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XXV Semana da Licenciatura em Matemática

C A D E R N O D E R E S U M O S

Bauru Agosto de 2013


U N I V E R S I D A D E E S T A D U A L P A U L I S T A

Comissão Organizadora da XXV Semana da Licenciatura em Matemática – SELMAT

Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências Fone/fax: 14 3103-6086

site: http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/

UMA INVESTIGAÇÃO DE MÉTODOS MISTOS DE

OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR

Gabriela F. Bregadioli, Edméa C. Baptista, Elis Gonçalves

Bauru, FEB, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, [email protected]

Palavras chaves: otimização; métodos primais duais.

Keywords: Optimization; primal dual methods.

Resumo

A otimização é um ramo da matemática aplicada e tem como objetivo encontrar a melhor

solução para um determinado problema. Problemas de otimização não linear são encontrados

em diversas áreas como Engenharias, Economia, Medicina, entre outras. Neste trabalho

propomos a investigação de alguns métodos mistos para resolução de problemas de otimização

não linear restritos. Esses métodos são baseados nas funções barreira logarítmica, barreira

modificada, barreira modificada penalidade e barreira penalidade. Um algoritmo geral para os

métodos é apresentado e o matlab é utilizado nas suas implementações. Testes comparativos,

para um problema matemático são realizados, e os resultados numéricos elegem os métodos

baseados na função barreira modificada como os mais eficientes.

1-Introdução

A otimização é um ramo da matemática aplicada e tem como objetivo encontrar a melhor

solução para um determinado problema. Tais problemas podem envolver alocação de recursos

escassos, previsão e planejamento industrial, automação e otimização de processos, entre outros,

e sempre requerem uma tomada de decisão.

Os problemas de otimização podem ser classificados em Problemas de Programação Linear

(PPL), Problemas de Programação Não Linear (PPNL), Problemas de Programação Inteira (PPI),

Problemas de Programação Dinâmica (PPD), entre outros. A caracterização de cada um deles

depende da presença de restrições lineares ou não lineares, variáveis reais ou inteiras e

dependência das variáveis do tempo, ou não.






Em particular, os PPNL são caracterizados pela presença de ao menos uma função não

linear. Esses problemas podem ser irrestritos, isto é, otimizam a função objetivo sob um

determinado conjunto; ou restritos, quando são impostas algumas restrições às variáveis do

problema. Uma das dificuldades em se trabalhar com esses problemas é que não existe um

método geral de resolução para eles. Desta forma, os métodos são escolhidos conforme as

características das funções envolvidas no problema.

Diversos métodos existem para resolução de PPNL restritos, entre eles destacamos os

métodos clássicos de penalidade e barreira, encontrados em Bazaraa (1993) e Luenberger (2008).

Esses métodos seguem a estratégia de transformar o problema restrito em irrestrito, utilizando

uma função auxiliar, e resolvem uma sequência de problemas irrestritos, utilizando algum

método. Os métodos de penalidade, através da utilização de uma função auxiliar, penalizam a não

satisfação das restrições, enquanto os métodos de barreira penalizam a aproximação de um ponto

factível à fronteira da região factível, e requerem que o interior da região factível seja não vazio.

A mistura de funções em métodos de otimização, com o objetivo de aproveitar as melhores

características de cada função, tem sido realizada em diversos trabalhos. Destacamos aqui o

trabalho pioneiro de Fiacco e McCormick (1968), no qual foram misturadas as funções barreira e

penalidade em uma mesma função auxiliar.

Neste trabalho, escolhemos quatro métodos mistos de otimização para resolução de PPNL

restritos, denominados de primais duais, e realizamos um estudo comparativo em relação à

convergência destes métodos, os quais são baseados nas funções: barreira logarítmica, Frisch

(1955); barreira modificada, Polyak (1992); barreira modificada penalidade, Bregadioli (2013) e

barreira penalidade, Armand (2003).

O trabalho está dividido como segue: na seção 2 apresentamos a metodologia, o algoritmo é

exibido na seção 3, os testes numéricos são realizados na seção 4 e por fim, na seção 5,

apresentamos as conclusões.

2-Metodologia

Seja o problema restrito de otimização representado por:

Minimizar ( )

sujeito a: ( ) (1)

( )






em que ( ) é a função objetivo, ( ) são as restrições de igualdade do problema, ( ) as

restrições de desigualdade e .

Ao problema (1), acrescentamos variáveis de folga, não negativas, e utilizamos diferentes

funções auxiliares misturadas que dão origem às funções que tornam o problema (1), restrito, em

irrestrito:

Função Lagrangiana Barreira Logarítmica:

( ) ∑ ( ) ∑ ( )

∑ [ ( ) ]

(2)

Função Lagrangiana Barreira Modificada:

( ) ∑ ( ) ∑

( ( ) ) ∑ ( )

(3)

Função Lagrangiana Barreira Modificada Penalidade:

( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( )

∑ [ ( ) ]

(4)

Função Lagrangiana Barreira Penalidade Adaptada

( ) ∑ (∑ (( ) ) ) ∑ ( ( ) ) ∑ ( )

(5)

em que: e são os vetores multiplicadores de Lagrange; é o parâmetro de barreira; é o

parâmetro de penalidade; é o vetor das variáveis de folga e é o vetor das variáveis de folga

auxiliares.

Às funções (2), (3), (4) e (5) são aplicadas as condições necessárias de 1ª ordem, as quais

geram um sistema não linear, que, neste trabalho, é resolvido através do Método de Newton. A

atualização das variáveis é dada por:

(6)

com {

| | } e {

| | } sendo .

Para a atualização do parâmetro de barreira e do parâmetro de penalidade , temos:

, e (7)

Se senão = max

(8)

em que é um valor pequeno e positivo.






3-Algoritmo

1) Dado o problema inicial (1), construa uma das funções apresentadas em (2), (3), (4) ou (5);

2) Para k=0, escolha uma solução inicial para

3) À função escolhida, aplique as condições necessárias de 1ª ordem e resolva o sistema gerado

utilizando o método de Newton;

4) Atualize as variáveis por (6);

5) Se a norma do vetor gradiente das funções escolhidas é menor do que uma precisão pré-

determinada , vá para o passo 6. Caso contrário, volte para o passo 3;

6) Se as condições de KKT (Karush-Kuhn-Tucker) são satisfeitas, PARE, a solução ótima foi

atingida. Caso contrário, vá para o passo 7;

7) Atualize os parâmetros de barreira e penalidade utilizando (7) e (8), faça k=k+1 e volte para o

passo 3.

4-Resultados obtidos

Seja o problema de programação não linear, de Bazaraa (1993):

Minimizar ( ) ( )

Sujeito a:

Foram realizados testes computacionais com os métodos baseados nas funções (2), (3), (4)

e (5). Tais algoritmos foram implementados utilizando o software MATLAB. Os valores iniciais

das variáveis são: e a precisão

adotada é . Nas Figuras 1 e 2 são apresentadas as trajetórias de convergência dos métodos.

Figura 1 – Número de Iterações Externas






5-Conclusões

Observamos que para este exemplo matemático os métodos baseados na função barreira

modificada convergiram mais rapidamente.

6-Agradecimentos

À CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

7-Referências bibliográficas

ARMAND (2003). A Quasi-Newton Penalty Barrier Method for Convex Minimization Problems.

Computacional Optimization and Applications, 26, 5-34.

BAZARAA, M.S.; SHERALI,H.D.; SHETTY,C.M. (1993). Non Linear Programming- Theory

and Algorithm., Second Edition. New York: John Wiley & Sons.

BREGADIOLI, G. F. (2013). Otimização Restrita e o FPO. Relatório de Iniciação Científica.

Faculdade de Ciências, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho’’, Bauru.

FIACCO, A. V. & Mc-CORMICK, G. P. (1968). Nonlinear Programming: Sequential

Unconstrained Minimization Techniques. New York, John Wiley & Sons.

FRISCH, K. R. (1955). The logarithmic Potential Method of Convex Programming,

Memorandum. University Institute of Economics, Oslo, Norway.

LUENBERGER, D.C. (2003). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley Piblishing

Company, California, Third Edition.

POLYAK, R. (1992). Modified barrier functions. Mathematical Programming, 54, 2, 177-222.

Figura 2 – Comparação Convergência dos Métodos






BIFURCAÇÃO DE CAMPOS DE VETORES PLANARES

Daniele Alessandra Reghini Gazetta (Aluna-autora), Tiago de Carvalho (Orientador)

UNESP-Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em matemática, [email protected]

Palavras Chave: Campos de vetores; equações diferenciais ordinárias; bifurcações.

Resumo

Este trabalho é fruto de um estágio de Iniciação Científica, contemplado com bolsa da

FAPESP, onde estudamos de forma qualitativa e geométrica sistemas de equações

diferenciais ordinárias lineares e não-lineares. Para tanto, foram abordados alguns

resultados clássicos dessa teoria, tais como: Teorema de Existência e Unicidade, Teorema do

Fluxo Tubular, Teorema de Grobman-Hartman e, em especial, o Teorema de Poincaré-

Bendixson no plano e o Teorema de Peixoto. Baseados nestes conceitos, definimos aqui o

conceito de bifurcação, e apresentamos três exemplos de bifurcações para famílias de

sistemas de equações diferenciais do tipo 𝑋𝜆 em ℝ2, dependentes de um parâmetro real 𝜆. Os

exemplos que serão vistos são: Sela-Nó, Foco Composto (ou bifurcação de Andronov-Hopf) e

Conexão de Selas (Selas iguais ou laço). Como as bifurcações estudadas neste trabalho

foram produzidas pela variação de um único parâmetro elas são classificadas como

bifurcações de codimensão um.

Introdução

O termo bifurcação foi introduzido por Poincaré em 1885 e refere-se a uma mudança

qualitativa do retrato de fase de um sistema dinâmico conforme algum parâmetro do seu

sistema passa por um valor crítico.

A noção de bifurcação está intimamente ligada ao conceito de estabilidade estrutural.

Um sistema dinâmico é estruturalmente estável se ele é topologicamente equivalente a

qualquer versão sua (ligeiramente) perturbada; entretanto, se variarmos o valor de um dado

parâmetro e ocorrer uma mudança qualitativa no seu retrato de fase, então o sistema é

estruturalmente instável. É justamente a essa mudança na topologia do retrato de fase que

chamamos de bifurcação.






Consideremos a família a um parâmetro de sistemas de equações diferenciais

𝑋𝜆 : 𝑦 =𝑄 𝑥 ,𝑦 ,𝜆 𝑥 =𝑃 𝑥 ,𝑦 ,𝜆

Definida numa região compacta M com fronteira suave de classe 𝐶𝑟 , 𝑟 ≥ 3.

Suponhamos que 𝜆 percorre um intervalo compacto [𝑎,𝑏].

O retrato de fase desse sistema depende do valor de 𝜆. Ao se variar o valor desse

parâmetro, podemos criar ou destruir pontos de equilíbrio e/ou ciclos limites; ou ainda alterar

sua estabilidade (de atrator o ponto passa a ser repulsor e vice-versa).

Definição: Um valor 𝜆0 é chamado de valor de bifurcação para 𝑋𝜆 se em qualquer

vizinhança de 𝜆0 em [𝑎, 𝑏] existem valores 𝜆1 e 𝜆2 tais que os sistemas 𝑋𝜆1e 𝑋𝜆2

não são

topologicamente equivalentes.

As bifurcações estudadas neste trabalho foram produzidas pela variação de um único

parâmetro e são classificadas como bifurcações de codimensão um. Neste trabalho vamos

estudar bifurcações locais, que são aquelas que podem ser obtidas analisando-se o campo

vetorial na vizinhança de um ponto de equilíbrio e bifurcações globais, que são aquelas que

podem ser obtidas analisando-se separatrizes ou órbitas fechadas.

Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é analisar três exemplos onde ocorrem mudanças

qualitativas do retrato de fase de um sistema dinâmico quando provocamos pequenas

perturbações.

Material e Métodos

Utilizamos as referências bibliográficas como material fundamental para o

desenvolvimento deste projeto. Os métodos utilizados envolveram a apresentação de

seminários semanais e a exposição dos temas estudados junto aos outros membros do grupo

de estudo.

Resultados e Discussão






Veremos agora três exemplos típicos de bifurcações para famílias de sistemas de

equações diferenciais do tipo Xλ em ℝ2, dependentes de um parâmetro real 𝜆.

Sela-Nó: Considere o sistemaXλ tal que

𝑃 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑥2 + 𝜆

𝑄 𝑥, 𝑦,𝜆 = −𝑦

Neste primeiro exemplo percebemos que para 𝜆 = 0 temos um ponto não hiperbólico

(que é a origem), uma sela e um nó que se colapsam entre si, formando uma configuração que

daremos o nome de Sela-Nó. Mas variando o valor de 𝜆, por exemplo, para 𝜆 < 0 obtemos

dois pontos hiperbólicos, uma sela e um nó. Já para os valores de 𝜆 > 0, estes pontos

cancelam-se. Veja a Figura 1.

Figura 1: Bifurcação do tipo Sela-Nó.

Foco Composto (ou bifurcação de Andronov-Hopf): Considere o seguinte sistema de

equações:

𝑥 = −𝑦 − 𝑥[𝜆 + (𝑥2 + 𝑦2)]

𝑦 = 𝑥 − 𝑦[𝜆 + (𝑥2 + 𝑦2)]

Neste segundo exemplo, notemos que este sistema sempre tem um ponto de equilíbrio

na origem. Para𝜆 = 0, o sistema não possui ciclos limites e a única singularidade é o ponto

𝑥,𝑦 = (0,0), temos ainda que um foco atrator e o ciclo limite colapsam entre si formando

um foco atrator fraco (não-hiperbólico). Já para 𝜆 > 0, a origem torna-se um foco atrator

hiperbólico. Para 𝜆 < 0, a origem é um foco repulsor hiperbólico que expira em torno do

ciclo limite atrator, que gira no sentido anti-horário. Veja a Figura 2.






Figura 2: Bifurcação do tipo Hopf.

Conexão de Selas (Selas iguais ou laço): Seja X um campo vetorial planar com conexão de

selas. Considere 𝑋𝜆 uma perturbação de X. Neste terceiro exemplo, para 𝜆 = 0 as selas 𝑠1 e 𝑠2

coincidem, formando um laço atrator para X. Quando perturbarmos esse sistema, as

separatrizes de sela se desconectam. Para 𝜆 > 0, aparece um ciclo limite atrator entre o foco

repulsor no interior do laço e as separatrizes da sela. Pelo Teorema de Poincaré, existe uma

singularidade no interior do ciclo limite que foi criado. Para 𝜆 < 0, as trajetórias seguem o

seu fluxo e não temos nenhum conjunto limite além da sela. Veja a Figura 3.

Figura 3: Bifurcação do tipo Conexão de Selas - Laço






Conclusões

Através deste estudo temos condições de analisar a dinâmica de sistemas dinâmicos e

entender as mudanças qualitativas no retrato de fase de tais sistemas; fato este que é de grande

valia em pesquisas recentes e que nos possibilita analisar modelos de sistemas físicos,

biológicos, químicos ou de engenharia, além de abrir caminho para projetos futuros em um

mestrado acadêmico.

