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ANDR REIS

RACIOCNIO LGICO

TEORIA 246 QUESTES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS 90 EXERCCIOS RESOLVIDOS

Teoria e Seleo das Questes: Prof. Andr Reis

Organizao e Diagramao: Mariane dos Reis

1 Edio ABR 2014

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SUMRIO 1. ESTRUTURAS LGICAS. LGICA DE ARGUMENTAO: analogias, inferncias, dedues e concluses.

LGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL): proposies simples e compostas; tabelas verdade; equivalncias; leis de de morgan; diagramas lgicos. LGICA DE PRIMEIRA ORDEM ................................................. 05

1. Questes de Provas de Concursos ...................................................................................................................................... 17

2. OPERAES COM CONJUNTOS..................................................................................................... 25 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 27

3. PROBLEMAS ARITMTICOS, GEOMTRICOS E MATRICIAIS ....................................................... 30 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 43

4. PRINCPIOS DE CONTAGEM ........................................................................................................... 59 2. Questes de Provas de Concursos ...................................................................................................................................... 62

5. PROBABILIADADE ................................................................................................................................ 65 3. Questes de Provas de Concursos ...................................................................................................................................... 69

GABARITOS ....................................................................................................................................... 76

Ayme Mazara SoaresHighlight


Raciocnio Lgico Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis

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RACIOCNIO LGICO

1

ESTRUTURAS LGICAS. LGICA DE ARGUMENTAO: analogias, inferncias, dedues e concluses.

LGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL): proposies simples e compostas; tabelas verdade; equivalncias; leis de de morgan; diagramas lgicos.

LGICA DE PRIMEIRA ORDEM.

INTRODUO LGICA ARGUMENTATIVA PROPOSIES

Para a lgica matemtica, uma proposio repre-senta uma sentena em forma de palavras ou smbolos, que exprime uma ideia, qual poderemos atribuir ape-nas dois valores: verdadeiro ou falso.

Apenas s sentenas declarativas poderemos atri-

buir tais valores. Assim, as sentenas interrogativas e ex-plicativas no sero consideradas proposies.

Exemplos:

Joo corre todos os dias.

O nmero 10 par.

Todos os homens trabalham.

Paulo comprou um livro.

Ana mora em So Paulo.

2 um nmero par.

No so proposies

Onde voc mora?

Que susto!

Preste ateno!

x maior que y.

Faa uma redao.

Escreva uma poesia.

De um modo geral no so proposies, sentenas interrogativas, imperativas, interjeies e expresses com variveis.

Note que para uma dada proposio necessariamente

devemos associar um e apenas um valor lgico: verdadeiro ou falso. Caso voc no consiga associar esse valor, a sentena pode at exprimir uma ideia, mas no con-siderada uma proposio.

PROPOSIO SIMPLES E COMPOSTA

Uma proposio considerada simples quando no contem qualquer outra proposio como sua compo-nente. Uma proposio simples no pode ser subdividi-da em outras proposies.

Na prtica, a proposio simples no apresenta co-nectivos lgicos do tipo: e, ou, se...entao... e se, e somente se.

Se uma proposio no for simples ser chamada composta. As proposies compostas contm como su-as componentes, proposies simples.

Exemplos: Ana viaja ou Lus compra um livro. Carla vai a Roma e Pedro vai Frana. Se corro ento fico cansado Um nmero par se e somente se for mlti-

plo de 2.

Todos esses exemplos so proposies compostas pois existem conectivos lgicos ligando proposies simples. Esses conectivos esto negritados. SENTENAS ABERTAS

So sentenas nas quais aparecem variveis. Substi-tuindo valores nessas variveis, transformamos uma sen-tena aberta em uma proposio.

Exemplo: Qual o nmero que somado com 3 igual

a 10?

Soluo: x + 3 = 10 a interpretao lgica do pro-blema. Substituindo x por 7, a sentena aberta assume o valor verdadeiro. Substituindo x por 8, a sentena aberta assume um valor falso. Note que substituindo em x trans-formamos uma sentena aberta em uma proposio.

De um modo geral, as expresses interpretadas por variveis so sentenas abertas.

Exemplos: x+ y um nmero positivo x menor que y 2x + 3y = 10













CONECTIVOS LGICOS

Vimos que proposies consideradas simples so quan-do no apresentam conectivos em sua composio. J as proposies compostas apresentam tais conectivos. Por-tanto, os conectivos so elementos que transformam as proposies simples em compostas. Assim como na ma-temtica bsica, podemos definir as quatro operaes fun-damentais, na lgica podemos trabalhar com quatro co-nectivos fundamentais.

Conectivo e (conjuno lgica)

Duas ou mais premissas ligadas por esse conectivo caracteriza a chamada conjuno lgica.

Exemplo: Considere as premissas simples:

p. Alfredo comprou um carro. q: Ins comprou um livro.

A composio Alfredo comprou um carro e Ins

comprou um livro uma conjuno, cuja representao p q.

p q l-se: p e q

Uma proposio composta por conjuno lgica verdadeira quanto todas suas componentes so verdadeiras. Se pelo menos uma das componentes for falsa, ento toda a proposio falsa. Por duas proposies simples podemos resumir as possibilidades na seguinte tabela-verdade:

p Q p q

v v v

v f f

f v f

f f f

Conectivo ou (disjuno lgica)

Duas ou mais premissas ligadas pelo conectivo ou caracteriza a chamada disjuno lgica cujo sm-bolo .

p q l-se: p ou q

Exemplo: Considere as proposies simples:

p: Silvana fala espanhol. q: Silvana fala alemo.

A disjuno p ou q pode ser escrita como: p q: Silvana fala espanhol ou Silvana fala alemo.

Para que uma disjuno lgica seja verdadeira, basta que pelo menos uma de suas componentes seja verdadeira.

Essa definio equivale a dizer que uma disjuno s ser falsa quando todas as suas componentes foram falsas.

