UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

ATRITO VISCOSO

Turma T5

Bruno Luis Pereira Souza

Douglas Bispo dos Santos

Juliano Almeida Perez

Antônio Roberto Leão da Cruz

Tâmara Matos dos Santos

SÃO CRISTÓVÃO

2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Relatório de laboratório apresentado à

Universidade Federal de Sergipe, Centro

de Ciências Exatas e Tecnologia,

Departamento de Física, como um dos pré-

requisitos para a conclusão da disciplina

Laboratório de Física A.

Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.

SÃO CRISTÓVÃO

2012

1. INTRODUÇÃO

Viscosidade é a resistência apresentada por um fluido à alteração de sua

forma, ou aos movimentos internos de suas moléculas umas em relação às outras. A

viscosidade é a propriedade do fluido que caracteriza esse atrito interno. A

viscosidade é a razão pela qual você realiza um esforço para remar em uma canoa

se deslocando em águas calmas, porém se não existisse viscosidade você também

não poderia remar. Os efeitos da viscosidade são importantes para o escoamento

através de tubos, para o escoamento do sangue, para a lubrificação de diversas

partes das máquinas e para muitas outras situações. É uma característica de cada

fluido e é quantificada pelo coeficiente de viscosidade η. Porém, a viscosidade

depende de outros fatores também.

A viscosidade de um fluido pode ser determinada por vários métodos:

Através da resistência de líquidos ao escoamento, tempo de vazão de um líquido

através de um capilar (viscosímetro de Oswald); da medida do tempo de queda de

uma esfera através de um líquido (Höppler); medindo a resistência ao movimento de

rotação de eixos metálicos quando imersos na amostra (reômetro de Brookfield).

A força de resistência que aparece durante o movimento de um corpo em

um fluido depende da forma do corpo, da sua velocidade em relação ao fluido e da

viscosidade do fluido. Também, entre duas superfícies em movimento relativo

separadas por uma fina película contínua de fluido existe atrito viscoso. Nos dois

casos, se o módulo da velocidade relativa é pequeno, o fluido se separa em

camadas paralelas. Se o corpo é uma esfera de raio r, movendo-se num líquido de

coeficiente de viscosidade a uma velocidade v pequena o suficiente, a força de

resistência viscosa será dada pela lei de Stokes.

A lei de Stokes refere-se à força de fricção experimentada por objetos

esféricos que se movem no seio de um fluido viscoso, num regime laminar de

números de Reynolds de valores baixos. Foi derivada em 1851 por George Gabriel

Stokes depois de resolver um caso particular das equações de Navier-Stokes. De

maneira geral, a lei de Stokes é válida para o movimento de partículas esféricas

pequenas, movendo-se a velocidades baixas.

A lei de Stokes pode ser escrita da seguinte forma:

𝐹 = −6𝜋𝑟𝜂𝑣

Onde: 𝐹 é a força de fricção;

𝑟 é o raio de Stokes da partícula;

𝜂 é a viscosidade do fluido e;

𝑣 é a velocidade da partícula.

É importante salientar que para corpos com dimensões grandes e

velocidades altas, a força de atrito varia na verdade com potências maiores de v.

Ao iniciar uma trajetória vertical dentro de um líquido com densidade ϱ l, e

sob a ação da gravidade, uma esfera de massa m e densidade ϱ e, sofre a ação de

3 forças:

Força Peso: 𝐹 = 𝑚𝑔 =4

3πr³gϱ

Força Viscosa: 𝐹 = 6𝜋𝑟𝜂𝑣

Empuxo: F = ϱL . V. g = 4

3π. r. g. ϱL

A partir da velocidade zero, a esfera é acelerada para baixo. Após um certo intervalo

de tempo,a força viscosa (que aumenta com a velocidade) vai compensar a força

peso e o empuxo. Se a soma de todas as forças sobre a esfera é zero, as forças se

equilibram e a velocidade da esfera passa a ser constante (movimento uniforme). A

esta velocidade vamos chamar de velocidade limite ou limiar, que é dada a partir da

formula a seguir:

𝑣𝐿 = 2

9

𝑟2𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝜂

Onde: 𝜚𝑒 - é a densidade da esfera

𝜚𝐺 - é a densidade da glicerina

Figura 01: Diagrama de forças atuando sobre uma esfera de raio r caindo em um líquido viscoso.

