13.8 Teoremada Divergênciae uma TeoriaUnificada 505

ExÊRêIê~Iõs;!,;;~;;~,:;;:'i];iHL:;:".;:';-!~\hi;';,~(~JJá!,,)

Calculando o DivergenteNos exercícios 1-4, encontre a divergência do campo.

1. O campo de rotação da Figura 13.14.

2. O campo radial da Figura 13.13.

3. O campo gravitacional da Figura 13.12.

4. O campo de velocidade da Figura 13.9:

Usandoo Teoremada Divergência para Calcular oFIuxo Exterior

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Nos exercícios5-16, useo TeoremadaDivergênciapara encontraro fluxo exterior de F através da fronteira da região D.

S. CuboF = (y - x)i + (z - y)j + (y - x)k

D: O cubo limitado pelos planos x = ::!:1, y = ::!:1 ez = 2:1.

6. F = X2i + y2j + Z2k

(a) CuboD: O cubo cortado do primeiro octante pelos pla-nos x = 1, y = 1 e z = 1.

(b) CuboD: O cubo limitado pelos planos x = ::!:1,y=::!:1ez=::!:1.

(c) Latacilíndrica D: A região cortada do cilindro sólidoX2+ y2::; 4 pelosplanosz = Oe z = 1.

7. Cilindroe parabolóídeF = yi + xyj - zk

D : A região dentro do cilindro sólido :x? + i ::; 4 entre o

plano z = Oe o parabolóide z = :x?+ i.8. Esfera F = :x?i + x,(j + 3zk

D: A esfera sólida:x? + i + Z2 ::; 4.

9. PartedeumaesferaF = :x?i- 2xyj + 3xzk

D: A região cortada do primeiro octante pela esfera:x? + i+ i! = 4.

10. LatacilíndricaF = (6:x?+ 2xy)i+ (2y + X2Z)j+ 4:x?lk

D: A região cortada do primeiro octante pelo cilindro :x?+i = 4 e o plano z = 3. .

11. CunhaF =2Xzi- xyj- z2kD: A cunhacortadado primeirooctantepeloplanoy + z =

4 e pelo cilindro elíptico 4:x?+ i = 16.

12. EsferaF = i3i + lj + z3k

D: A esfera sólida:x? + i + Z2 ::; a2,

13. EsferaespessaF = VX2 + y2 + Z2 (xi + yj + zk)

D: A região 1 ::; X2 + i + Z2 ::; 2.

14. EsferaespessaF = (xi + yj + Zk)/VX2 + y2 + Z2

D: A região 1 ::;:X?+ i + i!::; 4.

IS. EsferaespessaF = (5i3 + 12xy2)i+ (y3+ eYsen z)j + (5z3 +eYcos z)k

D: A região do sólido entre as esferas :x?+ i + Z2 = 1 e:x?+ i + Z2 = 2.

16. Cilindroespesso F ~ ln (X2 + l)i - (~z are tg ~)j + .zV:x?+ ik

D: O cilindro de paredes espessas 1 ::;:x?+ i ::; 2, - 1 ::; z ::; 2.

Propriedades do Rotacional e Divergência

17. dív (rot G)== o

(a) Mostreque se as derivadasparciaisnecessáriasdas com-ponentes do campo G = Mi + Nj + Pk forem contínuas,então V .V X G = O.

(b) EscrevendoparaaprenderPode-se concluir algo sobre ofluxo do campo V X G através de uma superfície fechada?O quê? Justifique sua resposta.

18. IdentidadesSejam Fie F2 campos vetoriais diferenciáveis esejam a e b constantes reais arbitrárias. Verifique as identida-des a seguir.

(a) V.(aFi +bF2)=aV.Fi +bV.F2

(b) V X (aFI + bF2) = aV X FI + b V X F2

(c) V. (FI X F2) = F2' V X Fi - Fi .V X F2

19. Identidades Seja F um campo vetorial diferenciável e sejag(x, y, z) uma função escalar diferenciáveI. Verifique asidentidades a seguir.

(a) V' (gF) = gV' F + Vg' F

(b) V X (gF) = gV X F + Vg X F

20. Identidades Se F = Mi + Nj + Pk for um campo vetorialdiferenciável, definimos a notação F .V para significar

a a aM ax + N ay + P az .

Para campos vetoriais diferenciáveis Fie F2,verifique as iden-tidades a seguir.