Resumindo essa definio em uma tabela-verdade, para duas proposies simples teremos:

p q p q

v v v

v f v

f v v

f f f

Conectivo se...ento... (condicional)

Duas proposies quaisquer ligadas pelo conectivo se...ento...representa uma condicional. A condicional se p ento q pode ser simbolicamente representada por p q.

p q l-se: se p ento q

Obs: podemos ler tambm como p implica em q.

A proposio p chamada condio e a proposio q chamada conseqente. Podemos ainda afirmar que p suficiente para q e q necessrio para p. Essas duas ltimas afirmaes sero detalhadas mais adiante. Para que uma condicional seja falsa necessrio que a condio seja verdadeira e a consequncia seja falsa. Resumindo em uma tabela-verdade para duas premissas p e q temos:

P Q p q

v v v

v f f

f v v

f f v

Observe que uma condicional s falsa em uma situao, caso contrrio verdadeira.

Conectivo se, e somente se (bicondicional)

Denominamos bicondicional a proposio composta por duas proposies quaisquer ligadas pelo conectivo se e somente se

A bicondicional p se, e somente se q representada

simbolicamente por p q.

p q l-se p e somente se q

Exemplo: p: x um nmero par. q: x um mltiplo de 2. p q: x um nmero par se e semente se x

um mltiplo de 2.






















Como o prprio nome e representao simblica sugerem, uma bicondicional pode ser escrita como duas condicionais:

p q se p ento q e q p se q ento p.

Uma bicondicional verdadeira quando p e q tm

o mesmo valor lgico, isto , ambas verdadeiras ou am-bas falsas.

O quadro de tabela-verdade resume a definio

dada.

p Q p q

v v v

v f f

f v f

f f v

Note que, para valores iguais de p e q a bicondicio-nal verdadeira.

NEGAO DE PREMISSAS

Como primeira definio de uma negao lgica de uma premissa p, podemos entender como a troca do valor lgico de p. Sendo assim, se p for verdadeira sua negao ser falsa e se p for falsa sua negao ser verdadeira.

Dada uma premissa p, sua negao pode ser feita:

no verdade que p. no p. falsa que p

A negao de p ser representada simbolicamente

por ~p.

~p l-se: no p

O quadro tabela-verdade para a negao de uma

premissa ser:

p ~p

v f

f v

Se p for verdadeira sua negao falsa e se p for falsa sua negao verdadeira.

Exerccios Resolvidos 1. As sentenas abaixo podem ser abertas ou declarativas. Faa a classificao:

a) A terra gira. b) x + 4 = 10. c) x > y. d) Luis fala italiano. e) Pedro pilota motos.

Solues: a) premissa

b) aberta

c) aberta

d) premissa

e) premissa 2. Complete as lacunas fazendo a negao da premissa: a) Se verdade que Luis mente ento no verdade que ______________________________ b) Se verdade que os homens so imortais, no verdade que _________________________ c) Se no verdade que os cavalos no voam ento verdade que________________________

Solues: a) Luis no mente b) Os homens so mortais c) Os cavalos voam

3. Considere as premissas:

p: Luis estuda Matemtica. q: Luis estuda Lgica. r: Luis passa no concurso

Determine as proposies compostas: a) p (q r)

Soluo: Se Luis estuda Matemtica ento estuda Lgica e passa no concurso

b) (~p ~q) ~r

Soluo: Se Luis no estuda Matemtica e no estuda Lgica ento no passa no concurso

c) r (p q)

Soluo Luis passa no concurso se, e somente se, estuda Ma-temtica ou estuda lgica















PROPOSIES CATEGRICAS INTRODUO

estudado na Teoria dos conjuntos que os diagramas de Venn-Euler facilitam a compreenso das relaes en-tre dois conjuntos distintos. Para fixar recordes que um conjunto A pode ser representado por:

Onde U representa o conjunto universo.

Na lgica de argumentao, esses diagramas so

teis na representao de proposies como: Todo A B

Proposies categricas

Algum A B Nenhum A B

Essas proposies so simbolicamente representadas por:

Todo A B

Algum A B

Nenhum A B

Exerccios Resolvidos

4. Todo A B e nenhum C B.

Soluo: A proposio composta pode ser representada por:

5. Todo A B e nenhum C A.

Soluo: Observe que no foi dada relao alguma entre os conjuntos E c B. ento temos as possveis re-presentaes:

Nenhum C B

Algum C B

Todo C B

Nas trs possibilidades foram satisfeitas as condies iniciais: Todo A B e nenhum C A. para que uma concluso seja necessariamente verdadeira, ela deve satisfazer a essas trs representaes.

6. Todo A B e nem todo C B mas algum C A.

Soluo: A representao da proposio :

7. Dado que rodo A R e nenhum G A, segue neces-

sariamente que:

a) Algum R no G. b) Nenhum G r. c) Todo G R. d) Algum G no R. e) Todo R A.

Soluo: a primeira ideia para resolver esse tipo de questo representar as possibilidades dos diagramas.

1)

Algum G R

2) Algum G R

















3) Todo G R

Para que uma concluso seja sempre vlida, ela deve satisfazer todas as possveis representaes. Ob-serve que a concluso Algum R no G satisfaz as 3 possibilidades e portanto, a resposta da questo.

EQUIVALENTE DA IMPLICAO LGICA

A proposio categrica todo A B equivalente a

dizer que A implica em B. Representando simbolicamente.

A B

equivalente

Para entender essa equivalncia, vamos tomar um exemplo pratico: considere A o conjunto dos paulistas e B o conjunto dos brasileiros.

Todo paulista brasileiro

equivalente a dizer que se paulista brasileiro. A B (A implica em B).

Esse exemplo muito til e sugere algumas consequncias

de uma implicao. A afirmao recproca todo brasileiro paulista evidentemente falsa, pois um cidado bra-sileiro no necessariamente paulista. Concluso:

Se A implica em B, no necessariamente B implica em A

Outra questo que poderia ser formulada a se-

guinte: um cidado no paulista brasileiro ou no? Depende!

