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Apêndices

Apêndice A

Nesta seção, apresentam-se alguns conceitos e telas do software Macbeth

desenvolvido por Bana e Costa.

Aplicação do Software Macbeth

Macbeth é uma metodologia que permite avaliar opções levando em conta

múltiplos critérios. A distinção fundamental entre Macbeth e outros métodos de

análise de decisão com múltiplos critérios é que esta ferramenta requer apenas

julgamentos qualitativos sobre as diferenças de atratividade entre os elementos

para gerar pontuações sobre as opções em cada critério e para ponderar os critéri-

os.

À medida que os julgamentos qualitativos são expressos pelo avaliador e in-

troduzidos no software, há a verificação automática da consistência pelo sistema e

o mesmo ainda gera sugestões para resolver possíveis inconsistências.

A partir dos julgamentos do avaliador e utilizando as funcionalidades do

software, uma escala de pontuações em cada critério e pesos relativos para os cri-

térios são gradualmente sugeridos e discutidos. Em seguida, uma pontuação glo-

bal é calculada para cada opção, fazendo a soma ponderada das suas pontuações

nos múltiplos critérios. Essa pontuação global reflete a atratividade da opção res-

pectiva no conjunto de todos os critérios. Diversas análises de sensibilidade e de

robustez dos resultados do modelo, assim construído, permitem compreender o

problema em profundidade e ajustar o modelo.

O exemplo apresentado permitirá acompanhar cada etapa do processo Ma-

cbeth de apoio à tomada de decisões apresentado na figura 25: estruturação, avali-

ação e elaboração de recomendações.

Figura 25 – Etapas do processo Macbeth

123

Na prática, a pertinência destas atividades e a ordem pela qual devem ser re-

alizadas dependem de vários tipos de incerteza nos dados.

Exemplo: compra de impressora

José pretende comprar uma impressora que lhe permita imprimir, de forma

rápida e com qualidade profissional. Para ele, o custo e o design da impressora são

também pontos de vista fundamentais (PVF’s).

Após consultar o mercado, José obteve as cinco opções apresentadas na fi-

gura 26:

Figura 26 - Opções de compra impressora

Fundamentos da estruturação

O software Macbeth designa por “opção” qualquer ação potencial ou al-

ternativa de decisão. As opções do exemplo de José constam na figura 26.

Uma opção é, por definição, um meio de se alcançar um fim. Portanto,

uma boa tomada de decisão requer que se comece por refletir sobre o que se pre-

tende obter, isto é, sobre quais pontos de vista com interesse para a avaliação, em

cada contexto específico. Certos pontos de vista terão uma definição mais abran-

gente, outros serão mais específicos. A estruturação em árvore pelo software (ou

árvore de valores) permite visualizar de uma forma organizada a totalidade dos

aspectos relevantes do problema.

A figura 27 mostra a árvore de Macbeth para o exemplo de José. Os nós

que se encontram abaixo do nó inicial (nó global por definição, “Escolha de uma

impressora”) correspondem aos pontos de vista que José considera importantes

para a escolha da impressora. Nota-se que três dos nós criados estão assinalados

em vermelho, o que indica que “Qualidade de impressão a cores”, “Velocidade de

impressão” e “Design de Impressora” são os critérios para a avaliação da impres-

sora. Nota-se ainda que “Dimensões da impressora”, “Cor da Impressora” e

“Forma da impressora”, apesar de não terem sido definidos como critérios (não

sendo essenciais para o modelo), foram incluídos na árvore para explicitar quais

aspectos do design são importantes para José. Da mesma forma, a criação do nó

124

“Características de impressão” foi criado para melhorar a estrutura do modelo,

tornando-o mais compreensível.

