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Análise de Decisão Escalas de mensuração e métodos de construção de escalas de valor Carlos Bana e Costa João Lourenço Mónica Oliveira

Ano lectivo 2014/2015

ESTRUTURAÇÃO AVALIAÇÃO

Pontos de vista

Descritores de desempenho

Perfis de desempenho das opções

Valores Parciais

Pesos

Análises de Sensibilidade e de Robustez

OPÇÕES

METODOLOGIA MULTICRITÉRIO: Estruturação vs. avaliação

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Mensuração ü Em actividades de mensuração, atribuímos números a

observações: à Os números permitem uma análise mediante

manipulação ou operação de acordo com certas regras. ü Não medimos objectos mas sim características particulares

dos objectos: à Ex: peso ou inteligência

ü A relação entre os objectos e os valores observados, e os números atribuídos às observações é tão directa, que mediante manipulação desses números obtêm-se novas informações sobre os objectos!

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Escalas de mensuração

Contexto: É condição para que um ponto de vista fundamental (PVFj) seja operacional que lhe esteja associado um descritor e uma escala de preferência local. Descritores à Escalas de preferência

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Tipos de escalas

• Escalas nominais

• Escalas ordinais

• Escalas de intervalos

• Escalas de razões

Escalas usadas nas metodologias multicritério

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Escalas

Nominal

Ordinal

Intervalos

Razões

Mais informação disponível Maior nível de mensuração Maior análise estatística possível

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Escalas nominais

Escala nominal

• Corresponde ao mais baixo nível de mensuração. • Utiliza números ou outros símbolos para

classificar uma pessoa, objecto ou característica. • Não tem nenhuma ordenação implícita: à Operações como a adição/subtracção e

multiplicação/divisão são operações inadequadas!

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Exemplos

•  Católica, Judia, Muçulmana, Hindu, Budista

Classificação de uma pessoa quanto à religião

•  Solteira, Casada, Divorciada, Viúva Classificação de uma

pessoa quanto ao estado civil

•  … Matrículas automóveis

•  … Nos. nas camisolas de jogadores de futebol

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Escala nominal: Propriedades

• Equivalência (=): os membros de qualquer subclasse devem ser equivalentes na propriedade escalonada.

• A relação de equivalência é reflexiva (x = x, para todo o x), simétrica (se x = y, então y = x) e transitiva (se x = y e y = z, então x = z).

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Escala nominal: Operações admissíveis •  A classificação pode ser representada por qualquer

conjunto de símbolos: ▫  Escala nominal é “única a menos de uma

transformação biunívoca”. •  As únicas estatísticas admissíveis são as que

permanecem inalteradas em relação a essa transformação (biunívoca): a moda, contagens de frequência, etc.

•  Os símbolos que designam as diversas subclasses na escala podem ser permutados, desde que isso seja feito de forma consistente e completa.

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Escala nominal: Operações admissíveis Exemplo: •  Nas matrículas dos automóveis poderia existir um

prefixo que indicasse o distrito onde o automóvel foi registado: ▫  Automóvel de Lisboa poderia ter o prefixo “LX”;

automóvel de Leiria poderia ter o prefixo “LA”. •  Seria possível permutar os prefixos que representam

os dois distritos, mas isto só estaria preservado se essa permuta fosse feita de forma consistente e total na emissão de todas as novas chapas de matrícula.

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Escala nominal: Operações admissíveis •  Sob certas condições podem comprovar-se

hipóteses relativas à distribuição de casos entre categorias utilizando provas estatísticas não-paramétricas χ2, ou uma prova baseada no desenvolvimento binomial: ▫  Podem aplicar-se provas baseadas nas frequências

das categorias (dados enumerativos).

• A medida de associação entre dados em escalas nominais é o coeficiente de contingência C.

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Escalas ordinais

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Numa escala ordinal os números da escala (dados ordinais) são obtidos classificando os elementos por

ordem de grandeza, segundo um descritor.

Há apenas uma ordem de preferência, crescente ou

decrescente, entre si, sem que se possa quantificar o quanto um

ponto da escala é mais preferível que outro.