Temos no paulistas brasileiros e no brasileiros. Em

termos matemticos podemos escrever: um elemento que no pertence a A pode ou no pertencer a B

Se um elemento no pertence a A, no podemos ter certeza se l pertence ou no a B.

A B

Para uma implicao lgica:

Negando a condio, nada podemos concluir para a consequncia.

A B ~A ?

Vamos analisar a implicao: Se Joo canta ento

Maria dorme. Se Joo no canta ento... nada podemos afir-

mar para a consequncia, pois a condio foi negada. importante observar que a maior parte das pessoas a-firmaria: Se Joo no canta ento Maria no dorme.

Porm, pelo exposto anteriormente a afirmao est

ERRADA. Ento guarde que: negando a condio, nada podemos afirmar para a consequncia.

Voltando ao exemplo dos paulistas e brasileiros fa-

remos agora mais uma indagao: possvel que um cidado no seja brasileiro e seja paulista? Resposta: No!

claro que uma pessoa no pode ser paulista sem

que ela seja brasileira. Em termos matemticos podemos escrever: um elemento que no pertence a B com cer-teza no pertence a A.

Se um elemento no pertencer a B, com certeza no pertence a A.

Portanto, se A implica em B, a negao de B implica na negao de A.

A B ~B ~

Vamos analisar a implicao: Se Joo canta ento Maria dorme. Se Maria no dorme ento Joo no canta.

Observe que negando a consequncia temos de

negar a condio conforme foi exposto acima.











Exerccios Resolvidos 8. Ou Celso viaja ou Maria estuda. Se Maria estuda en-to Carla vai ao cinema. Se Carla vai ao cinema ento o Brasil fica na Europa. Ora, o Brasil no fica na Europa. Quais so as concluses? Soluo: Podemos resumir atravs dos smbolos lgicos. Celso Maria estuda. Maria estuda Carla vai ao cinema. Carla vai ao cinema o Brasil fica na Europa. Dado: o Brasil no fica na Europa utilizaremos a teoria: A B ento ~B ~A. Sendo assim, a 1 concluso que Carla no vai ao ci-nema. Voltando 1 implicao conclumos que Maria no estuda. Na disjuno lgica, pelo menos uma pre-missa deve ser verdadeira. Como Maria no estuda en-to Celso viaja. 1) Carla no vai ao cinema. 2) Maria no estuda. 3) Celso viaja. 9. Se o jardim tem flores o galo canta, mas se o jardim no tem flores o quintal fica sem abelhas. Mas o quintal est cheio de abelhas. Quais so as concluses? Soluo: Jardim tem flores galo canta. Jardim no tem flores quintal sem abelha. Como o quintal est cheio de abelhas, foi negada a consequncia na 2 implicao.

A B ~B ~A

Ento, a 1 concluso que o jardim tem flores. Voltan-do 1 implicao temos se o jardim tem flores o galo canta.

1) O jardim tem flores. 2) O galo canta.

10. Quando o dia amanhece Joo sai para trabalhar. Dado que o dia no amanheceu, qual a concluso? Soluo: nenhuma. A condio foi negada. Vimos na teoria que, caso a condio seja negada, nada pode-mos concluir. NEGAO

Na primeira parte da introduo lgica de ar-

gumentao vimos que a negao de uma premissa p tem como consequncia a troca de valor lgico de p. Para retomar as ideias recorde a tabela-verdade.

P ~p

V f

F v

Para podermos resolver questes mais abrangentes na argumentao lgica vamos abordar neste tpico a negao de proposies compostas, categricas e outros tipos de sentenas.

Negao da Conjuno ( )

Regra de negao:

~(p q) ~p ~q

A simbologia acima apresenta que a negao

da proposio composta p e q feita por ~p ou ~q

Exemplos:

a) R: Joo anda e Maria dorme. ~R: Joo no anda ou Maria no dorme.

b) Q: Pedro canta e Luis l.

~Q:Pedro no canta ou Luis no l

Obs: O conectivo e substitudo pelo conectivo ou.

Negao da disjuno ( )

Regra de negao

~p(p q) p ~q

A simbologia acima representa que a negao da composio p implica em q feita por p e ~q. Exemplos: a) R: Carlos alto ou Dado magro.

~R: Carlos no alto e Dado no magro. b) Q: Ernesto canta ou Flvia dorme.

~Q: Ernesto no canta e Flvia no dorme. Obs: O conectivo ou substitudo pelo conectivo e

Negao da Implicao

Regra da negao

~(p q) p ~q

A simbologia acima representa que a negao da composio p implica em q feita por p e ~q. Exemplos: a) R: Se Bernardo tem um livro ento Carla tem uma

flor. ~R: Bernardo tem um livro e Carla no tem uma flor.

b) S: Se Luis dana Maria chora.

~S: Luis dana e Maria no chora. A negao feita ligando as proposies p e ~q pelo conectivo e.













Para fixar melhor esta ideia de negao de uma implicao, podemos imaginar a representao em di-agramas. A B o mesmo que

Negar A B significa dizer que tem um elemento de A que no pertence a B. Em smbolos:

x A e x B

Negao da Bicondicional

Regra de negao:

~(p q) (~p q) (p ~q)

Podemos interpretar a negao da bicondicional da seguinte forma: (~p e q) ou (p ~q).

Exemplos: a) R: x par se e somente se x mltiplo de 2.

~R: x no par e mltiplo de 2 ou x par e no mltiplo de 2.

b) S: Carlos canta se e somente se Luis viaja.

~S: Carlos no canta e Luis viaja ou Carlos canta e Luis no viaja.

Obs: so as negaes das duas condicionais que po-demos transformar a bicondicional.

Negao das Proposies Categricas. Todo A B.

Negao: existe pelo menos um A que no B. Algum A B.

Negao: nenhum A B. Nenhum A B.

Negao: Algum A B.

No podemos nos esquecer de que, basicamente, negar uma premissa verdadeira significa torn-la falsa, e negar uma premissa falsa significa torn-la verdadeira.

Exerccios Propostos

11. Negar as proposies: a) p: A terra gira.

~p: A Terra no gira. b) R: Todos os homens so poetas.

