quebra da degenerescência de spin via assimetria de inversão … · 2019-01-19 · the conduction...

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE FISICA

QUEBRA DA DEGENERESCENCIA DE SPIN VIA

ASSIMETRIA DE INVERSAO ESTRUTURAL: APLICACAO

A ESTADOS ELETRONICOS EM HETEROJUNCOES III-V

Marcelo Alejandro Toloza Sandoval

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos Graduacao em Fısica do Instituto de

Fısica da Universidade Federal da Bahia, orientada pelo Prof. Dr. Antonio Ferreira da

Silva e pelo Prof. Dr. Erasmo Assumpcao de Andrada e Silva, como parte dos requisitos

para obtencao do tıtulo de Mestre em Fısica.

Salvador

2009

Toloza Sandoval, Marcelo AlejandroQUEBRA DA DEGENERESCENCIA DE SPIN VIA AS-

SIMETRIA DE INVERSAO ESTRUTURAL: APLICACAOA ESTADOS ELETRONICOS EM HETEROJUNCOES III-V/ Universidade Federal da Bahia, 2009. 59p.;

Spintronica, Nanoestruturas Semicondutoras, Degene-

rescencia de Kramers, Assimetria de Inversao Espacial, In-

teracao Spin-Orbita, Efeito Rashba.

AGRADECIMENTOS

Meus sinceros agradecimentos a minha famılia pelo amor, carinho, apoio e incentivo.

Por terem me acolhido durante o tempo em que desenvolvi este trabalho, agradeco a

minha amiga e ex-companheira Ana Emilia e toda sua famılia.

Aos meus companheiros de republica Bruno, Denis, Niemer e Olıvio e aos meus grandes

amigos Ildeli e Dehan, nao sei o que seria de mim sem todas essas amizades.

Agradeco ao Prof. Dr. Antonio Ferreira da Silva pela amizade, pela confianca, pela orien-

tacao, pela oportunidade de trabalhar com um tema de interesse atual e, principalmente,

pelo apoio nos momentos de dificuldade.

Ao Prof. Dr. Erasmo de Andrada e Silva pela orientacao, pela amizade, pela paciencia e

pelo rigor com que conduziu a supervisao deste trabalho.

Ao Prof. Dr. Jailton Souza de Almeida pela amizade, pela motivacao, pelas discussoes e

tambem pelo apoio tecnico.

Ao Prof. Dr. Ivan Costa da Cunha Lima pela amizade e pelas sugestoes muito uteis a

versao final desta dissertacao.

A Rogerio da Silva Neves pela amizade.

Aos Professores Iuri, Denis pela motivacao e incentivo ao longo deste trabalho.

Aos colegas do LaPO e tambem da Pos Graduacao em Fısica.

Aos funcionarios e Professores do Instituto de Fısica da UFBA que, de forma direta ou

indireta, contribuıram para tornar a conclusao deste trabalho possıvel.

Por fim, agradeco a Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior e a

Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado da Bahia pelo financiamento deste trabalho.

RESUMO

O teorema de Kramers garante a degenerescencia de spin para estados eletronicos ape-nas na presenca de ambas simetrias de inversao temporal e inversao espacial. Os estadospermitidos para eletrons confinados em heterojuncoes compostas por ligas semiconduto-ras III-V, possuem a degenerescencia de spin levantada pela interacao spin-orbita (SO),devido a ausencia de simetria de inversao espacial tanto do potencial cristalino (em escalamicroscopica) quanto do perfil da banda de conducao (em escala mesoscopica). O aper-feicoamento das tecnicas de fabricacao dos materiais nanoestruturados, dentre os quaisas heterojuncoes semicondutoras, trouxe a realidade um sistema fısico que ate entao re-presentava apenas uma idealizacao: o gas bidimensional de eletrons (2DEG). O sistemaem questao, alem de formar uma classe de transistores conhecida pela sua alta mobi-lidade eletronica, mostrou possuir propriedades particulares e extraordinarias relativasao transporte de carga (KLITZING et al., 1980; TSUI et al., 1982) e de spin (KATO et al.,2004), quando consideradas, de forma respectiva, a presenca e a ausencia de um campomagnetico externo. Uma perspectiva tecnologica de grande importancia veio a tona coma proposta teorica pioneira do dispositivo atualmente conhecido como spin-field effecttransistor (SPIN-FET) (DATTA; DAS, 1990), onde a precessao do spin eletronico e respon-savel pela funcionalidade de tal dispositivo (WINKLER, 2004). Motivados em parte peloforte apelo tecnologico da proposta de Datta e Das e tambem pela riqueza de fenone-mos observados ou mesmo os de ocorrencia teoricamente especulada em nanoestruturassemicondutoras, estudamos, nesta dissertacao, 2DEGs confinados em interfaces de hete-rojuncoes semicondutoras III-V e o efeito da interacao SO, ou seja, o efeito relativısticopersistente no limite de baixas energias que corresponde a interacao entre o momentode dipolo magnetico intrınseco do eletron (momento magnetico de spin) e um eventualcampo magnetico sentido no referencial do mesmo. Utilizando o modelo de Kane de oitobandas tratamos o problema do bulk, ou seja, o problema do solido cristalino onde sepreserva a simetria de translacao em sua forma quase contınua, ja levando em conta otermo de interacao spin-orbita no Hamiltoniano 8 × 8 de Kane. Em seguida usamos aaproximacao de funcao envelope para resolver o problema do confinamento espacial unidi-mensional provocado pela descontinuidade do perfil de conducao (conduction band offset)na direcao de crescimento. Desenvolvemos um formalismo variacional dependente de spinpara estados de conducao com polarizacao de spin definida (up ou down); obtivemos arelacao de dispersao para ambos estados e o decorrente desdobramento Rashba em funcaodo vetor de onda no plano. Tambem obtivemos o nıvel de Fermi e a funcao de onda parao estado fundamental, ambos calculados segundo a aproximacao de Hartree. Mostramos amodulacao do parametro de acoplamento spin-orbita com a densidade eletronica superfi-cial (2D) explicitando sua dependencia com os parametros dos materiais que compoem aheteroestrura; em especial, levamos em conta o offset da banda de conducao assim como osparametros dos materiais da regiao de barreira. Calculamos as populacoes das subbandasup e down em funcao da densidade eletronica 2D, com o objetivo de possibilitar compara-coes diretas com resultados experimentais provenientes das oscilacoes Shubnikovde Haas.Por fim verificamos o caso da aproximacao de barreira infinita ou barreira perfeitamenteisolante onde recuperamos resultados conhecidos da literatura especializada (SILVA et al.,1994).

ABSTRACT

The Kramers theorem guarantees the spin degeneracy of electronic states only in the pre-sence of both symmetries of time reversal and spatial inversion. The allowed states forelectrons confined in heterojunctions composed by semiconductor elements type III andV has the spin degeneracy lifted by the spin-orbit (SO) interaction due to the absence ofspatial inversion symmetry of the crystalline potential (in microscopic scale) as well as ofthe conduction profile (in mesoscopic scale). The improvement of production techniquesof nanostructured materials, among them the semiconductor heterojunctions, brought toreality the two-dimensional electron gas (2DEG). Such system, besides forming a class oftransistors known by its high electron mobility, has shown extraordinary properties rela-ted to the transport of charge (KLITZING et al., 1980; TSUI et al., 1982) and spin (KATO et

al., 2004), when considered, respectively, the presence and absence of an external magneticfield. In a technological view, an exciting perspective came up with the pioneer proposal ofa hypothetical device nowadays known as spin field-effect transistor (spin-FET) (DATTA;

DAS, 1990); the electron spin precession is responsible by the functionality of such de-vice. Motivated by the technological appeal of the Datta and Das proposal, as well as bythe abundance of phenomena experimentally observed or even theoretically speculated insemiconductor nanostructures, we studied 2DEGs confined at interfaces of III-V semicon-ductor heterojunctions and the effect of SO interaction, i.e., the relativistic effect whichpersists in the limit of low energies and corresponds to the interaction between the spinmagnetic moment of the electron and an eventual magnetic field seen in its frame. Weuse, taking into account the spin-orbit interaction effect, the eight bands Kane model forthe bulk problem, i.e., the problem of a crystalline solid in which the quasi-continuoustranslational symmetry remains preserved; and the envelope function approximation tosolve the problem of the spatial confinement in one dimension due to the discontinuityof the conduction band (conduction band-offset) in the growth direction. We develop aspin-dependent variational theory for spin-polarized conduction states and then obtainthe dispersion relations, the Rashba splitting, the Fermi level and the wave function forthe ground state (calculated within the Hartree approximation). The modulation of theSO coupling parameter with the 2D electron density and its dependence with the he-terostructure parameters was obtained; in particular, we take into account the offset ofthe conduction band as well as the parameters of the barrier materials. We calculate thespin-split subband populations as a function of the 2D electron density, with the goal ofenabling direct comparisons with experimental results from the Shubnikov-de Haas oscila-tions. Finally, we check the case of the infinite barrier approximation (or perfect insulatingbarrier) where well-known results are exactly reproduced (SILVA et al., 1994).

SUMARIO

Pag.

LISTA DE FIGURAS

1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 ESTRUTURA ELETRONICA DO BULK . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Alguns conceitos basicos em fısica da estado solido . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Eletrons de Bloch: a rede ionica estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Representacao k · p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Modelo de Kane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Interacao spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 APROXIMACAO DE FUNCAO ENVELOPE . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Estados eletronicos em heterointerfaces: o limite de baixas energias . . . . . . 34

3.2 Aproximacao de barreira infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Hamiltoniano de massa efetiva no limite de baixas energias . . . . . . . . . . . 38

4 SOLUCAO VARIACIONAL DEPENDENTE DE SPIN . . . . . . . . 41

4.1 Funcao de Fang-Howard modificada dependente de spin . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Relacao de dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Parametro de acoplamento spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Energia de Fermi e as populacoes das subbandas . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Aproximacao de barreira perfeitamente isolante . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1 Heterojuncao: insulator/InAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Heterojuncao: InAlAs/InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 Heterojuncao: AlGaAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

LISTA DE FIGURAS

Pag.

1.1 A figura adaptada (ZUTIC et al., 2004) representa de forma esquematica a pro-

posta de Datta e Das. A fonte e o dreno sao constituıdos de materiais ferro-

magneticos e possuem momentos magneticos paralelos. Atraves da fonte, os

eletrons sao injetados com uma determinada polarizacao de spin e com vetor

de onda k. Os eletrons sao transportados balisticamente da fonte ao dreno e

seu momento angular de spin precessa em torno do campo magnetico efetivo

(denotado por Ω) associado ao potencial de confinamento assimetrico; e pos-

sıvel, atraves de um eletrodo, alterar a intensidade de tal campo magnetico e

assim controlar a precessao de spin dos eletrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 (a) Representacao pictorica de uma heterojuncao; uma interface abrupta en-

tre diferentes materiais semicondutores, produzida artificialmente com precisao

em escala atomica. (b) Diagramacao pictorica para as bandas de conducao e

valencia na situacao de equilıbrio termodinamico. Na interface, o diagrama

apresenta uma descontinuidade abrupta oriunda da diferenca da energia de

gap entre os materiais que compoem a heterojuncao; o potencial de condu-

cao permite o confinamento de um gas (bidimensional) de eletrons no plano

paralelo a interface entre os materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Representacao pictorica de uma estrutura cristalina hipotetica. Os atomos (ou

ıons) ocupariam as posicoes correspondentes aos vertices de cada celula unita-

ria (representada pelo cubo elementar); tais posicoes definem a geometria da

rede de Bravais para a estrutura em questao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Resultados obtidos segundo o modelo de Kane de tres bandas (CB, LH e HH).