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Exemplos

Patentes militares:

•  Coronel > Capitão > Tenente

Conhecimento de um aluno sobre a matéria de AD:

•  Conhecimento completo da matéria > Bom conhecimento da matéria > Conhecimento básico da matéria > Pouco conhecimento da matéria > Nenhum conhecimento da matéria

Classificação de hotéis:

•  ***** > **** > *** > ** > *

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Escala ordinal •  Elementos em cada categoria de uma determinada

escala não são apenas diferentes entre si, mas guardam certo tipo de relação: ▫  Relações típicas: mais alto, preferido, mais fácil, mais

perturbado, mais novo, etc. ▫  Relações com o símbolo “>”, no geral significam

“maior do que”. ▫  Escalas particulares: “preferível a “, “mais alto do que”,

“mais difícil do que”, etc.

•  O significado específico nesta escala depende da natureza da relação que define a escala.

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Escala ordinal

• Exige ordenação completa à informação sobre a relação “>” para todos os pares de classes.

• Respeita uma determinada ordem mas não é uma escala verdadeiramente quantitativa: ▫  Iguais intervalos na escala ordinal não implicam

intervalos iguais entre as classes subjacentes!

muito fraco

fraco normal forte muito forte

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Escala ordinal: Propriedades • Equivalência (=): os membros de qualquer

subclasse devem ser equivalentes na propriedade escalonada (tal como acontece na escala nominal)

• A relação “Maior do que” (>) é: ▫  Irreflexiva

�  Não é verdade que x > x, para todo o x ▫  Assimétrica

�  Se x > y, então y < x ▫  Transitiva

�  Se x > y e y > z, então x > z

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Escala ordinal: Operações admissíveis

• Qualquer transformação que preserve a ordem não altera a informação contida numa escala ordinal: à A escala é única.

•  Todos os números atribuídos a classes de uma escala ordinal podem ser alterados de qualquer forma que não altere a ordenação entre os elementos dessa escala.

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Escala ordinal: Operações admissíveis Exemplo General Brigadeiro

Esta transformação não altera a ordem das classes, porque não envolve qualquer

perda de informação.

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Escala ordinal: Operações admissíveis

• Estatística adequada para descrever a tendência central: ▫  Mediana à não é afectada por modificações de

quaisquer valores abaixo ou acima dela, desde que o número de valores abaixo e acima dela permaneça o mesmo.

• Adequabilidade de testes de hipóteses usando estatísticas não paramétricas: ▫  Exemplos: coeficiente de correlação de Spearman

(rs) ou coeficiente τ de Kendall.

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Escalas de intervalos

Escalas de intervalos

Todas as características da escala ordinal

Conhece-se o quão grandes são as

distâncias (intervalos) entre dois quaisquer

números da escala

Mensuração consideravelmente mais forte do que a ordinal à Escala de intervalos.

(primeira escala verdadeiramente quantitativa de todas as escalas mencionadas até agora)

+

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Escala de intervalos

• Escala caracterizada por uma unidade constante e comum de mensuração que atribui um número real a todos os pares de objectos no conjunto ordenado.

• A razão de dois intervalos quaisquer é independente da unidade de mensuração e do ponto zero. ▫  O ponto zero e a unidade de medida são

arbitrários!

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Exemplos Medição da temperatura

Medição do tempo

Medição da longitude

1990 1989 1988 1987 1986 1985 …. 0

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Exemplo temperaturas

• Escalas Celsius e Fahrenheit ▫  A unidade de medida e o zero são arbitrários,

sendo diferentes para as duas escalas. • Ambas as escalas contêm a mesma quantidade e

a mesma natureza de informações, sendo convertíveis via transformação linear positiva:

32C59F +=

F – n.º de graus na escala Fahrenheit C – n.º de graus na escala Celsius

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Exemplo temperaturas • Mostra-se facilmente que: ▫  As razões das diferenças de temperatura

(intervalos) são independentes da unidade de medida e do ponto zero. ▫  Ex: �  A água solidifica a 0º C e entra em ebulição

a 100ºC. �  A água solidifica a 32º F e entra em ebulição

a 212º F.

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Exemplo temperaturas Aplicam-se outras leituras em ambas as escalas:

ºC 0 10 30 100 ºF 32 50 86 212

à A razão das diferenças entre leituras numa escala é igual à razão entre as diferenças correspondentes na outra:

20101030

=−

−Em ºC 223505068

=−

−Em ºF

29


80ºC ó 176ºF

40ºC ó 104ºF

80ºC = 2 × temperatura de 40ºC

176ºF ≠ 2 × 104ºF !!!

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A diferença de temperatura entre 80ºC e 40ºC é igual ao dobro da diferença de temperatura entre 60ºC e 40ºC.