Figura 27 - Árvore Macbeth

Assim, uma árvore no software Macbeth é formada por dois tipos distintos

de nós: nós critérios e nós não critérios. Na fase de avaliação, Macbeth permitirá

atribuir uma pontuação a cada opção em cada critério introduzido no modelo, que

reflete a atratividade da opção, neste critério, para o avaliador. As opções podem

ser pontuadas por um de dois processos: comparando-as duas a duas diretamente

ou indiretamente através de uma função de valor. Uma função de valor constrói-se

comparando níveis de performance no critério, previamente definidos na estrutu-

ração do critério, sendo que os níveis de performance podem ser quantitativos ou

qualitativos. A função de valor permitirá converter as performances das opções

em pontuações, quer as performances das opções sejam descritas de uma forma

quantitativa, quer de forma qualitativa.

Construção de uma árvore e definição de critérios

Cada nó numa árvore Macbeth pode ser um nó critério ou um nó não crité-

rio, conforme seja ou não usado para avaliar a atratividade das opções. A cada nó

critério deve ser sempre associada uma “base de comparação”, direta ou indireta.

O software Macbeth oferece duas bases de comparação direta: as opções e

as opções mais duas referências. Selecionando-se as opções, indica que o software

quer comparar diretamente as opções entre si, para avaliar a sua atratividade rela-

tiva. Selecionando as opções mais duas referências significa que o software, além

125

de compará-las diretamente entre si, pretende adicionalmente comparar as opções

com base em duas referências a definir, para avaliar também a atratividade intrín-

seca de cada opção com base nas duas referências.

O software oferece também duas bases de comparação indireta: níveis quali-

tativos de performance e níveis quantitativos de performance. Selecionando qual-

quer destas bases de comparação, o usuário indica ao software que pretende ava-

liar a atratividade das opções no critério indiretamente, usando uma função de va-

lor para converter as performances em pontuações. Na comparação indireta, o u-

suário define limites superiores e inferiores que servem como referência para a

ponderação dos critérios.

No exemplo da impressora, o nó Qualidade de Impressão possui uma base

de comparação direta e o nó Velocidade de impressão possui uma base de compa-

ração indireta.

Introdução das performances de opções

Para os nós critérios com bases de comparação níveis qualitativos de per-

formance ou níveis quantitativos de performance, a conversão das performances

das opções em pontuações requer a introdução prévia no modelo das performan-

ces das opções. A figura 28 ilustra esta opção do software:

126

Figura 28 - Performance das opções

Ordenação num critério

Na árvore do software Macbeth, ao se pressionar duas vezes sobre o critério

para o qual se pretende ordenar as opções ou níveis de performance, abre-se a ma-

triz de julgamentos Macbeth ilustrada na figura 29 para o critério selecionado.

Para indicar que duas opções, ou níveis de performance, são igualmente a-

trativas no critério selecionado, o usuário deve pressionar sobre uma das duas cé-

lulas que as compara (ex: a célula que corresponde à primeira opção, ou nível de

performance, na horizontal e à segunda na vertical) e selecione “nula” na barra de

julgamentos Macbeth. No exemplo de José, a diferença de atratividade em design

é nula entre as opções Espon e Neutro.

127

Figura 29 - Matriz de julgamentos Macbeth

Uma vez estabelecida a ordenação pretendida, o usuário pressiona o botão

“validar a ordenação” no menu de contexto.

O usuário insere os julgamentos na matriz pressionando a célula que compa-

ra as duas opções pretendidas, ou níveis de performance, com a opção ou nível de

performance mais atrativo na linha da célula e a opção ou nível de performance

menos atrativo na coluna da célula correspondente. Para limpar uma célula que se

pretende introduzir um julgamento, basta pressionar com o botão direito do mouse

sobre a barra de julgamentos.

Resolução de inconsistências

À medida que cada julgamento é introduzido na matriz de julgamentos, o

software verifica automaticamente a sua compatibilidade com os julgamentos pre-

viamente introduzidos na matriz. Em caso de inconsistências, o Macbeth auxilia o

usuário a resolver as inconsistências detectadas.

Quando se introduz na matriz um julgamento incompatível, abre-se automa-

ticamente uma janela de confirmação. O software informa o número de possibili-

128

dades encontradas para tornar a matriz consistente com o menor número de mu-

danças na categoria.

