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PUC Minas Virtual • 1

Para quem vai estudar Cálculo I

Você está começando um programa de estudos de Cálculo I. É como um circuito que

você deverá percorrer para ir incorporando algumas idéias que, embora antigas, estão na base

da tecnologia atual. A tarefa de um profissional de qualquer área é transformar ciência em

tecnologia, ou seja, transformar conhecimento em algo útil para o desenvolvimento humano e

sustentado da sociedade.

Cada vez que for cumprir uma etapa desse programa, lembre-se de que está fazendo um

grande investimento em você mesmo, de longe seu maior capital! Lembre-se também de que

é você que precisará estudar Cálculo I, ninguém poderá fazer isso por você. Pense em uma

aula de ginástica: você é quem faz a aula; o professor orienta! Esse programa foi estruturado

para ajudá-lo a estudar; não é um programa fácil porque não existem caminhos fáceis para se

trabalhar com o conhecimento!

As páginas do livro ou do caderno podem servir de lembrete: a palavra página vem de

pagus, termo latino utilizado para indicar o pedaço de terra, cercado e cultivado por alguém

ou por um grupo de pessoas, com vistas a garantir a própria subsistência. Uma página é o

terreno que você precisará cultivar para garantir seu desenvolvimento como profissional capaz

de intervir no mundo de maneira inteligente.

Que você tenha pleno sucesso!

Belo Horizonte, fevereiro de 2010

Título: Unidade 01

Autor: Jonas Lachini


Cálculo I FUNÇÕES E MODELOS Introdução

A Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer isso

é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos. Durante

todo o estudo de Cálculo I, você estará mexendo com funções. Vale a pena saber lidar com

elas!

Leia o texto com atenção. Procure perceber o que é uma função, seu domínio e sua

imagem ou variação. Para conhecer algo é preciso saber nomear! Neste texto, procure

aprender a reconhecer o ente que atende pelo nome de função.

Estude com particular atenção os exemplos. Use lápis e papel, sublinhe partes do texto

que julgar importantes, assim como alguém que está cavando um terreno ou examinando os

detalhes de um objeto. Ler é sinônimo de investigar!

As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos

mesmo dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da

humanidade, está todo voltado para o estudo de funções. Durante esse curso de Cálculo I,

lidaremos o tempo todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a

continuidade de uma função, a derivada e a antiderivada de uma função. Nas primeiras

unidades, estabeleceremos a base do curso por meio do estudo do comportamento de algumas

funções; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e textos descritivos, que são as

maneiras mais comuns de representar funções.

Notas de aula 1

1.1 O que é uma função

Na linguagem do dia-a-dia, dizemos que o preço de uma corrida de táxi está em função da distância percorrida. Nesse caso, a palavra função expressa a idéia de que o

Orientações • Estude atentamente as Notas de Aula 1. Analise com bastante cuidado os exemplos

apresentados e os exercícios resolvidos. • Estude este assunto, Funções, em um livro de Cálculo. O Questionário 1 pode

ajudá-lo nessa tarefa. • Resolva os Exercícios 1. As questões neles propostas servem para você fixar

conceitos e melhorar sua habilidade em lidar com funções. • Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao

fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo. Leia sempre o quadro de avisos!


conhecimento de um fato ou de um valor (a distância percorrida) nos diz algo a respeito de outro fato ou de outro valor (o preço de uma corrida).

Em Matemática, estudamos os aspectos quantitativos de um fenômeno; são aspectos que podem ser medidos e expressos por meio de números. Esse é um dos motivos pelos quais as funções mais importantes, em Matemática, são aquelas em que o conhecimento de um número nos fornece informações sobre outro número. Por exemplo, se conhecemos o comprimento do lado de um quadrado, podemos calcular a medida da área desse quadrado.

Muitas funções são utilizadas para descrever fenômenos físicos ou situações que acontecem no dia-a-dia. Essas funções são chamadas de modelos matemáticos porque servem para representar com bastante precisão o comportamento das grandezas que interferem numa situação física.

Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja nenhuma importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de uma função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e resolver, de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a chegada das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou a ter menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e como aplicar esses conceitos.

Por meio de um exemplo, vamos estudar o que é uma função. Descreveremos também o que é o domínio e o que vem a ser a variação ou a imagem de uma função. Tente estudar com detalhes as situações apresentadas neste texto; essa é uma oportunidade para você aprender a ler tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade de descrever situações e, sobretudo, desenvolver sua capacidade de pensar, que aqui é vista como a habilidade de estabelecer relações. Observe o exemplo a seguir. Exemplo 1 De 10 a 20 de janeiro de 2004, foram registradas em Poços de Caldas as seguintes temperaturas máximas: Data 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Temperatura (0 C) 23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28

Tabela 1.1

Na Tabela 1.1, existe uma relação entre as datas e as temperaturas máximas. A cada dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada uma única temperatura máxima. Podemos observar que, em um mesmo dia, ocorre apenas uma temperatura máxima.

Este é um exemplo de função. Embora não exista fórmula para a temperatura (senão não precisaríamos dos institutos de meteorologia), a temperatura satisfaz a definição de função: cada dia t tem uma única temperatura máxima M associada a ele.

Uma grandeza M é uma função de outra grandeza t se, a cada valor de t, estiver associado um único valor de M. Quando isso acontece, dizemos que M é o valor da função ou a variável dependente, e que t é a variável independente ou argumento da função. Usando símbolos matemáticos, escrevemos: )(tfM = , onde f é o nome da função.

O domínio de uma função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente. Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos dias do período de 10 a 20 de janeiro de 2004. Em linguagem matemática, escrevemos: { }20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10)( =fD .

A variação ou a imagem de uma função é o conjunto dos valores efetivamente assumidos pela variável dependente. Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos valores da


temperatura máxima registrados no período de 10 a 20 de janeiro de 2004. Em linguagem matemática, escrevemos: { }28,26,25,24,23,22)Im( =f . 1.2 A função é uma fábrica de pares ordenados

Podemos considerar uma função como uma máquina que fabrica pares ordenados de números ou de elementos. No exemplo da Tabela 1.1, quando colocamos nessa máquina

10=t , obtemos 23)10( == fM ; formamos, assim, o par ordenado (10, 23). Com base nessa idéia, a função é um conjunto de pares ordenados e, nesse exemplo da tabela, temos:

{ })28,20(),28,19(),26,18(),24,17(),22,16(),25,15(),28,14(),26,13(),25,12(),25,11(),23,10(=F

A tecla ou x de uma calculadora é um exemplo de função como máquina de

fazer pares ordenados: quando pressionamos a tecla ou x e damos o input 16,

aparecerá no visor o output 4. Assim, a calculadora forma o par ordenado (16, 4), ou seja,

(16, 16 ).

De modo geral, a máquina x fabrica pares ordenados ( xx, ). Na notação

funcional, escrevemos: xxf =)( . O processo de formar pares ordenados pode ser representado também por meio de um

diagrama de flechas, como na Figura 1.1.

Figura 1.1

Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio da função: { }7,5,1)( =fD . De cada

elemento de A sai uma única flecha; isso significa que um elemento de A está associado a um único elemento de B. Assim, por exemplo, 8)5( =f . Observe também que nenhum elemento de A é desprovido de flecha.

O conjunto B é o contradomínio da função: { }16,8,2)( =fCD . A um mesmo elemento de B pode chegar mais de uma flecha; isso significa que um elemento de B pode ser imagem de mais de um elemento de A. O conjunto B pode ter elementos aos quais não chega nenhuma seta, ou seja, pode existir elemento de B que não seja imagem de nenhum elemento de A. O conjunto dos elementos de B aos quais chega pelo menos uma flecha é a imagem da função. No exemplo, temos: { }8,2)Im( =f . Observe que sempre o conjunto-imagem é um subconjunto de B.

