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Moacy José Stoffes Junior
QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS
Dr. Carlos Mergulhão Junior (orientador)
Ji-Paraná-RO, novembro de 2008
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CAMPUS JI-PARANÁ
Por: Moacy José Stoffes Junior
QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS
Trabalho de Conclusão
de Curso submetido ao
Departamento de Física
da Fundação
Universidade Federal de
Rondônia, como
requisito pra obtenção
do titulo de graduação
no curso de Licenciatura
plena em Física.
Ji-Paraná-RO, novembro de 2008
QUEDA DE CORPOS NA PRESENÇA DE FORÇAS RESISTIVAS
Moacy José Stoffes Junior
Este trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obtenção do titulo de
graduação no curso de Licenciatura Plena em Física e aprovado em sua forma final, no
dia 15 de dezembro de 2008, pelo programa de graduação do Departamento de Física da
fundação Universidade Federal de Rondônia, campus de Ji-Paraná.
Banca Examinadora
Dr. Carlos Mergulhão Junior. Orientador
Dr. Walter Trenephol Junior
Drª. Laudilene Olenka
Dedico,
a meus pais.
Agradecimentos
Agradeço á minha família, por sempre estar do meu lado e por proporcionar o
apoio financeiro durante esses três anos e meio.
Aos colegas de turma pelo apoio, ajuda e momentos que passamos juntos.
Tenham certeza, vocês moram em meu coração. Em especial a Adilson, Queila,
Geovana, Jamis, Daniela e Mohameds.
Resumo
O objetivo desse trabalho é analisar os efeitos da ação de forças viscosas de
resistência do ar sobre a dinâmica de um corpo em queda. A princípio foi utilizado à
modelagem usual mediante a aplicação das Leis de Newton resolvendo analiticamente e
depois computacionalmente, via o programa Modellus, as equações resultantes desses
modelos. Foi verificado que realmente existe uma dependência da massa no valor final
do tempo de queda de corpos em dois casos: campos gravitacionais constantes (caso
idealizada) e campos gravitacionais dependentes da altura (caso mais realista).
Lista de Figuras
FIGURA 2.1.1 Esquema de um corpo em queda livre...............................................................13
FIGURA 2.2.1 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do
ar (baixa velocidade).......................................................................................................16
FIGURA 2.2.2 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do
ar (baixa velocidade).......................................................................................................17
FIGURA 2.2.3 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do
ar (alta velocidade)..........................................................................................................19
FIGURA 2.2.4 Gráfico do tempo de queda versus massa...............................................21
FIGURA 2.2.5 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do
ar......................................................................................................................................22
FIGURA 3.1.1 Esquema de um corpo em queda livre, considerando a aceleração da
gravidade variável com a altura.........................................................................................................25
FIGURA 3.1.2 Esquema de um corpo em queda livre, considerando a aceleração da
gravidade variável com a altura e uma força de resistência do ar proporcional à
velocidade.......................................................................................................................26
FIGURA 3.1.3 Velocidade x Tempo, considerando a força de resistência do ar
proporcional ao quadrado da velocidade com a aceleração da gravidade variável com a
altura................................................................................................................................27
FIGURA 3.1.4 - Espaço x Tempo - queda livre (ausência da resistência do ar).............27
Lista de Parâmetros
F = Força resultante, em newtons (N).
v = Velocidade, em metros por segundos (m/s).
)(tv = Função horária da velocidade, em metros por segundos (m/s).
)(ts = Função horária do espaço, em metros (m).
g = Gravidade na superfície terrestre, em metros por segundo ao quadrado (m/s2).
b = Coeficiente de arraste linear, em quilogramas por segundo (Kg/s).
k = Coeficiente de arraste quadrático, quilograma por metro (Kg/m).
TV = velocidade terminal ou velocidade limite, em metros por segundos (m/s).
t = Tempo, em segundos(s).
qt = Tempo de queda, em segundos (s).
H = Altura, em metros (m).
m = Massa, em quilogramas (Kg).
Tm = Massa da terra, 5.98x 10 24 quilogramas (Kg).
TR = Raio médio da terra, 6.37x106 metros (m).
G = 6.67x10-11m3s-2 kg-1 Constante de gravitacional universal.
f = Força de resistência do ar, em newtons (N).
