REFLEXÕES DA DOCÊNCIAREFLEXÕES DA DOCÊNCIA

GRAFOS: uma introdução no Ensino GRAFOS: uma introdução no Ensino

FundamentalFundamental

Mestranda: Rita Maria Cargnin

MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE

FÍSICA E DE MATEMÁTICA

 

Como surgiu a Como surgiu a proposta...proposta...

A partir da participação em uma Oficina sobre Grafos, ministrada por colegas na disciplina de Fundamentos de Álgebra do curso do Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática;

A experiência foi muito interessante e de grande valia, já que não possuía conhecimento sobre “ Grafos”;

Surgiu então o interesse em trabalhar com o assunto e, por meio, da parceria com a colega Sheila Réquia, a oportunidade de aplicar as atividades com alunos da escola onde esta leciona.

Objetivo Objetivo

Introduzir o assunto “Grafos” a

alunos do 5º ano de uma escola

municipal de Santa Maria, por meio de

atividades variadas.

Objetivos EspecíficosObjetivos Específicos

Valorizar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de

problemas;

Contribuir para o desenvolvimento do raciocínio;

Estimular a criatividade;

Motivar os alunos.

JustificativaJustificativa

Considerando a importância crescente de problemas matemáticos

relacionados ao nosso cotidiano, que implicam tomada de decisões,

podemos considerar que os “grafos” se constituem em uma

importante ferramenta para representar situações, entender

esquemas e fazer a transposição desses esquemas para novas

situações.

Desta forma, essa proposta pode auxiliar no entendimento e

aplicação do conhecimento matemático. Uma vez, que esse, muitas

vezes, é visto apenas como um “amontoado” de cálculos e fórmulas.

Sem a percepção de que a matemática está envolvida e nos auxilia

em diversas ações do dia a dia, inclusive nas mais simples.

Aspectos MetodológicosAspectos Metodológicos

As atividades foram aplicadas a 24 alunos do 5º ano da Escola Municipal de Ensino Fundamental Padre Nóbrega.

Fundada em 11 de maio de 1978 e localizada na Rua João Olinto Réquia, s/nº, Vila Rossato.

Possui em torno de 300 alunos e 27 professores. Atividades no turno da manhã, com os anos finais e no turno da tarde, anos iniciais.

Escola Padre Nóbrega

Público Alvo

Foi elaborada uma pequena apresentação em Power Point, com o objetivo de introduzir o assunto “Grafos” para os alunos;

Em seguida, os alunos formaram duplas;

Foram apresentadas e entregues as atividades para serem realizadas em dupla mas, devolvidas às professoras individualmente;

A proposta foi aplicada em 01/10/2013 , com duração aproximada de 1 hora e 30 minutos;

As professoras auxiliaram as duplas no encaminhamento das atividades e na socialização dos resultados.

Você já ouviu falar em grafo?Você já ouviu falar em grafo?

Que relação você acha que tem essa Rota com um grafo ?

Grafo

Interação e observações dos Interação e observações dos

alunosalunos Quando questionados, a maioria dos

alunos respondeu que nunca tinha ouvido

falar no assunto.

Alguns responderam que era um gráfico ou

podia ser até um garfo;

Após mostrarmos a figura da rota da

Quarta Colônia, os alunos passaram a

afirmar que se tratava de um mapa;

Pedimos então, que observassem como

eram representadas as cidades e as

estradas nesta rota.

?

GrafoGrafoÉ um ramo da matemática, que estuda a relação entre objetos de um

mesmo conjunto e possui muitas aplicações em diversas áreas do conhecimento.

O matemático suíço Leonhard Euler, no século XVIII, foi o primeiro a estudar sobre grafos. Hoje a Teoria de Grafos é utilizada em diversas áreas do conhecimento. Como para representar alguma espécie de relação entre elementos de: mapas rodoviários, redes sociais, grau de parentesco, circuitos de computadores e outros.

Fazemos uso de grafos sem percebermos. Por exemplo, ao sair da escola e ir até a Padaria Delícia*:

* Estabelecimento comercial próximo ao colégio, frequentado pela maioria dos alunos.

Exemplo de GrafoExemplo de Grafo

Escola

Igreja Casa APadari

aDelícia

Conceito básico: Conceito básico: Um grafo “G” é um conjunto de pontos, chamados vértices “V”, ligados por segmentos, denominadas arestas “A”.

Nas extremidades das arestas encontramos vértices.

Você já havia ouvido falar em vértices e arestas?

Onde mais podemos encontrar esses elementos?

Você entendeu o conceito de

grafo? O exemplo do caminho da escola até a padaria o ajudou no

entendimento?

Interação e observações dos Interação e observações dos

alunosalunos A maioria dos alunos demonstrou ter

entendido o conceito de “grafo”;

Citaram outros exemplos de grafos,

como o caminho da casa até a escola, a

disposição deles na sala de aula.