Agradecimentos

Agradecemos a FAPESP pelo auxílio financeiro no projeto de iniciação cientifica

número 2012/11333-8 e ao Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da

UNESP de Bauru pelo suporte físico.

Referências Bibliográficas

Perko, L. Differential equations and dynamical systems. Texts in Applied

Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 1991.

Sotomayor, J. Curvas Definidas por Equações Diferenciais no Plano, 13 Colóquio

Brasileiro de Matemática, Poços de Caldas,1981.

Sotomayor, J. Lições de Equações Diferenciais, Projeto Euclides, Rio de Janeiro:

IMPA, 1979.






PIC-OBMEP E PICME: OPORTUNIDADES DE INICIAÇÃO

CIENTÍFICA E MESTRADO PARA ALUNOS PREMIADOS NA OBMEP

GINIZELI, L. (bolsista); LOCCI, V. (orientador)

Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras chaves: OBMEP; iniciação científica; mestrado.

Resumo

Neste trabalho descrevemos possibilidades de realização de iniciação científica para alunos

da rede pública de ensino através da participação na OBMEP - Olimpíada Brasileira de

Matemática das Escolas Públicas. Como primeira opção para os alunos premiados, o PIC –

Programa de Iniciação Científica da OBMEP, em sua nona edição, oferece de 6 mil bolsas

para alunos do ensino fundamental e médio. Para alunos que estejam cursando graduação e

que tenham sido premiados na OBMEP é oferecido o Programa de Iniciação Científica e

Mestrado – PICME, constituído de bolsas de iniciação científica do CNPq, para graduação,

e bolsas da Capes, para mestrado em Matemática. Em especial, descrevemos parte da

experiência vivida pelo primeiro autor deste trabalho no PIC OBMEP e o andamento inicial

de sua iniciação científica, em nível de graduação, que aborda o estudo de Cálculo

Diferencial Integral, vinculada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e

Computacional – POSMAC da Universidade Estadual Paulista (UNESP), câmpus de

Presidente Prudente.

A OBMEP, o PIC-OBMEP e o PICME

A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP é um

projeto realizado pelo IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, com o

apoio da SBM – Sociedade Brasileira de matemática e promoção do Ministério da Ciência e

Tecnologia e Inovação (MCTI) e do Ministério da Educação (MEC). Iniciou-se em 2005, que

tem como um dos objetivos estimular o estudo da Matemática e revelar talentos no Brasil. Em

2013 está em sua 9ª edição e com mais de 18,7 milhões de participantes, conforme [2].

http://www.olimpiadascientificas.com/estudo/matematica/

http://www.olimpiadascientificas.com/equipes-brasileiras/matematica/






O PIC-OBMEP - Programa de Iniciação Científica Jr. da OBMEP iniciou-se

em 2006, a partir da primeira edição da OBMEP, e é oferecido aos alunos de escola pública

que mais se destacaram na olimpíada.

A Iniciação Científica em Matemática do PIC-OBMEP visa transmitir aos

alunos cultura matemática básica e treiná-los no rigor da leitura e da escrita de resultados, nas

técnicas e métodos e na independência do raciocínio analítico. Pretende despertar a vocação

científica do aluno e estimular sua criatividade por meio do confronto com problemas

interessantes da Matemática.

O PIC realiza-se por meio de uma rede nacional de professores em polos

distribuídos em escolas e universidades do país. Os alunos têm acesso a um fórum virtual,

elaborado pela OBMEP, no qual, com a ajuda de coordenadores e monitores, realizam tarefas

complementares às aulas presenciais. O material didático é preparado especialmente para os

alunos nos diferentes níveis de participação. Os alunos participantes do PIC que estão

regularmente matriculados em escola pública recebem um incentivo financeiro mensal, bolsa

ICJ, do CNPq.

O Departamento de Matemática da FC, no câmpus de Bauru da Unesp, integra

um dos polos da OBMEP onde são realizados os encontros presenciais e tem uma média de

18 alunos participantes. São realizados 10 encontros de 8 horas aos sábados e a maiorias dos

alunos são provenientes de cidades da região, com um raio em torno de 100 km de Bauru.

A Figura 1 apresenta os alunos e professores orientadores do PIC 2007 no Polo de Bauru.

Figura 1: PIC-OBMEP 2007 em Bauru

A Figura 2 apresenta parte dos alunos do PIC OBMEP 2008 em Bauru.






Figura 2: PIC-OBMEP 2008 em Bauru

A Figura 3 apresenta parte da atividade intitulada Batalha de Iniciação Científica,

ocorrida na cidade de Pirapozinho, no Encontro Unificado dos Estágios da OBMEP -

CRE_SP01, como encerramento do PIC 2008.

Figura 3: PIC-OBMEP 2008 em Pirapozinho

A Figura 4 apresenta parte das atividades e encerramento do PIC 2011.

Figura 4: PIC OBMEP 2011 em Bauru






O PICME - Programa de Iniciação Científica e Mestrado é um projeto

desenvolvido mediante parceria firmada entre o IMPA, o CNPq e a Capes, que prevê a

concessão de bolsas de Iniciação Científica e Mestrado, respectivamente do CNPq e Capes,

aos medalhistas da OBMEP ou da Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM que tenham

obtido tal premiação em pelo menos uma de suas edições e estejam cursando nível superior

em qualquer área em Instituições públicas ou privadas. Tem como objetivo consolidar o

talento matemático dos premiados na OBMEP estimulando a vocação natural desses alunos

para o trabalho científico.

O PICME é coordenado pelo IMPA e executado em duas etapas. Na primeira,

os alunos contemplados recebem uma bolsa de Iniciação Científica com 2 anos de duração,

para desenvolver atividades junto a um curso de Pós-Graduação credenciado pela Capes na

área de Matemática. Na segunda etapa, ao final da Iniciação Científica, os alunos, ao serem

aprovados para o programa de Mestrado na área de Matemática, de qualquer uma das

universidades participantes, terão garantida a concessão de uma bolsa pela Capes.

No estado de São Paulo o PICME é aplicado em oito programas de mestrado:

USP (São Paulo e São Carlos), Unicamp (Campinas), Unesp (Presidente Prudente, Rio Claro,

São José do Rio Preto), UFSCAR (São Carlos) e UFABC (São Paulo), conforme [3].

Uma experiência em andamento no PICME

O primeiro autor deste trabalho, através do PICME, se inscreveu no programa

PÓS-GRADUAÇÃO POSMAC, área de Matemática Aplicada e Computacional, câmpus de

Presidente Prudente – Unesp, conforme [4]. O bolsista cursa Licenciatura em Matemática no

câmpus de Bauru – Unesp e desenvolve trabalho de Iniciação Científica através do estudo de

Cálculo Diferencial e Integral. Já no primeiro semestre experimenta o contato com o cálculo

através da abordagem realizada por James Stewart [1], podendo assim obter um conhecimento

mais aprofundado da matéria e entender como funciona o mecanismo e as ideias principais

existentes em cálculo, além de complementar o estudo aprendendo também o lado

geométrico, gráfico e aplicado na vida real dessa matéria.

http://www.obmep.org.br/picme.html

http://www.obmep.org.br/picme.html

http://www.obm.org.br/opencms/






O PICME fornece ao aluno, premiado em edições da OBMEP, a oportunidade

de ser bolsista já no primeiro ano de faculdade e receber uma orientação para que possa

realizar um mestrado na área de interesse fornecida pela universidade onde é orientado. Após

se cadastrar nesse programa, o aluno deve esperar ser selecionado por um professor orientador

referente à universidade que escolheu e, se aprovado, pode começar a Iniciação Científica no

segundo semestre. Alunos que conseguiram mais de quatro medalhas podem ser selecionados

pelo PICME mais rapidamente e começar a IC logo no primeiro semestre de faculdade.

Metodologia

No desenvolvimento da iniciação científica o professor orientador e o

orientando se encontram semanalmente na universidade, discutem os conteúdos planejados e

ocorre a orientação sobre as dificuldades encontradas nos assuntos explorados pelo bolsista.

Através desses encontros, o bolsista obtém opções de encaminhamento a seguir no assunto e

retira dúvidas que normalmente gastaria um tempo muito maior para resolvê-las se estivesse

sozinho. Vale ressaltar que os assuntos não são passados diretamente ao bolsista, como numa

aula expositiva, possibilitando-lhe a experiência de obter prazer e satisfação com as

descobertas realizadas. Isso é essencial para que o bolsista possa expandir sua visão dentro do

assunto, além de ter uma liberdade em trabalhar naquilo que tem mais facilidade.

Resultados

Já no primeiro semestre da IC, o bolsista tem obtido boas notas na faculdade e

ao ter contato com um assunto novo, demonstra facilidade em procurar ver o problema com

vários enfoques. Em especial a Iniciação Científica tem facilitado o entendimento da

disciplina Funções Elementares do curso de graduação em Matemática.

Referências

[1] STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. 1.

[2] OBMEP. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/>. Acesso em: 14 ago. 2013.

[3] PICME. Disponível em: <http://picme.obmep.org.br/>. Acesso em: 14 ago. 2013.

[4] PÓS-GRADUAÇÃO POSMAC. Disponível em: <http://www.fct.unesp.br/#!/pos-

graduacao/--matematica-aplicada-e-computacional/picme/>. Acesso em: 14 ago. 2013.

http://www.obmep.org.br/

http://picme.obmep.org.br/

http://www.fct.unesp.br/#!/pos-graduacao/--matematica-aplicada-e-computacional/picme/

http://www.fct.unesp.br/#!/pos-graduacao/--matematica-aplicada-e-computacional/picme/






MÉTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES E BRANCH-

AND-BOUND EM PROBLEMAS ENVOLVENDO RESÍDUOS DA

CANA-DE-AÇÚCAR

Raquel Akemi Okuno Kitazume, Antonio Roberto Balbo, Helenice de Oliveira Florentino

Silva e Camila de Lima

Unesp de Bauru - Faculdade de Ciências - Licenciatura em Matemática – [email protected],

[email protected].

Métodos Primal-Dual de Pontos Interiores, Métodos Branch-and-Bound, Biomassa da cana-de-açúcar.

Resumo

Este projeto tem como finalidade implementar os métodos Primal-Dual de Pontos Interiores e

Branch-and-Bound hibridamente para aplicação em problemas de aproveitamento de

resíduos de colheita de cana-de-açúcar. Utilizando os métodos citados, tem-se como objetivo

determinar a escolha das variedades para cada um dos talhões disponíveis de modo que

fornecem o menor custo ou que gerem a máxima quantidade de energia produzida, levando-

se em consideração as restrições de demanda da usina e área disponível para o plantio.

Primeiramente, será utilizado o método Primal-Dual de Pontos Interiores para se obter a

solução ótima real do modelo e, a partir desta, determinar qual a solução ótima inteira

relacionada às restrições de integralidade do problema, através do método Branch-and-

Bound. O método híbrido foi implementado no software Borland C++ Builder 6 e o resultado

obtido para um problema com dimensões 4x6 foi comparado com o aplicativo Solver do

Excel, determinando as mesmas soluções ótimas para o problema.

Introdução

Atualmente, o Brasil é o maior produtor de cana-de-açúcar do mundo, seguido dos

Estados Unidos e Argentina, de acordo com o NovaCana.com. Além de produzir açúcar e

álcool, o Brasil tem se destacado entre os países que utilizam a biomassa da cana-de-açúcar

como fonte alternativa para geração de energia. A cana-de-açúcar possui uma alta taxa de

biomassa residual, pois podem ser utilizados folhas, palhas, ponteiros e frações de colmo. O

aproveitamento dos resíduos como forma de geração de energia é algo que muito favorece o






meio ambiente, visto a baixa produção de micropoluentes e o aproveitamento dos resíduos

que são gerados após o corte, devido à proibição da queima em alguns Estados, como São

Paulo. A energia gerada a partir dos resíduos é utilizada como energia mecânica e térmica,

sem haver desperdícios. A partir destes, diversos estudos vêm sendo realizados visando

otimizar a produção de energia e lucros. Florentino (2006), Tolentino (2007) e Homem

(2010), discutem modelos matemáticos para escolhas de variedades de cana-de-açúcar que

minimizam a biomassa residual e maximizam a geração de energia.

A investigação dos modelos em destaque ocorre devido à necessidade das usinas em

obter, simultaneamente, o menor custo de transporte do palhiço e o maior balanço de energia

pela biomassa residual.

Objetivos

O trabalho em si teve por objetivo uma aplicação híbrida dos métodos Primal-Dual de

Pontos Interiores e Branch and Bound (PDBB), investigando a teoria dos mesmos, seus

esquemas iterativos e sua implementação computacional, para determinação da escolha das

variedades de cana-de-açúcar que gerem o mínimo de custo de coleta ou a máxima geração de

energia produzida pela biomassa residual de colheita e forneçam a menor quantidade de

resíduo possível. Também, é necessário trabalhar com uma variável binária de decisão que

estabelece se em uma determinada área deve ser feito ou não o plantio de uma determinada

variedade de cana. A investigação dos métodos baseou-se em [Kojima et al, 1989] e [Bazaraa,

2005].

Metodologia - Fundamentação Teórica

O trabalho foi desenvolvido em campo teórico e computacional. Em campo teórico

foram investigados o método de otimização Primal – Dual de Pontos Interiores e Branch and

Bound (PDBB), de acordo com [Kojima et al, 1989], [Homem, 2010] e [Bazaraa, 2005].

Também foram consultadas literaturas para o entendimento dos modelos de plantio e de

colheita mecanizada da cana-de-açúcar, explorando a biomassa residual produzida neste

sistema, principalmente nas referências [Florentino, 2006] e [Tolentino, 2007]. Para os

métodos investigados foi explorada uma implementação desses realizada em linguagem de

programação C++, utilizando o software Borland C++ Builder 6. O programa desenvolvido






foi aplicado à resolução dos modelos de aproveitamento de resíduos de colheita de cana-de-

açúcar os quais são apresentados a seguir.

Problema de minimização do custo de coleta da biomassa residual da cana-de-açúcar

O problema consiste em determinar quais das n variedades i devem ser plantadas nos k

talhões j de medida Lj (ha) e distância Dj (Km) do centro de produção (j=1,2,...,k) e, que

ofereça o menor custo possível para o processo de transferência do palhiço do campo para o

centro de processamento. Além da produção com um menor custo, devem-se satisfazer as

restrições de sacarose e de fibra da cana e usar toda a área destinada para o plantio da cana.