80ºC – 40ºC = 2 × (60ºC - 40ºC)

176ºF - 104ºF = 2 × (140ºF – 104ºF)

Confirmação

ü

31

Escala de intervalos: Propriedades

•  As diferenças na escala de intervalos são isomorfas à estrutura da aritmética.

•  Podem associar-se números às posições dos objectos de modo a que as operações de aritmética possam ter sentido quando efectuadas sobre as diferenças entre esses números: ▫  Equivalência (=): os membros de qualquer

subclasse devem ser equivalentes na propriedade escalonada (como na escala nominal) ▫  “Maior do que” (>) (como na escala ordinal) ▫  Temos de poder especificar a razão entre dois

intervalos quaisquer.

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Escala intervalos: Operações admissíveis • Qualquer modificação nos números associados à

posição dos objectos mensurados deve preservar a ordem dos objectos e as diferenças relativas entre os objectos. ▫  A escala de intervalos é “única a menos de uma

transformação linear”.

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Escala intervalos: Operações admissíveis

80 pontos convertidos para a nova escala resultam em:

A informação não é afectada se cada número for multiplicado por uma constante positiva e se em seguida se somar uma constante ao resultado:

Exemplo: transformação de valores de uma escala de intervalos em valores de outra escala de intervalos diferente

500 ...

-500

100 ... 0

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f (x) =αx +β

500α +β =100−500α +β = 0

"#$

%$⇔

α = 0,1β = 50

f (x) = 0,1x + 50

f (80) = 0,1×80+50 = 58

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Escala intervalos: Operações admissíveis • Estatísticas paramétricas comuns são aplicáveis. ▫  Média, desvio-padrão, correlações de Pearson, etc.

•  Testes paramétricos comuns são aplicáveis. ▫  t-student, F, etc.

• Estatísticas paramétricas podem ser aplicadas e são preferíveis às estatísticas não paramétricas (desde que os pressupostos de base aos modelos estatísticos sejam satisfeitos).

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Escalas de razões

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Escalas de razões

Todas as características da escala de intervalos

Verdadeiro ponto de origem

Escala de razões ou de rácios à permite que se comparem directamente os pontos (dados

métricos) que a compõem, e onde o zero é fixo

+

37

Exemplos

Idade

Peso Comprimento

Dias Meses Anos…

à Existe o ponto zero gramas e zero libras. à A razão entre dois pesos é independente

da unidade de medida. à Se determinarmos os pesos de dois

objectos diferentes em gramas e em libras, observaremos que a razão em gramas é

igual à razão em libras.

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Escala de razões: Propriedades •  Escala isomorfa à estrutura da aritmética. •  São permissíveis as operações da aritmética sobre os

valores numéricos atribuídos não só aos próprios objectos como aos intervalos entre números: 1.  Equivalência (=): os membros de qualquer subclasse

devem ser equivalentes na propriedade escalonada (como na escala nominal)

2.  “Maior do que” (>) (como na escala ordinal) 3.  Temos de poder especificar a razão entre dois

intervalos quaisquer (como na escala de intervalos) 4.  Temos de poder especificar a razão entre dois

valores quaisquer da escala

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Escala de razões: Operações admissíveis •  Os números associados são números “verdadeiros”

com um zero verdadeiro: ▫  Somente a unidade de medida é arbitrária.

•  A escala de razões é “única” a menos que seja sujeita a multiplicação por uma constante positiva.

•  Além das provas estatísticas anteriormente mencionadas, também se podem utilizar estatísticas como a média geométrica e o coeficiente de variação: ▫  Estas estatísticas exigem o conhecimento do ponto

zero verdadeiro.

40

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Métodos de construção de escalas de valor

Como converter desempenho em valor?

42

0

2040

6080

100

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Preço (106 €)

V(p

reço

)

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50

Distância ao centro (km)

V(d

istâ

ncia

ao

cent

ro)

0

20

40

60

80

100

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15N.º lugares de estacionamento

V(n.

º lug

ares

de

esta

cion

amen

to)

Descritores de desempenho

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Métodos de construção de escalas de valor

•  Técnicas numéricas ▫  Direct Rating (pontuação directa) ▫  Método da Bissecção

•  Técnicas não-numéricas ▫  MACBETH (Measuring Attractiveness by a

Categorical Based Evaluation Technique)

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Baseado em Goodwin e Wright (2009, Capítulo 3)

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Que localização escolher? Localização Cód.

