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Escola Secundária D. Sancho I
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____________________________ 1
Referenciais no Espaço
COORDENADAS NUM EIXO
Num eixo a posição de um ponto fica
definida por um só número.
A
0 3 x
A 3
•
02/03/2015 2
O Referencial Cartesiano no
Plano
Eixo das
Abcissas
Eixo das
Ordenadas
Origem
x
y
0
02/03/2015 3
Escola Secundária D. Sancho I
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____________________________ 2
As Coordenadas no Plano
x
y
0
b
a
P
P (a , b)
O Ponto P tem abcissa a e ordenada b.
a e b são as coordenadas do ponto P.
No plano a posição de um ponto fica definida por um
par ordenado de números.
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Síntese
A uma dimensão A duas dimensões
Eixo Plano
A x A (a,b)
ℜ 2ℜ
AA
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z
y
x
0
Referencial Cartesiano no
Espaço
Origem
Eixo das
Abcissas
Eixo das
Ordenadas
Eixo das
Cotas
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Escola Secundária D. Sancho I
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Os três eixos são perpendiculares dois a dois
(referencial ortogonal) e considera-se a mesma
unidade de comprimento nos três eixos
(referencial monométrico).
Referencial Cartesiano no
Espaço
z
y
x
0
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No espaço a posição de um ponto fica definida por um
terno ordenado de números.
Referencial Cartesiano no
Espaço
z
y
x
0
A
A ( 2,3,0 )
3
2
A tem:
• Abcissa 2
• Ordenada 3
• Cota 0
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Referencial Cartesiano no
Espaço
z
y
x
0
De um modo geral P (a,b,c)
abcissa
Ordenada
Cota02/03/2015 9
Escola Secundária D. Sancho I
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Referencial Cartesiano no
Espaço
Conclusão:
Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto
dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( ).3ℜ
3{ }pontos do espaço R↔
3 {( , , ) : , , }x y z x y zℜ = ∈ℜ
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z
y
x
0
•A
3
•
-4
B
•4C A ( 3, 0, 0 )
B ( 0, -4, 0)
C ( 0, 0, 4 )
Coordenadas de Pontos nos
Eixos
A ( 3, 0, 0 )
B ( 0, -4, 0)
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PLANOS COORDENADOS
Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem
três planos, perpendiculares entre si:
- plano xOy
- plano yOz
- plano xOz
0
z
x
y
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Escola Secundária D. Sancho I
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Os planos dividem o espaço em oito octantes.
Os octantes
0
z
x
y
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
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PLANO xOy
x
z
yP
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode
ser definido por z = 0.
• O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.02/03/2015 14
Plano z = 55
Condição do Tipo z = k
Plano z = 0•
-3Plano z = -3
z
y
x
0
•
•
Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz eparalelos ao plano xOy.
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Escola Secundária D. Sancho I
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PLANO xOz
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o
plano pode ser definido por y = 0.
• O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy.
z
0
x
P
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Plano y = 0
Plano y = -3
Plano y = 4
4
Condição do Tipo y = k
-3•
z
y
x
•0•
Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy eparalelos ao plano xOz.
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PLANO yOz
0
z
x
y
P
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano
pode ser definido por x = 0.
• O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.02/03/2015 18
Escola Secundária D. Sancho I
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Plano x = 0•
Condição do Tipo x = k
Plano x = -3-3•
Plano x = 2
z
y
x
0
•2
Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox eparalelos ao plano yOz.
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Simetrias em relação a uma recta
r
P
P’
P’ é simétrico P em relação a r se:
• PP’ e r são concorrentes;
• PP’ r;
• r é a mediatriz de [ PP’ ]
⊥
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Simetrias em relação a um plano
P P’
α
P’ é simétrico do ponto P se
• PP’
• P e P’ são equidistantes de
⊥ α
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Escola Secundária D. Sancho I
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Simetrias em relação ao plano xOyz
x
y
P
P’
P’ é simétrico de P em relação ao plano xOy
P (x,y,z) P’ (x,y,-z)02/03/2015 22
0
z
x
y
Simetrias em relação ao plano xOz
P P’
P’ é simétrico de P em relação ao plano xOz
P (x,y,z) P’ (x,-y,z)02/03/2015 23
P
P’
Simetrias em relação ao plano yOz
0
z
x
y
P’ é simétrico de P em relação ao plano yOz
P (x,y,z) P’ (-x,y,z)02/03/2015 24
Escola Secundária D. Sancho I
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Condição do Tipo x = k e y = c
z
y
x
0
•-3
A condição
x = k e y = c
define uma
recta paralela a
Oz, ou seja,
uma recta
perpendicular
ao plano xOy.
x = k
y = c
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Condição do Tipo y = k e z = c
z
y
x
0
A condição
y = k e z = c
define uma
recta paralela a
Ox, ou seja,
uma recta
perpendicular
ao plano yOz.y = k
z = c
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Condição do Tipo x = k e z = c
z
y
x
0
A condição
x = k e z = c
define uma
recta paralela a
Oy, ou seja,
uma recta
perpendicular
ao plano xOz.
x = k
z = c
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Escola Secundária D. Sancho I
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____________________________ 10
Fim
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