Sumário
1. Introdução......................................................................................................................9
1.1 Aspectos históricos referentes ao movimento vertical dos corpos............................9
1.2 Aplicações do Estudo..............................................................................................11
1.3 Métodos Numéricos e Computacionais...................................................................11
2. Estudo do Movimento Vertical....................................................................................13
2.1 Queda Livre.............................................................................................................13
2.2 Queda na Presença de Forças Viscosas de Resistência do Ar................................15
3. Estudo do Movimento Vertical: Campo Gravitacional variável com a altura............24
3.1 Estudo do Movimento Vertical: Com resistência do ar..........................................26
3.2 Algumas comparações de modelos usando a g constante ou variável....................28
4. Considerações sobre alguns fenômenos que aparecem devido as Forças de
Resistência do Ar.............................................................................................................30
4.1 Perdas de Informação I............................................................................................30
4.2 Perdas de Informação II...........................................................................................31
4.3 Forças Dissipativas..................................................................................................32
5.Conclusão..........................................................................................................34
6. Referências..................................................................................................................35
9
1. Introdução
Este trabalho de conclusão de curso tem por objetivo analisar o movimento
vertical de corpos na presença do campo gravitacional terrestre, levando em conta a
força de resistência do ar e a variação do campo gravitacional terrestre com a altura do
corpo e observar o comportamento das grandezas físicas, entre as quais o tempo de
queda, a velocidade terminal, função horária da velocidade e espaço, pois são aspectos
cinemáticos importantes historicamente para o desenvolvimento da Física e várias
aplicações tecnológicas do dia-a-dia humano.
Será abordado o movimento vertical dos corpos em dois cenários distintos. No
primeiro será levado em conta a influência da resistência do ar e no segundo, será
considerado a resistência do ar e a variação do campo gravitacional terrestre com a
altura. Todo o desenvolvimento desse trabalho será feito com base na dinâmica
newtoniana (clássica), uma vez que, as velocidades de corpos usuais são muito menores
que a velocidade da luz, não sendo assim importante levar em conta as correções
relativísticas.
Inicialmente faremos um breve levantamento histórico sobre queda de corpos na
superfície terrestre. Em seguida analisaremos cuidadosamente a idealização clássica, na
qual se despreza a resistência do ar. Depois, discutiremos como o movimento vertical
dos corpos é influenciado pela resistência do ar e pela variação do campo gravitacional
com a altura.
1.1 Aspectos históricos referentes ao movimento vertical dos corpos
Um dos primeiros estudos sistematizados acerca do movimento de corpos foi
feito por Aristóteles (384-322 a. C.) e falava que “corpos mais massivos atingiria o solo
primeiro que corpos menos massivos” (GATTI et al., 2004). Aristóteles acreditava que
a terra ocupava o centro do universo, teoria geocêntrica, e de acordo com a sua
10
filosofia, era tendência dos corpos e irem ao seu lugar natural: no caso um corpo feito
de matéria tenderia ir para a terra que também é feito de matéria.
Segundo o modelo de Aristóteles havia apenas quatro elementos: terra, água, ar
e fogo. Assim o elemento terra iria em direção ao centro da terra, o elemento ar acima
da superfície, o elemento água entre o elemento terra e ar. Por esse motivo uma pedra
caía, a fumaça subia. O modelo Aristotélico parecia convincente para a época,
entretanto, não tinha nenhuma sustentação física e experimental, baseava apenas na
observação não cuidadosa dos fenômenos (GATTI et al., 2004).
O modelo de Aristóteles se sustentou por quase 2000 anos, até que a bem
sucedida teoria heliocêntrica de Copérnico triunfou. Mas foi com estudos de Galileu-
Galilei (1564- 1643.) que levou a formulação geral da cinemática da queda dos corpos
(GATTI et al., 2004).
Galileu foi o primeiro que observou a existência de uma força de resistência do
ar. Quando depois de vários experimentos afirmou categoricamente que “se
eliminarmos completamente a influência do ar, todos os corpos atingem ao mesmo
tempo o solo” (HALLIDAY, et al,2002). No entanto Galileu não foi capaz de
determinar quanto essa resistência do ar influenciava no movimento do corpo
(HARRES, 2002).
Isaac Newton (1643- 1727) dedicou boa parte de sua vida ao desenvolvimento
da das leis da dinâmica. A dinâmica newtoniana é uma teoria com grande embasamento
teórico dado pelo desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por ele mesmo
desenvolvido em paralelo com outros estudiosos da época.
A teoria de Newton culminou com o seu livro Princípios Naturais da Filosofia
Natural (GATTI et al., 2004). Uma vez que, foi nesse livro que ele enunciou pela
primeira vez três leis fundamentais da dinâmica. Leis essas que fundamentam a Física
clássica até hoje.
A teoria newtoniana sofreu algumas correções que são necessárias quando se
modelam sistemas de alta energia, correções feitas pela Teoria da Relatividade Especial
de Einstein de 1905 e outras correções de natureza quântica necessárias para explicar o
mundo microscópico.
Entretanto nosso estudo vai se concentrar em uma situação macroscópica a
baixas velocidades (situação clássica) que a teoria de Newton pode ser aplicada com
precisão.