~R: Existe pelo menos um homem que no poeta.

c) S: Alguns polticos so honestos. ~S:Nenhum poltico honesto.

d) Q: nenhum filsofo trabalhador.

~Q: Algum filsofo trabalhador. 12. Se Jlio e Paulo mentiram ento Nestor comprou um livro. Mas Nestor no comprou um livro. Qual a conclu-so? Soluo: Jlio mentiu e Paulo mentiu Nestor comprou um livro.

A negao da consequncia implica na negao da condio. Portanto: Jlio disse a verdade ou Pedro disse a verdade'. 13. Se verdade que Bia canta toda vez que Luza can-ta, ento no verdade que: a) Bia no canta. b) Se Bia no canta Luiza no canta. c) Luza canta. d) Luiza canta e Bia no canta. Soluo: Letra D. Bia canta toda vez que Luiza canta significa que:

Luiza canta Bia canta. No verdade a negao dessa implicao. Luza canta e Bia no canta.

Obs: ~(~p) p Se p verdade, ento no verdade a negao de p. ARGUMENTO

considerado um argumento, toda afirmao que consequncia de uma seqncia finita de proposies. Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de concluso Q representado por P1, P2, P3, ..., Pn Q

L-se: Que decorre de P1, P2, ..., Pn ou P1, P2, P3, ..., Pn acarretam em Q, etc.

Silogismos

So argumentos formados por duas premissas e uma concluso. Exemplo: Sabe-se que x = 3 ou x =2.

Mas x 3, logo x = 2.

Esse tipo de silogismo chamado disjuntivo. Dado que A ou B sabemos que uma delas, pelo menos, deve ocorrer. Se A no ocorre significa que ocorre B. Se B no ocorre ento A ocorre. Representamos um silogismo dis-juntivo por:

(A B) ~A B ou (A B) ~B A


















Podemos ler a representao anterior da seguinte forma: A ou B e no A ento B. O que significa dada a ocorrncia de A ou B quando A no ocorre necessariamente B deve ocorrer ou quando B no ocorre. A deve ocorrer.

H um outro tipo de silogismo chamado hipottico. Simbolicamente ele pode ser representado por:

p q

q r

p r

Se p implica em q e q implica em r, ento p implica

em r.

A Validade do Argumento

Um argumento vlido se, e somente se, a concluso for verdadeira toda vez que as premissas forem verda-deiras. Um argumento de premissas P1, P2, ... Pn e conclu-so q vlida se a implicao (P1 P2 ... Pn) Q for verdadeira.

O argumento no vlido chamado sofisma ou fa-lcia. Um argumento s sofismo quando premissas verdadeiras acarretam em outra concluso falsa. Em qualquer outra situao, o argumento vlido.

Exemplo

Dado que x = 2 e y = 3. Conclumos que x + y um nmero par.

Soluo: Se x = 2 e y = 3 so verdadeiras, x + y = 5

que mpar. um sofisma. Partindo de premissas verda-deiras a concluso deve ser verdadeira.

ARGUMENTOS QUE ENVOLVEM VERDADES E MENTIRAS

Neste tpico apresentaremos vrias argumentaes que apresentam os vocbulos verdades e mentiras. Na realidade, cada situao apresenta algum raciocnio inerente ao problema. De um modo geral, devemos conduzir as solues por duas ideias centrais:

Podemos atribuir a quem pertence a verdade ou mentira fazendo suposies.

Em cada suposio no podemos encontrar con-tradies. Caso seja encontrada alguma con-tradio, ento a suposio inicial feira, est equivocada. Devemos escolher outra suposio para conduzir o problema.

No existe uma regra que resolva todas as situaes.

Devemos ler o enunciado com a maior ateno possvel, usar as duas ideias centrais apresentadas e muito bom senso.

Exerccios Resolvidos 14. Andr, Beto e Caio trocam acusaes: Andr diz: Beto mente. Beto diz: Caio mente. Caio diz: Andr e Beto mentem. Baseando nessas acusaes, correto afirmar que: a) Andr e Beto mente. b) Andr diz a verdade. c) Apenas Caio diz a verdade. d) Apenas Andr mente. e) Andr e Caio mentem. Soluo: Fazendo a 1 suposio Andr diz a verdade. Se a afirmao de Andr verdadeira ento Beto mente, ou seja, Caio diz a verdade. Se Caio diz a verdade ento Andr e Beto mentem. Contradio!! Observe que na suposio feita Andr diz a verdade e Beto mente. 2 suposio: Beto diz a verdade Se Beto diz a verdade, Andr est mentindo. Se Beto diz a verdade, Caio est mentindo. Observe que realmente Caio mente quando afirma que Beto e Andr mentem, pois Beto diz a verdade. No h contradio Resposta: Andr e Caio mentem.

15. Tenho 3 pastas A, B e C.Uma delas preta, a outra marrom e a terceira marfim, no necessariamente nesta ordem. Sabendo que apenas uma das declaraes verdadeira: A preta B no preta C no marfim Ento qual a cor de cada uma das pastas? Soluo: 1 suposio: verdade que A preta. J chegamos a uma contradio pois B no preta

tambm uma verdade. 2 suposio: verdade que B no preta. Neste caso B pode ser marrom ou marfim. Constru-

mos ento o quadro abaixo. B = marrom C = marfim A = preta B = marfim C = marfim A = marrom












Observe que na suposio, C no marfim fal-sa, pois existe apenas uma verdade. No primeiro quadro conclumos que A preta. Contradio!

Se A fosse preta existiram duas verdades. No segun-

do quadro tambm h contradio. 3 suposio: verdade que C no marfim Neste caso C pose ser preta ou marrom.