Assumimos Eg = 0.42eV para a liga InAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora III-V. Mostra o

perfil das bandas de conducao e valencia para estados confinados proximos a

interface. Mostra tambem a componente da funcao envelope para a banda de

conducao e o preenchimento dos nıveis de energia ate a chamada energia de

Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora na aproximacao

de barreira infinita (ou barreira perfeitamente isolante). Mostra o perfil das

bandas de conducao e valencia em uma regiao proxima a interface entre os

materiais. Mostra tambem a componente da funcao envelope para a banda de

conducao e a energia de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 (escala a esquerda) Perfil de conducao para uma heterojuncao

In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As com ns = 1.4 × 1012cm−2. Desdobra-

mento Rashba no nıvel de Fermi. (escala a direita) Funcao modificada

de Fang-Howard dependente de spin. As linhas pontilhadas mostram o caso

isolante/In0.53Ga0.47As para o mesmo valor de ns. . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 (a) Spin-splitting total em funcao do modulo do vetor de onda paralelo a

interface entre os materiais (ou vetor de onda no plano). O inset mostra a

relacao de dispersao resolvida por spin e a aproximacao parabolica representada

pela linha tracejada. O caso limite insulator/In0.53Ga0.47As e representado

em linhas pontilhadas. (b) Mostra a decomposicao do spin-splitting total em

contribuicoes δεi (notacao mostrada na Tabela 4.1) e sua dependencia com o

vetor de onda no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1 Modelo de um 2DEG, com ns = 1.04 × 1012cm−2, confinado em uma hete-

rojuncao do tipo isolante/InAs . (escala a esquerda) Perfil de conducao e o

desdobramento Rashba no nıvel de Fermi. (escala a direita) Funcao de onda

variacional de Fang e Howard (FANG; HOWARD, 1966). . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 (a) Relacao de dispersao para estados eletronicos com spin up (+) e down

(−). A linha tracejada mostra a aproximacao parabolica. (b) Spin-splitting em

funcao do vetor de onda no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 (a) Mostra a variacao relativa entre as populacoes das subbandas com spin

up (+) e down (−). (b) Parametro efetivo de acoplamento SO em funcao da

densidade eletronica superficial do gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Mostra o spin-splitting no nıvel de Fermi para um 2DEG confinado

em uma heterojuncao do tipo In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As. O caso

insulator/In0.53Ga0.47As (barreira infinita) esta representado pelas linhas pon-

tilhadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5 (a) Variacao relativa entre as populacoes das subbandas (spin up e

down). (b) Parametro efetivo de acoplamento spin-orbita. A heterojuncao

In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As esta representada pelas linhas solidas e o caso

de barreira infinita (isolante/In0.53Ga0.47As) pelas linhas pontilhadas. . . . . . 51

5.6 (a) Variacao relativa entre populacoes das subbandas de spin para os casos

Al0.3Ga0.7As/GaAs (linha solida) e isolante/GaAs (linha pontilhada). (b) Pa-

rametro de acoplamento spin-orbita αeff para ambos os casos. . . . . . . . . . 52

1 INTRODUCAO

Do desenvolvimento das lampadas incandescentes aos computadores atuais, os estudos so-

bre a carga do eletron e seu fluxo em meios materiais propiciaram um avanco tecnologico

sem precedentes. Em particular, os transıstores, presentes aos milhoes nos computadores

atualmente utilizados, sao dispositivos onde a passagem de corrente eletrica e utilizada

como meio de informacao (MALVINO, 1974); entretanto, a crescente necessidade da mini-

aturizacao desses dispositivos, com o objetivo de tornar os computadores cada vez mais

eficientes, devera em breve inviabilizar a atual forma de funcionamento dos transıstores.

O desenvolvimento de tecnicas sofisticadas de crescimento de cristais permitiu a fabri-

cacao de materiais com precisao em escala atomica, ampliando a fronteira de aplicacoes

dos chamados materiais nanoestruturados para alem daquela estabelecida pela eletronica

tradicional. Como consequencia tivemos um enorme avanco e aperfeicoamento dos dispo-

sitivos eletronicos in solid state. Um novo patamar de desenvolvimento tecnologico sera

alcancado assim que obtivermos o controle das propridedades decorrentes da polarizacao

eletronica ou spin, utilizando-as como unidade basica ao processo de informacao, forne-

cendo assim o suporte necessario ao desenvolvimento de tecnologias de alto desempenho e

baixo consumo de energia, como a spintronica (ZUTIC et al., 2004) e a computacao quantica

(AWSCHALOM et al., 2002).

Em tal contexto, a producao em laboratorio das chamadas nanoestruturas semicondu-

toras acabou por agregar um valor ainda maior ao estudo dos sistemas de baixa di-

mensionalidade. Amplamente discutidos na literatura especializada (BASTARD, 1990; DA-

VIES, 1998), pocos, fios e pontos quanticos podem armazenar eletrons confinando-os em

duas, uma e zero dimensoes. Particularmente no campo da spintronica, as nanoestruturas

nao-magneticas, cujos efeitos dependentes de spin derivam exclusivamente da interacao

spin-orbita, tem recebido especial atencao devido ao seu potencial para aplicacoes sem

a necessidade da influencia de campos externos e com maior facilidade de integracao a

eletronica tradicional (DATTA; DAS, 1990).

Em decorrencia do teorema de Kramers (LAX, 1974), os estados eletronicos permitidos em

fios, pocos e pontos quanticos fabricados com compostos semicondutores III-V, possuem a

degenerescencia de spin removida pela interacao spin-orbita, devido a falta de simetria de

inversao espacial. Tal ausencia de simetria ocorre nos nıveis microscopico, conhecido como

Dresselhaus (DRESSELHAUS, 1955) ou BIA (Bulk Inversion Asymmetry), e mesoscopico,

conhecido como Rashba (BYCHKOV; RASHBA, 1984) ou SIA (Structural Inversion Asym-

metry), o que da origem a dois termos distintos da interacao spin-orbita no Hamiltoniano

efetivo para eletrons.

15

O efeito Rashba (BYCHKOV; RASHBA, 1984) e o mecanismo que da suporte a proposta

pioneira para o transistor de spin (DATTA; DAS, 1990), a qual alcancou enorme impacto na

comunidade cientıfica; propostas posteriores surgiram (TING; CARTOIXA, 2002; KOGA et

al., 2002; LUSAKOWSKI et al., 2003; PEREL’ et al., 2003; SCHLIEMANN et al., 2003), algumas

consideram tambem o termo de interacao spin-orbita em nıvel microscopico.

Figura 1.1 - A figura adaptada (ZUTIC et al., 2004) representa de forma esquematica a proposta de Datta e Das.A fonte e o dreno sao constituıdos de materiais ferromagneticos e possuem momentos magneticosparalelos. Atraves da fonte, os eletrons sao injetados com uma determinada polarizacao de spine com vetor de onda k. Os eletrons sao transportados balisticamente da fonte ao dreno e seumomento angular de spin precessa em torno do campo magnetico efetivo (denotado por Ω)associado ao potencial de confinamento assimetrico; e possıvel, atraves de um eletrodo, alterar aintensidade de tal campo magnetico e assim controlar a precessao de spin dos eletrons.

O efeito de interacao spin-orbita ocorre entre o momento de dipolo magnetico intrınseco

do eletron (o spin do eletron) e um eventual campo magnetico sentido no referencial desse

mesmo eletron. Rashba mostrou que o campo magnetico efetivo (Ω) induzido por um

potencial de confinamento assimetrico possui a seguinte forma:

Ω = (2/~)αk× ez = (2/~)α(kyex − kxey) (1.1)

onde α e um coeficiente que depende das caracterısticas do potencial de confinamento.

O Hamiltoniano que descreve a interacao entre o spin do eletron e tal campo magnetico

efetivo sera dado por

HSIA =1

2~σ ·Ω. (1.2)

No entanto, no caso de pocos quanticos de materiais semicondutores, as controversias

referentes ao estudo, tanto experimental quanto teorico, da influencia da interacao spin-

orbita (do tipo Rashba) sobre as propriedades eletronicas e de transporte nao foram

completamente exauridas. Um exemplo diz respeito ao desdobramento de energia no nıvel

16

de Fermi para diferentes auto-estados de spin (chamado spin-splitting) e sua dependencia

com a densidade eletronica; as duas principais tecnicas experimentais de investigacao do

chamado desdobramento Rashba, as oscilacoes Shubnikov-de Hass e a tecnica conhecida

como weak localization (localizacao fraca), ja apresentaram resultados divergentes para

heterojuncoes do tipo isolante/InAs (MATSUYAMA et al., 2000; SCHIERHOLZ et al., 2004).

Tambem nao se encontra completamente esgotada a discussao sobre a relacao entre a

magnitude do spin-splitting e o grau de assimetria da estrutura em questao.

Entre as nanoestruturas com potencial de aplicacao para a spintronica, particularmente

para spin-FETs, as heterojuncoes semicondutoras formam uma classe especial.

Figura 1.2 - (a) Representacao pictorica de uma heterojuncao; uma interface abrupta entre diferentes materi-ais semicondutores, produzida artificialmente com precisao em escala atomica. (b) Diagramacaopictorica para as bandas de conducao e valencia na situacao de equilıbrio termodinamico. Na inter-face, o diagrama apresenta uma descontinuidade abrupta oriunda da diferenca da energia de gapentre os materiais que compoem a heterojuncao; o potencial de conducao permite o confinamentode um gas (bidimensional) de eletrons no plano paralelo a interface entre os materiais.

Para o sistema em questao, o alto grau de assimetria do perfil da banda de conducao

permite o confinamento dos eletrons atraves de um poco quantico triangular, o que da

origem a um acoplamento Rashba forte o qual tambem varia com a densidade de eletrons

do gas. Uma aproximacao que permite incluir (em primeira ordem) o efeito Rashba no Ha-

miltoniano efetivo para estados de conducao em uma heterojuncao, tem sido amplamente

17

discutida (SILVA et al., 1994)

Hc =~2k2

‖

2m∗+ α∗σ · k× ez, (1.3)

onde

α∗ =~2

2m∗∆

Eg

2Eg + ∆

(Eg + ∆)(3Eg + 2∆)eE . (1.4)

Nesse caso, considera-se o poco triangular na aproximacao de barreira infinita e, portanto,

os parametros utilizados (m∗, Eg e ∆) sao do material que constitui a regiao do poco.

E fornece o modulo do campo eletrico na regiao proxima a interface. O desdobramento

entre os nıveis de energia correspondentes a auto-estados para eletrons com spin up (+) e

down (−) e conhecido como Rashba spin-splitting ; o desdobramento Rashba no nıvel de

Fermi e dado por

δε = 2α∗kF . (1.5)

Entretanto, esse modelo apresenta limitacoes importantes. A funcao envelope foi conside-

rada na aproximacao de barreira infinita, para baixas energias e no limite de k pequeno.

Como veremos a nao-parabolicidade e os efeitos de interface como as condicoes de contorno

dependentes de spin (SILVA et al., 1997) e sua conexao com o efeito de penetracao de bar-

reira (GRUNDLER, 2000) nao devem ser simplesmente desprezados; entretanto, nao existe

consenso na melhor maneira de incluir esses efeitos. Muito comummente estes efeitos sao

incluıdos atraves de integracao numerica (WINKLER, 2003; YANG; CHANG, 2006; LAMARI,

2007; LI et al., 2008), podendo levar a solucoes espurias e a inconsistencia na analise da

continuidade da funcao envelope na regiao de fronteira entre os diferentes materiais.

Nesta dissertacao, desenvolvemos uma solucao variacional para descrever estados de con-

ducao em uma heterojuncao levando em conta o efeito Rashba; utilizamos o modelo de

Kane de oito bandas para o estudo dos estados permitidos em um solido cristalino per-

feito e a aproximacao de funcao envelope para tratar o problema das descontinuidades

nos perfis das bandas. Tal solucao variacional permite descrever auto-estados (spin up

e down) da banda de conducao e obter expressoes analıticas para as correspondentes

auto-energias; tambem permite mostrar a influencia do efeito de penetracao de barreira

sobre o desdobramento Rashba. Assim, modelamos 2DEGs confinados nas heterojuncoes

insulator/InAs, InAlAs/InGaAs e AlGaAs/GaAs e obtivemos, para cada um dos casos, a

modulacao do acoplamento Rashba com a densidade eletronica do gas. Encontramos um

bom acordo com medidas experimentais independentes (YANG et al., 2006; MATSUYAMA

et al., 2000).

18

2 ESTRUTURA ELETRONICA DO BULK

2.1 Alguns conceitos basicos em fısica da estado solido

Um solido cristalino possui uma estrutura microscopica que se caracteriza pelo ordena-

mento espacial dos atomos (ıons) ou moleculas que o constituem; define-se, conceitual-

mente, uma estrutura cristalina como o produto resultante de um ordenamento espacial,

com periodicidade perfeita, de replicas de uma estrutura elementar conhecida como ce-

lula unitaria, conforme mostrado de forma pictorica na Figura 2.1 para o caso de uma

estrutura cristalina hipotetica.

Figura 2.1 - Representacao pictorica de uma estrutura cristalina hipotetica. Os atomos (ou ıons) ocupariam asposicoes correspondentes aos vertices de cada celula unitaria (representada pelo cubo elementar);tais posicoes definem a geometria da rede de Bravais para a estrutura em questao.

No escopo da teoria dos solidos cristalinos, um conceito fundamental e o da rede de

Bravais. As seguintes definicoes para a rede de Bravais, sao equivalentes:

(I) Uma rede de Bravais e um arranjo infinito de pontos discretos, o arranjo e a orientacao

de seus pontos parecem exatamente os mesmos quando visualizados de qualquer ponto

pertencente a rede.

(II) Uma rede de Bravais (tridimensional) e constituıda por todos os pontos com vetores

de posicao R da forma:

R = n1a1 + n2a2 + n3a3 (2.1)

onde a1, a2 e a3 sao chamados de vetores primitivos e n1, n2 e n3 sao numeros inteiros

(conforme pode ser visto na figura acima). Qualquer ponto de rede com vetor posicao R

19

poder ser obtido atraves de uma combinacao linear dos vetores primitivos, entao dizemos

que os vetores primitivos geram a rede.