2. OBJETIVOS

Estudar o movimento de uma esfera de aço através da glicerina e o

efeito do atrito viscoso sobre o mesmo;

Captar o movimento da esfera com o auxílio de uma câmera digital e

analisar o movimento da mesma através dos vídeos gravados;

Verificar na prática se o movimento da esfera no fluido obedece à Lei de

Stokes;

Fixar os conceitos de confecção e análise de gráficos.

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes itens:

Uma esfera de aço;

Uma proveta plástica de aproximadamente 30 cm de altura contendo

glicerina;

Uma câmera digital na opção filmadora com cabo de conexão para

transferência de dados;

Um tripé de fixação para a câmera;

Uma régua graduada de 30 cm;

Um termômetro;

Um micrômetro;

Uma balança analógica;

Uma Bancada nivelada;

Um Computador com os Softwares Tracker e SciDAVis instalados.

Segue abaixo as Figuras 02 e 03 com esboços do experimento:

Figura 02: Modelo do Experimento.

Figura 03: Imagem captada durante a realização do experimento.

Inicialmente, foram determinados a massa e o diâmetro da esfera de aço

com o auxílio da balança e do paquímetro respectivamente. Em seguida, utilizou-se

a régua para medir a distância entre dois traços maiores na escala da proveta.

Posteriormente, mediu-se a temperatura do ambiente na qual se encontrava o

experimento, utilizando-se para isso o termômetro.

Utilizamos ainda, duas câmeras digitais para realizar dois filmes. As câmeras

foram instaladas no tripé, posicionadas diante da proveta e uma a uma gravaram o

movimento da esfera através do fluido em questão, glicerina. A esfera foi

primeiramente mergulhada na proveta plástica contendo glicerina e abandonada

logo em seguida. Após a chegada da esfera na parte inferior da proveta, concluía-se

a filmagem.

Analisando os vídeos gravados com o auxílio do Software Tracker, foi

possível obter uma tabela de dados para cada vídeo. Foram obtidos os valores da

posição da esfera durante toda a sua trajetória de queda e do tempo associado a

cada posição. Isso foi possível, porque o programa citado acima permite calibrar e

indicar no vídeo uma distância real. A distância calibrada foi a medida entre dois

traços maiores na escala da proveta. Então, essa distância pode ser tomada como

um referencial no vídeo. Levando em conta o fato de que as câmeras digitais em

geral captam um frame a cada 1/30 segundo ou 30 frames em um segundo, e o

programa permite uma análise frame a frame, foi possível ao programa gerar a

tabela de dados e consequentemente, um gráfico de posição x tempo. A Figura 04

abaixo ilustra a análise feita no Tracker.

Figura 04: Análises feitas com o auxílio do Software Tracker.

A partir dos dados obtidos com o Tracker, utilizou-se o programa SciDAVis

para confeccionar gráficos mais elaborados. Foram elaborados dois gráficos para a

posição da esfera em função do tempo, referentes respectivamente, aos dois vídeos

gravados anteriormente. Então, considerando-se apenas o trecho que se comporta

como uma reta, para cada gráfico, foi possível determinar o correspondente

coeficiente angular para cada reta. Esse valor, para um gráfico de posição em

função do tempo, é numericamente igual à velocidade de um dado corpo que

percorre uma trajetória retilínea com aceleração nula, ou seja, um movimento

retilíneo uniforme.

Foram determinados o volume e a densidade da esfera de aço a partir do

diâmetro e da massa que foram calculados anteriormente. Também foram obtidos os

valores tabelados da densidade e viscosidade da glicerina, através do aplicativo

encontrado no seguinte endereço eletrônico:

http://www.met.reading.ac.uk/~sws04cdw/viscosity_calc.html. Para a obtenção de

tais dados, o aplicativo necessita receber o valor percentual de composição da

glicerina e da temperatura ambiente em que se encontra.

