h-02h 0 0 0 0 0,00 02h-03h 0 0 0 0 0,00 03h-04h 0 0 0,012348 0 0,00 04h-05h 0 0 0,014817 0 0,00 05h-06h 0 5,963925 0 0 1,49 06h-07h 11,92785 40,15462 0,177806 0,867241 13,28 07h-08h 91,34806 119,9082 29,38171 46,82362 71,87 08h-09h 208,3299 228,9628 115,6475 164,7975 179,43 09h-10h 330,4607 316,977 220,9484 282,5285 287,73 10h-11h 437,8484 392,8411 301,5017 386,2555 379,61 11h-12h 468,0384 444,7384 379,8875 436,9288 432,40 12h-13h 489,7456 444,5902 418,9606 465,4266 454,68 13h-14h 494,6353 429,8841 404,7705 453,8607 445,79 14h-15h 397,2863 311,791 365,1478 377,8413 363,02 15h-16h 288,9355 219,7021 277,8885 330,3607 279,22 16h-17h 170,5831 128,5022 165,8082 227,6548 173,14 17h-18h 61,60253 30,70866 76,63083 110,8737 69,95 18h-19h 0,333387 0,333387 5,871301 13,89483 5,11 19h-20h 0 0 0 0 0,00 20h-21h 0 0 0 0 0,00 21h-22h 0 0 0 0 0,00 22h-23h 0 0 0 0 0,00 23h-00h 0 0 0,012348 0 0,00

Tabela 1 – média horárias no mes de Março

A tabela 1 dá origem ao gráfico 4 que permite uma visualização dos valores,

mostrando a boa aproximação neste mes. No entanto não é de esperar que todos os

meses tenham esta aproximação. Num ou outro mes verifica-se que a média não é assim

tão correcta pelas discrepâncias que existem para o mesmo mes de ano para ano. A

utilização destas médias verifica-se nas ferramentas de cálculo existentes assim como

em sites que auxiliam o cálculo destes sistemas. Deste modo o erro esperado por este

método é semelhante ao esperado noutros sistemas de cálculo. Mais tarde irá ser

descrito as mais valias que esta ferramenta de cálculo tem, para além de um sistema de

previsão da incidência solar, em relação aos outros sistemas existentes.



36

valores e média mes Março

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

hora

radi

ação

Mar-02 Mar-03 Mar-04 Mar-05 Média

Gráfico 4 – média horárias no mes de Março

8.1.2. Conclusão

Neste ponto não se dá ênfase a nenhum aspecto de cálculo em concreto pois a

sua implementação é muito simples. Como já foi dito não se fez mais do que

realizar a médias de medições, este ponto do trabalho apenas se realça pela

importância que existe na radiação medida uma vez que se sabe que existem pontos

na história que se repetem.



37

9. Ferramenta de cálculo

Este ponto do trabalho e do relatório junta tudo o que foi dito atrás, vamos explicar

onde cada ponto anterior entra no trabalho, como entra e em alguns casos lembrar ou

relembrar a sua importância.

Este capitulo vai ser organizado tal como está na ferramenta de trabalho, deste modo

é possível seguir a explicação e ao mesmo tempo que comprova na ferramenta de

cálculo.

9.1. Informação pessoal

Esta é a primeira página do projecto, neste ponto insere-se tanto a informação da

empresa de forma a identificar o projecto, tal como se mostra na figura 11, como a

informação do cliente necessária para o projecto, localidade, província, latitude

longitude, como mostra a figura 12. É neste ponto onde se insere o pedido do projecto,

águas sanitárias ou aquecimento, como está demonstrado na figura 13.

Figura 11 – informação da empresa

Figura 12 – informação do cliente



38

Figura 13 – informação do projecto

Na informação do cliente é pedido para inserir o nome, a localização e a localidade

de modo a identificar o projecto. Neste ponto é imprescindível indicar qual a província,

a latitude e longitude do local onde se vai realizar a instalação e a altitude da localidade.

A província poderia ser um ponto desnecessário mas não o é pelo facto de ser

necessário saber a altura da capital da província, como se vai ver mais à frente.

O serviço de aquecimento de águas sanitárias, ACS, ou aquecimento, calefacción, é

independente, não é obrigatório que se façam as duas instalações, no entanto para o

sistema de aquecimento é necessário indicar o número de locais a aquecer, plantas

calefactadas, a superfície e a altura, de modo a realizar um projecto correcto.

9.2. Dados de cálculo

Nos dados do projecto começa-se a inserir os dados para efectuar os cálculos, dentro

destes estão o painel, número de painéis, rendimento do sistema, orientação e inclinação

do painel, etc. Vamos proceder a uma explicação mais pormenorizada deste ponto.

9.2.1. Dados do painel

Nos dados do painel temos de especificar qual o painel a utilizar e a quantidade de

painéis que se vão utilizar, figura 14.

Figura 14 – dados do painel



39

Neste ponto o rendimento óptimo tal como os factores de rendimento k, k’ e a

superfície são inseridos automaticamente pela ferramenta, consoante a escolha do

painel. Como já foi referido na ferramenta estou inseridos os painéis testados pela

empresa SPF Solartechnik Prϋfung Forschung, dito no capítulo 6.

9.2.2. Rendimento do sistema

É da responsabilidade do projectista escolher o sistema que vai interligar aos

painéis. Como escolha pessoal do projectista é necessário, e já que após a escolha está

dotado dos dados de rendimentos, que insira os rendimentos do acumulador e do

circuito de distribuição, figura 15.

Figura 15 – rendimento do sistema

Estes valores são em percentagem, logo irão de 0% a 100%, sendo que estes dois

não devem ser colocados. Não existem sistemas que não têm rendimento, ou caso

existissem não seriam colocadas e estariam nas invenções mais inúteis de sempre. O

mesmo acontece para 100%, isto indicava que seria um sistema sem perdas.

No entanto este projecto é capaz de realizar os cálculos com a gama compreendida

entre 0% e 100%.

9.2.3. Orientação e inclinação dos painéis

Como já foi explicado anteriormente o rendimento de um painel varia consoante a

sua inclinação ou orientação. Neste ponto pede-se para escolher ambos os casos, figura

16.



40

Figura 16 – inclinação e orientação dos painéis

A inclinação de um painel altera o rendimento consoante o dia, ou mes, do ano, uma

vez que o sol vai tendo um elevação maior no verão e menor no Inverno. Este valor de

inclinação está limitado entre 0º, horizontal, e 90º, vertical. Como é de fácil

compreensão não tem sentido colocar um painel a mais de 90º, neste caso a normal ao

painel estaria a apontar para o solo, e não para o sol.

O azimute, orientação, do painel altera o rendimento em função da hora do dia. O

sol nasce a este e põe-se a oeste. Neste caso o painel pode estar inclinado para este,

recebendo maior radiação da parte de manha, ou para oeste, recebendo maior radiação

da parte de tarde. Caso não se insira uma orientação é indicado por defeito que o painel

está orientado a sul.

9.2.4. Umbral de radiação

Este valor indica apenas o ponto inicial de radiação a partir do qual os painéis

entram em funcionamento. A título de exemplo, se colocarmos o valor 100 no umbral

de radiação, significa que o painel só tem rendimento com valores de radiação

superiores a 100.

9.2.5. Estação meteorológica

Neste ponto procede-se à escolha da estão meteorológica mais próxima do local.

Este é um ponto importante porque através desta escolha a ferramenta de cálculo vai

automaticamente indicar qual a radiação esperada, e a temperatura mínima esperada.

Este ultimo ponto da temperatura mínima vai ser explicado quando for utilizado no

cálculo para uma melhor compreensão.



