Organização clara e funcional:dupla página com explicação – Aprendo

páginas 58 e 59

59

ÁREAS

Como qualquer quadrado é um retângulo, a medida da sua área é � × � = �2.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

A D

B C

1

A D

B C

1

1—18

A D

B C

1

1 1 1— x — = — 3 6 18

1—6

1—3

1—3

1—3

1—61—61—61—61—6

Um quadrado unitárioé um quadrado de ladoigual a 1, ou seja, umquadrado com umaunidade de área.

PARA RECORDAR

A medida da área de um retângulo e dada pelo produto das medidas dos comprimentos de dois lados consecutivos.

Área = �0,6 × �15

�� cm2 = 0,12 cm2

EXEMPLO

Área = (2,2 × 2,2) dm2 = 4,84 dm2

EXEMPLO

Se o quadrado unitário [ABCD] representado na figura 1 for dividido em 18 retân-gulos geometricamente iguais (6 × 3), como representado na figura 2, a área de cada

um desses retângulos será dezoito vezes menor do que a área do quadrado, ou seja,

será igual a �118� unidades quadradas.

Repara que, com esta divisão, as medidas de comprimento de dois lados conse-

cutivos de cada um desses retângulos são �16

� e �13

� (figura 3).

Observa que �16

� × �13

� = �118� e que a área de cada um dos retângulos é, como já

vimos, �118� unidades de área. Esta situação exemplifica a propriedade seguinte.

0,6 cm

1— cm 5

2,2 dm

3 Área do retângulo

ATENÇÃO

�2 lê-se ‘‘� ao quadrado’’.

ℓ

c

retângulo

Área = c x ℓ

largura

comprimento

ℓ

ℓ

quadrado

Área = ℓ x ℓ = ℓ2

lado

PROFESSOR

GM5_4.1 a 4.4

Rene Descartes teve umpapel fundamental no desenvolvimento daGeometria, por ter sidoum dos primeiros a utilizar métodos algébricos para resolverproblemas geométricos,tornando-se um dos precursores da atualGeometria Analítica.

NOTA HISTÓRICA

58

5 APRENDO

Considera uma reta r e um ponto P, não pertencente à reta.

Existe apenas uma reta que, passando em P, é perpendicular a r. Para construiressa reta, basta utilizar uma régua e um esquadro.

O ponto de interseção das duas retas, ponto E, designa-se por pé da perpendicular.

Considera agora duas retas paralelas, r e s.

Os pontos A, B e C pertencem à reta r e os pontos D, E e F pertencem à reta s.

Repara que os segmentos de reta [AD], [BE] e [CF], perpendiculares às retas r e s, sãoiguais. O comprimento dos segmentos é a distância entre as duas retas paralelas.

Se P não pertencer à reta r, o pé da perpendicular é sempre o ponto da reta maispróximo de P. Assim, a distância do ponto P à reta r é a distância do ponto P ao péda perpendicular.

A distância de um ponto P a uma reta r e a distancia do ponto P ao pe da perpendicular trac ada de P para r.

Os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e que lhes sãoperpendiculares são iguais. O comprimento desses segmentos

de reta é a distância entre as retas.

r

P

Se o ponto Ppertencesse a reta r, continuaria a existir apenas uma reta perpendicular a r, passando por P. Nesse caso, o próprioponto P seria o pé da perpendicular.

NOTA

r

PPé da

perpendicular

r

s

A B C

D E F

2 Distância entre retas paralelas

1 Distância de um ponto a uma reta

r0 1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 9 10 11 12

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

88 99

10111

12

r

P

EPé da

perpendicular

PROFESSOR

GM5_2.18 a 2.20

PROFESSOR

GM5_2.22

58

5 APRENDO

Considera uma reta r e um ponto P, não pertencente à reta.

Existe apenas uma reta que, passando em P, é perpendicular a r. Para construiressa reta, basta utilizar uma régua e um esquadro.

O ponto de interseção das duas retas, ponto E, designa-se por pé da perpendicular.

Considera agora duas retas paralelas, r e s.

Os pontos A, B e C pertencem à reta r e os pontos D, E e F pertencem à reta s.

Repara que os segmentos de reta [AD], [BE] e [CF], perpendiculares às retas r e s, sãoiguais. O comprimento dos segmentos é a distância entre as duas retas paralelas.

Se P não pertencer à reta r, o pé da perpendicular é sempre o ponto da reta maispróximo de P. Assim, a distância do ponto P à reta r é a distância do ponto P ao péda perpendicular.

