c. bombardelli - escoamento viscoso com fronteiras móveis

PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco

1

Escoamento Viscoso com Fronteiras Móveis - Paper CIT02-

XXXX

Clovis Bombardelli Lacit - Cefet/Curitiba [email protected] Resumo: Demonstração da obtenção de uma solução analítica para o escoamento viscoso transiente devido a uma aceleração ou frenagem momentânea do suporte que contém o fluído. A metodologia é estendida também ao caso onde o suporte movimenta-se com movimento constante, porém oscilatório e harmônico. Palavras chave: escoamento temporário viscoso, escoamento, perfil de velocidades

1. Introdução.

As soluções analíticas para os escoamentos de fluídos, considerando sua viscosidade, é obtida através das equações de Navier-Stokes, as quais apresenta soluções viáveis apenas em alguns casos particulares onde é possível eliminar a maior parte das variáveis implicadas no fenômeno. Todas estas soluções existentes são restritas ao escoamento laminar e entre elas se encontra o escoamento imposta por um objeto imerso num fluído, que tem sua velocidade subitamente aumentada ou diminuída. Os primeiros estudos sobre este fato físico foram feitos por G. Stokes em 1845 ao estudar o comportamento dos pêndulos. Neste trabalho apresentou a solução analítica do perfil de velocidades que este movimento do objeto impõe ao fluído. Sendo portanto a primeira das soluções analíticas exatas das equações de Navier-Stokes[1] conhecidas até hoje. Em seguida a esta G. Stokes apresentou a solução exata também para o caso do movimento oscilatório harmônico, que foi o objeto de seu estudo sobre os pêndulos e sua influência ao fluído onde o mesmo está imerso ou vice-versa, ou seja, a influência que poderia ter um fluído na alteração de freqüência de um pêndulo, e conseqüentemente na variação da medida de tempo obtida nos relógios que dependiam deste para funcionar. Posteriormente este mesmo trabalho foi feito por Rayleigh[4] fato que faz com que muitos autores tenham considerado este problema como sendo deste último. Tal atribuição é indevida, uma vez que a solução do problema é clara e completamente discutida nos memoriais escritos por G. Stokes.

Posteriormente outros estudos foram feitos por Carslaw & Jaeger[2], em 1957, realizando estudos sobre o calor, em fluxo transitório, com similaridade ao fluxo de fluído, chegaram a conclusões matemáticas semelhantes. A mesma expressão matemática também foi obtida por Fick, quando o mesmo expressou sua segunda lei para a difusividade molecular. Um bom detalhamento matemático sobre as leis de Fick e a difusividade pode ser encontrada num tratado escrito por Crank[3]. Devido a essas similaridades esses fenômenos físicos foram agrupados sob a denominação de fenômenos de transportes, a qual, é a ciência que estuda a propagação de massa e energia entre os corpos devido a diferenças de potencial. Os mecanismos de como isto ocorre ainda não estão muito bem esclarecido. e são motivos de estudos. Entanto, se sabe que, sempre que existir uma diferença de potencial, este irá gerar um fenômeno de transporte, de maneira a neutralizar o tal potencial. De uma forma simplista se pode dizer que tudo isso ocorre devido ao fato da energia ser uma propriedade que se propaga e esta propagação é a causa natural de todos os fenômenos físicos.

No caso de Stokes, ocorre a transmissão da quantidade de movimento de uma partícula mais energizada às suas vizinhas, devido ao efeito da viscosidade, que é na verdade, a ligação físico-química que as partículas atômicas tem entre si. Analisando o calor sob a ótica microscópica, este na verdade consiste em quantidade de movimento das partículas atômicas e moleculares, e portanto, incide no mesmo caso físico, diferindo apenas na ordem de grandeza. Enquanto o primeiro trata dos movimentos de baixa freqüência, considerados mecânicos, o outro trata dos movimentos de altíssima freqüência.