De modo geral, o número de elementos ou de pares ordenados de uma função é muito grande, o que torna inviável escrever todos eles; devido a isso, utilizam-se duas outras formas de representação: os gráficos e as fórmulas; as fórmulas usadas para representar funções são também chamadas de equações, de leis de associação ou de leis de formação.


1.3 Várias maneiras de representar uma função

As funções podem ser representadas de maneiras diferentes. Assim, a função que fornece as temperaturas máximas em Poços de Caldas em função do tempo, que foi representada por meio da Tabela 1.1, também pode ser representada pelo gráfico da Figura 1.2.

Figura 1.2

Nesse gráfico, estão representados os pares ordenados que constituem a função. O

gráfico é formado por pontos separados e cada um deles representa um elemento da função { })28,20(),28,19(),26,18(),24,17(),22,16(),25,15(),28,14(),26,13(),25,12(),25,11(),23,10(=F

O primeiro termo de cada um desses pares é medido sobre o eixo horizontal onde normalmente são colocados os valores do domínio da função; o segundo termo de cada um desses pares é medido sobre o eixo vertical, onde normalmente são colocados os valores do contradomínio da função.

Nos exemplos seguintes, vamos representar funções por meio de uma tabela, de um gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal. São essas as quatro maneiras mais usuais de se representar uma função. Em geral, existe a maneira mais adequada para se representar uma função, dependendo do uso que se precisa fazer dela. Assim, o padrão dos batimentos cardíacos de uma pessoa é mais facilmente observado em um eletrocardiograma, que é o gráfico de uma função. Exemplo 2

Quando uma bola é chutada para cima, a altura da bola depende do tempo decorrido desde o momento do chute.

a) Esse fato pode ser representado por meio da seguinte tabela de valores. Tempo t (em segundos) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Altura )(tf (em metros) 0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0

Tabela 1.2

Na Tabela 1.2, estão indicados sete dentre os infinitos pares ordenados que constituem a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5; 11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e (3,0; 0). Os elementos da primeira linha da tabela são do domínio da função; os elementos da segunda linha são do contradomínio da função.

A representação de uma função por meio de uma tabela é muito utilizada para indicar as medidas obtidas em experiências científicas.

b) Podemos, também, usar um gráfico para representar essa função.


Figura 1.3

Para construir esse gráfico da Figura 1.3, foram plotados em um sistema de

coordenadas cartesianas três dos pares ordenados da tabela: (0, 0), (1,5; 10,25) e (3,0; 0). A seguir, esses pontos foram ligados por meio de uma curva contínua, traçada sem tirar o lápis do papel (ou mantendo o mouse pressionado). Fazer um traço contínuo sugere que, para qualquer instante considerado entre 0 e 3 segundos, existe uma altura correspondente para a bola chutada. O traço contínuo é uma invenção engenhosa da matemática para representar fenômenos que ocorrem, aparentemente, sem dar saltos.

c) Para efeito de manipulação algébrica e de análise matemática, essa função pode ser representada por uma fórmula.

tttf 155)( 2 +−= A descrição de uma função por meio de uma fórmula é a mais resumida delas; na

fórmula, utilizamos uma linguagem codificada. Quando escrevemos tttf 155)( 2 +−= , estamos escrevendo uma frase completa por meio de símbolos matemáticos: o primeiro membro da equação, )(tf , é o sujeito da frase; o sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo e

o segundo membro da equação, tt 155 2 +− , é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma função é conseguida por meio de muitas experimentações feitas com o fenômeno físico que se pretende descrever ou modelar.

d) Além disso, uma função pode ser representada por meio de descrição verbal.

O fenômeno apreciado nesse exemplo pode ser descrito verbalmente, como se mostra a seguir: Quando uma bola é chutada para o alto, a sua altura em relação ao solo é função do tempo decorrido desde o momento do chute, ou o instante inicial, até o momento em que toca o solo, ou o instante final. No caso em estudo, a altura da bola no instante 0=t é zero, no instante 5,1=t é 11,25 e no instante 3=t volta a ser zero.