A distância de um ponto P a uma reta r e a dista ncia do ponto P ao pe da perpendicular trac ada de P para r.

Os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e que lhes sãoperpendiculares são iguais. O comprimento desses segmentos

de reta é a distância entre as retas.

r

P

Se o ponto Ppertencesse a reta r, continuaria a existir apenas uma reta perpendicular a r, passando por P. Nesse caso, o próprioponto P seria o pé da perpendicular.

NOTA

r

PPé da

perpendicular

r

s

A B C

D E F

2 Distância entre retas paralelas

1 Distância de um ponto a uma reta

r0 1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 9 10 11 12

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

88 99

10111

12

r

P

EPé da

perpendicular

PROFESSOR

GM5_2.18 a 2.20

PROFESSOR

GM5_2.22

Artur Jorge Ferreira Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano

Dupla página de exercíciosde aplicação direta – Pratico

(exercícios resolvidos e exercícios com grau de dificuldade progressiva)

páginas 60 e 61

Artur Jorge Ferreira Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano

5 PRATICO

60

PROFESSOR

SOLUÇÕES

1. 1.1 A = 81 cm2

1.2 A = �34

29� m2

1.3 A = �73

� m2

2.

2.1 A = �12610

� cm2

2.2 A = �94

� mm2

2.3 A = 79,75 m2

2.4 A = 6,25 dm2

3. A = 50,1 cm2

Na figura está representado o quadradounitário [ABCD].Os lados [AB] e [DC] estão divididos em trêspartes iguais e os lados [AD] e [BC] em seispartes iguais.

1.1 Determina a medida de comprimento dos lados[FC] e [IC] do retângulo [ICFS].

1.2 Determina a medida da área do retângulo [ICFS].

RESOLUÇÃO:

1.1 Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [DC] em três partes iguais têm

�13

� unidades de comprimento. Logo, o lado [FC] tem 2 × �13

� = �23

� unidades de compri-

mento. Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [BC] em seis partes

iguais têm �16

� unidades de comprimento.

Logo, o lado [IC] tem 5 × �16

� = �56

� unidades de comprimento.

1.2 A medida da a rea de um reta ngulo e dada pelo produto das medidas dos compri-mentos de dois lados consecutivos. Assim, como [FC] e [IC] são dois lados consecu-

tivos do retângulo [ICFS], podemos concluir que a sua área é igual a �59

�, uma vez que

�56

� × �23

� = �11

08� = �

59

�.

1

Determina a área de cada um dos seguintes retângulos.1

Determina a área do polígono da figura.3

1.1 1.2 1.3

Qual é a medida da área de:

2.1 um retângulo cujo lado menor mede �170� cm e cujo lado maior mede �

136� cm?

2.2 um quadrado de lado �32

� mm?

2.3 um retângulo com 40 m de perímetro, cujo lado menor mede 5,5 m?

2.4 um quadrado com 10 dm de perímetro?

2

A

B I C

S F

D

10 cm

8,1 cm

8 — m

7

4 — m

7

0,7 m

10 — m

3

12,5 cm

6 cm

3 cm

4,2 cm

5 PRATICO

60

PROFESSOR

SOLUÇÕES

1. 1.1 A = 81 cm2

1.2 A = �34

29� m2

1.3 A = �73

� m2

2.

2.1 A = �12610

� cm2

2.2 A = �94

� mm2

2.3 A = 79,75 m2

2.4 A = 6,25 dm2

3. A = 50,1 cm2

Na figura está representado o quadradounitário [ABCD].Os lados [AB] e [DC] estão divididos em trêspartes iguais e os lados [AD] e [BC] em seispartes iguais.

1.1 Determina a medida de comprimento dos lados[FC] e [IC] do retângulo [ICFS].

1.2 Determina a medida da área do retângulo [ICFS].

RESOLUÇÃO:

1.1 Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [DC] em três partes iguais têm

�13

� unidades de comprimento. Logo, o lado [FC] tem 2 × �13

� = �23

� unidades de compri-

mento. Os segmentos de reta resultantes da divisão do lado [BC] em seis partes

iguais têm �16

� unidades de comprimento.

Logo, o lado [IC] tem 5 × �16

� = �56

� unidades de comprimento.