. Sob a ótica de Stokes, não houve a preocupação com as possíveis causas, mas apenas identificar o perfil de velocidades e para tanto apresentar uma solução matemática para o problema. Uma vez conhecida a variação da velocidade do fluído poder-se-ia determinar a perda de energia do pêndulo e conseqüentemente sua necessidade de reposição energética para manter o movimento oscilatório uniforme. Ao considerar o movimento do pêndulo, verifica-se que este tem um movimento considerado como sendo uniformemente variado, ou seja, ora acelerado, ora retardado. Outra característica é ser também do tipo oscilatório harmônico. Ou seja, é dotado de uma velocidade máxima e esta é atingida em períodos de tempos constante. O trabalho aqui apresentado tentará reproduzir de forma mais explicita possível o mesmo problema, com detalhamento da busca da solução analítica exata para o fenômeno físico onde um corpo imerso em um fluído é repentinamente acelerado ou frenado e com isto obter a influência que este objeto causa sobre o fluído, verificável sob a luz do perfil de velocidades do mesmo nas imediações do objeto.


2

O escoamento transiente ocorre sempre no inicio de um processo permanente até se estabelecer a constância do mesmo ou também como um escoamento particular onde ele é, por natureza própria, sempre do tipo transitório, como o é o caso de naves se deslocando na atmosfera ou mesmo o caso das ondas de choque ou também, o caso de um pêndulo balançando. G. Stokes estudou esse último caso, sendo a solução por ele encontrada então se considerada a primeira solução analítica exata para as equações do movimento de fluído, desenvolvidas por ele e por Navier, que mais tarde receberiam seus nomes como uma homenagem. Devido ao fato de haver sempre um corpo atuando sobre o fluído, o movimento do fluído se dará pela difusão de parte deste movimento, devido ao atrito e às forças viscosas, do corpo sobre o fluído. Percebe-se então que o perfil de velocidades que o fluído assumirá é uma função do tipo de movimento que o corpo possui. Se o movimento do corpo for do tipo acelerado, o corpo tem a cada instante sua velocidade aumentada, e essa velocidade tende a se transmitir para o líquido nas proximidades do corpo, se propagando sempre em direção ortogonal ao mesmo. Percebe-se então que o movimento do corpo é uma variável independente. Para estabelecer a influência que este tem sobre um fluído vamos considerar a ação de uma placa horizontal bastante grande sobre a qual repousa um fluído, e que, momentaneamente a mesma entra em movimento acelerando até atingir uma velocidade máxima que será designada como U. Num caso mais geral, depois será considerada a hipótese deste movimento tornar-se oscilatório, ou seja, variar sua velocidade entre U e –U, passando sempre pela condição de repouso. De certa forma, com esta simulação se pode predizer o perfil de velocidades, obtida pela ação de osciladores em fluídos, como por exemplo, diapasões, cordas de instrumentos musicais e outras fontes de ruídos, bem como, outras fontes de oscilação em fluídos. Para o problema não se tornar tão complexo, algumas restrições serão adotadas, entre elas a adoção de apenas fluídos newtonianos e que mantenham suas propriedades constantes com a pressão e temperatura. Em resumo, os casos as serem analisados serão:

• Placa imersa em fluído, subitamente acelerada; • Placa imersa em fluído, subitamente desacelerada; • Placa imersa em fluído, dotada de movimento oscilatório harmônico; • Placa imersa em fluído, num caso generalizado.

2. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Subitamente Acelerada

Para efeito de análise usar-se-ão as equações de Navier-Stokes acopladas à equação diferencial da conservação de massa.

A equação da conservação da massa, também conhecida como equação da continuidade, tem a forma:

( ) ( ) ( )

0u u u

t x y z

ρ ρ ρρ ∂ ∂ ∂∂ + + + =∂ ∂ ∂ ∂

(2.1)

E as equações de Navier-Stokes,

yxxx zxx

u u u u pu v w g

t x y z x x y z

ττ τρ ρ∂� �∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − − + +� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� �

(2.2)

e

xy yy zyy

v v v v pu v w g

t x y z y x y z

τ τ τρ ρ

∂ ∂ ∂� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − − + +� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � (2.3)

e

yzxz zzz

w w w w pu v w g

t x y z z x y z

ττ τρ ρ∂� �∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − − + +� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� �

(2.4)

Introduzindo simplificações para fluído newtoniano, estas equações sofrem a alteração:


3

na direção x:

( ). 2.x

Du p u u v w ug V

Dt x x x y y x z x zρ ρ µ λ µ µ

� �� ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ � ∂ ∂ �� ⋅ = − − + ∇ ⋅ + + + +� �� ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � � ��

�

(2.5)

na direção y:

( ). 2.y

Dv p v u v v wg V

Dt y x x y y y z z yρ ρ µ µ λ µ

� � � �� ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ = − + + + + ∇ ⋅ + + � � � � ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � � � � ��

�

(2.6)

e na direção z:

( ). 2.z

Dw p w u v w wg V

Dt z x x z y z y z zρ ρ µ µ µ λ

� �� ∂ ∂ � ∂ ∂ � ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � � �⋅ = − + + + + + + ∇ ⋅ � �� ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � � ��

�

(2.7)

Estas equações podem ser ainda mais simplificadas. Se considerarmos o escoamento como incompressível e

constante, o divergente do campo de velocidade se anula e a densidade e a viscosidade se tornam independentes da temperatura e pressão, As equações tomam uma forma mais simples e homogênea como apresentado abaixo:

Na direção x:

2 2 2

2 2 2. x

Du p u u ug

Dt x x y zρ ρ µ � �∂ ∂ ∂ ∂⋅ = − + + +� �∂ ∂ ∂ ∂� �

(2.8)

Na direção y:

2 2 2

2 2 2. y

Dv p v v vg

Dt y x y zρ ρ µ � �∂ ∂ ∂ ∂⋅ = − + + +� �∂ ∂ ∂ ∂� �

(2.9)

E na direção z:

2 2 2

2 2 2. z

Dw p w w wg

Dt z x y zρ ρ µ � �∂ ∂ ∂ ∂⋅ = − + + +� �∂ ∂ ∂ ∂� �

(2.10)

as quais são válidas para fluído newtoniano, incompressível e viscosidade constante, podem ser resumidas na

forma vetorial como:

2. .DV

g p VDt

ρ ρ µ⋅ = − ∇ + ∇�

�

�

(2.11)

Para os escoamentos transientes, somente são resolvidas após a introdução de uma série de simplificações. A

primeira condição é que o escoamento seja laminar. Assim fez G. Stokes em seus estudos sobre a fricção em pêndulos em 1845. Após considerar o fluído ao redor do pêndulo um fluído newtoniano, introduziu ainda as hipóteses de que o mesmo fosse incompressível e ao mesmo tempo mantivesse suas propriedades constantes, tanto ao longo do tempo como ao longo do escoamento. Desta forma os termos convectivos se anulam. Introduzindo as mesmas considerações podemos então enumerá-las:

1. O fluído sofre a ação de uma placa infinita que subitamente tem sua velocidade aumentada a partir do repouso

até uma velocidade U máxima; 2. fluído está inicialmente em repouso. Isto significa que o mesmo se encontra isento da ação de diferenças de

pressões em qualquer direção; 3. Considerar o escoamento unidirecional na direção do movimento da placa; 4. Considerar densidade e viscosidade independentes da pressão e da temperatura e portanto, constantes;


4

Aplicando a equação da continuidade, dada pela que 1.1, verifica-se que para um escoamento incompressível, a

densidade é constante e portanto pode sair da integral, ficando

( ) ( ) ( )

(4)

0

0 0

u u u u v wt x y z t x y z

u v w u v wt x y z x y z

ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� � � �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + + + =� � � �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � � �

(4) – densidade constante e portanto seu gradiente é igual a zero. Pela equação percebe-se que para o resultado ser

igual a zero, então o gradiente de velocidades deve ser igual a zero. Isto leva à conclusão de que tanto u, v e w são constante na direção de seu escoamento, mas podem variar nas outras direções.