11
1.2 Aplicações do Estudo
Embora muitas vezes as forças de resistência não sejam percebidas, elas estão
presentes em muitos fenômenos interessantes tais como: aerodinâmica de automóveis,
lançamento de foguetes, pára-quedismo, hidrodinâmica de fluidos viscosos e uma
infinidade de outras aplicações.
É fácil observar que os automóveis de corrida têm sua área secção transversal
diminuída ao máximo para evitar o atrito com o ar. Essa diminuição da área de arraste
terá efeito direto na velocidade final do mesmo, uma vez que a força de resistência do ar
é proporcional ao quadrado da velocidade. O coeficiente de proporcionalidade depende,
entre outras coisas, dessa área, desse modo é tão interessante essa diminuição.
Sabemos que para um objeto vencer a energia potencial gravitacional terrestre
ele tem que ser lançado com certa velocidade inicial. Se não levarmos em conta que
parte da energia cinética inicial é dissipada pela força de resistência ar, esse objeto vai
vencer essa barreira de potencial? Não. As forças de resistência do ar são forças
dissipativas, desse modo nunca fornecem energia a esse objeto e pelo contrário
consomem a sua energia mecânica.
O exemplo mais conhecido de atuação de força de resistência do ar é o caso do
pára-quedista. Quando o mesmo se encontra em uma determinada altura, existe uma
determinada energia potencial associada a ele. Se não existisse nenhuma força
dissipativa atuando, toda essa energia potencial transformaria em energia cinética,
aumentando significativamente sua velocidade final. Dessa forma dificilmente o pára-
quedista sobreviveria ao impacto com o solo. No entanto, a existência de uma força de
resistência do ar faz com que o pára-quedista atinja uma determinada velocidade final
suficientemente pequena para não causar nenhum dano ao mesmo no momento do
impacto com o solo.
1.3 Métodos Numéricos e Computacionais
As equações que modelam sistemas físicos naturais geralmente envolvem um
grande número de parâmetros, o que torna a solução analítica muita complexa ou
impossível de ser obtida. Diante dessas situações devem-se usar métodos numéricos
para se analisar e resolver a equação dinâmica que modela esse sistema.
12
Os métodos numéricos computacionais além de ser uma ferramenta poderosa na
solução de problemas complexos, têm sido altamente recomendando e usados para
difundir a Física, até como ferramenta alternativa para o ensino científico.
O uso da informática no ensino fundamental e médio é defendido por vários
autores. No entanto essa utilização é muito reduzida quando se trata do ensino de Física.
Ao longo do desenvolvimento desse trabalho destacaremos como pode ser utilizado um
software educacional para abordar problemas físicos que exigem uma fundamentação
matemática não existente nesses estudantes.
13
2. Estudo do Movimento Vertical
O caso em estudo é unidimensional, ou seja, lançamento vertical e queda de um
corpo sob ação da força de gravidade da superfície terrestre. Por ser um movimento
unidimensional, não usaremos a notação vetorial.
Por conveniências de estudo, é muito comum considerar condições ideais, nas
quais são desprezadas inicialmente a força de resistência do ar e qualquer influência de
outros agentes externos ao sistema, como por exemplo, o vento. Os corpos
classicamente estudados são objetos de dimensões pontuais, com sua massa fixa e
concentrada no seu centro de gravidade.
2.1 Queda Livre
A queda livre é o caso mais simples de movimento vertical, onde são
desprezadas todas as influências externas, inclusive a força de resistência do ar. Nesse
caso ideal considera-se apenas a força de atração gravitacional terrestre.
Esse primeiro fenômeno a ser descrito é bastante familiar. Sendo que é de nosso
conhecimento que a Terra provoca no projétil uma aceleração g para baixo.
FIGURA 2.1.1 Esquema de um corpo em queda livre.
y
H
0
r
o
e
r
o
g V0
14
Para obter a equação horária inicialmente vamos escrever a equação dinâmica
que modela esse sistema. Podemos fazer isso utilizando a segunda Lei de Newton:
)(tvdt
dmmaF (2.1.1)
Como a única força que atua nesse sistema é a força da gravidade mgF , logo:
mgdt
dvm (2.1.2)
Integrando ambos os membros da equação (2.1.2), teremos
gdttdv
ttv
v
0
)(
0
)( (2.1.3)
Encontramos que:
gtvtv 0)( (2.1.4)
Podemos obter também a equação horária do espaço integrando a equação que
define a velocidade instantânea:
)()( tydt
dtv (2.1.5)
obtendo
dtgtvtdy
t
o
ty
H
)()( 0
)(
(2.1.6)
Sendo sua solução:
15
2
02
1)( gttvHty (2.1.7)
Encontramos o )(ty como inicialmente propomos.
