Raciocínio lógico‐matemático: proposições, conectivos, equivalência

e implicação lógica, argumentos válidos.

PART 01

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PROPOSIÇÕES

Denomina‐se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:

A capital do Brasil é Brasília.

2³ > 10

Existe um número ímpar menor que dois.

João foi ao cinema ou ao teatro.

Não são proposições:

1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?”

2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!”

3) frases imperativas: “Estude mais.”

4) frases optativas: “Deus te acompanhe.”

5) frases sem verbo: “O caderno de Maria.”

6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): “x é maior que 2”; “x+y = 10”; “Z é a capital do Chile”.

Simbologia de uma proposição

Na matemática para simboliza números desconhecidos chamamos de X,Y,Z, no raciocínio logico não é diferente

podemos simboliza um proposição de diversas formas, as letras mais comuns de representar um proposição são

P,Q,R..

Exemplos Práticos:

Maria é bonita.

Representação simbólica: P (ou seja a sentença “Maria é bonita” será representado por P)

Negação da Proposição simbolicamente: ~P (ou seja “Maria não é bonita)

Proposições Compostas

Uma proposição é considerada simples quando não contem qualquer outra proposição como sua componente. Uma proposição simples não pode ser subdividi‐da em outras proposições. Na prática, a proposição simples não apresenta conectivos lógicos do tipo: “e”, “ou”, “se...entao...” e “se, e somente se”. Se uma proposição não for simples será chamada composta. As proposições compostas contêm como suas componentes, proposições simples. Exemplos: Ana viaja ou Luís compra um livro. Carla vai a Roma e Pedro vai à França. Se corro então fico cansado Um número é par se e somente se for múlti‐plo de 2.

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Todos esses exemplos são proposições compostas pois existem conectivos lógicos ligando proposições simples. Esses conectivos estão negritados. Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Conectivos Lógicos são expressões que servem para unir duas ou mais proposições. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. Veremos que, para determinamos se uma proposição composta é verdadeira ou falsa, dependeremos de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une.

CONECTIVOS LÓGICOS Vimos que proposições consideradas simples são quando não apresentam conectivos em sua composição. Já as proposições compostas apresentam tais conectivos. Por‐tanto, os conectivos são elementos que transformam as proposições simples em compostas. Assim como na matemática básica, podemos definir as quatro operações fundamentais, na lógica podemos trabalhar com quatro conectivos fundamentais.

CONJUNÇÃO

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas CONJUNÇÕES. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença: “Marcos é médico e Maria é estudante”

... poderemos representá‐la apenas por: p∧q. onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.

Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata‐se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos:

Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:

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Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos:

Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:

Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há outras!

Criamos, portanto, a tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela‐verdade para uma proposição

composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:

DIJUNÇÃO

Duas ou mais premissas ligadas pelo conectivo “ou” caracteriza a chamada disjunção lógica cujo sím‐bolo é “∨”.

“Eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”

... então a representaremos por: p∨q.

Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Resumindo essa definição em uma tabela‐verdade, para duas proposições simples teremos:

Conclusão Bisonho: Uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.

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Vera Fischer = FEIA ! Fica a dica rsrs

CONDICIONAL

Duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “se...então...”representa uma condicional. A condicional se p então

q pode ser simbolicamente representada por p → q.

A proposição p é chamada condição e a proposição q é chamada conseqüente. Podemos ainda afirmar que “p é

suficiente para q” e “q é necessário para p”. Essas duas últimas afirmações serão detalhadas mais adiante. Para que

uma condicional seja falsa é necessário que a condição seja verdadeira e a consequência seja falsa. Resumindo em

uma tabela‐verdade para duas premissas p e q temos:

Obs: podemos ler também como p implica em q.

Observe que uma condicional só é falsa em uma situação, caso contrário é verdadeira. Para decorar é só lembrar !! Vera Fischer = FEIA ! Fica a dica rsrs !

BICONDICIONAL

Denominamos bicondicional a proposição composta por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “se e

somente se”

A bicondicional “p se, e somente se q” é representada simbolicamente por p ↔q.

Exemplo:

p: x é um número par.

q: x é um múltiplo de 2.

p ↔q: x é um número par se e semente se x é um múltiplo de 2.

Como o próprio nome e representação simbólica sugerem, uma bicondicional pode ser escrita como duas condicionais:

p → q “se p então q” e q → p “se q então p”.

Uma bicondicional é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico, isto é, ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira!

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O quadro de tabela‐verdade resume a definição dada.

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA

A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, é caracterizado pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença

é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. E como fica a sua tabela‐verdade? Ora, uma disjunção

exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das

sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais

casos, a disjunção exclusiva será falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “V”. E a tabela‐verdade será,

pois, a seguinte:

É só lembrar do Homossexual, ou seja, se valores foram iguais o

resultado será verdadeiro.

É fica esperto que Disjunção exclusiva é heterossexual, pois se os resultados são

diferentes seu valor é verdadeiro.

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Encerramos aqui todos os conectivos lógicos, é de suma importância que você grave todos os conectivos e valores

lógicos. Para facilitar a sua vida segue uma tabela com todos as informações para sua prova.

Conectivos (linguagem

idiomática)

Conectivos

(Símbolo)

Estrutura lógica Exemplo Macete

e ^ Conjunção: A ∧ B João é ator e

alagoano.

VV= V

ou V Disjunção: A ∨ B Irei ao cinema ou à

praia.

FF=F

se ... então → Condicional: A →

B

Se chove, então faz

frio.

VF=F

ou ... ou ∨ Disjunção

exclusiva:

A ∨ B

Ou Tiago é médico

ou dentista, mas

não ambos.

VF=V

FV=V

se e somente se ↔ Bicondicional: A

↔ B

Vivo se e somente

se sou feliz.

VV=V

FF=V