5. Assim, considerando um escoamento unidirecional somente na direção do movimento da placa , atribuindo-se

a esta direção o eixo x, pode-se dizer que u(x) = 0, mas u = f(y) e u = g(z); Aplicando as equações de Navier-Stokes e considerando estas hipóteses, resulta numa simplificação significativa,

tornando possível uma solução analítica para o caso. Na direção x, o primeiro termo da equação:

(5) (5) (5)0 0 0u u u u u u

u v wt x y z t t

ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + + = ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

e o segundo termo da equação fica

( )2 2 2 2 2

6 (2) (5)2 2 2 2 2. 0 0 0x

p u u u u ug

x x y z y zρ µ µ

� � � �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + = + + + +� � � �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � � �

reunindo ambos, a expressão para um escoamento unidirecional, considerando as duas direções remanescentes

resulta:

2 2(5)

2 20u u ut y z

ρ µ � �∂ ∂ ∂⋅ = + +� �∂ ∂ ∂� � (2.12)

porém, µ υρ

= (2.13)

onde υ representa a viscosidade cinemática. Assim...

2 2

2 2

u u ut y z

υ� �∂ ∂ ∂= +� �∂ ∂ ∂� �

(2.14)

Esta equação diferencial também é conhecida como a equação da difusão térmica em sólidos, a qual governa a

distribuição de temperatura num meio estacionário que tenha uma difusividade térmica igual a υυυυ e a mesma foi descrita por Carslaw & Jaeger[2]. A mesma equação surge também nos fenômenos de difusão molecular. Nos três casos a solução é idêntica e pode ser conseguida de várias maneiras, a saber:


5

A solução para esta equação pode ser obtida de várias maneiras, entre as quais pode-se citar o emprego das transformadas de Laplace ou as transformadas de Fourier. Resolvendo-a pelo método de separação de variáveis obtém-se a solução geral abaixo:

( ) ( )( ) 2 .1 2.cos . .sin . . tu C y C y e λλ λ −= + (2.15)

Mas se for considerado que a placa seja infinita na direção z, sua influencia em z será sempre a mesma e portanto o

gradiente segundo esta direção também será nulo. Assim, a expressão mais simples para um escoamento transiente assume a forma:

2

2

u ut y

υ∂ ∂= ⋅∂ ∂

(2.16)

ou, em forma de equação homogênea:

2

2 0u ut y

υ∂ ∂− ⋅ =∂ ∂

(2.17)

Uma outra solução mais elegante é obtida usando similaridade de expressões. Explicando melhor, pode-se dizer que

a velocidade u, a qual varia de 0 até U pode ser expressa de forma adimensional através da expressão u/U, a qual passa a ser designada como f, variando então de 0 a 1, onde f = velocidade relativa com relação à velocidade máxima que a placa irá atingir. Assim

( , , )u

f y tU

υ= (2.18)

Uma vez que o termo à esquerda é adimensional, o termo à direita também deve ser. Entretanto, a única

combinação linear das variáveis citadas que fornecem uma relação adimensional, é

2 2

2.y L

t Lt

tυ

� ��

→ � �� ⋅� ��

(2.19)

escolhendo

12 .

y

tη

υ= ⋅

e fazendo

( )uf

Uη ϑ= = (2.20)

derivando f e substituindo na equação diferencial (eq. 1.20) esta fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

232 2 . .. 1

24 4

t ty tt t t

η υϑ ϑ ϑ ϑ ϑη ηη η η ηυ υ

−−∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.21)

( ) ( ) 1

2 .

d d

y y y yt

ϑ ϑ η ηυ

∂ ∂= ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ ∂

(2.22)


6

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2

1 1 14 .2 . 2 .

d

y y ty t t

ϑ ϑ ϑ ϑη η υ ηυ υ

∂ ∂ ∂� � � �∂ ∂= = ⋅ ⋅ = ⋅� � � �∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂� � � � (2.23)

substituindo na (eq. 1.17)...

2

2 0u ut y

υ∂ ∂− ⋅ =∂ ∂

( ) ( )2

2

1 1. 0

2 4 .t t

ϑ ϑη υη υ η

� �∂ ∂− ⋅ ⋅ − ⋅ =� �� ∂ ∂� �

( ) ( )2

2

4 .2

tt

ϑ ϑηη η

∂ ∂− ⋅ ⋅ =

∂ ∂

( ) ( )2

2 2 0ϑ ϑ

ηηη

∂ ∂+ ⋅ =

∂∂ (2.24)

Esta forma é equivalente à forma anterior, porém com apenas duas variáveis adimensionais envolvidas. Resolvendo a equação anterior, submetendo-a as condições de contorno abaixo, fica:

( )

( )