Igualando a equação (2.1.7) a zero, podemos encontrar o tempo de queda do
corpo, que é dado por:
g
hgvvtq
22
00 (2.1.8)
Considerando que o corpo é abandonado do repouso 00 v , temos que o tempo de
queda é dado por:
g
Htq
2 (2.1.9)
Como pode-se observar, a massa do corpo não teve nenhuma influência no
tempo de queda do corpo, quando desconsiderado a resistência do ar, confirmando
assim a afirmação de Galileu.
2.2 Queda na Presença de Forças de Resistência do Ar
As leis da Física que regem as forças de atrito entre sólidos são bem definidas
teoricamente. Mas quanto se trata de forças de atrito envolvendo fluidos, os resultados
obtidos se baseiam em investigações experimentais e soluções aproximadas da equação
dinâmica básica da hidrodinâmica: equação de Navier-Stokes.
Todo corpo que se move no seio de um fluido, relativamente a este, experimenta
por parte do fluido a ação de forças que somente exercem a sua influência quando o
corpo se apresenta em movimento relativamente ao fluido. O conhecimento que se tem
destas forças é fruto de investigações experimentais (FERREIRA, 2001).
Quando o corpo passa, o fluido é deslocado por ele, saindo do espaço que está
sendo invadido e refluindo para o espaço que está sendo desocupado. As forças que
aparecem em decorrência do movimento de um corpo no seio de fluido são devido a
duas causas principais:
16
FIGURA 2.2.1 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do ar (baixa
velocidade)
O fluido exerce uma força de resistência por dois motivos principais, sendo eles:
1º A viscosidade do fluido, que dá surgimento a forças de atrito interno no fluido
(FERREIRA, 2001).
2º A inércia do fluido, manifestando-se nos choques do móvel com as partículas que
constituem o fluido. O efeito da inércia esta intimamente ligada à densidade e, em altas
velocidades, à compressibilidade do fluido (FERREIRA, 2001).
2.2.1 Queda na Presença de Forças de Resistência do Ar para corpos em baixa
velocidade
Quando o corpo em queda se encontra em baixas velocidades pode-se usar a lei
de Stokes:
“A força de resistência que o fluido exerce sobre o corpo em queda é proporcional a
sua velocidade” (CIÊNCIA VIVA, 2008).
FIGURA 2.2.2 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do ar (baixa
velocidade)
y
H
0
r
o
e
r
o
g V0 bv
v mg bv
17
Matematicamente:
bvf (2.2.1)
Usando a segunda lei de Newton temos:
dt
dvmmabvmgF (2.2.2)
Integrando a equação anterior,
dt
vm
bg
dvtv
v
00
(2.2.3)
obtemos após alguns cálculos a equação:
tvm
bg
b
mv
m
bg
b
m
0lnln (2.2.4)
Isolando na equação anterior a variável da velocidade, temos finalmente a
equação das velocidades:
geb
mtv
vm
bg
b
mt
m
b)ln(( 0
)( (2.2.5)
Tomando limite da função horária da velocidade quando o tempo tendo ao
infinito ou quando a aceleração seja zero, teremos a velocidade terminal:
b
mgVT (2.2.6)
18
Uma observação interessante que pode ser feita é que a velocidade terminal
independe da velocidade inicial. Isso ocorre pela perda de energia devido ação das
forças de resistência do ar.
Integrando a equação (2.2.5), obtemos
02
2)ln(( 0
)( vb
m
b
gmgte
b
m
b
mHty
vm
bg
b
mt
m
b
(2.2.7)
É impossível isolar analiticamente a variável t da equação (2.2.8), sendo assim,
não podemos analisar analiticamente a influência da massa no seu tempo de queda.
2.2.2 Queda na Presença de Forças de Resistência do Ar para corpos em alta
velocidade
Quando um corpo se desloca no seio de fluido, o fluido exerce sobre ele uma
força de arraste que tende a reduzir a velocidade. A força de arraste aumenta quando a
velocidade do corpo aumenta. Em velocidades baixas, a força de arraste é proporcional
à velocidade (estudado no tópico anterior) e em altas velocidades é aproximadamente
proporcional ao quadrado da velocidade. (TIPLER, 2000).
FIGURA 2.2.3 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do ar (alta
velocidade)
Matematicamente, temos então
y
H
0
r
o
e
r
o
g V0 Kv2
19
2kvf (2.2.8)
Usando a segunda lei de Newton, temos:
dt
dvmmakvmgF 2
(2.2.9)
Integrando a equação anterior:
tv
v
dtm
g
vm
k
m
g
dv
vm
k
m
g
dv
0
22
2
1
0
(2.2.10)
Obtemos após vários cálculos a equação de velocidades para este caso:
rr
rr
evm
ke
m
gkv
m
k
m
gk
vm
gk
m
gev
m
gke
m
g
tv
023023
0303
)(
(2.2.11)
onde, tm
gkr .
