2. modelo detalhado: relações de recorrência ...orlando/analise-parte-a-2.pdf1. introduÇÃo e...

4

2. MODELO DETALHADO: Relações de Recorrência

Exemplo: Algoritmo Recursivo para Cálculo do Fatorial –

Substituição Repetida

0,)1()(

0,)(

2

1

>+−=

==

ntnTnT

ntnT

2)1()( tnTnT +−=

222 2)2())2(()( tnTttnTnT +−=++−=

222 2))3((2)2()( ttnTtnTnT ++−=+−=

23)3()( tnTnT +−=

2)()( ktknTnT +−=

2. MODELO DETALHADO: Relações de Recorrência

Exemplo: Algoritmo Recursivo para Cálculo do Fatorial –

Substituição Repetida

2)()( ktknTnT +−=

Sendo n conhecido, podemos repetir o processo de substituição

até obtermos T(0) do lado direito: n-k=0à k=n

2)0()( ntTnT +=

21)( nttnT +=

5

3. MODELO SIMPLIFICADO: Ex. – Somat. Série Geométrica

2

)1(

0

+=∑

=

nni

n

i

Para o cálculo anterior, foi utilizada a seguinte igualdade:

2

)1)(2()1(

0

++=+∑

=

nni

n

i

Portanto:


2

)1(

0

+=∑

=

nni

n

i

Demonstração da igualdade por Indução Matemática:

Passo (1): Mostrar que a igualdade vale para n=0

2

)10(00

0

0

+==∑

=i

i

6


2

)1(

0

+=∑

=

nni

n

i

Demonstração da igualdade por Indução Matemática:

Passo (2a): Supor que a igualdade vale para n=k (Hipótese)

2

)1(

0

+=∑

=

kki

k

i


Passo (2b): Provar que a igualdade vale para n=k+1

)1(2

)1()1(

0

1

0

+++

=++= ∑∑=

+

=

kkk

kii

k

i

k

i

Passo (2a): Supor que a igualdade vale para n=k (Hipótese)

2

)1(

0

+=∑

=

kki

k

i

2

)1)1)((1(

2

)2)(1(

2

)1(2)1( +++=

++=

+++=

kkkkkkk

2

ROTEIRO

1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO

2. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR – NOTAÇÃO O

3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR – NOTAÇÃO W

4. NOTAÇÃO Q

5. ANÁLISE ASSINTÓTICA DE ALGORITMOS


Sejam A e B dois algoritmos para resolver um certo problema.

TA(n) e TB(n) os respectivos tempos de processamento.

A variável n é uma medida do tamanho do problema.

Como identificar o melhor algoritmo?

Comparando as funções: TA(n) e TB(n)

O que significa TA(n) ser melhor do que TB(n) ou vice-versa?

3


Suponha que conheçamos o tamanho do problema: n0.

Se TA(n0) < TB(n0) então certamente A é melhor do que B.

Em geral não conhecemos o tamanho do problema.

Se pudermos mostrar que TA(n) £ TB(n) para todo n ³ 0,então certamente A é melhor do que B.

Nem sempre uma função é menor ou igual a outra paraqualquer valor de n.

Portanto, devemos considerar o comportamento assintóticodas funções: valores de n arbitrariamente GRANDES.

ROTEIRO




4. NOTAÇÃO Q


4


Def. O (Big O):

Seja f(n) função não negativa para todo n, n ³ 0.