( )

0

, 0 0

0,

, 0

u y t

u y t v

u y t

= =�� = =�� → ∞ =�

( )

( )

( )

0

0 1

0

ϑ η

ϑ

ϑ η

→ ∞ =

=

→ ∞ =

( )

( )

( )

1

2

3

c

c

c

( )

( )

( )

( )

2

2

2

ϑηϑ

η η ηϑ ϑη η

∂� �∂� �∂∂ � �

∂ ∂= = −∂ ∂∂ ∂

(2.25)

2 .

y

tη

υ=

que por similaridade induz a

( ) 1ln '

dx x

dx x= ⋅

( )ln 2

ϑη

η η∂� �∂ = −� �∂ ∂� �

( )

ln 2ϑ

η ηη

∂� �∂ = − ∂� �∂� �

(2.26)

21ln ln C

ϑ ηη

� �∂ = − +� �∂� �

2

1C e ηϑη

−∂ =∂

( ) 2 2

1 1 20 0

C e d C e d Cη η

η ηϑ η η η− −= = +� � (2.27)

Impondo as condições de contorno... Para y = 0 e η = 0 → ϑ = 1 (condição c2) Substituindo na eq. 1.27, isto implica dizer que

21 0 C= + 2 1C = Impondo as condições c3 ( y →∞ , η = ∞ e ϑ = 0 ) e 2 1C = , a expressão 1.27 fica:

2

10

0 1C e dη η∞

−= +� 2

10

1C e dη η∞

−− =� 2

10

1e d

Cη η

∞−− =�


7

Como a integral imprópria acima tem seu valor tabelado e seu valor é

12

π 1

2C

π−=

Assim a solução particular para o problema terá a expressão final abaixo.

2

0

21

ue d

U

ηη η

π−= − � (2.28)

Para qualquer valor de t ≥ 0. O termo integral da equação é conhecido como função erro, sendo representada de

maneira simplificada como erf(η ) e tem os seguintes valores notáveis:

Para η = 0 erf(0) = 0

η = ∞ erf(∞) = 1 Impondo a condição de contorno c1 ( t = 0, y = 0 , η = ∞ e ϑ = 0 ), verifica-se a validade da expressão e assim a

mesma representa o fenômeno físico dentro das limitações e simplificações inicialmente impostas. De uma forma mais reduzida a mesma pode ainda ser representada como:

. ( )U erfcϑ η= (2.29)

2.1. Conclusões Importantes Encontradas neste Perfil A penetração do efeito do movimento da placa no fluído é influenciada pela viscosidade do fluído e pelo tempo de

atuação da placa sobre o fluído. Tomando em conta a definição da camada limite, observa-se que para uma variação maior que 1% sobre a velocidade da placa a profundidade de penetração do efeito é dado pela expressão

2. . . 4. .v t v tδ η= ≈ (2.30) Dispondo os dados obtidos numa simulação pode-se avaliar o formato do perfil através do gráfico abaixo

Figura (2.1) – Perfil de velocidade do fluído sobre uma placa subitamente acelerada. (duas vistas)


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3. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Subitamente Desacelerada. O caso inverso, no qual o fluído está se movendo a uma velocidade uniforme U e a placa é subitamente

desacelerada até parar, tem uma solução bastante similar, porém oposta. Pode-se dizer resumidamente que uma solução complementa a outra. A expressão analítica para este caso é:

. ( )U erfϑ η= (3.1)

3.1. Conclusões Importantes Encontradas neste Perfil Da mesma maneira a penetração do efeito do movimento da placa no fluído é influenciada pela viscosidade do

fluído e pelo tempo de atuação da placa sobre o fluído. Dispondo os dados obtidos numa simulação pode-se avaliar o formato do perfil através do gráfico abaixo

Figura (2.1) – Perfil de velocidade do fluído sobre uma placa subitamente desacelerada.

4. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Oscilante (Movimento Harmônico).