O modelo matemático de minimização do custo de coleta da biomassa residual é

definido a seguir:

Min ij

n

1i

k

1j

ijXCC

(1)

Sujeito a

_

ijji

n

1i

k

1j

ATXLA

(2)

S

_

ijji

n

1i

k

1j

I

_

FTXLFFT

(3)

1Xn

1iji

, para todo j (4)

Xij = 0 ou 1 , i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2, ..., k (5);

onde: i = 1, 2, ..., n são as variedades, j = 1, 2, ..., k são os talhões; Xij são as variáveis de

decisão, tais que, Xij =1 implica que a cana de variedade i deve ser plantada no talhão j e em

caso contrário Xij = 0; CCij é o custo de coleta do palhiço da cana de variedade i plantada no

talhão j; _

A é a quantidade mínima estabelecida para a POL da cana; Ai é a estimativa de

produção de sacarose da variedade i (t/ha); Lj é a área do talhão j; Fi é a estimativa do teor de

fibra da variedade i; S I FeF são as quantidades mínimas e máximas estabelecidas para a fibra

da cana; T é a área total (ha) disponível para o plantio e Lj é a área (ha) do talhão j.

A função objetivo (1) minimiza o custo total para o processo de transferência do

palhiço do campo para o centro de processamento. A restrição (2) garante a demanda de

açúcar fermentescível, a (3) garante a demanda de bagaço para geração de energia a ser






utilizado no setor de produção da usina e as restrições (4) e (5) garantem que toda a área

destinada para plantio seja usada e também que seja plantado apenas uma variedade de cana

por talhão.

Problema de maximização da geração de energia através da biomassa

residual da cana-de-açúcar

Este modelo consiste em determinar quais das n variedades de cana-de-açúcar devem

ser plantadas nos k talhões de área )(haL j e distância )(KmD j da usina, que o produza o

máximo balanço de energia no seu aproveitamento, levando em conta restrições como

quantidade de produção de sacarose e fibra de cana, uso total da área destinada ao plantio e o

plantio de apenas uma variedade de cana-de-açúcar por talhão, as mesmas restrições

apresentadas em (2) a (5).

1 1

n k

ij ij

i j

Maximizar BE X

(6)

Sujeito a: (2), (3), (4) e (5).

ni ...,,2,1 são as variedades;

kj ,...,2,1 são os talhões;

ijBE é o cálculo do balanço de energia no aproveitamento do palhiço de cana

produzido da variedade i no talhão j;

Considera-se 1ou0ijX como se a variedade i deve ser ( 1ijX ) ou não ( 0ijX )

plantada no talhão j.

A função objetivo (6) garante a maximização do balanço de energia gerada no

processo.

Resultados e Discussões

As tabelas abaixo, retiradas de Tolentino (2006) e Florentino (2007) apresentam

informações sobre quatro variedades de cana-de-açúcar, bem como de seis talhões para

possível plantio dessas variedades de cana:






A partir dos dados das tabelas e utilizando o método PDBB para o problema de 4

variedades e 6 talhões, encontrou-se os seguintes resultados:

Para a minimização do Custo de Coleta: Nos talhões 1, 3, 5 e 6 foi selecionado a

variedade 3(SP70 – 1143). Para os talhões 2 e 4, a variedade 1(SP70-1284). O valor da função

objetivo foi: 14608,64. Para a maximização do Balanço de Energia: Nos talhões 1, 2, 3 e 5

para variedade 3(SP70 – 1143). Para os talhões 4 e 6, a variedade 4(SP71-3146). O valor da

função objetivo de custo foi: 21282958. Os resultados obtidos foram comparados com o

Solver do Excel e mostraram a viabilidade e bom desempenho do método PDBB em relação a

esse.

Conclusões

A partir dos dados das tabelas, o método PDBB foi executado determinando a solução

ótima dos problemas de minimização de custo e maximização de energia da biomassa residual

de cana. O método foi comparado com o aplicativo Solver do Excel, com um bom

desempenho computacional e rapidez no tempo de processamento, mostrando que esse

procedimento híbrido é interessante para a resolução de problemas de programação 0-1, tais

como os problemas envolvendo a biomassa residual da cana-de-açúcar explorados nesse

trabalho. Ressalta-se que esses problemas têm objetivos conflitantes desta forma a solução

ótima para o custo de coleta é a pior para o problema de geração de energia e vice-versa.

Referências Bazaraa, M. S., Jarvis, J. J., Linear Programming And Network Flows. 3rd ed.,JonhWiley& Sons, 2005.

Florentino, H. O. (2006). Programação linear inteira em problemas de aproveitamento da biomassa residual de colheita da

cana-de-açúcar. PhD thesis, Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências de Botucatu, Botucatu, SP.

Kojima, M., Mizuno, S., Yoshine, A., A Primal-Dual Interior Point Method Fo Linear Programming, it Progress in

Mathematical Programming: Interior Point and Related Methods, Ed. N. Megiddo, Springer-Verlag, New York, 29 – 48,

1989.

Homem, T. P. D., Procedimento híbrido envovendo os Métodos Primal-Dual de Pontos Interiores e Branch-and-bound em

Problemas Multiobjetivo de aproveitamento de resíduos de cana-de-açúcar, Tese de Mestrado, Faculdade de Ciências,

UNESP, Bauru, 2010.

Tolentino, G. (2007). Programação linear inteira aplicada ao aproveitamento do palhiço da cana-de-açúcar. Master’s thesis,

Faculdade de Ciências Agronômicas, Universidade Estadual Paulista, Botucatu, SP.






INTERDISCIPLINARIDADE: EXPERIÊNCIAS E APRENDIZADO

CAETANO, H.C., PINTANELLI, A.C., SILVA, H.G.,NOGUEIRA, A.R.,

MARQUES, E.M.R.; Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, Universidade Estadual Paulista

“Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Câmpus de Bauru (SP). E-mail: [email protected]

Palavras chaves e Keywords: Interdisciplinaridade.

Resumo

Este artigo expõe o trabalho realizado pelos grupos do PIBID da UNESP de Bauru,

relatando as práticas associadas às metodologias de ensino. Nesses grupos, alunos da

matemática, física, química e biologia se juntam para realizar trabalhos diferenciados em

três escolas de Bauru, sempre de forma interdisciplinar, que é o principal objetivo do

subprojeto. Utilizando temas que estão sendo estudados pelos alunos da escola ou que já

foram em algum momento, partindo desse ponto, os graduandos envolvidos no subprojeto,

elaboram atividades que são supervisionadas pelos professores da faculdade, observando

onde estão erros e questionando possíveis dúvidas e perguntas que poderão surgir durante a

apresentação na escola. Além disso, esses graduandos fazem monitoria semanalmente na

escola, acompanhando os professores, fazendo intervenções que são pedidas pelos próprios

professores e ajudando-os no andamento da aula. Dessa forma, o PIBID atua também na

formação desses graduandos, que tem a oportunidade de conhecer a realidade da sala de

aula antes de terminar a faculdade, de aplicar metodologias diferenciadas e aprender com os

erros, tendo oportunidade de concerta-los antes de aplica-los.

Introdução

Este trabalho apresenta experiências interdisciplinares associadas à metodologia investigativa,

realizadas no E.M. de Escolas Públicas, em Bauru. Os autores, orientadora da Matemática e

bolsistas da área, compõem o subprojeto PIBID da F.C. de Bauru junto com os demais

participantes da Biologia, da Química e da Física.






Metodologia

A metodologia das intervenções é investigativa com temas interdisciplinares (ZULIANI;

HARTWIG, 2009; ZULIANI et al, 2011). Ocorrem desde 2011 em três Escolas Estaduais

de Bauru. Os subgrupos possuem, em média, 8 bolsistas das áreas citadas, 1 supervisor

da escola e orientadores da Unesp de departamentos distintos.

Resultados e discussões

Atividade 1: Realizada com estudantes do 2º Ano sob o tema “Energia e suas

transformações”. A interdisciplinaridade e o planejamento das ações, permitiram aos

estudantes a compreensão do fenômeno da transformação de energia a partir do alimento

que a contém até o metabolismo no organismo humano, de forma contextualizada.

As intervenções apresentaram-se em 2 blocos. O 1° Bloco, Matemática e Física, propôs

trabalho em grupos, sendo os bolsistas os facilitadores em cada grupo. Um bolsista

conduziu a aula. Recursos utilizados: vídeo, questões problematizadoras, tabelas

nutricionais e modelos manipuláveis de moléculas. Questão proposta: “Um danoninho

vale mais que um bifinho?”. A discussão objetivou verificar a importância da alimentação

para a manutenção das necessidades nutricionais diárias, envolvendo conceitos

matemáticos como, regra de três simples, razão, proporção e porcentagem. Os estudantes

assistiram a um vídeo (propaganda da década de 80) e fizeram comparação entre um pote

de Danoninho (45g) e um bife magro (100g), usando tabelas nutricionais considerando

suas proporções. Os estudantes construíram suas próprias tabelas, incluindo os nutrientes

encontrados nos dois alimentos, e realizaram cálculos aproximados (décimos). No Bloco

2, Química e Biologia, propôs-se a questão: “Todos os alimentos fornecem a mesma

quantidade energética para o nosso corpo?”. Partindo dessa questão, os estudantes

compreenderam as informações dos rótulos dos alimentos, auxiliando na classificação

quanto ao seu valor energético e ao tipo de substância (proteína, carboidrato, lipídeos,

sais minerais) presente, bem como refletiram sobre a importância da alimentação para a

manutenção das necessidades nutricionais diárias. Links com conteúdo estudado foram

apresentados, enfocado conceitos químicos das tabelas nutricionais, evidenciado nos

nutrientes de cada um dos alimentos trabalhados. Propôs-se ainda aos estudantes a

construção das moléculas (com o jogo de moléculas orgânicas) presentes nos alimentos.

Os estudantes puderam contar com a ajuda dos bolsistas e de apresentações (slides)

contendo imagens de cada molécula. Em Biologia abordou-se os diferentes grupos

alimentares, procurando questionar a importância de determinado alimento na realização

de atividades físicas, assim contextualizando o tema. Em Física foram propostas

discussões sobre o que pode definir a nota final, de um atleta, em uma competição.

Trabalhamos ainda a leitura e compreensão de um gráfico comparativo do gasto calórico

em atividades físicas, quando se introduziu a definição de calorias e Joules, além da

aplicação de atividades de conversão de unidades de energia. Atividade 2: Trabalhada

com os alunos do 3° Ano do E.M., com o tema “O álcool”. Aqui aparece novamente a

divisão em blocos, devido à duração das aulas nas escolas, entretanto ficaram assim

compostos: Biologia e Física (Bloco 1) e Química e Matemática (Bloco 2). Ressaltamos

que este fato não “separou” as áreas, pelo contrário, as intervenções se fizeram dando

continuidade uma à outra. Nos trabalhos do Bloco 2, abordou-se conceitos matemáticos

de álgebra e aritmética na realização dos cálculos da queima de energia de cada






combustível, e também para decidir-se pelo combustível mais vantajoso, considerando a

quantidade de produção de energia de cada um e o preço destes nos postos. Os estudantes

calcularam a energia que cada combustível produz por litro, sendo fornecidos: a

densidade(g/mL), a massa(g/mol) e o delta H(kcal/mol) de cada um deles, e trabalharam

a relação entre eles. Atividade 3: Desenvolvida com estudantes do 1° Ano do E.M.

considerando o tema “Avanços Tecnológicos”. Todos os bolsistas trabalharam

simultaneamente. Na Física utilizou-se discussões sobre os “spin-offs da NASA” –

produtos desenvolvidos para o uso dos astronautas e que a indústria adaptou para o uso

cotidiano. Exemplos: óculos de sol, lentes de óculos mais resistentes, insulfilm, etc. Em

Química discutiu-se a conservação de alimentos. A intervenção propôs a experiência da

“conservação da maçã”, que ao ser cortada e ser regada com suco de limão se mantém

conservada, enquanto que outra cortada e sem a presença do limão, se estraga

rapidamente.

Na Biologia trabalhou-se a degradação dos alimentos, através do estudo dos fungos.

Realizou-se a observação das colônias de fungos em pães, os quais foram levados para a

sala de aula e observados durante aproximadamente um mês. Por fim, ligados à

matemática trabalhou-se as funções lineares, elaborando-se situações-problema

envolvendo a degradação e a conservação de alimentos.

Conclusão

A proposta investigativa e a abordagem interdisciplinar fazem surgir nas aulas questões

relevantes, aguçando a curiosidade dos estudantes pela compreensão das relações

estabelecidas, independentemente da disciplina norteadora das atividades. As indagações

dos estudantes sempre contribuem no esclarecimento da teoria que deu suporte às ações.

Apesar das dificuldades que advêm da abrangência dos temas e da inexperiência dos

bolsistas PIBID, observou-se que a contextualização do conteúdo e a realização de um

planejamento coletivo orientado por princípios investigativos e interdisciplinares

contribuem no processo de ensino e aprendizagem desenvolvido em cada escola.

Ressalta-se, entretanto que a dificuldade dos estudantes ao trabalhar com conceitos

básicos da matemática, a dependência dos mesmos na realização das atividades e o

desinteresse momentâneo de alguns dos estudantes, constituíram-se em pontos negativos

dessas experiências.

Referências

ZULIANI, S. R. Q. A.; HARTWIG, D. R. A influência dos processos que buscam

autoformação: uma leitura através da fenomenologia e da semiótica social. Ciência &

Educação, v. 15, n. 2, p. 359-82, 2009.ZULIANI, S. R. Q. A., TALAMONI, J. B. L.,

BOMBONATO, M. T. S., SOUZA, D. C. Um olhar para atuação de professores

formadores no projeto PIBID: possibilidades para formação inicial e continuada numa

perspectiva investigativa e interdisciplinar. Revista de la Facultad de Ciencia y

Tecnologia, v.1, p.784 - 789, 2011.






Título: Usando Fractais para aprender conceitos matemáticos

Adriele Benedito Rangel e Tatiana Miguel Rodrigues

Bauru, Faculdade de Ciências, Matemática, [email protected]

Palavras chaves e Keywords : Geometria Fractal; Ensino de Matemática.

Resumo

Neste trabalho veremos a necessidade da criação de uma nova Geometria, diferente

da Euclidiana, onde seja possível o surgimento de objetos com dimensão fracionária, por

exemplo. Proporcionar aos alunos do ensino médio o contato com esta nova geometria de

modo a instigar a curiosidade em relacionar os conceitos vistos durante as aulas de

matemática com este novo aprendizado.

Introdução:

Essa geometria oferece um método para analisar e descrever objetos e formas naturais,

contrapondo-se com as limitações da geometria clássica, suas aplicações estão relacionadas a

outras ciências a biologia (lei de crescimento), ciência da computação (Meio-tom digital),

entre outras.

A primeira pessoa a usar o termo “fractal” foi Mandelbrot, baseando-se no latim, do

adjetivo fractus, cujo verbo frangere significa quebrar, criar fragmentos. Foi Mandelbrot que

iniciou os estudos sobre esses objetos, que possuem sua estrutura fracionada, inclusive sua

dimensão, diferenciando-se assim da Geometria Euclidiana.

Esta geometria está intimamente ligada à ciência do Caos. As estruturas dessa

geometria fornecem certa ordem ao Caos. Por tal motivo, muitas vezes a geometria fractal é

considerada a linguagem do caos. Os fractais tem grande apelo estético e ambas as áreas se

desenvolveram pelo aprimoramento das técnicas computacionais.