Confirmaram que já haviam ouvido falar

em vértices e arestas;

Deram exemplos de figuras que

possuem esse elementos, como:

quadrado e triângulo;

Usamos esses exemplos para

explorarmos o número de vértices e

arestas encontradas nas figuras citadas.

Caminho percorrido

pelo caminhão de

coleta do lixo:

Outra Situação

B D

C

A E

Representação dessa situação usando pontos e retas:

GRAFGRAFOO

1- Quantos vértices e arestas tem essa figura? E o que representam?

2- Quantas arestas incidem em cada vértice?

3- Cada vértice está diretamente relacionado a quais outros?

4- O que se pode concluir em relação ao número de arestas de cada vértice e número de vértices relacionados a ele?

Exemplo de Grafo

Você poderia citar outros

exemplos onde são utilizados grafos para

representação e orientação?

Interação e observações dos Interação e observações dos

alunosalunos Em diálogo com os alunos surgiram outros

exemplos como: orientação do caminho

seguido pelo carteiro, a relação de jogos entre

times em um campeonato de futebol;

Com relação ao exemplo do caminhão de

coleta de lixo, perguntamos ao alunos: “ É

possível traçar um caminho pelo qual o

caminhão percorreria uma única vez cada rua,

de modo a economizar tempo e combustível?”

Foi dado tempo para que pensassem e

sugerissem trajetos. Apenas uma sugestão

correta.

Interação e observações dos Interação e observações dos

alunosalunosCom relação às perguntas, os alunos apresentaram dificuldade em responder as questões “2”, “3” e “4” por isso, explicamos cada questão individualmente no quadro. Por exemplo:

O vértice “A” possui 3 arestas e esse está diretamente relacionado a outros 3 vértices: B, D e E;

O vértice “B” possui 4 arestas e esse está diretamente relacionado a outros 4 vértices: A, C, D e E. Essas considerações foram feitas para todos os outros vértices;

A partir delas, pôde-se concluir que o número de arestas do vértice determina com quantos outros vértices este está diretamente relacionado.

Grafos e o Teorema das 4 Grafos e o Teorema das 4 CoresCoresDado um mapa, dividido em regiões, quatro cores

são suficientes para colori-lo de forma que, regiões vizinhas não tenham a mesma cor.

Exemplo de Grafo

Brasil

Bolívia

Paraguai

Uruguai

Argentina

O que os vértices e as

arestas representam no

“grafo” anterior?

Interação e observações dos Interação e observações dos

alunosalunos Todos responderam que as “bolinhas”

eram os países e os “tracinhos”

demostravam quais países eram vizinhos;

Mais uma vez, salientamos ao alunos que

as “bolinhas”, são os vértices e os

“tracinhos”, as arestas do grafo;

Além disso, pedimos para que

observassem que pelo Teoremas das 4

Cores, os vértices que estão relacionados

entre si não podem ter a mesma cor.

Atividade 1Atividade 1Com quantas cores podemos pintar esse mapa?

E se os estados vizinhos não pudessem ter a mesma cor? Qual o número mínimo de cores?

Atividade 2Atividade 2

Construa um grafo do mapa da região sul, considerando que os estados serão os vértices e as fronteiras as arestas.

Pinte-o de acordo com as cores que você pintou no mapa. Podemos observar formas geométricas conhecidas?

Atividade 3Atividade 3Pinte o mapa do Brasil utilizando o mínimo de cores possíveis. Lembrando que os estados vizinhos não devem ter a mesma cor.

Atividade 4Atividade 4 E se você utilizar apenas quatro cores e a seguinte condição: “Estados que fazem divisa não podem ser pintados da mesma cor”.

É possível pintar o mapa usando essas condições?

Atividade 5Atividade 5

É possível construir um grafo do mapa do Brasil, onde os estados são representados por vértices e as fronteiras por arestas? Pinte os vértices da mesma cor que você pintou os estados correspondentes.

Exemplo de Árvore Exemplo de Árvore Genealógica Genealógica

Atividades 6 e 7Atividades 6 e 7

7- Construa um grafo da sua árvore genealógica Quem seriam os vértices desse grafo?

6- Construa sua árvore genealógica. Pinte-a de forma que elementos ligados diretamente, não tenham a mesma cor.

ResultadosResultadosAtividades 1 e 2

Os alunos foram orientados a utilizarem o mínimo de cores possíveis e a evitarem pintar os estados com algumas cores: azul, verde...

A maioria teve facilidade no desenvolvimento da atividade, alguns necessitaram da ajuda das professoras para o desenho dos grafos;

Todos os alunos completaram as duas atividades e pintaram conforme solicitado.

Atividade

3

Nessa atividade os alunos tiveram maior dificuldade;

Como havíamos falado sobre o “Teorema das Quatro Cores”, os alunos tentaram pintar o mapa utilizando apenas quatro cores;

Mas, a maioria utilizou 5 cores ou mais;

Como iniciaram pintando de baixo para cima utilizando 4 cores, a maioria teve dificuldade ao chegar nos estados de Tocantins e Bahia e necessitaram de mais uma cor para finalizar a pintura;

Então, em conjunto com os alunos, chegou-se a conclusão sobre uma estratégia a ser adotada “começar pintando primeiro os estados com mais fronteiras e pintar com a mesma cor os estados que não são vizinhos dele. Repetir o processo com os estados que faltam pintar, até terminar”;

Todos os alunos concluíram essa atividade.