2
13
(2.2.12)
Tomando limite da função da velocidade quando o tempo tendo ao infinito ou
quando a aceleração seja zero, teremos a velocidade terminal:
k
mgVT (2.2.13)
Integrando a equação (2.2.11), obtemos:
DCBAHty )( (2.2.14)
onde:
20
020202
023
22lnln
)(
2v
m
k
m
gkev
m
ke
m
gkv
m
k
m
gk
vm
k
m
gkk
mgA rr
020202
023
0 22lnln
)(
2v
m
k
m
gkev
m
ke
m
gkv
m
k
m
gk
vm
k
m
gk
vB rr
02
023
0202
023023
3
22ln
)(
1
ln
)(
1
)(2
.
2
vm
k
m
gk
vm
k
m
gk
evm
k
m
gkv
m
k
m
gk
vm
k
m
gkv
m
k
m
gkm
tgk
k
mgC
r
02
023
0202
023023
3
0
22ln
)(
1
ln
)(
1
)(2
.
2
vm
k
m
gk
vm
k
m
gk
evm
k
m
gkv
m
k
m
gk
vm
k
m
gkv
m
k
m
gkm
tgk
vD
r
Isolar a variável t na equação (2.2.15) é extremamente trabalhoso, no entanto se
considerar que o corpo em queda parte do repouso pode-se isolar o tempo de queda.
m
kg
ee
t
m
kH
m
kH
q
1ln2
(2.2.15)
de onde se observa uma dependência no tempo de queda do valor da massa do corpo.
Para analisar a influência da massa inercial m do corpo no tempo de queda,
construiu-se o gráfico a seguir numericamente usando o EXCEL.
21
TEMPO DE QUEDA x MASSA
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0 500 1000 1500 2000 2500
MASSA
TE
MP
O D
E Q
UE
DA
FIGURA 2.2.4 Gráfico do tempo de queda em (s) versus massa (kg).
Note no gráfico anterior a dependência do tempo de queda com a massa inercial
do corpo. Assim, considerando a resistência do ar, o corpo mais pesado realmente atinge
o solo antes do que o mais leve pois o seu tempo de queda é menor, ressurgindo a
afirmação aristotélica.
Para verificar a consistência da solução obtida, foi tomado o limite de k/m
tendendo a zero na equação (2.2.16), implicando na ausência da resistência do ar, e
fazendo algumas aproximações por séries de Taylor chega-se ao resultado já esperado
para o tempo de queda no vácuo:
g
Htq
2 (2.1.9)
2.2.3 Modelo Geral para um Corpo em queda na Presença de Forças Viscosas
22
FIGURA 2.2.5 Esquema de um corpo em queda na presença de forças de resistência do ar.
2kvbvf (2.2.16)
O primeiro termo é considerado no limite de pequenas velocidades e o segundo,
no limite de grandes velocidades. Esta equação contém, na verdade, dois termos de uma
expansão de Taylor em termos da velocidade (NUSSENZVEIG, 1981). O coeficiente de
arrasto depende da forma geométrica do corpo e das propriedades do fluido (ar) no qual
está inserido o corpo em queda.
Analisando as forças que atuam em um corpo em queda livre na presença de
forças viscosas obtemos a equação diferencial:
2kvbvmgdt
dvmF (2.2.17)
Integrando a aceleração em função do tempo, usando a condição inicial 00 v
em 00 t , obteve-se o resultado.
Act
Act
e
eA
c
dtv
2
2
1
1
2)( (2.2.18)
Onde m
bd ,
m
kc ,
2
2
4c
dA
y
H
0
r
o
e
r
o
g V0 Kv2
bv
23
Partindo da solução obtida anteriormente e efetuando o limite da velocidade
quando o tempo tende ao infinito, teremos
2
2
422)(lim
k
b
k
bA
c
dV tv
t
T
(2.2.19)
Integrando a velocidade em função do tempo, impondo que o espaço inicial é
zero, após vários cálculos, chega-se à função horária:
B
Be
ct
c
dAts
Act
1
1ln
1
2)(
2
(2.2.20)
O estudo do caso geral só é interessante para obtenção de uma forma geral para
escrever a função horária da velocidade e do espaço de um corpo em queda, mas sempre
as equações (2.2.19), (2.2.20) e (2.2.21) recai em um dos casos estudados anteriormente,
pois a força de resistência do ar ou é linear ou é quadrática, inexistindo as duas ao
mesmo tempo.