41

9.2.6. Tipologia de consumo

O consumo de água quente é diferente de local para local, seja vivenda unifamiliar,

escola, hospital, etc. Neste ponto o projectista tem de indicar qual o tipo de consumo

para o qual o projecto está a ser dimensionado. É do mesmo modo necessário indicar o

número de utilizadores da instalação.

Estes consumos estão pré estabelecidos em regulamento (6), neste caso com a

inserção do tipo de consumo e número de utilizadores a informação fica completa,

figura 17

Figura 17 – tipologia de consumo

9.3. Cálculos

O sistema de cálculo da instalação solar tem vários passos, deste modo vamos

continuar como se tem feito até aqui por partes e imagens para melhor compreender o

que se pretende explicar.

9.3.1. Irradiação média

A irradiação média é um dado que se insere automaticamente, isto acontece pelos

dados inseridos. Para este ponto o cálculo explicado no capítulo 7, mais precisamente na

subsecção 7.1.1, tem importância fundamental.

Os dados de irradiação média estão inseridos por estação meteorológica, deste modo

quando se escolhe a estação mais próxima, figura 18, do local a tabela representada na

figura 19 fica automaticamente preenchida.



42

Figura 18 – estação meteorológica

Figura 19 – irradiação média para a estação Alto Rodicio

De ter em atenção que a escolha da estação meteorológica é realizada na altura em

que se insere os dados para o cálculo, como explicado na subsecção 8.2.5.

9.3.2. Irradiação corrigida com a inclinação

Neste ponto é necessário ter em conta o albedo. Para este ponto a norma espanhola

tem valores referentes ao coeficiente de albedo, isto é, após saber-se a radiação média

utilizam-se coeficientes tabelados que nos dão a radiação média mais o que é absorvido

pelo painel através do albedo.

Como a empresa está sediada e trabalha na Galiza, apenas é necessário saber os

coeficientes para duas latitudes, 42º e 43º, figura 20.



43

Figura 20 – coeficientes a que acresce a radiação (6)

Com estes factores apenas é necessário realizar uma interpolação através de uma

recta para saber qual o valor para a latitude do local, latitude essa indicada na

informação pessoal do projecto, e para a inclinação do painel, indicada nos dados para o

cálculo.

Primeiro passo da interpolação é encontrar automaticamente os valores que são

necessários para interpolar, os valores maior e menor, mais próximo da inclinação do

painel. Após isso teremos de interpolar para a latitude do local, para este ponto os

valores de 42º e 43º são fixos.

A multiplicação de cada valor, cada valor da figura 8.9, com os valores encontrados

pela interpolação para cada mes dá a irradiação corrigida.

Um exemplo do cálculo será mostrado com o recurso a figuras retiradas da

ferramenta de Excel. Com a latitude e inclinação do painel como mostra a figura 21

temos os valores de correcção indicados na figura 22, após a interpolação indicada

acima. Com estes valores mensais multiplicamos pelos valores indicados na figura 8.9,

e temos o resultado indicado na figura 23.



44

Figura 21 – latitude do local e inclinação do painel

Figura 22 – valores de correcção

Figura 23 – valores corrigidos para a inclinação e latitude

9.3.3. Ângulo de incidência longitudinal e rendimento dos painéis

O ângulo de incidência, que está explicado no capítulo 6, é agora necessária de

modo a corrigir a irradiação absorvida pelo painel. Neste momento tem de estar



45

escolhido o painel que se pretende testar. Para a representação de cálculos vamos

escolher o painel da Viessmann Vitosol 250, como mostra a figura 24, apenas um

painel.

Figura 24 – painel escolhido para exemplo, um painel

A latitude e longitude do local estão escolhidas na figura 21. Deste modo para cada

hora do dia, e utilizando um valor médio para cada mes, de dia 15 de cada mes, para se

calcular a posição solar temos a figura 25 que mostra os ângulos de incidência.

Figura 25 – ângulo de incidência longitudinal

O painel da Viessmann escolhido tem a seguinte curva de rendimento em função do

ângulo de incidência (3), figura 26.



46

Figura 26 – factores de ângulo para o painel Vitosol 250 (3)

Como os valores que se conseguem ler do gráfico são de 10 em 10 graus é

necessário proceder a um interpolação através de uma recta que passa pelos valores

mais próximo, valor maior e valor menor. Deste modo temos uma aproximação para o

valor dos ângulos que se apresenta na figura 25.

Os valores que se encontram para o rendimento estão representados na figura 27.

Figura 27 – rendimento longitudinal do painel

9.3.4. Ângulo de incidência longitudinal e rendimento dos painéis

Este cálculo é em tudo semelhante ao anterior, a diferença está na utilização dos

valores de rendimento do painel e o ângulo de incidência que se passa a utilizar o

ângulo de azimute para o painel.



47

Deste modo não se pretende estar a repetir o que foi dito passamos a apresentar

apenas o ângulo de incidência transversal, figura 28, e o respectivo rendimento do

painel, figura 29.

Figura 28 – ângulo de incidência transversal

Figura 29 – rendimento transversal do painel

9.3.5. Irradiação média corrigida com coeficientes longitudinais e transversais

Este é um ponto bastante simples, após termos os rendimentos longitudinais e

transversais actualizam-se os valores de irradiação recolhida pelo painel. Isto consegue-

se multiplicando o valor de cada célula da figura 23 com os de cada célula das figuras

27 e 29.

Com esta operação ficamos com os valores mostrados na figura 30.



48

Figura 30 – irradiação média corrigida com os coeficientes de rendimento longitudinal e

transversal

Na última linha temos a irradiação média corrigida que se espera por mes. Estes

valores serão necessário e como tal ficam desde já calculados, no entanto quando estes

forem utilizados explica-se como se utilizam.

9.3.6. Energia global recolhida pela instalação

Estamos agora em condições de calcular a energia recolhida pela instalação, para

isso é necessário multiplicar a irradiação média corrigida, figura 30, e a superfície total

dos painéis da instalação, figura 24, célula onde está o total.

Este é um cálculo bastante simples de se efectuar, ficando os resultados, com os

valores que temos dado, descritos na figura 31

Figura 31 – energia global recolhida pela instalação



49

Este ponto mostra, para além da energia por hora, a energia recolhida por dia,

Wh/dia, por mes, kWh/mes, e por ano, a soma de todos os meses.

9.3.7. Necessidades da instalação para água quente sanitária

A instalação pode servir para um uso total ou parcial, é neste ponto que é necessário

saber e indicar qual vai ser a ocupação do sistema. Na figura 32 temos um resumo das

necessidades que serão explicadas uma a uma.

Figura 32 – necessidades da instalação e dados necessários

9.3.7.1. Ocupação

Este é o único ponto onde o projectista pode alterar, a ocupação do sistema pode não

ser total, inferior a 100%. Como tal o projectista na altura de recolher os dados do

cliente tem de saber se o cliente quer a ocupação a 100% ou menos.

9.3.7.2. Temperatura da água da capital

A temperatura média da água da capital de província está tabelada nas normas

espanhola (6). Deste modo a ferramenta de cálculo faz a busca da temperatura da água

da capital de província. A figura 33 mostra os valores da tabela de regulamento.



50

Figura 33 – temperatura média da água da rede (6)

Como se pode verificar, no nosso caso escolhemos a capital de província

Pontevedra, temos os dados correctos.