C = preto B = preta A = ? C = marrom B = preta A = marfim

O ltima quadro no apresenta contradies pois

na suposio de que apenas C no marfim verdadeira, conclumos que B preta donde a ni-ca possibilidade : A = marfim B = preta C = marrom

16. Antnio, Beto, Carlos e Daniel trocam acusaes so-bre quem quebrou a vidraa do vizinho quando estavam jogando bola: Antnio afirma: Beto o culpado Beto afirma: Carlos o culpado Carlos afirma: Danilo inocente Danilo afirma: Antonio inocente. Se existir apenas uma verdade nestas declaraes po-demos concluir que: a) Apenas Antnio culpado. b) Beto e Carlos so os culpados. c) Apenas Carlos inocente. d) Antnio ou Danilo so os culpados. e) Danilo e Carlos so inocentes. Soluo: Observe que se Beto fosse culpado ou Carlos culpado, ento teria mais de um culpado, pois existe apenas uma verdade nas declaraes. Assim: 1 suposio: Carlos disse a verdade. Ento todos os ou-tros esto mentindo; pelo enunciado da questo.

Beto culpado (M)

Carlos culpado (M)

Danilo inocente (V)

Antnio inocente (M)

Conclumos que Antnio o culpado. 2 suposio: Danilo disse a verdade. Fazendo a mesma anlise anterior, conclumos que Danilo o culpado.

PROBLEMAS SOBRE CORRELACIONAMENTO

So problemas nos quais so dadas informaes ar-bitrrias envolvendo: pessoas, lugares, objetos ou even-tos fictcios.

O objetivo descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informaes.

Dito de outra forma, quando o exerccio lhe pedir que identifique "quem usou o qu, quando, com quem, de que cor etc.

Exerccio Resolvido 17. (Agente Administrativo/2010-FCC) Trs Agentes Adminis-trativos - Almir, Noronha e Creuza - trabalham no Depar-tamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no se-tor de atendimento ao pblico, outro no setor de com-pras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que:

Esses Agentes esto lotados no Cear, em Per-nambuco e na Bahia;

Almir no est lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras;

Creuza trabalha no almoxarifado; O Agente lotado no Cear trabalha no setor de

compras. Com base nessas informaes, correto afirmar que o Agente lotado no Cear e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao pblico so, respectivamente, a) Almir e Noronha. b) Creuza e Noronha. c) Noronha e Creuza. d) Creuza e Almir. e) Noronha e Almir. Soluo: Primeiro Passo: preparao da tabela principal.

Ser construda, como meio de facilitao visual pa-ra a resoluo desse tipo de problema, a seguinte tabe-la dita principal.

So trs grupos de informaes: Agente, Local de Trabalho e Lotao.

Escolha um deles e coloque cada um de seus elemen-tos em uma linha. Neste exerccio, escolhemos os Agentes (Almir, Noronha e Creuza) como grupo de referncia ini-cial.

LOCAL DE TRABALHO ESTADOS DE LOTAO

Atend. Compras Almox. Cear Pernam. Bahia

Almir

Noronha

Creuza








Segundo Passo: construo da tabela-gabarito. Essa tabela no servir apenas como gabarito, mas

em alguns casos ela fundamental para que voc en-xergue informaes que ficam meio escondidas na ta-bela principal.

Haver tambm ocasies em que ela lhe permitir concluses sobre um determinado elemento. o caso, por exemplo, de serem quatro possibilidade e voc notar que trs j esto preenchidas na tabela-gabarito. Nesse caso, voc perceber que s resta uma alternativa para a clula no-preenchida.

Um outro ponto que deve ser ressaltado que as duas tabelas se complementam para visualizao das informaes. Por isso, a tabela-gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal, e no de-pois.

A primeira linha de cabealho ser preenchida com os nomes dos grupos. Nas outras linhas, sero colocados os elementos do grupo de referncia inicial na tabela princi-pal (no nosso exemplo, o grupo de Agentes).

AGENTES LOCAL DE TRABALHO ESTADO DE LOTAO

Almir

Noronha

Creuza

Terceiro Passo: incio do preenchimento das tabelas (prin-cipal e gabarito) com as informaes mais bvias do pro-blema, aquelas que no deixam margem a nenhuma d-vida.

Em nosso exerccio:

Retire os elementos do enunciado e preencha a tabe-la principal com "S" (Sim) ou "N" (No), de acordo com as informaes fornecidas. Ao encontrar um "S" em uma clu-la, preencha o restante da linha e da coluna com "N".

Imediatamente marcado um "S", preencha a tabela-gabarito com a informao quando possvel.

1. Almir no est lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras;



Almir N N

Noronha

Creuza

2. Creuza trabalha no almoxarifado;

Registre essa informao imediatamente na ta-bela-gabarito:


Almir

Noronha

Creuza Almoxarifado

Marque um "S" na tabela principal, na clula comum a Creuza e "Almoxarifado", e "N" das demais clulas correspondentes a esse "S".



Almir N

Noronha N

Creuza N N S

Aps as informaes "1" e "2" a nova tabela princi-pal ser dada por:



Almir N N N

Noronha N

Creuza N N S

Pela tabela acima, percebemos que Almir tra-balha no setor de "Atendimento", pois foi a nica alternativa que ficou de "Local de Trabalho" pa-ra ele. Assim, teremos a tabela principal e tabela-gabarito a seguir:



Almir S N N N

Noronha N N

Creuza N N S


Almir Atendimento

Noronha

Creuza Almoxarifado

Pela tabela principal acima, percebemos que Noronha trabalha no setor de "Compras", pois foi a nica alternativa que ficou de "Local de Tra-balho" para ele. Assim, teremos a tabela principal e tabela-gabarito a seguir:



Almir S N N N

Noronha N S N

Creuza N N S


Almir Atendimento

Noronha Compras

Creuza Almoxarifado










3. O Agente lotado no Cear trabalha no setor de compras. Pelas informaes da tabela principal acima, con-clumos que o Agente lotado no Cear, que tra-balha no setor de Compras Noronha.