Considere a celula unitaria mostrada na figura 2.1; imagine que cada replica esteja trans-

ladada por um dos vetores (R) da rede, em relacao a posicao original mostrada na figura.

Tal processo de replicacao, para uma celula chamada unitaria, deve permitir preenchi-

mento do espaco sem que haja sobreposicao entre as celulas. A Fig. 2.1 mostra, alem

da celula unitaria, os vetores primitivos e alguns dos pontos de rede; lembrando que a

rede de Bravais e uma construcao geometrica definida por conjunto infinito de pontos,

o que corresponde, portanto, a um cristal perfeito e infinito. Em um solido cristalino de

dimensoes macroscopicas, a grande maioria dos pontos de rede estarao longe da influen-

cia da superfıcie do solido; o conjunto dos pontos de rede que nao sao influenciados pela

superfıcie e o que denominamos por bulk ou cristal volumetrico.

Apos o conceito de rede de Bravais, convem introduzirmos a definicao de rede recıproca

(RR). A rede recıproca sera o conjunto de vetores pertences ao espaco de momentos (de-

notado por K, tambem chamado de espaco recıproco) que satisfazem a seguinte condicao:

RR = G ∈ K | eiG·R = 1 (2.2)

onde G = m1b1 + m2b2 + m3b3, com m1, m2 e m3 inteiros; b1, b2, e b3 sao os vetores

primitivos da rede recıproca, os quais se relacionam com os vetores primitivos da rede de

Bravais conforme segue

b1 = 2πa2 × a3

a1 · a2 × a3

. (2.3)

Obtemos b2 e b1 permutando ciclicamente os ındices. E importante observar que a rede

recıproca e definida em relacao a uma determinada rede de Bravais (por esse motivo a

rede Bravais e tambem chamada de rede direta) e que, pela definicao geometrica de rede

de Bravais, a rede recıproca tambem constitui uma rede de Bravais.

Uma propriedade importante do conjunto de vetores definidos pela Eq. 2.2, e a de que

todos os vetores pertencentes a RR produzem ondas planas que, por sua vez, possuem a

mesma periodicidade da rede de Bravais a qual correspondem. Entao, se R pertence a

uma determinada rede de Bravais e G pertence a recıproca de tal rede, temos que

eiG·(r+R) = eiG·r. (2.4)

O conceito de rede recıproca permite a determinacao das bandas de energia (ASHCROFT;

MERMIN, 1976) para um solido cristalino, considerando a lei de conservacao do momento

associada a simetria de translacao da rede de Bravais que caracteriza o solido em questao.

20

2.2 Eletrons de Bloch: a rede ionica estatica

A teoria de Drude fornece a mais simples descricao para a condutividade finita observada

em determinados materiais; os atomos que compoem tais materiais sao constituıdos por

um nucleo, os eletrons de core (eletrons pertencentes as camadas mais internas) e os

eletrons de valencia. O nucleo e os eletrons de core formam os ıons que ocupam posicoes

estaticas (em primeira aproximacao) e bem definidas na rede cristalina, conforme visto

na Figura 2.1. O ıons resultantes terao o valor de sua massa aproximado pelo valor da

massa do nucleo, e sua carga sera correspondente a soma da carga dos eletrons de core

com a carga dos protons do nucleo. Os eletrons pertencentes ao core e os eletrons de

valencia possuem diferentes valores para suas respectivas energias de ligacao, digamos que

os eletrons de valencia estejam mais fracamente ligados.

No intuito de deixar claro o modelo que utilizaremos, devemos mencionar que, apesar do

sistema fısico em questao (o gas de eletrons e os ıons da rede ) se tratar de um sistema de

muitas partıculas, as interacoes de natureza quantica atuantes entre os pares de partıculas

(particularmente para os eletrons, os efeitos de correlacao e troca) nao serao levadas em

consideracao; assim, o Hamiltoniano total do sistema em questao levara em conta todas

as partıculas que constituem tal sistema (os eletrons e os ıons da rede) e suas possıveis

interacoes (eletron-eletron e eletron-rede), excetuando as interacoes de troca e correlacao.

Como consequencia, tal Hamiltoniano podera ser escrito como uma soma simples sobre

os Hamiltonianos das n partıculas que constituem o sistema. Por fim, consideremos que

em um solido cristalino, os eletrons de valencia formem um gas de eletrons e os ıons

ocupem as posicoes estaticas correspondentes aos pontos de rede (aproximacao de Born-

Openheimer); o Hamiltoniano monoeletronico He sera, sob todas consideracoes feitas, tal

que

He = He(r, p) =p2

2me

+ Ve−e(r) + Ve−rede(r). (2.5)

Obviamente os potenciais de interacao eletron-eletron e eletron-rede sao dependentes da

posicao; o primeiro e um potencial do tipo Coulombiano e o segundo e um potencial com

periodicidade espacial perfeita.

De acordo com um dos postulados da mecanica quantica (COHEN-TANNOUDJI et al., 1977),

o vetor posicao, na condicao de variavel dinamica, possui um operador correspondente que

atua no espaco de Hilbert; na descricao de Schrodinger, onde os operadores nao dependem

do tempo, o conjunto dos auto-estados do operador posicao forma base no espaco de

Hilbert de acordo com as seguintes relacoes ∀ |r′〉 ∈ |r〉:

r|r′〉 = r′ |r′〉 (2.6)

21

com

〈r|r′〉 = δ(r− r′) e

∫ ∞−∞

dr′ |r′〉〈r′ | = 1. (2.7)

O conjunto de auto-valores r forma um espectro contınuo; as duas relacoes acima defi-

nem, respectivamente, a ortogonalidade e a completude dos estados da base.

Voltemos ao Hamiltoniano dado pela equacao 2.5, a interacao eletron-eletron sera tra-

tada, em um momento posterior, segundo a aproximacao de Hartree. O Hamiltoniano

que considera apenas a influencia de um potencial cristalino perfeito e conhecido como

Hamiltoniano de Bloch , ou seja

HBloch(r, p) =p2

2me

+ Ve−rede(r); (2.8)

seus auto-estados (|ΨE〉) e auto-valores (E) satisfazem a seguinte equacao:[p2

2me

+ Ve−rede(r)

]|ΨE〉 = E|ΨE〉. (2.9)

Projetando a equacao acima na base da posicao e utilizando a relacao de completude,

segue que ∫ ∞−∞

dr′〈r|[p2

2me

+ Ve−rede(r)

]|r′〉ΨE(r

′) = EΨE(r). (2.10)

Os elementos de matriz sao (COHEN-TANNOUDJI et al., 1977)

〈r|p|r′〉 = −i~∇δ(r− r′) (2.11)

e

〈r|Ve−rede(r)|r′〉 = Ve−rede(r′)δ(r− r

′). (2.12)

Por fim, da Eq. 2.10 teremos[− ~2

2me

∇2 + Ve−rede(r)

]ΨE(r) = EΨE(r). (2.13)

Observe que o potencial de interacao eletron-rede possui simetria de transla-

cao discreta, definida pela estrutura cristalina em questao, assim a identidade

Ve−rede(r) = Ve−rede(r + R) sera valida para R pertencente a rede Bravais definida

para tal estrutura. O teorema de Bloch determina a forma dos auto-estados ΨE(r); pode

ser verificado que o teorema de Bloch surge como uma consequencia natural da compati-

bilidade entre o Hamiltoniano de Bloch e o operador de translacao definido para a rede de

22

Bravais da estrutura cristalina em questao (ASHCROFT; MERMIN, 1976), ou seja, os auto-

estados do Hamiltiniano de Bloch tambem sao auto-estados de tal operador de translacao.

Teorema 1 (Bloch). Os autoestados de HBloch(r,−i~∇) = −~2∇2/2me+Ve−rede(r) onde

Ve−rede(r) = Ve−rede(r + R) podem assumir a forma

Ψnk(r) = eik·runk(r) (2.14)

onde

unk(r) = unk(r + R) (2.15)

para todo R pertence a rede de Bravais.

Nas expressoes acima, k ∈ RR e n e o ındice de banda (ASHCROFT; MERMIN, 1976).

2.3 Representacao k · p

Chamado de metodo k · p, veremos que este e um metodo perturbativo que utiliza uma

expansao em ondas de Bloch e que permite explorar em detalhes a estrutura de ban-

das nas proximidades de certos pontos pertencentes a rede recıproca; chamados pontos

de alta simetria (ASHCROFT; MERMIN, 1976). Em um trabalho amplamente difundido

(DRESSELHAUS, 1955), Dresselhaus estabeleceu alguns criterios para a determinacao da

estrutura de bandas (nas vizinhancas de um dado ponto do espaco recıproco) assim como

sua dependencia com um pequeno numero de parametros, os quais podem ser determina-

dos experimentalmente com boa precisao (como por exemplo a energia de gap e a massa

efetiva). Considere, inicialmente, substituir a Eq. 2.14 na Eq. 2.13; segue que[p(op)2

2me

+ Ve−rede(r) +~me

k · p(op) +~2k2

2me

]unk(r) = En(k)unk(r). (2.16)

Entao defina

Hk·p(r,−i~∇; k) =p(op)2

2me

+ Ve−rede(r) +~me

k · p(op) +~2k2

2me

(2.17)

onde p(op) =∫∞−∞〈r|p|r

′〉dr′ = −i~∇. Consideremos que, para um dado k = k0, o ope-

rador Hk·p(r,−i~∇; k = k0) possua um conjunto completo de autofuncoes u`k0(r);denominamos este conjunto de representacao k · p (ou base k · p). Com efeito

Hk·p(r,−i~∇; k = k0)u`k0(r) = E`(k0)u`k0(r). (2.18)

Agora utilizaremos uma expansao na base u`k0(r) como solucao para a Eq. 2.16.

23

2.4 Modelo de Kane

Entre os chamados pontos de alta simetria, o ponto Γ representa a origem do espaco

recıproco, ou seja, k = (0, 0, 0) ≡ Γ. No caso de ligas entre semicondutores com estrutura

cristalina do tipo Zinc-Blend (ASHCROFT; MERMIN, 1976), o ponto Γ localiza, assumindo

pequenos valores para k, os pontos de maximo relativo da curva que representa a banda de

valencia e o de mınimo relativo da curva que representa a banda de conducao; a diferenca

de energia entre estes dois pontos extremos e denominada a energia de gap do material

em questao. Seja, portanto, a Eq. 2.18 para k0 = Γ = (0, 0, 0)

Hk·p(r,−i~∇; k = Γ)u`Γ(r) = E`(Γ)u`Γ(r), (2.19)

e defina

HΓ0 = Hk·p(r,−i~∇; k = Γ) =

p(op)2

2me

+ Ve−rede(r). (2.20)

Assim, os auto-estados de HΓ0 sao estados de Bloch que levam em conta as propriedades

de simetria do ponto Γ; neste ponto, os estados de conducao possuem simetria esferica

(equivalente a um orbital atomico do tipo s) e o auto-valor da energia correspondente

ao topo da banda de valencia e degenerado com relacao aos auto-estados que possuem

simetrias equivalentes aos orbitais atomicos px, py e pz (YU; CARDONA, 1996).

O modelo de Kane (KANE, 1982) restringe os estados da base u`Γ(r) ao sub-espaco

|S〉, |X〉, |Y 〉, |Z〉; o ket |S〉 indica um estado com a simetria de um orbital do tipo s, os

estados |X〉, |Y 〉 e |Z〉 possuem, respectivamente, as mesmas simetrias dos orbitais px, py

e pz. Considere a seguinte notacao para base acima descrita: |`〉 (onde ` = S,X, Y, Z);

entao vamos fixar os auto-valores no ponto Γ da seguinte forma: ` = S e auto-estado de HΓ0

com energia correspondente ao ponto de mınimo da banda de conducao (E`=X(Γ) ≡ Ec),

` = X, Y, Z sao auto-estados degenerados de HΓ0 com energia correspondente ao ponto

de maximo da banda de valencia (E`=X,Y,Z(Γ) ≡ Ev). Portanto, a acao de HΓ0 sobre os

estados da base |`〉 sera tal que

HΓ0 |S〉 = Ec|S〉 (2.21)

e

HΓ0 |`〉 = Ev|`〉 (2.22)

se ` = X, Y, Z. A base em questao deve ser ortonormal, ou seja

〈`|HΓ0 |j〉 =

Ecδ`j se j = S,

Evδ`j se j = X, Y, Z.(2.23)

24

trados serao

ECB(k) =1

2(Ec + Ev) +

1

2

√E2g + 6P 2k2 +

~2k2

2me

' Ec +~2k2

2me

(1 + 3

meP2

~2Eg

), (2.29)

ELH(k) =1

2(Ec + Ev)−

1

2

√E2g + 6P 2k2 +

~2k2

2me

' Ev +~2k2

2me

(1− 3

meP2

~2Eg

)(2.30)

e

EHH(k) =~2k2

2me

. (2.31)

Observe que, para pequenos valores de k, podemos expandir em series de Taylor as relacoes

obtidas para os auto-valores. Entao, na aproximacao parabolica, cada banda tera um

espectro equivalente ao de partıcula livre com uma correspondente massa efetiva:

1

mCB

=1

me

(1 + 3

meP2

~2Eg

),

1

mLH

=1

me

(1− 3

meP2

~2Eg

)(2.32)

e mHH = me. Os integrais que permitem obter o valor de P sao estimados de acordo com

a seguinte relacao: Ep = 32

2me

~2 P2 = 22eV (YU; CARDONA, 1996). Entao, assumindo Eg =

1.5eV para a liga binaria GaAs, obtemos os valores mCB = 0.061me e mCB = 0.073me; em

otimo acordo tanto com o valores medidos (valores experimentais) quanto com os valores

provenientes de calculos mais elaborados. Assim distinguimos a massas para estados de

conducao (mCB), para buracos leves (mLH) e para buracos pesados (mHH). Fica evidente

que o modelo nao consegue descrever adequadamente a relacao de dispersao para buracos

pesados, para estes estados perde-se a informacao sobre a renormalizacao da massa.