Os resultados de todos os casos até aqui estudados mostram a dependência da
massa no valor da aceleração de queda (ver eq. 2.2.18) e no tempo de queda quando se
considera a força de resistência do ar.
24
3. Estudo do Movimento Vertical: Campo Gravitacional Variável com a Altura
A partir dos estudos de Galileu e de Newton, foi se firmando a idéia que leis
universais governam o movimento dos corpos e podem ser aplicados aos movimentos
ocorridos tanto no céu como na terra. A questão da época é que espécie de força os
corpos exercem um sobre o outro para moverem segundo as leis de Kepler? A resposta
foi dada pela Lei da gravitação Universal de Newton: “Matéria atrai matéria, na razão
direta do produto das massas e inversa do quadrado da distância” (GATTI, 2004).
Matematicamente:
2.
d
MmGF (3.1.1)
Considerando a seguinte situação:
FIGURA 3.1.1 Esquema de um corpo em queda livre, considerando a aceleração da gravidade
variável com a altura.
H
M
m
0
RT
d
(3.1.1)
25
No estudo do movimento vertical a equação (3.1.1) é extremamente interessante,
uma vez que, envolve o parâmetro distância do corpo ao centro da Terra, que nesse caso
será a altura y. Inicialmente serão desconsideradas as forças resistivas do ar, podendo
assim aplicar o principio da conservação da energia mecânica.
22 )(.
yR
MmG
d
MmGF
t (3.1.2)
)()(
yR
MmGFdyxV
t
y
(3.1.3)
KyVE )( (3.1.4)
2/1
)(
2
yR
MmGE
mdt
dyv
T
(3.1.5)
Para um determinado valor da energia E teremos um ponto de retorno em:
E
MmGyR (3.1.6)
A fim de obter a função horária y(t), calcula-se a integral abaixo:
tm
yR
MmGE
dyy
y
t
2
))(
(02/1
(3.1.7)
Fazendo uma mudança de variável:
MmG
Eycos (3.1.8)
tm
senE
mMG 2)cos(
)( 2/3
(3.1.9)
26
Expressão esta que não pode ser resolvida analiticamente.
3.1 Estudo do Movimento Vertical: Com resistência do ar
Considerando a situação a seguir:
FIGURA 3.1.2 Esquema de um corpo em queda livre, considerando a aceleração da gravidade
variável com a altura e uma força de resistência do ar proporcional à velocidade.
Analisando as forças atuantes temos:
2
2. bv
d
MmGF
(3.1.2)
No caso da equação (3.1.2) não se pode aplicar o principio da conservação da
energia mecânica, porque há presença de forças dissipativas. Desse modo fica
impossível a obtenção de forma analítica da solução de (3.1.2), necessitando assim
utilizar algum método numérico.
Utilizando o software Modellus e partindo das equações dinâmicas:
H
M
m
0
RT
d
(3.1.1) bv
27
obtemos a presença de uma velocidade terminal:
FIGURA 3.1.3 Velocidade x Tempo, considerando a força de resistência do ar proporcional ao
quadrado da velocidade com a aceleração da gravidade variável com a altura.
Novamente foi observado a dependência do tempo de queda com a massa:
FIGURA 3.1.4 Espaço x Tempo, considerando a força de resistência do ar proporcional ao
quadrado da velocidade, com aceleração da gravidade variável com a altura, para massas
diferentes.
Neste caso foram obtidos os resultados:
Massa do corpo
(Kg)
Tempo de queda
(s)
Módulo da velocidade terminal
(m/s)
1 3704 2,70
10 1719 5,81
Corpo de massa um 1 kg; curva em preto.
Corpo de massa um 10 kg; curva em verde.
Corpo de massa um 100 kg; curva em rosa.
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100 795 12,52
Evidenciando a influência da massa do corpo no valor do tempo de queda e da
velocidade terminal.
3.2 Algumas outras comparações de modelos usando a gravidade constante ou
variável
Resolvendo o modelo para uma altura inicial de 10.000000 m, e considerando
duas situações: situação 1 que corresponde a uma força gravitacional que depende da
altitude e uma outra (situação 2) que independe. Com isto temos as equações:
Usando o programa Modellus, obtemos o gráfico:
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FIGURA 3.2.1 - Espaço x Tempo - queda livre (ausência da resistência do ar)
Note que nos resultados acima, o tempo de queda diverge nos dois casos e esta
divergência aumenta quando se aumenta a altura inicial de queda.
Os resultados obtidos com o Modellus mostraram que o tempo de queda é pouco
influenciado pela variação do campo gravitacional com altura, quando se considera
alturas muito menores que o raio terrestre. Os resultados para o caso com resistência do
ar mantiveram o comportamento observado com o campo gravitacional constante.