Almir S N N N N

Noronha N S N S N N

Creuza N N S N

Registre essa informao imediatamente na ta-bela-gabarito:


Almir Atendimento

Noronha Compras Cear

Creuza Almoxarifado

Diante das novas informaes a tabela principal ser dada por:



Almir S N N N N

Noronha N S N S N N

Creuza N N S N

Concluses finais baseadas na tabela acima:

a) Almir est lotado em "Pernambuco", pois foi a nica alternativa que ficou de "Estados de Lota-o" para ele;

b) Creuza est lotado na "Bahia", pois foi a nica al-ternativa que ficou de "Estados de Lotao" para ela;

Assim as tabelas finais (principal e gabarito) sero as seguintes:



Almir S N N N S N

Noronha N S N S N N

Creuza N N S N N S


Almir Atendimento Pernambuco

Noronha Compras Cear

Creuza Almoxarifado Bahia

Assim o Agente lotado no Cear e o Agente que tra-

balha no setor de atendimento ao pblico so respecti-vamente: Noronha e Almir.

Gabarito: Letra "e"

TAUTOLOGIAS, CONTINGNCIAS E CONTRADIES TAUTOLOGIA

Denomina-se tautologia a proposio que sempre verdadeira. A tabela-verdade de uma tautologia contm em sua ltima coluna apenas valores lgicos verdadeiros. CONTINGNCIA

Denomina-se contingncia a proposio composta que pode ser verdadeira ou falsa. A tabela-verdade de uma contingncia contm, em sua ltima coluna valores lgicos verdadeiros ou falsos. CONTRADIO

Denomina-se contradio a proposio que sem-pre falsa. A tabela-verdade de uma contradio con-tm, em sua ltima coluna, apenas valores lgicos falsos.

Exerccios Resolvidos 18. Vamos verificar se a proposio composta abaixo

uma tautologia, contingncia ou contradio.

Se Joo canta ento Joo canta ou Maria compra um livro

Vamos denominar p: Joo canta e q: Maria compra um livro. Ento a proposio composta pode ser des-crita como:

p (p q)

Construindo um quadro de possibilidades

p q p q p (p q)

v v v v

v f v v

f v v v

f f f v A ltima coluna da tabela apresenta apenas

valores verdadeira, portanto trata-se de uma TAUTOLOGIA.

Note que construmos todas as possibilidades para

p e q. Em seguida, analisamos a tabela verdade da disjuno p q. E finalmente a tabela-verdade da implicao p (p q)













19. Demonstrar que a proposio p (p ~q) uma contingncia.

Soluo: construindo a tabela verdade

p q ~q (p ~q) p (p ~q)

v v f f v

v f v v v

f v f f f

f f v f f

A construo foi feira por etapas: 1) As possibilidades para p e q (1 coluna) 2) Na 2 coluna a tabela de negao de q. 3) Na 3 coluna a operao entre parnteses (p ~q). 4) Na 4 coluna o resultado final.

20. Se Paulo e Lus viajam ento Paulo viaja.

Soluo: Fazendo p: Paulo viaja e q: Lus viaja, a proposio pode ser escrita como: (p q) p Construindo a seqncia da tabela-verdade

p q p q (p q) p v v V v v f F v f v F v f F F v

uma tautologia.

CONDIO SUFICIENTE, CONDIO NECESSRIA,

CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE

Vamos abordar neste tpico a relao que existe entre conjuntos e operadores lgicos. De uma forma em geral, a lgica matemtica se preocupa em conectar ideias e tirar concluses a partir destas. Quando abordamos situaes em geral, temos condies impostas para tais. Essas condies muitas vezes so suficientes para desencadear um processo de concluses ou ainda necessrias para que as concluses possam surgir.

Para ilustrar, vamos abordar uma situao cotidiana e,

a partir dela faremos as definies matemticas. Volte-mos a um exemplo inicial: considere a afirmao: todo paulista brasileiro.

Representando em forma de conjuntos.

Observe que suficiente ser paulista para ser brasi-leiro, mas no necessrio ser paulista para ser brasilei-ro, ou seja, basta ser paulista para ser brasileiro, mas no precisa ser paulista para ser brasileiro, pois existem brasi-leiros que no so paulistas. Dessa forma, podemos es-crever P B, onde P suficiente para B, mas no neces-srio. Agora observe que necessrio ser brasileiro para ser paulista, mas no suficiente. Afirmamos que neces-srio pois se um elemento estiver fora do conjunto B en-to ele est fora de A. Para as concluses finais, observe que no basta se brasileiro para ser paulista. CONDIO SUFICIENTE Se A suficiente para B temos que:

A B (A implica em B).

Todo A B

(representao em forma de conjunto)

A ocorrncia de A acarreta na ocorrncia de B. CONDIO NECESSRIA Se B necessria para A:

A B

Todo A B

CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE Se A necessria e suficiente para B, ento:

A B (equivalncia lgica)

Todo A B e todo B A.

A = B

Se A ocorre ento B tambm ocorre.

Se A no ocorre ento B no ocorre.

P: conjunto dos paulistas.

B: conjunto dos brasileiros.
















Exerccios Resolvidos 21. Considere que A necessria para B e suficiente

para C. Considere ainda que C necessria e sufi-ciente para D. Assim, quando D no ocorre tiramos quais concluses?

Soluo: o primeiro passo para a soluo escrever o problema em forma de operaes lgicas:

B A A necessrio para B A C A suficiente para C C D C necessria e suficiente para D

Quando D no ocorre, so concluses:

1) C no ocorre. 2) A no ocorre 3) B no ocorre

Recorde que: P q ~q ~p

A no ocorrncia de q acarreta na no ocorrncia de p.

22. O gato miar condio suficiente para o pssaro

cantar. Quando o pssaro no canta conclumos que:'

a) O gato mia. b) O gato no mia. c) No podemos tirar concluses.

Soluo: gato miar pssaro cantar.

Quando o pssaro no canta conclumos que o ga-to no mia.

Alternativa "B".

23. Toda vez que Ana vai ao parque Bia fica triste. En-to, Bia no ficar triste condio suficiente para:

a) Ana ir ao parque. b) Ana no ir ao parque c) No podemos concluir.

Soluo: Ana vai ao parque Bia fica triste. Escrevendo a equivalente: Bia no fica triste Ana no vai ao parque.