9.3.7.3. Temperatura da água na localidade

As tabelas existentes na norma apenas se aplicam às capitais de província, no

entanto a norma tem um fórmula para uma localidade que não seja capital de província

(6), essa formula contempla as altitudes, motivo pelo qual elas têm de ser inseridas no

inicio, figura 8.2.

zBTT capitallocalidade ∆−= *

- ∆z, corresponde à diferença de altitude entre a localidade e a capital de

província,

- B, é uma constante que nos meses de Abril a Setembro toma o valor de

0,0033 e de 0,0066 nos restantes meses.

9.3.7.4. Número de dias do mes



51

Neste ponto estão os dias que cada mes tem. Como se pode reparar o mes de

Fevereiro tem o valor fixo de 28 dias, isto deve-se ao facto de o sistema estar a

funcionar com a radiação sempre para 28 dias ignorando deste modo os anos bissextos.

9.3.7.5. Consumo de água por mes

O consumo de água por mes esperado não é mais do que o cálculo do consumo da

instalação a multiplicar pelo numero de meses e a taxa de ocupação.

9.3.7.6. Energia necessária

Os dois últimos pontos são a energia necessária para satisfazer o consumo, este

calcula-se primeiro em kilocalorias e depois passa-se para kilowatt-hora.

O cálculo em kilocalorias é encontrado aplicando a fórmula

)45(*/ TE localidademeskcal aconsumoágu −=

O número 45 da fórmula é a temperatura a que queremos utilizar a agua, esta

temperatura é aconselhada a 45º.

A passagem para kilowatt não é mais do que dividir este valor por 860, constante

que realiza a passagem entre unidades.

9.3.8. Poupança energética

Neste instante, com tudo o que foi efectuado anteriormente podemos verificar a

poupança energética que conseguimos com os painéis escolhidos para a instalação. Na

figura 34, temos o quadro da poupança energéticas, tal como foi feito anteriormente

explicaremos ponto a ponto posteriormente.



52

Figura 34 – poupança energética

9.3.8.1. Energia recolhida

A energia recolhida já foi calculada na subsecção 8.3.6, aqui apenas temos os

valores mensais reorganizados para uma melhor percepção de cálculo.

9.3.8.2. Temperatura exterior

Aqui temos as temperaturas exteriores em hora de sol, estes valores são conseguidos

pela pesquisa por capital de província, na figura 35 temos as temperaturas exteriores

numa tabela de normas espanholas (6).



53

Figura 35 – temperatura ambiente em horas de sol das capitais de província (6)

9.3.8.3. Rendimento do painel

O rendimento de um painel não é óptimo, este é calculado em função do seu

rendimento óptimo, a diferença de temperatura e a irradiação. A fórmula seguinte

apresenta como se calcula o rendimento do painel.

IItk tk ∆−

∆−=

2'

0**ηη

Os factores representados por η0, k e k’ são dados do painel, estes estão disponíveis

automaticamente quando se escolhe o painel. Estes valores podem ser vistos na figura

8.4.

O factor ∆t, é a diferença entre a temperatura a que o sistema vai funcionar, valor

aconselhado de 45º, e a temperatura exterior.

A irradiação, I, já foi calculada e está disponível na figura 8.20 em médias.



54

9.3.8.4. Energia útil

A energia recolhida pelo painel não é toda utilizada, isso apenas aconteceria se o

rendimento do painel fosse óptimo. Para se saber a energia que realmente é recolhida

pelo painel, temo de multiplicar a energia recolhida pelo rendimento do painel.

η*EEutil =

9.3.8.5. Energia para uso

Após existirem perdas no painel temos que a energia útil do painel não vai estar toda

disponível para uso, existirão perdas no sistema, perdas essas já declaradas na subsecção

8.2.2. A energia disponível para uso será calculada com a energia útil e o rendimento do

sistema.

ηη ãodistribuiçacumuladosutiluso EE **=

9.3.8.6. Poupança

A poupança que se consegue é calculada primeiro em termos virtuais, isto deve-se

ao facto de existirem poupanças acima dos 100%. Quando temos um energia disponível

para uso superior à energia necessária, vamos ter poupanças acima de 100%, esta

poupança não é a mais correcta visto que o excedente não é utilizado, existe a poupança

real, a energia realmente coberta pelo sistema, e o excedente, em casos que se tenham

energias disponíveis superiores à necessária.

EEpoupançanecessário

usovirtual

=%

%100%% −= poupançaexcedente virtual



55

No cálculo da percentagem excedente não existem valores negativos, isto é, se o

sistema tiver uma poupança virtual inferior a 100% o excedente é nulo.

excedentepoupançapoupança virtualreal

%%%−=

Este cálculo acontece para existir maior sinceridade na poupança, não é honesto

dizer que se vai poupar de energia 150% quando apenas se vai utilizar 100%, os outros

50% são desperdiçados ou reaproveitados. O aproveitamento do excedente vai ser

utilizado, no entanto até ao término do prazo para entrega deste documento não foi

ainda adicionado à ferramenta apresentada.

9.3.8.7. Energia não consumida

Este valor da energia não consumida refere-se à energia que não se vai consumir

através de electricidade, combustíveis, etc, mas sim através do sistema solar. Esta

energia é fácil de calcular, uma vez que utilizamos a energia para uso, quando esta é

menor que a energia que necessitamos, ou a energia que necessitamos, quando esta é

menor que a energia para uso.

9.3.9. Resumo de resultados para aquecimento de água sanitária

Antes de mostrar os resumos do resultado para o aquecimento de água sanitária

convém explicar que o cálculo é efectuado, em primeiro lugar, tendo em vista a

utilização para este aquecimento.

O aquecimento de água sanitária é necessário durante todo o ano para um sem

número de aplicações, por outro lado o aquecimento climático nem sempre é necessário,

durante os meses de maior calor este é dispensado sendo utilizado máquinas de

arrefecimento.

Como o investimento no sistema ainda é considerado elevado não faz sentido estar a

investir para se utilizar a energia gerada apenas alguns meses.



56

Podemos após este parêntesis apresentar o resumo dos resultados a que se chegam

para o aquecimento de água sanitária. Este quadro de resumo está disponível na folha de

dados de modo a ser entregue ao cliente. Na figura 36 temos o resumo apresentado.

Figura 36 – resumo de resultados para aquecimento de água sanitária

Este resumo não é mais do que a selecção de alguns resultados do ponto anterior

para melhor compreensão do cliente.

No resumo que se apresenta ao cliente está ainda disponível o rendimento global do

sistema, assim como a poupança que se consegue por painel.

O rendimento global do sistema é a energia que se poupa noutras fontes de energia,

a energia fornecida pelos painéis, total da figura 36, em relação à energia total recolhida

pela instalação, total anual da figura 31.

A poupança por painel é a energia fornecida pelos painéis a dividir pela superfície

total, isto dá-nos quanto poupamos em cada painel.



57

10. Tratamento de séries temporais

Este é um ponto que ficou um pouco aquém do esperado. Isto acontece pelo facto de

a previsão climática ser muito incerta, não se sabendo a longo prazo o que irá acontecer.

Para o projecto o objectivo era encontrar a previsão para um ano, o que se verificou

impossível, no entanto acredito que o método seguido nos permite calcular a previsão a

curto prazo, inferior a um dia, o que poderá ser interessante no aspecto informativo.

Este prazo de previsão não serve os interesses da empresa pelo facto de ser necessário

um ano de previsão para realizar o projecto.

Apesar dos resultados não serem os melhores irão ser apresentados aqui alguns

métodos de previsão de séries temporais de modo a ser possível o recurso deste

documento para outros fins.

