relações de recorrência

Tutoria AEDSIPablo Silva

Mais de recursividade

Vamos ver mais alguns exemplos de problemas que podemos resolver com recursividade

Seja o problema em que temos um número natural n >= 0 e queremos descobrir a soma de todos os números de n até 0. Como resolver este problema recursivamente?

Entender o problema matemático

Precisamos sempre encontrar o caso base e o passo recursivo. Mas para isso, temos que entender o problema matemático.


Vejamos possíveis iterações:

0 = 01 = 1 + 0 = 12 = 2 + 1 + 0 = 33 = 3 + 2 + 1 + 0 = 6...n = n + n-1 + n-2 + ... + 0

O caso base como podemos perceber é zero, pois é sempre onde o problema termina!


Vejamos possíveis iterações:

0 = 01 = 1 + 0 = 12 = 2 + 1 + 0 = 33 = 3 + 2 + 1 + 0 = 6...n = n + n-1 + n-2 + ... + 0

O que podemos perceber analisando as iterações, é que começamos a somar em n e vamos diminuindo em 1 para cada número natural anterior a n até zero.

n-1


Se assumirmos que diminuímos o problema em um fator de 1, então teríamos a seguinte situação:

0 = 01 = + 0 = 12 = + 1 + 0 = 33 = + 2 + 1 + 0 = 6...n = + n + n-1 + ... + 0

Ao diminuirmos, percebemos que novamente, nessa iteração, teríamos após o n, um fator n-1 e então podemos definir nosso passo recursivo como:

n + soma(n-1)

Pois para resolver o problema, sempre somamos n com o seu antecessor direto (n-1).

n-1

Soma de n termos

Nossa função então ficaria da seguinte forma:

int soma(int n){

if(n == 0)return 0;

return n + soma(n-1);

}

Mais um exemploSeja o problema de elevar qualquer número n á um expoente qualquer k. Como resolver isso de maneira recursiva. Vamos ver algumas possíveis interações deste problema matemático, com n = 2 e k >= 0:

20 = 121 = 2 ∗ 20

22 = 2 ∗ 2 ∗ 20 = 2 ∗ 21

23 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 20 = 2 ∗ 22

24 = 2 ∗ 21 ∗ 21 ∗ 21 ∗ 20 = 2 ∗ 23

Na multiplicação de mesma base podemos somar os expoentes e manter a base (1+1+1+0 = 3)

K - 1 Percebemos que o problema termina sempre que k = 0. Portanto, desta vez, a diminuição do nosso problema, ocorrerá no expoente e não no número que estamos somando.

Um fato importante a se considerar sobre recursão

- Nós podemos ter mais de um caso base!- Sempre precisamos encontrar uma maneira de diminuir o problema. O

fator que vamos diminuir e qual é o nosso parâmetro de diminuição não será o mesmo para todos os problemas. Podemos, inclusive, ter que diminuir o problema utilizando mais que um parâmetro para isso.

- É importante notar que o fator de diminuição nem sempre será em 1, pode por exemplo ser 2 ou até mesmo dividir o problema pela metade a cada passo recursivo!


20 = 121 = 2 ∗ 20

22 = 2 ∗ 2 ∗ 20 = 2 ∗ 21

23 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 20 = 2 ∗ 22

24 = 2 ∗ 21 ∗ 21 ∗ 21 ∗ 20 = 2 ∗ 23


K - 1 O caso base é fácil de perceber, pois quando k = 0, o problema terminou para todas as iterações. Logo k = 0 é o nosso caso base.


20 = 121 = 2 ∗ 20

22 = 2 ∗ 2 ∗ 20 = 2 ∗ 21

23 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 20 = 2 ∗ 22

24 = 2 ∗ 21 ∗ 21 ∗ 21 ∗ 20 = 2 ∗ 23


K - 1 Para o passo recursivo, percebemos que sempre podemos multiplicar n por uma potenciação de 𝑛𝑘−1.O k-1 é em relação aoexpoente inicial. Logo o passo recursivo:

𝑛 * 𝑛𝑘−1

Potenciação recursiva

Nossa função então ficaria da seguinte forma:

int pot(int n, int k){

if(k == 0)return 1;

return n * pot(n,k-1);

}

Análise da recursividade

Qual é a complexidade do algoritmo recursivo que calcula o fatorial de n? Como conseguimos calcular esse valor?