Neste caso, a placa em estudo possui um movimento oscilatório harmônico simples, ou seja, um movimento de vai-

e-vem similar ao que ocorre em um pêndulo de relógio. Para representar o movimento oscilatório, usa-se uma representação de Fourier e um modelo mecânico baseado em duas placas planas distantes uma da outra de uma distância h sendo que uma das quais está em repouso e a outra se move com o movimento acima descrito. A velocidade na parede em movimento é dada então pela expressão:

( ) .cos( . )wu U t U tω= = (4.1) Considerando a alternância deste movimento pode-se dizer que num determinado instante o fluído é submetido a

uma condição similar àquela da placa acelerada e no instante seguinte àquela da placa desacelerada, de forma que numa primeira instância pode-se pensar numa solução analítica obtida pela combinação dos dois movimentos ou mesmo aplicar a mesma regra da similaridade, convertendo a equação diferencial numa equação envolvendo apenas duas variáveis adimensionais. Entretanto, a placa ao retornar irá encontrar o líquido dotado de movimento, devido à inércia, na direção contrária a da placa e este será então progressivamente desacelerado até reverter seu movimento, implicando num pequeno tempo de defasagem entre os movimentos e portanto, uma nova metodologia deve ser usada na solução, pois envolve agora deslocamento de ondas mecânicas. A solução matemática deve ser pensada em como as ondas amortecidas se deslocam através do fluído viscoso, partindo da parede.


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Este problema, também conhecido como segundo problema de Stokes, tem soluções obtidas através da aplicação das equações de Navier-Stokes com as mesmas hipóteses simplificadoras usadas nos dois problemas anteriores, porém com a diferença das condições de contorno, mostradas abaixo, onde se pode verificar que a única diferença reside na velocidade junto à parede que se move.

( )

( )

( )

, 0 0

0, .sin( . )

, 0

u y t

u y t U t

u y t

ω

= =�� = =�� → ∞ =�

( )

( )

( )

0

0 1

0

ϑ η

ϑ

ϑ η

→ ∞ =

=

→ ∞ =

( )

( )

( )

1

2

3

c

c

c

onde U é a velocidade máxima que a placa tem em seu movimento, o qual varia entre +U e –U. Neste problema o fluído está inicialmente em repouso quando então a placa inicia seu movimento estabilizando após um tempo com um movimento harmônico simples. O objetivo do problema é determinar a influência do movimento da placa no fluído. Várias são as maneiras de se obter a solução geral para a mesma. De uma maneira resumida pode ser vista como a soma de uma parte transiente e uma parte relativa ao movimento plenamente estabelecido. Para simplificar a solução matemática do mesmo as partes são resolvidas em etapas separadas. À medida que o tempo passa, partindo do inicio, o movimento tende a ir tendendo para uma freqüência de equilíbrio, e então, a parcela referente à transitoriedade tende para um valor muito pequeno ou mesmo nula, restando somente a parte do movimento harmônico simples plenamente estabelecido. De ambas, esta é a solução mais importante. Neste primeiro, se buscará a solução para o movimento oscilatório estabilizado. De forma semelhante ao problema anterior, este também pode ser tratado de maneira adimensional. Partindo da equação 2.16 com condições de contorno acima, a literatura pesquisada traz como solução geral, uma expressão como mostrado abaixo:

( , ) ( , ) . *( , )y t u y t i u y tϑ = + (4.2) Esta expressão, se tiver os termos u = cos (T) e u* = sin (T), pode ser substituída pela identidade de Euler

cos( ) . ( )iTe T i sen T= + Fazendo as substituições de variáveis abaixo

.sin( )sin( )wu T

TU

ϑ = = .T tω=

Estas variáveis, substituídas na equação 2.16, juntamente com a consideração de que

( )12

yy

vωη

υ ω= =

que é a única combinação adimensional existente entre as variáveis do segundo termo da equação 2.16. O termo ωωωω representa a freqüência e é igual a 2.ππππ.f, (medida em T-1). Após a substituição acima, a equação 2.16 se transforma em:

( ) ( )2

2 0T

ϑ ϑη

∂ ∂− =

∂ ∂ (4.3)

A qual passa a ser considerada como sendo adimensional. A velocidade da placa por ser oscilante pode ser

representada como uma função cossenóide ou mesmo senóide. Somente uma parte da variável complexa tem significação física. Se tratarmos a função que denota o movimento da placa como sendo senóide, então a parte imaginária deve ser considerada. No outro caso, a parte real é a que importa. Considerando que a velocidade no fluído irá penetrar em função do tempo, da viscosidade e da própria velocidade, pode-se dizer que ϑ também é uma função destas variáveis de maneira tal a se tornar um valor adimensional. Desta forma, pode-se dizer que