10.1. Introdução sobre séries temporais

Uma série temporal é um conjunto de observações feitas ao longo do tempo. O

objectivo destas análises é ter o conhecimento de um comportamento padrão de modo a

prever a sua evolução futura. Na generalidade as séries temporais estão associadas a

fenómenos aleatórios, o que implica que temos de associar à série temporal um modelo

probabilístico, é costume aplicar a frase cujo autor é desconhecido e que explica muito

bem a dificuldade e a incerteza que rege as séries temporais e a previsão da evolução

futura “forecasting is the art of saying what will happen, and then explaining why it

didn't”.

Existem dois tipos de séries temporais, contínuas e discretas. Como facilmente se

percebe uma série temporal contínua é realizada ao longo do tempo, por outro lado

numa série discreta as medidas são efectuadas em intervalos de tempo, regularmente

esses espaços temporais são igualmente espaçados.



58

10.2. Tratamento de dados

Os dados disponíveis estão medidos de 10 em 10 minutos, o que provocava um

conflito no Excel em termos de número de dados, já que os valores correspondem a 4

anos, o que dariam 210240 dados.

Para se resolver este problema foram calculadas as médias semanais, isto acontece

devido ao facto de a ferramenta de cálculo ter sido pensada em primeiro lugar para

resultados em semanas em vez de meses, ideia essa que posteriormente foi abandonada

mas poderá vir a ser realizada no período de Agosto, uma vez que o contrato apenas

termina no fim desse mes.

As médias semanais foram calculadas do seguinte modo. Tendo os dados o espaço

de 10 em 10 minutos e alguns valores faltante e outros pouco credíveis foi realizada a

média espaçada a fim de filtrar os erros.

Primeiro foram aproveitados os dados já calculados anteriormente, de hora a hora,

isto permitiu que as noites tivessem menos peso, após isso foram calculadas as médias

de duas em duas horas, de três em três até chegar à média diária. Com as médias diárias

calcularam-se finalmente as médias semanais.

Com estes valores e após o estudo gráfico da série, que se assemelha a um co-seno,

foi possível encontrar uma função que serviu posteriormente para encontrar a radiação

para um ano. O gráfico 5 mostra os valores da série, valores semanais, e a função co-

seno à qual se pretendeu associar a série.

médias e coseno

0100200300400500600700800900

1 14 27 40 53 66 79 92 105118131 144157 170183196

semana

radi

açã

valores semanaisfunção coseno

Gráfico 5 – médias semanais e aproximação a um co-seno



59

Esta aproximação a um co-seno foi considerada razoável, no entanto não satisfaz o

desejado neste momento, mais tarde voltou a ser utilizado como se vai ter oportunidade

de verificar. Esta função foi calculada com base em apontamentos de Métodos

Observacionais em Climatologia e Meteorologia de Mesoescala, no curso ministrado

pela Dra. Leila M. Véspoli de Carvalho. Na secção 9.4 vamos explicar como se fez esta

aproximação.

10.3. Valores utilizados

Apesar destes valores terem sido calculados não foram utilizados desta maneira, esta

é uma série que apresenta sazonalidade e tendência. Foi efectuada uma tentativa de

modo a eliminar ou controlar estes fenómenos.

Sazonalidade é caracterizada pela variação anual que existe na radiação, como já foi

explicado esta é maior no verão e menor no Inverno, e percebe-se perfeitamente pelo

gráfico 9.1.

A tendência é mais complicado de se observar, esta é caracterizada por uma

mudança do nível médio ao longo do tempo. Isto pode-se verificar pelos segmentos de

recta presentes no gráfico 6 que correspondem à média de cada “ciclo”.

tendencia

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199

semana

radi

ação

Gráfico 6 – tendência



60

Para evitar estes fenómenos foram calculadas as diferenças entre a radiação extra

terrestre, já calculada no capítulo 5, e os dados.

10.4. Analise de Séries Temporais

O primeiro passo para a análise de uma série temporal é realizar o estudo gráfico da

série em questão. A observação gráfica permite conhecer o aspecto evolutivo da mesma.

O estudo comportamental de uma série temporal implica a utilização de

metodologias diversas. Deste modo poderá ser possível prever a evolução futura da

série.

Dos métodos existentes para o estudo de séries temporais que se vão expor utilizar-

se-ão duas terminologias, modelização por componente e Box-Jenkins.

10.4.1. Modelização por componentes

A modelização por componentes permite identificar quatro componentes teóricas,

não sendo obrigatório a existência de todas. Estas componentes denominam-se de

tendência, Tt, estacionalidade, Et, ciclos, Ct, e resíduos, Rt.

Cada uma das componentes acima descritas é uma função do tempo. A análise por

componentes consiste na separação de cada componente e verificar como elas se

conjugam para formar a série inicial.

A tendência pode ser definida como variação a longo tempo do nível médio. A

dificuldade que se pode encontra na modelização da tendência está ligado aos dados,

Como a definição indica, variação a longo tempo, pode tornar complicado descobrir a

tendência, por exemplo se um série sofre uma alteração do valor médio num espaço de

20 anos, é complicado verificar a tendência correcta se os dados se reportarem a um

período inferior a esses 20 anos.

A estacionalidade representa a variação que se repete em curto períodos de tempo.

Este componente está habitualmente ligado ao ciclo das estações do ano.

Como ciclos percebe-se outras alterações cíclicas que não se inserem na

estacionalidade.



61

Os resíduos de uma série temporal é o ultimo componente de uma série temporal,

após a remoção do ciclo, da tendência e da estacionalidade, surgem por vezes sinais

aleatórios.

Para os vários componentes da série são utilizados modelos tais como linear, medias

móveis, diferenças finitas, etc.

Os modelos que são usualmente propostos neste tipo de modelização são

denominados de aditivos e multiplicativos.

Yt = Tt + Et + Ct + Rt, modelo aditivo

Yt = Tt * Et * Ct + Rt, modelo multiplicativo

Um modelo aditivo pode ser interpretado como um modelo em que a

estacionalidade modifica a ordenada na origem da tendência, no modelo multiplicativo a

tendência, para além de alterar a ordenada da estacionalidade na origem muda a

pendente.

10.4.2. Box-Jenkins

O método Box-Jenkins foca o esforço da análise de séries temporais para determinar

o modelo probabilístico que rege a série ao longo do tempo. Este método parte do

princípio que não se consegue identificar todos os componentes da série, focando o

estudo no resíduo.

Este método baseia-se na identificação do modelo, a estimação dos parâmetros e a

validação do modelo.

Para este tipo de abordagem é necessário estudar em primeiro lugar os modelos de

comportamento que abordem o maior número de processos estocasticos. Os modelos de

comportamento que mais se destacam estão o processo de medias móveis (MA),

autorregressivos (AR), integrados (I), e a conjunções destes três últimos (ARMA e

ARIMA).

Em geral assume-se que o componente aleatório, o resíduo, segue uma distribuição

normal com média 0 e variância σ2.



62

10.4.2.1. Médias móveis

Um modelo de média móvel, que se representa por MA(q), tem uma estrutura do

tipo, Xt = µ +α0Zt + α1Zt-1 + ... + αqZt-q. O valor presente, Xt, é uma função linear dos

valores passados dos erros. Para este método os valores de {αi} são constantes e os

valores de Z são escalados de modo a que α0 seja 1.

No método de média móvel o maior problema que se tem de enfrentar é o da

estimação dos parâmetros. Os erros são funções não lineares devido parâmetros, α0, α1,

... αq, por este motivo é necessário o recurso a sistema de cálculo numérico, uma vez

que não é possível obter uma solução analítica. Os parâmetros são calculados através de

métodos iterativos de modo a minimizar a soma dos quadrados residuais. Dado o

modelo de média móvel

Xt = µ +α0Zt + α1Zt-1 + ... + αqZt-q

E tendo os dados da série, x1, x2, ..., xn o procedimento consiste em fixar os valores

µ, α0, α1, ... αq e calcular os resíduos

xt- µ - α0Zt - α1Zt-1 - ... - αqZt-q

De um modo sequencial para t = 1, 2, ..., n assumindo que Z0=Z-1=...=Z-q+1=0.