Dizemos de “f(n) é O(g(n))”, se:

Existem um inteiro n0 e uma constante c > 0 tais que:

Para todo n ³ n0, f(n) £cg(n)

Notação:

f(n)=O(g(n))


Exemplo: Mostrar que f(n)=8n + 128 é O(n2)

Devemos indicar um inteiro n0 e uma constante c > 0 tais que:

f(n) £cn2

⇒≤+⇒≤22 1288)( nncnnf

Por exemplo, tomemos c=1:

0)8)(16(012882≥+−⇒≥−− nnnn

Como n + 8 ³ 0, sempre (pois n ³ 0), temos que:

n - 16 ³ 0 Þ n ³ 16

Isto é, neste caso n0 deve ser, no mínimo, 16

5


Exemplo: Mostrar que f(n)=8n + 128 é O(n2)

Assim, para n0 = 16 e c = 1, temos que:

Para todo n ³ n0, f(n) £cn2 , ou seja, f(n) = O(n2)

n2 é maiorque f(n) àdireita de

n=16


Indique se são Verdadeiras ou Falsas as Afirmações:

Se f(n) = O(g(n)) e h(n) = O(g(n))

Então f(n) = h(n)

FALSA !!!

Contra-Exemplo:

Sejam f(n) = n e h(n) = n2, f(n) ¹g(n)

f(n) = O(n2) e h(n) = O(n2)

6



Se f(n) = O(g(n))

Então g(n) = O-1(f(n))

FALSA !!!

A expressão g(n)=O-1(f(n)) não tem sentido:

O é apenas uma notação matemática e não possui inversa !!!



Se f1(n) = O(g1(n)) e f2(n) = O(g2(n))

Então f1(n) + f2(n) = O(max{g1(n), g2(n)})

VERDADEIRA !!! Trata-se de um Teorema !!!

Demonstração:

Como f1(n) = O(g1(n)) e f2(n) = O(g2(n)), existem n1, n2, c1 e c2,tais que:

f1(n) £ c1g1(n), para n ³ n1

f2(n) £ c2g2(n), para n ³ n2

7


Teorema 3.1: Se f1(n) = O(g1(n)) e f2(n) = O(g2(n))


Demonstração:


f1(n) £ c1g1(n), para n ³ n1

f2(n) £ c2g2(n), para n ³ n2

Considere n0=max (n1, n2) e c0=2max(c1, c2)

Considere ainda a soma: f1(n) + f2(n) , para n ³ n0




Demonstração (cont.): n0=max (n1, n2) e c0=2max(c1, c2) e f1(n) + f2(n) , para n ³ n0

)()()()( 221121 ngcngcnfnf +≤+

))()((2

)(2

)(2

210

20

10 ngng

cng

cng

c+≤+≤

)))(),(max())(),((max(2

21210 ngngngngc

+≤

))(),(max()))(),(max(2(2

210210 ngngcngngc

≤≤

8




Exemplo de Aplicação Prática:

Sendo:

f (n) = 2n2, f(n) = O(n2) e

h(n) = n3, h(n) = O(n3)

Então pelo teorema 3.1:

f(n) + h(n) = O(max(n2, n3))=O(n3)



Sendo: f (n) = n2, f(n) = O(n2) e h(n) = n3, h(n) = O(n3)

Então aplicando o teorema 3.2:

h(n) + f(n) = n3 + n2 = O(h(n)) = O(n3)

Teorema 3.2: Se f(n) = f1(n) + f2(n) onde f1(n) e f2(n) são nãonegativas tais que:

Então f(n) = O(f1(n))

0,)(1

)(2lim ≥=

∞→LL

nf

nf

n

01

limlim)(

)(lim

3

2

==∞→∞→∞→ nn

n

nh

nf

nnn

9



Então f1(n) x f2(n) = O(g1(n) x g2(n))

Demonstração:


f1(n) £ c1g1(n), para n ³ n1

f2(n) £ c2g2(n), para n ³ n2

Considere n0=max (n1, n2) e c0=c1c2

Considere ainda a soma: f1(n) x f2(n) , para n ³ n0




Demonstração (cont.):

n0=max (n1, n2) e c0=c1c2 e

f1(n) x f2(n) , para n ³ n0

)()()()( 221121 ngcngcnfnf ×≤×

))()(()()( 2102121 ngngcngngcc ×≤≤

Portanto, f1(n) x f2(n) = O(g1(n) x g2(n))

