Equação de Recorrência - I (Otimização)

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Otimizao de equaes de recorrncia lineares a coeficientes constantes, homogneas. Introduo, classificao, conceitos.

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  • 1. Otimizao de equaes deca corecorrncia lineareseJedson B. Guedeshttp://jedsonguedes.wordpress.com

2. Neste texto ser apresentada uma maneira de se otimizar uma aequao de recorrncia linear a coecientes constantes,caehomognea. eExemplos:cn = cn1 + 3cn3 2cn5un = un1 + un2rn+1 = rn + rn2 3. Passos para otimizao - Polinmio Caraceter ca o stico Sejaun = a1 un1 + a2 un2 + . . . + ak unk ,nk com ai constante, i=1...k e supondo conhecidos os k primeiros termos u0 , . . . , uk1 . O polinmio caractero stico de (un ) denido comoep(x) = x k a1 x k1 a2 x k2 . . . ak x 0k = ordem da recorrncia e 4. Passos para otimizao - Polinmio Caraceter ca o stico 1un a1 un1 . . . ak unk = 0 Destacados em azul os coecientes dos x k , x k1 , ..., x kk , respectivamente. 5. Passos para otimizao - Polinmio Caraceter ca o stico Pelo Teorema Fundamental da Algebra, sabemos que a equaoca caracter stica de um polinmio p(x) : o e p(x) = (x r1 )m1 (x r2 )m2 . . . (x rp )mp , pk sendo r1 , r2 , . . . , rp as p ra distintas de p(x). zes Com mi = multiplicidade de ri . 6. Passos para otimizao - O somatrio! ca o Utilizaremos o seguinte somatrio para otimizar equaes deo co recorrncia lineares a coecientes constantes, homogneas. e ep un = Qj (n)rjnj=1 onde Qj (n) um polinmio em n geral de grau mj 1 e r e o indica uma raiz. 7. Passos para otimizao - O somatrio! ca o Os coecientes de Qj (n) so obtidos a partir de um sistema linear a constru com os valores dos termos iniciais da recorrncia.do e A partir da preciso basicamente resolver tal sistema e substituir, e os valores encontrados, realizando as trocas de variveisa necessrias. a 8. ExemploOtimizar a seguinte equao de recorrncia:ca eun = 5un1 8un2 + 4un3 , n3 u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2 9. Exemplo(1) Achar (un );O grau 3. Precisaremos, pois, mais a frente, dos trs primeiros e evalores de (un ). Sabemos que u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2. Aplicandotais valores na recorrncia dada, achamos os seguintes termos dee(un ):un = 5un1 8un2 + 4un3 u3 = 5u31 8u32 + 4u33 u3 = 5u2 8u1 + 4u0 u3 = 5 2 8 1 + 4 0 u3 = 2 10. ExemploAssim, se continuarmos o processo, acharemos:(un ) = {0, 1, 2, 2, 2, . . . }Fazer isto aconselhvel por ajudar a vericar facilmente se h um e a aerro. 11. Exemplo(2) Construir o polinmio caracter ostico p(x);De forma suscinta, pode-se dizer que para montar o polinmioocaracterstico p(x) comeamos colocando a incgnita, aquicochamada de x, elevada ` ordem da equao de recorrncia. a caeNeste caso, n=3.Assim, o primeiro termo de p(x) ser x 3 . a 12. ExemploA partir disto, as incgnitas seguintes tero sempre como expoenteoao grau anterior decrescido de uma unidade.E seus coecientes, seroa (1)(o coeciente do respectivo termo da eq. de recorrncia).e 13. ExemploNeste exemplo, 5un1 8un2 + 4un3 .O coeciente de un1 5. eMultiplicando-o por (-1), descobrimos que a prxima parcela doopolinmio ser 5x o a 2.Utiliza-se racioc anlogo aos demais. Desta forma, temos, nio aneste caso, p(x) = x 3 5x 2 + 8x 4 14. ExemploEste polinmio, porm, no est na formaoea ap(x) = (x r1 )m1 (x r2 )m2 . . . (x rp )mp , pk 15. ExemploPara o deixarmos assim, basta dividi-lo por (x ri ), em que ri euma de suas razes. p(x) p(x)/(x ri )A multiplicidade de cada raiz que dir o expoente de cada termoea(x ri ). 16. ExemploFacilmente verica-se que 1 raiz de p(x).eQuando dividirmos este polinmio por (x 1) teremos como oquociente outro polinmio: o x 2 4x + 4E como resto: 0.Assim, 1 mesmo raiz de p(x) = x 3 5x 2 + 8x 4, e suaemultiplicidade 1. e 17. ExemploSeguindo o processo, dividiremos este novo polinmio por (x ri ). oVale salientar que este ri uma raiz do novo polinmio. e o 18. ExemploO nmero 2 raiz de x 2 4x + 4. u eDividindo, pois, x 2 4x + 4 por (x 2), encontramos comoquociente x 2 e resto 0.O nmero 2, portanto, raiz.ueNovamente seguindo em frente com o processo, procuramos poruma raiz de x 2 e encontramos o nmero 2 novamente. O unmero 2 raiz duas vezes do polinmio inicial. ueoAssim, ele tem multiplicidade 2. 19. ExemploTemos, portantop(x) = (x 1)1 (x 2)2. 20. Exemplop n3) Agora, usando un = j=1 Qj (n)rj , chegamos a ter un = Q1 (n) 1n + Q2 (n) 2n 21. ExemploLembremos quepun = Qj (n)rjn j=1e que Qj (n) um polinmio em n geral de grau mj 1 e r e oindica uma raiz.(4) Reescrevamos cada polinmio Qj (n) usando i .o Q1 (n) = 0Q2 (n) = 1 n1 + 2Assim, un pode ser escrito da seguinte forma: un = 0 1n + (1 n + 2 ) 2n 22. Exemplo(5) Monte um sistema de equaes.coUsando os valores iniciais dos primeiros termos 0 + (1 0 + 2 ) 20 = 0, para n=00 + (1 1 + 2 ) 21 = 1, para n=10 + (1 2 + 2 ) 22 = 2, para n=2 23. Exemplo(6) Resolvendo este sistema de equaes, encontramos: co 0 = 21 = 2 1 2 = 2 24. Exemplo(7) Subsitituindo os valores dos s, n un = 2 + ( + 2) 2n 2 25. ExemploTrocando em midos, a equao acima idntica ` inicial. Assim,u cae ea nun = 5un1 8un2 + 4un3 un = 2 + ( + 2) 2n 2Desta forma, se quero achar o 16o termo da sequncia (n=16),eno preciso achar os termos u15 , u14 e u13 . a e 26. Pronto! Fcil, no?aa 27. Exerc cios Otimizar a seguinte recorrncia: e rn+1 = rn 2rn2 r1 = 1 r2 = 1 r3 = 0 28. Exerc cios E poss otimizar a seguinte recorrncia apenas com as vele informaes dadas abaixo?co Se sim, otimize-a. Se no, explique o porqu.a e cn = cn1 + 3cn3 2cn5 c1 = 0 c3 = 2 c5 = 3 29. Exerc cios Encontre o termo geral para a sequncia de Fibonacci. e (Cada termo da sequncia de Fibonacci conseguido somando-se ee os dois termos imediatamente anteriores. Os termos iniciais so 0a e 1.) 30. Bibliograa e referncias eArquivo pessoal do Jedson: Anotaes das aulas do prof.coRafael, UFC - DEMA, Matemtica Finita (2011)aRonald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik:Matemtica concreta, Reading, Massachusetts:aAddison-Wesley (1994)