Otimizacao de equacoes derecorrencia lineares

Jedson B. Guedes

http://jedsonguedes.wordpress.com

Neste texto sera apresentada uma maneira de se otimizar umaequacao de recorrencia linear a coeficientes constantes,homogenea.

Exemplos:

I cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5

I un = un−1 + un−2

I rn+1 = rn + rn−2

Passos para otimizacao - Polinomio Caraceterıstico

Sejaun = a1un−1 + a2un−2 + . . .+ akun−k , n ≥ k

com ai constante, i=1...k e supondo conhecidos os k primeirostermos u0, . . . , uk−1.O polinomio caracterıstico de (un) e definido como

p(x) = xk − a1xk−1 − a2xk−2 − . . .− akx0

k = ordem da recorrencia

Passos para otimizacao - Polinomio Caraceterıstico

1un − a1un−1 − . . .− akun−k = 0

Destacados em azul os coeficientes dos xk , xk−1, ..., xk−k ,respectivamente.

Passos para otimizacao - Polinomio Caraceterıstico

Pelo Teorema Fundamental da Algebra, sabemos que a equacaocaracterıstica de um polinomio p(x) e:

p(x) = (x − r1)m1(x − r2)m2 . . . (x − rp)mp , p ≤ k

sendo r1, r2, . . . , rp as p raızes distintas de p(x).Com mi = multiplicidade de ri .

Passos para otimizacao - O somatorio!

Utilizaremos o seguinte somatorio para otimizar equacoes derecorrencia lineares a coeficientes constantes, homogeneas.

un =

p∑j=1

Qj(n)rnj

onde Qj(n) e um polinomio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e rindica uma raiz.

Passos para otimizacao - O somatorio!

Os coeficientes de Qj(n) sao obtidos a partir de um sistema linearconstruıdo com os valores dos termos iniciais da recorrencia.

A partir daı, e preciso basicamente resolver tal sistema e substituiros valores encontrados, realizando as trocas de variaveisnecessarias.

Exemplo

Otimizar a seguinte equacao de recorrencia:

un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3, n ≥ 3

u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2

Exemplo(1) Achar (un);O grau e 3. Precisaremos, pois, mais a frente, dos tres primeirosvalores de (un). Sabemos que u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2. Aplicandotais valores na recorrencia dada, achamos os seguintes termos de(un):

un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3

⇓

u3 = 5u3−1 − 8u3−2 + 4u3−3

⇓

u3 = 5u2 − 8u1 + 4u0

⇓

u3 = 5 · 2− 8 · 1 + 4 · 0

⇓

u3 = 2

Exemplo

Assim, se continuarmos o processo, acharemos:

(un) = {0, 1, 2, 2,−2, . . . }

Fazer isto e aconselhavel por ajudar a verificar facilmente se ha umerro.

Exemplo

(2) Construir o polinomio caracterıstico p(x);

De forma suscinta, pode-se dizer que para montar o polinomiocaracterıstico p(x) comecamos colocando a incognita, aquichamada de x, elevada a ordem da equacao de recorrencia.

Neste caso, n=3.Assim, o primeiro termo de p(x) sera x3.

Exemplo

A partir disto, as incognitas seguintes terao sempre como expoenteo grau anterior decrescido de uma unidade.E seus coeficientes, serao

(−1)×(o coeficiente do respectivo termo da eq. de recorrencia).

Exemplo

Neste exemplo, 5un−1 − 8un−2 + 4un−3.O coeficiente de un−1 e 5.

Multiplicando-o por (-1), descobrimos que a proxima parcela dopolinomio sera −5x2.

Utiliza-se raciocınio analogo aos demais. Desta forma, temos,neste caso,

p(x) = x3 − 5x2 + 8x − 4

Exemplo

Este polinomio, porem, nao esta na forma

p(x) = (x − r1)m1(x − r2)m2 . . . (x − rp)mp , p ≤ k

Exemplo

Para o deixarmos assim, basta dividi-lo por (x − ri ), em que ri euma de suas raızes.

p(x)← p(x)/(x − ri )

A multiplicidade de cada raiz e que dira o expoente de cada termo(x − ri ).

Exemplo

Facilmente verifica-se que 1 e raiz de p(x).Quando dividirmos este polinomio por (x − 1) teremos comoquociente outro polinomio:

x2 − 4x + 4

E como resto: 0.Assim, 1 e mesmo raiz de p(x) = x3 − 5x2 + 8x − 4, e suamultiplicidade e 1.

Exemplo

Seguindo o processo, dividiremos este novo polinomio por (x − ri ).Vale salientar que este ri e uma raiz do novo polinomio.

Exemplo

O numero 2 e raiz de x2 − 4x + 4.

Dividindo, pois, x2 − 4x + 4 por (x − 2), encontramos comoquociente x − 2 e resto 0.O numero 2, portanto, e raiz.

Novamente seguindo em frente com o processo, procuramos poruma raiz de x − 2 e encontramos o numero 2 novamente. Onumero 2 e raiz duas vezes do polinomio inicial.

Assim, ele tem multiplicidade 2.

Exemplo

Temos, portanto

p(x) = (x − 1)1 · (x − 2)2

.

Exemplo

3) Agora, usando un =∑p

j=1 Qj(n)rnj , chegamos a ter

un = Q1(n) · 1n + Q2(n) · 2n

Exemplo

Lembremos que

un =

p∑j=1

Qj(n)rnj

e que Qj(n) e um polinomio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e rindica uma raiz.(4) Reescrevamos cada polinomio Qj(n) usando λi .

Q1(n) = λ0

Q2(n) = λ1 · n1 + λ2

Assim, un pode ser escrito da seguinte forma:

un = λ0 · 1n + (λ1 · n + λ2) · 2n

Exemplo

(5) Monte um sistema de equacoes.Usando os valores iniciais dos primeiros termos

λ0 + (λ1 · 0 + λ2) · 20 = 0, para n=0λ0 + (λ1 · 1 + λ2) · 21 = 1, para n=1λ0 + (λ1 · 2 + λ2) · 22 = 2, para n=2

Exemplo

(6) Resolvendo este sistema de equacoes, encontramos:λ0 = −2λ1 = −1

2λ2 = 2

Exemplo

(7) Subsitituindo os valores dos λ’s,

un = −2 + (−n

2+ 2) · 2n

Exemplo

Trocando em miudos, a equacao acima e identica a inicial. Assim,

un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 ≡ un = −2 + (−n

2+ 2) · 2n

Desta forma, se quero achar o 16o termo da sequencia (n=16),nao e preciso achar os termos u15, u14 e u13.

Pronto!

Facil, nao?

Exercıcios

Otimizar a seguinte recorrencia:

rn+1 = rn − 2rn−2

r1 = 1

r2 = 1

r3 = 0

Exercıcios

E possıvel otimizar a seguinte recorrencia apenas com asinformacoes dadas abaixo?Se sim, otimize-a. Se nao, explique o porque.

cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5

c1 = 0

c3 = 2

c5 = 3

Exercıcios

Encontre o termo geral para a sequencia de Fibonacci.

(Cada termo da sequencia de Fibonacci e conseguido somando-seos dois termos imediatamente anteriores. Os termos iniciais sao 0e 1.)

Bibliografia e referencias

Arquivo pessoal do Jedson: Anotacoes das aulas do prof.Rafael, UFC - DEMA, Matematica Finita (2011)

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik:Matematica concreta, Reading, Massachusetts:Addison-Wesley (1994)