Regras de Atualização do Parâmetro de Barreira e o Problema de Fluxo de Potência Ótimo

Ellen Cristina Ferreira

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - Unesp, Av. Eng. Luiz Edmundo C. Coube, 14-01, 17033-360, Bauru, SP

E-mail: ellencristinaferreira@yahoo.com.br

Edméa Cássia Baptista Edilaine Martins Soler Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - Unesp,

Av. Eng. Luiz Edmundo C. Coube, 14-01, 17033-360, Bauru, SP E-mail: baptista@fc.unesp.br, edilaine@fc.unesp.br

RESUMO

Introdução

Atualmente, vários trabalhos tem utilizado pacotes de algoritmos de otimização com métodos específicos para resolução de problemas reais [1]. Muitos autores tentam mostrar a viabilidade de seu uso [4].

Destacamos o pacote de algoritmos de otimização Knitro o qual é utilizado para resolver problemas de programação não linear. Este pacote foi projetado para resolver problemas de grande porte, mas também é eficaz para resolução de problemas de pequeno e médio porte [2]. Na sua implementação do método de pontos interiores, o problema de programação não linear é substituído por uma sequência de subproblemas de barreira controladas por um parâmetro de barreira, µ. O algoritmo utiliza regiões de confiança e uma função mérito para promover a convergência, realiza um ou mais passos de minimização em cada subproblema de barreira, decresce o parâmetro de barreira, e repete o processo até que o problema original seja resolvido com a precisão desejada [6].

No Knitro estão disponíveis seis regras de atualizações do parâmetro de barreira, a saber: (i) o parâmetro de barreira é decrescido monotonicamente; (ii) o parâmetro de barreira é calculado por uma regra adaptativa com base na diferença de complementaridade; (iii) é realizada uma investigação sobre o passo (afim-escala) para determinar dinamicamente o valor do parâmetro barreira a cada iteração; (iv) é utilizada uma regra Mehrotra tipo preditor-corretor para determinar o parâmetro de barreira levando em conta o passo corretor; (v) é utilizada uma regra Mehrotra tipo preditor-corretor para determinar o parâmetro de barreira sem considerar o passo corretor; e (vi) uma função mérito é minimizada em cada iteração para determinar o parâmetro de barreira [5][6].

Seguindo esse raciocínio, neste trabalho, propomos utilizar um método de pontos interiores e analisar a influência das regras de atualização do parâmetro de barreira, na solução do problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO), estudado na Engenharia Elétrica, área de Sistemas Elétricos de Potência, utilizando o pacote de algoritmos de otimização Knitro.

O Problema de FPO

O FPO é um problema não linear, restrito, não convexo e de grande porte. Como ferramenta, é utilizado para determinar o melhor ponto de operação de um sistema elétrico de potência, contribuindo para a melhoria do desempenho deste [3]. Ele pode ser representado matematicamente através de um problema geral de otimização com restrições de igualdade e desigualdade como:

min max

( ): ( ) 0 1,2,...,

( ) 0 1, 2,...,i

j

Minimizar f xsujeito a g x i m n

h x j p

x x x

= = <≤ =

≤ ≤

(1)

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em que: xT = (V,θ) ∈ nR é o vetor das variáveis de estado e controle; f(x) é a função objetivo, que na formulação adotada neste trabalho, representa as perdas de potência ativa nas linhas de transmissão; gi(x)=0, para i=1,2,...,m, correspondem às equações do fluxo de potência; hj(x) ≤ 0, para j=1,2,3,...,p correspondem as inequações funcionais da rede elétrica e xmin e xmax são o vetores dos limites inferiores e superiores das variáveis x, respectivamente. Testes Numéricos

Para testar a influência das diferentes regras de atualização do parâmetro de barreira na solução do FPO utilizamos o sistema IEEE 14 barras (http://www.ee.washington.edu/research/pstca) que possui as seguintes características: 1 barra de geração (slack), 4 barras de controle reativo, 9 barras de carga, 17 linhas de transmissão e 3 transformadores com tap fixos. A Tabela 1 apresenta os resultados para as diferentes atualizações do parâmetro de barreira do pacote de algoritmos de otimização Knitro:

Tabela 1: Influência das regras de atualização do parâmetro de barreira

Regra de atualização (Knitro) Perdas (MW) Número de Iterações (i) 12,4259063073143 11 (ii) 12,4258227367774 10 (iii) 12,4257917527716 9 (iv) 12,4257918819658 7 (v) 12,4257918820976 7 (vi) 12,4257850508885 8

Na Tabela 1, para o sistema IEEE 14 barras, cuja formulação matemática do FPO contempla 22

restrições de igualdade, 42 restrições de desigualdade e 27 variáveis, observamos que a diferença no número de iterações é significativa. Nos testes com as regras de atualização (iv) e (v) obtivemos o menor número de iterações e com a regra de atualização (i) o maior número de iterações. Destacamos que em todos os testes o parâmetro de barreira foi inicializado com µ = 10-1. Pretendemos, em trabalhos futuros, realizar uma análise mais minuciosa da solução do FPO para sistemas maiores. Palavras-chave: Método de Barreira, Fluxo de Potência Ótimo, Knitro. Referências [1] M. F. Bedriñana, M. J. Rider, C. A. Castro, Ill-conditioned Optimal Power Flow Solutions and

Performance of Non-Linear Programming Solvers, em “IEEE Bucharest Power Tech Conference“, pp. 01-07, Bucharest, Romania, 2009.

[2] R. H. Byrd, J. Nocedal, R. A. Waltz, KNITRO: An integrated package for nonlinear optimization, Large-Scale Nonlinear Optimization, New York, Springer Verlag, p. 3, 2006.

[3] J. L. Carpentier. Contribution a Lètude du Dispatching Economique. Bull-Soc. Fr. Elec. Ser. B3, p. 431-447, 1962.

[4] K. Karoui, L. Platbrood, H. Crisciu, R. A.Waltz, New large-scale security constrained optimal power flow program using a new interior point algorithm, em “5th International Conference on European “, pp. 01-06, Lisboa, Portugal, 2008.

[5] J. Nocedal, A. Wächter, R. A. Waltz. Adaptive barrier strategies for nonlinear interior methods. Technical Report RC 23563, IBM Watson Research Center, Yorktown Heights, NY, USA, 2005.

[6] R. A. Waltz, J. Nocedal. KNITRO user’s manual. Technical Report OTC 2003/05, Optimization Technology Center, Northwestern University, Evanston, IL, USA, 2003.

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