Addison Square A Bilton Village B Carlisle Walk C Denver Street D Elton Street E Filton Village F Gorton Square G

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Árvore de valor

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Qual o desempenho das alternativas?

1.  Definição dos pontos de vista fundamentais 2.  Apuramento do desempenho das alternativas

em cada um desses pontos de vista fundamentais: ▫  A determinação dos custos anuais de operação é

relativamente simples dadas as estimativas de custo.

▫  O decisor poderá decidir usar uma função de valor linear.

ü

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Qual o desempenho das alternativas?

Localização Renda anual

($)

Custos de limpeza

anuais ($)

Custos electric.

anuais ($)

Custos totais ($)

Addison Square 30 000 3 000 2 000 35 000

Bilton Village 15 000 2 000 800 17 800

Carlisle Walk 5 000 1 000 700 6 700

Denver Street 12 000 1 000 1 100 14 100

Elton Street 30 000 2 500 2 300 34 800

Filton Village 15 000 1 000 2 600 18 600

Gorton Square 10 000 1 100 900 12 000

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Qual o desempenho das alternativas? •  O que fazer aos outros pontos de vista fundamentais? ▫  Tarefa facilitada se pudermos identificar descritores para esses

pontos de vista: �  Ex: o tamanho de uma loja poderá ser representado pela sua

área em ft2. �  Ex: a distância de uma loja ao centro da cidade pode ser uma

boa aproximação para a “distância aos potenciais clientes”. ▫  Para os pontos de vista fundamentais “imagem” e

“conforto” é mais difícil encontrar um descritor que os quantifique.

Vamos ver duas abordagens para construção de escalas de valor.

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Direct rating: Passos Avaliação das alternativas no ponto de vista “imagem”.

1.  Addison Square

2.  Elton Street

3.  Filton Village

4.  Denver Street

5.  Gorton Square

6.  Bilton Village

7.  Carlisle Walk

Primeiro passo: pede-se ao decisor para ordenar as

alternativas por ordem decrescente de

preferência considerando somente o ponto de vista

imagem.

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Direct rating: Passos •  Segundo passo: ▫  Atribuímos à alternativa classificada em 1.º lugar,

Addison Square, 100 pontos e à classificada em último lugar - Carlisle Walk (a localização menos atraente em termos de “Imagem”) – zero pontos.

•  Nota: ▫  Poderiam ser atribuídos outros dois números a estas duas

alternativas desde que a pontuação da 1.ª classificada fosse superior à pontuação da última classificada. ▫  Utilização de 100 e 0 torna os juízos seguintes mais fáceis e

simplifica a aritmética.

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Direct rating: Passos

Terceiro passo: é pedido ao decisor para atribuir pontuações às restantes alternativas de forma a que o espaço entre os valores que ele atribui às localizações represente a sua intensidade de preferência de uma alternativa sobre outra em termos de imagem.

Valor100 Addison Square

90 Elton Street

8070 Filton Village

60504030 Denver Street

20 Gorton Square

10 Bilton Village

0 Carlisle Walk

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Direct rating: Passos A melhoria em imagem entre Carlisle Walk e Gorton Square é entendido pelo decisor como valendo 2 vezes a melhoria em imagem entre Carlisle Walk e Bilton Village.

A melhoria em imagem entre Carlisle Walk e Addison Square é vista como valendo 10 vezes a melhoria entre Carlisle Walk e Bilton Village.


90 Elton Street

8070 Filton Village


20 Gorton Square

10 Bilton Village

0 Carlisle Walk

2x

10x

Estamos a usar uma escala de intervalos!!!

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• Quarto passo: Confirmação dos valores da escala.

▫  Não se pode dizer que a imagem de Gorton Square é duas vezes preferível à imagem de Bilton Village. ▫  A atribuição de 0 à imagem de Carlisle Walk foi

arbitrária à temos uma escala de intervalos que só permite comparar intervalos entre valores!

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•  Questões para testar a consistência das preferências do agente de decisão.

•  Ex: ▫  Está de acordo que a melhoria em

imagem entre Elton Street e Addison Square é equivalente à melhoria em imagem entre Gorton Square e Denver Street?


90 Elton Street

8070 Filton Village


20 Gorton Square

10 Bilton Village

0 Carlisle Walk

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▫  Concorda que a melhoria em imagem entre Carlisle Walk e Denver Street é menos preferível do que entre Denver Street e Elton Street?