Dados os resíduos é possível calcular a soma dos quadrados residual. É necessário

repetir este processo para valores diferentes de µ, α0, α1, ... αq de modo a escolher os

valores que minimizem a soma dos quadrados. Apesar deste processo ser efectuado por

métodos numéricos de algoritmos eficientes não é seguro que exista convergência para

um mínimo global.

Existem regras práticas que se devem ter presentes na utilização deste método. Por

vezes são necessárias muitas iterações para existir convergência ou até a convergência

ser impossível de alcançar. Neste caso deve-se para o método de modo a pensar em

alguma solução. Uma das primeiras coisas a ter em vista para resolver este problema é

verificar as estimativas, estas podem ser instáveis. Por vezes é mais vantajoso ajustar

um modelo autorregressivo aos dados mesmo que isto resulte num aumento de

parâmetros do que o modelo de médias móveis.



63

10.4.2.2. Autorregressivo

Um processo autorregressivo, que se representa por AR(p), acontece quando o valor

actual é dependente dos valores anteriores mais o resíduo. A estrutura do processo

autorregressivo é Xt = µ + β1Xt-1 + ... + βpXt-p + εt.

Igualmente ao método de média móvel, este é um método em que se torna

necessário a estimação dos parâmetros β1, β2, ..., βp. Dado um processo autorregressivo

com média µ

Xt – µ = β1(Xt-1 - µ) + ... + βp(Xt-p - µ) + εt

E dadas n dados da série, x1, x2, ..., xn os parâmetros µ, β1, β2, ..., βp podem ser

estimados pelo método de mínimos quadrados, ou seja minimizar a soma dos

quadrados.

( ) ( ) ( )[ ]2

111 ....∑

+=−− −−−−−−=

n

ptqtptt xxxS µβµβµ

Alternativamente a este método de estimação de parâmetros existem dois métodos

aproximados.

10.4.2.3. ARMA

Um processo ARMA é quando os valores de Xt são funções lineares dos valores

passados de Yt e dos erros temos um processo ARMA, este processo é representado por

ARMA (p,q).

Para estes processos a ordem de autorregressão é o valor mais antigo dos elementos

da série, p, e do erro, q. O método tem a seguinte expressão

Xt = β1Xt-1 + ... + βpXt-p + α0Zt + α1Zt-1 + ... + αqZt-q + εt

A estimação dos parâmetros enfrenta problemas semelhantes aos verificados para o

método de médias móveis. Também neste método é necessário recorrer a processos

iterativos. Este problema aparece porque os erros {εt} são na mesma funções não



64

lineares mas neste método são complicadas por todos os parâmetro, β1, ..., βp, α0, ..., αq.

Neste método é necessário ter em atenção o que foi dito no final de 10.4.2.1 no que

respeita a um número elevado de iterações para convergir.

O cálculo dos parâmetros pode ser conseguido pelo método dos mínimos quadrados

para os resíduos através de uma tabela de valores para os parâmetros. A escolha recai

uma vez mais no que der um valor menor. No entanto é possível outro tipo de

abordagem para o cálculo de parâmetros. Vamos considerar um processo ARMA (1,1),

cuja função de autocorrelação decai exponencialmente.

Xt - µ = β1(Xt-1 – µ) + Zt + α1Zt-1

Dados n dados, x1, x2, ..., xn escolhemos valores para µ, β1, α1, fazendo z0=0 e x0=µ e

calculamos recursivamente os resíduos.

z1=x1 + µ

z2=x2- µ - β1(Xt-1 – µ) - α1Zt-1

.....................

zN=xN- µ - β1(XN-1 – µ) - α1ZN-1

A soma dos quadrados dos resíduos pode agora ser calculada ∑=

N

ttz

1

2 . Após isto outros

valores de µ, β1, α1, podem ser testados até se conseguir um mínimo para a soma dos

quadrados dos resíduos.

10.5. Modelização através de uma função trigonométrica

Como este relatório pretende estar disponível para o público em geral vamos antes

de modelizar a série por um função trigonométrica apresentar algumas considerações

importante sobre estas funções (7).

Estas funções são funções que se estendem de -∞ a +∞, repetindo o seu valores

periodicamente de 360º em 360º, correspondem a 2π. Estas funções têm um máximo de

valor 1 e um mínimo de -1, o seu valor médio está centrado em 0.

De modo a aproximar a série a um co-seno foram ultrapassado três problemas,

alterar o argumento da função trigonométrica que é um ângulo e nós temos uma série



65

em função de tempo, alterar os limites da função de -1 e +1 para valores que desejamos

e alterar a altura em que acontecem os máximos e mínimos para os nossos máximos e

mínimos.

O primeiro problema é ultrapassado alterando o ciclo fundamental, α, Como

sabemos que o ciclo de um co-seno é de 2π é fácil alterar a escala, isso faz-se do

seguinte modo,

tnπα 2

= , n – unidades de tempo

Para se resolver o segundo problema é necessário alterar o valor médio e os limites,

como o valor médio de uma função trigonométrica é zero apenas necessitamos de

colocar o nosso valor médio somando à série esse valor, ū. A alteração dos limites é

realizada alterando a amplitude da função trigonométrica, como a função tem valor

unitário de amplitude colocamos uma amplitude que se adapte aos nossos dados, C. A

expressão fica com o seguinte aspecto.

)2cos(*_

tn

Cuyt

π+=

O terceiro problema consiste em atrasar ou adiantar a função, isso consegue-se com

a adição ou subtracção do desfasamento que queremos. No fim temos a expressão

seguinte.

)2cos(*_

φπ−+= t

nCuyt

O nosso caso vai estar explicado no anexo A de modo a ter continuamente todo o

processo de cálculo.

10.6. Suavizado exponencial

O suavizado exponencial é uma técnica destinada a estabilizar uma série, por outras

palavras, remover o componente aleatório (8). Esta técnica consiste na construção de



66

outra série, uma série suavizada St, partindo dos dados iniciais, Yt. Esta nova série tem a

seguinte expressão.

SYS ttt 1)1(−

−+= λλ

De um modo recursivo, temos que St-1 é

SYS ttt 211)1(

−−−−+= λλ

Continuando a construção da série vamos encontrar um problema com o valor S0,

este valor toma o valor Y1.

No final a nova série suavizada tem a seguinte expressão.

...)1()1( 22

1 +−+−+=−− YYYS tttt

λλλλλ

=−+−++−+ −− SYY tt

iti

011 )1()1(...)1( λλλλλλ

SY tt

iit

i0

1

0)1()1( λλλλ −+−= ∑

−

=−

Deste modo a previsão corresponde ao valor St, que é como quem diz Yt+1.

Da expressão anterior podemos concluir que o valor a prever, St, é resultado de uma

média ponderada dos valores do histórico. Este tipo de previsão atribui que o erro entre

o valor previsto e o valor real é devido à componente aleatória, isto não nos leva a

concluir algo que não saibamos. Aqui se verifica que o autor anónimo que construiu a

frase apresentada no início do capítulo tinha razão no que dizia.

Continuando este processo de explicação do suavizado exponencial temos de

explicar o factor λ que aparece na série suavizada. Este valor, chamado de coeficiente

de ponderação indica se estamos a dar preferência aos valores mais antigos ou mais

recentes da série, λ maior ou menor respectivamente. Este coeficiente de ponderação

tem valores no intervalo de 0 a 1.