(a) V X (Fi X F2) = (F2' V)Fj - (Fi' V)F2+(V' F2)Fi - (V, F1)F2

(b) V(Fl' F2) = (Fi' V)F2 + (F2' V)Fi +F i X (V X F 2) + F 2 X (V X Fi)

Teoria e Exemplos

21. Escrevendopara aprender:limitandoa divergênciaSeja F umcampo cujas componentes têm derivadas parçiais de primeiraordem contínuas em uma parte do espaço que contém uma re-giãoD limitadapor uma superfíciefechadae lisaS. SeIFI::;1, pode ser colocada alguma limitação sobre o tamanho de

fff V .F dV?D

Justifique sua resposta.

506 Capítulo 13: Integração para Campos Vetoriais

22. Escrevendoparaaprender:fluxodeumvetorposiçãoA base dasu-perfíciefechadade tipo cúbicomostradaaqui é um quadradounitário no plano.xy. Os quatro lados estão nos planos x = O,x = I, y = O e y = 1. O topo é uma superfície lisa arbitráriacuja identidade é desconhecida. Seja F = xi - 2yj + (z + 3)ke suponha que o fluxo exterior de F através do lado A seja 1 eatravés do lado B seja -3. Pode-se concluir algo sobre o fluxoexterior através do topo? Justifique sua resposta.

z

i

1

~~Lado B Y

x (1, 1, O)

I" 23. (a) Fíuxodo vetarposiçãoMostre que o fluxo exterior dó

campo vetoria! de posições F = xi + yj + zk através deuma superfície S fechada e lisa é três vezes o volume daregião limitada pela superfície.

(b) Seja n o campo de vetores unitários normal exterior em S.Mostre que não é possível que F seja ortogonal a n emtodo ponto de S.

24. FluxomáximoDentre todos os sólidosretangularesdefinidospelas desigualdades O~ x ~ a, O ~ Y ~ b, O~ z ~ 1, encon-tre aquele para o qual o fluxo exterior total de F = (-x? -4.xy)i - 6y-d + 12zk através dos seis lados é maior. Qual é omaior fluxo?

25. Volumede uma regiãosólidaSeja F = xi + yj + zk e suponhaque a superfície S e a região D satisfaçam as hipóteses do Teo-rema da Divergência. Mostre que o volume de D é dado pelafórmula

VolumedeD =} JJF'ndO".s

26. F/uxodeumcampoconstante Mostreque o fluxoexteriorde umcampo vetorial constante F = C através de qualquer superfíciefechada para a qual o Teorema da Divergência se aplica é zero.

27. FunçõesharmônicasUmafunçãof(x, y, z) é consideradahar-mônica em uma região D do espaço se ela satisfaz a equaçãode Laplace

VY=V'Vf=J21 +J2f +J2f-JX2 Jy2 JZ2 - O

emD.

(a) Suponha que I seja harmônica em uma região limitada Dcom fronteira S lisa e que n seja o versor normal escolhidosobre S. Mostre que a integral sobre S de Vf' n, a deri-vada de f na direção de n, é zero.

(b) Mostre que, sef é harmônica em D, então

JJ] V] . n dO" = JJJI V fl2 dV.S D

28. Fluxode um campogradienteSeja S a superfície da porção da es-fera sólida x? + l + i ~ a2 que está no primeiro octante esejaf(x, y, z) = ln Yx2 + y2 + Z2.Calcule

JJ VI' ndO".S

(VI' n é a derivada defna direção de n.)

29. PrimeirafórmuladeGreenSuponhaqueI e g sejamfunçõeses-calares com derivadas parciais de primeira e de segunda ordemcontínuas em uma região D limitada por. uma superfície fe-chadae lisa porpartesS.Mostreque

JJf V g .n dO" = fff(I V2g + VI' V g) dV.S D

(9)

A equação (9) é a primeira fórmula de Green. (Dica: Apli-que o Teorema da Divergência para o campo F = f Vg.)

30. Segundafórmula de Green(Continuação do Exercício 29). Tro-quefpor g e vice-versa na equação (9) para obter uma fórmulasimilar. Depois subtraia essa fórmula da equação (9) para mo..s-trar que

fJ(] Vg - g V.f) .n da = JJJ(I V2g - g VY) dV. (10)S D

Estaequaçãoé a segundafórmula de Green.