Analisar a complexidade de algoritmos recursivos não é tão simples assim e muitas vezes temos que utilizar recursos matemáticos mais aguçados para conseguir chegar à um valor.


Analisar a complexidade de algoritmos recursivos não é tão simples assim e muitas vezes temos que utilizar recursos matemáticos mais aguçados para conseguir chegar à um valor. Isto envolve saber a descrição matemática que nos dá o comportamento do algoritmo, que será definida como sua relação de recorrência! (recorrência, pois o algoritmo sempre

“recorre” a si mesmo várias vezes para resolver um problema qualquer. Recorrência é o mesmo que repetição!)

Relações de recorrência

Uma relação de recorrência é sempre formada por: o caso base e por um elemento que se parece muito com o passo recursivo, mas tem a ver com número de operações completadas. Vamos tentar entender um pouco deste elemento, utilizando o fatorial recursivo de n.


Seja uma relação de recorrência representada pelo símbolo 𝑇, podemos definir então a função de 𝑇(n), que será a função que descreverá nossa relação de recorrência, de modo que:

𝑇 𝑛 =𝐶 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑇 𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑘 + 𝑑 𝑑 ≥< 0

Onde o valor mínimo de n depende do nosso problema matemático!


Vamos utilizar como exemplo o fatorial de n. Sabemos que o caso base é quando n = 1 e nestecaso, o valor retornado é 1. Logo C = 1 quando n = 1, então:

𝑇 𝑛 =1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1


Agora vamos analisar a função fatorial, para encontrar nossarelação de recorrência:

int fatorial(int n){if( n == 1 )

return 1;

return n * fatorial(n-1);

}

Para encontrar a recorrência do algoritmo temos que nos atentar para o número de operações que temos a cada passo. Olhando para o passo recursivo, pode-se perceber que sempre vamos ter 1 multiplicação mais uma chamada da função fatorial com o nosso problema diminuído em 1. Portanto nossa recorrência pode ser definida por:

1 + 𝑇 𝑛 − 1

Onde T refere-se neste caso a função fatorial!Uma multiplicação e uma chamada de função com o problema diminuído em 1!


Logo, k = 1, o fator de diminuição é uma subtraçãopor k e d = 1, que é o valor de operaçõescompletadas por cada chamada da função.

𝑇 𝑛 =1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1𝑇 𝑛 − 1 + 1 ,


Para finalizar o nosso T(n), precisamos definir o valor mínimo que n atinge em que a recorrência aindaexiste. Neste caso, é todo valor que n assume que é maior que o caso base. Logo

𝑇 𝑛 =1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1

𝑇 𝑛 − 1 + 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 1

Quando n atingir 1, não teremos mais recorrências!

Como resolver uma relação de recorrência?

Temos duas maneiras de resolver uma relação de recorrência:

- Por expansão dos fatores- Por indução matemática

Resolvendo recorrências por expansão de fatores. Receita de bolo!

1º) Copie a fórmula original

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 1 + 1

2º) Descubra por quanto que a recorrência é diminuída a cada passo (fator de diminuição k)

T(n) está escrito em função de T(n-1) então a cada passo o parâmetro n é subtraído de 1 (k = 1)


3º) Encontre o valor de T para os próximos valores da diminuição, utilizando valor da equação original T(n) = T(n – 1) + 1

Como já sabemos que o fator de diminuição é subtraído de 1, então devemos achar os valores de T(n-1), T(n-2), T(n-3) e assim por diante, substituindo n pelos respectivos valores na equação inicial.