Das quatro representações propostas para o exemplo, as de mais fácil leitura são a tabela e o gráfico. A de mais fácil manipulação computacional é a fórmula. A descrição verbal de uma função nem sempre consegue explicitar todos os detalhes de um fenômeno; existem situações que só conseguimos descrever por meio de gráficos ou de tabelas ou de fórmulas; isso significa que existem situações que só podem ser descritas por meio da linguagem matemática. Você pode entender melhor essa afirmativa se pensar que o computador é um artefato matemático! Nos programas para computadores, substituem-se cores, sons e palavras por seqüências de números formados pelos algarismos 0 e 1; o computador compara e ordena essas seqüências numéricas de acordo com o programado. Se é verdade que um gesto vale mais que mil palavras, também é verdade que uma equação matemática vale por milhares de palavras. Exemplo 3


Considere um tanque com l1200 de capacidade e uma torneira que despeja nele

l40 de água por minuto. O volume de água despejada é função do tempo em que a torneira ficar aberta.

a) O fenômeno de enchimento do tanque em função do tempo pode ser descrito por meio da tabela a seguir:

Tempo t (em minutos) 0 1 2 3 ... 29 30 Volume V (em litros) 0 40 80 120 ... 1160 1200

Tabela 1.3

b) Por meio de um gráfico, a função fica assim descrita:

Figura 1.4

c) Por meio de uma fórmula, podemos escrever:

ttf 40)( = , 300 ≤≤ t As variáveis V e t se relacionam pela igualdade tV 40= , com 300 ≤≤ t . Para cada valor atribuído à variável t corresponde um único valor para a variável V. A relação

tV 40= é a lei de associação ou a lei de formação da função.

d) Uma possível descrição verbal dessa função é a seguinte: O volume de água despejado no tanque é função do tempo decorrido desde o instante em que a torneira foi aberta. A torneira é aberta quando o tanque está vazio e despeja no tanque 40 litros a cada minuto. Como a capacidade do tanque é de 1200 litros, serão necessários 30 minutos para que essa torneira encha o tanque.

1.4 Exercícios resolvidos


1) Um radar eletrônico flagra um automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de

Belo Horizonte a 1:00 da manhã. Considerando que o carro se mantenha nessa mesma velocidade por 1 minuto: a) Construa uma tabela que relacione a distância percorrida por ele em função do tempo no intervalo entre 01:00 e 1:01 da manhã. b) Consiga uma fórmula (função) que expresse a relação entre distância (em metros) e o tempo (em segundos) para o carro no mesmo intervalo de tempo. c) Expresse graficamente a função obtida no item anterior.

Solução a) Expressar o tempo em horas, neste caso, não seria muito apropriado tendo em vista

que o intervalo a ser representado é de apenas 1 minuto, como isso faremos:

sms

m

h

km/30

3600

108000

1

108 ==

Agora podemos construir a tabela

Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 Distância (m) 0 300 600 900 1200 1600 1800

b) Como a cada segundo o carro percorrerá 30m temos a seguinte função que relaciona a

distância D com cada instante t do tempo:

60030)( ≤≤= tttD c) Construiremos o gráfico utilizando o programa winplot:

Orientações: A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados

na Unidade 1 e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução das questões das atividades.

Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo correio acadêmico.

Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema


Figura 1.6

2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por dia, mas possui uma promoção em que o

cliente pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual ele passa a pagar apenas R1,00 por dia. Com base nestas informações: a) escreva uma equação para cada situação de pagamento. b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas. c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser vantajoso comprar o selo promocional.

Solução a) Considerando f a função para situação normal, g a função do preço com o selo e t o

tempo em dias teremos:

ttg

ttf

+==

60)(

7)(

b)

Figura 1.7

c) Com base no gráfico fica claro que a partir do décimo dia de uso do estacionamento

comprar o selo promocional se torna mais vantajoso.


3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 312m . O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da largura da base.

Solução

Consideremos a caixa representada no diagrama ao lado, na qual a é a medida da largura da base, 2a o comprimento e h a altura.

Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por:

2C (2a a) 10 2a h 8 2 2a h 8 C 20a 48ah= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é V 2a a h= ⋅ ⋅ . Fazendo V 12= ,

obtemos 22

612 2a h h

a= ⇒ = .

Substituindo este valor de h na equação do custo total, 2C 20a 48ah= + , temos:

2 22

6 288C 20a 48a C(a) 20a

a a= + ⋅ ⇒ = +

Portanto, a equação 2 288C(a) 20a

a= + expressa o custo C da caixa em função da largura a de

sua base. O gráfico dessa função, feito no winplot, a seguir.

Questionário 1 Para responder às perguntas deste questionário, utilize um livro de Cálculo. Tente redigir suas respostas, com clareza, como se estivesse explicando a matéria para alguém.

1) O que é uma função? 2) O que é domínio de uma função? 3) O que é a variação ou a imagem de uma função? 4) O que é o gráfico de uma função? 5) Como, a partir do gráfico de uma determinada curva, sabemos tratar-se do

gráfico de uma função? 6) Escolha uma função e represente-a de quatro maneiras.

a 2a

h


7) O que é uma função par? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é par ou não?

8) O que é uma função ímpar? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é ímpar ou não?

9) Quando dizemos que uma função é crescente em um intervalo [ ]a,b ?

10) Quando dizemos que uma função é decrescente em um intervalo [ ]a,b ?

Exercícios 1

1) O preço da conta de água a ser pago mensalmente é função da quantidade de água consumida.

2) O tempo gasto por um carro para percorrer determinada distância é função de sua

velocidade.

3) O comprimento C de uma circunferência é função de seu raio r, definida pela lei rC π2= .

4) A área S de um quadrado é função da medida de seu lado l, definida pela lei 2lS = .

5) A quantidade de dinheiro em uma conta bancária que rende juros e na qual foram

depositados, inicialmente, R$100,00.

6) Esboce um possível gráfico para descrever a velocidade de um carro que desacelera constantemente como função do tempo. Explique o significado desse gráfico.

7) Esboce um gráfico que descreva a variação da temperatura de um pedaço de aço

aquecido em uma fornalha e deixado do lado de fora desta para esfriar, em função do tempo. Explique o significado desse gráfico.

8) Esboce um possível gráfico para descrever a variação da temperatura de um copo de

água com gelo colocado sobre a mesa da cozinha. Escreva um texto comparando esse gráfico com o do exercício 7.

9) Uma caixa retangular fechada de base quadrada tem volume de 3m2 . Expresse a área

superficial dessa caixa como uma função do comprimento de um lado da base.

10) A lei de Hooke fornece um excelente exemplo de proporção direta. Segue a partir desta lei que se um peso de x unidades for pendurado em uma mola, esta se alonga por um valor de y o qual é diretamente proporcional a x, isto é, y = kx. A constante k depende da rigidez da mola. Considerando que 1 kg alonga certa mola em 0,5 cm encontre: a) o valor da constante k para esta mola. b) A função que relaciona o peso com o comprimento alongado da mola. c) Construa uma tabela de valores para pesos variando de 1 a 10 kg e seus respectivos alongamentos. d) Construa um gráfico para esta função.


11) Suponha que um carro se mova a uma velocidade constante de 88 km/h e passe pelo

quilômetro 100 de uma rodovia. Escreva uma função que relacione a posição x do carro (em relação ao quilômetro zero) com o tempo t (a partir do momento em que ele passa pelo quilômetro 100) sabendo que o carro se afasta do início da rodovia.

12) Uma bola é atirada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 192 cm/s.

De acordo com estas informações a velocidade da bola em função do tempo é: ttv 96192)( −= , agora responda:

a) Qual a velocidade da bola, passados 3 segundos do lançamento? b) Neste instante a bola estará subindo ou descendo? c) Em que instante a bola atinge altura máxima? d) O que se pode dizer a respeito da aceleração da bola?

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