Quantificação da atratividade num critério

O próprio software cria uma escala Macbeth de pontuação a partir dos jul-

gamentos introduzidos na matriz. Por definição, o software apresenta uma escala

de pontuação ancorada nos dois níveis de referência previamente definidos nas

propriedades do critério e atribui as pontuações 0 e 100 às referências inferior e

superior, respectivamente. Se os níveis de referência não tiverem sido definidos

antes, o software atribui automaticamente as pontuações 0 e 100 aos extremos da

escala. Se a pontuação pretendida se encontra fora do intervalo, o usuário pode

considerar a hipótese de rever alguns julgamentos efetuados. Tal escala é gerada

tanto para a atratividade por comparação de níveis qualitativos quanto quantitati-

vos de performance.

Referências de ponderação

As ponderações dos critérios requerem que sejam definidas em cada critério

duas referências de ponderação (uma superior e uma inferior).

Ordenação dos pesos dos critérios

A ordenação dos pesos dos critérios é determinada pela ordenação das refe-

rências globais em termos da sua atratividade global.

O usuário define cada uma das referências globais pressionando e arrastando

as mesmas para a sua posição pretendida, até que as mesmas se encontrem orde-

nadas por ordem decrescente de atratividade (global) de cima para baixo na colu-

na. Para o exemplo de José a ordenação é: Cor, Design, Velocidade. tudo inf.

A referência global tudo inf sempre deve estar na base da ordenação, por-

que tudo inf é dominado por qualquer das outras referências globais (por defini-

ção, cada uma destas é mais atrativa que tudo inf no critério respectivo e igual-

mente atrativa em cada um dos restantes critérios).

Uma vez introduzida a ordenação pretendida, o software valida os dados. A

avaliação de diferenças de atratividade global ocorre para itens qualitativos e

quantitativos.

129

Quantificação dos pesos dos critérios

Para que ocorra a construção de uma escala de ponderação a partir da matriz

e julgamentos de ponderação, o usuário seleciona a opção ponderação de julga-

mentos no software. Na figura 30, está a ponderação dos pesos para os critérios da

escolha da impressora:

Figura 30 - Pesos dos critérios

Pontuações globais

Após construído o modelo Macbeth no software, é possível analisar os re-

sultados finais numa tabela de pontuações para as alternativas do problema pro-

posto.

Quando o usuário pressiona o botão tabela de pontuações, tem-se a tabela

apresentada na figura 31 para o exemplo da escolha da impressora:

130

Figura 31 - Pontuações Globais

As pontuações globais podem ser visualizadas graficamente num “termôme-

tro global”, apresentado na figura 32 como intitula o software.

Figura 32 - Termômetro Global

131

Apêndice B

Exemplo de cálculo de melhoria de consistências na metodologia

AHP – Matriz de derivadas parciais

Suponhamos que na intenção da compra de um carro, estabelece-se n=3 cri-

térios e, com isso, obtém-se a seguinte matriz de comparações apresentada na ta-

bela 43:

Matriz critérios compra carro

Estilo Confi-abilidade

Economia de combustível

Estilo 1,00 0,50 3,00

Confiabilidade 2,00 1,00 4,00

Economia de combus-tível

0,33 0,25 1,00

Tabela 43 - Matriz de comparação dos critérios

De acordo com a equação apresentada abaixo, temos:

∂ λmáx = νiwj – a2ji νjwi

∂ aij

Onde i,j = 1,...n.

Obtemos o vetor da matriz transposta de A (At ), v para calcular os elemen-

tos da matriz de derivadas parciais.

A matriz At é apresentada na figura 33 :

Matriz A transposta (At) 1,00 2,00 0,33 0,50 1,00 0,25 3,00 4,00 1,00 Figura 33 - Matriz transposta

132

Vetor normalizado da matriz At

0,24 0,14 0,63

Figura 34 - Vetor normalizado

Utilizando a equação das derivadas parciais para os elementos com i < j da

matriz inicial A, obtemos uma matriz triangular superior apresentada na figura 35.