10





Sendo:

f (n) = 2n2 + n + 1, f(n) = O(n2) e

h(n) = n3 + n2 + n + 1, h(n) = O(n3)


f(n) ´ h(n) = O(n2´ n3)=O(n5),

OBS: Dedução sem o cálculo do produto f(n) ´ h(n)


Teorema 3.4: Se f1(n) = O(g1(n)) e g2(n) uma função nãonegativa, Então f1(n) x g2(n) = O(g1(n) x g2(n))

Demonstração:

Como f1(n) = O(g1(n)), existem n0, e c0, tais que:

f1(n) £ c0g1(n), para n ³ n0

)())(()()( 21021 ngngcngnf ×≤×

))()(( 210 ngngc ×≤

Assim f1(n) x g2(n) = O(g1(n) x g2(n))

11


Teorema 3.4: Se f1(n) = O(g1(n)) e g2(n) uma função nãonegativa, Então f1(n) x g2(n) = O(g1(n) x g2(n))


Sendo:

f (n) = 2n2 + n + 1, f(n) = O(n2) e

h(n) = n3


f(n) ´ h(n) = O(n2´ n3)=O(n5),


Teorema 3.5: Se f(n) = O(g(n)) e g(n) = O(h(n))

Então f(n) = O(h(n))

Demonstração:

Como f(n) = O(g(n)) e g(n) = O(h(n)), existem n1, n2, c1 e c2,tais que:

f(n) £ c1g(n), para n ³ n1

g(n) £ c2h(n), para n ³ n2

Considere n0=max (n1, n2) e c0=c1c2

12




Demonstração (cont.): n0=max (n1, n2) e c0=c1c2. Para n ³ n0

11 ),()( nnngcnf ≥≤

0211 ),()( nnnhccngc ≥≤

)()( 021 nhcnhcc =

Assim: f(n) = O(h(n))





Sendo:

f (n) = 5n3, f(n) = O(n3) e

h(n) = 3n2, queremos saber O(f(n) + h(n))

Pelo teorema 3.2: f(n) + h(n) = O(f(n))

Como f(n)=O(n3), pelo teorema 3.5, f(n) + h(n) = O(n3)

13



Sendo: f (n) = 2n2 + 5n3

Então, aplicando o teorema 3.5:

f(n) = O(n3)

Teorema 3.6: Seja um polinômio em n da forma:

Então f(n) = O(nm)∑

=

>=m

i

m

i

i ananf0

0,)(


Obs: Apesar de que log n diverge na medida em que n cresce,log n < n, para todo inteiro n ³ 0.

Obs: Aplicando os teoremas 3.5 e 3.3, e o fato de que n = O(n)temos:

log(n) = O(n)

nlog(n) = O(n2),

Teorema 3.7: Para todo inteiro k ³ 1:)(log nOnk

=

14


Def. (Justeza):

Seja f(n) = O(g(n)). Se para toda função h(n) tal que f(n) = O(h(n)), também for verdade que g(n) = O(h(n)),

Então g(n) é um limite assintótico justo (ou estreito) para f(n)

A notação O(.) caracteriza o comportamento assintótico deuma função estabelecendo um limite superior quanto aocrescimento desta função em relação ao tamanho doproblema.

A notação O(.) não informa o quão próximo do limite está ocomportamento real da função.


Exemplo: f(n)=8n + 128

Vimos que f(n) = O(n2). Pelo Teo 3.6 (polinômios): f(n) = O(n)

O(n) é um limite mais justo para f(n) do que O(n2)

Demonstração pela definição de justeza (e redução ao absurdo):

g(n)=n é um limite estreito de f(n) se para toda função h(n) talque f(n)=O(h(n)), também seja verdade que g(n)=O(h(n))

Suponhamos por absurdo que g(n) não seja um limite estreitopara f(n)=8n+128=O(h(n)).

Portanto, g(n) ¹O(h(n)).