De posse dos valores da Densidade (𝜚𝐺 ) da Glicerina, da Velocidade Limite

(𝑣𝐿), Densidade (𝜚𝑒 ) e Diâmetro da Esfera, é possível calcular o valor associado à

Viscosidade do fluido, 𝜂, utilizando a expressão (1), onde g corresponde à

Aceleração da Gravidade, r é o Raio da Esfera e 𝑣𝐿 é a Velocidade Limite da

Esfera.

𝜂 = 29

𝑟2𝑔 𝜚𝑒−𝜚𝐺

𝑣𝐿 (1)

Comparando o valor de 𝜂 tabelado com o encontrado, ficará evidente se a Lei de

Stokes foi ou não obedecida para o experimento em questão.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Segue abaixo as Tabelas 01, 02, 03, 04, 05 e 06 que revelam

respectivamente: Os dados obtidos com a realização do experimento e os cálculos

das incertezas envolvidas; O cálculo da Velocidade Limite e Viscosidade bem como

as incertezas envolvidas; O cálculo do volume e densidade da esfera assim como

das incertezas envolvidas; O valor tabelado da viscosidade e da densidade da

glicerina e os dados de posição e tempo obtidos para cada vídeo no Software

Tracker:

Tabela 01

Medidas 𝐦𝐞 (Kg) 𝐃𝐞 (m) 𝐫 (m)

01 0,0017 0,00683 0,003415

02 0,0014 0,006828 0,003414

03 0,0015 0,006832 0,003416

Média 0,00153333 0,00683 0,003415

σA 8,81917E-05 1,1547E-06 5,7735E-07

σB 0,00005 0,000005 0,000005

σC 0,000101379 5,1316E-06 2,5658E-06

Tabela 02

𝐕𝐋 (m/s) σ 𝛈 σ

Vídeo 01 -0,3030549 0,0032204 0,664795316 0,051455324

Vídeo 02 -0,5858341 0,0097687 0,343901931 0,026982387

g (m/s²) 9,8

Tabela 03

Esfera v (m³) ϱ (kg/m³)

Valor 1,66825E-07 9191,276764

σ 3,76023E-10 608,0525306

Tabela 04

Glicerina Ƞ (N.s/m²) ϱ (kg/m³)

Valor Tabelado 0,70353 1258,7

Composição (%) 100

Tamb. (ºC) 28,5°

Tabela 05 - Vídeo 01

Tempo (t) Incerteza (t) Posição (y) Incerteza (y)

0 0,033 -0,00044883 0,003415

0,03333333 0,033 -0,005002817 0,003415

0,06666667 0,033 -0,017269023 0,003415

0,1 0,033 -0,026355101 0,003415

0,13333333 0,033 -0,036355261 0,003415

0,16666667 0,033 -0,046339001 0,003415

0,2 0,033 -0,056344634 0,003415

0,23333333 0,033 -0,066333847 0,003415

0,26666667 0,033 -0,075879703 0,003415

0,3 0,033 -0,086788471 0,003415

0,33333333 0,033 -0,095420245 0,003415

0,36666667 0,033 -0,105869236 0,003415

0,4 0,033 -0,115858449 0,003415

0,43333333 0,033 -0,12450117 0,003415

0,46666667 0,033 -0,134490383 0,003415

0,5 0,033 -0,143581935 0,003415

0,53333333 0,033 -0,15448523 0,003415

0,56666667 0,033 -0,164020139 0,003415

0,6 0,033 -0,174480076 0,003415

0,63333333 0,033 -0,183111851 0,003415

0,66666667 0,033 -0,192657707 0,003415

0,7 0,033 -0,202646919 0,003415

0,73333333 0,033 -0,213101383 0,003415

0,76666667 0,033 -0,222181988 0,003415

0,8 0,033 -0,227179332 0,003415

Tabela 06 - Vídeo 02

t (s) Incerteza (t) y (m) Incerteza (y)