Bia no ficar triste sufici-

ente para Ana no ir ao parque .

Alternativa "B"

24. (ESAF) O rei ir caa condio necessria para a

duquesa sair do castelo, e condio suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o con-de encontrar a princesa condio necessria e sufi-ciente para o baro sorrir e, condio necessria para a duquesa ir ao jardim. O baro no sorriu. Quais as concluses?

Soluo: A questo apresentava as alternativas pos-sveis dentre as concluses que vamos tirar. O primei-ro passo seria utilizar as operaes lgicas: Duque sair do castelo rei ir caa. Rei ir caa duquesa ir ao jardim. Conde encontrar a princesa baro sorrir. Duquesa ir ao jardim conde encontrar a princesa. Dado que: o baro no sorriu, temos as concluses:

1) O conde no encontra a princesa. 2) A duquesa no foi a jardim. 3) O rei no foi a caa. 4) O duque no saiu do castelo.

QUESTES DE PROVAS DE CONCURSOS

1. [Gestor Ativ. Organiz.-(Adm.-Cont.-Econ.)-(NS)-DETRAN-MS/2011-SAD-GOV. MS].(Q.21) Numa cidade rigorosa-mente seguida a seguinte norma: Se no chover, ento todos os semforos devero estar em pleno funcionamento. Pode-se afirmar que: a) se todos os semforos esto em pleno funcionamen-to, ento choveu. b) se todos os semforos esto em pleno funcionamen-to, ento no choveu. c) se choveu, ento todos os semforos no esto em pleno funcionamento. d) se choveu, ento todos os semforos esto em pleno funcionamento. e) se um semforos no est em pleno funcionamento, ento choveu.

2. [Gestor Ativ. Organiz.-(Adm.-Cont.-Econ.)-(NS)-DETRAN-MS/2011-SAD-GOV. MS].(Q.22) Se Paulo vai a Dourados, ento Rui vai a Corumb ou Sandra vai a Navira. Se Rui vai a Corumb, ento Beto vai a Paranaba. Se Beto vai a Parnaba, ento Sandra vai a Navira. Ora, Sandra no vai a Navira, logo: a) Beto no vai a Paranaba e Rui vai a Corumb. b) Paulo vai a Dourados e Rui vai a Corumb. c) Paulo vai a Dourados e Rui no vai a Corumb. d) Paulo no vai a Dourados e Beto vai a Paranaba. e) Paulo no vai a Dourados e Beto no vai a Parana-ba.










3. [Gestor Ativ. Organiz.-(Adm.-Cont.-Econ.)-(NS)-DETRAN-MS/2011-SAD-GOV. MS].(Q.25) Considerando um trecho hipottico de uma rodovia e que nesse trecho, em um ano, foram cometidas 1 000 000 de infraes de trnsito. Considerando que o nmero possvel de infraes distin-tas para esse trecho 300 000. Uma implicao lgica que: a) necessariamente diferentes infraes aconteceram. b) um mesmo condutor cometeu diferentes infraes. c) um mesmo condutor cometeu duas diferentes infra-es. d) alguma infrao aconteceu mais de 3 vezes. e) necessariamente todo tipo de infrao aconteceu. 4. [Gestor Ativ. Organiz.-(Adm.-Cont.-Econ.)-(NS)-DETRAN-MS/2011-SAD-GOV. MS].(Q.26) Uma negao da propo-sio a estrada longa e reta : a) a estrada longa, mas curvilnea. b) a estrada curta e curvilnea. c) a estrada no longa e no reta. d) a estrada curta ou curvilnea. e) a estrada curta, mas no reta. 5. [Gestor Ativ. Organiz.-(Adm.-Cont.-Econ.)-(NS)-DETRAN-MS/2011-SAD-GOV. MS].(Q.27) Considere o seguinte di-agrama lgico:

Qual das alternativas abaixo melhor se aplica ao dia-grama? a) Entre os vrios corpos celestes do sistema solar, con-tam-se os planetas e o satlites com caractersticas dis-tintas entre si. b) Uma tomada eltrica fornece energia? c) Lentes bifocais so timas para melhorar a viso. d) A interseo de dois conjuntos numricos nunca ser um conjunto vazio. e) A escala musical pode ser percorrida com uma ou duas mo ao piano. 6. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.26) Assina-le a alternativa que contm a negao da afirmao Se fizer sol, eu vou trabalhar de bicicleta. a) Se fizer sol, eu no vou trabalhar de bicicleta. b) No faz sol e eu vou trabalhar de bicicleta. c) Faz sol e eu no vou trabalhar de bicicleta. d) No faz sol e eu no vou trabalhar de bicicleta.

7. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.27) Assi-nale a alternativa que contm a afirmao logicamente equivalente a incorreto que, se Marcos est na praia, ento Maria est na escola. a) correto que Marcos est na praia ou Maria est na escola. b) incorreto que Marcos no est na praia ou Maria no est na escola. c) incorreto que Marcos no est na praia ou Maria est na escola. d) incorreto que Marcos est na praia ou Maria no est na escola. 8. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.28) Con-sidere a afirmao incorreto dizer que todos os mora-dores de Salvador no gostam de carnaval. A condi-o necessria e suficiente para que essa afirmao se-ja verdadeira que seja verdadeira uma das proposi-es abaixo. Assinale a alternativa que contm essa proposio. a) Pelo menos um morador de Salvador gosta de carna-val. b) Todos os moradores de Salvador gostam de carnaval. c) Nenhum morador de Salvador gosta de carnaval. d) Nenhum morador de Salvador no gosta de carna-val. 9. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.29) Assi-nale a alternativa que contm a sentena logicamente equivalente a No verdade que Carla morena e Luiza magra. a) verdade que se Carla no morena, ento Luiza magra. b) verdade que Carla morena ou Luiza no magra. c) verdade que se Carla no morena, ento Luiza no magra. d) verdade que Carla no morena ou Luiza no magra. 10. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.30) Assi-nale a alternativa que contm a sentena logicamente equivalente a dizer que verdadeira a afirmao Pelo menos um engenheiro no professor. a) Dizer que falsa a afirmao Todos os engenheiros so professores. b) Dizer que falsa a afirmao Nenhum engenheiro professor. c) Dizer que falsa a afirmao Nenhum professor engenheiro. e) Dizer que falsa a afirmao Pelo menos um profes-sor no engenheiro.



11. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.31) Assi-nale a alternativa que contm a negao da afirmao Se como muito, passo mal. a) No como muito e passo mal. b) Como muito e no passo mal. c) Se no como muito, no passo mal. d) No como muito e no passo mal. 12. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.32) Assi-nale a alternativa que contm a classificao correta pa-ra a proposio Ao lanar-se uma moeda para cima, a face coroa cair virada para cima ou no cair virada para cima. a) Contradio. b) Tautologia. c) Equivalncia. d) Conectivo. 13. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.33) Assi-nale a alternativa que contm a sentena logicamente equivalente a Maria solteira, ento Carlos corredor. a) Se Carlos corredor, Maria solteira. b) Se Carlos no corredor, ento Maria no solteira. c) Maria solteira ou Carlos corredor. d) Se Maria no solteira, ento Carlos no Corredor. 14. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto P-blica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.34) Sa-bendo que Se Olvia no trabalha, Rita no come, assi-nale a alternativa correta. a) Olvia no trabalhar condio suficiente para Rita comer. b) Olvia no trabalhar condio necessria para Rita no comer. c) Olvia trabalhar condio suficiente para Rita co-mer. d) Olvia trabalhar condio necessria para Rita comer. 15. [Gestor Reg. Serv. Abast. gua e Esg. Sanit.-(Gesto Pblica)-(NS)-(S11-P)-ARSAE-MG/2014-FUNCAB].(Q.35) Assinale a alternativa que contm a sentena logicamen-te equivalente a Jos porteiro ou Joo no sindico. a) Se Jos no porteiro, ento Joo sndico. b) Se Jos porteiro, ento Joo no sndico. c) Jos porteiro se e somente se Joo no sndico. d) Se Joo sndico, ento Jos porteiro. 16. [Tc. Edificaes-(NM)-(M)-(M02-P)-DAE-CE/2013-FUNCAB].(Q.21) Alguns cadistas so desenhistas e to-dos os desenhistas so artistas. correto afirmar que: a) Todo artista desenhista. b) Todo desenhista cadista. c) Nenhum artista cadista. d) Nenhum cadista no artista. e) Algum cadista artista.

17. [Tc. Edificaes-(NM)-(M)-(M02-P)-DAE-CE/2013-FUNCAB].(Q.22) Se Daniele cearense, ento ela gosta de forr. Portanto: a) Se Daniele no gosta de forr, ento ela no cea-rense. b) Se Daniele no cearense, ento ela gosta de forr. c) Se Daniele gosta de forr, ento ela cearense. d) Se Daniele gosta de forr, ento ela no cearense. e) Se Daniele cearense, ento ela no gosta de forr. 18. [Tc. Edificaes-(NM)-(M)-(M02-P)-DAE-CE/2013-FUNCAB].(Q.23) Amaro, Beto e Ccero moram cada um, em uma nica casa. Um deles mora em uma casa branca, outro mora em uma casa amarela e o terceiro, no necessariamente nessa ordem, mora em uma casa azul. Sabe-se que: Amaro no mora na casa amarela. Ccero no mora na casa branca. Beto no mora na casa azul. Ccero no mora na casa amarela. Pode-se afirmar que: a) Ccero mora na casa amarela. b) Ccero mora na casa azul. c) Amaro mora na casa amarela. d) Amaro mora na casa azul. e) Beto mora na casa branca. 19. [Tc. Edificaes-(NM)-(M)-(M02-P)-DAE-CE/2013-FUNCAB].(Q.24) Considerando as premissas: p: Nenhum engenheiro cadista. q: Alguns tcnicos so cadistas. Pode-se concluir que: a) Alguns engenheiros so tcnicos. b) Alguns tcnicos no so engenheiros. c) Nenhum tcnico engenheiro. d) Nenhum engenheiro tcnico. e) Todo cadista engenheiro. 20. [Tc. Edificaes-(NM)-(M)-(M02-P)-DAE-CE/2013-FUNCAB].(Q.25) Considere que so verdadeiras as se-guintes proposies: Se Leonardo supervisor ou Leonardo fiscal, en-

to Leonardo tcnico. Leonardo fiscal. Pode-se concluir que tambm verdadeira a proposi-o: a) Leonardo no supervisor. b) Leonardo no supervisor, mas fiscal. c) Leonardo tcnico. d) Se Leonardo tcnico ento Leonardo supervisor. e) Leonardo no tcnico.



GABARITOS (344 QUESTES)

1

ESTRUTURAS LGICAS. LGICA DE ARGUMENTAO: analogias, inferncias, dedues e concluses.

LGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL): proposies simples e compostas; ta-belas verdade; equivalncias; leis de de morgan; diagramas lgicos.

LGICA DE PRIMEIRA ORDEM.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 E E D D A C C A D A B B B D D E A B B C B B E C

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 D A B D A E D E C A D B D E C C D C C E E B B D 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 D B C A E E B D B D A B E

2 OPERAES COM CONJUNTOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A D E D A B D A E D E B B B B A A

3 PROBLEMAS ARITMTICOS, GEOMTRICOS E MATRICIAIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 D D D E B D E C B D B D C C E E D A E C B A 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 D E B B A E C C D A E E A D C C A A C D A C 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 E A C E E C D A E A D D B D B B E C B D E C

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 D C E B E A E B E C B B A E B C A C B E B C 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 E E D B A D E B B D A E B A B E B A D A

4 PRINCPIOS DE CONTAGEM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A D A B B E D D C C C C B A D D E A A A B A

5 PROBABILIADADE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C A E E B D A D D B C D D D B E A D E A D C E D 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 D D C C E D C A B D E D D B

RACIOCNIO LGICO

racicinio logico detran-ms.pdf

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