A titulo de explicação mais intuitiva temos que se a série se mantém estável

devemos dar preferência a um valor pequeno para λ, uma vez que um valor pequeno

amortece bastante a oscilação aleatória da série. Caso a série tenha oscilações muito

grandes devemos escolher um coeficiente elevado.



67

A suavização exponencial aparece como alternativa ao método de médias móveis.

Não obstante este método de suavizado exponencial não elimina o uso de médias

móveis, uma vez que como todos os métodos tem vantagens e desvantagens.

Entre as vantagens existentes no suavizado exponencial está o facto de não existir

perda de informação, todos os valores do histórico são considerados neste método.

Outra vantagem importante neste método é o facto de ser possível seguir séries com

tendências que oscilem muito.

Nas desvantagens deste método, está entre outras, uma que tem em causa a

estacionalidade, o método não é capaz de remover a estacionalidade o que implica que

não consiga suavizar a oscilação. Para combater estas desvantagens foram

desenvolvidos métodos que não foram considerados no trabalho mas que são citados

aqui para caso o leitor queira ir mais longe neste capítulo de séries temporais, estes

métodos foram desenvolvidos por Brown e Winter.

10.6.1. Escolha do coeficiente de ponderação

Como já foi dito este coeficiente indica se pretendemos dar relevo aos valores mais

antigos ou mais recentes da série, no entanto continua a duvida de qual o melhor valor

para este coeficiente. A escolha consegue-se já que queremos minimizar os erros de

ponderação, destes erros destacam-se os mais importantes.

Um dos erros mais importantes é o erro quadrático médio, este erro é a média dos

quadrados dos erros da previsão, pela fórmula seguinte percebe-se melhor o que se quer

dizer.

( )1

2

2

−

−= ∑ =

nMSE

n

t tt SY

Outro erro importante é o erro médio absoluto, este é a média da soma dos valores

absolutos dos erros da previsão. Mais uma vez a compreensão é mais simples pela

exposição da fórmula.

12

−

−=

∑ =

nMAE

n

t tt SY



68

10.7. Método de Brown

O método de Brown é baseado no método de suavizado exponencial, este método

surgiu pelo facto de o suavizado exponencial não conseguir seguir séries que

apresentam tendência. Para ultrapassar este problema Brown elaborou uma metodologia

que combina o suavizado exponencial com a estimação de tendência. Vamos supor uma

tendência linear de modo a clarificar o método.

Yt = a + bt + ε

Esta equação pode ser interpretada como uma componente aleatória, ε, unida a um

modelo de previsão, a + bt. Utilizando a expressão do modelo de previsão atrás descrito,

a + bt, e relembrando que a série de suavizado exponencial tem a expressão

SYS tt

iit

it 0

1

0)1()1( λλλλ −+−= ∑

−

=−

podemos substituir a tendência Yt-i pela sua expressão Yt-i = a + b(t-i) obtemos para a

série de previsão

( )[ ] =−+−+−= ∑−

=SS t

t

i

it

itba0

1

0

)1()1( λλλλ

=−+−−−+= ∑∑−

=

−

=St

t

i

it

i

i ibbta 0

1

0

1

0)1()1()1()( λλλλλ

A partir deste ponto temos de ter dados suficientes para se considerar que a série é

grande. Com a consideração anterior, t grande, verificamos a convergência das séries

anteriores.

λλ 1)1(

1

0→−∑

−

=

t

i

i



69

2

1

0

1)1(λ

λλ −→−∑

−

=

t

i

ii

0)1( →− tλ

Em consequência das convergências a série fica

bYbbtaS tt λλ

λλλ −

−=−

−+=11)(

~

2

Observamos que a série ponderada dos dados cronológicos com tendência linear é uma

recta paralela aos dados com espaçamento de bλ

λ−−

1 .

Se voltarmos a suavizar a nova série do modo descrito na secção 10.6, termos uma nova

série que é dada por

( ) '1

' 1 −−+= ttt SSS λλ

e desenvolvendo como se desenvolve desde o inicio desta secção chegamos a

bYbSS ttt λλ

λλ −

−=−

−=121 ~

'

Subtraindo St com St’ temos

( )'^^

'

11

tttttt SSbbSS −−

=⇔−

=−λ

λλ

λ

Se dispusermos do valor da série para um tempo t, podemos dizer o incremento do valor

da série por unidade de tempo, tb^

. A partir desse valor é possível a previsão para um

período de tempo igual a t + T, isto consegue-se fazendo

TbYY ttTt *^~~

+=+



70

De relembrar que para a explicação deste método a tendência foi modelizada por um

recta.

10.8. Método utilizado

O método utilizado foi baseado em médias móveis, para este método foi seguido um

exemplo que se adopta, de certa maneira, ao caso em estudo (8). Como o caso de estudo

é dotado de bastantes dados, este exemplo vai ser feito com pequenos exemplos e partes

de imagens de tabelas e gráficos. Penso a explicação que se segue é elucidativa, mas

caso o leitor ache complicado pode solicitar os ficheiros Excel que estarão disponíveis

na minha página pessoal, pagina essa que pode aceder pelo link no endereço

https://www.fe.up.pt/si/alunos_geral.formview?P_COD=980503023.

10.8.1. Dados

Como já foi dito os dados utilizados foram tratados de modo a ser eliminado a

sazonalidade, isto pensa-se ter sido conseguido ao subtrairmos à radiação extra terrestre

os valores que temos dos dados, na figura 37 podem ver o início deste cálculo. Estes

dados foram calculados pelas médias diárias. Como já foi dito, a radiação extra terrestre

é constante, já calculada na secção 6.1. Esta radiação é atenuada na atmosfera pelos

componentes existentes. Os factores que atenuam a radiação são vários dos quais

destacamos a presença de nuvens, a pressão atmosférica, a temperatura, etc. Apesar

destes dados estarem disponíveis em algumas estações meteorológicas não foram

considerados por não serem todos dados pela mesma estação, deste modo não era

possível fazer a previsão por este método. A diferença entre a radiação extra terrestre e a

radiação medida pela estação considerada foi realizada de modo a modelizar os factores

que influenciam a radiação.



71

diferença entre radiação extra terrestre e valores medido

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 29 57 85 113 141 169 197 225 253 281 309 337 365

tempo

radi

ação

Gráfico 7 – diferença entre radiação extra terrestre e valores medidos



72

Figura 37 – radiação extra terrestre, radiação da estação e diferença, dados diários

Estes dados são origem ao gráfico 8, relembro que por motivos de espaço não se

encontra o gráfico completo.

Gráfico 8 – gráfico dos resíduos, diferença entre a radiação extra terrestre e os dados

Com o auxílio do add-in Forecasting para o Excel foram calculadas as médias

móveis, isso consegue-se facilmente através dos comandos disponíveis. A tabela vem



73

com o aspecto que apresenta a figura 38 o gráfico 8 apresenta as médias móveis em

aspecto gráfico.

Figura 38 – calculo das médias móveis através do add-in Forecasting

Gráfico 9 – médias móveis



74

Com estes valores foi calculada a estacionalidade, isto é feito do seguinte modo.

Primeiro é necessário calcular a diferença entre os dados e as médias móveis, Y-

Ymóvel. Após essa diferença o melhor a fazer é recorrer do assistente de tabelas

dinâmicas do Excel escolhendo como campo a média. Os campos que se adicionam são,

diferença e dia para dados e fila, na figura 39 temos parte da disposição da tabela e na

figura 40 temos os valores da média da tabela dinâmica e os índices de estabilidade.

Figura 39 – tabela utilizada para o cálculo dos índices de estacionalidade



75

Figura 40 – resultado da tabela dinâmica

No gráfico 9 temos os valores dos índices de estacionalidade.