0 0,033333333 -0,001249892 0,003415

0,033333333 0,033333333 -0,008636095 0,003415

0,066666667 0,033333333 -0,025060518 0,003415

0,1 0,033333333 -0,045636741 0,003415

0,133333333 0,033333333 -0,065373901 0,003415

0,166666667 0,033333333 -0,087558622 0,003415

0,2 0,033333333 -0,107689201 0,003415

0,233333333 0,033333333 -0,129069674 0,003415

0,266666667 0,033333333 -0,147146112 0,003415

0,3 0,033333333 -0,166883272 0,003415

0,333333333 0,033333333 -0,186611728 0,003415

0,366666667 0,033333333 -0,206331479 0,003415

0,4 0,033333333 -0,213752498 0,003415

Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que

envolveram o experimento:

MÉDIA

𝑥−

= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo

objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.

Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.

DESVIO PADRÃO DA MEDIDA

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝑥

− 2

𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,

para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.

INCERTEZA DO TIPO A

𝜎𝐴 =𝜎

𝑛

A incerteza do Tipo A utiliza conceito estatístico que se associa ao valor

médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,

quanto maior for o número de medidas envolvidas.

INCERTEZA DO TIPO B

A incerteza do tipo B ou incerteza instrumental é determinada através da

resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento

digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um

equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter

a incerteza em questão.

INCERTEZA COMBINADA

𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2

A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às

medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B.

VOLUME DE UMA ESFERA

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

ou 𝑉 =𝜋

6.𝑑3

Onde: r = Raio;

d = Diâmetro.

PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA O VOLUME

𝜎𝑣 = 𝜕𝑉

𝜕𝑑.𝜎𝑑

2

= 𝜋

6.𝑑3.𝜎𝑑

2

= 𝜋

2. 𝑑².𝜎𝑑

2

=𝜋

2. 𝑑².𝜎𝑑

DENSIDADE

𝑑 =𝑚

𝑣

Onde: m = Massa;

v = Volume.

PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A DENSIDADE

𝜎𝑑 = 𝜕𝑑

𝜕𝑚.𝜎𝑚

2

+ 𝜕𝑑

𝜕𝑣.𝜎𝑣

2

= 𝑚

𝑣.𝜎𝑚

2

+ 𝑚

𝑣.𝜎𝑣

2

= 𝜎𝑚𝑣

2

+ −𝑚.𝜎𝑣𝑣2

2

VELOCIDADE LIMITE OU LIMIAR

𝑣𝐿 =∆𝑦

∆𝑡

Onde: ∆𝑦 = Variação de espaço (Espaço percorrido pela esfera no sentido vertical);

∆𝑡 = Variação de tempo (Tempo de queda da esfera).

PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A VELOCIDADE LIMITE

𝜎𝑣𝐿 = 𝜕𝑣𝐿𝜕∆𝑦

.𝜎∆𝑦 2

+ 𝜕𝑣𝐿𝜕∆𝑡

.𝜎∆𝑡 2

= ∆𝑦

∆𝑡.𝜎∆𝑦

2

+ ∆𝑦

∆𝑡.𝜎∆𝑡

2

𝜎𝑣𝐿 = 𝜎∆𝑦/∆𝑡 2

+ −∆𝑦.𝜎∆𝑡∆𝑡²

2

VISCOSIDADE

𝜂 = 2

9

𝑟2𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝑣𝐿

PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A VISCOSIDADE

𝜎𝜂 = 𝜕𝜂

𝜕𝑟.𝜎𝑟

2

+ 𝜕𝜂

𝜕𝑣𝐿.𝜎𝑣𝐿

2

+ 𝜕𝜂

𝜕𝜚𝑒.𝜎𝜚𝑒

2

𝜎𝜂 = 2

9

𝑟2𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝑣𝐿⋅ 𝜎𝑟

2

+ 2

9

𝑟2𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝑣𝐿⋅ 𝜎𝑣𝐿

2

+ 2

9

𝑟2𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝑣𝐿⋅ 𝜎𝜚𝑒

2

𝜎𝜂 = 4

9

𝑟𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝑣𝐿⋅ 𝜎𝑟

2

+ −2

9

𝑟2𝑔 𝜚𝑒 − 𝜚𝐺

𝑣𝐿²⋅ 𝜎𝑣𝐿

2

+ 2

9

𝑟2𝑔

𝑣𝐿⋅ 𝜎𝜚𝑒

2

𝜎𝜂 = 2𝜂

𝑟⋅ 𝜎𝑟

2

+ −𝜂

𝑣𝐿⋅ 𝜎𝑣𝐿

2

+ 𝜂

𝜚𝑒 − 𝜚𝐺 ⋅ 𝜎𝜚𝑒

2

Foi adotado neste experimento como a incerteza das medidas de tempo, o

valor de 1/30 segundos, pois a cada 1/30 segundos a grande maioria das câmeras

digitais registra um “quadro” ou “frame”, ou seja, um “frame” de uma filmagem

corresponde ao registro do movimento a cada 1/30 segundos. Para as coordenadas

da esfera, o valor do seu raio foi adotado como incerteza, uma vez que analisamos a

trajetória da esfera levando em conta a posição do centro da esfera para a coleta de

dados obtidos com o software Tracker.

A partir do segundo ponto, como pode ser observado nos Gráficos Vídeo 01

e Vídeo 02, consideramos o movimento da esfera como sendo retilíneo uniforme. Os

valores encontrados para a velocidade limite para os dois gráficos foram,

respectivamente:

𝑉𝐿1 = −0,3030549 ± 0, 0032204 𝑚/𝑠

𝑉𝐿2 = −0,5858341 ± 0,0097687 𝑚/𝑠

O valor calculado de 𝜂 para o Vídeo 01 ficou mais próximo do valor tabelado

encontrado, em comparação com o valor encontrado para o Vídeo 02, conforme a

tabela abaixo:

Viscosidade 𝛈 (N.s/m²)

Vídeo 01 (0,664795316 ± 0,051455324)

Vídeo 02 (0,343901931 ± 0,026982387)

Valor Tabelado 0,70353

Então, podemos considerar que para o movimento no Vídeo 01 a Lei de

Stokes foi obedecida. Não podemos dizer o mesmo para o movimento no Vídeo 02,

devido à diferença encontrada entre os valores ser significante. Tal diferença pode

ser explicada pelo fato da utilização de duas câmeras digitais diferentes para a

realização das filmagens. Isso pode significar taxa de fps diferentes para cada

máquina, visto que a quantidade de pontos plotados em cada gráfico é muito

diferente. Além do fato, que as filmagens não tiveram a mesma distância e mesmo

ângulo em relação ao experimento, o que provavelmente acarretou em erros.

5. CONCLUSÕES

Diante do exposto, se considerarmos somente o Vídeo 01 como parâmetro,

é pertinente afirmar que o movimento vertical descrito pela esfera através da

glicerina obedece à Lei prevista por Stokes. Com a análise dos gráficos

confeccionados, foi possível visualizar que após certo período de tempo, realmente,

conforme descrito à teoria, a velocidade da esfera se torna constante e

consequentemente, a mesma perde sua característica inicial de movimento

acelerado.

6. BIBLIOGRAFIA

Wikipédia, a enciclopédia livre, Lei de Stokes, disponível em:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes, acesso em 30/03/2012.

MERLE C. POTTER, DAVID C. WIGGERT, Mecânica dos fluidos, 3ª Edição,

Editora Thomson.

FOX, ROBERT W., Introdução à Mecânica dos Fluidos , 5ª edição, LTC.

Grupo de Ensino de Física UFSM, Forças de atrito, disponível em:

http://www.algosobre.com.br/fisica/forcas-de-atrito.html, acesso em

31/03/2012.

Física para farmácia, Viscosidade, disponível em:

http://stoa.usp.br/ewout/files/69/2779/viscosidade-2007, acesso em

31/03/2012.