Objetivos e Métodos:

O objetivo foi estudar os fractais partindo de um breve histórico, ou seja, como surgiu

o interesse de Mandelbrot em estudá-los. Isso ocorreu quando este mudou-se para os Estados

Unidos em 1948, ao estudar Ciência Aeroespacial no IBM - Centro de Pesquisa Thomas






Watson, onde trabalhou então com problemas de economia. Na IBM deparou-se com questões

de ruídos nas linhas telefônicas utilizadas em redes de computadores, e ele soube que os

engenheiros contratados para resolver esse problema não possuíam artifícios para tanto, pois

tal interferência era advinda da aleatoriedade e da irregularidade dos ruídos. Então

Mandelbrot o resolveu utilizando um trabalho antigo de Georg Cantor. Desde então ele

buscou, durante anos, situações antigas de diversas áreas e cientistas para que ele pudesse

aplicar suas ideias e modelos. A partir daí desenvolveu sua teoria sobre os fractais.

Depois utilizamos recursos elementares da geometria Euclidiana e seus instrumentos

usuais como régua, esquadro, transferidor e compasso para criar fractais a partir de funções

simples do ensino médio. A partir daí exploramos elementos destes fractais relacionando com

objetos da geometria Euclidiana. Feito isso estudamos os fractais quanto à contagem,

perímetro, área e volume. Foram necessárias noções de progressão geométrica,

proporcionalidade e limite. E também estudamos a dimensão fractal , a qual é uma dimensão

não inteira e seu calculo é feito a partir de uma expressão com logaritmos.

Uma das propriedades conhecida dos fractais é a autossimilaridade, que trata

basicamente da repetição da sua forma. Ou seja, se considerarmos um fractal e o ampliarmos

ou diminuirmos perceberemos a repetição de suas formas de modo proporcional. Exemplos

bastante usados no nosso cotidiano para identificar um fractal é o couve-flor ou até mesmo o

brócolis, pois seus ramos são semelhantes, isto é, autossimilares o que gera a

proporcionalidade, outra característica que define e diferencia os fractais. Veja a figura

abaixo:






Podemos verificar, observando as figuras, que a geometria fractal fornece ferramentas

que a geometria plana não fornece no quesito representação do nosso mundo, pois a natureza

em geral é predominantemente irregular e caótica e quando utilizamos da simplicidade de

triângulos, quadrados, esferas e cones para descrevê-la há equívoco.

Benoit Mandelbrot se pautou em alguns trabalhos de outros matemáticos para

desenvolver sua teoria e em alguns fractais clássicos como o Conjunto de Cantor, a Curva de

Hilbert, a Curva de Koch, o Triângulo de Sierpinski e o Conjunto de Julia.

Vamos usar a Curva de Koch, para fazermos algumas discussões interessantes que

amarrarão as ideias difundidas anteriormente. Vejamos a sua construção:

i. Considerar um segmento de reta;

ii. Dividir o segmento em três segmentos iguais, no segmento intermediário construir um

triângulo equilátero, porém retirar esse segmento intermediário (o que seria a base do

triângulo), ficando assim 4 segmentos congruentes;

iii. Substituir cada um dos segmentos conforme a regra 2, e assim sucessivamente e

iterativamente.

A partir da Curva de Koch, podemos formar o Floco de Neve de Kock, podemos observar

que sua construção é feita a partir de um triângulo (elemento da Geometria Euclidiana)

através de uma segmentação proporcional e de processos de iteração sucessivos. Se

considerarmos esta construção a partir da curva obtemos o floco de neve e em seguida

podemos perceber que sua fronteira, ou seja, suas bordas, se assemelham a curva da couve-

flor apresentado anteriormente. Observe que nenhum elemento da geometria tradicional ou

euclidiana o representaria de forma mais precisa e adequada do que a geometria fractal.

Discussões e Conclusões






Um dos conceitos aprendidos durante o ensino de Geometria é o de perímetro. Vamos

fazer o cálculo para a figura Floco de Neve de Kock. Para tanto iniciaremos com o

comprimento dos segmentos.

Indiquemos por c o comprimento do lado do triângulo equilátero inicial.

Como dividimos o lado em três partes iguais e da iteração ficamos com quatro lados

congruentes, assim para o nível 1 cada segmento tem c. de comprimento.

Para o nível 2, foi dividido novamente em 3 partes iguais, ficando com 4, cada segmento

tem c.( )2

de comprimento. Dessa maneira para o nível 3 temos c.( )3 de comprimento,

analogamente, a inferência ao nível n temos: c.( )n.

Agora que já temos a contagem dos lados e o comprimento dos segmentos em cada nível,

ficou mais fácil o cálculo do perímetro para n níveis. Para isso é necessário multiplicar o

número de segmentos pelo comprimento deles.

Para uma concretização dos resultados, vamos dispô-los em um quadro:

Nível Sn Comprimento

s

Perímetros

0 3 c 3. c

1 3.4 c.( ) 3.( ).c

2 3.42

c.( )2

3.( ).c

3 3.43

c.( )3

3.( ).c

... ... ... ...

n 3.4n

c.( )n

3.( ).c






Podemos observar que o perímetro de um dado nível é 4/3 do perímetro do nível anterior,

como 4/3 > 1, segue que o perímetro aumenta em cada nível de 1/3 do perímetro anterior,

concluindo então que o perímetro do fractal floco de neve de Koch é infinito, ou seja, o

perímetro da curva na fronteira tende ao infinito, com o crescimento rápido.

Diante de tudo que foi exposto, o estudo da Geometria Fractal faz-se interessante como

uma forma mais precisa de representação do nosso mundo, prende a atenção e instiga a

criatividade e a curiosidade dos alunos. Em geral, e a partir disso vem o interesse em

compreender ao menos um pouco sobre os fractais e a sua geometria e com isso, tornar alguns

conteúdos matemáticos mais significativos e concretos para os alunos. Logo, o objetivo deste

trabalho foi estudar esses objetos que revolucionaram a representação das imagens é levá-los

para sala de aula e proporcionar aos alunos uma aprendizagem mais lúdica e significativa,

estimulando a criatividade deles e a construção de seus conhecimentos.

Referências

1. Alves, C., “Fractais: Conceitos Básicos, Representações Gráficas e Aplicações ao

Ensino não Universitário”, dissertação apresentada na Universidade de Lisboa, em pdf,

(2007)

2. Barbosa, R., “Descobrindo a Geometria Fractal”, Coleção Tendências Em Educação

Matemática, Autêntica, (2002).

3. Barnsley, M., “Fractals Everywhere”, Academic Press, Inc. , (1998).

4. Carvalho, M.C., “Fractais: uma breve Introdução”, Edição Própria, 1986.

5. Domingues, H., “Espaços Métricos e uma Introdução a Topologia”, Atual Editora, 4ª

Edição, (1982).

6. Lima, E.L., “Curso de Análise”, Projeto Euclides IMPA, (2009).

7. Lima, E.L., “Elementos de Topologia Geral”, Editora da Universidade de São Paulo,

(1970).

8. Nunes, R., “Geometria Fractal e Aplicações”, dissertação apresentada na Universidade

de Porto, em pdf, (2006)

9. Peitgen, H. , Richter, P., “The Beauty of Fractals”, Springer-Verlag , (1986).

10. Schroeder, M., “Fractals, Chaos, Power Laws”, Dover Publications, (1991).






11. Soares, M.G., “Cálculo em uma Variável Complexa”, Coleção Matemática

Universitária, IMPA, (2009).






A EQUIVALÊNCIA DEDUTIVA ENTRE UM SISTEMA AXIOMÁTICO

E UM SISTEMA DE TABLEAUX

Helen Gomes da Silva, Luiz Henrique da Cruz Silvestrini (orientador)

UNESP Campus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras chave: Lógica matemática não-clássica; Quantificadores Generalizados; Tableaux Analíticos.

Keywords: Modulated Logics; Generalized Quantifiers; Tableaux.

Resumo

A utilização de métodos dedutivos alternativos ao axiomático tem sido de grande

interesse para a Teoria da Prova e para a Teoria da Computação, sendo esta última

caracterizada, por exemplo, pela busca por métodos mais adequados para implementações

em computadores. Dentre estes métodos, destacamos o método de tableaux analíticos

introduzidos por Smullyan em 1968. Os sistemas lógicos em tableaux têm sido bastante

explorados na literatura, sobretudo para as lógicas moduladas, que são obtidas a partir de

lógicas de primeira ordem clássicas com o acréscimo de um quantificador generalizado na

sua linguagem, regido por um conjunto específico de axiomas. Estes quantificadores

generalizados são denominados de quantificadores modulados e capturam noções de

‘muitos’, ‘a maioria’ e ‘quase em toda a parte’, por exemplo. Em 2011, Oliveira introduziu a

lógica do poucos, via sistema axiomático, inspirado em uma dualização para uma lógica

modulada que formaliza o quantificador ‘muitos’ da linguagem natural. A partir disso,

formalizamos a mesma lógica via sistema de tableaux analíticos. Nesse sentido, propomos

apresentar neste artigo os teoremas suficientes para que tenhamos a equivalência dedutiva

entre os sistemas, axiomático e de tableaux, para a lógica do poucos.

mailto:[email protected]






Introdução

A Teoria da Prova constitui-se em um domínio de investigação avançado da Lógica, e

ainda, compreendida como demonstração automática de teoremas consolida-se como uma

profícua subárea da Teoria da Computação. O estudo das propriedades estruturais de provas

formais constitui o cerne da pesquisa relacionada à Teoria da Prova, que por sua vez está

relacionada com o conceito de decidibilidade desde os tempos de David Hilbert (1862-1943).

Em 1935, Gerhard Gentzen introduziu os sistemas de provas que eram caracterizados

por admitir o princípio das subfórmulas. Além disso, a teoria da prova desenvolvida por

Gentzen consistia em demonstrar a validade de um argumento de uma maneira usualmente

mais rápida, apenas trabalhando com regras em métodos finitários. Esses sistemas de provas

são hoje conhecidos como Dedução Natural e Cálculo de Sequentes.

Estes trabalhos, de algum modo, inspiraram a criação de um novo método de dedução,

a saber, o método de tableaux, o qual também estabelece estruturas que permitem a

representação e a dedução formal de conhecimento. Um tableau é mais adequado para

implementações em computadores, pois este pode ser definido como uma árvore ordenada

diádica.

O termo tableaux analíticos foi introduzido por Raymond M. Smullyan em 1968. Este

método é uma variante dos tableaux semânticos de Beth (1959) que utiliza o princípio de

subfórmula, o qual diz que se uma fórmula tem uma demonstração, então ela tem uma

demonstração na qual ocorrem apenas subfórmulas da fórmula inicial.

Hoje em dia, os sistemas lógicos em tableaux têm sido bastante explorados na

literatura, sobretudo para as lógicas moduladas, que são obtidas a partir de lógicas de primeira

ordem clássicas com o acréscimo de um quantificador generalizado na sua linguagem, regido

por um conjunto específico de axiomas. Estes quantificadores generalizados são denominados

de quantificadores modulados e capturam noções de ‘muitos’, ‘a maioria’ e ‘quase em toda a

parte’, por exemplo. Em 2011, Oliveira introduziu a Lógica do Poucos, inspirado em uma

dualização para uma lógica modulada que formaliza o quantificador ‘muitos’ da linguagem

natural.






Introduzimos o sistema de tableaux como um novo sistema dedutivo para a lógica do

‘poucos’. Posteriormente, mostramos um caminho para a equivalência dos dois sistemas, o

sistema de tableaux e o axiomático.

Objetivos

Apresentamos a lógica do poucos, introduzida por Oliveira (2011), via sistema

axiomático, em um sistema de tableaux analíticos. Em seguida, estabelecemos os teoremas

necessários e suficientes para que tenhamos a equivalência dedutiva entre os sistemas,

axiomático e de tableaux.

Metodologia

Trata-se de um trabalho teórico e a presente pesquisa tem como meta reconhecer o

método de tableaux como um método alternativo ao axiomático. Dessa maneira, utilizaremos

o método das árvores ordenadas diádicas para definir uma sequência de tableau.

Resultados

Seja ℒ a linguagem clássica de primeira ordem contendo símbolos para predicados,

funções e constantes, e que seja fechada para os conectivos lógicos , , , e também para

os quantificadores e . Oliveira (2011), para gerar a lógica do poucos, denotada por ℒ(Ҡ),

estende a linguagem ℒ para a linguagem ℒ(Ҡ), pela inclusão do quantificador do poucos,

denotado por Ҡ. Os axiomas de ℒ(Ҡ) são todos os axiomas de ℒ, mais os axiomas da

identidade, e também os seguintes axiomas formalizados por Oliveira para o quantificador Ҡ:

(Ax1) x (λ(x) θ(x)) (Ҡx λ(x) Ҡx θ(x));

(Ax2) Ҡx λ(x) Ҡy λ(y), quando y é livre para x em λ(x);

(Ax3) Ҡx λ(x) x λ(x); (Ax4) Ҡx λ(x) x λ (x);

(Ax5) (x (λ(x) θ (x)) x λ(x)) Ҡx θ(x) Ҡx λ(x)).






Desenvolvemos um sistema de tableaux analíticos de primeira-ordem para a Lógica do Poucos. A

seguir, apresentamos três regras de expansão para o tableau TLҠ:

Regra [▲] ∇xθ(x)

∇xλ(x)

λ(c) , em que c é uma constante qualquer.

x(λ(x)→θ(x))

Observarmos que na Regra [▲] a ordem de λ e θ é importante, uma vez que o

conjunto θ possui poucos indivíduos e o conjunto λ não tem poucos indivíduos, pela regra

concluímos que não é o caso em que λ está contido em θ, mas não podemos concluir que não

é o caso que θ está contido em λ.

A partir disso, podemos demonstrar a equivalência entre o sistema axiomático de ℒ(Ҡ)

e o sistema de tableaux TLҠ introduzidos acima. Aqui, ⊩ denota que a fórmula é

consequência analítica de um conjunto de fórmulas, ou seja, existe um tableau fechado a

partir . No sistema axiomático da Lógica do ‘poucos’, denotamos que é uma

consequência lógica (sintática) de e que é uma consequência semântica de , por ⊢ e

⊨, respectivamente.

Ao mostrarmos que ⊢ ⇔ ⊩, estaremos estabelecendo a equivalência entre as

consequências lógicas de cada sistema dedutivo apresentado. E ainda, uma vez que Oliveira

(2011) demonstrou a correção e completude do sistema axiomático de ℒ(Ҡ), o sistema de

tableaux TLҠ também será correto e completo. Assim, mostramos que:

Teorema 1. ⊢ ⇔ ⊨.

Regra [∇] ∇x λ(x)

, em que a e b são constantes novas no ramo e a b. λ(a)

λ(b)

Regra [△] ∇xθ(x)

∇xλ(x) , em que λ θ

x(θ(x) λ(x))






Teorema 2. Se ⊢ , então ⊩ .