Matriz de derivadas par-ciais -0,14 0,01 -0,05 Figura 35 - Matriz de derivadas parciais

Onde seus elementos são obtidos conforme abaixo:

A12 = v1w2 - (a21)2v2w1 = -0,14

A13= v1w3 - (a31)2v3w1 = 0,01

A23 =v2w3 - (a32)2v3w2 = -0,05

Com isso, encontramos a posição do elemento na matriz original que muda-

do traria a maior variação no λmáx. O maior valor absoluto encontrado na matriz

de derivadas parciais é o que sinaliza a posição do elemento na matriz original a

ser modificado. No exemplo dado, o elemento corresponde à comparação entre

estilo do carro e economia de combustível.

O cálculo do RC para a matriz original foi de 1,17, ultrapassando o limite de

Saaty de 0,10.

Com isso, deveria haver um consenso a respeito de novos valores em torno

da comparação estilo e economia de combustível para a melhoria de consistência

da matriz de julgamentos inicial.

133

Apêndice C

Mostra de simplificação do cálculo do autovetor w no método AHP

Soluções aproximadas

Winston (1994) e Saaty (1990) propuseram uma aproximação do cálculo do

vetor w de prioridades.

Tal aproximação torna o processo de comparação de critérios e alternativas

menos exaustivo para o tomador de decisão. É comum verificar na literatura que

muitos criticam o longo processo que se desenvolve quando existem muitos ele-

mentos a serem comparados.

Os métodos de sintetização simplificada de Winston e Saaty facilitam os

cálculos apenas, uma vez que todas as comparações entre as alternativas permane-

cem necessárias.

Exemplo de solução aproximada

Tomemos uma matriz apresentada na figura 36 que contempla os julga-

mentos de um decisor sobre as alternativas A1, A2 e A3. Procura-se saber qual a

ordem de prioridade das três alternativas em relação ao critério C1.

C1 A1 A2 A3 A1 1,0 0,3 0,2 A2 3,0 1,0 0,3 A3 5,0 3,0 1,0 Figura 36 - Matriz de julgamentos

Solução de Winston para a matriz deste exemplo

Primeiro passo: Fazer o somatório das colunas apresentado na figura 37.

C1 A1 A2 A3 A1 1,0 0,3 0,2 A2 3,0 1,0 0,3 A3 5,0 3,0 1,0 Soma 9,0 4,3 1,5 Figura 37 - Somatório colunas

Segundo passo: Normalizar a matriz, dividindo cada elemento pelo valor da soma

da respectiva coluna. Tal passo é apresentado na figura 38.

134

C1 A1 A2 A3 A1 0,11 0,08 0,13 A2 0,33 0,23 0,22 A3 0,56 0,69 0,65 Figura 38 - Normalização da matriz

Terceiro passo: Tomar a média de cada linha da matriz.

Pr1 = (0,11 + 0,008 + 0,13) / 3 = 0,11

Pr2 = (0,33+ 0,23+ 0,22 )/3 = 0,26

Pr3 = (0,56 + 0,69 + 0,65 ) /3 = 0,63

As três prioridades formam o vetor de prioridades w:

Figura 39 - Autovetor w

Com isso, a alternativa A3 ficaria em primeiro lugar, seguida da alternativa

A2 e depois a A1. Essas seriam prioridades relativas, pois são as prioridades das

alternativas em relação a um dos critérios. Após este cálculo, seria necessário ado-

tar o mesmo procedimento para os demais critérios, e ainda comparar os critérios

entre si em relação ao objetivo geral. As prioridades dos critérios servem de peso

para as prioridades relativas e assim é possível chegar às prioridades finais.

Solução de Saaty para a matriz deste exemplo

Primeiro passo: Fazer o somatório das linhas, apresentado na figura 40.

Total linha

C1 A1 A2 A3 A1 1,0 0,3 0,2 1,5 A2 3,0 1,0 0,3 4,3 A3 5,0 3,0 1,0 9,0 Figura 40 - Somatório das linhas

0,11

0,26

0,63

135

Segundo passo : Fazer o somatório total.

Somatório Total = 1,53 + 4,3 + 9,0 = 14,86

Terceiro passo : Dividir a soma de cada linha pela soma total.