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sinTϑ = . cos( ) .sin( )i Te T i T= + . ( )iTe fϑ η= (considerar a parte imaginária)

cosTϑ = . cos( ) .sin( )i Te T i T= + . ( )iTe fϑ η= (considerar a parte real) derivando a expressão assumida como solução vem que

( ) [ ]. ( ) . ( ) . . ( )iT iT iTe f e f i e fT T Tϑ η η η∂ ∂ ∂� �= = +� �∂ ∂ ∂� �

mas [ ]( ) 0fT

η∂ =∂

logo

. . ( )iTi e fTϑ η∂ =

∂ ( f(η) não depende do tempo, apenas viscosidade, freqüência e profundidade ). (4.4)

e

( ) ( ). ( ) . ( ) . ( ) . ( )iT iT iT iTe f e f e f e fy y y y yϑ η η η η∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.5)

( )2 2 2

2 2 2. ( ) . ( ) . ( ) . ( )iT iT iT iTe f e f e f e fy y y yy y y

ϑ η η η η� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + =� �∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂� � (4.6)

substituindo na equação 4.3 esta fica:

2

2. . ( ) . ( ) 0iT iTi e f e fy

η η∂− =∂

2

2. ( ) ( ) 0iTi f f ey

η η� �∂− = ∂� � (4.7)

Como . 0i Te ≠ , o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero. Se considerarmos esta equação diferencial sua

solução geral é

( )2 iλ = . .1 2( ) . .i if C e C eη ηη −= + (4.8)

Aplicando as condições de contorno e forma coerente com as condições iniciais, tem-se que η = 0 f(η) = 1 ( O fluído terá a velocidade idêntica a da placa) η = ∞ f(η) = 0 Assim:

1 2

1 2

1

. 0

C C

C C

+ =∞ + =

1 2.C C∞ = −

2

1

CC =

−∞

1 0C = 2 1C =

Então,

.( ) if e ηη −= e ( ) . .i iTe eηϑ η −= (4.9)

mas 1

2

ii

+=


11

Assim:

( )1 . . ..

. .2 22 2 2 2 2Im . Im . . Im . Im .i i i i Ti T

i T i Te e e e e e e e eηη η η η ηη

ϑ η+� � � �− −− − − − −� � � �

� � � �� = = = =� � � � � � � �

� � � ��

( ) 2 .sin2

e Tη ηϑ η

− � �= −� ��

(4.10)

Recuperando as variáveis iniciais, a expressão adquire sua forma final

( ) 2 .sin2

yve t y

v

ω ωϑ η ω− � �

= −� ��

(4.11)

4.1 Conseqüências e Verificações Importantes para este Perfil A penetração do efeito da placa na direção y é amortecida pelo termo exponencial da equação. Da mesma maneira

que no problema anterior verifica-se que esta penetração também é função da raiz quadrada da viscosidade e inversamente proporcional à raiz quadrada da freqüência. Estimando a camada limite (camada onde o efeito do movimento é maior que 1% da velocidade normal da placa), verifica-se que esta é relacionada pela expressão:

2.

4,5vδ

ω= (4.12)

O segundo termo da expressão fornece o comportamento ondulatório do perfil. Isolando a posição em função das

demais variáveis, obtém-se

( )2. . .y C v tω= + (4.13)

onde o termo entre parêntesis denota a velocidade da onda. Avaliando este perfil em termos gráficos pode-se avaliar perfeitamente através dos gráficos abaixo. A simulação foi

feita com U = 10 unidades de velocidade, viscosidade na ordem de 1 centipoise, freqüência de 1 revolução por segundo (ω = 2π). A grandeza y do gráfico expressa o afastamento em termos de distância (cm).

Figura (4.1) – Perfil da velocidade ilustrativo para U=10 unidades de velocidade.


12

Figura (4.2) – Perfil visto pelo lado da placa em movimento, onde se pode observar o desenvolvimento do perfil ao longo do tempo e ao longo do afastamento.