0 1 2

E L H ( k )

E H H ( k )

E C B ( k )

E V

E g

I n A s

k ( n m - 1 )

G a A s

E C

0 1 2 - 1

0

1

2

3

Energ

y (eV)

Figura 2.2 - Resultados obtidos segundo o modelo de Kane de tres bandas (CB, LH e HH). Assumimos Eg =0.42eV para a liga InAs.

26

2.5 Interacao spin-orbita

Em materiais semicondutores com estrutura cristalina do tipo Zinc-Blend, a interacao

spin-orbita e responsavel pela remocao da degenerescencia da banda de valencia no ponto

Γ. No caso onde os espectros observados sao de baixas energias (como no caso em questao),

deve-se considerar o limite nao-relativıstico da equacao de Dirac (SAKURAI, 1978); mostra-

se que, nesse limite, a interacao spin-orbita aparece como uma correcao de primeira ordem

sobre a equacao de Schroedinger:

Hso =~

4m2ec

2

(∇V × p(op)

)· σ (2.33)

onde σ e o operador de Pauli e suas componentes serao representadas por matrizes as

quais, na base dos auto-estados de σy, sao tais que

σx =

(0 −ii 0

); σy =

(1 0

0 −1

); σz =

(0 1

1 0

).

Defina

hso =~

4m2ec

2∇V × p(op) = hsox ex + hsoy ey + hsoz ez. (2.34)

Portanto, Hso tera a seguinte representacao matricial

Hso = hso · σ =

hsoy hsoz − ihsox

hsoz + ihsox −hsoy

.

Considere a equacao de auto-valor para H0 +Hso na base em que H0 e diagonal, ou seja H0 + hsoy hsoz − ihsox

hsoz + ihsox H0 − hsoy

b(r)

c(r)

= 1E

b(r)

c(r)

.

As componentes b(r) e c(r) do spinor devem ser escritas nas base |S〉, |X〉, |Y 〉, |Z〉:

b(r) =∑

`=S,X,Y,Z

b`|`〉 (2.35)

c(r) =∑

`=S,X,Y,Z

c`|`〉. (2.36)

27

Teremos, portanto, o sistema de equacoes∑`=S,X,Y,Z

[ (H0 + hsoy

)b` + (hsoz − ihsox ) c`

]|`〉 = E

∑`=S,X,Y,Z

b`|`〉 (2.37)

∑`=S,X,Y,Z

[(nsoz + ihsox )b` +

(H0 − hsoy

)c`

]|`〉 = E

∑`=S,X,Y,Z

c`|`〉. (2.38)

A simetria dos elementos de matriz e tal 〈X|hsoy |Z〉 = 〈Y |hsoz |X〉 = 〈Z|hsox |Y 〉. Define-se o

parametro dimensao de energia conhecido como split-off e que correponde ao desdobra-

mento de energia, no ponto Γ, provocado pela interacao spin-orbita, conforme segue

∆ = −3i〈X|hsoy |Z〉 = −3i~

4m2ec

2〈X|(∇V × p(op))y|Z〉. (2.39)

As Eqs. 2.37 e 2.38 podem ser expressas pelo seguinte sistema

Ec 0 0 0 0 0 0 0

0 Ev 0 i∆/3 0 0 −i∆/3 0

0 0 Ev 0 0 i∆/3 0 −∆/3

0 −i∆/3 0 Ev 0 0 ∆/3 0

0 0 0 0 Ec 0 0 0

0 0 −i∆/3 0 0 Ev 0 −i∆/30 i∆/3 0 ∆/3 0 0 Ev 0

0 0 −∆/3 0 0 i∆/3 0 Ev

bs

bx

by

bz

cs

cx

cy

cz

= 1E

bs

bx

by

bz

cs

cx

cy

cz

ou de forma equivalente

Ec − E 0 0 0

0 Ec − EEv − E −i∆/3 i∆/3

0 i∆/3 Ev − E ∆/3 0

−i∆/3 ∆/3 Ev − EEv − E −i∆/3 −i∆/3

0 0 i∆/3 Ev − E −∆/3

i∆/3 −∆/3 Ev − E

bs

cs

bx

cy

bz

cx

by

cz

=

0

0

0

0

0

0

0

0

.

A forma obtida para a representacao matricial de H0 + Hso e diagonal por blocos, entao

podemos obter os auto-valores e auto-estados para cada bloco separadamente. Os resul-

tados, onde redefinimos a energia da banda de valencia no ponto Γ: E′v = Ev + ∆/3, sao

mostrados na Tabela 2.1.

28

Tabela 2.1 - Parte angular e de spin da funcao de onda no ponto Γ.

E(k = Γ) |n, σy〉 unkEc |CB,+〉 |S ↑〉

|CB,−〉 | − S ↓〉

E′v −∆ |SO,+〉 | − (1/3)1/2[Y ↓ −(Z − iX) ↑]〉

|SO,−〉 | − (1/3)1/2[Y ↑ +(Z + iX) ↓]〉

E′v |HH,+〉 | − (1/2)1/2(Y ↓ −iX ↑)〉

|LH,+〉 |(2/3)1/2Z ↑ +(1/6)1/2(Y ↓ +iX ↑)〉|LH,−〉 | − (2/3)1/2Z ↓ +(1/6)1/2(Y ↑ +iX ↓)〉|HH,−〉 | − (1/2)1/2(Y ↑ −iX ↓)〉

Calculamos, com os auto-estados mostrados na Tab. 2.1, os eletementos de matriz nao

nulos (~/me)p(op)nn′ = (~/me)〈n,±|p(op)|n′,±〉 (com p

(op)nn′ = p

(op)n′n

∗), conforme segue

(~/me)p(op)nn′ |LH,+〉 |HH,+〉 |SO,+〉 |LH,−〉 |HH,−〉 |SO,−〉

〈CB,+| P(iez − 1

2ex)−√

32Pex

P√2(iez + ex) iP

2ey −i

√3

2Pey −i P√

2ey

〈CB,−| −iP2ey i

√3

2Pey i P√

2ey P

(iez + 1

2ex) √

32Pex

P√2(iez − ex)

Por fim, utilizando a base mostrada na Tab. 2.1 calculamos os seguintes elementos de

matriz

(H8×8k·p )nn′ = 〈n, σy|(H0 +Hso + (~/me)k · p(op))|n′, σ′y〉. (2.40)

Portanto, H8×8k·p tera a representacao matricial mostrada na Tab. 2.2 presente na proxima

pagina.

29

Tab

ela

2.2

-R

epre

sen

taca

om

atri

cialH

8×8

k·p

obti

da

na

bas

e|n,σ

y〉

.

|CB

,+〉

|LH

,+〉

|HH

,+〉

|SO

,+〉

|CB

,-〉

|LH

,-〉

|HH

,-〉

|SO

,-〉

〈CB,+|

Ec

P

( ikz−kx 2

) −√

3 2Pkx

P √2

(ikz

+kx)

0iP

2ky

−i√

3 2Pky

−iP √

2ky

〈LH,+|

P

( −ikz−kx 2

)Ev

00

iP

2ky

00

0

〈HH,+|

−√

3 2Pkx

0Ev

0−i√

3 2Pky

00

0

〈SO,+|

P √2

(−ikz

+kx)

00

Ev−

∆−iP √

2ky

00

0

〈CB,−|

0−iP

2ky

i√3 2Pky

iP √

2ky

Ec

P

( ikz

+kx 2

)√

3 2Pkx

P √2

(ikz−kx)

〈LH,−|

−iP

2ky

00

0P

( −ikz

+kx 2

)Ev

00

〈HH,−|

i√3 2Pky

00

0

√3 2Pkx

0Ev

0

〈SO,−|

iP √

2ky

00

0P √

2(−ikz−kx)

00

Ev−

∆

30

3 APROXIMACAO DE FUNCAO ENVELOPE

Conforme foi visto, o teorema de Bloch permite o estudo dos auto-estados para o Hamil-

toniano associado a uma estrutura cristalina perfeita. A aproximacao de funcao envelope

descreve os auto-estados para o Hamiltonioano associado a uma heteroestrutura semi-

condutora, onde a simetria de translacao e perdida, em escala mesoscopica, devido a

descontinuidade no potencial de conducao na direcao de crescimento.

A aproximacao de funcao envelope pode ser obtida como uma adaptacao da teoria de

massa efetiva ao problema de impurezas (LUTTINGER; KOHN, 1955) e nanoestruturas

(BASTARD, 1990; DAVIES, 1998) para os quais o potencial associado varia lentamente

em relacao ao parametro de rede (dito potencial mesoscopico) de forma que pode ser

considerado constante sobre o volume de uma celula unitaria. No caso em que a simetria

de translacao e removida em apenas uma direcao, digamos z, entao a homogeneidade

espacial no plano x-y ficara preservada e portanto a funcao de onda podera ser escrita

como

Ψk‖(r) = eik‖·r∑n

fn(z)unk(r) (3.1)

onde n representa o ındice de banda, fn(z) e a componente da funcao envelope para a

n-esima banda, k‖ = kxex + kyey e o vetor de onda no plano paralelo a interface entre os

materiais e unk(r) sao os estados de bulk mostrados na Tab. 2.1.

Como sabemos (MARQUES; SHAM, 1982; GERCHIKOV; SUBASHIEV, 1992; SILVA et al., 1994),

em uma heteroestrutura com a configuracao acima descrita, pode ser de grande utilidade

levar em conta a simetria do sistema e, alem de escolher z como direcao de crescimento,

escolhermos tambem y como direcao de quantizacao de spin e x como sendo a direcao do

vetor de onda no plano. Nesse caso, H8×8k·p mostrado na Tab. 2.2 tera uma representacao

matricial diagonal por blocos conforme segue

H8×8k·p =

H4×4k·p+ 04×4

04×4 H4×4k·p−

31

onde

H4×4k·p± =

|CB,±〉 |LH,±〉 |HH,±〉 |SO,±〉

〈CB,±| Ec P(ikz ∓ kx

2

)∓√

32Pkx

P√2(ikz ± kx)

〈LH,±| P(−ikz ∓ kx

2

)Ev 0 0

〈HH,±| ∓√

32Pkx 0 Ev 0

〈SO,±| P√2(−ikz ± kx) 0 0 Ev −∆

A aproximacao de funcao envelope (Eq. 3.1) leva em conta o fato de que k‖ e um bom

numero quantico, conquanto que kz → −id/dz. Entao, considerando a descontinuidade nas

bandas de conducao Ec(z), valencia Ev(z) e split-off ∆(z) e introduzindo nos elementos

da diagonal da matriz acima o potencial mesoscopico de confinamento v(z), teremos

H4×4eff±F± = 1ε±F± (3.2)

ou ainda

Ec(z) + v(z) P(ddz∓ k‖

2

)∓√

32Pk‖

P√2

(ddz± k‖

)P(− ddz∓ k‖

2

)Ev(z) + v(z) 0 0

∓√

32Pk‖ 0 Ev(z) + v(z) 0

P√2

(− ddz± k‖

)0 0 Ev(z)−∆(z) + v(z)

f±CB

f±LH

f±HH

f±SO

= 1ε±

f±CB

f±LH

f±HH

f±SO

.

Da primeira equacao do sistema acima segue que

[Ec(z)+v(z)]f±CB+P

(d

dz∓k‖2

)f±LH∓

√3

2Pk‖f

±HH+

P√2

(d

dz± k‖

)f±SO = ε±f

±CB. (3.3)

As outras equacoes do sistema permitem escrever f±HH , f±LH e f±SO em funcao de f±CB, ou

32

seja

F± =

f±CB

−Pε± − Ec(z)− v(z)

(d

dz±k‖2

)f±CB

∓√

3Pk‖2[ε± − Ec(z)− v(z)]

f±CB

−P√2[ε± − Ec(z)− v(z) + ∆(z)]

(d

dz∓ k‖

)f±CB

.