15


Exemplo: f(n)=8n + 128

Demonstração pela definição de justeza (e redução ao absurdo):

Suponhamos por absurdo que g(n) não seja um limite estreitopara f(n)=8n+128=O(h(n)).

Portanto, g(n) ¹O(h(n)).

Como, 8n+128 = O(h(n)), existem n0 e c tais que: 8n+128 £ c h(n),para n ³ n0

É fato que para todo n, n ³ 0, n £ 8n+128.Assim, g(n) £ 8n+128 £ c h(n), para n ³ n0à g(n) £ c h(n)

Pela def.: g(n)=O(h(n)), o que é um absurdo.Logo g(n)=n é um limite estreito para f(n)


Convenções para as Expressões de O(.)

• Escrever expressão de O(.), sem os termos menos significativos

Exemplo: O(n2 + nlog(n) + n)à O(n2)

• Desconsiderar coeficientes constantes

Exemplos:O(3n2)àO(n2),O(1024)à O(1)

• Expressões Comuns:

2


Def. Ômega (W):


Dizemos de “f(n) é Ômega g(n)”, se:

Existem um inteiro n0 e uma constante c > 0 tais que:

Para todo n ³ n0, f(n) ³ cg(n)

Notação:

f(n)=W(g(n))


Exemplo: Mostrar que f(n)=5n2 - 64n + 256 é W(n2)

Devemos indicar um inteiro n0 e uma constante c > 0 tais que:

f(n) ³ cn2

⇒≥+−⇒≥222 256645)( nnncnnf

Por exemplo, tomemos c=1:

0)8(40256644 22≥−⇒≥+− nnn

Como (n – 8)2 > 0 sempre, temos que:

n pode ser 0 Þ n0 = 0

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Exemplo: Mostrar que f(n)=5n2 - 64n + 256 é W(n2)

Assim, para n0 = 0 e c = 1, temos que:

Para todo n ³ n0, f(n) ³cn2 , ou seja, f(n) = W(n2)

n2 é menorque f(n) àdireita de

n=0



Sendo: f (n) = 2n2 + 5n3

Então, aplicando o teorema 3.8:

f(n) = W(n3)

Teorema 3.8: Seja um polinômio em n da forma:

Então f(n) = W(nm)∑

=

>=m

i

m

i

i ananf0

0,)(

4

ROTEIRO




4. NOTAÇÃO Q


4. NOTAÇÃO Q

Def. Teta (Q):


Dizemos de “f(n) é Teta g(n)”, se:

f(n) = O(g(n)) e f(n) = W(g(n)), ao mesmo tempo

Notação:

f(n)=Q(g(n))

5

4. NOTAÇÃO Q

Exemplo: Mostrar que todo polinômio em n de grau m é Q(nm)

Seja um polinômio de grau m: ∑=

>=m

i

m

i

i ananf0

0,)(

Pelo teorema 3.6 : f(n)=O(nm)

Pelo teorema 3.8 : f(n)=W(nm)

Portanto, pela definição anterior : f(n)=Q(nm)

4. NOTAÇÃO Q

Def. o (“o” pequeno):


Dizemos de “f(n) é o(g(n))”, se:

f(n) = O(g(n)), mas f(n) não for W(g(n))

Notação:

f(n)=o(g(n))

6

4. NOTAÇÃO Q

Exemplo: Mostrar que f(n) = n + 1 é o(n2)

Claramente: f(n)=O(n2) (basta tomar n0=2 e c=1)

Portanto, f(n) ¹W(n2).

Por outro lado, para n grande, independente da escolha de c>0:

n + 1 nunca será superior a cn2.

Concluindo: f(n)=O(n2) mas f(n) ¹W(n2). Logo f(n)=o(n2)

ROTEIRO




4. NOTAÇÃO Q


2. modelo detalhado: relações de recorrência ...orlando/analise-parte-a-2.pdf1. introduÇÃo e...

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