•  As respostas a estas perguntas poderão conduzir à revisão de valores antes atribuídos!


90 Elton Street

8070 Filton Village


20 Gorton Square

10 Bilton Village

0 Carlisle Walk

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Método da bissecção

•  Como medir a intensidade de preferência do decisor relativamente a diferentes dimensões de lojas?

Localização Cód. Área (ft2)

Addison Square A 1 000

Bilton Village B 550

Carlisle Walk C 400

Denver Street D 800

Elton Street E 1 500

Filton Village F 400

Gorton Square G 700

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Método da bissecção

• Como converter tamanho (ft2) em valor? ▫  Um aumento de área de 500 ft2 para 1000 ft2 pode

ser muito atraente para o empresário, porque melhoraria consideravelmente as condições de trabalho. ▫  Mas a melhoria alcançada por um aumento de

1000 ft2 para 1500 ft2 poderá ser marginal e tornar este incremento menos atraente.

• Necessidade de transformar áreas das lojas em valores.

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Método da bissecção: Passos •  Primeiro passo: ▫  Quanto maior a loja, melhor! Transformação:

•  Segundo passo: ▫  Pede-se ao decisor para identificar uma área de

loja que tenha um valor (preferencial) equidistante do valor área mais atraente (1500 ft2) e do valor da área menos atraente (400 ft2).

v(1500) = 100 (100 pontos para a maior loja)

v(400) = 0 (0 pontos para loja de menor dimensão)

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Método da bissecção: Passos •  Diga qual é a área x cuja diferença de valor entre 400 ft2

e x seja igual à diferença de valor entre x e 1500 ft2? Nota: Esta área não tem de corresponder a nenhuma das alternativas existentes. Quer apenas determinar-se as preferências do decisor relativamente a áreas de lojas em geral.

Após algumas hesitações e revisões de julgamentos, o decisor chega ao seguinte

valor: v(700)=50

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Método da bissecção: Passos •  Terceiro passo:

▫  Diga qual é a área x cuja diferença de valor entre 400 ft2 e x seja igual à diferença de valor entre x e 700 ft2?

▫  Diga qual é a área x cuja diferença de valor entre 700 ft2 e x seja igual à diferença de valor entre x e 1500 ft2?

Do que resulta v(1000)=75 e v(500)=25.

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Método da bissecção: Passos •  Usar o método determinando os pontos intermédios entre cada dois

pontos já definidos até atingir o nível de precisão desejado…

•  Ou pode parar-se aqui, com uma escala de valor definida por 5 pontos!

500 700 15000

25

50

75

100

400 600 800 1000 1200 1400

Área (ft2)

Valo

r

Note-se que esta função pode ser usada para determinar os valores correspondentes às

áreas das diferentes alternativas.

Ex.: o gráfico sugere que a loja de Bilton Village (com uma área

de 550 ft2) tem um valor aproximadamente igual a 30.

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Método da bissecção: Passos •  Pode aplicar-se o mesmo método para o ponto de vista fundamental

“proximidade aos clientes” à usando “distância ao centro da cidade (em milhas)” como descritor.

•  A função de valor pode ser construída como linear por troços, ou através de ajustamento de uma curva

Esta é uma função de valor decrescente!!!

Qual a interpretação? 0

25

50

75

100

0 2 4 6 8

Distância ao centro (milhas)

Valo

r

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Conversão de desempenho em valor!

Pontos de Vista Lojas

A B C D E F G

Proximidade 100 20 80 70 40 0 60 Visibilidade 60 80 70 50 60 0 100 Imagem 100 10 0 30 90 70 20 Dimensão 75 30 0 55 100 0 50 Conforto 0 100 10 30 60 80 50 Estacionamento 90 30 100 90 70 0 80

Já podemos escolher uma loja? vj(G) valor parcial da opção G no PVF “Proximidade”

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E se o decisor não se quiser expressar ou tiver dificuldade em expressar-se através de juízos quantitativos? Poderá utilizar o método MACBETH…

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Bibliografia • Métodos direct rating e bissecção ▫  Goodwin, P. e Wright, G. (2009). Decision

Analysis for Management Judgment (4th ed.). John Wiley & Sons, Chichester.

• Escalas de mensuração ▫  Siegel, S. (1956). Nonparametric Statistics for the

Behavioral Sciences. McGraw-Hill, London. ▫  Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of

measurement. Science, 103(2684), 677-680.

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