Teorema 3. Se ⊩ , então ⊢ .

Conclusões

Neste trabalho, apresentamos a Lógica do Poucos em um sistema dedutivo alternativo ao

axiomático, por meio do sistema de tableaux TLҠ. A vantagem computacional em se

apresentar uma lógica em um sistema dedutivo por tableaux, em relação ao sistema

axiomático, é que, por exemplo, um sistema de tableaux é caracterizado como um algoritmo,

uma vez que podemos definir um tableau como uma árvore ordenada diádica.

Ademais, estabelecemos um procedimento para obter a equivalência dedutiva entre os

sistemas ℒ(Ҡ) e TLҠ.

Agradecimentos

Agradecemos à FAPESP pelo fomento de nossa pesquisa (Bolsa de Iniciação

Científica, processo FAPESP número 2012/10272-5).

Referências

GENTZEN, G. Untersuchungen über das logische Schlieben. Mathematische Zeitschrift.

v. 39. 1935.

OLIVEIRA, K. E. C. S., Uma lógica do poucos. Dissertação de Mestrado. FFC-UNESP,

Marília, 2011.

SMULLYAN, R. M. First-order logic. New York: Springer-Verlag/Dover Publication,

1968.



Comissão Organizadora da XXV Semana da Licenciatura em Matemática – SELMAT Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências

Fone/fax: 14 3103-6086 site: http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/

UM MÉTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES COM ESTRATÉGIA DE CONVERGÊNCIA GLOBAL EM PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES

COM TERMOS MODULARES

Diego Nunes da Silva¹, Antonio Roberto Balbo²

1. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, FEB, Unesp, Bauru

2. Departamento de Matemática, FC, Unesp, Bauru

Palavras-chave: Pontos interiores, Otimização, Função Lagrangiana Barreira Modificada.

Resumo

Neste trabalho, apresentamos um método de otimização determinístico híbrido que vincula um método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores, o qual emprega a função barreira logarítmica modificada, com duas estratégias distintas para a minimização de funções objetivo com termos modu-lares. Para garantir a convergência global do método proposto, uma estratégia variante de Leven-berg-Marquardt é inserida no método, a fim de ajustar a matriz dual normal da função lagrangiana barreira modificada, em situações em que a mesma não é definida positiva.

Método Previsor-Corretor Primal-Dual de Pontos Interiores Barreira Logarítmica Modificada

Seja o seguinte modelo de otimização não-linear, em que a função objetivo e as restrições são

funções de classe C2:

Minimizar f(x)sujeito a g(x) = 0

u1 6 h(x) 6 u2

l1 6 x 6 l2

(1)

em que f(x) é a função objetivo, x 2 Rn, g : R

n ! Rm, h : Rn ! R

r. Ao problema (1), associamos

a seguinte função lagrangiana barreira logarítmica modificada, conforme a proposta de Pinheiro [6]:

L(!) = f(x)¡ ¹rX

i=1

[(±1)i ln (z}1)i + (±2)i ln (z

}2)i]¡ ¹

nX

j=1

[(±3)j ln (z}3)j + (±4)j ln (z

}4)j ]

+mX

t=1

(¸0)tgt(x) +rX

i=1

(¸1)i[¡hi(x) + (u1)i + (z1)i] +rX

i=1

(¸2)i[hi(x)¡ (u2)i + (z2)i]

+nX

j=1

(¸3)j [¡xj + (l1)j + (z3)j ] +nX

j=1

(¸4)j [xj ¡ (l2)j + (z4)j ]

(2)

Em (2), ! = (x; z1; z2; z3; z4;¸0;¸1;¸2;¸3;¸4)t, ¹ é o parâmetro de barreira, ±1; ±2 2 R

r,

±3; ±4 2 Rn são os vetores estimadores dos multiplicadores de Lagrange das restrições de desigualda-

de, ¸0 2 Rm é o vetor multiplicador de Lagrange das restrições de igualdade, ¸1;¸2 2 R

r,

¸3;¸4 2 Rn são os vetores multiplicadores de Lagrange referentes às restrições de desigualdade,

(z}1 )i =¹+(z1)i

¹, (z}2 )i =

¹+(z2)i

¹, (z}3 )i =

¹+(z3)i

¹ e (z}4 )i =

¹+(z4)i

¹, onde z1; z2 2 R

r, z1; z2 2 Rr

são as variáveis de folga relaxadas através da função barreira modificada, com z1 > ¡¹er,

z2 > ¡¹er, z3 > ¡¹en e z4 > ¡¹en, onde er = (1; 1; : : : ; 1)t 2 R

r e en = (1; 1; : : : ; 1)t 2 R

n.

Aplicando as condições necessárias de 1ª ordem a (2), isto é, impondo rL(!) = 0, obtemos

um sistema não-linear. Este sistema é linearizado utilizando um aproximante de Taylor de primeira

ordem, resultando no sistema linear:

Akdk = bk (3)





no qual

Ak =

0BBBBBBBBBBBBBB@

K 0 0 0 0 rg(xk)t ¡rh(xk)

t rh(xk)t ¡In In

rg(xk) 0 0 0 0 0 0 0 0 0¡rh(xk) Ir 0 0 0 0 0 0 0 0rh(xk) 0 Ir 0 0 0 0 0 0 0¡In 0 0 In 0 0 0 0 0 0In 0 0 0 In 0 0 0 0 00 ¤1k

0 0 0 0 Z1k0 0 0

0 0 ¤2k0 0 0 0 Z2k

0 00 0 0 ¤3k

0 0 0 0 Z3k0

0 0 0 0 ¤4k0 0 0 0 Z4k

1CCCCCCCCCCCCCCA

(4)

Zv =

0BBB@

¹+ (zv)1 0 ¢ ¢ ¢ 00 ¹+ (zv)2 ¢ ¢ ¢ 0...

.... . .

...0 0 ¢ ¢ ¢ ¹+ (zv)l

1CCCA (5)

onde para v = 1; 2, tem-se que l = r, e para v = 3; 4 tem-se que l = n, e rg(x)t 2 Rn£m e

rh(x)t 2 Rn£r são, respectivamente, as matrizes jacobianas dos funcionais g e h. Além disso,

bk =

0BBBBBBBBBBBBBB@

mk

tk0

tk1

tk2

tk3

tk4

¼k1

¼k2

¼k3

¼k4

1CCCCCCCCCCCCCCA

=

0BBBBBBBBBBBBBBB@

¡rf(xk)¡rg(xk)t¸k

0¡rh(xk)

t(¸k

2¡ ¸k

1) + ¸k

3¡ ¸k

4

¡g(xk)h(xk)¡ zk

1¡ u1

¡h(xk)¡ zk2 + u2

xk ¡ zk3¡ l1

¡xk ¡ zk4+ l2

¡Z1k¸k

1+ ¹k±k

1¡D

zk

1

dk¸1

¡Z2k¸k

2+ ¹k±k

2¡D

zk

2

dk¸2

¡Z3k¸k

3+ ¹k±k

3¡D

zk

3

dk¸3

¡Z4k¸k

4+ ¹k±k

4¡D

zk

4

dk¸4

1CCCCCCCCCCCCCCCA

(6)

sendo que: K = r2xxf(xk) +

mX

t=1

[(¸k0)tr2

xxgt(x

k)] +rX

i=1

f[(¸k2)i ¡ (¸k

1)i]r2xxhi(x

k)g, In é a matriz

identidade de ordem n, Ir é a matriz identidade de ordem r, Dz

kv= diag(dk

zv), ¤vk

= diag(¸kv),

v = 1; :::; 4, e dk = (dkx;dk

z1;dk

z2;dk

z3;dk

z4;dk

0;dk

1;dk

2;dk

3;dk

4)t é o vetor de direções.

Procedimentos Previsor e Corretor

No passo previsor, os termos não-lineares presentes nos resíduos ¼kv, v = 1; :::; 4, são descon-

siderados. Explorando a esparsidade da matriz Ak, obtemos as seguintes direções:

dk0= ¡¸k

0 ¡ [rg(xk)µ¡1k rg(xk)t]¡1 ¢ frg(xk)µ¡1

k [rf(xk) + ck + ¹k'k] + tk0g (7)

dkx= ¡µ¡1

k [rf(xk) + ck + ¹k'k +rg(xk)t¸k

0 +rg(xk)tdk0] (8)

dkz1= rh(xk)dk

x+ tk

1; dkz2= ¡rh(xk)dk

x+ tk

2; dkz3= dk

x+ tk

3; dkz4= ¡dk

x+ tk

4 (9)

dkv= ¡Z¡1

vk¤vk

dkzv+ ¹kZ

¡1vk

±kv ¡ ¸k

v, v = 1; :::; 4 (10)

com

µk = K +rh(xk)t(Z¡11k¤1k

+ Z¡12k¤2k

)rh(xk) + Z¡13k¤3k

+ Z¡14k¤4k (11)

ck = rh(xk)t(Z¡11k¤1k

tk1 ¡ Z

¡12k¤2k

tk2) + Z

¡13k¤3k

tk3 ¡ Z

¡14k¤4k

tk4 (12)

'k = rh(xk)t(¡Z¡11k

±k1 + Z

¡12k

±k2)¡ Z

¡13k

±k3 + Z

¡14k

±k4 (13)

Com as direções do passo previsor, podemos calcular as seguintes direções corrigidas conside-

rando os termos não lineares Dz

kidk

i, i = 1; :::; 4 presentes nos resíduos:





edk0= ¡¸k

0 ¡ [rg(xk)µ¡1k rg(xk)t]¡1 ¢ frg(xk)µ¡1

k [rf(xk) + eck + ¹k'k] + tk0g (14)

edkx= ¡µ¡1

k [rf(xk) + eck + ¹k'k +rg(xk)t¸k

0 +rg(xk)tedk0] (15)

edkz1= rh(xk)edk

x+ tk

1; edkz2= ¡rh(xk)edk

x+ tk

2; edkz3= edk

x+ tk

3; edkz4= ¡edk

x+ tk

4 (16)

edkv= ¡Z¡1

vk¤vk

edkzv+ ¹kZ

¡1vk

±kv ¡ Z

¡1vkD

zkvdk

v¡ ¸k

v, v = 1; :::; 4 (17)

nas quais:

eck = ck +rh(xk)t(Z¡11kD

zk1

dk1¡ Z¡1

2kD

zk2

dk2) + Z

¡13kD

zk3

dk3¡ Z¡1

4kD

zk4

dk4 (18)

Tamanho do passo e nova solução

A solução atual, !k, é atualizada por !k+1 = !k + ®bdk , onde ® é, comumente, adotado co-

mo 0:995 e bdk = (®Pedk

x; ®P

edkzi; ®D

edkj)t, i = 1; :::; 4, j = 0; :::; 4. Os escalares ®P e ®D são calcu-

lados segundo a estratégia de Granville [4]:

®P = min

8>>>><>>>>:

min(z1)i>0 e (dz1

)i<0¡ (z1)i

(edz1)i; min(z2)i>0 e (dz2

)i<0¡ (z2)i

(edz2)i;

min(z3)j>0 e (dz3 )

j<0¡(z3)j

(edz3)j; min(z4)j>0 e (dz4)

j<0¡(z4)j

(edz4)j; 1

9>>>>=>>>>;

(19)

®D = min

8>>>><>>>>:

min(¸1)i>0 e (d¸1

)i<0¡ (¸1)i

(ed¸1)i; min(¸2)i>0 e (d¸2

)i<0¡ (¸2)i

(ed¸2)i;

min(¸3)j>0 e (d¸3

)j<0¡(¸3)j

(ed¸3)j; min(¸4)j>0 e (d¸4

)j<0¡(¸4)j

(ed¸4)j; 1

9>>>>=>>>>;

(20)

com i = 1; :::; r e j = 1; :::; n.

Parâmetro de barreira, critério de parada e estimadores dos multiplicadores de Lagrange

O parâmetro de barreira foi atualizado pela seguinte heurística, com ¯ 2 [0; 1): ¹k+1 = ¯¹k (21)

Os estimadores dos multiplicadores de Lagrange foram atualizados pela estratégia apresentada

em Pinheiro [6], a qual é de baixo custo computacional:

±k+1i = ¸k

i (22)

Para critério de parada, adotamos uma precisão " > 0, calculamos !k+1 e verificamos se as

condições de viabilidade primal, dual e de folgas complementares são satisfeitas, ou seja, °°°rL(!k+1)°°°1< " (23)

A estratégia de convergência global

A estratégia de convergência global adotada neste trabalho é uma variante do método de Le-

venberg-Marquardt proposta por Pinheiro [6]. Quando o problema de otimização é não convexo, a

matriz dual normal µk pode não ser definida positiva, o que pode inviabilizar a utilização do método

primal-dual apresentado. A verificação de que a matriz µk é definida positiva pode ser feita mediante a

Decomposição de Cholesky (DC). Quando a DC não pode ser realizada, aplica-se uma estratégia que

consiste em perturbar a matriz µk de modo a torna-la definida positiva, da seguinte forma:

bµk = µk + °kIn (24)





onde In e °k 2 R+. O número °k é denominado parâmetro de amortecimento. Enquanto a DC não

puder ser concluída, o valor de °k é incrementado, até que a nova matriz obtida, bµk, seja definida posi-

tiva. Este incremento é feito pela expressão:

°p+1 = °p

0@¹k¡1 +

q(p5¡ 1)2¹2

k + ¹2k¡1

2¹k¡1

1A (25)

Uma vez que a DC é satisfeita, define-se °k = °p+1. Quando se termina uma iteração e deter-

mina-se um novo ponto, o valor de °k é atualizado pela seguinte heurística proposta por Pinheiro [6]:

(i) Se L(!k)¡ L(!k+1) < 0:25, então °k+1 =13°k;

(ii) Se L(!k)¡ L(!k+1) > 0:75, então °k é atualizado pela heurística (25);

(iii) Se 0:25 6 L(!k)¡ L(!k+1) 6 0:75, então °k+1 = °k.

Estratégias para minimização de funções com termos modulares

Seja f : X µ Rn ! R uma função de classe C2 e um problema de minimização da forma:

Minimizar jf(x)jsujeito a x 2 Ð (26)

Neste caso, nota-se que a função objetivo pode ser não-diferenciável, o que impossibilitaria a

utilização de métodos clássicos de otimização. Para resolver este problema, podemos dividir (26) em

dois subproblemas (S1) e (S2):

(S1)Minimizar f(x)sujeito a f(x) > 0

x 2 Ð(S2)

Minimizar ¡f(x)sujeito a f(x) 6 0

x 2 Ð (27)

Os subproblemas apresentados em (27) podem ser resolvidos pelos métodos clássicos de oti-

mização. Assim, um problema não-diferenciável devido a termos modulares pode ser resolvido por

métodos clássicos ao ser decomposto em subproblemas. Uma observação, porém, deve ser feita: esta

estratégia somente é praticável quando a quantidade de termos modulares na função objetivo não for

elevado. Do contrário, um número muito grande de subproblemas pode ter que ser resolvido. Isto nos

incentiva a buscar estratégias para a suavização de funções objetivo que possuam termos modulares.