3º) Encontre o valor de T para os próximos valores da diminuição, utilizando valor da equação original T(n) = T(n – 1) + 1

Se ainda está confuso o que devemos fazer, pense nesse problema matemático, seja:

𝑓 𝑥 = 2𝑥

Se queremos saber o valor de f(2) e f(3) logo x = 2, x = 3, então fazemos:𝑓 2 = 2 ∗ 2 = 4𝑓 3 = 2 ∗ 3 = 6


3º) Encontre o valor de T para os próximos valores da diminuição, utilizando valor da equação original T(n) = T(n – 1) + 1Portanto se queremos saber os valores de T(n-1), T(n-2)... Então n = n-1, n = n-2,...E fazemos como anteriormente substituindo os valores de n. Logo:

𝑇 (𝑛 − 1) = 𝑇 𝑛 − 1 − 1 + 1 = T n − 2 + 1 (3.1)𝑇 (𝑛 − 2) = 𝑇 𝑛 − 2 − 1 + 1 = T n − 3 + 1(3.2)𝑇 (𝑛 − 3) = 𝑇 𝑛 − 3 − 1 + 1 = T n − 4 + 1(3.3)


4º) Substitua os valores encontrados em 3, na equação original (chamamos isto de expansão da recorrência) T(n) = T(n-1) + 1

Utilizando 3.1, onde encontramos o valor de T(n-1):

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 1 + 1 ⇒ 𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 2 (4.1)

Utilizando 3.2, onde encontramos o valor de T(n-2), substituímos em 4.1

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 1 + 2 ⇒ 𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 3 (4.2)

k

k


4º) Continuamos a substituir, até conseguirmos enxergar um padrão nas expansões:

Utilizando 3.2, onde encontramos o valor de T(n-3), substituímos em 4.2:

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 1 + 3 ⇒ 𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 4 (4.3)

Podemos notar que o valor de k incrementa a cada expansão, que é o comportamento experado, já que estamos sempre diminuindo a recorrência pelo fator de 1 (valor inicial de k). A ideia é perceber o comportamento da recorrência ao se aumentar o valor de k (diminuir a recorrência)!

k


4º) Analisando todas as iterações:

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 2 (4.1)𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 3 4.2𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 4 4.3

k

A cada expansão da recorrência, k assume um novo valor. Percebemos também que o valor constante que é somado a recorrência e indica a quantidade de multiplicações que teremos que realizar para encontrar a solução do problema (fatorial de n) é o mesmo valor de k em todas as iterações.


4º) Analisando todas as iterações:

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 2 + 2 (4.1)𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 3 + 3 4.2𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 4 + 4 4.3

k

Logo, depois de k expansões teremos:

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 𝑘 + 𝑘


5º) Encontrar quando a expansão para. Precisamos pensar no caso base, que é o mesmo que pensar em quando T(n-k) nos retornará um valor. Olhando para o casobase, sabemos que teremos um valor de retorno e não uma nova recorrência quando n = 1. Para o nosso caso, n = (n-k) que é o valor de argumento da recorrência [T(n-k)]

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 𝑘 + 𝑘 (5.1)

Logo precisamos saber quando n-k = 1, pois então teremos T(1) e já sabemos que isso é igual a 1.

𝑛 − 𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = 𝑛 − 1


5º) Substituindo o valor de k encontrado (n-1) em 5.1 temos

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − (𝑛 − 1) + 𝑛 − 1= 𝑇 1 + 𝑛 − 1

Como sabemos que T(1) = 1, então

𝑇 𝑛 = 1 + 𝑛 − 1𝑇 𝑛 = 𝑛


6º) Definir o limite assintótico de T(n)

Como encontramos que T(n) = n, então neste caso sabemos que o algoritmo fatorial de n recursivo é O(n), maior grau no polinômio encontrado.

Na prática, depois de várias décadas de estudo, sabe-se que o resultado da relação de recorrência é suficiente para conhecer a complexidade do algoritmo, porém se quisermos realmente provar (e às vezes isso será necessário!), precisamos utilizarindução matemática, que é um método da matemática discreta que nos ensina comoprovar problemas matemáticos, entre eles relações de recorrência.