Pr1 = 1,53 /14,86 = 0,10

Pr2 = 4,3 / 14,86 = 0,29

Pr3 = 9,0 / 14,86 = 0,61

O resultado é o vetor de prioridades w:

Figura 41 – Autovetor

Comparando com o resultado de Winston, verificamos que os valores finais

são bem próximos.

Apêndice D

Histórico Empresa estudada

Após a privatização do sistema de telecomunicações no Brasil, em 1998,

nasceu, em janeiro de 1999, o projeto oficial de empresa de telecomunicações

chamado Bonari. O direito à licença para operar como empresa espelho da Embra-

tel foi adquirido por R$ 55 milhões. Com o suporte de uma campanha publicitária

que convidava o público a escolher o nome da nova empresa, criou-se a Intelig

Telecom.

A Intelig Telecom foi formada a partir de um consórcio entre três empresas:

• National Grid (NGC):

Com 50% das ações, a NGC é uma das cinqüenta maiores empresas do

Reino Unido e a maior empresa privada de transmissão de energia elétrica

com operações no Reino Unido, Estados Unidos, Argentina, Zâmbia e

0,10

0,29

0,61

136

Austrália. Desde 1993, atua em telecomunicações através da propriedade

da empresa Energis, provedora britânica de serviços de telefonia fixa e ce-

lular.

(http://www.nationalgrid.com/uk)

• France Telecom:

Com 25% das ações, é uma das maiores operadoras de telecomunicações

do mundo, operando em mais de 50 países em todos os continentes. Com

forte presença na América Latina desde 1989, a France Telecom possui

operações no México, Argentina, El Salvador e agora no Brasil. Atua nos

segmentos residencial e corporativo com um portfólio de serviços que a-

brange soluções de internet, TV a cabo, processamento de dados, além de

ligações interurbanas, locais e internacionais.

(http://www.francetelecom)

• Sprint:

Os restantes 25% das ações estão nas mãos desta empresa de origem norte-

americana de telecomunicações, que atua na vanguarda da integração de

sistemas de comunicação de longa distância, local e sem fio, além de ser

uma das maiores operadoras de internet. A Sprint construiu e opera a única

rede de fibra óptica totalmente digital dos Estados Unidos e atende a mais

de 17 milhões de clientes residenciais e corporativos.

(http://www.sprint.com)

Trazendo competição para o mercado brasileiro de telefonia, os maiores de-

safios para o início de suas operações foram negociar conexões com as principais

operadoras nacionais e internacionais, possuir pontos de presença (POP’s) nas

trinta e sete maiores cidades do país (incluindo capitais) e a abertura do código 23

em 13 mil centrais telefônicas, locais e interurbanas. Tudo isso para que no dia 23

de janeiro de 2000, a população brasileira pudesse fazer ligações de qualquer lu-

gar do mundo, usando o 23.

Marcando a entrada no mercado, a Intelig Telecom promoveu uma série de

eventos para mostrar que veio para ficar: coletiva de imprensa, campanha publici-

tária em todos os veículos importantes do país e uma grande festa para todos os

137

funcionários com a presença de algumas das personalidades. Além disso, anunci-

ou um "jeito novo" que se traduzia principalmente em três palavras: qualidade,

simplicidade e preço.

Entre as conquistas durante os anos de 1999 e 2000 destacam-se a realiza-

ção de 45 mil horas de testes na rede, construção de rede com capacidade para 70

mil ligações simultâneas, oito estações de comunicação via satélite, backbones

ATM e IP com abrangência nacional, compra de doze edifícios, entre eles nossa

sede que ostenta a logomarca em frente à Baía de Guanabara, grande capacidade

em cabos submarinos para Estados Unidos e Europa (Américas dois, 360 Améri-

cas e Atlantis dois), dois centros nacionais de operação de rede, construção e fun-

cionamento de oito centrais telefônicas, dois data centers, centrais telefônicas es-

pecializadas no atendimento a clientes residenciais e corporativos, instalação de

mais de 8.500 km de fibra óptica em todo o Brasil e a contratação direta de mais

de 600 pessoas, além da criação de aproximadamente 10 mil empregos indiretos.