Gráfico 10 – índices de estacionalidade

De seguida partimos para o cálculo da tendência, para isto recorremos novamente a

ferramentas do Excel para se fazer uma regressão, isto está disponível em análise de

gráficos. Para a regressão temos a necessidade de ter a coluna tempo, tempo ao



76

quadrado e médias móveis. Nos dados de entrada da regressão os valores de dia e dia ao

quadrado ficam em X e as médias móveis em Y. O quadro de resumo está na figura 41.

Figura 41 – resumo da regressão

Através da expressão abaixo escrita, foi calculada a tendência, esta está expressa na

figura 42. Na figura está representado o Y modelizado e o resíduo que serão explicados

mais tarde.

2

21* tempotempoatendencia bb ++=

Onde a, b1 e b2 são os coeficientes da regressão. Este método devia parar por aqui,

uma vez que R2 é muito baixo, no entanto prossegue-se o estudo a fim de o concluir

caso se queira utilizar este exemplo para outras séries.

Figura 42 – tabela com tendência, Y modelizado e resíduo



77

O Y modelizado não é mais do que o índice de estacionalidade mais a tendência. Por

seu lado o resíduo é o Y subtraído de Y modelizado.

Apresenta-se no gráfico 10 o Y modelizado, a rosa, e os valores recolhidos, a azul.

Por seu lado no gráfico 11 estão os resíduos.

Gráfico 11 – valores dos dados e valores do modelo

Gráfico 12 – resíduos obtidos na modelização

Por seu lado a previsão é efectuada somando o índice de estacionalidade e a

tendência.

Uma vez tendo as previsões podemos fazer um raciocínio inverso ao que fizemos

até agora, isto é, temos a diferença entre a radiação extra terrestre e temos também os

valores da radiação extra terrestre, deste modo calcula-se a diferença entre estes dois

valores e a média semanal figura 43. Tendo também a modelização por uma função



78

trigonométrica pode calcular uma previsão do ano seguinte. A figura 44 mostra essa

tabela.

Figura 43 – radiação extra terrestre, valores da previsão, diferença entre ambos e média semanal



79

Figura 44 – valores da previsão

Estes valores de previsão são conseguidos fazendo

amplitudeenomédiaY previsão −+= cos

O resultado final está no gráfico 12.



80

Gráfico 13 – previsão anual

10.9. Conclusão

Como se pode verificar a previsão não é a mais correcta, uma vez que as variáveis

meteorológicas são muito difíceis de prever, no entanto é considerado possível fazer

uma previsão para um curto espaço de tempo.

Realça-se que este ponto do relatório não está inserido na ferramenta projectada pelo

erro que implica. Durante todo o projecto foi tido em conta a honestidade e qualidade

motivo pelo qual não faria sentido colocar esta previsão.



81

11. Conclusão

Com os problemas que se enfrentam nos dias de hoje em relação ao gasto energético

são discutidas e criadas soluções para combater este problema. A utilização de energias

renováveis está sempre presente nas soluções encontradas.

A energia solar pode ser utilizada para aquecimento, climático ou águas sanitárias

entre outros. Para se proceder a um projecto credível e rápido são necessários

conhecimentos e experiência a nível de projecto como também uma ferramenta de

cálculo que facilite o projectista.

Durante este trabalho foi efectuada uma ferramenta que garanta a qualidade do

projecto tanto quanto possível mas também que os projectistas tenham um cálculo mais

simples. Isso pensa-se ter sido conseguido com esta ferramenta, uma vez que utiliza

valores medidos pelas estações na zona da Galiza e diz a posição solar em qualquer

instante do ano. Da mesma forma os projectistas da empresa estiveram sempre em

contacto com a implementação do programa de cálculo de modo a que não acusassem

nenhum tipo de desconforto aquando da utilização do mesmo.

Os passos mais complicados no projecto tiveram em questão a posição solar e os

métodos de previsão.

A posição solar foi um problema que se conseguiu ultrapassar pelas boas relações e

explicações que existem, no entanto enfrentar questões novas levantam sempre algumas

dificuldades.

Os métodos de previsão não só foram um problema como não foi possível encontrar

a solução. No entanto como se pode ver no gráfico 14 acompanhado pela tabela 2 os

valores têm uma tendência semelhante.



82

Comparação de radiação

0,00100,00200,00300,00400,00500,00600,00700,00800,00900,00

1000,00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51

semana

radi

ação

previsão valores medidos média

Gráfico 14 – comparação da radiação prevista. Série temporal, média e valores medidos



83

Semana Previsão Média Radiação Medida

1 52,50 164,7842 73,307329972 50,62 151,8939 156,41240273 80,73 183,0413 296,6542184 91,64 214,3705 264,53664535 100,49 209,925 157,31449476 164,61 264,4131 139,76744977 208,21 369,0426 191,27450388 178,65 290,481 215,8809159 258,46 235,84 286,9470988

10 293,43 392,228 253,134721411 350,77 331,8157 168,505285412 393,38 383,123 180,697003413 432,53 307,5582 221,173358314 538,41 483,8477 146,080825415 503,31 451,7702 16 602,46 348,7119 17 685,97 428,8427 18 642,72 458,9412 19 727,10 491,8063 20 772,56 493,483 21 726,96 532,3413 22 786,92 584,3255 23 861,98 607,0537 24 873,96 674,2785 25 831,25 594,9085 26 883,75 566,1015 27 863,51 607,7898 28 847,84 618,0822 29 839,21 631,6307 30 827,23 585,2313 31 787,94 622,7099 32 773,73 517,2701 33 737,41 566,5534 34 681,15 556,5046 35 640,85 499,3314 36 562,25 364,9876 37 607,44 495,1305 38 498,14 457,6269 39 447,04 445,8941 40 405,12 383,2103 41 312,41 205,1687 42 318,77 198,3827 43 258,20 181,7008 44 237,91 151,5726 45 189,27 223,5916 46 163,75 208,7167 47 101,85 190,3636 48 61,58 66,44545 49 119,19 166,9154 50 58,61 190,5042 51 65,82 175,4241 52 25,38191 110,7159

Tabela 2 – valores do método de previsão, média anual e medidos pela estação



84

Pensa-se a titulo pessoal que um dos métodos para resolver o problema das séries

temporais não é a realização da previsão da radiação solar propriamente dita, mas sim

dos factores que a fazem reduzir na atmosfera. Outra solução possível será a diminuição

do tempo de previsão para menos de um dia.

Aconselha-se do mesmo modo a utilização de outros métodos de previsão, estes

métodos podem ser encontrados em vários livros, nomeadamente os livros consultados

para este trabalho.



85

12. Referências

[1] Manuel Lopez Gallo, ”Curso de Energía Solar Térmica”, Formatec Formarción S.L. [2] Nelson Vera Mella, ”Atlas climático de irradiación solar a partir de imágenes del satélite NOAA. Aplicación a la Península Ibérica”, Universidad Politécnica de Cataluña [3] Catalogo, ”SPF Solartechnik Prϋfung Forschung” [4] Rodolfo Dufo López e José Luis Bernal Agustín, “Energía Solar Fotovoltaica”, Universidad de Zaragoza [5] Xunta Galicia, “Anuario Climatolóxico de Galicia” [6] Norma Española, “Asociación Española de Normalización y Certificación” [7] Leila M. Véspoli de Carvalho, ”Apontamento do curso de Métodos Observacionais em Climatologia e Meteorologia de Mesoescala”, Universidade de São Paulo [8] Montserrat Pepió Viñals, “Series Temporales”, Universidad Politécnica de Cataluña



86

13. Bibliografia

Chris Chatfield, “The Analysis of Time Series, An Introduction”, Chapman &

Hall/CRC.