31. ConservaçãodemassaSeja v(t, x, y, z) um campo vetorial conti-nuamente diferenciável sobre a região D no espaço e sejap(t, x,y, z) uma função escalar continuamente diferenciável. A variá-vel t representa o domínio do tempo. A lei de Conservação deMassa afirma que

;tJJf p(t, x, y, z) dV = - Jf pv . n da,D S

onde S é a superfície que engloba D.

(a) Dê uma interpretação física da lei da conservação demassa se v for um campo de velocidade do escoamento ep representar a densidade do fluido no ponto (x, y, z) noinstante t.

(b) Use o Teorema da Divergência e a Regra de Leibniz,

~JJJp(t, x, y, z) dV = JJf: dV,D D

para mostrar que a Lei da Conservação de Massa é equi-valente à equação de continuidade,

JpV .pv + Jt = O.

--ooIIIIIL.

(No primeiro termo V .pv, a variável t é mantida fixa e nosegundo termo ap/at,é considerado que o ponto (x, y, z) emD é mantido fixo.)

32. EquaçãodedifusãodocalorSejaT(t,x, y, z) umafunçãocomde-rivadas de segunda ordem contínuas que dá a temperatura noinstante t no ponto (x, y, z) de um sólido que ocupa uma regiãoD no espaço. Se a capacidade de calor do sólido e a densidadede massa forem denotadas pelas constantes c e p, respectiva-mente, a quantidade cpT é chamada de energia calorífica porunidade de volume do sólido.

(a) Explique por que - VT aponta no sentido do fluxo decalor.

(b) Seja denotado o vetor de fluxo de energia por - kVT.(Aqui, a constante k é chamada de condutividade.) Con-

Questões de Revisão 507

siderando a Lei de Conservação de Massa com - kVT = ve cpT = p no Exercício 31, deduza a equação d~ difusão(calor)

aT = KV2T,at

onde K = k/(cp) > Oé a constante de difusão. (Note quese TU, x) representa a temperatura no instante t e na posi-ção x em uma barra uniformemente condutora com ladosperfeitamente isolados, então ~T = iPT/aJ?e a equaçãode difusão se reduz à equação do calor unidimensional nosExercícios Adicionais do Capítulo 11.)

16. O que é uma superfície parametrizada? Como se encontra suaárea? Dê exemplos.

17. Como se integra uma função sobre uma superfície parametri-zada? Dê um exemplo.

I~,~,1~,,'

Questões de Revisão:i

1. o que são integrais de linha? Como são calculadas? Dêexemplos.

2'- Como se podem usar integrais de linha para encontrar o centrode massa de molas? Explique.

3. O que é um campo vetorial? E um campo gradiente? Dêexemplos.

4. Como se calcula o trabalho realizado por uma força paramover uma partícula ao longo de uma curva? Dê um exemplo.

5. O que são escoamento, circulação e fluxo?

6. O que há de especial nos campos independentes do caminho?

7. Como se pode saber quando um campo é conservativo? Comose encontra o trabalho realizado por um campo conservativo?

8. O que é uma função potencial? Mostre com um exemplo comoencontrar uma função potencial para um campo conservativo.

9. O que é uma forma diferencial? O que significa tal forma serexata? Como se testa a exatidão? Dê exemplos.

10. O que é o divergente de um campo vetorial? Como se pode in-terpretá-Io?

11. O que é o rotacional de um campo vetorial? Como se pode in-terpretá-Io?

12. Quais são as duas formas do Teorema de Green? Como sepode interpretá-Ias?

13. Como se calcula a área de uma superfície curva no espaço? Dêum exemplo.

14. O que é uma superfície orientada? Como se calcula o fluxo deum campo vetorial tridimensional através de uma superfícieorientada? Dê um exemplo.

15. O que são integrais de superfície? O que se pode calcular comelas? Dê um exemplo.

18. O que é o Teorema de Stokes? Como se pode interpretá-Io?

19. Resuma os resultados do capítulo sobre campos conservativos.

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20. O que é o Teorema da Divergência? Como se pode in-terpretá-lo?

21. Como o Teorema da Divergência generaliza o Teorema deGreen?

22. Como o Teorema de Stokes generaliza o Teorema de Green?

23. Como o Teorema de Green, o Teorema de Stokes e o Teoremada Divergência podem ser considerados formas particulares deum único teorema fundamental?

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