Reflexão de um pulso

(A) Extremidade fixa

tkxf

tkxf

Parede exerce força para baixo: pulso é invertidoÉ como o problema de interfêrencia entre um pulso real e um virtual:

Corda virtual (imaginária) Deslocamento zero

(interferência destrutiva)

http://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs

(B) Extremidade livre tkxf

tkxf

Extremidade livre não exerce força vertical: pulso é refletido sem se inverter

Corda virtual (imaginária)

Deslocamento máximo (interferência construtiva)

http://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI

http://www.youtube.com/watch?v=1GyiHMj67JE

18.6 – Energia no movimento ondulatórioOnda transporta energia:

Energia cinética - v

u

dm

u: velocidade transversal

tkxytxy msen),(

tkxyt

yu mcos

Energia cinética do elemento dm:

2

2

1udmdK dxdm ;

tkxydxdK m222 cos

2

1

tkxydx

dKm

222 cos2

1 (densidade linear de energia cinética)

Não nos interessa o valor instantâneo de dK/dx, mas sim seu valor médio em um período:

tkxydx

dKm

222 cos2

1

Valor médio do cos2:2

1cos

2

1cos

2

0

22

d

2cos

1

1/2

22

4

1mydx

dK (densidade linear média de energia cinética)

Energia potencial – como cada elemento dm da corda executa um MHS, a energia potencial média é igual à energia cinética média!

Lembrando do MHS:

Então:

22

4

1mydx

dU (densidade linear média de energia potencial)

Energia total – soma da energia cinética com energia potencial

22

2

1mydx

dU

dx

dK

dx

dE (densidade linear média de energia mecânica)

22

2

1mydx

dE (densidade linear média de energia mecânica)

Desta forma, a energia mecânica média contida em um pedaço Δx da corda é:

xdx

dEE

Como a onda percorre uma distância Δx=vΔt em um intervalo Δt, a energia média transmitida neste intervalo é:

tvdx

dEE

A potência média da onda é a taxa de energia transmitida (energia por unidade de tempo):

22

2

1myvP

A potência é proporcional à velocidade, ao quadrado da amplitude e ao quadrado da

freqüência

Note que a amplitude é constante, e o mesmo vale para ondas planas em 3D (conservação da energia)

http://www.youtube.com/watch?v=vAW5zGGnGM0

Ondas esféricas (3D)

Conservação da energia: potência emitida é constante, energia se espalha por uma área 4πr2, densidade de energia então cai com 1/r2, amplitude cai com 1/rIntensidade: potência por unidade de área (unidades SI: W/m2)

Intensidade de uma onda esférica cai com

1/r2

Capítulo 19 – Ondas sonoras

19.1,2 – Natureza das ondas sonorasSom: ondas mecânica longitudinal. Sons audíveis: freqüência entre 20 Hz e 20 kHz (Kit LADIF)

Perturbação que se propaga: flutuações de pressão e densidade do meio

compressão

expansão

x

0

m 0

m 0

x

0

m 0

m 0

tkxtx m sen),( 0

Flutuações de pressão são proporcionais às flutuações de densidade:

tkxppptxp m sen),( 0

Módulo de (in)compressibilidade:

VV

pB

/

Densidade: V

m

V

mdd1 dV

V

m2

V

dVd

B

dp mm pB

0

Importante: Nesta fórmula, entra o B adiabático (sem troca de calor) e não o B isotérmico (temperatura constante): processo ocorre muito rapidamente e não há tempo para troca de calor

Relação entre amplitudes de pressão e densidade

Deslocamento das moléculas do meio:Moléculas sofrem deslocamento longitudinal

Vamos considerar o deslocamento de um elemento de massa δm

Posição de equilíbrio

Podemos mostrar (quadro-negro) que:

kB

p

ks

tkxstxs

tkxtx

mmm

m

m

0

onde

,cos),(

,sen),( Se

Ondas de deslocamento e densidade têm diferença de fase de 90 graus:

Velocidade longitudinal:

t

stxux

),(

tkxst m

cos

tkxsm sen

19.3 – A velocidade do somVamos considerar um pulso de compressão propagando-se para a esquerda em um tubo fechado. Analisando o problema no referencial do pulso, temos:

Região comprimid

aΔx

A v

Velocidade do ar no referencial do

pulso

p

p+Δp

v+ Δv (Δv <0)

Elemento de fluido Δx leva Δt= Δx /v até entrar completamente na região comprimida

Durante este intervalo, a força média resultante sobre o elemento é:

Δx’

A

p p+Δp

ApppAF

esquerda)(p/

pAF

Massa do elemento:

Δx’

A

p p+Δp

pAF

tAvxAm

Aceleração média: tva /

2a. Lei de Newton: tvtAvpA /

v

pv

vvp

v/

2

Volume ocupado pelo ar antes: tAvV Volume ocupado pelo ar depois: tvvAV

Assim:

v

v

V

VtAv

tvA

V

V

Desta forma: BVV

pv

/

2B

v

B

v (análogo a para a corda)

v

inércia

propriedade elástica

Resultado obtido pela primeira vez por Newton (“Principia”). Porém Newton considerou a propagação isotérmica, e com isso encontrou v=280 m/s, muito abaixo do valor conhecido v=343 m/s

A explicação correta só veio em 1816 com Laplace: propagação adiabática