Dada uma função real f : X µ Rn ! R, sabemos que é válida a identidade:

jf(x)j = f(x) sgn(f(x)) (28)

onde sgn é a função sinal, definida por:

sgn(x) =

8<:

¡1; se x < 00; se x = 01; se x > 0

(29)

Assim, temos uma segunda possibilidade: se pudermos definir uma função diferenciável que

aproxime a função sinal, e quando aplicada em seu lugar em (28) preserve os pontos críticos de jf(x)j, podemos utilizá-la para substituir a função objetivo original por uma função aproximante que é dife-

renciável, o que eliminaria a necessidade de utilizar subproblemas.

Resultados Numéricos: comparação entre as abordagens

Agora, apresentamos os resultados do método proposto com as duas estratégias exibidas (Es-

tratégia 1: dividir em subproblemas e Estratégia 2: utilizar aproximantes da função sinal), quando apli-





cado a um problema de minimização de uma função objetivo com termo modular, com uma restrição

de igualdade. Consideremos o seguinte problema:

Minimizar f(x; y) = sen(xy) +¯x2 ¡ y

¯

sujeito a x2 + y2 = 1x > 0; y > 0

(30)

Na Estratégia 1 (subproblemas), o problema foi decomposto em dois subproblemas. Os pontos

iniciais estão apresentados na linha de iteração 0 na Tabela 1, bem como os valores obtidos para x e y

ao longo do método. As demais variáveis primais e duais foram calculadas assumindo que os resíduos

em (6) são nulos. Os estimadores dos multiplicadores foram considerados como vetores com dimen-

sões apropriadas e componentes todas iguais a 0:1. O valor inicial para o parâmetro de amortecimento

foi °0 = 0:1, enquanto o parâmetro de barreira foi ¹0 = 10, reduzido por um fator ¯ = 0:5. A precisão

de parada foi " = 10¡4. A Figura 1 ilustra o processo de convergência pela Estratégia 2.

Estratégia 1 Estratégia 2 Iteração Subproblema 1 Subproblema 2 Aproximantes

0 0.5

1.5

1.5

1.5

1.5

1.5

1 1.075926125312186

0.829560018485656

1.262454335126105

1.499094727492118

0.804883282329209

0.661327889201212

2 1.075873781532706

0.829581084464079

1.184734107067000

1.347411801046902

0.793068442942678

0.611619881649546

3 0.833749666144623

0.636416935474353

1.082458756358807

1.132304024923858

0.790872571835377

0.611997321565551

4 0.800394140916119

0.623002536173773

0.865953463784116

0.700510047228249

0.788781909511261

0.614682667652779

5 0.786175605404293

0.618300901096026

0.797295974786465

0.614516706575158

0.787655921522910

0.616118118603648

6 0.786112393713429

0.618085103726431

0.786689784623919

0.617500717920390

0.787027746792657

0.616918453161587

7 0.786151195089641

0.618034248293192

0.786168065561941

0.618033107542368

0.786664444222458

0.617381084479440

8 0.786151382345908

0.618033991325456

0.786155565013096

0.618034920390284

Tabela 1. Pontos obtidos pelas estratégias 1 e 2.

Figura 1. Curvas de nível da função objetivo e o processo de convergência: Estratégia 2

Na Figura 1, que representa a Estratégia 2, a curva em verde claro (uma parábola) é o conjunto

dos pontos em que a função objetivo não é diferenciável. O valor da função objetivo original no ponto

ótimo é 0:46826, enquanto a função aproximada vale 0:46688. Além disso, é notável a convergência





da Estratégia 2, quando comparada com a Estratégia 1. Soma-se a isto, o fato de que a Estratégia 1

requer a resolução de dois subproblemas, enquanto a Estratégia 2 resolve o problema original em um

único problema com função objetivo aproximada. Isto é significativo, pois para um problema com n

termos modulares, a Estratégia 1 necessitaria da resolução de 2n subproblemas, o que seria inviável do

ponto de vista prático se n fosse elevado, devido ao tempo computacional envolvido.

Conclusão

Neste trabalho, apresentamos um método primal-dual previsor-corretor de pontos interiores,

que utiliza a função lagrangiana barreira logarítmica modificada com uma estratégia de convergência

global, associado a duas estratégias diferentes para resolução de problemas de otimização com termos

modulares. Uma implementação do método proposto com as duas estratégias, realizada em Matlab

2011, mostrou que a estratégia com aproximantes para a função sinal foi mais eficiente na resolução

de um problema-teste matemático, determinando um ponto de mínimo para o problema e convergindo

em 7 iterações.

Referências [1] BALBO, A. R.; SOUZA, M. A. S.; BAPTISTA, E. C.; NEPOMUCENO, L. Predictor-Corrector Primal-Dual Interior

Point Method for Solving Economic Dispatch Problems: A Postoptimization Analysis. Mathematical Problems in Engi-

neering, vol. 2012, Article ID 376546, 26 pages, 2012.

[2] BAPTISTA E. C. Método da função lagrangiana aumentada-barreira logarítmica para solução do problema de fluxo de potência ótimo. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos,

2001.

[3] BENSON, H. Y.; SHANNO, D. F.; VANDERBEI, R. J. Interior point methods for nonconvex nonlinear programming: Jamming and comparative numerical testing. Operations Research and Financial Engineering Princeton University,

2000.

[4] GRANVILLE, S. Optimal Reactive Dispatch through Interior Point Method. IEEE Transactions on Power Systems,

Vol. 9, n. 1, pp. 136-146, 1994.

[5] PEREIRA A. A. O método da função lagrangiana barreira modificada/penalidade. Dissertação (Mestrado) – Escola de

Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.

[6] PINHEIRO, R. B. N. Um método previsor-corretor primal-dual de pontos interiors barreira logarítmica modificada, com estratégias de convergência global e de ajuste cúbico, para problemas de programação não-linear e não-convexa.

Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia de Bauru, Universidade Estadual Paulista, Bauru, 2012.

[7] POLYAK, R. A. Modified barrier functions. Mathematical Programming, v. 54, n. 2, p. 177 – 222, 1992.

[8] SOUSA, A. V. Resolução do Problema de Fluxo de Potência Ótimo Reativo Via Método da Função Lagrangiana Barreira Modificada. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos,

2006.






UMA INTRODUÇÃO AO CÁLCULO FRACIONÁRIO

APLICADO A BIOMATEMÁTICA

Arianne Vellasco Gomes1*, Najla Varalta

1, Rubens de Camargo Figueiredo

2 e Paulo Fernando

de Arruda Mancera¹. 1Dep. de Bioestatística, IB, UNESP, Botucatu, SP;

2Dep. de Matemática, FC, UNESP, Bauru, SP

* [email protected]

Palavras-chave: Modelagem matemática; cálculo fracionário; Sistema de Lotka-Volterra.

Resumo

A arte de obter uma equação diferencial cuja solução descreva bem a realidade traz consigo

uma enorme dificuldade, nas palavras de Albert Einstein “Toda nossa ciência, medida contra

a realidade, é primitiva e infantil e ainda assim a coisa mais preciosa que temos”. De

maneira geral, quanto mais próximos estamos de descrever perfeitamente um fenômeno, mais

complexas são as equações relativas a ele. Neste contexto, o cálculo de ordem não-inteira,

tradicionalmente conhecido como fracionário, desempenha um papel de enorme destaque. No

presente trabalho estudamos o sistema de Lotka-Volterra em sua versão fracionária, isto é,

substituímos a derivadas ordinárias do sistema clássico por derivadas de ordem não inteira,

segundo a definição de Caputo, onde se obteve a solução do sistema linear generalizado e

não do sistema generalizado. O objetivo de se obter a solução do sistema linear generalizado

é refinar a descrição de um fenômeno através da utilização do cálculo fracionário, por

exemplo, em trabalho futuro, pretendemos refinar um modelo matemático de câncer com

tratamento quimioterápico, em que o crescimento das populações é logístico.

1. Introdução

A motivação para estudar equações diferenciais é buscar compreender o processo físico

que se acredita ser inerente à equação estudada. Estudar de forma detalhada equações diferenciais

simples muitas vezes nos leva a desenvolver e compreender processos complexos e detalhistas.

De maneira geral, quanto mais próximos estamos de descrever um fenômeno, mais

complexas são as equações relativas a ele. Neste contexto, o cálculo de ordem não inteira,

tradicionalmente conhecido como Cálculo Fracionário, isto é, o estudo de integrais e derivadas de

ordens não inteira, desempenha um papel de enorme destaque. São inúmeros os problemas que

quando descritos em termo de equação diferencial de ordem não inteira, fornecem uma descrição

mais precisa que a da equação usual, tais como, probabilidade, biomatemática, psicologia, funções

especiais, mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte e redes elétricas [1,2,3,4].

No presente trabalho, estudamos o sistema de Lotka-Volterra, que além de descrever as

interações entre uma população de presas e uma população de predadores, pode descrever uma

série de aplicações em biologia, como por exemplo, os modelos parasita-hospedeiro, crescimento






de plantas e as interações planta-herbívoro, genética de populações e teoria dos jogos

evolucionários, evoluções dinâmicas de mutualismo, controle biológico de pragas, de maneira

geral equações ecológicas tanto para o sistema de árvore quanto para sistemas de ciclo [3].

Este modelo possui algumas restrições, do ponto de vista da modelagem. Pensando

especificamente no sistema presa-predador, o sistema apresenta as seguintes simplificações: 1) a

população de presas cresce exponencialmente na ausência do predador; 2) a população de

predadores morre de fome na ausência da presa (ao invés de buscar uma nova espécie de presa);

3) predadores podem comer uma quantidade ilimitada de presas e 4) não há complexidade

ambiental (isto é, ambas populações estão se movendo aleatoriamente em um meio homogêneo).

A fim de amenizar os efeitos destas simplificações propomos e resolvemos a versão fracionária do

sistema, i. e., substituímos as derivadas de ordem um presentes no sistema por derivadas

fracionárias, no sentido de Caputo, de ordem ecom ≤ 1, e com isso obtemos uma

descrição mais precisa dos eventos por ele modelados.

2. Modelo de Lotka-Volterra

O modelo conhecido como ‘equações presa-predador’ ou `equações de Lotka-Volterra'

engloba duas populações em um mesmo ambiente, onde uma é considerada a presa e a outra a

predadora. Neste considera-se que as chances de encontro entre presas e predadores são iguais,

entretanto estes encontros eventuais se devem a proporcionalidade do tamanho das populações,

dessa forma a população de predadores se beneficia com fartura de presas e, de mesma forma,

com o aumento da população de predadores a população de presas é prejudicada.

No sistema supõe-se que estando os predadores ausentes, a população de presas x(t), num

determinado tempo, crescerá de forma exponencial; e, se supormos falta de alimento, ou seja que

há ausência de presas, teremos que a população de predadores y(t) decrescerá de forma

exponencial num determinado tempo. O sistema de Lotka-Volterra é dado por:

Em que a representa a taxa de natalidade de x(t) na ausência dos predadores; b a taxa de

sucesso dos ataques de y(t); c a taxa de mortalidade de y(t) na ausência de presas, e d a taxa de

mortalidade de x(t) que auxiliarão na ‘produção’ de y(t).






Este sistema possui dois pontos críticos, o ponto Q(c/d,a/b) que representa o equilíbrio de

predadores e presas, que é o ideal para o sistema e o ponto P(0,0), que não será discutido pois é

ponto de sela, onde, dado que a população de predadores é zero se tem que a população de presas

cresce de forma exponencial, de mesma forma, quando a população de presas é zero se tem que a

população de predadores decrescerá de forma exponencial chegando a extinção, e esta definição

não gera um ciclo que é característica do sistema [3].

Fazendo as mudanças u = x - c/d, v = y - a/b, isto é, transladando o sistema para o ponto

crítico obtem-se que a interferência dos termos não lineares (uv) é praticamente o zero, tem-se que

o sistema linearizado é:

e, verificou-se que a solução do sistema linearizado representa elipses centradas no ponto crítico

como trajetórias, ou seja, as trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de nível da função f(x,

y).

Ao resolver o sistema dividindo a segunda equação pela primeira, nas variáveis x e y, com

K constante, encontra-se as trajetórias do sistema original [3]:

Modelo de Lotka- Volterra fracionário

Conforme vimos, o modelo tem sérias restrições, do ponto de vista da modelagem: a

população de presas cresce exponencialmente na ausência do predador; a população de predadores

morre na ausência da presa (ao invés de buscar uma nova espécie de presa); predadores podem

comer uma quantidade infinita de presas e não há complexidade ambiental (isto é, ambas as

populações estão se movendo aleatoriamente em um meio homogêneo). A fim de diminuir o

efeito destas simplificações, e com isso resolver a versão fracionária do sistema de Lotka-

Volterra, utilizando o procedimento descrito na introdução para obtermos a solução da equação

diferencial fracionária e da `linearização' [3].

No sistema de Lotka-volterra, de ordem inteira, substituímos as derivadas ordinárias

presentes na equação por derivadas de ordem , onde são número reais entre zero e






um, ou seja, com a, b, c e d constantes positivas e as derivadas

fracionárias são tomadas no sentido de Caputo. Logo o sistema não linear fracionário é [3]:

Neste sistema percebe-se que as derivadas são de ordem distintas e foi definido desta

forma para diminuir o efeito da restrição `não há complexidade ambiental'. A dimensão do

sistema é obtida somando as duas ordens da derivada do sistema, ou seja, . De maneira

análoga à feita anteriormente introduziu-se variáveis para equilibrar o sistema, substitui-se u = x -

c/d, v = y - a/b. Com isso optou-se trabalhar com o cálculo fracionário no sistema linearizado,

pois precisa-se descobrir o comportamento do sistema em torno do ponto de equilíbrio e avaliar

tal ponto. Vamos utilizar a derivada fracionária no sentido de Caputo [3].

Para resolver este sistema utiliza-se da transformada de Laplace, lembrando que

são, respectivamente, as populações iniciais de presa e predador. Então,

Sabe-se que , assim para recuperar a solução do sistema

utiliza-se a transformada de Laplace inversa.

Análise dos Resultados

Para esclarecer o modelo apresentado observou-se o sistema, substituindo a = 2, b = 3/2, c

= 2 e d = 1/2 e consideramos que x(0) = 1000 e y(0) = 150. Cada curva é uma combinação dos

parâmetros , que enunciam a derivada fracionária de x(t) e y(t). Com isso pode-se verificar,

nos gráficos, que os valores de interferem no quão rápido a curva se aproxima do ponto

crítico Q(4,4/3). Nos gráficos abaixo observa-se que para = 1 voltamos a solução do






sistema de Lotka-Volterra de ordem inteira, ou seja, que a curva é uma elipse centrada no ponto

de equilíbrio Q; e que quando reduz-se a dimensão do sistema, há uma aceleração na

convergência para o ponto Q [3] Devemos interpretar que estando os predadores ausentes, toda

vez que a curva toca o eixo x, a população de presas x(t), num determinado tempo, crescerá de

forma exponencial; e, se supormos falta de alimento, toda vez que a curva toca o eixo y, ou seja

que há ausência de presas, teremos que a população de predadores y(t) decrescerá de forma

exponencial num determinado tempo. E, a solução numérica nos conduz a acreditar que se a

dimensão do sistema for menor que 1.8 se tem uma vantagem comparando com a solução de

ordem inteira, pois observa-se que as populações não se extinguem. Assim, podemos concluir que

a solução fracionaria nos fornece uma descrição do fenômeno melhor que ou igual à de ordem

inteira [3].