A operação começou oferecendo serviços de voz para ligações de longa dis-

tância nacionais e internacionais. Ao longo do ano 2000, foram lançados outros

produtos de voz e dados para atender à demanda do público em geral, mas princi-

palmente, ao mercado corporativo. Com apenas um ano de operações, a empresa

atingiu a marca expressiva de 16 milhões de usuários. Entre alguns dos benefícios

percebidos no mercado, estava a redução dos preços das ligações internacionais e

interurbanas, que já caíram até 60% e 31%, respectivamente. Até o final de 2001,

foram investidos R$ 2,8 bilhões, instalados 15 mil quilômetros de fibra óptica,

oito centrais telefônicas e mais 600 funcionários em todo Brasil.

Situação atual da Empresa estudada

• Possui nove anos no mercado;

• Vendida para o grupo Docas recentemente;

• Aproximadamente 600 funcionários;

• Rede técnica nova e eficiente.

138

Apêndice E

Avaliação da Indústria Telecomunicações

Nos últimos anos, notamos um enorme dinamismo no setor de Telecomuni-

cações no mundo para o qual contribuiu o crescente desenvolvimento tecnológico,

especialmente o da Telefonia e de comunicação. Todos os elementos participantes

acompanharam esta incrível mutabilidade do setor, quer sejam os produtos, os

serviços e até mesmo a demanda.

Com isso, uma feroz competição estabeleceu-se no setor e os players que

apresentarem serviços de melhor qualidade e com maiores possibilidades de cus-

tomização ocuparão posição mais destacada no cenário global.

Observamos crescimentos significativos na base de clientes e na evolução

de receitas de serviços mais recentes lançados no mercado. Em contraposição,

houve uma tendência menor de crescimento relativo na telefonia fixa, por ser um

segmento mais amadurecido e com menor possibilidade de novidades no mercado

mundial.

Para sustentar um cenário tão competitivo e em constante evolução tecnoló-

gica, é marcante o crescimento no volume de recursos anualmente investido.

No mercado global, verifica-se que o fator preço era inicialmente preponde-

rante para uma escolha, mas logo adiante a diferenciação/customização de servi-

ços é que se tornou um item chave para as operadoras ao redor do mundo. Servi-

ços de valor agregado, novas composições de planos e um maior entendimento do

consumidor e de suas necessidades tornam-se primordiais no cenário de Teleco-

municações.

O surgimento de novos produtos e serviços é decisivo para garantir a per-

manência no setor, e um processo é bastante nítido ao redor do mundo: conver-

gência. Internet, voz, dados e multimídia já são uma realidade, mas que ainda pre-

cisam trilhar muitas etapas de evolução.

Essa tendência de convergência de serviços tende a mudar o padrão de ne-

gócios no mundo, uma vez que a operadora se transforma numa provedora de uma

grande variedade de serviços.

Diante deste fato observa-se a incorporação de empresas de internet e con-

teúdo pelas operadoras no mercado global.

139

Da mesma forma que o padrão dos negócios apresenta novas vertentes, os

sistemas de apoio das operadoras precisam também de características de flexibili-

dade e escalabilidade para suportar este novo cenário. Tais itens são essenciais

num momento em que a oferta crescente de novos serviços deve possuir por trás

de si sistemas eficientes e que permitam entregas customizadas.

Da mesma forma, toda a cadeia de suporte das operadoras (fornecedores)

deve possuir as características flexíveis e ágeis de entrega, acompanhando a velo-

cidade e a necessidade do setor.

Outro fator interessante a se notar é que a conquista de novos clientes num

cenário tão competitivo acarreta em oferta de subsídios (descontos, promoções,

etc.) e, com isso, há uma redução de lucros na operação. As operadoras, então,

adotam uma estratégia forte de fidelização de sua base de clientes e os sistemas de

atendimento e a qualidade dos processos nos call centers tornam-se primordiais.