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4. Considerações sobre alguns fenômenos que aparecem devido as Forças de
Resistência do Ar
No caso idealizado, queda livre, o corpo em queda tem somente movimento
translacional, pois, a única força existente atua no seu centro de gravidade e está na
direção vertical. Entretanto quando observamos um caso real de um corpo em queda,
nota-se que além do movimento translacional existem outras formas de movimento
devido à ação da força de resistência do ar.
4.1 Perdas de Informação I
Imaginemos a seguinte situação hipotética:
“Um cubo de massa M com seu centro de gravidade localizado no seu centro
geométrico, as arestas desse cubo são diferenciadas pelos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Esse
cubo é abandonado em repouso do topo de um prédio, com a identificada com o número
1 para baixo, desconsiderando as forças de resistência do ar. Qual a probabilidade desse
cubo incidir a face identificada com o número 1 no solo desconsiderando as leis da
mecânica?”
Usando a probabilidade estatística temos:
Espaço amostral. (1, 2, 3, 4, 5 e 6 )
Elementos favoráveis. (1)
Probabilidade de um evento acontecer. Elementos favoráveis/ Espaço amostral
P = (1/6) *100% = 16.67%
Usando a estatística 16.67% é o maior valor percentual que podemos afirmar que
o corpo vai incidir face identificada com o número 1.
Considerando agora a mecânica newtoniana, a única força que está atuando
nesse corpo é a força peso, direcionada para baixo e localizada no centro de gravidade
do mesmo. Como não há nenhuma outra força atuando, não haverá nenhum torque para
girar o cubo, logo ele incidirá face identificada com o número 1 no solo.
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Agora vamos considerar a situação hipotética anterior, mas considerando a força
de resistência do ar e variação do campo gravitacional com a altura.
Da probabilidade estatística temos:
Espaço amostral. (1, 2, 3, 4, 5 e 6 )
Elementos favoráveis. (1)
Probabilidade de um evento acontecer. Elementos favoráveis/ Espaço amostral
P = (1/6) *100% = 16.67%
Usando a estatística 16.67% é o maior valor percentual que podemos afirmar que
o corpo vai incidir face identificada com o número 1.
Usando a mecânica newtoniana:
Considerando a mecânica, a força peso é variável com a altura, direcionada para
baixo e localizada no centro de gravidade do mesmo. Mas agora temos a força de
resistência do ar proporcional à velocidade do corpo e em sentido contrário. Como essa
primeira força atua no seu centro de gravidade e a força de resistência do ar não atua
exatamente em seu centro de gravidade. Com isso o somatório dos torques sobre o
corpo não se cancelam fazendo o cubo girar. Se ele cair de uma grande altitude, fica
difícil prever quantas vezes este cubo vai girar, e assim a mecânica newtoniana não
poderá dar nenhuma informação sobre qual face do cubo vai incidir no solo.
Comparando os dois casos
Na primeira situação hipotética (sem resistência do ar), pode-se afirmar que o
cubo incidirá a face identificada com o número 1 no solo. No entanto na segunda
situação a única certeza que temos é o 16.67% da probabilidade estatística. Como nos
dois casos foram dadas as mesmas condições de iniciais, observa-se perda de
informação quando se considera a força de resistência do ar.
4.2 Perdas de Informação II
Se arremessarmos bolinhas do alto de um edifício com velocidades diferentes, a
força de resistência do ar faz com que se aproximem da mesma velocidade terminal,
uma vez que a mesma independe da velocidade inicial. Uma pessoa que esteja na
calçada dificilmente conseguirá dizer a velocidade exata com que as bolinhas foram
arremessadas (BOUSSO e POLCHINSKI, 2004).
A situação apresentada no parágrafo anterior, mostra de forma clara que ocorre
perda de informação devido à força de resistência do ar. Mas o objetivo principal no
32
momento é discutir usando um exemplo simples, que as forças dissipativas poderiam
dar uma conexão entre a física clássica e quântica.
Um sistema clássico contém mais informações que um sistema quântico, já que
as variáveis podem levar em conta qualquer valor, enquanto sistemas quânticos só
trabalham com valores discretos que podem ocorrer com certa probabilidade. Desse
modo, para um sistema clássico gerar um sistema quântico ele teria de perder
informação. Isso poderia acontecer naturalmente devido ao atrito e outras forças de
dissipação (BOUSSO e POLCHINSKI, 2004).
A situação descrita no primeiro parágrafo desse tópico observa-se uma vasta
gama de condições iniciais levam ao mesmo tipo de comportamento em longo prazo,
conhecido como atrator. Atratores são discretos, assim como os estados quânticos. As
leis a que eles obedecem derivam, mas diferente das leis de Newton. De acordo com
t’Hooft, as derivadas não são outras senão da mecânica quântica. A natureza, portanto
poderia ser clássica a nível mais detalhado, mas pareceria quântica por causa da
dissipação. Teríamos a mecânica quântica como limite de baixa energia de alguma
teoria mais fundamental (BOUSSO e POLCHINSKI, 2004).