Bibliografia

[1] R. Figueiredo Camargo, E. Capelas de Oliveira and F. A. M. Gomes, The Replacement of Lotka-

Volterra Model by a Formulation Involving Fractional Derivatives, R. P. 10/07, (2007).

[2] R. Figueiredo Camargo, Ary O. Chiacchio and E. Capelas de Oliveira, Differentiation to Fractional

Orders and the Fractional Telegraph Equation, J. Math. Phys., 49, 033505, (2008)

[doi:10.1063/1.2890375].

[3] R. Figueiredo Camargo, Cálculo Fracionário e Aplicações, Tese de Doutorado, Unicamp,

Campinas, (2009)

[4] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Mathematics in Scienc and Engineering, Vol.198,

Academic Press, San Diego, (1999).

Introducao ao Calculo Fracionario Aplicado a Biomatematica

Najla Varalta, Arianne Vellasco, Fernando L. P. dos Santos

Depto. de Bioestatıstica, IBB, UNESP,

18618-970 - Botucatu, SP

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected],

Rubens de Figueiredo Camargo,

UNESP - Depto. de Matematica

Campus Bauru

17033-360, Bauru, SP

E-mail: [email protected].

Palavras-chave: Biomatematica, Calculo Fracionario, Equacao Logıstica.

Resumo: Neste trabalho, com o intuito de refinar a solucao dada pela classica equacao logıstica

e ampliar o seu campo de aplicacoes no estudo de dinamicas tumorais, propomos e resolvemos

uma generalizacao para a mesma, utilizando o assim chamado Calculo Fracionario, isto e, subs-

tituiremos a derivada de ordem 1 presente na equacao ordinaria por uma derivada de ordem

nao inteira 0 < α ≤ 1. Por fim, analisamos a aplicabilidade deste modelo para a descricao do

crescimento de tumores de cancer.

1 Introducao

Estudar metodos para resolver equacoes diferenciais e de grande valia pois mesmo as maissimples, correspondem a modelos fısicos uteis. Contudo, obter uma equacao diferencial cujasolucao descreva bem a realidade se torna complexo devido ao numero de variaveis envolvidas ea complexidade das equacoes.

Neste sentido, o assim chamado Calculo Fracionario, que e o estudo de integrais e derivadasde ordens nao inteiras, vem desempenhado um papel de grande destaque. Sao inumeros os pro-blemas que, quando descritos em termos de equacoes diferenciais de ordem nao inteira, oferecemuma descricao mais precisa da realidade [3, 5].

O intuito deste trabalho e apresentar a solucao fracionaria da equacao logıstica e com isto,analisar esta versao fracionaria aplicada a dinamica tumoral.

2 Metodologia

Neste trabalho, iremos utilizar a metodologia das transformadas integrais, isto e, iremos aplicara transformada de Laplace na equacao, obtendo assim uma equacao algebrica, resolver estaequacao e, atraves da transformada de Laplace inversa, vamos recuperar a solucao do problemade partida.

Por outro lado, a equacao logıstica foi publicada em 1838 por Pierre Francois Verhulst paramodelar o crescimento da populacao mundial e baseou-se na avaliacao de estatısticas popula-cionais disponıveis, complementando a teoria do crescimento exponencial de Thomas RobertMalthus. Contudo, este modelo nao e adequado para casos em que o recurso e abundante, ou

seja, a populacao crescera ilimitadamente, sem nenhuma capacidade suporte, sendo, neste caso,mais adequado o modelo malthusiano [8].

No caso da dinamica tumoral, a saturacao observada no crescimento de varios tipos detumores nao e bem modelado pelo modelo exponencial. Por este motivo, este modelo se aplicaapenas para tumores avasculares, isto e, quando a angiogenese nao tenha ocorrido, os quaissegundo Kerbel, possuem em torno de 1 a 2 mm de diametro no maximo [6, 7].

De fato, as celulas tumorais competem entre si por oxigenio e por recursos vitais. Foi propostoum modelo de dinamica populacional que aborda tal interacao por Lotka [4] e Verhulst [8]. Estemodelo, conhecido como Equacao Logıstica, e expresso por:

d

dtN(t) = kN(t)

[

1−N(t)

r

]

. (1)

Na qual N(t) e numero de celulas tumorais no tempo t, k e a constante de proporcionalidadeem que k > 0 e taxa de crescimento intrınseca na qual as celulas se dividem, r > 0 e a capacidade

suporte da populacao tumoral e(

1− N(t)r

)

representa a competicao intraespecıfica.

A solucao da equacao (1) e dada por:

N(t) =r

1 +[

rN(0) − 1

]

e−kt.

Note que limt→+∞N(t) = r, indicando assim, a saturacao de crescimento. Para r ≫ N eN/r ≪ 1, a equacao (1) reduz-se a:

d

dtN(t) = kN(t). (2)

A equacao (2) representa o crescimento exponencial pois nao ocorre angiogenese em umtumor em estagio inicial, considerando-o constituido de uma unica populacao celular. Pode-seassim, assumir que sua taxa de crescimento e proporcional ao numero de celulas tumorais N(t).

3 Calculo Fracionario

A fim de apresentar a versao fracionaria da equacao (1), apresentaremos algumas definicoes eresultados importantes.

3.1 Definicao funcao Gel’fand-Shilov

Sejam n um numero natural e ν um numero nao-inteiro, definimos a funcao Gel′fand− Shilovde ordem n e ν respectivamente como:

φn(t) =

tn−1

(n − 1)!se t ≥ 0

0 se t < 0.e φν(t) =

tν−1

Γ(ν)se t ≥ 0

0 se t < 0.

Assim, a transformada de Laplace e expressa por:

L[φν(t)] =

∫

∞

0e−st t

ν−1

Γ(ν)dt =

1

Γ(ν)

∫

∞

0e−a

(a

s

)ν−1 da

s=

s−ν

Γ(ν)

∫

∞

0e−aaν−1da = s−ν, (3)

na qual a segunda igualdade e devida a mudanca de variavel (st = a) e a ultima igualdade adefinicao da funcao gama Γ(z) 1.

1Γ(z) e denotada por:

Γ(z) =

∫∞

0

e−t

tz−1

dt, (4)

com Re(z) > 0, a integral e convergente.

3.2 Funcao de Mittag-Leffler de Dois Parametros

Esta funcao e definida como[1, 2]:

Eα,β(z) =

∞∑

k=0

zk

Γ(αk + β). (5)

Sendo α > 0 e β > 0.Com isto,temos a seguinte relacao:

Eα,α+1(−ktα) =−1

ktα[−1 + Eα(−ktα)]. (6)

A transformada de Laplace da funcao tβ−1Eα,β(atα), e dada por:

L

[

tβ−1Eα,β(±atα)]

=sα−β

sα ∓ a. (7)

3.3 Integral Fracionaria

Definicao: Sejam n ∈ N e f(t) : R → R uma funcao integravel. Denotamos o Operador Integral

I e In de ordens 1 e n respectivamente como:

If(t) =

∫ t

0f(t1) dt1 e Inf(t) =

∫ t

0

∫ t1

0

∫ t2

0· · ·

∫ tn−1

0f(tn) dtn dtn−1 . . . dt2 dt1.

Teorema: Para f(t) : R → R integravel, definimos a Integral de ordem n como produto deConvolucao, do seguinte modo:

Inf(t) = φn(t) ∗ f(t) =

∫ t

0φn(t− τ)f(τ) dτ =

∫ t

0

(t− τ)n−1

(n− 1)!f(τ) dτ. (8)

Definicao: Seja f(t) uma funcao integravel, a integral de ordem fracionaria ν de f(t) segundoRiemann-Liouville, denotada por Iνf(t), e expressa por:

Iνf(t) = φν(t) ∗ f(t) =

∫ t

0

(t− τ)ν−1

Γ(ν)f(τ) dτ. (9)

3.4 Derivada Fracionaria de Caputo.

Definicao: Sejam f(t) uma funcao diferenciavel, m ∈ IN e α 6∈ IN tais que m− 1 < Re(α) < m,temos:

Dαf(t) = Im−α Dmf(t) = φm−α(t) ∗Dmf(t). (10)

A partir das definicoes (8) e (10), temos que a transformada de Laplace e dada por:

L[Dαf(t)] = L[φm−α ∗Dmf(t)] = L[Φm−α(t)]L[Dmf(t)] = sα−m

L[Dmf(t)]. (11)

4 Equacao Logıstica Fracionaria

Com os resultados apresentados acima e tomando sem perda de generalidade r = 1, queremos asolucao para a equacao logıstica fracionaria:

dα

dtαN(t) = kN(t) [1−N(t)] , (12)

na qual 0 < α ≤ 1 (e consequentemente m = 1). Inicialmente vamos utilizar a mudanca devariavel v(t) = 1/N(t) na equacao (1), de modo a obter a seguinte equacao linear :

dv(t)

dt= k[1− v(t)].

Vamos substituir a derivada ordinaria da equacao anterior por uma derivada fracionaria segundoCaputo de ordem α e depois tomar a mudanca de variavel N(t) = 1/v(t) para termos a solucaoda equacao logıstica fracionaria (12), isto e, vamos resolver a equacao;

dαv(t)

dtα= Dαv(t) = k[1− v(t)]. (13)

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados, segue

L [Dαv(t)] = kL [1− v(t)] .

Utilizando a equacao (11), com m = 1 (ja que 0 < α ≤ 1) temos:

sαF (s)− sα−1v(0) = k

[

1

s− F (s)

]

⇒ F (s) = k

[

s−1

sα + k

]

+ v(0)

[

sα−1

sα + k

]

,

na qual F (s) = L[v(t)].

Assim, temos:

v(t) = L−1

L [v(t)] = L−1 [F (s)] = kL−1

[

s−1

sα + k

]

+ v(0)L−1

[

sα−1

sα + k

]

.

A partir disso, pelo resultado das equacoes (7) e (6) respectivamente, temos:

v(t) = tαkEα,α+1(−ktα) + v(0)Eα(−ktα) ⇒ v(t) = 1 + Eα(−ktα)[v(0) − 1].

Uma vez que tomamos v(t) = 1/N(t), obtemos:

N(t) =1

1 +[

1N(0) − 1

]

Eα(−ktα)·

Note que, limα→1

N(t) =1

1 +[

1N(0) − 1

]

e−kt, ou seja, a solucao de ordem inteira e um caso

particular da solucao da equacao fracionaria.

Apresentamos a seguir o grafico da solucao da equacao (12), tomando N(0) = 0.2 e acapacidade suporte r = 1, para diferentes valores de α, temos:

0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

=1

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

N(t)

α

α

α

α

α

k

Figura 1: Solucao da equacao (12), em N(t).

Como limt→∞Eα(−ktα) = 0 para todos os valores de 0 < α ≤ 1, temos

limt→∞

N(t) = limt→∞

1

1 +[

1N(0) − 1

]

Eα(−ktα)= 1.

5 Conclusao

Este trabalho evidencia a importancia do calculo fracionario para generalizar e refinar a solucaoda conhecida equacao logıstica, uma vez que a solucao da equacao fracionaria tem, como casoparticular, a solucao do modelo classico podemos concluir que o modelo fracionario oferece umadescricao melhor que ou igual a do classico. Notamos que a medida que a ordem da derivadadiminui a convergencia para o valor de suporte torna-se mais lenta. Esta convergencia menosacelerada para o valor de suporte condiz com o crescimento de alguns tipos de tumor de cancer[6, 7] o que torna esta equacao bastante relevante para o estudo de dinamicas tumorais, umavez que alem de contemplar a competicao entre as celulas tumorais por recursos vitais ela preveque o tamanho maximo de um tumor leva mais tempo para ser atingido.

Uma continuacao natural deste trabalho e estudar o sistema apresentado por Rodrigues [6, 7]na versao fracionaria, uma vez que sabemos o comportamento do crescimento tumoral e ja odescrevemos no modelo fracionario, iremos analisar o crescimento ou decrescimento de tumoresde cancer sobre a acao de agentes quimioterapicos.

6 Agradecimentos

Agradecemos a Capes por ter financiado parte do projeto e aos amigos Diego e Paulo [6, 7] porimportantes e profıcuas discussoes.

Referencias

[1] E. Capelas de Oliveira, Funcoes Especiais com Aplicacoes, Editora Livrariada Fısica, SaoPaulo, (2005).

[2] R. F. Camargo, E. C. Oliveira e Ary O. Chiacchio, Sobre a Funcao de Mittag-Leffler, R. P.15/06, (2006).

[3] R. F. Camargo, Calculo Fracionario e Aplicacoes, Tese de Doutorado, IMECC, UNICAMP,(2009).

[4] A. Lotka, Meeting on the problem o forecasting city populations with special reference toNew York city, Journal of the American Statistical Association,20, (1925).

[5] Igor Podlubny, Fractional Differential Equation - An Introduction to Fractional Derivates,

Fractional Differential Equations, to Methods os their Solution and some of their Applica-

tions, Vol. 198, Academic Press, San Diego , (1999).

[6] D.S. Rodrigues, Modelagem matematica em cancer: dinamica angiogencia e quimioterapia

anti-neoplasica. Dissertacao de Mestrado,UNESP, IBB,(2011).

[7] D.S. Rodrigues, P. F. A. Mancera, Suani T. R. Pinho Modelagem Matematica em Cancer

e quimioterapia: uma introducao, Notas em Matematica Aplicada, SBMAC, Sao Carlos -SP, Brasil, Volume 58, e-ISSN 2236-5915, 2011.

[8] P. F. Verhulst, Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement, Corres-pondance mathematique et physique, 10, 113-121,(1838).

MODULOS E RESOLUCOES LIVRES

Taısa Fernanda de Lima Quemel, Cristiane Alexandra Lazaro

Campus de Bauru, Faculdade de Ciencias, Licenciatura em Matematica,

[email protected].

Palavras chave: homomorfirmos; modulos; resolucoes

Keywords: homomorfirms; modules; resolutions

1 Introducao

O estudo de modulos e bastante importante em diversas areas da Matematica, sendo as

resolucoes livres e projetivas essenciais na teoria de homologia e cohomologia de grupos dentro da

Algebra Homologica, oferecendo um grande numero de possibilidades de interacao entre Algebra

e Topologia Algebrica. A Topologia Algebrica e um ramo bastante interessante da Matematica

que esta na interseccao da Algebra e da Geometria e possui aplicacoes em diversas areas da

Matematica.