1.2 A medida da a rea de um reta ngulo e dada pelo produto das medidas dos compri-mentos de dois lados consecutivos. Assim, como [FC] e [IC] são dois lados consecu-

tivos do retângulo [ICFS], podemos concluir que a sua área é igual a �59

�, uma vez que

�56

� × �23

� = �11

08� = �

59

�.

1

Determina a área de cada um dos seguintes retângulos.1

Determina a área do polígono da figura.3

1.1 1.2 1.3

Qual é a medida da área de:

2.1 um retângulo cujo lado menor mede �170� cm e cujo lado maior mede �

136� cm?

2.2 um quadrado de lado �32

� mm?

2.3 um retângulo com 40 m de perímetro, cujo lado menor mede 5,5 m?

2.4 um quadrado com 10 dm de perímetro?

2

A

B I C

S F

D

10 cm

8,1 cm

8 — m

7

4 — m

7

0,7 m

10 — m

3

12,5 cm

6 cm

3 cm

4,2 cm

61

ÁREAS

SOLUÇÕES

4.

4.1 �14

�

4.2

4.3 A = �18

� u.a.

5. [C]

6. O terreno quadrado.

7.7.1 Q é o pé da perpendicular

tirada de P para AB.

7.2 P�Q� < P�B�

PROFESSOR

Considera o retângulo [ABCD], representado na figura,e as respetivas dimensões, numa dada unidade.

4.1 Qual é a distância entre as retas AB e DC?

4.2 Constrói um quadrado de lado unitário decom-posto em retângulos iguais a [ABCD].

4.3 Determina a medida da área do retângulo [ABCD].

4

Se a medida do lado menor e a medida do lado maior de um retângulo se reduzirem a metade, o que acontece à área do retângulo?

[A] Reduz-se a metade.

[B] Aumenta para o dobro.

[C] Reduz-se à quarta parte.

[D] Aumenta para o quádruplo.

5

A Marta usou um rolo de fio para cercar um terreno com a forma de um qua-drado com 20 m de lado.

Utilizando um outro rolo de fio, com o mesmo comprimento do primeiro, elacercou um terreno retangular, cujo lado maior mede 24 m. Qual dos terrenos tem maior área?

6

Considera o segmento de reta [AB] e um ponto P quenão pertence à reta AB.

Sabe-se que PQ e AB são perpendiculares.

7.1 Como denominas o ponto Q relativamente àsretas PQ e AB?

7.2 Compara P�Q� com P�B� e justifica as tuas conclusões.

7.3 Explica por que razão Q é o ponto da reta AB à menor distância de P.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

7

A D

B C1—2

1—4

20 m 24 m

A Q

P

B

1—4

1—2

A D

B C

Dossiê do Professor

Questão de Aula n.o 1

Ficha n.o 1, pág. 70

61

ÁREAS

SOLUÇÕES

4.

4.1 �14

�

4.2

4.3 A = �18

� u.a.

5. [C]

6. O terreno quadrado.

7.7.1 Q é o pé da perpendicular

tirada de P para AB.

7.2 P�Q� < P�B�

PROFESSOR

Considera o retângulo [ABCD], representado na figura,e as respetivas dimensões, numa dada unidade.

4.1 Qual é a distância entre as retas AB e DC?

4.2 Constrói um quadrado de lado unitário decom-posto em retângulos iguais a [ABCD].

4.3 Determina a medida da área do retângulo [ABCD].

4

Se a medida do lado menor e a medida do lado maior de um retângulo se reduzirem a metade, o que acontece à área do retângulo?

[A] Reduz-se a metade.

[B] Aumenta para o dobro.

[C] Reduz-se à quarta parte.

[D] Aumenta para o quádruplo.

5

A Marta usou um rolo de fio para cercar um terreno com a forma de um qua-drado com 20 m de lado.

Utilizando um outro rolo de fio, com o mesmo comprimento do primeiro, elacercou um terreno retangular, cujo lado maior mede 24 m. Qual dos terrenos tem maior área?

6

Considera o segmento de reta [AB] e um ponto P quenão pertence à reta AB.

Sabe-se que PQ e AB são perpendiculares.

7.1 Como denominas o ponto Q relativamente àsretas PQ e AB?

7.2 Compara P�Q� com P�B� e justifica as tuas conclusões.

7.3 Explica por que razão Q é o ponto da reta AB à menor distância de P.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

7

A D

B C1—2

1—4

20 m 24 m

A Q

P

B

1—4

1—2

A D

B C

Dossiê do Professor

Questão de Aula n.o 1

Ficha n.o 1, pág. 70