Substituindo f±HH , f±LH e f±SO na Eq. 3.3 segue que(d

dz∓k‖2

)−P 2

ε± − Ec(z)− v(z)

(d

dz±k‖2

)+

3

4

P 2k2‖

[ε± − Ec(z)− v(z)]

−1

2

(d

dz± k‖

)P 2

ε± − Ec(z)− v(z) + ∆(z)

(d

dz∓ k‖

)+ Ec(z) + v(z)

f±CB = ε±f

±CB.

Desenvolvendo a equacao acima, teremos a seguinte equacao para a banda de conducao[−~2

2

d

dz

1

m(z, ε±)

d

dz+

~2k2‖

2m(z, ε±)+ Ec(z) + v(z)∓ k‖

d

dzβ(z, ε±)

]f±CB(z) = ε±f

±CB(z)

(3.4)

onde m(z, ε±) e β(z, ε±) sao descritos de acordo com as seguintes expressoes

1

m(z, ε±)=P 2

~2

[2

ε± − v(z)− Ev(z)+

1

ε± − v(z)− Ev(z) + ∆(z)

](3.5)

e

β(z, ε±) =P 2

2

[1

ε± − v(z)− Ev(z)− 1

ε± − v(z)− Ev(z) + ∆(z)

]. (3.6)

Daqui em diante estaremos sempre tratando dos estados de conducao f±CB ≡ f± em uma

heterointerface semicondutora (bulk 1/ bulk 2), onde 1 correponde a regiao z ≤ 0 e 2 a

z ≥ 0. Portanto, da Eq. 3.4 seguem as seguintes expressoes para as condicoes de contorno

f±1 (z = 0) = f±2 (z = 0) (3.7)[~2

2m1(z, ε±)

d

dzf±1 (z)± β1(z, ε±)k‖f

±1 (z)

]z=0

=

[~2

2m2(z, ε±)

d

dzf±2 (z)± β2(z, ε±)k‖f

±2 (z)

]z=0

.

(3.8)

33

3.1 Estados eletronicos em heterointerfaces: o limite de baixas energias

A Fig. 3.1 representa uma boa ilustracao para o diagrama de bandas de uma heterojuncao

semicondutora (single interface semiconductor heterostructure), ou seja, ilustra o perfil das

bandas de conducao e de valencia para estados confinados proximos a interface (confinados

em uma regiao onde o potencial e aproximadamente linear em z). No caso de estados cujas

energias se aproximam da borda da banda de conducao na regiao do poco (para pequenos

valores de ε), uma solucao elegante, analıtica e transparente para a Eq. 3.4 pode ser

obtida. Para isso vamos utilizar expansoes em series de Taylor para 1/m(z, ε) e β(z, ε)

em torno de um parametro δ = δ(z, ε) escolhido suficientemente pequeno para valores

tambem pequenos de z e de ε.

Figura 3.1 - Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora III-V. Mostra o perfil das bandas deconducao e valencia para estados confinados proximos a interface. Mostra tambem a componenteda funcao envelope para a banda de conducao e o preenchimento dos nıveis de energia ate achamada energia de Fermi.

Conforme pode ser visto na Fig. 3.1, o gas de eletrons 2D sera confinado em um poco de

potencial triangular; a densidade eletronica bidimensional homogenea no plano paralelo

a interface dara origem a um potencial eletrostatico considerado no regime linear em z,

ou seja v(z) = eEz. O perfil triangular e obtido pela superposicao de tal potencial linear

com a descontinuidade na banda de conducao em z = 0 (Fig. 3.1). O campo eletrico sera

dado por E = ens/εsc, onde ns e a densidade de eletrons e εsc e a constante dieletrica

34

do meio em questao. Restringindo nosso estudo a estados eletronicos no limite de baixas

energias, vamos, no material 1 (z ≤ 0), renormalizar os valores dos parametros levando

em conta o efeito do band-offset (BROZAK et al., 1990); no material 2 (z ≥ 0), para cada

valor a densidade carga (ns), a energia de Fermi devera estar suficientemente proxima

ao fundo da banda de forma que a convergencia da expansao fique garantida (SILVA et

al., 1994). Utilizamos expansoes em series de Taylor para 1/m(z, ε) e β(z, ε) em torno de

um parametro pequeno δ e substituımos os resultados dessas expansoes no Hamiltoniano

efetivo abaixo identificado pela Eq. 3.4,

Heff±

(z, ε±; k‖,−i

d

dz

)= −~2

2

d

dz

1

m(z, ε±)

d

dz+

~2k2‖

2m(z, ε±)+Ec(z) + v(z)∓ k‖

d

dzβ(z, ε±)

(3.9)

onde m(z, ε±) e β(z, ε±) sao dados respectivamente pelas Eqs. 3.5 e 3.6. As expansoes de

1/m(z, ε±) e β(z, ε±) no limite de baixas energias, ou seja

1

m(z, ε±)=∑n

Anδn e β(z, ε±) =∑n

Bnδn, (3.10)

podem ser obtidas segundo a formula de Taylor para a expansao de uma funcao f arbitraria

em torno de um parametro pequeno δ,

f(δ) =∞∑n=0

(1

n!

dnf

dδn

)δ=0

δn. (3.11)

Interessante observar que δ depende do valor da energia e tambem da posicao, entao, na

medida em que variam os valores da energia e posicao, quanto menor for o valor numerico

de δ mais preciso serao os resultados previstos pelo nosso modelo. Para um sistema em

acordo com as aproximacoes feitas ate aqui, mostra-se que

δ =ε± − v(z)

Eg(z) + ∆(z)(3.12)

e um parametro que nos permite obter resultados com uma boa margem de seguranca.

Lembrando que v(z) = eEz, Eg(z) = E(1)g Θ(−z) + E

(2)g Θ(z) e ∆(z) = ∆(1)Θ(−z) +

∆(2)Θ(z). Utilizando expansoes em primeira ordem, ou seja

1

m(z, ε±)= A0 +A1δ e β(z, ε±) = B0 + B1δ, (3.13)

35

ja obtemos correcoes de nao-parabolicidade e de interacao spin-orbita. Com efeito

Heff± =~2

2A0

(− d2

dz2+ k2

‖

)+

~2

2A1

(− d

dzδd

dz+ δk2

‖

)+Ec(z) + v(z)∓ k‖

d

dz(B0 +B1δ).

(3.14)

A equacao acima mostra que em ordem zero a interacao SO se manifesta nas condicoes

de contorno. Em primeira ordem aparecem no Hamiltoniano efetivo as correcoes de nao-

parabolicidade e do acoplamento spin-orbita.

3.2 Aproximacao de barreira infinita

Modelos com muitas bandas derivados da aproximacao de massa efetiva que utilizam

expansoes em series de potencias considerando um regime de estados eletronicos com

baixas energias sao bem conhecidos na literatura (LASSNIG, 1985; SILVA et al., 1994). Via

de regra, em um modelo com muitas bandas a massa depende da coordenada da posicao

e tambem da energia; e, portanto, a correspondente equacao de massa efetiva nao pode,

nesse caso, ser solucionada analiticamente. Veremos que, alem de considerar o sistema

no limite de baixas energias, pode ser muito util tambem considerar o poco quantico na

aproximacao de barreira infinita.

Figura 3.2 - Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora na aproximacao de barreira infinita(ou barreira perfeitamente isolante). Mostra o perfil das bandas de conducao e valencia em umaregiao proxima a interface entre os materiais. Mostra tambem a componente da funcao envelopepara a banda de conducao e a energia de Fermi.

36

Os efeitos da nao-parabolicidade e da interacao SO foram estudados, de acordo com a Eq.

3.14, para o caso em que a regiao de barreira corresponde a um material perfeitamente

isolante, ou seja, um poco quantico triangular na aproximacao de barreira infinita (SILVA

et al., 1994). Em tal aproximacao perde-se a dependencia dos resultados com parametros

dos materiais de barreira; e nula a probabilidade de que os eletrons sejam encontrados na

regiao barreira. Portanto, o sistema fica completamente determinado pelos parametros do

material do poco (material 2), ou seja, Eg = E(2)g e ∆ = ∆(2); e as expressoes 3.5 e 3.6

escritas em termos de δ (com δ dado pela Eq. 3.12) sao tais que

1

m(z, ε)=P 2

~2

1

Eg + ∆

(2

δ − ∆Eg+∆

+ 1+

1

δ + 1

)(3.15)

e

β(z, ε) =P 2

2

1

Eg + ∆

(1

δ − ∆Eg+∆

+ 1− 1

δ + 1

). (3.16)

Entao, de acordo com a Eq. 3.11, em ordem zero temos

A0 =1

m∗=P 2

~2

3Eg + 2∆

Eg(Eg + ∆)(3.17)

e

B0 = β∗ =~2

2m∗∆

Eg(Eg + ∆). (3.18)

Verifica-se que, em ordem zero, a Eq. 3.14 corresponde ao modelo parabolico para a banda

de conducao: [~2

2m∗

(− d2

dz2 + k2‖

)+ eEz

]f0 = ε0f0. (3.19)

Pela equacao Eq. 3.14, fica evidente que os termos de nao-parabolicidade e spin-orbita sao

as correcoes de primeira ordem; e os coeficientes em primeira ordem sao

A1 = − 1

m∗

[Eg

2 + 2 (Eg + ∆)2

Eg (3Eg + 2∆)

]= − a

m∗(3.20)

onde a e a constante de nao-parabolicidade e

B1 = − ~2

2m∗∆

Eg

2Eg + ∆

(3Eg + 2∆). (3.21)

Vemos, pela Eq. 3.14, que a correcao de primeira ordem (em δ) resulta em um termo

linear em k‖ no Hamiltoniano efetivo; tal termo e identificado no formalismo que estamos

37

utilizando como sendo uma forma efetiva do termo de Rashba (BYCHKOV; RASHBA, 1984).

E o coeficiente Rashba sera dado por

α∗ = B1d

dzδ =

~2

2m∗∆

Eg

2Eg + ∆

(Eg + ∆)(3Eg + 2∆)eE . (3.22)

Embora a expressao acima para o coeficiente Rashba leve em conta simplificacoes que

tornam limitado seu uso, tal expressao permite calcular o splitting Rashba para um poco

quantico conhecendo apenas os parametros do material do poco e a densidade eletronica

do gas. A correcao de nao-parabolicidade e obtida de forma auto-consistente; substituımos

ε por ε0 na expressao de δ (Eq. 3.12), onde ε0 e dado de acordo com a equacao de massa

efetiva em ordem zero (Eq. 3.19). Com efeito

~2

2A1

(− d

dzδd

dz+ δk2

‖

)= −~2

2

a

m∗

− d

dz

~22m∗

(− ddz

+ k2‖

)Eg + ∆

d

dz+

~22m∗

(− ddz

+ k2‖

)Eg + ∆

k2‖

= −a

[~2

2m∗

(− d2

dz2+ k2

‖

)]2

Eg + ∆. (3.23)

Por fim, da Eq. 3.14 teremos que

H∗± =~2

2m∗

(− d2

dz2 + k2‖

)− a

[~2

2m∗

(− d2

dz2+ k2

‖

)]2

Eg + ∆+ eEz ∓ α∗k‖ (3.24)

e o Hamiltoniano de massa efetiva para estados de conducao em um poco quantico

triangular na aproximacao de barreira infinita, ja levando em conta os efeitos de nao-

parabolicidade e da interacao spin-orbita; as aproximacoes consideradas possibilitam o

estudo desses efeitos atraves de uma solucao analıtica para os auto-estados desse Hamil-

toniano (SILVA et al., 1994).