Ricardo S. Ehlers, “Análise de Séries Temporais”, Universidade Federal do Paraná



87

Anexo A Modelo Trigonométrico



88

Tal como descrito anteriormente vamos começar por resolver os problemas que

foram descritos em 9.4.

A fórmula final da modelização pela função trigonométrica tem o seguinte aspecto.

)2cos(*_

φπ−+= t

nCuyt

O primeiro ponto a ser tratado é o argumento, este é

12083,052*2*2

==ππ

n

Onde n corresponde ao número de unidade de tempo por ciclo, temos 4 ciclos de 52

semanas cada, como tal 52 é o valor que lhe corresponde.

O segundo problema a ser tratado era a deslocação do valor médio, ū, e a amplitude

da função, C. Este problema foi resolvido do seguinte modo.

66,4102

4972,27834,7932

minmax_

=+

=+

=u

17,3835972,2766,410min_

=−=−= uC

Por fim o desfasamento que se pretende dar à função foi feito por aproximação, esse

valor corresponde a π/2.

Finalmente a função é

)252

2cos(*17,38366,410)2cos(*_ ππφπ

−+=−+= ttn

Cuyt

Na tabela 2 mostra-se os resultados para todos os valores de tempo.

Tempo Dados 410,66+383,17*cos(2*πT/52-π/2)1 188,5315 30,290982662 188,2478 38,63143042



89

3 166,6828 52,396974554 140,3901 71,386882435 140,6978 95,324238436 171,0625 123,8599827 415,806 156,57799788 330,4533 193,00118349 260,9572 232,5984067

10 374,825 274,792251111 132,9772 318,967435412 570,2758 364,479785813 488,7517 410,665629914 338,2282 456,851473915 399,3089 502,363824316 627,8476 546,539008617 629,6019 588,73285318 495,3006 628,330076419 260,1226 664,75326220 510,6418 697,471277721 268,2607 726,007021322 532,75 749,944377323 280,2765 768,934285224 731,6556 782,699829325 649,5599 791,040277126 609,6314 793,834005927 582,8047 791,040277128 559,0191 782,699829329 629,5802 768,934285230 728,7854 749,944377331 606,3018 726,007021332 561,7603 697,471277733 663,4968 664,75326234 538,2251 628,330076435 612,2546 588,73285336 333,3408 546,539008637 441,3032 502,363824338 265,2851 456,851473939 420,0507 410,665629940 295,2401 364,479785841 153,3 318,967435442 217,1691 274,792251143 149,3008 232,598406744 165,0108 193,001183445 178,6905 156,577997846 48,368 123,85998247 100,0117 95,3242384348 38,48224 71,3868824349 157,6675 52,3969745550 84,69186 38,6314304251 125,9501 30,2909826652 50,56117 27,4972537953 46,29316 30,2909826654 236,3007 38,6314304255 110,1365 52,3969745556 284,0798 71,3868824357 133,1059 95,32423843



90

58 218,15 123,85998259 363,051 156,577997860 184,0714 193,001183461 156,0179 232,598406762 454,5685 274,792251163 426,0182 318,967435464 354,1855 364,479785865 278,5588 410,665629966 621,7093 456,851473967 240,0528 502,363824368 287,1386 546,539008669 216,0646 588,73285370 493,7945 628,330076471 686,3952 664,75326272 509,8772 697,471277773 692,5064 726,007021374 441,3924 749,944377375 635,5045 768,934285276 630,3396 782,699829377 566,6408 791,040277178 363,8646 793,834005979 610,0254 791,040277180 479,4349 782,699829381 660,723 768,934285282 539,9576 749,944377383 580,9181 726,007021384 589,2409 697,471277785 539,5978 664,75326286 415,1661 628,330076487 266,3801 588,73285388 392,0258 546,539008689 581,2151 502,363824390 439,6669 456,851473991 284,197 410,665629992 329,1054 364,479785893 342,8484 318,967435494 206,4444 274,792251195 112,6257 232,598406796 101,9517 193,001183497 177,3632 156,577997898 195,2889 123,85998299 142,6813 95,32423843

100 33,87109 71,38688243101 72,03832 52,39697455102 178,7155 38,63143042103 103,1716 30,29098266104 85,47779 27,49725379105 149,5253 30,29098266106 27,49725 38,63143042107 211,5926 52,39697455108 94,02643 71,38688243109 184,8394 95,32423843110 346,5565 123,859982111 357,9269 156,5779978112 361,5675 193,0011834



91

113 290,545 232,5984067114 240,9661 274,7922511115 436,4516 318,9674354116 385,868 364,4797858117 203,1897 410,6656299118 529,2427 456,8514739119 630,7455 502,3638243120 546,5390086121 588,732853122 302,4895 628,3300764123 599,4549 664,753262124 697,4712777125 478,608 726,0070213126 650,8234 749,9443773127 743,3067 768,9342852128 793,834 782,6998293129 453,7738 791,0402771130 757,1476 793,8340059131 507,5863 791,0402771132 690,7468 782,6998293133 604,2792 768,9342852134 720,2944 749,9443773135 555,544 726,0070213136 339,686 697,4712777137 391,9678 664,753262138 632,6351 628,3300764139 529,4528 588,732853140 341,6691 546,5390086141 456,6555 502,3638243142 555,6241 456,8514739143 559,1974 410,6656299144 373,5051 364,4797858145 125,5025 318,9674354146 145,5627 274,7922511147 231,2587 232,5984067148 246,7172 193,0011834149 320,1659 156,5779978150 367,943 123,859982151 330,4466 95,32423843152 111,0782 71,38688243153 302,0164 52,39697455154 206,7284 38,63143042155 169,906 30,29098266156 198,3204 27,49725379157 274,787 30,29098266158 155,53 38,63143042159 243,7534 52,39697455160 338,9856 71,38688243161 381,0571 95,32423843162 321,8834 123,859982163 339,3865 156,5779978164 285,8319 193,0011834165 232,5984067166 498,5524 274,7922511167 318,9674354



92

168 222,1625 364,4797858169 259,7325 410,6656299170 446,2103 456,8514739171 536,9737 502,3638243172 131,1496 546,5390086173 440,8616 588,732853174 544,1801 628,3300764175 421,2525 664,753262176 459,9301 697,4712777177 689,99 726,0070213178 712,3362 749,9443773179 769,1272 768,9342852180 541,2847 782,6998293181 709,6597 791,0402771182 533,7624 793,8340059183 730,7428 791,0402771184 743,1278 782,6998293185 631,9403 768,9342852186 351,8877 749,9443773187 748,0756 726,0070213188 578,3931 697,4712777189 671,151 664,753262190 639,9923 628,3300764191 589,238 588,732853192 392,9149 546,5390086193 501,3483 502,3638243194 569,9313 456,8514739195 520,1314 410,6656299196 534,9905 364,4797858197 199,0239 318,9674354198 224,3544 274,7922511199 233,618 232,5984067200 92,61074 193,0011834201 218,1466 156,5779978202 223,2668 123,859982203 188,3149 95,32423843204 82,35028 71,38688243205 135,9394 52,39697455206 291,8811 38,63143042207 302,6686 30,29098266208 108,5042 27,49725379

Tabela 3 – valores da função co-seno por unidade de tempo

Esta tabela dá origem ao seguinte gráfico 13



93

Modelo trignométrico

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199

tempo

radi

ação

Gráfico 15 – modelização trigonométrica

relatório de estágio final - etecbest · projecto, seminário ou trabalho de final de curso...

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