Figura (4.3) – Perfil obtido após multiplicar por 5 a freqüência de oscilação mantendo as demais variáveis inalteradas. Pode-se perceber a diminuição na penetração.

Figura (4.4) – Perfil obtido após multiplicar por 5 a viscosidade, mantendo as demais variáveis inalteradas.


13

Para a situação onde o fluído está oscilando com uma freqüência ω sobre uma placa em repouso, o problema também é considerado como sendo um problema de Stokes, agora governado pela expressão U = -sin(T). E de forma semelhante ao primeiro problema de Stokes, a solução deste caso será a expressa negativa da solução original obtida no caso anterior, combinada com a expressão de que U∞ = sin(T), resultando numa solução complementar. Assim, a expressão para este caso resulta em

( ) 2sin sin2

T e Tηηϑ η

−� �= − − +� ��

(4.14)

Nesta expressão, a primeira parcela da soma representa o efeito viscoso e a segunda parcela representa a oscilação

invíscida, de donde se conclui que o fluído está dotado de um movimento oscilatório composto por duas ondas senoidais de mesma freqüência que se somam mutuamente, sendo sempre possível representar esta como uma única onda através da introdução de um termo de amplitude e outro de fase, da forma como mostrado abaixo

( ) sin( )A Tϑ η θ= + (4.15)

onde A é amplitude e θ é o ângulo de defasagem. Pode-se visualizar esta variação no gráfico abaixo

Figura (4.5) – Perfil de velocidades de um fluído oscilando sobre uma placa com movimento oscilatório.


14

5. Modelagem do Perfil de Velocidades para Qualquer Situação Transitória. Para uma avaliação em qualquer situação de estados transitórios, as equações de Navier-Stokes devem ser usadas.

Na situação onde as velocidades componentes são independentes das coordenadas longitudinais (direção do escoamento), pode-se se usar as seguintes equações já feitas as simplificações mais importantes.

2

2

1u u p uv

t y x yυ

ρ∂ ∂ ∂ ∂+ ⋅ = − ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂

(5.1)

1v p

t yρ∂ ∂= − ⋅∂ ∂

(5.2)

0vy

∂ =∂

(5.3)

6. Agradecimentos Agradecimentos em especial ao professor Admilson T. Franco, pelo auxílio na busca de informações e bibliografia

referentes ao problema.

7. Lista de referências 1 – Ver Memoir on Pendulums, escrito em 1845; 2 – Ver Conduction of Heat in Solids, escrita por Carslaw & J. C. Jaeger (Oxford 1947); 3 – Ver The Mathematics of Diffusion, Oxford Univ. Press, London, 1958; 4 – Alguns autores consideram este problema como sendo um problema de Rayleigh. Entretanto, isto Não se

justifica, uma vez que este problema está muito bem discutido e resolvido no paper citado na referência 1.

8. Referências White, F. M., Viscous Fluid Flow, 2a ed., McGraw-Hill, 1991; Warsi, Z. U. A., Fluid Dynamics Theoretical and Computational Approaches, 2a ed., CRC Press, Welty, J. R., Wilson, R. E., Wicks, C. E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, John Wiley &

Sons, 1969, NY; Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, NY; Panton, R. L., Incompressibile Flow, John Wiley & Sons, 1984;

9. Direitos autorais

UNSTEADY UNIDIRECTIONAL VISCOUS FLOW WITH MOVED BOUNDARIES

Clovis Bombardelli Lacit - Cefet / Curitiba [email protected]

Abstract. A unsteady unidirectional viscous flow has several features and characteristics that we pretend do the

demonstrations. First, there is the gradual spreading or diffusion of velocity variations across streamlines, which comes about through the tangential force exerted across planes normal to y-axes. The distance of penetration of these velocity variations into regions of uniform velocity after a time t is of order of square root of viscosity and time. Two special cases are analized in this paper. The influence of a plane boundary moved suddenly in a fluid at rest and the flow near an oscillating flat plate.

Viscous flow, velocity streamlines, the viscosity influence in the momentum diffusion.

PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1oQ/2003

15

c. bombardelli - escoamento viscoso com fronteiras móveis

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