3.3 Hamiltoniano de massa efetiva no limite de baixas energias

Na regiao de barreira, o limite de baixas energias sera valido para valores de ε muito

menores do que o valor de E(1)g + ∆(1) (e o que torna possıvel a expansao em serie de

potencias dada pela Eq. 3.11); entretanto, se o valor de v0 e comparavel ao valor de

E(1)g + ∆(1), entao os parametros da regiao de barreira terao seus valores renormalizados

(BROZAK et al., 1990). Definindo E(1)c −E(2)

c = v0, as equacoes 3.5 e 3.6 escritas em termos

de δ serao respectivamente dadas por

1

m(z, ε)=P 2

~2

1

Eg + ∆

(2

δ + 1− v0+∆Eg+∆

+1

δ + 1− v0Eg+∆

)(3.25)

38

e

β(z, ε) =P 2

2

1

Eg + ∆

(1

δ + 1− v0+∆Eg+∆

− 1

δ + 1− v0Eg+∆

). (3.26)

De acordo com a Eq. 3.11, teremos em ordem zero

A0 =1

m=

1

m∗1− v0/(Eg + 2∆/3)

(1− v0/Eg)[1− v0/(Eg + ∆)](3.27)

e

B0 = β = β∗1

(1− v0/Eg)[1− v0/(Eg + ∆)]. (3.28)

A expansao em primeira ordem fornece o parametro renormalizado de acoplamento SO

α = α∗1− v0/(Eg + ∆/2)

(1− v0/Eg)2[1− v0/(Eg + ∆)]2eE . (3.29)

Para v0 = 0, recuperamos os parametros para o fundo da banda de conducao, ou seja,

m = m∗, β = β∗ e α = α∗; lembrando que nas expressoes acima estamos considerando os

parametros de bulk do material 1 (m∗ = m∗1, Eg = E(1)g e ∆ = ∆(1)). Entao, segundo as

consideracoes feitas, o Hamiltoniano de massa efetiva na regiao de barreira sera tal que

H± =~2

2m

(− d2

dz2 + k2‖

)+ v0 + eEz ∓ αk‖. (3.30)

Por fim, reunindo os resultados da expansao (a nao-parabolicidade na regiao de barreira

foi desprezada por ser a correcao menos significativa) e indexando os parametros de acordo

com a regiao (material 1 se z ≤ 0 e material 2 se z ≥ 0), obtemos o seguinte Hamiltoniano

efetivo para estados de conducao em uma heterojuncao

Heff± =

~2

2m1

(− d2

dz2 + k2‖

)+ v0 + eEz ∓ α1k‖ , z ≤ 0

~2

2m∗2

(− d2

dz2 + k2‖

)− a

[~2

2m∗2

(− d2

dz2+ k2

‖

)]2

E(2)g + ∆(2)

+ eEz ∓ α∗2k‖ , z ≥ 0

(3.31)

e, das Eqs. 3.7 e 3.8, as correspondentes condicoes de contorno

f1±(z = 0) = f2±(z = 0) (3.32)[~2

2m1

d

dzf1±(z)± β1k‖f1±(z)

]z=0

=

[~2

2m∗2

d

dzf2±(z)± β∗2k‖f2±(z)

]z=0

. (3.33)

39

4 SOLUCAO VARIACIONAL DEPENDENTE DE SPIN

A funcao variacional de Fang-Howard (FH) (FANG; HOWARD, 1966) tem ampla utiliza-

cao no contexto dos sistemas de baixa dimensionalidade (ANDO et al., 1982) em especial

das heterojuncoes semicondutoras (DAVIES, 1998). A funcao de Fang-Howard modificada

(FHM), alem de oferecer o mesmo arcabouco teorico de sua predecessora, permite modelar

com maior rigor a funcao envelope na interface entre os diferentes materiais (BASTARD,

1990). Nos vamos alem, nossa modelagem da amplitude de onda na interface leva em

conta o efeito da interacao spin-orbita; ou seja, a funcao de Fang-Howard modificada de-

pendente de spin (FHMDS) atribui para cada auto-estado de spin (+ ou -) um valor para

a amplitude de onda na interface. Utilizaremos a funcao (FHMDS) no estudo do efeito

Rashba, onde o desdobramento de energia no nıvel de Fermi e altamente influenciado pelo

grau de assimetria do perfil de conducao. Veremos que formalismo associado a funcao

FHMDS permite identificar diferentes contribuicoes ao desdobramento Rashba. No limite

de barreira infinita recuperamos a funcao FH (caso que corresponde a uma heterojuncao

com uma barreira perfeitamente isolante).

4.1 Funcao de Fang-Howard modificada dependente de spin

Seja

f b±(z) =

f1± = A±e

kbz/2 , z ≤ 0,

f2± = B±(z + c±)e−bz/2 , z ≥ 0,(4.1)

onde kb = 2√

2m1v0/~2 e b e o parametro variacional (BASTARD, 1990). As equacoes 3.32

e 3.33 impoem respectivamente

A± = B±c± (4.2)

e

c± =2

b+m∗2m1kb ± 4

m∗2~2 (β1 − β∗2)k‖

. (4.3)

Da normalizacao segue que

〈f1±|f1±〉+ 〈f2±|f2±〉 = 1 (4.4)

o que implica em

B± =

√√√√ b3/2

1 + bc± +b2c2±

2(1 + b

kb). (4.5)

A equacao 4.3 mostra explicitamente que a imposicao estrita das condicoes de contorno

(Eqs. 3.32 e 3.33) e responsavel pelo acoplamento entre o vetor de onda no plano e o grau

de liberdade de spin na solucao variacional para a funcao envelope.

41

Figura 4.1 - (escala a esquerda) Perfil de conducao para uma heterojuncao In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47Ascom ns = 1.4 × 1012cm−2. Desdobramento Rashba no nıvel de Fermi. (escala a direita) Fun-cao modificada de Fang-Howard dependente de spin. As linhas pontilhadas mostram o casoisolante/In0.53Ga0.47As para o mesmo valor de ns.

4.2 Relacao de dispersao

Obtemos os auto-valores de energia ε±(k) calculando os seguintes valores esperados:

ε±(k‖, b) = 〈f b±|Heff±|f b±〉 = 〈Heff±〉b±. (4.6)

Para uma dada densidade de electrons ns, o valor de b e determinado de forma que a

energia total do sistema seja mınima, ou seja

[d

dbε±(k‖, b)

]b=bmin

= 0, e levando em conta

a aproximacao de Hartree para a interacao eletron-eletron (DAVIES, 1998). Entao a relacao

de dispersao deve ser tal que ε±(k‖) = ε±(k‖, b = bmin) = 〈Heff±〉b=bmin± = 〈Heff±〉±.

Considerando o Hamiltoniano efetivo dado pela Eq. 3.31 como uma soma de seus termos,

ou seja Heff± =∑i

H(i)eff±, entao segue que

ε±(k‖) = T± + Tnp± + V± + Vso± (4.7)

e os valores esperados T±, Tnp±, V± e Vso± terao componentes nas regioes de barreira (1)

42

e poco (2) de acordo com a Eq. 3.31. Assim

T± =

⟨~2

2

(1

m1

θ(−z) +1

m∗2θ(z)

)(− d2

dz2 + k2‖

)⟩±, (4.8)

Tnp± =

⟨−a

[~2

2m∗2

(− d2

dz2+ k2

‖

)]2

E(2)g + ∆(2)

θ(z)

⟩±

, (4.9)

V± = 〈eEz + v0θ(−z)〉± (4.10)

e

Vso± = 〈∓ (α1θ(−z) + α∗2θ(z)) k‖〉±. (4.11)

Figura 4.2 - (a) Spin-splitting total em funcao do modulo do vetor de onda paralelo a interface entre os materi-ais (ou vetor de onda no plano). O inset mostra a relacao de dispersao resolvida por spin e a apro-ximacao parabolica representada pela linha tracejada. O caso limite insulator/In0.53Ga0.47As erepresentado em linhas pontilhadas. (b) Mostra a decomposicao do spin-splitting total em con-tribuicoes δεi (notacao mostrada na Tabela 4.1) e sua dependencia com o vetor de onda noplano.

43

4.3 Parametro de acoplamento spin-orbita

Definimos um parametro efetivo de acoplamento SO (αeff ) atraves da seguinte relacao:

δε =| 〈Heff+〉+ − 〈Heff−〉− |= 2αeffk‖. (4.12)

Entao ao i-esimo termo do Hamiltoniano efetivo (H(i)eff±) correspondera um spin-splitting

(δεi) dado pela diferenca entre o valores esperados de tal termo quando calculados com

f−(z) e com f+(z), ou seja

δεi = 〈H(i)eff−〉− − 〈H

(i)eff+〉+. (4.13)

O spin-splitting total sera dado pela soma de contribuicoes

δε =∑i

δεi ≥ 0. (4.14)

Conforme pode ser visto no sistema descrito pela Fig. 4.1 a pequena diferenca entre as

amplitudes f±(z) e responsavel por um aumento significativo no spin-splitting total o que

pode ser melhor evidenciado na Fig. 4.2 (a) assim como a dependencia desse aumento

com o vetor de onda no plano. A decomposicao do spin-splitting total esta mostrada na

Fig. 4.2 (b) e a notacao utilizada para designar a i-esima contribuicao (δεi = εi− − εi+)

esta de acordo com a Tabela 4.1.

Tabela 4.1 - Expressoes para as integrais de normalizacao e para os valores esperados εi± = 〈H(i)eff±〉±.

〈f1±|f1±〉A2±kb

〈f2±|f2±〉 B2±

(2b3

+ 2c±b2

+c2±b

)T±

~22m1

(−A±2 kb

4+ 〈f1±|f1±〉k2

‖

)T ∗±

~22m∗2

[B2±

(12b

+ c±2− bc2±

4

)+ 〈f2±|f2±〉k2

‖

]V± v0〈f1±|f1±〉 − eE

A2±k2b

V ∗± eEB2±

(6b4

+ 4 c±b3

+c2±b2

)T ∗np± −a ~4/4m∗22

E(2)g +∆(2)

[B2±b

8

(c2±b

2

2− 3c±b− 3

)+B2

±

(1b

+ c± −bc2±2

)k2‖ + 〈f2±|f2±〉k4

‖

]Vso± ∓α1〈f1±|f1±〉k‖V ∗so± ∓α∗2〈f2±|f2±〉k‖

44

4.4 Energia de Fermi e as populacoes das subbandas

Com o sistema em seu estado fundamental nao-degenerado a primeira subbanda de con-

ducao se desdobra em duas subbandas denotadas por ε±(k‖); eletrons em estados com

um mesmo valor de k‖, mas com spins opostos, terao energias dadas por ε±(k‖). Digamos

que, na medida em que a densidade eletronica cresce, cada eletron adicionado ocupara

sempre o estado de menor energia, ou seja ocupara o estado com o menor valor possıvel

de k‖; para cada estado associado a k‖ a degenerescencia sera dada pelo circulo de raio

k‖. Entao para cada valor de ns o ultimo nıvel de energia preenchido corresponde a ener-

gia de Fermi (εF ). Considerando que para cada valor de εF esta associado um valor kF ,

entao a densidade de eletrons esta relacionada com a area interior ao circulo de raio kF .

Desprezando efeitos de temperatura, as populacoes n± das subbandas ε±(k‖) serao, para

um dado valor de ns sempre que n+ + n− = ns, dadas por

n± =1

(2π)2

∫dk θ[εF − ε±(k)] =

k2F±

4π. (4.15)

4.5 Aproximacao de barreira perfeitamente isolante

A aproximacao de barreira perfeitamente isolante e obtida pelo nosso modelo quando

fazemos v0 −→∞. Nesse limite recuperamos o formalismo variacional de Fang-Howard e

o parametro de acoplamento SO se reduz a expressao obtida por de Andrada e Silva et al

(SILVA et al., 1994).

Fazendo v0 −→∞ verificamos os seguinte limites: kb −→∞, c± −→ 0, 〈v0θ(−z)〉± −→ 0,

B2± −→ b3/2 e 〈z〉± −→ 3/b. Substituindo esses resultados nas expressoes da Tabela 4.1

teremos da Eq. 4.7

ε±(k‖) =~2

2m∗2

(b2

4+ k2

‖

)− a ~4/4m∗22

E(2)g + ∆(2)

(−3b4

16+b2k2‖

2+ k4

‖

)+

3eEb∓ α∗2k‖. (4.16)

Imediatamente temos que

δε = 2α∗2k‖ (4.17)

com

α∗2 =~2

2m∗2

∆(2)

E(2)g

2E(2)g + ∆(2)

(E(2)g + ∆(2))(3E

(2)g + 2∆(2))

eE . (4.18)

Portanto, no limite de barreira infinita, o parametro de acoplamento SO depende line-

armente da densidade eletronica 2D e o coeficiente dessa relacao e uma caracterıstica

exclusiva do material do poco (depende apenas dos parametros do material 2).

45

5 RESULTADOS

Nosso modelo e aplicavel a heterojuncoes entre ligas compostas por elementos semicon-

dutores dos grupos III e V, ou seja, AlGaAs/GaAs, AlGaAs/InGaAs, InP/InGaAs e etc.

Essas heterojuncoes foram exaustivamente estudadas, tanto de forma teorica quanto ex-

perimental, desde que tais materiais comecaram a ser produzidos com precisao em escala

nanometrica. Recentemente, com o advento da spintronica, o estudo das heterojuncoes

semicondutoras ganhou enorme motivacao; em particular, a proposta de Datta e Das

para o transistor de spin considera uma heterojuncao do tipo AlGaAs/InGaAs. Portanto,

interessa conhecer quais materiais favorecem a modulacao do acoplamento SO com a den-

sidade eletronica superficial do gas. Restringiremos nosso estudo aos casos com resultados

experimentais previamente divulgados na literatura.

5.1 Heterojuncao: insulator/InAs

Conhecida por ter o acoplamento Rashba forte (SILVA et al., 1994; GRUNDLER, 2000; MAT-

SUYAMA et al., 2000; SCHIERHOLZ et al., 2004), entretanto nao existe um consenso entre

os seguintes resultados experimentais (MATSUYAMA et al., 2000; SCHIERHOLZ et al., 2004)

com relacao a dependencia entre o parametro de acoplamento SO e a densidade eletronica.

