8/18/2019 Quadratura Gaussiana

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Os métodos mostrados até aqui necessitam de

valores de x igualmente espaçados escolhidos

por quem está trabalhando no método. Na

quadratura Gaussiana, a escolha segue umpadrão bem definido.

ste método tem como desvantagem a

necessidade de se conhecer a forma anal!tica da

função f"x#. $ua principal vantagem é oferecer

resultados exatos para polin%mios de ordem até

n&'.

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ste método consiste em transformar a integral

definida(

m outra integral, na seguinte forma(

 )través de uma troca de variáveis, vista a seguir.

∫ =

b

a

dx x f   I    )(

∫ −=1

1)(   dt t  F  I 

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*rocamos a variável x por(

ntão, a função +"t# será(

).(

2

1)..(

2

1abt ab x   ++−=

   

   ++−−=   ).(

2

1)..(

2

1)..(

2

1)(   abt ab f  abt  F 

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om isso, a equação geral da -uadratura

Gaussiana será(

Onde(

n n/mero de pontos "escolhido#

 )i  coeficientes "tabela#

ti  ra!0es "tabela#

 ) tabela a seguir mostra alguns valores dos

coeficientes e ra!0es.

∑∫ 

  −

=− ==

1

0

1

1)(.)(

n

iii   t  F  Adt t  F  I 

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n i ti Ai

' 1 1 2

21 &1,34453124 '

' 1,34453124 '

5

1 1,44637884 3971,333338

' &1,44637884 3971,333338

2 1 :971,:::::7

6

1 1,:8''585' 1,564:36:6

' &1,:8''585' 1,564:36:6

2 1,5577:'16 1,832'63'8

5 &1,5577:'16 1,832'63'8

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Exemplo

alcule a integral abaixo, utili0ando n5 pontos.

!olu"#o

;nicialmente, fa0emos a substituição da variável x por

t(

∫ 4

1

1 dx x

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 )ssim(

38367,1

5333334,06227717,02275690,0

5,20.5,1

5,1.888889,0

5,2)77459667,0.(5,1

5,1.555556,0

5,277459667,0.5,1

5,1.555556,0

5,2.5,15,1.

5,2.5,15,1.

5,2.5,15,1.

5,2.5,1

5,1.

2

2

1

1

0

0

2

0

=

++=+

++−

+

+=

++

++

+=

=+

=∑=

 I 

 I 

 I 

t  A

t  A

t  A I 

t  A I 

i   i

i

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-uando f"x# é um polin%mio, sabemos que asf=rmulas de quadratura fornecem um resultadoexato a menos, é claro, dos erros de

arredondamento.

Na maioria das situaç>es reais, f"x# não é umpolin%mio e, portanto, sua integral é aproximadaquando calculada através das f=rmulas dequadratura.

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xibiremos algumas express>es do termo doresto "ou erro de truncamento# para as váriasf=rmulas apresentadas.

Não nos preocuparemos com a dedução de taisexpress>es por ser extremamente trabalhosa e

sem nenhum interesse prático.

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$%rmula de Gauss&'e(endre

#"#?22"

@#?'A"   #22"

2

n   ξ +

+

+=   nf 

n

n

#"#?22"2

#?'" #22"

'n   ξ 

π    +

+ +

+=   n

n  f 

n

n

$%rmula de Gauss&Tcheb)she*

#"

@#?22#A"52"

@#?'A"2 #22"

5

652

n   ξ +

+

++

+=   n

n

f nn

n

Fórmula de 

Gauss-Laguerre $%rmula de Gauss&+ermite

#"#?22"

2   #22"

#22"n  ξ 

π   +

+

+

=  n

n  f ne

 b),a(∈ξ 

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∫ −   −

'

'2'dx 

 x 

senx 

Usando quadratura de Gauss, calcular:

e estimar o erro.

Exerc,cio

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