No cenário global observa-se uma estratégia de one stop shopping, na qual

uma operadora oferece uma enorme gama de serviços. Tal fato torna a operadora

mais atraente aos olhos do consumidor e facilita seu trabalho de fidelização de

seus clientes.

Apêndice F

Comparações entre a ferramenta AHP e a Macbeth

Apesar de algumas semelhanças entre os métodos AHP e Macbeth, os mes-

mos se diferem, como pode ser apresentado na tabela 29. De uma forma abrangen-

te, as principais diferenças entre os dois métodos recaem nas escalas utilizadas

para a composição dos julgamentos e nas validações dos mesmos e são apresenta-

das na tabela 44. É preciso que exista coerência semântica e consistência dos jul-

gamentos no AHP. A consistência na transformação da escala semântica em esca-

la cardinal é necessária no Macbeth.

140

Metodologia AHP Metodologia Macbeth

Há uma escala semântica e as preferências são

associadas a uma escala fixa

Existe também uma escala semântica , porém

as preferências são transformadas numa escala

cardinal através de uma programação linear

Não há ancoragem de escala Há ancoragem de escala com limites superiores

e inferiores

Os julgamentos medem os graus de importân-

cia entre os elementos

Os julgamentos medem os graus de atratividade

entre os elementos

A metodologia AHP verifica a consistência entre

os julgamentos

Verifica a consistência da escala de transforma-

ção cardinal

Tabela 44 - Comparações entre os dois métodos da Escola Americana - AHP e Macbeth

A formação das matrizes em ambos os métodos também possui diferenças

em sua organização. No Macbeth, a diferença de atratividade entre as compara-

ções deve aumentar da esquerda para a direita e de baixo para cima, em função de

uma ordenação antes dos julgamentos. Com isso, há a formação de uma matriz

superior.

Na metodologia AHP, devido à intensidade de preferência ter que satisfazer

uma condição de reciprocidade, há a geração de uma matriz com elementos 1

em toda a sua diagonal principal.

Ambos os métodos possuem também como limitação a quantidade de com-

parações que deve ser feita para que as preferências possam ser estabelecidas. Um

problema com um número razoável de alternativas e critérios demandam um nú-

mero grande de comparações. Os dois métodos contribuem de forma bastante si-

gnificativa em torno da formação de uma estrutura lógica e de hierarquização de

determinado problema.

Apêndice G

Autovalores e autovetores

Os conceitos de autovalor e autovetor são definidos para matrizes quadra-

das. Eles estão ligados a outro conceito de álgebra linear, o de transformação line-

ar que, em essência, corresponde a uma interpretação particular da conhecida e-

quação Ax=b. Dada a matriz Amxn e um vetor x de dimensão n, podemos interpre-

tar o produto Ax como uma transformação de um vetor Rn em um vetor do Rm.

141

Além disso, essa transformação pode ser aplicada a qualquer elemento do Rn; por-

tanto, consideramos que todo o espaço n-dimensional fica transformado no espaço

m-dimensional pela matriz A.

A transformação Ax= λ x

Definição: Seja T: V →V um operador linear. Um vetor v ∈V ,v ≠ 0v, é di-

to autovetor , vetor próprio ou vetor característico do operador T, se existir λ ∈

R tal que T (v) = λ .v.

O escalar λ é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do

operador linear T associado ao autovetor v.

No caso dos autovalores e dos autovetores, estamos interessados em trans-

formações lineares, definidas para x ≠ 0, com duas características especiais: a) o

espaço vetorial é transformado nele próprio, ou seja, as matrizes são quadradas; b)

os elementos do Rn são transformados em múltiplos de si mesmos, ou seja, essas

transformações podem ser representadas por Ax= λ x (para um determinado esca-

lar λ .)

Ex: Transformação linear no R3

A =

500

050

005

Figura 42 – Matriz A

Dada a matriz anterior, qualquer vetor x com três componentes fica trans-

formado no vetor 5x, isto é, em um vetor com a mesma direção e sentido do vetor

original e com comprimento cinco vezes maior. Esta transformação linear pode

ser representada por Ax= λ x, com λ =5.