Figura 5.1 - Modelo de um 2DEG, com ns = 1.04 × 1012cm−2, confinado em uma heterojuncao do tipoisolante/InAs . (escala a esquerda) Perfil de conducao e o desdobramento Rashba no nıvel deFermi. (escala a direita) Funcao de onda variacional de Fang e Howard (FANG; HOWARD, 1966).

47

A Fig. 5.1 mostra o perfil de conducao para a heterojuncao em questao, ou seja,

insulator/InAs; o 2DEG esta confinado por um campo eletrico forte e um material iso-

lante (z ≤ 0) o qual e representado por uma barreira de potencial infinita. Mostramos

tambem a amplitude de probabilidade modelada pela funcao variacional de Fang-Howard,

assim como o desdobramento Rashba no nıvel de Fermi. Esses resultados foram obtidos

fixando a densidade eletronica em 1.04× 1012cm−2 (valor correspondente a um dos pon-

tos mostrados na Fig. 5.3 (a)). Foram utilizados os seguintes parametros para o InAs:

m∗ = 0.023me, Eg=0.418 eV, ∆=0.38 eV, e εsc=12.2ε0.

Figura 5.2 - (a) Relacao de dispersao para estados eletronicos com spin up (+) e down (−). A linha tracejadamostra a aproximacao parabolica. (b) Spin-splitting em funcao do vetor de onda no plano.

As relacoes ε±(k‖) sao mostradas na Fig. 5.2 (a). A linha tracejada representa a aproxi-

macao parabolica. A Fig. 5.2 (b) mostra o spin-splitting como funcao do vetor de onda

paralelo a interface entre os materiais 1 e 2. O parametro efetivo de acoplamento SO e

definido em relacao ao splitting no nıvel de Fermi (εF ) atraves da Eq. 4.6.

48

A Fig. 5.3 (a) mostra a variacao relativa entre as populacoes das subbandas com spin up

e down, mostra tambem dois dos pontos experimentais obtidos por (MATSUYAMA et al.,

2000). Lembrando que o metodo k·p, enquanto expansao perturbativa, impoem que k seja

pequeno (em torno do ponto Γ); tambem o Hamiltoniano efetivo e desenvolvido no limite

de baixas energias; assim, restringimos nossa comparacao aos resultados experimentais

que se adequam aos limites do nosso modelo.

Figura 5.3 - (a) Mostra a variacao relativa entre as populacoes das subbandas com spin up (+) e down (−).(b) Parametro efetivo de acoplamento SO em funcao da densidade eletronica superficial do gas.

A 5.3 (b) mostra a modulacao do parametro efetivo de acoplamento SO com a densidade

eletronica superficial do gas. Consideramos a regiao de barreira como um isolante perfeito

e, portanto, perde-se completamente a dependencia entre o parametro de acoplamento SO

e os parametros do material que constitui a regiao de barreira; o parametro de acoplamento

SO e caracterizado exclusivamente pelo material do poco (regiao z ≥ 0) de acordo com a

Eq. (4.17) e conforme proposto por de Andrada e Silva et al (SILVA et al., 1994).

49

5.2 Heterojuncao: InAlAs/InGaAs

Conforme foi mencionado, este caso e de especial interesse pois a proposta pioneira

para o transistor de spin (DATTA; DAS, 1990) considera uma heterojuncao do tipo

In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As; por conseguinte, interessa conhecer a dependencia do pa-

rametro efetivo de acoplamento SO (αeff ) com a densidade de carga do gas e, no intuito

de fornecer um caracter mais realista ao nosso modelo, considerar a influencia do efeito de

penetracao de barreira sobre tal parametro; a Fig. 4.1 descreve em detalhes o sistema fısico

em questao, para o qual utilizamos os seguintes parametros: m∗ = 0.041me, Eg=0.813 eV,

∆ = 0.326 eV, e εsc = 13.1ε0 para In0.53Ga0.47As, e Eg = 1.513 eV e ∆ = 0.309 eV para

In0.52Al0.48As. O valor utilizado para o band-offset foi v0 = 0.5 eV. O spin-splitting no

nıvel de Fermi esta mostrado na Fig. 5.4; conforme pode ser visto, o efeito de penetracao

na barreira aumenta significativamente o spin-splitting.

Figura 5.4 - Mostra o spin-splitting no nıvel de Fermi para um 2DEG confinado em uma heterojuncao dotipo In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As. O caso insulator/In0.53Ga0.47As (barreira infinita) estarepresentado pelas linhas pontilhadas.

A Fig. 4.2 (a) mostra o spin-splitting (δε) em funcao do vetor de onda no plano (k‖). O

inset mostra a relacao de dispersao para as subbandas (spin up e down). A aproximacao

parabolica esta representada pela linha tracejada. A Fig. 4.2 (b) mostra a decomposicao

do spin-splitting ; a dependencia de cada contribuicao com o vetor de onda no plano.

Obtivemos δε = 3.11 meV para o spin-splitting mostrado na Fig. 5.4. O valor de cada

contribuicao tambem foi calculado: δT = 0.30 meV, δT ∗ = 0.30 meV, δT ∗np = 0.03 meV,

δV = −0.34 meV, δV ∗ = 0.52 meV, δVso = 0.02 meV e δV ∗so = 2.33 meV. Conforme

esperado, no limite de barreira infinita restara apenas o termo δV ∗so = 2αkF = 2.37 meV.

50

O sistema em questao apresenta dados experimentais bem conhecidos (NITTA et al., 1997;

ENGELS et al., 1997), tambem trabalhos mais recentes relatam valores empıricos para o

parametro de acoplamento SO (YANG et al., 2006; CUI et al., 2002); dentro dos limites do

nosso modelo e conforme mostrado na figura abaixo, comparamos nossos resultados com

os resultados obtidos por Yang et al (YANG et al., 2006) para uma de suas amostras.

Figura 5.5 - (a) Variacao relativa entre as populacoes das subbandas (spin up e down). (b) Parametro efetivo deacoplamento spin-orbita. A heterojuncao In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As esta representada pelaslinhas solidas e o caso de barreira infinita (isolante/In0.53Ga0.47As) pelas linhas pontilhadas.

Medidas das oscilacoes Shubnikov-de Hass permitem obter as populacoes das subbandas

(n+ e n−). A Fig. 5.5 (a) fornece a quantidade δn/ns (δn = |n+ − n−|) como funcao da

densidade eletronica (ns). A Fig. 5.5 (b) mostra o parametro de acoplamento spin-orbita.

Em ambas a aproximacao de barreira infinita esta representada pelas linhas pontilhadas.

51

5.3 Heterojuncao: AlGaAs/GaAs

Amplamente estudada no contexto dos sistemas de baixa dimensionalidade, esta hetero-

juncao tambem tem sido estudada em funcao de seu potencial de aplicacao para dispo-

sitivos spintronicos e em particular para spin-FETs. Sabemos que este material tem um

acoplamento Rashba fraco (conforme pode ser verificado no grafico abaixo), entretanto

uma perspectiva de grande interesse (SCHLIEMANN et al., 2003) inclui o termo de Dresse-

lhaus e a possibilidade de supressao do mecanismo Dyakonov-Perel de relaxacao de spin

(DYAKONOV; PEREL, 1971) para determinadas direcoes do vetor de onda no plano.

Figura 5.6 - (a) Variacao relativa entre populacoes das subbandas de spin para os casos Al0.3Ga0.7As/GaAs(linha solida) e isolante/GaAs (linha pontilhada). (b) Parametro de acoplamento spin-orbitaαeff para ambos os casos.

A Fig. 5.6 (a) apresenta a quantidade δn/ns em funcao de ns. O parametro de acoplamento

SO como funcao de ns e mostrado na Fig. 5.6 (b). Os parametros utilizados foram Eg =

1.893 eV e ∆ = 0.334 eV para Al0.3Ga0.7As, e m∗ = 0.067me, Eg = 1.519 eV e ∆ = 0.34

eV para o GaAs. Usamos o valor εsc = 12.85ε0 para constante dieletrica do GaAs.

52

6 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS

Conforme foi visto, uma heterojuncao semicondutora e um sistema fısico cujo o potencial

varia em escala mesoscopica e, em especial, tal potencial nao possui simetria de inversao

especular; com isso, os estados eletronicos permitidos em heterojuncoes III-V possuem a

degenerescencia de spin levantada pela interacao spin-orbita e o desdobramento de ener-

gia correpondente e, nesse caso, chamado de desdobramento Rashba (Rashba splitting).

Nos desenvolvemos uma teoria variacional dependente de spin afim de investigar do efeito

Rashba para eletrons confinados em heterojuncoes compostas por ligas formadas por ele-

mentos semicondutores pertencentes aos grupos III e V da tabela periodica.

Utilizamos como ponto de partida o modelo de Kane de oito bandas para tratar a estrutura

eletronica do bulk, ja levando em conta a interacao SO. A descontinuidade no perfil de

conducao, assim como o decorrente efeito de confinamento dos eletrons, sao considerados

segundo a aproximacao de funcao envelope. Conforme foi visto, as simetrias do sistema

favorecem escolhas de direcoes de quantizacao de spin, do vetor de onda no plano e da

direcao de crescimento que levam a uma representacao bloco diagonal da matriz de Kane;

mais do que isto, tais escolhas permitem obter uma equacao de massa efetiva para a banda

de conducao com as componentes para spin up e down desacopladas .

Nossa solucao variacional permite modelar explicitamente o caracter dependente de spin

da funcao envelope e assim mostrar analiticamente como a interacao spin-orbita para

eletrons, em uma regiao de interface, perturba os valores esperados dos observaveis dando

origem a uma serie de contribucoes para o desdobramento Rashba na banda de conducao.

Na aproximacao de barreira infinita retomamos a solucao variacional de Fang-Howard para

a funcao de onda e o parametro de acoplamento SO tambem conhecido (SILVA et al., 1994).

Por fim obtivemos um bom acordo entre nossa teoria e alguns resultados experimentais

que permitem uma comparacao dentro dos limites do nosso modelo.

Perspectivas para trabalhos futuros incluem a introducao termo de Dressalhaus e o de-

corrente efeito de anisotropia para o desdobramento da energia no nıvel de Fermi. Tal

correcao permitira a comparacao do nosso modelo com uma serie de outros resultados

experimentais (GIGLBERGER et al., 2007; AKABORI et al., 2008). Para possibilitar a com-

paracao com medidas experimentais efetuadas para pocos quanticos estreitos devemos

considerar o efeito de penetracao na barreira em ambas as interfaces do poco.

53

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O R I G I NA L PA P E R

Variational Rashba Effect in GaAlAs/GaAs Heterojunctions

M.A. Toloza Sandoval · A. Ferreira da Silva ·E.A. de Andrada e Silva · G.C. La Rocca

Received: 3 August 2008 / Accepted: 15 June 2009 / Published online: 23 September 2009© Springer Science+Business Media, LLC 2009

Abstract The Rashba α parameter at the Fermi energyof 2DEGs in AlGaAs/GaAs heterojunctions is calculatedwith a new variational solution to the multi-band envelope-function effective Schroedinger equation based on the 8-band kp Kane model for the bulk. Modified Fang–Howardtrial wave-functions that depend on spin and satisfy spin-dependent boundary conditions, are introduced; and the spinsplitting is obtained by minimizing the total energy of the2DEG. The results are compared with simpler model cal-culations and shown, in particular, to be quite sensitive tothe barrier penetration of the first subband wave-function inthese heterojunctions.

Keywords Rashba effect · 2DEG · Semiconductorheterojunctions · Spin–orbit interaction

1 Introduction

The desired control, as in the Datta and Das spin transis-tor [1], of the spin–orbit splitting (or effective magneticfield) for 2DEGs in III–V semiconductor heterojunctions,

M.A. Toloza Sandoval · A. Ferreira da SilvaInstituto de Física, Universidade Federal da Bahia, Salvador,Bahia, Brazil

E.A. de Andrada e Silva ()Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, CP515,12201 São José dos Campos, São Paulo, Brazile-mail: [email protected]

G.C. La RoccaScuola Normale Superiore and CNISM, Piazza dei Cavalieri 7,56126 Pisa, Italy

has not been achieved yet. A quantitative agreement be-tween theory and experiment is far from complete. Exper-imentally, most of the observations have been done with theShubnikov–de Haas oscillations, and the results are stronglysample-dependent and do not always compare well withother techniques [2]. Theoretically, most of the calculationsare based on multi-band envelope-function models, but de-spite reasonably good agreement with a few experiments,are not free from concerns like numerical error control, spu-rious solutions, operator ordering, correct boundary condi-tions or the use of too many parameters [3–5]. In particu-lar, AlGaAs/GaAs heterojunctions have been much studiedin view of different applications and Rashba split 2DEGsare created in these structures, where the electrons are con-fined by a near-triangular potential. The strength of the spin–orbit Rashba coupling, as well as the carrier density ns,can be controlled with the gate voltage. However, the ex-act control requires detailed modeling of the Rashba cou-pling, which has not been easy for different reasons. Here,using a new variational solution to the multi-band envelope-function effective Hamiltonian [6], which is free from theabove mentioned concerns and leads to analytical expres-sions for the different contributions to the splitting, we cal-culate the Rashba splitting and discuss the controversial ef-fects of barrier penetration.