2 Objetivo

Apresentaremos os conceitos de modulos, modulos livres, resolucoes e diversos exemplos de

resolucoes livres, assim como resultados relacionados a estes.

3 Resultados

Iniciamos com o estudo de modulos, modulos livres e resolucoes, apresentando exemplos e

resultados importantes.

Seja R um anel comutativo com unidade 1 6= 0.

Definicao 3.1 Um R-modulo e um grupo abeliano aditivo M munido de uma aplicacao de

R×M em M , (r, a) 7→ ra, tal que, para todo r, s ∈ R; a, b ∈M :

M1. (r + s)a = ra+ saer(a+ b) = ra+ rb

M2. r(sa) = (rs)a

M3. 1a = a

Exemplo 3.2 R e um R-modulo.

Exemplo 3.3 Todo grupo abeliano e um ZZ-modulo.

Definicao 3.4 Um subconjunto N nao-vazio de um R-modulo M e um R-submodulo se N e

um subgrupo aditivo de M e rb ∈ N , para todo r ∈ R e b ∈ N .

Definicao 3.5 Um R-modulo M e a soma direta dos R-modulos N1 e N2, o que se denota por

M = N1⊕N2, se N1 ∩N2 = {0} e M = {a+ b|a ∈ N1, b ∈ N2}. Nesse caso, N1 e dito somando

direto do modulo M .

Definicao 3.6 Consideremos os R-modulos M e N . Uma aplicacao f : M → N e um R-

homomorfismo se f(u+ v) = f(u) + f(v) e f(ru) = rf(u), para todo u, v ∈M e r ∈ R.

Definicao 3.7 Seja R um anel comutativo com unidade. Um R-modulo livre no conjunto S

e um R-modulo F com a funcao f : S → F tal que, para toda funcao g: S → X, sendo X

um R-modulo, existe um unico homomorfismo h: F → X tal que a relacao de comutatividade

h ◦ f = g e verdadeira no seguinte triangulo:

-S F

SSSw

��/

X

f

g h

Teorema 3.8 (Teorema da Existencia) Para todo conjunto S, sempre existe um R-modulo livre

F sobre S.

Neste caso, dizemos que F e gerado pelo conjunto S e S e chamado base de F .

Sao validos os seguintes resultados relacionados aos modulos livres:

Teorema 3.9 F e um R-modulo livre sobre S se, e somente se, F '⊕s∈S

Xs , onde cada Xs ' R.

Teorema 3.10 Todo modulo sobre R e isomorfo a um quociente de um modulo livre.

Corolario 3.11 Um modulo X sobre R tem uma base se, e somente se, X e livre.

2

Escrevemos uma sequencia finita ou infinita de homomorfismos de R-modulos da seguinte

forma:

. . . −→ Xf−→ Y

g−→ Z −→ . . .

Deste modo, para cada modulo que nao esteja nos extremos da sequencia, por exemplo, para

o Y desta sequencia, existe um homomorfismo f indo para Y e um homomorfismo g saindo de

Y . Definimos f como sendo o homomorfismo de entrada e g como sendo o homomorfismo

de saıda da sequencia no modulo Y .

Definicao 3.12 Uma sequencia exata de R-modulos e uma sequencia, como definida anterior-

mente, tal que a imagem do homomorfismo de entrada coincide com o Kernel do homomorfismo

de saıda em todos os modulos, exceto nos extremos da sequencia.

Agora, com os conceitos de modulos livres e sequencia exata, podemos definir as resolucoes

livres, principais objetos de nosso estudo.

Definicao 3.13 Seja X um R-modulo arbitrario. Uma resolucao de X sobre R, ou uma R-

resolucao de X, e uma sequencia exata de R-modulos

C : . . . - Cn+1-

∂n+1Cn

-∂n

Cn−1 -∂n−1

. . . ,

a qual satisfaz as seguintes condicoes:

(R1) C−1 = X

(R2) Cn = 0,∀n < −1

Equivalentemente, podemos escrever esta definicao da seguinte forma: uma resolucao de X

sobre R, ou uma R-resolucao de X, e uma sequencia exata de R-modulos

C : . . . −→ C2∂2−→ C1

∂1−→ C0ε−→ X −→ 0.

Definicao 3.14 A aplicacao ε : C0 → X e chamada aplicacao aumentacao. Se cada Ci e

livre, dizemos que a resolucao e livre.

Notacao: ε : C → X denotara uma resolucao de X.

4 Conclusoes

Dado uma R-modulo M sempre podemos construir uma resolucao livre de M sobre R. O

R-modulo M pode admitir muitas resolucoes livres.

Veremos que todas as resolucoes livres de um R-modulo M sao homotopicamente equivalentes.

Apresentaremos diversos exemplos de resolucoes e resultados relacionados as resolucoes livres.

3

Referencias

[1] K. S. Brown, Cohomology of Groups, Springer-Verlag., New York, 1982.

[2] S. T. Hu, Introduction to Homological Algebra, Holden-Day, San Francisco, 1968.

[3] S. Maclane, Homology, Academic Press, Berlin, 1967.

[4] J.J. Rotman, Homological Algebra, Van Nostrand, 1970.

4






MODELOS ALGÉBRICOS PARA A LÓGICA PROPOSICIONAL

Vitor Tadeu Fracaroli Rocha, Marcelo Reicher Soares

Bauru, Faculdade de ciências, Licenciatura em Matemática,[email protected]

Palavras chaves: Cálculo Proposicional, Reticulados, Algebras de Lindenbaum.

Resumo

Neste trabalho estudamos alguns conceitos do campo da lógica matemática e outros da

álgebra, de posse de tais conceitos estabelecemos as conexões entre essas duas importantes

áreas de pesquisa. Assim é que introduzimos o conceito de álgebra de Boole das partes de um

conjunto; estudamos alguns conceitos fundamentais de topologia e da álgebra de abertos de

um espaço topológico; fazemos uma discussão da operação lógica da implicação, buscando

isolar algumas de suas propriedades usuais. Realizamos, ainda, um estudo dos conceitos de

reticulados, álgebras de Boole e Heyting e dos elementos iniciais para um cálculo

proposicional. A partir destes elementos buscaremos estabelecer uma “algebrização” dos

cálculos proposicionais, clássico e intuicionista.

Introdução

A estrutura mais importante para a ligação entre álgebra e lógica é o conceito de reticulado,

este pode ser pensado como um conjunto L, que é parcialmente ordenado, e no qual, qualquer

subconjunto de dois elementos possui supremo e ínfimo em L. Se exigirmos que o reticulado

seja distributivo e complementado, com 0 e 1 estabelecemos o que chamamos de álgebra de

Boole, já se ele for distributivo, tiver 0 e 1 bem como uma nova operação, a implicação,

obtemos uma álgebra de Heyting.

Para determinarmos as conexões entre o cálculo proposicional e a álgebra partimos de um

sistema lógico e sua álgebra das fórmulas, buscamos uma relação de equivalência adequada,

compatível com as noções lógicas em consideração, tomamos a estrutura cujos elementos são

as classes de equivalência da relação considerada obtendo um sistema que algebriza a lógica

em estudo. No caso do cálculo proposicional clássico, resulta deste processo uma álgebra de






Boole, já para o cálculo proposicional intuicionista resulta uma álgebra de Heyting.

Observemos que estas duas álgebras são conhecidas como álgebras de Lindenbaum.

Resultados e Discussões

O estudo da álgebra de Boole tem início considerando-se um conjunto X ≠ Ø e o conjunto de

suas partes, P(X), neste definimos três operações: união, intersecção e complementação. Tais

operações satisfazem as leis comutativas, associativas, distributiva, a absorção e a

complementaridade. A partir disso, dizemos que P(X) é uma álgebra de Boole.

O conceito de espaço topológico envolve um conjunto X ≠ Ø e a escolha de um subconjunto

A(X) do conjunto das partes, para o qual a intersecção finita, bem como a união arbitrária de

elementos de A(X) pertencem à A(X), além de X e Ø.

O par (X, A(X)) é chamado espaço topológico e os elementos de A(X) são chamados abertos

do espaço topológico. Notamos que em A(X) continuam válidas a comutatividade, a

associatividade, a absorção e a distributividade. Por outro lado, uma vez que o complementar

de um aberto nem sempre é um aberto, segue que a operação de complementação, definida em

P(X), não é necessariamente fechada quando restrita à A(X).

É interessante notar que alguns resultados e conceitos envolvendo espaços topológicos tais

como: o fecho de um subconjunto B ser o menor fechado que contém B, e o interior de um

subconjunto B ser o maior aberto contido em B, terão, mais tarde, “traduções” para os

fundamentais conceitos de supremo e ínfimo, estes no contexto de conjuntos parcialmente

ordenados como são os reticulados.

No que diz respeito à implicação, dados dois enunciados e , podemos compor um

terceiro, que denotamos e que nos levam a questionamentos em torno de avaliar a

validade de a partir da validade ou não de e . Um raciocínio básico que deve ser

satisfeito é aquele no qual se tivermos como válidos e então, necessariamente,

devemos ter válido também (Modus Ponens). Se associarmos a cada enunciado um

“valor verdade”, ][ , que pode ser 1 se é verdadeira ou 0 se for falsa, teremos um

critério razoável para dizer que afirmará 1][ , quando ][][ . Para o conectivo

temos que 1][ se, e somente se, 1][][ , assim, ]}[,]inf{[][ e






indicamos ][][][ . Segue que se e são enunciados, então o enunciado

tem as seguintes propriedades:

a) ][][][ ;

b) Para todo , ][][ se, e somente se, ][][][ .

O importante conceito de reticulado pode ser definido como um conjunto L , em que estão

definidas duas operações binárias, e , de modo que Lzyx ,, temos que são válidas as

leis comutativa, associativa e a absorção.

Observemos que num reticulado, temos uma relação, indicada , para a qual

yyxyx . Tal relação é uma ordem parcial. Decorre desta ordem parcial as

definições de supremo, ínfimo, máximo, mínimo, limitante superior e inferior. Além disso, é

possível demonstrar que em um reticulado qualquer L , para quaisquer dois elementos

Lyx , vale:

i) yxyx },sup{ ;

ii) yxyx },inf{ .

Segue que é possível inferir que um reticulado pertence à classe de todos os conjuntos

parcialmente ordenados X , para os quais Xyx , , existem },sup{ yx e },inf{ yx . Na

verdade existe uma equivalência entre os dois conceitos pois, se X é um conjunto

parcialmente ordenado no qual Xyx , existem },sup{ yx e },inf{ yx é possível definir

(usando as relações dadas em i) e ii) acima) operações que fazem desse conjunto um

reticulado.

Um reticulado L tem zero se existe Lmin (neste caso denotamos Lmin0 ) e tem unidade

se existe Lmax (neste caso denotamos Lmax1 ). Dado um elemento Lx , definimos o

pseudocomplemento de x , denotado x~ , por }0:max{~ yxLyx e o complemento

de x , quando existir, será o elemento Ly tal que 0 yx e 1 yx .

A partir dessas considerações podemos definir uma álgebra de Boole como sendo um

reticulado distributivo com 0 e 1 complementado.

Seja L um reticulado pseudocomplementado. Um elemento Lx é:

1) Regular, se xx ~~ ;






2) Denso, se 1~~ x .

Se Lyx , , dizemos que x é denso em y se yx ~~~~ . Indicamos por Reg(L) o

conjunto dos elementos regulares de L . Observe-se que 1,0 Reg(L) e que, para todo Lx ,

temos x~ , x~~ Reg(L). Em Reg(L) definimos duas operações e , da seguinte

forma: para ba, Reg(L), ba é a mesma operação que em L e )(~~ baba .

Assim, temos que 1,0,,,)(Re Lg é uma álgebra de Boole, na qual, para todo

a Reg(L), seu complemento é a~ Reg(L).

Considerando reticulados distributivos com 0 e 1, um subconjunto não vazio I contido em

L , é um ideal se:

I 1. Lyx , , Iyx , implica Iyx ;

I 2. Lyx , , Ix e xy implicam Iy .

Já um subconjunto não vazio F contido em L , é um filtro se:

F 1. Lyx , , Fyx , implica Fyx ;

F 2. Lyx , , Fx e yx implicam Fy .

Se F é um filtro de L podemos, a partir dele, definir uma relação de equivalência. As

classes de equivalências produzidas a partir de tal relação formam um conjunto ao qual

podemos dar uma estrutura de reticulado distributivo com 0 e 1.

É interessante observar que em geral um ideal não produz uma congruência em relação ao

pseudocomplemento.

As álgebras de Heyting são um tipo de algebrização da álgebra de abertos de um espaço

topológico. Do ponto de vista que adotamos, ela é um reticulado distributivo com 0 e 1 e que

possui mais uma operação, a implicação, denotada por →. Assim, se L é um reticulado

distributivo com 0, no qual Lyx , existe }/max{ yxzLz em L , indicamos este

elemento por yx , e L será uma álgebra de Heyting.

As noções de filtro e ideal que discutimos anteriormente passam sem modificações para as

álgebras de Heyting: HF é um filtro (ideal) na álgebra de Heyting H se, e somente se,

F é um filtro ou ideal com H considerado um reticulado. Como, as álgebras de Heyting têm






mais estrutura, filtros têm propriedades mais fortes, e a noção de homomorfismo muda para se

adaptar à nova operação .

Um cálculo proposicional é uma tentativa de formalizar as leis do raciocínio. Para construir

um cálculo proposicional precisamos, inicialmente, de um conjunto S ao qual associamos

uma linguagem proposicional, denotada por L . Esta é composta por: um alfabeto; fórmulas

atômicas (isto é, os elementos de S ); conectivos proposicionais; símbolos lingüísticos; e um

conjunto de fórmulas, denotado For(L), para o qual todo seu elemento ou é uma fórmula

atômica ou é do tipo ~ , , , , em que e são fórmulas.

Com a linguagem L podemos montar vários cálculos proposicionais, cada um deles

especificado por um conjunto de fórmulas básicas ou axiomas, e um conjunto de regras de

como inferir fórmulas (regras de dedução). Analisaremos dois deles, um chamado cálculo

proposicional clássico e outro cálculo proposicional intuicionista. Estes se distinguem pelos

axiomas, e têm, ambos, uma única regra de dedução a “Modus Ponens”: se e são

fórmulas, podemos inferir de e .

Conclusões

O trabalho deixa claro algumas surpreendentes e profundas relações existentes entre a lógica e

a álgebra.

Bibliografia

[1] F.Miraglia, Cálculo Proposicional Clássico: Uma interação da Álgebra e da Lógica-

Coleção CLE. , Campinas, 1987.

[2] H.A. Feitosa e L. Paulovich, Um prelúdio à lógica, Editora UNESP, São Paulo, 2005.

[3] E.L. Lima, Elementos de topologia geral, Editora SBM, Rio de Janeiro, 2009.

c a d e r n o d e r e s u m o s · em que: e são os vetores multiplicadores de lagrange; é o...

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