4.3 Forças Dissipativas
São forças de origem interatômicas que geralmente aparecem quando existe
movimento relativo entre dois meios. Estão presentes em quase todos os sistemas físicos
naturais. Uma conseqüência direta da ação das forças dissipativas é que condições
iniciais diferentes podem levar ao mesmo comportamento em longo prazo, ou seja
podem conduzir a presença de um atrator. Um atrator pode ser definido como uma
região do espaço de fase para o qual um sistema dinâmico tende durante a sua evolução
temporal e neste subespaço ele eventualmente se estabiliza. Ou seja, um atrator é um
conjunto de valores no espaço de fase para o qual o sistema migra com o tempo (se for
um fluxo) ou por iterações (se for um mapa). Um atrator pode ser único ponto fixo, uma
coleção de pontos regulamente visitada, ou uma região (bacia de atração). (FIEDLER e
PRADO, 1995).
No caso que estudamos, observamos que a força de resistência do ar tinha duas
contribuições (ver eq. 2.2.18) existe uma velocidade terminal que é independente da
condição inicial, esse comportamento pode ser uma evidência da existência de um
atrator, que leva o corpo em queda a uma velocidade terminal. Entretanto, tal conjectura
precisaria ser verificada.
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Embora interessante o estudo realizado nesse capítulo 4, ele não tem nenhum
embasamento experimental. Portanto as discussões levantadas devem ser consideradas a
nível especulativo, uma vez que, a mecânica quântica é a mais bem sucedida teoria da
física.
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5. Conclusão
Historicamente merecem destaque no contexto deste trabalho de conclusão de
curso, os trabalhos de Galileu Galilei, que experimentalmente chegou a seguinte
conclusão: “se eliminarmos completamente a resistência do ar, materiais caem com a
mesma rapidez” (HALLIDAY, ET. AL., 2002). Desta afirmação segue então uma outra
questão: qual a influência da resistência do ar nesta rapidez, ou seja, como a resistência
do ar influencia o tempo de queda dos corpos? Os resultados encontrados tanto
analiticamente, quanto numericamente, para o tempo de queda de um corpo, na
presença de forças resistivas, confirmam as previsões da física clássica: “a massa do
corpo somente influência o tempo de queda dos corpos quando se considera a força de
resistência do ar na equação dinâmica. Nesta situação, o mais pesado realmente atinge o
solo primeiro”. Por outro lado, os resultados também mostram que o tempo de queda
sofre variações consideráveis quando se trata de grandes trajetórias ou corpos pouco
massivos em situações reais envolvendo corpos em queda livre com resistência do ar.
A idealização clássica da queda livre, embora intuitiva para estudo, não modela
adequadamente casos reais de corpos em queda na presença de forças resistivas. Além
das inconsistências com os resultados experimentais, quando trata o problema de forma
idealizada, também perde muitas informações qualitativas do sistema.
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6. Referências
(1) BOUSSO, R. e POLCHINSKI, J., O Panorama da Teoria de Cordas. Scientific
American, Nº 29, outubro, 2004.
(2) CIÊNCIA VIVA. Força de Resistência do Ar. Artigos, agos. 2008. Disponível em
<http://www.cienciaviva.pt/semanact/edicao2008/>. Acesso em; 20 out. 2008.
(3) FERREIRA, G. F. Leal. Projeteis com Resistência do ar Quadrático na Velocidade.
Revista Brasileira de Física, v. 23, n.3, p. 271-275, set. 2001
(4) FIEDLER-FERRARA Nelson & PRADO, Carmen P. Cintra, Caos - uma
introdução, São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1995.
(5) GATTI, SANDRA Regina Teodoro et al. A historia da ciência na formação do
professor de física: subsídios para o curso sobre o tema atração gravitacional visando
mudanças de postura na ação docente. Ciência & Educação, v.10, n. 3, p. 491-500,
2004.
(6) HALLIDAY, David; RESNICK Robert; KRANE, K, Física 1. vol. 1, 4 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2002.
(7) HARRES, João batista Siqueira. Desenvolvimento histórico da dinâmica;
referente à evolução das concepções dos estudantes sobre força e movimento. ln;
Encontro Ibérico-americano sobre Investigação em Educação em Ciências, I, 2002,
Burgos (Espanha).
(8) NUSSENZVEIG, H. Moysés, Curso de Física Básica: Mecânica. vol. 1, 2 ed. São
Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1981.
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(9) TIPLER, Paul A. Física. vol. 1, 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.