2 Model and Results

We consider heterojunctions with only the first subband oc-cupied and look at the spin-splitting (or Rashba couplingparameter α) at the Fermi energy, as a function of the elec-tron density. With the proper choice of the spin quantiza-tion and parallel k directions and some simple algebra, the8 × 8 Kane model effective Schroedinger equation for the

mailto:[email protected]

172 J Supercond Nov Magn (2010) 23: 171–173

envelope-functions can be seen to reduce to two indepen-dent equations for each spin, quantized along the direc-tion perpendicular to both growth and parallel k directions.Eliminating the other components, one obtains the follow-ing effective Hamiltonian for the conduction band envelope-function [7]:

Heff = −

2

∂

∂z

1

m(E,z)

∂

∂z+

2k2

2m(E,z)∓ α(E, z)k + V (z),

(1)

where the energy-dependent effective mass and Rashba cou-pling parameters are given by simple expressions in termsof the bulk band parameters [7]. Corresponding spin depen-dent boundary conditions at the interface are also simply de-rived [8]. Following Refs. [7–9], we now use different smallparameters on both sides of the interface (at z = 0), andexpand the energy-dependent parameters in a power seriesaround the GaAs conduction band edge, and keep only theleading order terms. Energy-independent renormalized pa-rameters and non-parabolic corrections then follow, and infirst order the effective Hamiltonian reads:

Heff =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

2

2m(− ∂2

∂z2 + k2) + v0 + eEz ∓ αk; z ≤ 0,

2

2m∗ (− ∂2

∂z2 + k2)

− aEg+Δ

(− ∂2

∂z2 + k2)2 + eEz ∓ α0k; z ≥ 0,

(2)

where v0 is band offset, E the electric field (= ens/ε,e being the electric charge and ε the dielectric constant1),a the non-parabolic parameter, and the renormalized effec-tive mass and Rashba coupling parameter are given by:

1

m= 1

m∗Eg(Eg + Δ)

3Eg + 2Δ

3(Eg + v0) + 2Δ

(Eg − v0)(Eg − v0 + Δ)(3)

and

α =

2m∗Eg(Eg + Δ)

3Eg + 2Δ

2Δ(Eg + v0) + Δ2

(Eg − v0)2(Eg − v0 + Δ)2eE, (4)

which reduce exactly to the band edge values m∗ and α0,respectively, when the band offset v0 goes to zero. Withthese renormalized, energy-independent, parameters, a vari-ational solution to the Rashba effect is then possible. Forthat, we introduce the following spin-dependent modifiedFang–Howard wave-functions:

±(z) =

A±ekbz/2; z ≤ 0,

B±(z + c±)e−bz/2; z ≥ 0,(5)

1Note that the system is assumed infinite and the electric field to be dueto the 2DEG electrons themselves, in the linear Hartree approximation;the change in the dielectric constant and the contribution from othercharges in the interface region are neglected.

where the constants A, B and c are determined by the spin-dependent boundary conditions at z = 0, kb is the decayingcoefficient given by the effective mass and band-offset inthe barrier, and b is the variational parameter obtained, foreach carrier concentration ns , by minimizing the total en-ergy which is obtained analytically [6]. The e–e interactionis included in the Hartree or mean-field approximation [7].A constant electric field is assumed and differences in thedielectric constants neglected.

3 Discussion and Conclusions

In Fig. 1, the resulting splitting is plotted as a function of theparallel wave-vector, for the electrons at the Fermi level. Thedashed line shows, for comparison, the corresponding resultin the infinite barrier approximation. The Rashba splittingin AlGaAs/GaAs heterojunctions is seen to be quite small,of the order of 10−2 meV, in accord with other calculations[3–5]. The barrier penetration is seen to be quite important,leading to a near 35% increase in the splitting. Summarizing,we have obtained the Rashba splitting in AlGaAs/GaAs het-erojunctions with a new variational solution to the envelope-function effective Hamiltonian. The model provides simpleand accurate analytical results for the spin resolved electronsubbands, in good quantitative agreement with more com-plicated models, and should contribute to the semiconductorspintronics development. Comparison with experiment re-quires inclusion of the Dresselhaus term and knowledge ofthe true electric field at the interface.

Fig. 1 Rashba spin–orbit splitting for electrons in a Al0.3Ga0.7As/GaAs heterojunction (solid line), compared with the infinitebarrier approximation (dashed line). In both cases, we havens = 2.0 × 1011 cm−2. The parameters used in the calculation wereEg = 1.893 eV and Δ = 0.334 eV for the AlGaAs, and m∗ = 0.067me ,Eg = 1.519 eV, Δ = 0.34 eV and εsc = 12.85 for GaAs. For the con-duction band discontinuity we have used 0.269 eV

J Supercond Nov Magn (2010) 23: 171–173 173

Acknowledgements The authors are thankful to CAPES, CNPq andPRONEX/FAPESB for the financial support.

References

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3. Winkler, R.: Phys. Rev. B 62, 4245 (2000)4. Yang, W., Chang, K.: Phys. Rev. B 73, 113303 (2006)5. Lamari, S.: Phys. Rev. B 90 (2007)6. Toloza Sandoval, M.A., et al.: Phys. Rev. B 79, 241305(R) (2009)7. de Andrada e Silva, E.A., et al.: Phys. Rev. B 50, 8523 (1994)8. de Andrada e Silva, E.A., et al.: Phys. Rev. B 55, 16293 (1997)9. Brozak, G., et al.: Phys. Rev. Lett. 64, 471 (1990)

Spinsplit Conduction Subbands of III–V Semiconductor HeterojunctionsM. A. Toloza Sandoval, A. Ferreira da Silva, E. A. de Andrada e Silva, and G. C. La Rocca Citation: AIP Conf. Proc. 1199, 391 (2010); doi: 10.1063/1.3295466 View online: http://dx.doi.org/10.1063/1.3295466 View Table of Contents: http://proceedings.aip.org/dbt/dbt.jsp?KEY=APCPCS&Volume=1199&Issue=1 Published by the American Institute of Physics. Related ArticlesMagnetotransport studies of SiGe-based p-type heterostructures: Problems with the determination of effectivemass Low Temp. Phys. 38, 1145 (2012) The Thomas-Fermi model in the theory of systems of charged particles above the surface of liquid dielectrics J. Math. Phys. 53, 103302 (2012) Investigation of the full configuration interaction quantum Monte Carlo method using homogeneous electron gasmodels J. Chem. Phys. 136, 244101 (2012) Polarization engineered 1-dimensional electron gas arrays J. Appl. Phys. 111, 043715 (2012) Magnetic field induced quantum criticality at a Lifshitz transition with interactions J. Appl. Phys. 111, 07E101 (2012) Additional information on AIP Conf. Proc.Journal Homepage: http://proceedings.aip.org/ Journal Information: http://proceedings.aip.org/about/about_the_proceedings Top downloads: http://proceedings.aip.org/dbt/most_downloaded.jsp?KEY=APCPCS Information for Authors: http://proceedings.aip.org/authors/information_for_authors

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Spin-split Conduction Subbands of III-V Semiconductor Heterojunctions

M.A. Toloza Sandoval1, A. Ferreira da Silva1, E.A. de Andrada e Silva2 and G.C. La Rocca3

1 Instituto de Física, Universidade Federal da Bahia, Salvador, Bahia, Brazil 2 Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, CP515, 12201 São José dos Campos, São Paulo, Brazil

3 Scuola Normale Superiore and CNISM, Piazza dei Cavalieri 7, I-56126 Pisa, Italy

Abstract. The spin-orbit splitting or Rashba α parameter at the Fermi energy of 2DEGs in InAlAs/InGaAs heterojunctions is calculated as a function of the electron density, with a variational solution to the multi-band envelope-function model, based on the 8-band Kane model for the bulk. Spin-dependent boundary conditions and mean-field approximation for the electron-electron interaction are used and reasonable good quantitative agreement is obtained with recent Shubnikov-de Haas experimental data.

Keywords: Rashba 2DEG, heterojunctions, spin-orbit. PACS: 71.70.Ej, 73.21.Fg, 73.22.Dj

INTRODUCTION

The desired control, as in the Datta and Das spin transistor [1], of the spin-orbit splitting (or effective magnetic-field) for 2DEGs in III-V semiconductor heterojunctions, has not been achieved yet. A quantitative agreement between theory and experiment is far from complete. Experimentally, most of the observations have been done with the Shubnikov-de Haas oscillations, and the results are strongly sample dependent and do not always compare well with other techniques [2]. Theoretically, most of the calculations are based on multi-band envelope-function models, but despite reasonably good agreement with different experiments, are not free from concerns like numerical error control, spurious solutions, operator ordering and correct boundary conditions or the use of too many parameters.

Semiconductor heterojunctions form a special class of Rashba split 2DEGs. The electrons are confined by a triangular potential and the strength of the Rashba coupling, together with the carrier density ns, can be varied with the gate voltage. In particular, InAs and InGaAs heterojunctions have been much studied. We here consider such heterojunctions, with only the first subband occupied as illustrated in Fig. 1, and calculate the spin-splitting or Rashba α parameter at the Fermi energy, as a function of the electron density in

particular in a InAlAs/InGaAs heterojunction, using a variational solution to the multi-band envelope-function effective Hamiltonian free from the above mentioned concerns.

FIGURE 1. Scheme of the heterojunction and its constant electric field model, with the first subband occupied up to the Fermi energy; and, on the right, the scheme of the Rashba spin-orbit split, with the two Fermi wave vectors k±.

MODEL AND RESULTS

With the proper choice of the spin quantization and parallel k directions and some simple algebra, the 8x8 Kane model effective Schroedinger equation for the envelope-functions can be reduced to two independent equations, for each spin quantized along the direction

391


perpendicular to both growth and parallel k directions [2]. Eliminating the other components, one obtains the following effective Hamiltonian for the conduction band envelope-function:

( )zVkzEzEm

kzzEmz

Heff +±+∂∂

∂∂

−= ),(),(2),(

12

22

. α , (1)

with simple expressions for the energy dependent effective mass, for the Rashba coupling parameter and for the spin dependent boundary conditions at the interface [3]. Following Ref. [4], we now use different small parameters on both sides of the interface, in order to expand the energy dependent parameters in a power series around the InGaAs conduction band edge, and keep only the leading order terms, what results in energy independent renormalized parameters or non-parabolic corrections, which in turn allow now a variational treatment to the Rashba splitting. For that, we introduce spin-dependent modified Fang-Howard wave-functions, which satisfy the spin-dependent boundary conditions at the interface (z=0) and read:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

<=Ψ

−±±

±± 0;)(

0;)(

2/

2/

zeczB

zeAz

bz

zkb

(2)

where kb is the decaying coefficient given by the effective mass and band-offset in the barrier, and b is the variational parameter.

FIGURE 2. (a) The difference in occupation of the spin-orbit split subbands in an InGaAs/InAlAs heterojunction (solid line) and insulator/InGaAs (dash line). (b) The α parameter for both case. This is the paragraph spacing that occurs when you use the Enter key.

For every carrier concentration ns, we determine

the value of b which minimizes the total energy including e-e interaction in the Hartree approximation. With the obtained dispersion relation then we calculate the frequency of the magneto oscillations semi-classically by the k-space areas illustrated in Fig.1. The obtained results are shown in Fig. 2, where we plot both the occupation difference in the split subbands and the Rashba parameter at the Fermi energy as a function of ns . The band parameters used were m* = 0.041me, Eg = 0.813 eV, ∆ = 0.326 eV, and εsc = 13.1ε0 for InGaAs; and Eg = 1.513 eV, and ∆ = 0.309 eV for InAlAs barrier. For the conduction band offset we have used 0.5 eV. A constant electric field is assumed and differences in the dielectric constants are neglected. A recent data from Ref.[6] is also included in Fig. 2, showing quantitative good agreement with the present model. The infinite barrier approximation is also shown for comparison.

CONCLUSIONS

The 8-band Kane model based envelope-function approximation for the Rashba split subbands in III-V semiconductor heterojunctions has been applied here to the 2DEG in a InAlAs/InGaAs heterojunction. With a variational solution, we have calculated the Rashba α parameter as a function of electron density. The effect of the barrier penetration, including the spin dependent boundary conditions at the interface, is seen to be an enhancement in the Rashba α parameter of the order of 25%. The model provides simple and accurate analytical results for the spin resolved electron subbands, in good quantitative agreement with the recent experiment in Ref. [6], and should contribute to the semiconductor spintronic development.

ACKNOWLEDGMENTS

The authors are thankful to Capes and CNPq for the financial support.

REFERENCES

1. S. Datta and B. Das, Appl. Phys. Lett. 56, 665 (1990). 2. R.H. Silsbee, J.Phys. Condens. Matt.16 R179-R2007

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