Denomina-se λ , autovalor (ou raiz característica) de A e x, autovetor (ou

vetor característico) de A. A matriz desse exemplo constitui um caso especial,

uma vez que A é uma matriz escalar (igual a 5I) e, portanto, a determinação do

autovalor torna-se trivial. Além disso, qualquer vetor do espaço tridimensional é

um autovetor da matriz, o que não ocorre em geral. Por outro lado, duas caracte-

rísticas observadas no exemplo se verificam em qualquer situação: uma matriz

possui número finito de autovalores e um conjunto infinito de autovetores.

142

Determinação de autovalores e autovetores

Dada a matriz

A =

−

000

020

002

Figura 43 – Matriz A

Neste caso, três subespaços do R3 correspondem à transformação Ax= λ x:

qualquer vetor x=[x1 0 0]´ fica transformado por A em 2x, qualquer vetor x=[ 0 x2

0]´ é transformado em -2x, e qualquer vetor x= [ 0 0 x3]´ é transformado em 0x.

Dizemos que A possui três autovalores (2, -2, 0), e que o conjunto de autovetores

referentes a λ =2 é o eixo determinado por e1; os autovetores associados a λ =-2

estão no eixo determinado por e2, e os autovetores referentes a λ =0 estão no eixo

correspondente a e3.

Em geral, dada uma matriz quadrada An, devemos resolver o sistema

Ax= λ x para encontrar seus autovalores e autovetores. Esse sistema possui n+1

incógnitas, ou seja, os componentes de x e o escalar λ . Porém, este sistema não é

linear, já que as incógnitas aparecem multiplicadas. As equações, no entanto, po-

dem ser rearranjadas. Subtraindo-se os dois lados da equação matricial por λ x e

isolando o vetor x, temos (A- λ x)=0. Com o conjunto de equações assim colocado

verificamos que, caso tivéssemos um valor para λ , este seria um sistema linear e

homogêneo convencional. Em outras palavras, se pudéssemos determinar de al-

guma maneira um escalar λ , teríamos um sistema que poderia ser resolvido e

analisado.

Um sistema homogêneo corresponde à determinação do subespaço nulo de

uma matriz – neste caso, da matriz (A- λ I). Normalmente, estamos interessados

em encontrar soluções diferentes da solução trivial - isto é, a solução x=0- e, para

isso, é necessário que as colunas da matriz sejam linearmente dependentes.

Uma condição necessária para que as colunas de uma matriz quadrada sejam

linearmente dependentes é que o determinante desta matriz seja zero. Aplicando

esta condição à matriz (A- λ I), encontramos o que buscávamos, ou seja, uma e-

143

quação característica de A. Portanto, o método geral para achar os autovalores e

autovetores de uma matriz consiste das seguintes etapas: a) utilização da equação

det (A- λ I)=0 para achar os autovalores de A; b) para cada autovalor encontrado

na etapa anterior, substituir no sistema (A- λ I)x=0 e determinar o subespaço nulo

da matriz (A- λ I); os vetores nesse subespaço são os autovetores de A.

Propriedades dos autovalores e autovetores

Propriedade 1: A soma dos autovalores é igual ao traço da matriz, ou seja,

à soma dos elementos na diagonal.

Propriedade 2: O produto de autovalores é igual ao determinante da matriz.

Propriedade 3: Se uma matriz é triangular (superior ou inferior), os autova-

lores são os elementos da diagonal.

Propriedade 4: Se A possui autovalor λ e autovetor x, An possui autovalor

λn e o mesmo autovetor x.

Propriedade 5: Os autovalores da inversa de A são os inversos dos autova-

lores de A, e os autovetores são os mesmos.

Propriedade 6: Se uma matriz An possui autovalores distintos entre si λ 1,

λ 2,... λ k, com respectivos autovetores x1,x2,...xk, então esses autovetores são li-

nearmente independentes.

Propriedade 7: Se A é uma matriz simétrica com elementos reais, então

seus autovalores são reais e seus autovetores são ortogonais (ou podem ser orto-

gonalizados).