Indução matemática

Em uma linguagem bem simplificada. Você pode usar a indução matemática para provar uma expressão matemática quando:

1 – Sabe que ela é verdadeira para algum valor.2 – Quer provar que ela é válida então para esse valor em relação a um fator de um (pode ser aumentar ou diminuir). Ou seja, quer provar que o próximo valor e os próximos valores depois deste também são verdadeiros.


Características:

1 – O passo 1 do slide anterior é chamado de passo base.2 – O passo 2 é o passo indutivo.


Exemplo. Seja um teorema que tenha como parâmetro um número natural n. Provando que T é válido para todos os valores de n, provamos que:

1 – T é válido para n = 1 (eu tenho que saber que isto é verdade!);2 – Para todo n > 1, se T é válido para n – 1, então T é válido para n (Se conseguirmos provar que n – 1 é válido (e isto implica em provar que n – 2, n – 3 e assim por diante também é válido), então podemos provar que n é verdadeiro. Esse é o passo indutivo.

O que é uma prova?

Em matemática, uma prova é uma argumentação precisa que procura convencer o leitor de que uma certa preposição, previamente enunciada está correta. Num sentindo mais informa, uma prova é um texto que ajuda o leitor a entender por que uma dada afirmação é verdadeira!

Provando uma relação de recorrência por indução matemática

Primeiro temos que provar que o passo base é verdadeiro. Para nossa equação de recorrência do problema do fatorial:

𝑇 𝑛 =1 , 𝑠𝑒 𝑛 = 1

𝑇 𝑛 − 1 + 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 1

Logo primeiro queremos provar que T(1) = 1. Sabemos que T(1) é verdadeiro, pois quando n = 1, o algoritmo não realiza nenhuma multiplicação. Logo, o nosso caso base é verdadeiro!


Agora supomos que T(k) = k (pois não sabemos quanto é realmente este valor antes de calcular todas as multiplicações. A variável n foi substituída por k, pois estamos generalizando para quaisquer valores n > 1, pois quando n = 1 já provamos serverdadeiro). Para provar que T(k) = k é verdadeiro, precisamosprovar que T(k + 1) = k + 1 também é verdadeiro. Se conseguirmos provar que T(k + 1) é verdadeiro, então T(k) também será verdadeiro, pois derivamos T(k+1) de T(k) e assimnosso passo indutivo seria verdadeiro e nossa relação de recorrência também.


A ideia principal aqui é a seguinte. Vamos encontrar definirnossa hipótese de indução. A hipótese de indução é semprenosso passo recursivo:

𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑛 − 1 + 1

Vamos a partir da nossa hipótese de indução, determinar o valor de T(k + 1).


𝑇 𝑘 + 1 = 𝑇 (𝑘 + 1) − 1 + 1= 𝑇 𝑘 + 1

Sempre, que queremos provar T(k+1), precisamos tentar deixá-lo em função de T(k), que é o valor que supomos no começo do exercício que queríamos provar. Supomos que T(k) = k, entãovamos substituí-lo na expressão encontrada acima.


Como supomos que T(k) = k no começo do exercícios, podemos então substituí-lo na expressão encontrada no slide anterior:

𝑇 𝑘 + 1 = 𝑇 𝑘 + 1T(k + 1) = 𝑘 + 1

Note que é exatamente o que queríamos provar, pois lembre-se que no começo do exercício, supomos T(k) = k e queríamosprovar que T(k+1) = k +1.


Escrever uma prova de indução matemática sempre envolve:

- Provar o caso base- Supor T(k) = k e tentar provar que T(k+1) = k+1- Encontrar uma hipótese de indução, que é o nosso passo

recursivo- Utilizar a hipótese de indução para encontrar T(k+1) em

função de T(k)- Manipular T(k+1) para que ele seja k+1

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