Atividades 4 e 5

A maioria dos alunos não finalizou a atividade 5, apenas os que já haviam pintado o mapa da “atividade 3”, com quatro cores;

As atividades 6 e 7, referentes à arvore genealógica, ficaram de tema para casa.

Avaliação das Avaliação das AtividadesAtividades Os estudantes fizeram uma avaliação das atividades de “grafos”,

na aula de informática: Qual sua opinião sobre as atividades realizadas na aula de

matemática ? O que você entendeu por grafo? Dê um exemplo?

Nesta oportunidade, eles puderam expressar com suas palavras o que acharam da aula sobre grafos e o que entenderam sobre o conteúdo, sem consulta ao material fornecido em aula.

A professora de informática auxiliou-os na elaboração dos textos, na organização dos arquivos , na busca das imagens na internet....

“Hoje nós aprendemos a fazer os grafos: Me disseram que um grafo

é um conjunto de pontos chamados vértices conectados por linhas

chamadas de arestas. Eu achei muito legal isso por que eu nunca

tinha ouvido falar nisso. Eu achei muito interessante, explicaram

também uma rota do caminhão do lixo, onde ele poderia passar

sem repetir o mesmo lugar, eu achei legal, pintamos os vértices e

colorimos alguns mapas com apenas quatro cores, e também

aprendemos sobre a árvore genealógica em forma de grafo”.

Estudante “A”

“A aula falava sobre grafos que são esses exemplos de imagens, e muitos mais.

 

Depois elas deram exercícios de grafos para pintar com o mínimo de cores possíveis

as regiões e estados mas cada estado de uma cor e estados vizinhos não podem ter a

mesma cor. Depois no fim da aula mostraram o exemplo de uma árvore genealógica

que um grafo pode representar... ” E todos aprenderam novas coisas.”

Estudantes “B” e “C”

“Hoje na aula de matemática aprendemos sobre o grafo. O grafo é um

tipo de rota. Veja na imagem, isso é um grafo, grafo é um tipo de

explicação.

Isso é o mapa do Brasil.

MAS ISSO E O GRAFO DO MAPA DO BRASIL

 

Então o grafo é um tipo de explicação de caminho para se localizar, a

professora explicou que matemática não é só conta, ela disse que na

aula de hoje nos íamos aprender sobre o grafo...”

Estudante “D”

“Hoje eu fiz muita coisa legal, eu tive aula de matemática com a professora e aprendi a fazer grafos. Grafos são como uma rota para você ir para um lugar, por

exemplo um carteiro faz uma rota para entregar as cartas, tipo para ele ir para uma casa ele precisa passar por uma rua e dai ele pensa se ele passar por outra rua ele

consegue entregar as cartas naquela casa e também nas outras.

...depois ela me ensinou que grafos são como uma árvore genealógica por que ela sempre tem uma rota de cada pessoa da família” .

Estudante “E”

Considerações FinaisConsiderações Finais

A proposta proporcionou o conhecimento de um assunto novo e, na maiorias das vezes, distante da educação básica – “Grafos”;

Houve grande interação dos alunos durante a apresentação do assunto por meio de questionamentos e de exemplos de grafos sugeridos por eles;

Pode-se perceber o entendimento dos alunos em relação ao assunto, nas avaliações da atividade, elaboradas na aula de informática;

Dentro do assunto “Grafos” foram abordados diversos elementos matemáticos como: vértices, arestas, figuras planas ...

Como sugestão, poder-se-ia trabalhar essa proposta de maneira interdisciplinar, envolvendo conhecimentos de geografia, informática, ciências e outras.

Bibliografia Bibliografia ConsultadaConsultada

CONRADO, C.; VASCONCELOS, E.; BRESOLIN, N. R.Q. Trabalhando com grafos. Apresentação na Disciplina Fundamentos da Álgebra, Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática: Centro Universitário Franciscano, 2013. Anotações de aula.

DALL’ASTA, M. N.; GAUÉRIO, E. G.; PEREIRA, E. C. Teoria de Grafos e Aplicações Cotidianas no Ensino Fundamental. Revista UDESC em Ação, v.5, n.1, 2011. Disponível em: <http://www.revistas.udesc.br/index.php/udescemacao/article/view/2236/pdf_71>. Acesso em: 01 set. 2013.

LIMA, E.L. Alguns problemas Clássicos sobre Grafos. Revista do Professor de Matemática, n.12. Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro. p. 36-42, 1998.

LIMA, L.; et al. Grafos. In: Seminário de Matemática, 2000. Disponível em:

<http://www.lurdeslima.no.sapo.pt/grafos.pdf>. Acesso em: 10 set.2013.